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Properties

Label 12.2e36_23e10.24t1504.1c1
Dimension 12
Group $(A_4\wr C_2):C_2$
Conductor $ 2^{36} \cdot 23^{10}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$12$
Group:$(A_4\wr C_2):C_2$
Conductor:$2846808173599995581169664= 2^{36} \cdot 23^{10} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} - 4 x^{7} + 8 x^{6} - 4 x^{5} - 8 x^{4} + 12 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x - 1 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: 24T1504
Parity: Even
Determinant: 1.1.1t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 17 }$ to precision 86.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 17 }$: $ x^{3} + x + 14 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 6 a^{2} + a + 3 + \left(13 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 17 + \left(8 a^{2} + 12 a\right)\cdot 17^{2} + \left(8 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 17^{3} + \left(8 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 17^{4} + \left(a + 4\right)\cdot 17^{5} + \left(11 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 17^{6} + \left(7 a^{2} + 3\right)\cdot 17^{7} + \left(15 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 17^{8} + \left(12 a^{2} + a + 14\right)\cdot 17^{9} + \left(12 a^{2} + 6\right)\cdot 17^{10} + \left(14 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 17^{11} + \left(9 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 17^{12} + \left(13 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 17^{13} + \left(a^{2} + a + 14\right)\cdot 17^{14} + \left(6 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 17^{15} + \left(a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 17^{16} + \left(6 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 17^{17} + \left(12 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 17^{18} + \left(5 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 17^{19} + \left(a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 17^{20} + \left(8 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 17^{21} + \left(11 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 17^{22} + \left(5 a + 2\right)\cdot 17^{23} + \left(9 a^{2} + 2\right)\cdot 17^{24} + \left(2 a + 5\right)\cdot 17^{25} + \left(13 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 17^{26} + \left(8 a + 14\right)\cdot 17^{27} + \left(8 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 17^{28} + \left(11 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 17^{29} + \left(12 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 17^{30} + \left(8 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 17^{31} + \left(16 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 17^{32} + \left(16 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 17^{33} + \left(11 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 17^{34} + \left(16 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 17^{35} + \left(2 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 17^{36} + \left(16 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 17^{37} + \left(14 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 17^{38} + \left(a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 17^{39} + \left(7 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 17^{40} + \left(10 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 17^{41} + \left(11 a^{2} + 4 a\right)\cdot 17^{42} + \left(13 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 17^{43} + \left(8 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 17^{44} + \left(10 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 17^{45} + \left(12 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 17^{46} + \left(a + 2\right)\cdot 17^{47} + \left(7 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 17^{48} + \left(7 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 17^{49} + \left(12 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 17^{50} + \left(3 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 17^{51} + \left(5 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 17^{52} + \left(15 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 17^{53} + \left(5 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 17^{54} + \left(16 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 17^{55} + \left(8 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 17^{56} + \left(12 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 17^{57} + \left(14 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 17^{58} + \left(3 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 17^{59} + \left(11 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 17^{60} + \left(8 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 17^{61} + \left(14 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 17^{62} + \left(5 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 17^{63} + \left(2 a^{2} + 2 a\right)\cdot 17^{64} + \left(16 a + 15\right)\cdot 17^{65} + \left(9 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 17^{66} + \left(5 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 17^{67} + \left(14 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 17^{68} + \left(12 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 17^{69} + \left(15 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 17^{70} + \left(3 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 17^{71} + \left(10 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 17^{72} + \left(16 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 17^{73} + \left(12 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 17^{74} + \left(5 a + 14\right)\cdot 17^{75} + \left(6 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 17^{76} + \left(8 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 17^{77} + \left(7 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 17^{78} + \left(14 a^{2} + a + 10\right)\cdot 17^{79} + \left(15 a + 3\right)\cdot 17^{80} + \left(4 a^{2} + 3\right)\cdot 17^{81} + \left(12 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 17^{82} + \left(8 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 17^{83} + \left(12 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 17^{84} + \left(6 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 17^{85} +O\left(17^{ 86 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 16 a^{2} + 16 a + 4 + \left(13 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 17 + \left(9 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 17^{2} + \left(a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 17^{3} + \left(7 a^{2} + 13\right)\cdot 17^{4} + \left(5 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 17^{5} + \left(8 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 17^{6} + \left(7 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 17^{7} + \left(8 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 17^{8} + \left(15 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 17^{9} + \left(3 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 17^{10} + \left(2 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 17^{11} + \left(10 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 17^{12} + \left(13 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 17^{13} + \left(4 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 17^{14} + \left(3 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 17^{15} + \left(13 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 17^{16} + \left(5 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 17^{17} + \left(14 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 17^{18} + \left(7 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 17^{19} + \left(7 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 17^{20} + \left(4 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 17^{21} + \left(11 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 17^{22} + \left(6 a^{2} + 10 a\right)\cdot 17^{23} + \left(6 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 17^{24} + \left(14 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 17^{25} + \left(14 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 17^{26} + \left(11 a^{2} + 16\right)\cdot 17^{27} + \left(15 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 17^{28} + \left(8 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 17^{29} + \left(3 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 17^{30} + \left(13 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 17^{31} + \left(4 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 17^{32} + \left(7 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 17^{33} + \left(16 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 17^{34} + \left(7 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 17^{35} + \left(9 a^{2} + 12 a\right)\cdot 17^{36} + \left(14 a^{2} + 5 a\right)\cdot 17^{37} + \left(14 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 17^{38} + \left(8 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 17^{39} + \left(12 a^{2} + 7 a\right)\cdot 17^{40} + \left(5 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 17^{41} + \left(8 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 17^{42} + \left(11 a + 1\right)\cdot 17^{43} + \left(6 a^{2} + a + 13\right)\cdot 17^{44} + \left(14 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 17^{45} + \left(a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 17^{46} + \left(14 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 17^{47} + \left(16 a^{2} + 15\right)\cdot 17^{48} + \left(4 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 17^{49} + \left(6 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 17^{50} + \left(15 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 17^{51} + \left(15 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 17^{52} + \left(9 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 17^{53} + \left(14 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 17^{54} + \left(12 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 17^{55} + 11 a\cdot 17^{56} + \left(6 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 17^{57} + \left(7 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 17^{58} + \left(11 a^{2} + a + 8\right)\cdot 17^{59} + \left(5 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 17^{60} + \left(6 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 17^{61} + \left(2 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 17^{62} + \left(15 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 17^{63} + \left(16 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 17^{64} + \left(5 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 17^{65} + \left(3 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 17^{66} + \left(8 a^{2} + 13 a\right)\cdot 17^{67} + \left(12 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 17^{68} + \left(8 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 17^{69} + \left(a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 17^{70} + \left(7 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 17^{71} + \left(3 a^{2} + a + 4\right)\cdot 17^{72} + \left(16 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 17^{73} + \left(16 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 17^{74} + \left(11 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 17^{75} + \left(11 a + 5\right)\cdot 17^{76} + \left(14 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 17^{77} + \left(13 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 17^{78} + \left(15 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 17^{79} + \left(12 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 17^{80} + \left(11 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 17^{81} + \left(14 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 17^{82} + \left(15 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 17^{83} + \left(10 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 17^{84} + \left(10 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 17^{85} +O\left(17^{ 86 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 12 a^{2} + 7 a + 15 + \left(6 a^{2} + 16 a\right)\cdot 17 + \left(2 a^{2} + 13 a\right)\cdot 17^{2} + \left(2 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 17^{3} + \left(15 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 17^{4} + \left(6 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 17^{5} + \left(12 a + 12\right)\cdot 17^{6} + \left(4 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 17^{7} + \left(6 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 17^{8} + \left(3 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 17^{9} + \left(6 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 17^{10} + \left(5 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 17^{11} + \left(15 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 17^{12} + \left(16 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 17^{13} + \left(5 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 17^{14} + \left(8 a + 16\right)\cdot 17^{15} + \left(13 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 17^{16} + \left(11 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 17^{17} + \left(9 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 17^{18} + \left(16 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 17^{19} + \left(3 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 17^{20} + \left(5 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 17^{21} + \left(16 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 17^{22} + \left(6 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 17^{23} + \left(12 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 17^{24} + \left(15 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 17^{25} + \left(4 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 17^{26} + \left(6 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 17^{27} + \left(2 a^{2} + 14\right)\cdot 17^{28} + \left(3 a + 3\right)\cdot 17^{29} + \left(12 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 17^{30} + \left(14 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 17^{31} + \left(2 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 17^{32} + \left(16 a + 16\right)\cdot 17^{33} + \left(10 a^{2} + 1\right)\cdot 17^{34} + \left(16 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 17^{35} + \left(6 a^{2} + 3\right)\cdot 17^{36} + \left(8 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 17^{37} + \left(16 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 17^{38} + \left(2 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 17^{39} + \left(13 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 17^{40} + \left(13 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 17^{41} + \left(11 a^{2} + 3\right)\cdot 17^{42} + \left(14 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 17^{43} + \left(7 a^{2} + a + 8\right)\cdot 17^{44} + \left(7 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 17^{45} + \left(8 a + 2\right)\cdot 17^{46} + \left(3 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 17^{47} + \left(8 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 17^{48} + \left(9 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 17^{49} + \left(a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 17^{50} + \left(5 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 17^{51} + \left(8 a + 12\right)\cdot 17^{52} + \left(9 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 17^{53} + \left(13 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 17^{54} + \left(14 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 17^{55} + \left(7 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 17^{56} + \left(2 a^{2} + 14 a\right)\cdot 17^{57} + \left(10 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 17^{58} + \left(9 a^{2} + 7\right)\cdot 17^{59} + \left(6 a^{2} + 6\right)\cdot 17^{60} + \left(7 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 17^{61} + \left(3 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 17^{62} + \left(9 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 17^{63} + \left(16 a^{2} + 4\right)\cdot 17^{64} + \left(2 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 17^{65} + \left(12 a + 1\right)\cdot 17^{66} + \left(7 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 17^{67} + \left(12 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 17^{68} + \left(10 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 17^{69} + \left(10 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 17^{70} + \left(3 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 17^{71} + \left(9 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 17^{72} + \left(2 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 17^{73} + \left(2 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 17^{74} + \left(15 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 17^{75} + \left(3 a + 9\right)\cdot 17^{76} + \left(9 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 17^{77} + \left(3 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 17^{78} + \left(15 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 17^{79} + \left(15 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 17^{80} + \left(7 a^{2} + a + 7\right)\cdot 17^{81} + \left(8 a + 14\right)\cdot 17^{82} + \left(13 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 17^{83} + \left(12 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 17^{84} + \left(15 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 17^{85} +O\left(17^{ 86 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 5 + 3\cdot 17 + 5\cdot 17^{3} + 6\cdot 17^{4} + 4\cdot 17^{5} + 3\cdot 17^{6} + 5\cdot 17^{7} + 17^{8} + 5\cdot 17^{10} + 16\cdot 17^{11} + 3\cdot 17^{12} + 12\cdot 17^{14} + 4\cdot 17^{15} + 3\cdot 17^{16} + 4\cdot 17^{17} + 13\cdot 17^{18} + 7\cdot 17^{19} + 4\cdot 17^{20} + 7\cdot 17^{21} + 16\cdot 17^{22} + 10\cdot 17^{23} + 11\cdot 17^{24} + 2\cdot 17^{25} + 9\cdot 17^{26} + 8\cdot 17^{27} + 2\cdot 17^{28} + 2\cdot 17^{29} + 15\cdot 17^{30} + 8\cdot 17^{31} + 16\cdot 17^{32} + 12\cdot 17^{33} + 11\cdot 17^{34} + 12\cdot 17^{35} + 17^{36} + 12\cdot 17^{37} + 3\cdot 17^{38} + 15\cdot 17^{39} + 5\cdot 17^{40} + 17^{41} + 4\cdot 17^{42} + 12\cdot 17^{43} + 6\cdot 17^{44} + 10\cdot 17^{45} + 16\cdot 17^{46} + 9\cdot 17^{47} + 3\cdot 17^{48} + 17^{49} + 4\cdot 17^{50} + 5\cdot 17^{51} + 9\cdot 17^{52} + 8\cdot 17^{53} + 14\cdot 17^{54} + 16\cdot 17^{56} + 8\cdot 17^{57} + 2\cdot 17^{58} + 15\cdot 17^{59} + 15\cdot 17^{60} + 7\cdot 17^{62} + 8\cdot 17^{63} + 4\cdot 17^{64} + 6\cdot 17^{65} + 16\cdot 17^{66} + 15\cdot 17^{67} + 11\cdot 17^{68} + 13\cdot 17^{69} + 12\cdot 17^{70} + 13\cdot 17^{71} + 10\cdot 17^{72} + 9\cdot 17^{73} + 9\cdot 17^{74} + 8\cdot 17^{75} + 17^{76} + 4\cdot 17^{77} + 3\cdot 17^{78} + 14\cdot 17^{79} + 7\cdot 17^{80} + 15\cdot 17^{81} + 13\cdot 17^{82} + 17^{83} + 13\cdot 17^{84} + 9\cdot 17^{85} +O\left(17^{ 86 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 15 + 10\cdot 17 + 4\cdot 17^{2} + 12\cdot 17^{3} + 15\cdot 17^{4} + 11\cdot 17^{5} + 13\cdot 17^{6} + 7\cdot 17^{7} + 6\cdot 17^{8} + 16\cdot 17^{9} + 11\cdot 17^{10} + 11\cdot 17^{11} + 17^{12} + 7\cdot 17^{13} + 2\cdot 17^{15} + 5\cdot 17^{16} + 15\cdot 17^{17} + 10\cdot 17^{18} + 3\cdot 17^{19} + 16\cdot 17^{20} + 8\cdot 17^{21} + 12\cdot 17^{22} + 13\cdot 17^{23} + 4\cdot 17^{24} + 11\cdot 17^{26} + 2\cdot 17^{27} + 13\cdot 17^{28} + 5\cdot 17^{29} + 12\cdot 17^{30} + 14\cdot 17^{31} + 6\cdot 17^{32} + 2\cdot 17^{33} + 14\cdot 17^{34} + 5\cdot 17^{35} + 3\cdot 17^{36} + 10\cdot 17^{37} + 2\cdot 17^{38} + 3\cdot 17^{39} + 10\cdot 17^{40} + 16\cdot 17^{41} + 12\cdot 17^{42} + 13\cdot 17^{43} + 7\cdot 17^{44} + 16\cdot 17^{45} + 8\cdot 17^{46} + 13\cdot 17^{47} + 4\cdot 17^{48} + 4\cdot 17^{49} + 17^{50} + 3\cdot 17^{51} + 15\cdot 17^{52} + 16\cdot 17^{53} + 3\cdot 17^{54} + 17^{55} + 8\cdot 17^{56} + 4\cdot 17^{57} + 8\cdot 17^{58} + 14\cdot 17^{59} + 10\cdot 17^{60} + 8\cdot 17^{61} + 17^{62} + 5\cdot 17^{63} + 2\cdot 17^{64} + 12\cdot 17^{65} + 12\cdot 17^{66} + 11\cdot 17^{67} + 8\cdot 17^{68} + 16\cdot 17^{69} + 11\cdot 17^{70} + 7\cdot 17^{71} + 8\cdot 17^{72} + 12\cdot 17^{73} + 12\cdot 17^{75} + 7\cdot 17^{76} + 15\cdot 17^{77} + 17^{78} + 7\cdot 17^{80} + 10\cdot 17^{81} + 8\cdot 17^{82} + 8\cdot 17^{83} + 16\cdot 17^{84} + 10\cdot 17^{85} +O\left(17^{ 86 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 12 a^{2} + 7 + \left(6 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 17 + \left(15 a^{2} + 10\right)\cdot 17^{2} + \left(6 a^{2} + 8\right)\cdot 17^{3} + \left(a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 17^{4} + \left(11 a^{2} + 4 a\right)\cdot 17^{5} + \left(14 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 17^{6} + \left(a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 17^{7} + \left(10 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 17^{8} + \left(5 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 17^{9} + \left(4 a + 15\right)\cdot 17^{10} + \left(8 a + 5\right)\cdot 17^{11} + \left(14 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 17^{12} + \left(6 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 17^{13} + \left(10 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 17^{14} + \left(7 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 17^{15} + \left(2 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 17^{16} + \left(5 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 17^{17} + \left(7 a^{2} + 11\right)\cdot 17^{18} + \left(3 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 17^{19} + \left(8 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 17^{20} + \left(4 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 17^{21} + \left(11 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 17^{22} + \left(9 a^{2} + a + 2\right)\cdot 17^{23} + \left(a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 17^{24} + \left(2 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 17^{25} + \left(6 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 17^{26} + \left(4 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 17^{27} + \left(10 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 17^{28} + \left(13 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 17^{29} + \left(12 a + 1\right)\cdot 17^{30} + \left(12 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 17^{31} + \left(12 a^{2} + a + 14\right)\cdot 17^{32} + \left(9 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 17^{33} + \left(5 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 17^{34} + \left(9 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 17^{35} + \left(4 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 17^{36} + \left(3 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 17^{37} + \left(4 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 17^{38} + \left(6 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 17^{39} + \left(14 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 17^{40} + \left(6 a + 11\right)\cdot 17^{41} + \left(14 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 17^{42} + \left(2 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 17^{43} + \left(2 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 17^{44} + \left(9 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 17^{45} + \left(2 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 17^{46} + \left(2 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 17^{47} + \left(10 a^{2} + a + 5\right)\cdot 17^{48} + \left(4 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 17^{49} + \left(15 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 17^{50} + \left(14 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 17^{51} + \left(12 a^{2} + a + 16\right)\cdot 17^{52} + \left(8 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 17^{53} + \left(13 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 17^{54} + \left(4 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 17^{55} + \left(7 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 17^{56} + \left(15 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 17^{57} + \left(11 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 17^{58} + \left(a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 17^{59} + 6 a\cdot 17^{60} + \left(2 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 17^{61} + 9\cdot 17^{62} + \left(13 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 17^{63} + \left(14 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 17^{64} + \left(10 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 17^{65} + \left(4 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 17^{66} + \left(3 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 17^{67} + \left(7 a^{2} + 6\right)\cdot 17^{68} + \left(12 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 17^{69} + \left(16 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 17^{70} + \left(5 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 17^{71} + \left(3 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 17^{72} + \left(a^{2} + a + 8\right)\cdot 17^{73} + \left(4 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 17^{74} + \left(4 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 17^{75} + \left(10 a^{2} + 11\right)\cdot 17^{76} + 11 a^{2}17^{77} + \left(12 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 17^{78} + \left(3 a^{2} + 14\right)\cdot 17^{79} + \left(3 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 17^{80} + \left(a^{2} + 12\right)\cdot 17^{81} + \left(7 a^{2} + 5\right)\cdot 17^{82} + \left(9 a^{2} + 11\right)\cdot 17^{83} + \left(10 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 17^{84} + \left(16 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 17^{85} +O\left(17^{ 86 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 12 a^{2} + 16 a + 15 + \left(2 a + 13\right)\cdot 17 + \left(4 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 17^{2} + \left(a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 17^{3} + \left(10 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 17^{4} + \left(4 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 17^{5} + \left(13 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 17^{6} + \left(a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 17^{7} + \left(9 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 17^{8} + \left(7 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 17^{9} + \left(16 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 17^{10} + \left(9 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 17^{11} + 5\cdot 17^{12} + \left(7 a^{2} + 2\right)\cdot 17^{13} + \left(16 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 17^{14} + \left(15 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 17^{15} + \left(12 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 17^{16} + \left(9 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 17^{17} + \left(13 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 17^{18} + \left(5 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 17^{19} + \left(15 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 17^{20} + \left(14 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 17^{21} + \left(16 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 17^{22} + \left(7 a^{2} + 11 a\right)\cdot 17^{23} + \left(13 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 17^{24} + \left(5 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 17^{25} + \left(3 a^{2} + a + 4\right)\cdot 17^{26} + \left(4 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 17^{27} + 16 a^{2}17^{28} + \left(12 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 17^{29} + \left(8 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 17^{30} + \left(6 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 17^{31} + \left(14 a^{2} + 1\right)\cdot 17^{32} + \left(3 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 17^{33} + \left(9 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 17^{34} + \left(5 a^{2} + 1\right)\cdot 17^{35} + \left(14 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 17^{36} + \left(2 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 17^{37} + \left(a + 10\right)\cdot 17^{38} + \left(5 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 17^{39} + \left(9 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 17^{40} + \left(a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 17^{41} + \left(4 a^{2} + a + 4\right)\cdot 17^{42} + \left(9 a^{2} + a + 7\right)\cdot 17^{43} + \left(11 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 17^{44} + \left(13 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 17^{45} + \left(11 a + 8\right)\cdot 17^{46} + \left(9 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 17^{47} + \left(14 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 17^{48} + \left(7 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 17^{49} + \left(14 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 17^{50} + \left(11 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 17^{51} + \left(10 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 17^{52} + \left(13 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 17^{53} + \left(14 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 17^{54} + \left(6 a + 11\right)\cdot 17^{55} + \left(3 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 17^{56} + \left(12 a^{2} + a + 6\right)\cdot 17^{57} + \left(15 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 17^{58} + \left(15 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 17^{59} + \left(5 a^{2} + 16 a\right)\cdot 17^{60} + \left(9 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 17^{61} + \left(8 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 17^{62} + \left(6 a^{2} + a + 13\right)\cdot 17^{63} + \left(12 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 17^{64} + \left(15 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 17^{65} + \left(16 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 17^{66} + \left(13 a + 13\right)\cdot 17^{67} + \left(16 a^{2} + 7\right)\cdot 17^{68} + \left(2 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 17^{69} + \left(2 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 17^{70} + \left(7 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 17^{71} + \left(13 a^{2} + 11\right)\cdot 17^{72} + \left(5 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 17^{73} + \left(12 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 17^{74} + \left(12 a + 13\right)\cdot 17^{75} + \left(16 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 17^{76} + \left(2 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 17^{77} + \left(16 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 17^{78} + \left(15 a^{2} + 4\right)\cdot 17^{79} + \left(7 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 17^{80} + \left(3 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 17^{81} + \left(11 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 17^{82} + \left(6 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 17^{83} + \left(13 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 17^{84} + \left(8 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 17^{85} +O\left(17^{ 86 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 10 a^{2} + 11 a + 8 + \left(9 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 17 + \left(10 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 17^{2} + \left(13 a^{2} + a + 16\right)\cdot 17^{3} + \left(8 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 17^{4} + \left(5 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 17^{5} + \left(3 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 17^{6} + \left(11 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 17^{7} + \left(a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 17^{8} + \left(6 a^{2} + a + 4\right)\cdot 17^{9} + \left(11 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 17^{10} + \left(a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 17^{11} + \left(a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 17^{12} + \left(10 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 17^{13} + \left(11 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 17^{14} + \left(3 a + 11\right)\cdot 17^{15} + \left(8 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 17^{16} + \left(12 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 17^{17} + \left(10 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 17^{18} + \left(11 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 17^{19} + \left(14 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 17^{20} + \left(13 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 17^{21} + \left(9 a + 13\right)\cdot 17^{22} + \left(2 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 17^{23} + \left(8 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 17^{24} + \left(12 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 17^{25} + \left(8 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 17^{26} + \left(6 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 17^{27} + \left(15 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 17^{28} + \left(3 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 17^{29} + \left(13 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 17^{30} + \left(12 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 17^{31} + \left(16 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 17^{32} + \left(12 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 17^{33} + \left(14 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 17^{34} + \left(11 a^{2} + 6 a\right)\cdot 17^{35} + \left(12 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 17^{36} + \left(5 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 17^{37} + \left(6 a + 10\right)\cdot 17^{38} + \left(9 a^{2} + a + 10\right)\cdot 17^{39} + \left(11 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 17^{40} + \left(a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 17^{41} + \left(a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 17^{42} + \left(10 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 17^{43} + \left(14 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 17^{44} + \left(12 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 17^{45} + \left(15 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 17^{46} + \left(4 a^{2} + 15\right)\cdot 17^{47} + \left(11 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 17^{48} + \left(16 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 17^{49} + \left(13 a + 5\right)\cdot 17^{50} + \left(3 a + 10\right)\cdot 17^{51} + \left(6 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 17^{52} + \left(11 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 17^{53} + \left(5 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 17^{54} + \left(a^{2} + a + 11\right)\cdot 17^{55} + \left(6 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 17^{56} + \left(2 a^{2} + 5\right)\cdot 17^{57} + \left(8 a^{2} + a + 8\right)\cdot 17^{58} + \left(8 a^{2} + a + 6\right)\cdot 17^{59} + \left(4 a^{2} + 16\right)\cdot 17^{60} + \left(3 a + 2\right)\cdot 17^{61} + \left(5 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 17^{62} + \left(a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 17^{63} + \left(5 a^{2} + a + 8\right)\cdot 17^{64} + \left(15 a^{2} + 7 a\right)\cdot 17^{65} + \left(16 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 17^{66} + \left(8 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 17^{67} + \left(5 a^{2} + a\right)\cdot 17^{68} + \left(3 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 17^{69} + \left(4 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 17^{70} + \left(6 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 17^{71} + \left(11 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 17^{72} + \left(8 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 17^{73} + \left(2 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 17^{74} + \left(a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 17^{75} + \left(14 a + 3\right)\cdot 17^{76} + \left(5 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 17^{77} + \left(14 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 17^{78} + \left(2 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 17^{79} + \left(10 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 17^{80} + \left(5 a^{2} + 8 a\right)\cdot 17^{81} + \left(5 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 17^{82} + \left(14 a^{2} + 6\right)\cdot 17^{83} + \left(7 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 17^{84} + \left(9 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 17^{85} +O\left(17^{ 86 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation
$(1,4,6)$
$(1,8)(2,3)(4,5)(6,7)$
$(1,3)(2,5)(4,7)(6,8)$
$(1,4)(2,6)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value
$1$$1$$()$$12$
$6$$2$$(3,7)(5,8)$$4$
$9$$2$$(1,4)(2,6)(3,7)(5,8)$$-4$
$12$$2$$(1,8)(2,3)(4,5)(6,7)$$0$
$12$$2$$(1,3)(2,5)(4,7)(6,8)$$0$
$36$$2$$(2,4)(7,8)$$0$
$16$$3$$(1,6,2)$$-3$
$32$$3$$(1,4,6)(3,7,8)$$0$
$32$$3$$(1,6,2)(3,8,7)$$0$
$36$$4$$(1,6,4,2)(3,5,7,8)$$0$
$36$$4$$(1,8,4,5)(2,3,6,7)$$0$
$36$$4$$(1,7,4,3)(2,8,6,5)$$0$
$72$$4$$(3,8,7,5)(4,6)$$0$
$48$$6$$(1,6,2)(3,7)(5,8)$$1$
$96$$6$$(1,3,4,7,6,8)(2,5)$$0$
$96$$6$$(1,7,6,3,2,8)(4,5)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.