Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 31 }$ to precision 105.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 31 }$: $ x^{2} + 29 x + 3 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 26 + 15\cdot 31 + 5\cdot 31^{2} + 20\cdot 31^{3} + 10\cdot 31^{4} + 18\cdot 31^{5} + 6\cdot 31^{6} + 3\cdot 31^{7} + 8\cdot 31^{8} + 7\cdot 31^{9} + 26\cdot 31^{10} + 23\cdot 31^{11} + 15\cdot 31^{12} + 6\cdot 31^{13} + 15\cdot 31^{14} + 29\cdot 31^{15} + 27\cdot 31^{16} + 27\cdot 31^{17} + 26\cdot 31^{18} + 27\cdot 31^{19} + 21\cdot 31^{20} + 30\cdot 31^{21} + 19\cdot 31^{22} + 18\cdot 31^{23} + 19\cdot 31^{24} + 3\cdot 31^{25} + 30\cdot 31^{26} + 18\cdot 31^{27} + 23\cdot 31^{28} + 15\cdot 31^{29} + 15\cdot 31^{30} + 4\cdot 31^{31} + 25\cdot 31^{32} + 8\cdot 31^{33} + 18\cdot 31^{34} + 20\cdot 31^{35} + 24\cdot 31^{36} + 6\cdot 31^{37} + 25\cdot 31^{38} + 5\cdot 31^{39} + 21\cdot 31^{40} + 23\cdot 31^{41} + 6\cdot 31^{42} + 23\cdot 31^{43} + 30\cdot 31^{44} + 29\cdot 31^{45} + 24\cdot 31^{46} + 12\cdot 31^{47} + 15\cdot 31^{48} + 24\cdot 31^{49} + 28\cdot 31^{50} + 24\cdot 31^{51} + 6\cdot 31^{52} + 13\cdot 31^{53} + 4\cdot 31^{54} + 7\cdot 31^{55} + 10\cdot 31^{56} + 19\cdot 31^{57} + 7\cdot 31^{58} + 14\cdot 31^{59} + 21\cdot 31^{60} + 14\cdot 31^{61} + 6\cdot 31^{62} + 25\cdot 31^{63} + 11\cdot 31^{64} + 11\cdot 31^{65} + 29\cdot 31^{66} + 20\cdot 31^{67} + 28\cdot 31^{68} + 3\cdot 31^{69} + 23\cdot 31^{70} + 24\cdot 31^{71} + 19\cdot 31^{72} + 11\cdot 31^{73} + 5\cdot 31^{74} + 2\cdot 31^{75} + 17\cdot 31^{76} + 28\cdot 31^{77} + 18\cdot 31^{78} + 27\cdot 31^{79} + 20\cdot 31^{80} + 6\cdot 31^{81} + 25\cdot 31^{82} + 26\cdot 31^{83} + 11\cdot 31^{84} + 3\cdot 31^{85} + 26\cdot 31^{86} + 18\cdot 31^{87} + 3\cdot 31^{88} + 9\cdot 31^{89} + 19\cdot 31^{90} + 29\cdot 31^{91} + 12\cdot 31^{92} + 16\cdot 31^{93} + 7\cdot 31^{94} + 9\cdot 31^{95} + 29\cdot 31^{96} + 16\cdot 31^{97} + 22\cdot 31^{99} + 2\cdot 31^{100} + 28\cdot 31^{101} + 12\cdot 31^{102} + 25\cdot 31^{103} + 21\cdot 31^{104} +O\left(31^{ 105 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 22 a + 22 + \left(a + 16\right)\cdot 31 + \left(4 a + 13\right)\cdot 31^{2} + \left(a + 9\right)\cdot 31^{3} + 10 a\cdot 31^{4} + \left(21 a + 9\right)\cdot 31^{5} + \left(24 a + 26\right)\cdot 31^{6} + \left(27 a + 23\right)\cdot 31^{7} + \left(9 a + 15\right)\cdot 31^{8} + \left(25 a + 9\right)\cdot 31^{9} + \left(28 a + 16\right)\cdot 31^{10} + \left(19 a + 3\right)\cdot 31^{11} + \left(25 a + 23\right)\cdot 31^{12} + \left(3 a + 8\right)\cdot 31^{13} + \left(7 a + 26\right)\cdot 31^{14} + \left(14 a + 24\right)\cdot 31^{15} + \left(14 a + 24\right)\cdot 31^{16} + \left(a + 3\right)\cdot 31^{17} + \left(8 a + 15\right)\cdot 31^{18} + 12 a\cdot 31^{19} + \left(19 a + 13\right)\cdot 31^{20} + \left(17 a + 2\right)\cdot 31^{21} + \left(20 a + 29\right)\cdot 31^{22} + \left(12 a + 4\right)\cdot 31^{23} + \left(13 a + 16\right)\cdot 31^{24} + 26 a\cdot 31^{25} + \left(8 a + 23\right)\cdot 31^{26} + \left(10 a + 12\right)\cdot 31^{27} + \left(26 a + 6\right)\cdot 31^{28} + \left(8 a + 16\right)\cdot 31^{29} + \left(11 a + 5\right)\cdot 31^{30} + \left(8 a + 15\right)\cdot 31^{31} + \left(18 a + 8\right)\cdot 31^{32} + \left(20 a + 14\right)\cdot 31^{33} + \left(6 a + 25\right)\cdot 31^{34} + \left(20 a + 19\right)\cdot 31^{35} + \left(9 a + 14\right)\cdot 31^{36} + \left(25 a + 24\right)\cdot 31^{37} + \left(15 a + 4\right)\cdot 31^{38} + \left(20 a + 20\right)\cdot 31^{39} + \left(25 a + 12\right)\cdot 31^{40} + \left(18 a + 23\right)\cdot 31^{41} + \left(4 a + 9\right)\cdot 31^{42} + \left(27 a + 29\right)\cdot 31^{43} + \left(a + 27\right)\cdot 31^{44} + \left(15 a + 28\right)\cdot 31^{45} + \left(30 a + 30\right)\cdot 31^{46} + \left(17 a + 18\right)\cdot 31^{47} + \left(21 a + 26\right)\cdot 31^{48} + 14 a\cdot 31^{49} + \left(27 a + 6\right)\cdot 31^{50} + \left(18 a + 14\right)\cdot 31^{51} + \left(29 a + 29\right)\cdot 31^{52} + \left(2 a + 23\right)\cdot 31^{53} + \left(22 a + 6\right)\cdot 31^{54} + \left(10 a + 18\right)\cdot 31^{55} + \left(4 a + 15\right)\cdot 31^{56} + \left(12 a + 20\right)\cdot 31^{57} + \left(8 a + 5\right)\cdot 31^{58} + \left(29 a + 30\right)\cdot 31^{59} + 28 a\cdot 31^{60} + \left(a + 15\right)\cdot 31^{61} + \left(28 a + 2\right)\cdot 31^{62} + \left(6 a + 22\right)\cdot 31^{63} + \left(7 a + 5\right)\cdot 31^{64} + \left(11 a + 23\right)\cdot 31^{65} + \left(6 a + 22\right)\cdot 31^{66} + \left(29 a + 4\right)\cdot 31^{67} + \left(7 a + 30\right)\cdot 31^{68} + \left(27 a + 6\right)\cdot 31^{69} + \left(25 a + 12\right)\cdot 31^{70} + \left(8 a + 21\right)\cdot 31^{71} + \left(11 a + 28\right)\cdot 31^{72} + \left(21 a + 8\right)\cdot 31^{73} + \left(6 a + 9\right)\cdot 31^{74} + \left(6 a + 1\right)\cdot 31^{75} + \left(12 a + 16\right)\cdot 31^{76} + \left(17 a + 26\right)\cdot 31^{77} + \left(20 a + 23\right)\cdot 31^{78} + \left(19 a + 6\right)\cdot 31^{79} + \left(13 a + 22\right)\cdot 31^{80} + \left(21 a + 8\right)\cdot 31^{81} + \left(24 a + 30\right)\cdot 31^{82} + \left(30 a + 18\right)\cdot 31^{83} + \left(18 a + 13\right)\cdot 31^{84} + \left(a + 24\right)\cdot 31^{85} + \left(11 a + 14\right)\cdot 31^{86} + \left(25 a + 5\right)\cdot 31^{87} + \left(17 a + 24\right)\cdot 31^{88} + \left(23 a + 28\right)\cdot 31^{89} + \left(16 a + 9\right)\cdot 31^{90} + \left(21 a + 22\right)\cdot 31^{91} + \left(30 a + 8\right)\cdot 31^{92} + \left(22 a + 17\right)\cdot 31^{93} + \left(19 a + 28\right)\cdot 31^{94} + \left(6 a + 27\right)\cdot 31^{95} + \left(28 a + 25\right)\cdot 31^{96} + \left(12 a + 3\right)\cdot 31^{97} + \left(8 a + 8\right)\cdot 31^{98} + \left(4 a + 8\right)\cdot 31^{99} + \left(3 a + 26\right)\cdot 31^{100} + \left(12 a + 12\right)\cdot 31^{101} + \left(12 a + 22\right)\cdot 31^{102} + \left(23 a + 23\right)\cdot 31^{103} + \left(28 a + 10\right)\cdot 31^{104} +O\left(31^{ 105 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 16 a + 13 + \left(12 a + 14\right)\cdot 31 + \left(14 a + 24\right)\cdot 31^{2} + \left(21 a + 11\right)\cdot 31^{3} + \left(14 a + 6\right)\cdot 31^{4} + \left(13 a + 5\right)\cdot 31^{5} + \left(9 a + 15\right)\cdot 31^{6} + \left(15 a + 13\right)\cdot 31^{7} + \left(15 a + 30\right)\cdot 31^{8} + 20\cdot 31^{9} + \left(5 a + 9\right)\cdot 31^{10} + \left(7 a + 28\right)\cdot 31^{11} + \left(24 a + 12\right)\cdot 31^{12} + \left(24 a + 8\right)\cdot 31^{13} + \left(14 a + 9\right)\cdot 31^{14} + \left(28 a + 1\right)\cdot 31^{15} + \left(18 a + 30\right)\cdot 31^{16} + \left(10 a + 11\right)\cdot 31^{17} + \left(a + 25\right)\cdot 31^{18} + \left(2 a + 29\right)\cdot 31^{19} + \left(12 a + 30\right)\cdot 31^{20} + 6 a\cdot 31^{21} + \left(19 a + 2\right)\cdot 31^{22} + \left(26 a + 22\right)\cdot 31^{23} + 9 a\cdot 31^{24} + \left(28 a + 30\right)\cdot 31^{25} + \left(20 a + 18\right)\cdot 31^{26} + \left(25 a + 26\right)\cdot 31^{27} + \left(9 a + 11\right)\cdot 31^{28} + \left(8 a + 19\right)\cdot 31^{29} + \left(7 a + 23\right)\cdot 31^{30} + \left(20 a + 16\right)\cdot 31^{31} + \left(7 a + 13\right)\cdot 31^{32} + \left(11 a + 1\right)\cdot 31^{33} + \left(9 a + 18\right)\cdot 31^{34} + \left(4 a + 30\right)\cdot 31^{35} + \left(a + 15\right)\cdot 31^{36} + 10 a\cdot 31^{37} + \left(24 a + 20\right)\cdot 31^{38} + \left(23 a + 19\right)\cdot 31^{39} + \left(6 a + 23\right)\cdot 31^{40} + \left(26 a + 28\right)\cdot 31^{41} + \left(28 a + 10\right)\cdot 31^{42} + \left(9 a + 14\right)\cdot 31^{43} + \left(21 a + 20\right)\cdot 31^{44} + \left(18 a + 9\right)\cdot 31^{45} + \left(24 a + 29\right)\cdot 31^{46} + 24 a\cdot 31^{47} + \left(10 a + 23\right)\cdot 31^{48} + \left(30 a + 7\right)\cdot 31^{49} + \left(16 a + 8\right)\cdot 31^{50} + \left(23 a + 25\right)\cdot 31^{51} + \left(20 a + 21\right)\cdot 31^{52} + \left(26 a + 4\right)\cdot 31^{53} + \left(21 a + 20\right)\cdot 31^{54} + \left(13 a + 11\right)\cdot 31^{55} + \left(16 a + 4\right)\cdot 31^{56} + \left(26 a + 26\right)\cdot 31^{57} + \left(23 a + 10\right)\cdot 31^{58} + \left(6 a + 9\right)\cdot 31^{59} + \left(28 a + 16\right)\cdot 31^{60} + \left(23 a + 20\right)\cdot 31^{61} + \left(16 a + 12\right)\cdot 31^{62} + \left(29 a + 7\right)\cdot 31^{63} + \left(28 a + 25\right)\cdot 31^{64} + \left(25 a + 20\right)\cdot 31^{65} + \left(8 a + 3\right)\cdot 31^{66} + \left(23 a + 27\right)\cdot 31^{67} + \left(a + 26\right)\cdot 31^{68} + \left(15 a + 30\right)\cdot 31^{69} + \left(25 a + 2\right)\cdot 31^{70} + \left(22 a + 4\right)\cdot 31^{71} + \left(26 a + 25\right)\cdot 31^{72} + \left(8 a + 13\right)\cdot 31^{73} + \left(27 a + 10\right)\cdot 31^{74} + \left(8 a + 27\right)\cdot 31^{75} + \left(15 a + 15\right)\cdot 31^{76} + \left(20 a + 8\right)\cdot 31^{77} + \left(26 a + 9\right)\cdot 31^{78} + \left(19 a + 1\right)\cdot 31^{79} + \left(22 a + 7\right)\cdot 31^{80} + \left(2 a + 1\right)\cdot 31^{81} + \left(12 a + 2\right)\cdot 31^{82} + \left(29 a + 13\right)\cdot 31^{83} + \left(19 a + 11\right)\cdot 31^{84} + \left(24 a + 7\right)\cdot 31^{85} + \left(12 a + 23\right)\cdot 31^{86} + 12\cdot 31^{87} + \left(9 a + 22\right)\cdot 31^{88} + \left(21 a + 1\right)\cdot 31^{89} + \left(22 a + 24\right)\cdot 31^{90} + \left(6 a + 8\right)\cdot 31^{91} + \left(18 a + 7\right)\cdot 31^{92} + \left(27 a + 23\right)\cdot 31^{93} + \left(19 a + 22\right)\cdot 31^{94} + \left(22 a + 4\right)\cdot 31^{95} + \left(10 a + 16\right)\cdot 31^{96} + \left(16 a + 25\right)\cdot 31^{97} + \left(9 a + 3\right)\cdot 31^{98} + 10\cdot 31^{99} + \left(21 a + 27\right)\cdot 31^{100} + \left(20 a + 11\right)\cdot 31^{101} + \left(11 a + 8\right)\cdot 31^{102} + \left(5 a + 8\right)\cdot 31^{103} + \left(22 a + 27\right)\cdot 31^{104} +O\left(31^{ 105 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 10 a + 2 + \left(22 a + 3\right)\cdot 31 + \left(8 a + 26\right)\cdot 31^{2} + \left(6 a + 4\right)\cdot 31^{3} + \left(7 a + 2\right)\cdot 31^{4} + \left(26 a + 25\right)\cdot 31^{5} + \left(8 a + 20\right)\cdot 31^{6} + \left(18 a + 23\right)\cdot 31^{7} + 23\cdot 31^{8} + \left(22 a + 23\right)\cdot 31^{9} + \left(20 a + 14\right)\cdot 31^{10} + \left(6 a + 1\right)\cdot 31^{11} + \left(6 a + 11\right)\cdot 31^{12} + \left(10 a + 10\right)\cdot 31^{13} + \left(12 a + 23\right)\cdot 31^{14} + \left(15 a + 13\right)\cdot 31^{15} + 17 a\cdot 31^{16} + \left(21 a + 18\right)\cdot 31^{17} + \left(13 a + 5\right)\cdot 31^{18} + \left(17 a + 26\right)\cdot 31^{19} + \left(2 a + 14\right)\cdot 31^{20} + \left(11 a + 25\right)\cdot 31^{21} + \left(9 a + 29\right)\cdot 31^{22} + \left(3 a + 2\right)\cdot 31^{23} + \left(25 a + 5\right)\cdot 31^{24} + 10 a\cdot 31^{25} + \left(20 a + 25\right)\cdot 31^{26} + \left(a + 17\right)\cdot 31^{27} + \left(21 a + 8\right)\cdot 31^{28} + \left(29 a + 26\right)\cdot 31^{29} + \left(3 a + 24\right)\cdot 31^{30} + \left(30 a + 16\right)\cdot 31^{31} + \left(25 a + 27\right)\cdot 31^{32} + 21 a\cdot 31^{33} + \left(2 a + 23\right)\cdot 31^{34} + \left(7 a + 3\right)\cdot 31^{35} + \left(3 a + 29\right)\cdot 31^{36} + \left(29 a + 15\right)\cdot 31^{37} + \left(3 a + 1\right)\cdot 31^{38} + \left(25 a + 17\right)\cdot 31^{39} + \left(14 a + 15\right)\cdot 31^{40} + 22\cdot 31^{41} + \left(4 a + 11\right)\cdot 31^{42} + 29\cdot 31^{43} + \left(17 a + 3\right)\cdot 31^{44} + \left(3 a + 20\right)\cdot 31^{45} + \left(a + 19\right)\cdot 31^{46} + \left(25 a + 25\right)\cdot 31^{47} + \left(10 a + 5\right)\cdot 31^{48} + \left(27 a + 22\right)\cdot 31^{49} + \left(3 a + 21\right)\cdot 31^{50} + \left(21 a + 1\right)\cdot 31^{51} + \left(11 a + 4\right)\cdot 31^{52} + \left(23 a + 3\right)\cdot 31^{53} + 15 a\cdot 31^{54} + \left(9 a + 22\right)\cdot 31^{55} + \left(6 a + 19\right)\cdot 31^{57} + \left(3 a + 7\right)\cdot 31^{58} + \left(23 a + 20\right)\cdot 31^{59} + \left(15 a + 6\right)\cdot 31^{60} + \left(11 a + 27\right)\cdot 31^{61} + \left(21 a + 3\right)\cdot 31^{62} + \left(a + 25\right)\cdot 31^{63} + 12 a\cdot 31^{64} + \left(3 a + 24\right)\cdot 31^{65} + \left(28 a + 29\right)\cdot 31^{66} + \left(26 a + 28\right)\cdot 31^{67} + \left(17 a + 30\right)\cdot 31^{68} + \left(23 a + 21\right)\cdot 31^{69} + \left(25 a + 6\right)\cdot 31^{70} + \left(11 a + 14\right)\cdot 31^{71} + \left(19 a + 11\right)\cdot 31^{72} + \left(a + 24\right)\cdot 31^{73} + \left(17 a + 13\right)\cdot 31^{74} + \left(27 a + 2\right)\cdot 31^{75} + \left(25 a + 1\right)\cdot 31^{76} + \left(5 a + 30\right)\cdot 31^{77} + \left(14 a + 21\right)\cdot 31^{78} + \left(25 a + 28\right)\cdot 31^{79} + \left(9 a + 2\right)\cdot 31^{80} + \left(28 a + 19\right)\cdot 31^{81} + \left(23 a + 13\right)\cdot 31^{82} + \left(22 a + 8\right)\cdot 31^{83} + \left(17 a + 29\right)\cdot 31^{84} + \left(18 a + 5\right)\cdot 31^{85} + \left(25 a + 2\right)\cdot 31^{86} + \left(22 a + 9\right)\cdot 31^{87} + 26\cdot 31^{88} + \left(3 a + 6\right)\cdot 31^{89} + \left(11 a + 28\right)\cdot 31^{90} + \left(25 a + 21\right)\cdot 31^{91} + \left(23 a + 3\right)\cdot 31^{92} + \left(12 a + 2\right)\cdot 31^{93} + \left(4 a + 22\right)\cdot 31^{94} + \left(7 a + 4\right)\cdot 31^{95} + \left(15 a + 12\right)\cdot 31^{96} + 21\cdot 31^{97} + \left(11 a + 29\right)\cdot 31^{98} + \left(21 a + 21\right)\cdot 31^{99} + \left(8 a + 26\right)\cdot 31^{100} + \left(3 a + 21\right)\cdot 31^{101} + \left(5 a + 21\right)\cdot 31^{102} + \left(2 a + 26\right)\cdot 31^{103} + \left(10 a + 7\right)\cdot 31^{104} +O\left(31^{ 105 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 21 a + 22 + \left(8 a + 6\right)\cdot 31 + \left(22 a + 21\right)\cdot 31^{2} + \left(24 a + 8\right)\cdot 31^{3} + \left(23 a + 10\right)\cdot 31^{4} + \left(4 a + 8\right)\cdot 31^{5} + \left(22 a + 12\right)\cdot 31^{6} + \left(12 a + 20\right)\cdot 31^{7} + \left(30 a + 6\right)\cdot 31^{8} + \left(8 a + 5\right)\cdot 31^{9} + \left(10 a + 3\right)\cdot 31^{10} + \left(24 a + 25\right)\cdot 31^{11} + \left(24 a + 16\right)\cdot 31^{12} + \left(20 a + 24\right)\cdot 31^{13} + \left(18 a + 6\right)\cdot 31^{14} + \left(15 a + 1\right)\cdot 31^{15} + \left(13 a + 20\right)\cdot 31^{16} + \left(9 a + 12\right)\cdot 31^{17} + \left(17 a + 11\right)\cdot 31^{18} + \left(13 a + 16\right)\cdot 31^{19} + \left(28 a + 2\right)\cdot 31^{20} + \left(19 a + 14\right)\cdot 31^{21} + \left(21 a + 6\right)\cdot 31^{22} + 27 a\cdot 31^{23} + \left(5 a + 21\right)\cdot 31^{24} + \left(20 a + 27\right)\cdot 31^{25} + \left(10 a + 23\right)\cdot 31^{26} + 29 a\cdot 31^{27} + \left(9 a + 18\right)\cdot 31^{28} + \left(a + 2\right)\cdot 31^{29} + \left(27 a + 3\right)\cdot 31^{30} + 11\cdot 31^{31} + \left(5 a + 18\right)\cdot 31^{32} + \left(9 a + 18\right)\cdot 31^{33} + \left(28 a + 6\right)\cdot 31^{34} + \left(23 a + 15\right)\cdot 31^{35} + \left(27 a + 28\right)\cdot 31^{36} + \left(a + 8\right)\cdot 31^{37} + \left(27 a + 11\right)\cdot 31^{38} + \left(5 a + 1\right)\cdot 31^{39} + \left(16 a + 20\right)\cdot 31^{40} + \left(30 a + 8\right)\cdot 31^{41} + \left(26 a + 19\right)\cdot 31^{42} + \left(30 a + 25\right)\cdot 31^{43} + \left(13 a + 6\right)\cdot 31^{44} + \left(27 a + 10\right)\cdot 31^{45} + \left(29 a + 18\right)\cdot 31^{46} + \left(5 a + 12\right)\cdot 31^{47} + \left(20 a + 2\right)\cdot 31^{48} + \left(3 a + 4\right)\cdot 31^{49} + \left(27 a + 2\right)\cdot 31^{50} + \left(9 a + 9\right)\cdot 31^{51} + \left(19 a + 6\right)\cdot 31^{52} + \left(7 a + 7\right)\cdot 31^{53} + \left(15 a + 8\right)\cdot 31^{54} + \left(21 a + 25\right)\cdot 31^{55} + \left(30 a + 22\right)\cdot 31^{56} + \left(24 a + 30\right)\cdot 31^{57} + \left(27 a + 7\right)\cdot 31^{58} + \left(7 a + 1\right)\cdot 31^{59} + \left(15 a + 15\right)\cdot 31^{60} + \left(19 a + 3\right)\cdot 31^{61} + \left(9 a + 4\right)\cdot 31^{62} + \left(29 a + 7\right)\cdot 31^{63} + \left(18 a + 23\right)\cdot 31^{64} + \left(27 a + 18\right)\cdot 31^{65} + \left(2 a + 20\right)\cdot 31^{66} + \left(4 a + 23\right)\cdot 31^{67} + \left(13 a + 8\right)\cdot 31^{68} + \left(7 a + 20\right)\cdot 31^{69} + \left(5 a + 3\right)\cdot 31^{70} + \left(19 a + 12\right)\cdot 31^{71} + \left(11 a + 7\right)\cdot 31^{72} + \left(29 a + 8\right)\cdot 31^{73} + \left(13 a + 15\right)\cdot 31^{74} + \left(3 a + 9\right)\cdot 31^{75} + \left(5 a + 25\right)\cdot 31^{76} + \left(25 a + 15\right)\cdot 31^{77} + \left(16 a + 13\right)\cdot 31^{78} + \left(5 a + 3\right)\cdot 31^{79} + \left(21 a + 28\right)\cdot 31^{80} + \left(2 a + 3\right)\cdot 31^{81} + \left(7 a + 2\right)\cdot 31^{82} + \left(8 a + 30\right)\cdot 31^{83} + \left(13 a + 10\right)\cdot 31^{84} + \left(12 a + 25\right)\cdot 31^{85} + \left(5 a + 3\right)\cdot 31^{86} + \left(8 a + 29\right)\cdot 31^{87} + \left(30 a + 4\right)\cdot 31^{88} + \left(27 a + 12\right)\cdot 31^{89} + \left(19 a + 16\right)\cdot 31^{90} + \left(5 a + 30\right)\cdot 31^{91} + \left(7 a + 25\right)\cdot 31^{92} + \left(18 a + 3\right)\cdot 31^{93} + \left(26 a + 18\right)\cdot 31^{94} + \left(23 a + 14\right)\cdot 31^{95} + \left(15 a + 4\right)\cdot 31^{96} + \left(30 a + 7\right)\cdot 31^{97} + \left(19 a + 20\right)\cdot 31^{98} + \left(9 a + 22\right)\cdot 31^{99} + \left(22 a + 22\right)\cdot 31^{100} + \left(27 a + 19\right)\cdot 31^{101} + \left(25 a + 28\right)\cdot 31^{102} + \left(28 a + 25\right)\cdot 31^{103} + \left(20 a + 25\right)\cdot 31^{104} +O\left(31^{ 105 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 22 + 14\cdot 31 + 3\cdot 31^{2} + 21\cdot 31^{3} + 29\cdot 31^{4} + 29\cdot 31^{5} + 29\cdot 31^{6} + 11\cdot 31^{7} + 16\cdot 31^{8} + 17\cdot 31^{10} + 20\cdot 31^{11} + 28\cdot 31^{12} + 9\cdot 31^{13} + 23\cdot 31^{14} + 25\cdot 31^{15} + 3\cdot 31^{16} + 12\cdot 31^{17} + 23\cdot 31^{18} + 4\cdot 31^{19} + 10\cdot 31^{20} + 30\cdot 31^{21} + 11\cdot 31^{22} + 9\cdot 31^{23} + 6\cdot 31^{24} + 7\cdot 31^{25} + 18\cdot 31^{26} + 27\cdot 31^{27} + 10\cdot 31^{29} + 2\cdot 31^{30} + 20\cdot 31^{31} + 16\cdot 31^{32} + 26\cdot 31^{33} + 19\cdot 31^{34} + 12\cdot 31^{35} + 14\cdot 31^{36} + 13\cdot 31^{37} + 22\cdot 31^{38} + 2\cdot 31^{39} + 5\cdot 31^{40} + 23\cdot 31^{42} + 10\cdot 31^{43} + 7\cdot 31^{44} + 4\cdot 31^{45} + 19\cdot 31^{46} + 2\cdot 31^{47} + 10\cdot 31^{48} + 29\cdot 31^{49} + 29\cdot 31^{50} + 30\cdot 31^{51} + 7\cdot 31^{52} + 3\cdot 31^{53} + 30\cdot 31^{54} + 4\cdot 31^{55} + 2\cdot 31^{56} + 29\cdot 31^{57} + 10\cdot 31^{58} + 30\cdot 31^{60} + 12\cdot 31^{61} + 15\cdot 31^{62} + 10\cdot 31^{63} + 21\cdot 31^{64} + 5\cdot 31^{65} + 29\cdot 31^{66} + 20\cdot 31^{67} + 5\cdot 31^{68} + 20\cdot 31^{69} + 30\cdot 31^{70} + 9\cdot 31^{71} + 26\cdot 31^{72} + 11\cdot 31^{73} + 12\cdot 31^{74} + 25\cdot 31^{75} + 7\cdot 31^{76} + 24\cdot 31^{77} + 8\cdot 31^{78} + 16\cdot 31^{79} + 11\cdot 31^{80} + 4\cdot 31^{83} + 4\cdot 31^{84} + 12\cdot 31^{85} + 25\cdot 31^{86} + 2\cdot 31^{87} + 30\cdot 31^{88} + 2\cdot 31^{89} + 20\cdot 31^{90} + 24\cdot 31^{91} + 10\cdot 31^{92} + 30\cdot 31^{93} + 6\cdot 31^{94} + 11\cdot 31^{95} + 7\cdot 31^{96} + 12\cdot 31^{98} + 29\cdot 31^{99} + 13\cdot 31^{100} + 25\cdot 31^{101} + 14\cdot 31^{102} + 10\cdot 31^{103} + 12\cdot 31^{104} +O\left(31^{ 105 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 9 a + 4 + \left(29 a + 29\right)\cdot 31 + \left(26 a + 19\right)\cdot 31^{2} + \left(29 a + 7\right)\cdot 31^{3} + \left(20 a + 19\right)\cdot 31^{4} + \left(9 a + 10\right)\cdot 31^{5} + \left(6 a + 23\right)\cdot 31^{6} + \left(3 a + 23\right)\cdot 31^{7} + \left(21 a + 7\right)\cdot 31^{8} + \left(5 a + 19\right)\cdot 31^{9} + \left(2 a + 17\right)\cdot 31^{10} + \left(11 a + 14\right)\cdot 31^{11} + \left(5 a + 23\right)\cdot 31^{12} + \left(27 a + 21\right)\cdot 31^{13} + \left(23 a + 5\right)\cdot 31^{14} + \left(16 a + 15\right)\cdot 31^{15} + \left(16 a + 8\right)\cdot 31^{16} + \left(29 a + 23\right)\cdot 31^{17} + \left(22 a + 29\right)\cdot 31^{18} + \left(18 a + 16\right)\cdot 31^{19} + \left(11 a + 8\right)\cdot 31^{20} + \left(13 a + 18\right)\cdot 31^{21} + \left(10 a + 21\right)\cdot 31^{22} + \left(18 a + 9\right)\cdot 31^{23} + \left(17 a + 30\right)\cdot 31^{24} + \left(4 a + 8\right)\cdot 31^{25} + \left(22 a + 14\right)\cdot 31^{26} + \left(20 a + 24\right)\cdot 31^{27} + \left(4 a + 17\right)\cdot 31^{28} + \left(22 a + 7\right)\cdot 31^{29} + \left(19 a + 19\right)\cdot 31^{30} + \left(22 a + 20\right)\cdot 31^{31} + \left(12 a + 5\right)\cdot 31^{32} + \left(10 a + 6\right)\cdot 31^{33} + \left(24 a + 18\right)\cdot 31^{34} + \left(10 a + 22\right)\cdot 31^{35} + \left(21 a + 13\right)\cdot 31^{36} + \left(5 a + 3\right)\cdot 31^{37} + \left(15 a + 11\right)\cdot 31^{38} + \left(10 a + 14\right)\cdot 31^{39} + \left(5 a + 12\right)\cdot 31^{40} + \left(12 a + 4\right)\cdot 31^{41} + 26 a\cdot 31^{42} + \left(3 a + 17\right)\cdot 31^{43} + \left(29 a + 4\right)\cdot 31^{44} + \left(15 a + 26\right)\cdot 31^{45} + 14\cdot 31^{46} + \left(13 a + 24\right)\cdot 31^{47} + \left(9 a + 20\right)\cdot 31^{48} + \left(16 a + 8\right)\cdot 31^{49} + \left(3 a + 15\right)\cdot 31^{50} + \left(12 a + 24\right)\cdot 31^{51} + \left(a + 7\right)\cdot 31^{52} + 28 a\cdot 31^{53} + \left(8 a + 17\right)\cdot 31^{54} + \left(20 a + 17\right)\cdot 31^{55} + \left(26 a + 13\right)\cdot 31^{56} + \left(18 a + 9\right)\cdot 31^{57} + \left(22 a + 10\right)\cdot 31^{58} + \left(a + 18\right)\cdot 31^{59} + \left(2 a + 29\right)\cdot 31^{60} + \left(29 a + 20\right)\cdot 31^{61} + \left(2 a + 25\right)\cdot 31^{62} + \left(24 a + 7\right)\cdot 31^{63} + \left(23 a + 13\right)\cdot 31^{64} + \left(19 a + 7\right)\cdot 31^{65} + \left(24 a + 24\right)\cdot 31^{66} + \left(a + 25\right)\cdot 31^{67} + \left(23 a + 16\right)\cdot 31^{68} + \left(3 a + 22\right)\cdot 31^{69} + \left(5 a + 5\right)\cdot 31^{70} + \left(22 a + 13\right)\cdot 31^{71} + \left(19 a + 11\right)\cdot 31^{72} + \left(9 a + 9\right)\cdot 31^{73} + \left(24 a + 1\right)\cdot 31^{74} + \left(24 a + 7\right)\cdot 31^{75} + \left(18 a + 3\right)\cdot 31^{76} + \left(13 a + 18\right)\cdot 31^{77} + \left(10 a + 16\right)\cdot 31^{78} + \left(11 a + 25\right)\cdot 31^{79} + \left(17 a + 29\right)\cdot 31^{80} + \left(9 a + 6\right)\cdot 31^{81} + \left(6 a + 27\right)\cdot 31^{82} + 24\cdot 31^{83} + \left(12 a + 20\right)\cdot 31^{84} + \left(29 a + 8\right)\cdot 31^{85} + \left(19 a + 4\right)\cdot 31^{86} + \left(5 a + 14\right)\cdot 31^{87} + \left(13 a + 3\right)\cdot 31^{88} + \left(7 a + 27\right)\cdot 31^{89} + \left(14 a + 19\right)\cdot 31^{90} + \left(9 a + 17\right)\cdot 31^{91} + 17\cdot 31^{92} + \left(8 a + 1\right)\cdot 31^{93} + \left(11 a + 14\right)\cdot 31^{94} + \left(24 a + 21\right)\cdot 31^{95} + \left(2 a + 13\right)\cdot 31^{96} + \left(18 a + 1\right)\cdot 31^{97} + \left(22 a + 12\right)\cdot 31^{98} + \left(26 a + 8\right)\cdot 31^{99} + \left(27 a + 28\right)\cdot 31^{100} + \left(18 a + 2\right)\cdot 31^{101} + \left(18 a + 4\right)\cdot 31^{102} + \left(7 a + 27\right)\cdot 31^{103} + \left(2 a + 13\right)\cdot 31^{104} +O\left(31^{ 105 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 15 a + 14 + \left(18 a + 23\right)\cdot 31 + \left(16 a + 9\right)\cdot 31^{2} + \left(9 a + 9\right)\cdot 31^{3} + \left(16 a + 14\right)\cdot 31^{4} + \left(17 a + 17\right)\cdot 31^{5} + \left(21 a + 20\right)\cdot 31^{6} + \left(15 a + 3\right)\cdot 31^{7} + \left(15 a + 15\right)\cdot 31^{8} + \left(30 a + 6\right)\cdot 31^{9} + \left(25 a + 19\right)\cdot 31^{10} + \left(23 a + 6\right)\cdot 31^{11} + \left(6 a + 23\right)\cdot 31^{12} + \left(6 a + 2\right)\cdot 31^{13} + \left(16 a + 14\right)\cdot 31^{14} + \left(2 a + 12\right)\cdot 31^{15} + \left(12 a + 8\right)\cdot 31^{16} + \left(20 a + 14\right)\cdot 31^{17} + \left(29 a + 17\right)\cdot 31^{18} + \left(28 a + 1\right)\cdot 31^{19} + \left(18 a + 22\right)\cdot 31^{20} + \left(24 a + 1\right)\cdot 31^{21} + \left(11 a + 3\right)\cdot 31^{22} + \left(4 a + 25\right)\cdot 31^{23} + \left(21 a + 24\right)\cdot 31^{24} + \left(2 a + 14\right)\cdot 31^{25} + \left(10 a + 1\right)\cdot 31^{26} + \left(5 a + 26\right)\cdot 31^{27} + \left(21 a + 5\right)\cdot 31^{28} + \left(22 a + 26\right)\cdot 31^{29} + \left(23 a + 29\right)\cdot 31^{30} + \left(10 a + 18\right)\cdot 31^{31} + \left(23 a + 8\right)\cdot 31^{32} + \left(19 a + 16\right)\cdot 31^{33} + \left(21 a + 25\right)\cdot 31^{34} + \left(26 a + 29\right)\cdot 31^{35} + \left(29 a + 13\right)\cdot 31^{36} + \left(20 a + 19\right)\cdot 31^{37} + \left(6 a + 27\right)\cdot 31^{38} + \left(7 a + 11\right)\cdot 31^{39} + \left(24 a + 13\right)\cdot 31^{40} + \left(4 a + 12\right)\cdot 31^{41} + \left(2 a + 11\right)\cdot 31^{42} + \left(21 a + 5\right)\cdot 31^{43} + \left(9 a + 22\right)\cdot 31^{44} + \left(12 a + 25\right)\cdot 31^{45} + \left(6 a + 28\right)\cdot 31^{46} + \left(6 a + 25\right)\cdot 31^{47} + \left(20 a + 19\right)\cdot 31^{48} + 26\cdot 31^{49} + \left(14 a + 11\right)\cdot 31^{50} + \left(7 a + 24\right)\cdot 31^{51} + \left(10 a + 8\right)\cdot 31^{52} + \left(4 a + 6\right)\cdot 31^{53} + \left(9 a + 6\right)\cdot 31^{54} + \left(17 a + 17\right)\cdot 31^{55} + \left(14 a + 23\right)\cdot 31^{56} + 4 a\cdot 31^{57} + \left(7 a + 1\right)\cdot 31^{58} + \left(24 a + 30\right)\cdot 31^{59} + \left(2 a + 3\right)\cdot 31^{60} + \left(7 a + 9\right)\cdot 31^{61} + \left(14 a + 22\right)\cdot 31^{62} + \left(a + 18\right)\cdot 31^{63} + \left(2 a + 22\right)\cdot 31^{64} + \left(5 a + 12\right)\cdot 31^{65} + \left(22 a + 26\right)\cdot 31^{66} + \left(7 a + 2\right)\cdot 31^{67} + \left(29 a + 7\right)\cdot 31^{68} + \left(15 a + 28\right)\cdot 31^{69} + \left(5 a + 7\right)\cdot 31^{70} + \left(8 a + 24\right)\cdot 31^{71} + \left(4 a + 24\right)\cdot 31^{72} + \left(22 a + 4\right)\cdot 31^{73} + \left(3 a + 25\right)\cdot 31^{74} + \left(22 a + 17\right)\cdot 31^{75} + \left(15 a + 6\right)\cdot 31^{76} + \left(10 a + 3\right)\cdot 31^{77} + \left(4 a + 11\right)\cdot 31^{78} + \left(11 a + 14\right)\cdot 31^{79} + \left(8 a + 1\right)\cdot 31^{80} + \left(28 a + 15\right)\cdot 31^{81} + \left(18 a + 23\right)\cdot 31^{82} + \left(a + 28\right)\cdot 31^{83} + \left(11 a + 21\right)\cdot 31^{84} + \left(6 a + 5\right)\cdot 31^{85} + \left(18 a + 24\right)\cdot 31^{86} + 30 a\cdot 31^{87} + \left(21 a + 9\right)\cdot 31^{88} + \left(9 a + 4\right)\cdot 31^{89} + \left(8 a + 17\right)\cdot 31^{90} + \left(24 a + 30\right)\cdot 31^{91} + \left(12 a + 5\right)\cdot 31^{92} + \left(3 a + 29\right)\cdot 31^{93} + \left(11 a + 3\right)\cdot 31^{94} + \left(8 a + 30\right)\cdot 31^{95} + \left(20 a + 14\right)\cdot 31^{96} + \left(14 a + 16\right)\cdot 31^{97} + \left(21 a + 6\right)\cdot 31^{98} + \left(30 a + 1\right)\cdot 31^{99} + \left(9 a + 7\right)\cdot 31^{100} + \left(10 a + 1\right)\cdot 31^{101} + \left(19 a + 11\right)\cdot 31^{102} + \left(25 a + 7\right)\cdot 31^{103} + \left(8 a + 4\right)\cdot 31^{104} +O\left(31^{ 105 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(2,4,5,7)$ |
| $(2,4)$ |
| $(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$12$ |
| $6$ |
$2$ |
$(1,6)(3,8)$ |
$4$ |
| $9$ |
$2$ |
$(1,6)(2,5)(3,8)(4,7)$ |
$-4$ |
| $12$ |
$2$ |
$(2,4)$ |
$-2$ |
| $24$ |
$2$ |
$(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)$ |
$0$ |
| $36$ |
$2$ |
$(1,3)(2,4)$ |
$0$ |
| $36$ |
$2$ |
$(1,6)(2,4)(3,8)$ |
$-2$ |
| $16$ |
$3$ |
$(2,5,7)$ |
$-3$ |
| $64$ |
$3$ |
$(2,5,7)(3,6,8)$ |
$0$ |
| $12$ |
$4$ |
$(1,3,6,8)$ |
$2$ |
| $36$ |
$4$ |
$(1,3,6,8)(2,4,5,7)$ |
$0$ |
| $36$ |
$4$ |
$(1,6)(2,4,5,7)(3,8)$ |
$2$ |
| $72$ |
$4$ |
$(1,5,6,2)(3,7,8,4)$ |
$0$ |
| $72$ |
$4$ |
$(1,3,6,8)(2,4)$ |
$0$ |
| $144$ |
$4$ |
$(1,2,3,4)(5,6)(7,8)$ |
$0$ |
| $48$ |
$6$ |
$(1,6)(2,7,5)(3,8)$ |
$1$ |
| $96$ |
$6$ |
$(2,4)(3,8,6)$ |
$1$ |
| $192$ |
$6$ |
$(1,4)(2,3,5,6,7,8)$ |
$0$ |
| $144$ |
$8$ |
$(1,4,3,5,6,7,8,2)$ |
$0$ |
| $96$ |
$12$ |
$(1,3,6,8)(2,5,7)$ |
$-1$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
