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Properties

Label 12.2e6_107e9.18t218.1c1
Dimension 12
Group $(((C_3 \times (C_3^2 : C_2)) : C_2) : C_3) : C_2$
Conductor $ 2^{6} \cdot 107^{9}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$12$
Group:$(((C_3 \times (C_3^2 : C_2)) : C_2) : C_3) : C_2$
Conductor:$117661389594889888448= 2^{6} \cdot 107^{9} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{9} - x^{8} - 2 x^{7} + x^{6} + 2 x^{5} - x^{4} + 5 x^{3} - 10 x^{2} + 8 x - 4 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: 18T218
Parity: Odd
Determinant: 1.107.2t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 13 }$ to precision 78.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 13 }$: $ x^{3} + 2 x + 11 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 10 a^{2} + 8 a + 2 + \left(11 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13 + \left(4 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{2} + \left(7 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{3} + \left(8 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{4} + \left(11 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{5} + \left(7 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{6} + \left(2 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{7} + \left(11 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{8} + \left(9 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{9} + \left(3 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{10} + \left(a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{11} + \left(6 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{12} + \left(11 a^{2} + a\right)\cdot 13^{13} + \left(3 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{14} + \left(8 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{15} + \left(12 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{16} + \left(9 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{17} + \left(5 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{18} + \left(7 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{19} + \left(10 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{20} + \left(a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{21} + \left(2 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{22} + \left(2 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{23} + \left(2 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{24} + 7 a\cdot 13^{25} + \left(6 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{26} + \left(7 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{27} + \left(5 a + 6\right)\cdot 13^{28} + \left(a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{29} + \left(3 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{30} + \left(7 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{31} + \left(5 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{32} + \left(5 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{33} + \left(5 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{34} + \left(12 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{35} + \left(4 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{36} + \left(11 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{37} + \left(11 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{38} + \left(4 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{39} + \left(12 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{40} + \left(8 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{41} + \left(a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{42} + \left(12 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{43} + \left(a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{44} + \left(7 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{45} + \left(12 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{46} + \left(10 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{47} + \left(8 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{48} + \left(12 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{49} + \left(11 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{50} + \left(2 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{51} + \left(12 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{52} + \left(4 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{53} + \left(2 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{54} + \left(2 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{55} + \left(9 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{56} + \left(2 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{57} + \left(10 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{58} + \left(2 a + 10\right)\cdot 13^{59} + \left(11 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{60} + \left(5 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{61} + \left(11 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{62} + \left(9 a^{2} + a\right)\cdot 13^{63} + \left(5 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{64} + \left(8 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{65} + \left(3 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{66} + \left(6 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{67} + \left(8 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{68} + \left(5 a + 1\right)\cdot 13^{69} + \left(12 a + 9\right)\cdot 13^{70} + \left(7 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{71} + \left(9 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{72} + \left(a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{73} + \left(11 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{74} + \left(12 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{75} + \left(4 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{76} + 2 a^{2}13^{77} +O\left(13^{ 78 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 12 a^{2} + 7 a + 9 + \left(4 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13 + \left(12 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{2} + \left(3 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{3} + \left(5 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{4} + \left(9 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{5} + \left(6 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{6} + \left(5 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{7} + \left(12 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{8} + \left(8 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{9} + \left(12 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{10} + \left(2 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{11} + \left(3 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{12} + \left(8 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{13} + \left(4 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{14} + \left(9 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{15} + \left(6 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{16} + \left(9 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{17} + \left(6 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{18} + \left(9 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{19} + \left(6 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{20} + \left(5 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{21} + \left(12 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{22} + \left(11 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{23} + \left(3 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{24} + \left(a^{2} + 6\right)\cdot 13^{25} + \left(11 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{26} + \left(a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{27} + \left(12 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{28} + \left(5 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{29} + \left(11 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{30} + \left(2 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{31} + \left(5 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{32} + \left(5 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{33} + \left(10 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{34} + \left(7 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{35} + \left(6 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{36} + \left(10 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{37} + \left(10 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{38} + \left(7 a + 1\right)\cdot 13^{39} + \left(10 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{40} + \left(11 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{41} + \left(6 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{42} + \left(12 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{43} + \left(6 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{44} + \left(12 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{45} + \left(2 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{46} + \left(7 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{47} + \left(11 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{48} + \left(11 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{49} + \left(11 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{50} + \left(6 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{51} + \left(10 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{52} + \left(11 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{53} + \left(5 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{54} + \left(8 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{55} + \left(5 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{56} + \left(10 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{57} + \left(9 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{58} + \left(6 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{59} + \left(2 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{60} + \left(3 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{61} + \left(11 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{62} + \left(9 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{63} + \left(6 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{64} + \left(4 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{65} + \left(4 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{66} + \left(10 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{67} + \left(4 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{68} + \left(5 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{69} + \left(11 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{70} + \left(4 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{71} + \left(3 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{72} + \left(5 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{73} + \left(3 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{74} + \left(11 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{75} + \left(6 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{76} + \left(10 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{77} +O\left(13^{ 78 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 3 a^{2} + 6 a + 8 + \left(2 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13 + \left(a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{2} + \left(9 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{3} + \left(10 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{4} + \left(6 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{5} + \left(10 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{6} + \left(10 a + 4\right)\cdot 13^{7} + \left(12 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{8} + \left(3 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{9} + \left(4 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{10} + \left(a + 11\right)\cdot 13^{11} + \left(7 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{12} + \left(a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{13} + \left(12 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{14} + \left(6 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{15} + \left(12 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{16} + \left(10 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{17} + \left(3 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{18} + \left(6 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{19} + \left(2 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{20} + \left(10 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{21} + 3\cdot 13^{22} + \left(12 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{23} + \left(9 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{24} + \left(11 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{25} + \left(a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{26} + \left(a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{27} + \left(6 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{28} + \left(12 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{29} + \left(9 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{30} + \left(5 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{31} + \left(7 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{32} + \left(8 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{33} + \left(3 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{34} + \left(10 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{35} + \left(4 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{36} + \left(10 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{37} + \left(a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{38} + \left(2 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{39} + \left(9 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{40} + \left(7 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{41} + \left(3 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{42} + \left(4 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{43} + \left(8 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{44} + \left(10 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{45} + \left(5 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{46} + \left(11 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{47} + \left(9 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{48} + \left(8 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{49} + 7 a\cdot 13^{50} + \left(3 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{51} + \left(2 a + 9\right)\cdot 13^{52} + \left(10 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{53} + \left(a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{54} + \left(3 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{55} + \left(9 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{56} + \left(8 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{57} + \left(9 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{58} + \left(10 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{59} + \left(3 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{60} + \left(4 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{61} + \left(7 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{62} + \left(8 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{63} + \left(4 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{64} + \left(9 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{65} + \left(12 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{66} + \left(2 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{67} + \left(7 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{68} + \left(3 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{69} + \left(12 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{70} + \left(9 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{71} + 6\cdot 13^{72} + \left(a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{73} + \left(5 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{74} + \left(5 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{75} + \left(7 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{76} + \left(10 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{77} +O\left(13^{ 78 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 4 a^{2} + 7 a + 5 + \left(4 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13 + \left(7 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{2} + \left(4 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{3} + \left(a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{4} + \left(4 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{5} + \left(2 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{6} + \left(3 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{7} + \left(6 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{8} + \left(9 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{9} + \left(11 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{10} + \left(11 a + 7\right)\cdot 13^{11} + \left(7 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{12} + \left(11 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{13} + \left(6 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{14} + \left(10 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{15} + \left(2 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{16} + \left(12 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{17} + \left(10 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{18} + \left(10 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{19} + \left(5 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{20} + \left(7 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{21} + \left(8 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{22} + \left(7 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{23} + \left(3 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{24} + \left(a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{25} + \left(2 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{26} + \left(7 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{27} + \left(12 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{28} + \left(7 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{29} + \left(7 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{30} + \left(4 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{31} + \left(12 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{32} + \left(6 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{33} + 13^{34} + \left(3 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{35} + \left(6 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{36} + \left(3 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{37} + \left(4 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{38} + \left(8 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{39} + \left(12 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{40} + \left(5 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{41} + \left(8 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{42} + \left(2 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{43} + \left(11 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{44} + \left(4 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{45} + \left(5 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{46} + \left(7 a + 12\right)\cdot 13^{47} + \left(5 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{48} + \left(2 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{49} + \left(6 a + 4\right)\cdot 13^{50} + \left(4 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{51} + \left(7 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{52} + \left(6 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{53} + \left(11 a + 8\right)\cdot 13^{54} + \left(6 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{55} + \left(8 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{56} + \left(12 a + 8\right)\cdot 13^{57} + \left(9 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{58} + \left(4 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{59} + \left(12 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{60} + \left(3 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{61} + \left(8 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{62} + \left(8 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{63} + \left(2 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{64} + \left(2 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{65} + \left(5 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{66} + \left(6 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{67} + \left(a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{68} + \left(8 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{69} + \left(7 a + 2\right)\cdot 13^{70} + \left(4 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{71} + \left(a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{72} + \left(a + 3\right)\cdot 13^{73} + \left(12 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{74} + \left(a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{75} + \left(8 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{76} + \left(4 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{77} +O\left(13^{ 78 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 6 a^{2} + 12 + \left(6 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13 + \left(4 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{2} + \left(12 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{3} + \left(10 a + 7\right)\cdot 13^{4} + \left(2 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{5} + \left(7 a + 12\right)\cdot 13^{6} + \left(9 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{7} + \left(7 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{8} + \left(12 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{9} + \left(9 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{10} + \left(11 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{11} + \left(11 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{12} + \left(12 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{13} + \left(6 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{14} + \left(8 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{15} + \left(10 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{16} + \left(2 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{17} + \left(11 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{18} + \left(8 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{19} + \left(4 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{20} + \left(8 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{21} + \left(3 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{22} + \left(6 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{23} + \left(12 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{24} + \left(12 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{25} + \left(8 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{26} + \left(4 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{27} + \left(7 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{28} + \left(5 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{29} + \left(8 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{30} + \left(2 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{31} + \left(6 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{32} + \left(10 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{33} + \left(8 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{34} + \left(12 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{35} + \left(a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{36} + \left(12 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{37} + \left(6 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{38} + \left(2 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{39} + \left(4 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{40} + \left(12 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{41} + \left(9 a + 5\right)\cdot 13^{42} + \left(6 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{43} + \left(6 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{44} + \left(10 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{45} + \left(a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{46} + \left(a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{47} + \left(11 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{48} + \left(a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{49} + \left(12 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{50} + \left(5 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{51} + \left(5 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{52} + \left(9 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{53} + \left(10 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{54} + \left(3 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{55} + \left(8 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{56} + \left(3 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{57} + \left(7 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{58} + \left(10 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{59} + \left(9 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{60} + \left(4 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{61} + \left(10 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{62} + \left(8 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{63} + \left(5 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{64} + \left(a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{65} + \left(8 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{66} + \left(3 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{67} + \left(4 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{68} + \left(a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{69} + \left(8 a + 5\right)\cdot 13^{70} + \left(12 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{71} + \left(10 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{72} + \left(11 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{73} + \left(8 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{74} + \left(5 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{75} + \left(10 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{76} + \left(10 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{77} +O\left(13^{ 78 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 8 a^{2} + 12 a + 1 + \left(9 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13 + \left(10 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{2} + \left(7 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{3} + \left(2 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{4} + \left(8 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{5} + \left(5 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{6} + \left(a^{2} + 12\right)\cdot 13^{7} + \left(8 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{8} + \left(a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{9} + \left(8 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{10} + \left(2 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{11} + \left(9 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{12} + \left(10 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{13} + \left(4 a + 11\right)\cdot 13^{14} + \left(2 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{15} + \left(8 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{16} + \left(3 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{17} + \left(8 a + 3\right)\cdot 13^{18} + \left(2 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{19} + \left(3 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{20} + \left(2 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{21} + \left(11 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{22} + \left(10 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{23} + \left(4 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{24} + \left(8 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{25} + \left(6 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{26} + \left(7 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{27} + \left(7 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{28} + \left(4 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{29} + \left(5 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{30} + \left(10 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{31} + \left(9 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{32} + \left(2 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{33} + \left(12 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{34} + \left(7 a + 2\right)\cdot 13^{35} + \left(8 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{36} + \left(9 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{37} + \left(a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{38} + \left(10 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{39} + \left(6 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{40} + \left(5 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{41} + \left(2 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{42} + \left(9 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{43} + \left(12 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{44} + \left(11 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{45} + \left(12 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{46} + \left(5 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{47} + \left(12 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{48} + \left(3 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{49} + a\cdot 13^{50} + \left(11 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{51} + \left(5 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{52} + \left(2 a + 10\right)\cdot 13^{53} + \left(8 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{54} + 3\cdot 13^{55} + \left(5 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{56} + \left(12 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{57} + \left(3 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{58} + \left(a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{59} + \left(2 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{60} + \left(8 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{61} + \left(5 a + 10\right)\cdot 13^{62} + \left(3 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{63} + \left(12 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{64} + 6 a^{2}13^{65} + \left(4 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{66} + \left(5 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{67} + \left(7 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{68} + \left(6 a + 12\right)\cdot 13^{69} + \left(12 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{70} + \left(11 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{71} + \left(5 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{72} + \left(5 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{73} + \left(11 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{74} + \left(10 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{75} + \left(a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{76} + \left(3 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{77} +O\left(13^{ 78 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 4 a^{2} + 11 a + 7 + \left(9 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13 + \left(8 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{2} + \left(a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{3} + \left(12 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{4} + \left(4 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{5} + \left(11 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{6} + \left(4 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{7} + \left(2 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{8} + \left(7 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{9} + \left(9 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{10} + \left(8 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{11} + \left(3 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{12} + \left(6 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{13} + \left(4 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{14} + \left(8 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{15} + \left(6 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{16} + \left(6 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{17} + \left(a + 5\right)\cdot 13^{18} + \left(9 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{19} + \left(8 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{20} + \left(5 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{21} + \left(11 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{22} + \left(11 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{23} + \left(6 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{24} + \left(11 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{25} + \left(8 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{26} + \left(3 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{27} + \left(2 a + 6\right)\cdot 13^{28} + \left(6 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{29} + \left(11 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{30} + \left(2 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{31} + \left(2 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{32} + \left(2 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{33} + \left(10 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{34} + \left(5 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{35} + \left(a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{36} + \left(4 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{37} + \left(3 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{38} + \left(7 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{39} + \left(3 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{40} + \left(5 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{41} + \left(4 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{42} + \left(a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{43} + \left(4 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{44} + \left(6 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{45} + \left(10 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{46} + \left(7 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{47} + \left(5 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{48} + \left(a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{49} + \left(2 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{50} + \left(3 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{51} + \left(3 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{52} + \left(9 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{53} + \left(4 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{54} + \left(2 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{55} + \left(11 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{56} + \left(12 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{57} + \left(5 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{58} + \left(5 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{59} + \left(12 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{60} + \left(3 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{61} + \left(3 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{62} + \left(6 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{63} + \left(6 a + 2\right)\cdot 13^{64} + \left(10 a + 7\right)\cdot 13^{65} + \left(5 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{66} + \left(9 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{67} + \left(12 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{68} + \left(6 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{69} + \left(a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{70} + \left(a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{71} + \left(9 a + 10\right)\cdot 13^{72} + \left(6 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{73} + \left(11 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{74} + \left(a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{75} + \left(a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{76} + \left(a + 1\right)\cdot 13^{77} +O\left(13^{ 78 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 9 a^{2} + 11 a + 11 + \left(4 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13 + \left(11 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{2} + \left(11 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{3} + \left(5 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{4} + \left(6 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{5} + \left(11 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{6} + \left(5 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{7} + \left(3 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{8} + \left(8 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{9} + \left(a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{10} + \left(10 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{11} + \left(3 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{12} + \left(a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{13} + \left(9 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{14} + \left(7 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{15} + \left(3 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{16} + \left(4 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{17} + \left(3 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{18} + \left(2 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{19} + \left(4 a + 3\right)\cdot 13^{20} + \left(2 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{21} + \left(12 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{22} + 9\cdot 13^{23} + \left(10 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{24} + \left(9 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{25} + \left(a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{26} + \left(9 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{27} + \left(5 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{28} + \left(10 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{29} + \left(3 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{30} + \left(6 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{31} + \left(4 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{32} + \left(6 a + 6\right)\cdot 13^{33} + \left(12 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{34} + \left(7 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{35} + \left(3 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{36} + \left(7 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{37} + \left(10 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{38} + \left(6 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{39} + \left(a^{2} + 10\right)\cdot 13^{40} + \left(2 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{41} + \left(4 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{42} + \left(3 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{43} + \left(a^{2} + 6\right)\cdot 13^{44} + \left(6 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{45} + \left(6 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{46} + \left(9 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{47} + \left(3 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{48} + \left(12 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{49} + \left(9 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{50} + \left(12 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{51} + \left(5 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{52} + \left(6 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{53} + \left(7 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{54} + \left(10 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{55} + \left(7 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{56} + \left(10 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{57} + \left(10 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{58} + \left(a + 10\right)\cdot 13^{59} + \left(4 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{60} + \left(2 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{61} + \left(11 a + 6\right)\cdot 13^{62} + \left(12 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{63} + \left(5 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{64} + \left(5 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{65} + \left(9 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{66} + \left(7 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{67} + \left(7 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{68} + \left(6 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{69} + \left(5 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{70} + \left(4 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{71} + \left(7 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{72} + \left(8 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{73} + \left(2 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{74} + \left(6 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{75} + \left(11 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{76} + \left(a + 6\right)\cdot 13^{77} +O\left(13^{ 78 }\right)$
$r_{ 9 }$ $=$ $ 9 a^{2} + 3 a + 11 + \left(11 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13 + \left(3 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{2} + \left(6 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{3} + \left(4 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{4} + \left(11 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{5} + \left(8 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{6} + \left(5 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{7} + \left(a^{2} + 11\right)\cdot 13^{8} + \left(3 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{9} + \left(3 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{10} + \left(12 a + 2\right)\cdot 13^{11} + 3\cdot 13^{12} + \left(a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{13} + \left(3 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{14} + \left(3 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{15} + \left(a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{16} + \left(5 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{17} + \left(9 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{18} + \left(8 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{19} + \left(9 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{20} + \left(8 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{21} + \left(2 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{22} + \left(a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{23} + \left(11 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{24} + \left(7 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{25} + \left(4 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{26} + \left(9 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{27} + \left(12 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{28} + \left(10 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{29} + \left(3 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{30} + \left(9 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{31} + \left(11 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{32} + \left(9 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{33} + \left(a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{34} + \left(4 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{35} + \left(a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{36} + \left(9 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{37} + \left(6 a + 1\right)\cdot 13^{38} + \left(9 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{39} + \left(4 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{40} + \left(5 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{41} + \left(6 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{42} + \left(4 a + 2\right)\cdot 13^{43} + \left(12 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{44} + \left(7 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{45} + \left(6 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{46} + \left(10 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{47} + \left(9 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{48} + \left(9 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{49} + \left(2 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{50} + \left(2 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{51} + \left(a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{52} + \left(6 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{53} + \left(10 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{54} + \left(a^{2} + 9\right)\cdot 13^{55} + \left(4 a + 6\right)\cdot 13^{56} + \left(3 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{57} + \left(11 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{58} + \left(10 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{59} + \left(6 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{60} + \left(2 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{61} + \left(12 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{62} + \left(10 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{63} + \left(7 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{64} + \left(12 a + 9\right)\cdot 13^{65} + \left(12 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{66} + \left(12 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{67} + \left(10 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{68} + \left(5 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{69} + \left(8 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{70} + \left(9 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{71} + \left(12 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{72} + \left(11 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{73} + \left(11 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{74} + \left(8 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{75} + 12 a^{2}13^{76} + \left(8 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{77} +O\left(13^{ 78 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 9 }$

Cycle notation
$(1,2,3,5)(6,9)$
$(1,4,2)(3,7,5)(6,9,8)$
$(2,5,6)$
$(1,3,9)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 9 }$ Character value
$1$$1$$()$$12$
$27$$2$$(1,3)(4,7)$$0$
$54$$2$$(1,2)(3,5)(4,7)(6,9)$$2$
$6$$3$$(4,8,7)$$0$
$8$$3$$(1,3,9)(2,5,6)(4,7,8)$$3$
$12$$3$$(1,9,3)(4,8,7)$$-3$
$72$$3$$(1,4,2)(3,7,5)(6,9,8)$$0$
$54$$4$$(1,4,3,7)(8,9)$$0$
$54$$6$$(1,3)(2,5)(4,7,8)$$0$
$108$$6$$(1,4,9,8,3,7)(2,5)$$-1$
$72$$9$$(1,4,5,3,7,6,9,8,2)$$0$
$72$$9$$(1,4,6,9,8,5,3,7,2)$$0$
$54$$12$$(1,2,3,5)(4,8,7)(6,9)$$0$
$54$$12$$(1,2,3,5)(4,7,8)(6,9)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.