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Properties

Label 12.2e32_29e10.24t1504.1c1
Dimension 12
Group $(A_4\wr C_2):C_2$
Conductor $ 2^{32} \cdot 29^{10}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$12$
Group:$(A_4\wr C_2):C_2$
Conductor:$1806923808215005445226496= 2^{32} \cdot 29^{10} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} + 2 x^{6} - 4 x^{5} + x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} + 1 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: 24T1504
Parity: Even
Determinant: 1.1.1t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 17 }$ to precision 71.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 17 }$: $ x^{3} + x + 14 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 5 a^{2} + 3 a + 15 + \left(5 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 17 + \left(5 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 17^{2} + \left(16 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 17^{3} + \left(11 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 17^{4} + \left(12 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 17^{5} + \left(7 a^{2} + 12 a\right)\cdot 17^{6} + \left(12 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 17^{7} + \left(11 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 17^{8} + \left(15 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 17^{9} + \left(7 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 17^{10} + \left(3 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 17^{11} + \left(12 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 17^{12} + \left(7 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 17^{13} + \left(8 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 17^{14} + \left(13 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 17^{15} + \left(13 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 17^{16} + \left(3 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 17^{17} + \left(16 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 17^{18} + \left(4 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 17^{19} + \left(10 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 17^{20} + \left(4 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 17^{21} + \left(14 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 17^{22} + \left(a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 17^{23} + \left(9 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 17^{24} + \left(6 a + 16\right)\cdot 17^{25} + \left(16 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 17^{26} + \left(4 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 17^{27} + \left(2 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 17^{28} + \left(8 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 17^{29} + \left(9 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 17^{30} + \left(4 a^{2} + 16\right)\cdot 17^{31} + \left(6 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 17^{32} + \left(2 a^{2} + 6\right)\cdot 17^{33} + \left(9 a^{2} + a + 7\right)\cdot 17^{34} + \left(9 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 17^{35} + \left(3 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 17^{36} + \left(14 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 17^{37} + \left(15 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 17^{38} + \left(16 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 17^{39} + \left(12 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 17^{40} + \left(14 a^{2} + 6\right)\cdot 17^{41} + \left(4 a^{2} + a + 5\right)\cdot 17^{42} + \left(16 a^{2} + 5 a\right)\cdot 17^{43} + \left(9 a^{2} + 6\right)\cdot 17^{44} + \left(2 a + 16\right)\cdot 17^{45} + \left(16 a^{2} + 13 a\right)\cdot 17^{46} + \left(8 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 17^{47} + \left(8 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 17^{48} + \left(5 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 17^{49} + \left(4 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 17^{50} + \left(15 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 17^{51} + \left(11 a^{2} + 1\right)\cdot 17^{52} + \left(5 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 17^{53} + \left(a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 17^{54} + \left(6 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 17^{55} + \left(13 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 17^{56} + \left(4 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 17^{57} + \left(13 a + 8\right)\cdot 17^{58} + \left(a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 17^{59} + \left(8 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 17^{60} + \left(15 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 17^{61} + \left(8 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 17^{62} + \left(15 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 17^{63} + \left(2 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 17^{64} + \left(8 a^{2} + a\right)\cdot 17^{65} + \left(7 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 17^{66} + \left(2 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 17^{67} + \left(13 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 17^{68} + \left(13 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 17^{69} + \left(15 a^{2} + 10\right)\cdot 17^{70} +O\left(17^{ 71 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 13 a^{2} + 11 a + 9 + \left(4 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 17 + \left(3 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 17^{2} + \left(5 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 17^{3} + \left(7 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 17^{4} + \left(12 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 17^{5} + \left(3 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 17^{6} + \left(3 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 17^{7} + \left(4 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 17^{8} + \left(12 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 17^{9} + \left(4 a^{2} + 9\right)\cdot 17^{10} + \left(7 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 17^{11} + \left(16 a + 7\right)\cdot 17^{12} + \left(9 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 17^{13} + \left(4 a^{2} + 11 a\right)\cdot 17^{14} + \left(12 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 17^{15} + \left(6 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 17^{16} + \left(16 a^{2} + a + 2\right)\cdot 17^{17} + \left(13 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 17^{18} + \left(12 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 17^{19} + \left(13 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 17^{20} + \left(13 a^{2} + a\right)\cdot 17^{21} + \left(9 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 17^{22} + \left(10 a^{2} + a + 7\right)\cdot 17^{23} + \left(4 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 17^{24} + \left(10 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 17^{25} + \left(14 a^{2} + 9 a\right)\cdot 17^{26} + \left(16 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 17^{27} + \left(4 a^{2} + a + 4\right)\cdot 17^{28} + \left(5 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 17^{29} + \left(16 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 17^{30} + \left(2 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 17^{31} + \left(10 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 17^{32} + \left(14 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 17^{33} + \left(9 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 17^{34} + \left(5 a^{2} + a + 12\right)\cdot 17^{35} + \left(16 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 17^{36} + \left(11 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 17^{37} + \left(7 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 17^{38} + \left(16 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 17^{39} + \left(11 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 17^{40} + \left(a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 17^{41} + \left(16 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 17^{42} + \left(7 a^{2} + 16 a\right)\cdot 17^{43} + \left(8 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 17^{44} + \left(4 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 17^{45} + \left(11 a + 1\right)\cdot 17^{46} + \left(10 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 17^{47} + \left(5 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 17^{48} + \left(14 a + 12\right)\cdot 17^{49} + \left(6 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 17^{50} + \left(12 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 17^{51} + \left(2 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 17^{52} + \left(14 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 17^{53} + \left(10 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 17^{54} + \left(16 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 17^{55} + \left(6 a^{2} + 13 a\right)\cdot 17^{56} + \left(5 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 17^{57} + \left(9 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 17^{58} + \left(13 a^{2} + 1\right)\cdot 17^{59} + \left(3 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 17^{60} + \left(a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 17^{61} + \left(10 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 17^{62} + \left(9 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 17^{63} + \left(12 a^{2} + 15\right)\cdot 17^{64} + \left(15 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 17^{65} + \left(3 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 17^{66} + \left(16 a + 11\right)\cdot 17^{67} + \left(9 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 17^{68} + \left(16 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 17^{69} + \left(12 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 17^{70} +O\left(17^{ 71 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 16 a^{2} + 3 a + 11 + \left(6 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 17 + \left(8 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 17^{2} + \left(12 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 17^{3} + \left(14 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 17^{4} + \left(8 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 17^{5} + \left(5 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 17^{6} + \left(a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 17^{7} + \left(a^{2} + 11 a\right)\cdot 17^{8} + \left(6 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 17^{9} + \left(4 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 17^{10} + \left(6 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 17^{11} + \left(4 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 17^{12} + \left(3 a + 2\right)\cdot 17^{13} + \left(4 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 17^{14} + \left(8 a^{2} + a + 5\right)\cdot 17^{15} + \left(13 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 17^{16} + \left(13 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 17^{17} + \left(3 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 17^{18} + \left(16 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 17^{19} + \left(9 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 17^{20} + \left(15 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 17^{21} + \left(9 a^{2} + 5\right)\cdot 17^{22} + \left(4 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 17^{23} + \left(3 a^{2} + 10 a\right)\cdot 17^{24} + \left(6 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 17^{25} + \left(3 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 17^{26} + \left(12 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 17^{27} + \left(9 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 17^{28} + \left(3 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 17^{29} + \left(8 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 17^{30} + \left(9 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 17^{31} + \left(10 a + 2\right)\cdot 17^{32} + \left(2 a + 5\right)\cdot 17^{33} + \left(15 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 17^{34} + \left(a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 17^{35} + \left(14 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 17^{36} + \left(7 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 17^{37} + \left(10 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 17^{38} + \left(10 a + 4\right)\cdot 17^{39} + \left(9 a^{2} + a + 16\right)\cdot 17^{40} + \left(5 a + 13\right)\cdot 17^{41} + \left(13 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 17^{42} + \left(9 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 17^{43} + \left(15 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 17^{44} + \left(11 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 17^{45} + \left(9 a + 2\right)\cdot 17^{46} + \left(15 a^{2} + a + 14\right)\cdot 17^{47} + \left(2 a^{2} + a + 11\right)\cdot 17^{48} + \left(11 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 17^{49} + \left(6 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 17^{50} + \left(6 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 17^{51} + \left(2 a^{2} + 11 a\right)\cdot 17^{52} + \left(14 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 17^{53} + \left(4 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 17^{54} + \left(11 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 17^{55} + \left(13 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 17^{56} + \left(6 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 17^{57} + \left(7 a^{2} + 1\right)\cdot 17^{58} + \left(2 a^{2} + 6 a\right)\cdot 17^{59} + \left(5 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 17^{60} + \left(9 a + 15\right)\cdot 17^{61} + \left(15 a^{2} + a + 15\right)\cdot 17^{62} + \left(8 a^{2} + 4 a\right)\cdot 17^{63} + \left(a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 17^{64} + \left(10 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 17^{65} + \left(5 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 17^{66} + \left(14 a^{2} + 9\right)\cdot 17^{67} + \left(11 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 17^{68} + \left(3 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 17^{69} + \left(5 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 17^{70} +O\left(17^{ 71 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 16 + 3\cdot 17 + 4\cdot 17^{2} + 15\cdot 17^{3} + 12\cdot 17^{4} + 8\cdot 17^{5} + 14\cdot 17^{6} + 11\cdot 17^{7} + 17^{8} + 3\cdot 17^{9} + 14\cdot 17^{10} + 8\cdot 17^{11} + 12\cdot 17^{12} + 10\cdot 17^{13} + 8\cdot 17^{14} + 16\cdot 17^{15} + 13\cdot 17^{16} + 6\cdot 17^{17} + 8\cdot 17^{20} + 9\cdot 17^{21} + 3\cdot 17^{22} + 15\cdot 17^{23} + 4\cdot 17^{24} + 2\cdot 17^{25} + 11\cdot 17^{26} + 17^{27} + 14\cdot 17^{28} + 11\cdot 17^{29} + 6\cdot 17^{30} + 9\cdot 17^{31} + 10\cdot 17^{32} + 17^{33} + 13\cdot 17^{34} + 8\cdot 17^{35} + 5\cdot 17^{36} + 15\cdot 17^{37} + 2\cdot 17^{38} + 4\cdot 17^{39} + 3\cdot 17^{40} + 10\cdot 17^{41} + 10\cdot 17^{42} + 14\cdot 17^{43} + 17^{44} + 3\cdot 17^{45} + 12\cdot 17^{46} + 4\cdot 17^{47} + 4\cdot 17^{48} + 15\cdot 17^{49} + 14\cdot 17^{50} + 3\cdot 17^{51} + 3\cdot 17^{52} + 6\cdot 17^{53} + 14\cdot 17^{54} + 13\cdot 17^{55} + 12\cdot 17^{56} + 9\cdot 17^{58} + 4\cdot 17^{59} + 3\cdot 17^{60} + 5\cdot 17^{61} + 16\cdot 17^{62} + 14\cdot 17^{63} + 11\cdot 17^{64} + 14\cdot 17^{65} + 13\cdot 17^{66} + 15\cdot 17^{67} + 5\cdot 17^{69} + 16\cdot 17^{70} +O\left(17^{ 71 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 8 + 12\cdot 17 + 6\cdot 17^{2} + 7\cdot 17^{3} + 11\cdot 17^{4} + 11\cdot 17^{5} + 2\cdot 17^{6} + 8\cdot 17^{7} + 14\cdot 17^{9} + 14\cdot 17^{10} + 2\cdot 17^{11} + 9\cdot 17^{12} + 10\cdot 17^{13} + 6\cdot 17^{14} + 15\cdot 17^{15} + 13\cdot 17^{16} + 10\cdot 17^{17} + 9\cdot 17^{18} + 15\cdot 17^{19} + 13\cdot 17^{21} + 13\cdot 17^{22} + 8\cdot 17^{23} + 7\cdot 17^{24} + 17^{25} + 13\cdot 17^{27} + 2\cdot 17^{28} + 11\cdot 17^{29} + 16\cdot 17^{30} + 8\cdot 17^{31} + 6\cdot 17^{32} + 16\cdot 17^{33} + 15\cdot 17^{34} + 4\cdot 17^{35} + 6\cdot 17^{36} + 13\cdot 17^{37} + 5\cdot 17^{38} + 12\cdot 17^{39} + 2\cdot 17^{40} + 9\cdot 17^{41} + 9\cdot 17^{42} + 7\cdot 17^{43} + 7\cdot 17^{44} + 17^{46} + 4\cdot 17^{47} + 10\cdot 17^{48} + 13\cdot 17^{49} + 6\cdot 17^{50} + 7\cdot 17^{51} + 16\cdot 17^{52} + 15\cdot 17^{53} + 6\cdot 17^{54} + 11\cdot 17^{55} + 2\cdot 17^{56} + 9\cdot 17^{57} + 13\cdot 17^{58} + 4\cdot 17^{59} + 10\cdot 17^{60} + 4\cdot 17^{61} + 13\cdot 17^{62} + 14\cdot 17^{63} + 7\cdot 17^{64} + 6\cdot 17^{65} + 4\cdot 17^{66} + 16\cdot 17^{67} + 11\cdot 17^{68} + 9\cdot 17^{69} + 16\cdot 17^{70} +O\left(17^{ 71 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ a^{2} + 10 a + 15 + \left(15 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 17 + \left(15 a^{2} + a + 8\right)\cdot 17^{2} + \left(5 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 17^{3} + \left(9 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 17^{4} + \left(3 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 17^{5} + \left(8 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 17^{6} + \left(a + 8\right)\cdot 17^{7} + \left(7 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 17^{8} + \left(10 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 17^{9} + \left(a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 17^{10} + \left(7 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 17^{11} + \left(8 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 17^{12} + \left(7 a^{2} + a + 1\right)\cdot 17^{13} + \left(2 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 17^{14} + \left(6 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 17^{15} + \left(12 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 17^{16} + \left(3 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 17^{17} + \left(5 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 17^{18} + \left(9 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 17^{19} + \left(11 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 17^{20} + \left(10 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 17^{21} + \left(11 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 17^{22} + \left(4 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 17^{23} + \left(5 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 17^{24} + \left(6 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 17^{25} + \left(16 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 17^{26} + \left(4 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 17^{27} + \left(3 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 17^{28} + \left(14 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 17^{29} + \left(11 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 17^{30} + \left(5 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 17^{31} + \left(6 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 17^{32} + \left(15 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 17^{33} + \left(a + 6\right)\cdot 17^{34} + \left(2 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 17^{35} + \left(13 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 17^{36} + \left(a + 1\right)\cdot 17^{37} + \left(4 a + 15\right)\cdot 17^{38} + \left(10 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 17^{39} + \left(15 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 17^{40} + \left(7 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 17^{41} + \left(2 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 17^{42} + \left(5 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 17^{43} + \left(14 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 17^{44} + \left(3 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 17^{45} + \left(14 a + 16\right)\cdot 17^{46} + \left(4 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 17^{47} + \left(12 a + 2\right)\cdot 17^{48} + \left(2 a + 1\right)\cdot 17^{49} + \left(a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 17^{50} + \left(6 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 17^{51} + 16 a\cdot 17^{52} + \left(2 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 17^{53} + \left(8 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 17^{54} + \left(14 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 17^{55} + \left(7 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 17^{56} + \left(8 a + 2\right)\cdot 17^{57} + \left(13 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 17^{58} + \left(8 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 17^{59} + \left(4 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 17^{60} + \left(2 a^{2} + a + 11\right)\cdot 17^{61} + \left(14 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 17^{62} + \left(9 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 17^{63} + \left(5 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 17^{64} + \left(14 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 17^{65} + \left(7 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 17^{66} + \left(13 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 17^{67} + \left(10 a^{2} + a + 14\right)\cdot 17^{68} + \left(14 a^{2} + 10 a\right)\cdot 17^{69} + \left(16 a^{2} + 7 a\right)\cdot 17^{70} +O\left(17^{ 71 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 3 a^{2} + 12 a + 5 + \left(7 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 17 + \left(5 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 17^{2} + \left(10 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 17^{3} + \left(16 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 17^{4} + \left(6 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 17^{5} + \left(13 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 17^{6} + \left(11 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 17^{7} + \left(11 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 17^{8} + \left(4 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 17^{9} + \left(16 a^{2} + 5\right)\cdot 17^{10} + \left(6 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 17^{11} + \left(2 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 17^{12} + \left(12 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 17^{13} + \left(6 a + 3\right)\cdot 17^{14} + \left(2 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 17^{15} + \left(3 a + 6\right)\cdot 17^{16} + \left(11 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 17^{17} + \left(15 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 17^{18} + \left(10 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 17^{19} + \left(15 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 17^{20} + \left(15 a^{2} + 7 a\right)\cdot 17^{21} + \left(7 a + 13\right)\cdot 17^{22} + \left(3 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 17^{23} + \left(5 a^{2} + a + 12\right)\cdot 17^{24} + \left(2 a^{2} + a + 6\right)\cdot 17^{25} + \left(2 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 17^{26} + \left(10 a + 7\right)\cdot 17^{27} + \left(3 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 17^{28} + \left(2 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 17^{29} + \left(a + 5\right)\cdot 17^{30} + \left(3 a^{2} + 10\right)\cdot 17^{31} + \left(a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 17^{32} + \left(3 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 17^{33} + \left(3 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 17^{34} + \left(13 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 17^{35} + \left(2 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 17^{36} + \left(14 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 17^{37} + \left(9 a + 9\right)\cdot 17^{38} + \left(8 a + 1\right)\cdot 17^{39} + \left(16 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 17^{40} + \left(10 a + 3\right)\cdot 17^{41} + \left(16 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 17^{42} + \left(2 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 17^{43} + \left(5 a^{2} + a + 6\right)\cdot 17^{44} + \left(10 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 17^{45} + \left(9 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 17^{46} + \left(14 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 17^{47} + \left(11 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 17^{48} + \left(12 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 17^{49} + \left(11 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 17^{50} + \left(2 a^{2} + 16\right)\cdot 17^{51} + \left(a^{2} + 11 a\right)\cdot 17^{52} + \left(7 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 17^{53} + \left(a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 17^{54} + \left(15 a^{2} + 6\right)\cdot 17^{55} + \left(2 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 17^{56} + \left(11 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 17^{57} + \left(11 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 17^{58} + \left(16 a + 4\right)\cdot 17^{59} + \left(5 a + 2\right)\cdot 17^{60} + \left(16 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 17^{61} + \left(5 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 17^{62} + \left(12 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 17^{63} + \left(13 a^{2} + a + 6\right)\cdot 17^{64} + \left(11 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 17^{65} + \left(11 a + 4\right)\cdot 17^{66} + \left(a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 17^{67} + \left(11 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 17^{68} + \left(9 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 17^{69} + \left(9 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 17^{70} +O\left(17^{ 71 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 13 a^{2} + 12 a + 6 + \left(11 a^{2} + a + 9\right)\cdot 17 + \left(12 a^{2} + 6 a\right)\cdot 17^{2} + \left(13 a + 15\right)\cdot 17^{3} + \left(8 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 17^{4} + \left(6 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 17^{5} + \left(12 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 17^{6} + \left(4 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 17^{7} + \left(15 a^{2} + 4\right)\cdot 17^{8} + \left(a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 17^{9} + \left(16 a^{2} + 2 a\right)\cdot 17^{10} + \left(2 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 17^{11} + \left(6 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 17^{12} + \left(14 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 17^{13} + \left(13 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 17^{14} + \left(8 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 17^{15} + \left(4 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 17^{16} + \left(2 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 17^{17} + \left(13 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 17^{18} + \left(13 a^{2} + 9\right)\cdot 17^{19} + \left(6 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 17^{20} + \left(7 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 17^{21} + \left(4 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 17^{22} + \left(9 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 17^{23} + \left(6 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 17^{24} + \left(8 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 17^{25} + \left(15 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 17^{26} + \left(11 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 17^{27} + \left(10 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 17^{28} + \left(3 a + 2\right)\cdot 17^{29} + \left(5 a^{2} + 9\right)\cdot 17^{30} + \left(8 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 17^{31} + \left(9 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 17^{32} + \left(15 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 17^{33} + \left(12 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 17^{34} + \left(a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 17^{35} + \left(a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 17^{36} + \left(2 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 17^{37} + \left(16 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 17^{38} + \left(6 a^{2} + a + 6\right)\cdot 17^{39} + \left(2 a^{2} + 6\right)\cdot 17^{40} + \left(8 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 17^{41} + \left(15 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 17^{42} + \left(8 a^{2} + 3\right)\cdot 17^{43} + \left(14 a^{2} + a + 7\right)\cdot 17^{44} + \left(2 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 17^{45} + \left(7 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 17^{46} + \left(15 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 17^{47} + \left(4 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 17^{48} + \left(4 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 17^{49} + 4 a^{2}17^{50} + \left(8 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 17^{51} + \left(15 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 17^{52} + \left(7 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 17^{53} + \left(7 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 17^{54} + \left(4 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 17^{55} + \left(6 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 17^{56} + \left(5 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 17^{57} + \left(9 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 17^{58} + \left(7 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 17^{59} + \left(12 a^{2} + 16\right)\cdot 17^{60} + \left(15 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 17^{61} + \left(13 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 17^{62} + \left(11 a^{2} + 8\right)\cdot 17^{63} + \left(14 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 17^{64} + \left(7 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 17^{65} + \left(8 a^{2} + 4\right)\cdot 17^{66} + \left(2 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 17^{67} + \left(12 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 17^{68} + \left(9 a^{2} + a + 14\right)\cdot 17^{69} + \left(7 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 17^{70} +O\left(17^{ 71 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation
$(1,6)(2,7)(3,8)(4,5)$
$(5,7)(6,8)$
$(5,7,8)$
$(1,5)(2,6)(3,7)(4,8)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value
$1$$1$$()$$12$
$6$$2$$(1,3)(2,4)$$4$
$9$$2$$(1,3)(2,4)(5,7)(6,8)$$-4$
$12$$2$$(1,6)(2,7)(3,8)(4,5)$$0$
$12$$2$$(1,5)(2,6)(3,7)(4,8)$$0$
$36$$2$$(3,4)(6,7)$$0$
$16$$3$$(5,8,6)$$-3$
$32$$3$$(1,4,3)(5,8,6)$$0$
$32$$3$$(1,4,2)(5,8,6)$$0$
$36$$4$$(1,8,3,6)(2,5,4,7)$$0$
$36$$4$$(1,2,3,4)(5,8,7,6)$$0$
$36$$4$$(1,7,3,5)(2,8,4,6)$$0$
$72$$4$$(1,4,3,2)(7,8)$$0$
$48$$6$$(1,3)(2,4)(5,8,6)$$1$
$96$$6$$(1,6,4,5,3,8)(2,7)$$0$
$96$$6$$(1,5,4,8,2,6)(3,7)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.