LMFDB - Artin representation 11.502148540275360000000000.24t2949.a.a

Basic invariants

Dimension:	$11$
Group:	$\PGL(2,11)$
Conductor:	$502\!\cdots\!000$$\medspace = 2^{14} \cdot 5^{10} \cdot 11^{12} $
Frobenius-Schur indicator:	$1$
Root number:	$1$
Artin stem field:	Galois closure of 12.2.45649867297760000000000.1
Galois orbit size:	$1$
Smallest permutation container:	24T2949
Parity:	even
Determinant:	1.1.1t1.a.a
Projective image:	$\PGL(2,11)$
Projective stem field:	Galois closure of 12.2.45649867297760000000000.1

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{12} - 2 x^{11} - 44 x^{10} + 220 x^{9} - 165 x^{8} - 1012 x^{7} + 2464 x^{6} - 1672 x^{5} + 55 x^{4} + \cdots + 81 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 89 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 89 }$: $ x^{6} + x^{4} + 82x^{3} + 80x^{2} + 15x + 3 $ x^6 + x^4 + 82*x^3 + 80*x^2 + 15*x + 3

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 25 a^{5} + 16 a^{4} + 31 a^{3} + 37 a^{2} + 4 a + 1 + \left(30 a^{5} + 16 a^{4} + 25 a^{3} + 71 a^{2} + 56 a + 8\right)\cdot 89 + \left(29 a^{5} + 88 a^{4} + 59 a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + 28\right)\cdot 89^{2} + \left(68 a^{5} + 84 a^{4} + 27 a^{3} + 59 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 89^{3} + \left(74 a^{5} + 42 a^{4} + 68 a^{3} + 27 a^{2} + 53 a + 22\right)\cdot 89^{4} + \left(20 a^{5} + 83 a^{4} + 77 a^{3} + 56 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 89^{5} + \left(60 a^{5} + 70 a^{4} + 52 a^{3} + 79 a^{2} + 53 a + 31\right)\cdot 89^{6} + \left(67 a^{5} + 55 a^{4} + 65 a^{3} + 35 a^{2} + 41 a + 16\right)\cdot 89^{7} + \left(24 a^{5} + 72 a^{4} + 24 a^{3} + 58 a^{2} + 16 a + 24\right)\cdot 89^{8} + \left(42 a^{5} + 86 a^{4} + 81 a^{3} + 47 a^{2} + 69 a + 8\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})$ 25a^5 + 16a^4 + 31a^3 + 37a^2 + 4a + 1 + (30a^5 + 16a^4 + 25a^3 + 71a^2 + 56a + 8)89 + (29a^5 + 88a^4 + 59a^3 + 6a^2 + 20a + 28)89^2 + (68a^5 + 84a^4 + 27a^3 + 59a^2 + 15a + 13)89^3 + (74a^5 + 42a^4 + 68a^3 + 27a^2 + 53a + 22)89^4 + (20a^5 + 83a^4 + 77a^3 + 56a^2 + 8a + 15)89^5 + (60a^5 + 70a^4 + 52a^3 + 79a^2 + 53a + 31)89^6 + (67a^5 + 55a^4 + 65a^3 + 35a^2 + 41a + 16)89^7 + (24a^5 + 72a^4 + 24a^3 + 58a^2 + 16a + 24)89^8 + (42a^5 + 86a^4 + 81a^3 + 47a^2 + 69a + 8)*89^9+O(89^10)
$r_{ 2 }$	$=$	$ 56 a^{5} + 4 a^{4} + 50 a^{3} + 55 a^{2} + 82 a + 36 + \left(85 a^{5} + 8 a^{4} + 20 a^{2} + 10 a + 81\right)\cdot 89 + \left(72 a^{5} + 24 a^{4} + 57 a^{3} + 87 a^{2} + 66 a + 17\right)\cdot 89^{2} + \left(71 a^{5} + 58 a^{4} + 72 a^{3} + 9 a^{2} + 22\right)\cdot 89^{3} + \left(40 a^{5} + 15 a^{4} + 45 a^{3} + 35 a^{2} + 44 a + 26\right)\cdot 89^{4} + \left(65 a^{5} + 54 a^{4} + 34 a^{3} + 57 a^{2} + 21 a + 27\right)\cdot 89^{5} + \left(83 a^{5} + 16 a^{4} + 34 a^{3} + 64 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 89^{6} + \left(39 a^{5} + 35 a^{4} + 52 a^{3} + 22 a^{2} + 13 a + 75\right)\cdot 89^{7} + \left(80 a^{5} + 31 a^{4} + 53 a^{3} + 21 a^{2} + 25 a + 23\right)\cdot 89^{8} + \left(42 a^{5} + 70 a^{4} + 39 a^{3} + 37 a^{2} + 69 a + 88\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})$ 56a^5 + 4a^4 + 50a^3 + 55a^2 + 82a + 36 + (85a^5 + 8a^4 + 20a^2 + 10a + 81)89 + (72a^5 + 24a^4 + 57a^3 + 87a^2 + 66a + 17)89^2 + (71a^5 + 58a^4 + 72a^3 + 9a^2 + 22)89^3 + (40a^5 + 15a^4 + 45a^3 + 35a^2 + 44a + 26)89^4 + (65a^5 + 54a^4 + 34a^3 + 57a^2 + 21a + 27)89^5 + (83a^5 + 16a^4 + 34a^3 + 64a^2 + 13a + 1)89^6 + (39a^5 + 35a^4 + 52a^3 + 22a^2 + 13a + 75)89^7 + (80a^5 + 31a^4 + 53a^3 + 21a^2 + 25a + 23)89^8 + (42a^5 + 70a^4 + 39a^3 + 37a^2 + 69a + 88)*89^9+O(89^10)
$r_{ 3 }$	$=$	$ 41 a^{5} + 25 a^{4} + 4 a^{3} + 37 a^{2} + 73 a + 36 + \left(77 a^{5} + 74 a^{4} + 69 a^{3} + 69 a^{2} + 29 a + 62\right)\cdot 89 + \left(74 a^{5} + 41 a^{4} + 55 a^{3} + 26 a^{2} + 28 a + 17\right)\cdot 89^{2} + \left(8 a^{5} + 79 a^{4} + 57 a^{3} + 54 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 89^{3} + \left(62 a^{5} + 75 a^{4} + 55 a^{3} + 9 a^{2} + 38 a + 51\right)\cdot 89^{4} + \left(47 a^{5} + 88 a^{4} + 3 a^{3} + 65 a^{2} + 38 a + 21\right)\cdot 89^{5} + \left(29 a^{5} + 83 a^{4} + 12 a^{3} + 68 a^{2} + 25 a + 5\right)\cdot 89^{6} + \left(22 a^{5} + 2 a^{4} + 38 a^{3} + 77 a^{2} + 8 a + 63\right)\cdot 89^{7} + \left(8 a^{5} + 27 a^{4} + 41 a^{3} + 37 a^{2} + 65 a + 3\right)\cdot 89^{8} + \left(6 a^{5} + 35 a^{4} + 25 a^{3} + 19 a^{2} + 10 a + 78\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})$ 41a^5 + 25a^4 + 4a^3 + 37a^2 + 73a + 36 + (77a^5 + 74a^4 + 69a^3 + 69a^2 + 29a + 62)89 + (74a^5 + 41a^4 + 55a^3 + 26a^2 + 28a + 17)89^2 + (8a^5 + 79a^4 + 57a^3 + 54a^2 + 9a + 8)89^3 + (62a^5 + 75a^4 + 55a^3 + 9a^2 + 38a + 51)89^4 + (47a^5 + 88a^4 + 3a^3 + 65a^2 + 38a + 21)89^5 + (29a^5 + 83a^4 + 12a^3 + 68a^2 + 25a + 5)89^6 + (22a^5 + 2a^4 + 38a^3 + 77a^2 + 8a + 63)89^7 + (8a^5 + 27a^4 + 41a^3 + 37a^2 + 65a + 3)89^8 + (6a^5 + 35a^4 + 25a^3 + 19a^2 + 10a + 78)*89^9+O(89^10)
$r_{ 4 }$	$=$	$ 76 a^{5} + 59 a^{4} + 18 a^{3} + 36 a^{2} + 42 a + 71 + \left(62 a^{5} + 68 a^{4} + 24 a^{3} + 33 a^{2} + 83 a + 65\right)\cdot 89 + \left(38 a^{5} + 26 a^{4} + 83 a^{3} + 70 a^{2} + 41 a + 43\right)\cdot 89^{2} + \left(17 a^{5} + 58 a^{4} + 63 a^{3} + a^{2} + 39 a + 45\right)\cdot 89^{3} + \left(81 a^{5} + 9 a^{4} + 23 a^{3} + 6 a^{2} + 52 a + 8\right)\cdot 89^{4} + \left(51 a^{5} + 83 a^{4} + 8 a^{3} + 63 a^{2} + 5 a + 56\right)\cdot 89^{5} + \left(16 a^{5} + 4 a^{4} + 78 a^{3} + 17 a^{2} + 86 a + 57\right)\cdot 89^{6} + \left(33 a^{5} + 8 a^{4} + 77 a^{3} + 64 a^{2} + 28\right)\cdot 89^{7} + \left(66 a^{5} + 55 a^{4} + 63 a^{3} + 38 a^{2} + 29 a + 75\right)\cdot 89^{8} + \left(52 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 53 a^{2} + 63 a + 76\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})$ 76a^5 + 59a^4 + 18a^3 + 36a^2 + 42a + 71 + (62a^5 + 68a^4 + 24a^3 + 33a^2 + 83a + 65)89 + (38a^5 + 26a^4 + 83a^3 + 70a^2 + 41a + 43)89^2 + (17a^5 + 58a^4 + 63a^3 + a^2 + 39a + 45)89^3 + (81a^5 + 9a^4 + 23a^3 + 6a^2 + 52a + 8)89^4 + (51a^5 + 83a^4 + 8a^3 + 63a^2 + 5a + 56)89^5 + (16a^5 + 4a^4 + 78a^3 + 17a^2 + 86a + 57)89^6 + (33a^5 + 8a^4 + 77a^3 + 64a^2 + 28)89^7 + (66a^5 + 55a^4 + 63a^3 + 38a^2 + 29a + 75)89^8 + (52a^5 + 6a^4 + 8a^3 + 53a^2 + 63a + 76)*89^9+O(89^10)
$r_{ 5 }$	$=$	$ 77 a^{5} + 85 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 26 + \left(87 a^{5} + 74 a^{4} + 5 a^{3} + 87 a^{2} + 17 a + 75\right)\cdot 89 + \left(61 a^{5} + 83 a^{4} + 52 a^{3} + 73 a^{2} + 68 a + 52\right)\cdot 89^{2} + \left(72 a^{5} + 8 a^{4} + 67 a^{3} + 44 a^{2} + 7\right)\cdot 89^{3} + \left(8 a^{5} + 50 a^{4} + 8 a^{3} + 27 a^{2} + 75 a + 54\right)\cdot 89^{4} + \left(61 a^{5} + 73 a^{4} + 57 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 26\right)\cdot 89^{5} + \left(11 a^{5} + 34 a^{4} + 87 a^{3} + 20 a^{2} + 20 a + 40\right)\cdot 89^{6} + \left(37 a^{5} + 18 a^{4} + 20 a^{3} + 16 a + 38\right)\cdot 89^{7} + \left(34 a^{5} + 55 a^{4} + 83 a^{2} + 37 a + 23\right)\cdot 89^{8} + \left(17 a^{5} + 8 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 41\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})$ 77a^5 + 85a^4 + 8a^3 + 10a^2 + 4a + 26 + (87a^5 + 74a^4 + 5a^3 + 87a^2 + 17a + 75)89 + (61a^5 + 83a^4 + 52a^3 + 73a^2 + 68a + 52)89^2 + (72a^5 + 8a^4 + 67a^3 + 44a^2 + 7)89^3 + (8a^5 + 50a^4 + 8a^3 + 27a^2 + 75a + 54)89^4 + (61a^5 + 73a^4 + 57a^3 + 3a^2 + 10a + 26)89^5 + (11a^5 + 34a^4 + 87a^3 + 20a^2 + 20a + 40)89^6 + (37a^5 + 18a^4 + 20a^3 + 16a + 38)89^7 + (34a^5 + 55a^4 + 83a^2 + 37a + 23)89^8 + (17a^5 + 8a^4 + 17a^3 + 8a^2 + 13a + 41)89^9+O(89^10)
$r_{ 6 }$	$=$	$ 2 a^{5} + 53 a^{4} + 81 a^{3} + 50 a^{2} + 80 + \left(49 a^{5} + 70 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 50 a + 74\right)\cdot 89 + \left(18 a^{5} + 69 a^{4} + 15 a^{3} + 24 a^{2} + 83 a + 20\right)\cdot 89^{2} + \left(27 a^{5} + 84 a^{4} + 43 a^{3} + 74 a^{2} + 32 a + 13\right)\cdot 89^{3} + \left(55 a^{5} + 80 a^{4} + 23 a^{3} + 78 a^{2} + 47 a + 11\right)\cdot 89^{4} + \left(55 a^{5} + 22 a^{4} + 29 a^{3} + 33 a^{2} + 15 a + 47\right)\cdot 89^{5} + \left(57 a^{5} + 77 a^{4} + 54 a^{3} + 51 a^{2} + 47 a\right)\cdot 89^{6} + \left(17 a^{5} + 84 a^{4} + 11 a^{3} + 71 a^{2} + 60 a + 17\right)\cdot 89^{7} + \left(41 a^{5} + 69 a^{4} + 45 a^{3} + 26 a^{2} + 74 a + 38\right)\cdot 89^{8} + \left(28 a^{5} + 20 a^{4} + 42 a^{3} + 57 a^{2} + 28 a + 61\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})$ 2a^5 + 53a^4 + 81a^3 + 50a^2 + 80 + (49a^5 + 70a^4 + 2a^3 + 14a^2 + 50a + 74)89 + (18a^5 + 69a^4 + 15a^3 + 24a^2 + 83a + 20)89^2 + (27a^5 + 84a^4 + 43a^3 + 74a^2 + 32a + 13)89^3 + (55a^5 + 80a^4 + 23a^3 + 78a^2 + 47a + 11)89^4 + (55a^5 + 22a^4 + 29a^3 + 33a^2 + 15a + 47)89^5 + (57a^5 + 77a^4 + 54a^3 + 51a^2 + 47a)89^6 + (17a^5 + 84a^4 + 11a^3 + 71a^2 + 60a + 17)89^7 + (41a^5 + 69a^4 + 45a^3 + 26a^2 + 74a + 38)89^8 + (28a^5 + 20a^4 + 42a^3 + 57a^2 + 28a + 61)89^9+O(89^10)
$r_{ 7 }$	$=$	$ 19 a^{5} + 51 a^{4} + 27 a^{3} + 33 a^{2} + 74 a + 38 + \left(56 a^{5} + 37 a^{4} + 24 a^{3} + 53 a^{2} + 67 a + 60\right)\cdot 89 + \left(71 a^{5} + 39 a^{4} + 9 a^{3} + 55 a^{2} + 16 a + 49\right)\cdot 89^{2} + \left(65 a^{5} + 4 a^{4} + 57 a^{3} + a^{2} + 44 a + 54\right)\cdot 89^{3} + \left(63 a^{5} + 79 a^{4} + 69 a^{3} + 7 a^{2} + 35 a + 17\right)\cdot 89^{4} + \left(74 a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + 35 a^{2} + 49 a + 18\right)\cdot 89^{5} + \left(13 a^{5} + 29 a^{4} + 57 a^{3} + 67 a^{2} + 43 a + 57\right)\cdot 89^{6} + \left(45 a^{5} + 37 a^{4} + 38 a^{3} + 71 a^{2} + 87 a + 17\right)\cdot 89^{7} + \left(16 a^{5} + 22 a^{4} + 2 a^{3} + 66 a^{2} + 72 a + 42\right)\cdot 89^{8} + \left(67 a^{5} + a^{4} + 60 a^{3} + 20 a^{2} + 83 a + 55\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})$ 19a^5 + 51a^4 + 27a^3 + 33a^2 + 74a + 38 + (56a^5 + 37a^4 + 24a^3 + 53a^2 + 67a + 60)89 + (71a^5 + 39a^4 + 9a^3 + 55a^2 + 16a + 49)89^2 + (65a^5 + 4a^4 + 57a^3 + a^2 + 44a + 54)89^3 + (63a^5 + 79a^4 + 69a^3 + 7a^2 + 35a + 17)89^4 + (74a^5 + 14a^4 + 7a^3 + 35a^2 + 49a + 18)89^5 + (13a^5 + 29a^4 + 57a^3 + 67a^2 + 43a + 57)89^6 + (45a^5 + 37a^4 + 38a^3 + 71a^2 + 87a + 17)89^7 + (16a^5 + 22a^4 + 2a^3 + 66a^2 + 72a + 42)89^8 + (67a^5 + a^4 + 60a^3 + 20a^2 + 83a + 55)*89^9+O(89^10)
$r_{ 8 }$	$=$	$ 81 a^{5} + 66 a^{4} + 40 a^{3} + 26 a^{2} + 86 a + 38 + \left(66 a^{5} + 42 a^{4} + 85 a^{3} + a^{2} + 69 a + 31\right)\cdot 89 + \left(a^{5} + 87 a^{4} + 43 a^{3} + 82 a^{2} + 39 a + 8\right)\cdot 89^{2} + \left(13 a^{5} + 74 a^{3} + 28 a^{2} + 42 a + 10\right)\cdot 89^{3} + \left(52 a^{5} + 75 a^{4} + 71 a^{3} + 19 a^{2} + 40 a + 85\right)\cdot 89^{4} + \left(27 a^{5} + 39 a^{4} + 32 a^{3} + 63 a^{2} + 39 a + 82\right)\cdot 89^{5} + \left(2 a^{5} + 27 a^{4} + 34 a^{3} + 27 a^{2} + 50 a + 35\right)\cdot 89^{6} + \left(25 a^{5} + 65 a^{4} + 4 a^{3} + 43 a^{2} + 38 a + 68\right)\cdot 89^{7} + \left(34 a^{5} + 85 a^{4} + 65 a^{3} + 48 a^{2} + 35 a + 56\right)\cdot 89^{8} + \left(38 a^{5} + 21 a^{4} + 38 a^{3} + 62 a^{2} + 67 a + 62\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})$ 81a^5 + 66a^4 + 40a^3 + 26a^2 + 86a + 38 + (66a^5 + 42a^4 + 85a^3 + a^2 + 69a + 31)89 + (a^5 + 87a^4 + 43a^3 + 82a^2 + 39a + 8)89^2 + (13a^5 + 74a^3 + 28a^2 + 42a + 10)89^3 + (52a^5 + 75a^4 + 71a^3 + 19a^2 + 40a + 85)89^4 + (27a^5 + 39a^4 + 32a^3 + 63a^2 + 39a + 82)89^5 + (2a^5 + 27a^4 + 34a^3 + 27a^2 + 50a + 35)89^6 + (25a^5 + 65a^4 + 4a^3 + 43a^2 + 38a + 68)89^7 + (34a^5 + 85a^4 + 65a^3 + 48a^2 + 35a + 56)89^8 + (38a^5 + 21a^4 + 38a^3 + 62a^2 + 67a + 62)89^9+O(89^10)
$r_{ 9 }$	$=$	$ 42 a^{5} + 38 a^{4} + 58 a^{3} + a^{2} + 86 a + 38 + \left(64 a^{5} + 70 a^{4} + 19 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 19\right)\cdot 89 + \left(86 a^{5} + 79 a^{4} + 32 a^{3} + 67 a^{2} + 73 a + 59\right)\cdot 89^{2} + \left(a^{5} + 65 a^{4} + 73 a^{3} + 24 a^{2} + 61 a + 25\right)\cdot 89^{3} + \left(42 a^{5} + 75 a^{4} + 45 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 89^{4} + \left(58 a^{5} + 41 a^{4} + 38 a^{3} + 18 a^{2} + 45 a + 5\right)\cdot 89^{5} + \left(32 a^{5} + 65 a^{4} + 45 a^{3} + 68 a^{2} + 76 a + 25\right)\cdot 89^{6} + \left(60 a^{5} + 25 a^{4} + 36 a^{3} + 75 a^{2} + 17 a + 44\right)\cdot 89^{7} + \left(32 a^{5} + 86 a^{4} + 36 a^{3} + 74 a^{2} + 18 a + 29\right)\cdot 89^{8} + \left(71 a^{5} + 48 a^{4} + 13 a^{3} + 45 a^{2} + 65 a + 54\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})$ 42a^5 + 38a^4 + 58a^3 + a^2 + 86a + 38 + (64a^5 + 70a^4 + 19a^3 + 3a^2 + 10a + 19)89 + (86a^5 + 79a^4 + 32a^3 + 67a^2 + 73a + 59)89^2 + (a^5 + 65a^4 + 73a^3 + 24a^2 + 61a + 25)89^3 + (42a^5 + 75a^4 + 45a^3 + 17a^2 + 18a + 7)89^4 + (58a^5 + 41a^4 + 38a^3 + 18a^2 + 45a + 5)89^5 + (32a^5 + 65a^4 + 45a^3 + 68a^2 + 76a + 25)89^6 + (60a^5 + 25a^4 + 36a^3 + 75a^2 + 17a + 44)89^7 + (32a^5 + 86a^4 + 36a^3 + 74a^2 + 18a + 29)89^8 + (71a^5 + 48a^4 + 13a^3 + 45a^2 + 65a + 54)*89^9+O(89^10)
$r_{ 10 }$	$=$	$ 10 a^{5} + 71 a^{4} + 12 a^{3} + 80 a^{2} + 68 a + 37 + \left(54 a^{5} + 4 a^{4} + 18 a^{3} + 86 a^{2} + 67 a + 23\right)\cdot 89 + \left(52 a^{5} + a^{4} + 14 a^{3} + 53 a^{2} + 81 a + 51\right)\cdot 89^{2} + \left(30 a^{5} + 60 a^{4} + 60 a^{3} + 76 a^{2} + 35 a + 87\right)\cdot 89^{3} + \left(43 a^{5} + 44 a^{4} + 76 a^{3} + 82 a^{2} + 41 a + 18\right)\cdot 89^{4} + \left(26 a^{5} + 80 a^{4} + 16 a^{3} + 80 a^{2} + 53 a + 64\right)\cdot 89^{5} + \left(a^{5} + 28 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 20 a + 32\right)\cdot 89^{6} + \left(56 a^{5} + 65 a^{4} + 28 a^{3} + 29 a^{2} + 85 a + 4\right)\cdot 89^{7} + \left(44 a^{5} + 88 a^{4} + 57 a^{3} + 33 a^{2} + 87 a + 13\right)\cdot 89^{8} + \left(23 a^{5} + 79 a^{4} + 38 a^{3} + 45 a^{2} + 2 a + 44\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})$ 10a^5 + 71a^4 + 12a^3 + 80a^2 + 68a + 37 + (54a^5 + 4a^4 + 18a^3 + 86a^2 + 67a + 23)89 + (52a^5 + a^4 + 14a^3 + 53a^2 + 81a + 51)89^2 + (30a^5 + 60a^4 + 60a^3 + 76a^2 + 35a + 87)89^3 + (43a^5 + 44a^4 + 76a^3 + 82a^2 + 41a + 18)89^4 + (26a^5 + 80a^4 + 16a^3 + 80a^2 + 53a + 64)89^5 + (a^5 + 28a^4 + 10a^3 + 9a^2 + 20a + 32)89^6 + (56a^5 + 65a^4 + 28a^3 + 29a^2 + 85a + 4)89^7 + (44a^5 + 88a^4 + 57a^3 + 33a^2 + 87a + 13)89^8 + (23a^5 + 79a^4 + 38a^3 + 45a^2 + 2a + 44)*89^9+O(89^10)
$r_{ 11 }$	$=$	$ 74 a^{5} + 27 a^{4} + 8 a^{3} + 40 a^{2} + 11 a + 22 + \left(59 a^{5} + 79 a^{4} + 37 a^{3} + 63 a^{2} + 71 a + 45\right)\cdot 89 + \left(28 a^{5} + 10 a^{4} + 60 a^{3} + 39 a^{2} + 27 a + 9\right)\cdot 89^{2} + \left(84 a^{5} + 15 a^{4} + 59 a^{3} + 28 a^{2} + 58 a + 9\right)\cdot 89^{3} + \left(73 a^{5} + 70 a^{4} + 83 a^{3} + 78 a^{2} + 31 a + 80\right)\cdot 89^{4} + \left(38 a^{5} + 17 a^{4} + 18 a^{3} + 40 a^{2} + 35 a + 54\right)\cdot 89^{5} + \left(56 a^{5} + 64 a^{4} + 25 a^{3} + 45 a^{2} + 37 a + 3\right)\cdot 89^{6} + \left(5 a^{5} + 7 a^{4} + 20 a^{3} + 5 a^{2} + 33 a + 3\right)\cdot 89^{7} + \left(79 a^{5} + 42 a^{4} + 48 a^{3} + 55 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 89^{8} + \left(50 a^{5} + 38 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 46 a + 11\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})$ 74a^5 + 27a^4 + 8a^3 + 40a^2 + 11a + 22 + (59a^5 + 79a^4 + 37a^3 + 63a^2 + 71a + 45)89 + (28a^5 + 10a^4 + 60a^3 + 39a^2 + 27a + 9)89^2 + (84a^5 + 15a^4 + 59a^3 + 28a^2 + 58a + 9)89^3 + (73a^5 + 70a^4 + 83a^3 + 78a^2 + 31a + 80)89^4 + (38a^5 + 17a^4 + 18a^3 + 40a^2 + 35a + 54)89^5 + (56a^5 + 64a^4 + 25a^3 + 45a^2 + 37a + 3)89^6 + (5a^5 + 7a^4 + 20a^3 + 5a^2 + 33a + 3)89^7 + (79a^5 + 42a^4 + 48a^3 + 55a^2 + 12a + 10)89^8 + (50a^5 + 38a^4 + 5a^3 + 12a^2 + 46a + 11)*89^9+O(89^10)
$r_{ 12 }$	$=$	$ 31 a^{5} + 39 a^{4} + 19 a^{3} + 40 a^{2} + 4 a + 24 + \left(17 a^{5} + 75 a^{4} + 44 a^{3} + 29 a^{2} + 88 a + 75\right)\cdot 89 + \left(85 a^{5} + 69 a^{4} + 51 a^{3} + 35 a^{2} + 74 a + 85\right)\cdot 89^{2} + \left(71 a^{5} + 12 a^{4} + 54 a^{3} + 40 a^{2} + 14 a + 58\right)\cdot 89^{3} + \left(24 a^{5} + 3 a^{4} + 49 a^{3} + 55 a^{2} + 56 a + 62\right)\cdot 89^{4} + \left(5 a^{5} + 22 a^{4} + 30 a^{3} + 16 a^{2} + 32 a + 25\right)\cdot 89^{5} + \left(79 a^{5} + 30 a^{4} + 42 a^{3} + 13 a^{2} + 60 a + 65\right)\cdot 89^{6} + \left(34 a^{5} + 38 a^{4} + 50 a^{3} + 36 a^{2} + 41 a + 68\right)\cdot 89^{7} + \left(71 a^{5} + 75 a^{4} + 6 a^{3} + 78 a^{2} + 59 a + 15\right)\cdot 89^{8} + \left(3 a^{5} + 25 a^{4} + 74 a^{3} + 33 a^{2} + 13 a + 41\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})$ 31a^5 + 39a^4 + 19a^3 + 40a^2 + 4a + 24 + (17a^5 + 75a^4 + 44a^3 + 29a^2 + 88a + 75)89 + (85a^5 + 69a^4 + 51a^3 + 35a^2 + 74a + 85)89^2 + (71a^5 + 12a^4 + 54a^3 + 40a^2 + 14a + 58)89^3 + (24a^5 + 3a^4 + 49a^3 + 55a^2 + 56a + 62)89^4 + (5a^5 + 22a^4 + 30a^3 + 16a^2 + 32a + 25)89^5 + (79a^5 + 30a^4 + 42a^3 + 13a^2 + 60a + 65)89^6 + (34a^5 + 38a^4 + 50a^3 + 36a^2 + 41a + 68)89^7 + (71a^5 + 75a^4 + 6a^3 + 78a^2 + 59a + 15)89^8 + (3a^5 + 25a^4 + 74a^3 + 33a^2 + 13a + 41)*89^9+O(89^10)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$

Cycle notation
$(2,6,7,11,8,12,10,4,9,3)$
$(1,4,9,12,3,6,10,8,2,11,7)$
$(1,5)(2,3)(4,7)(6,9)(8,12)(10,11)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 12 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$11$
$55$	$2$	$(1,5)(2,3)(4,7)(6,9)(8,12)(10,11)$	$-1$
$66$	$2$	$(2,12)(3,8)(4,7)(6,10)(9,11)$	$-1$
$110$	$3$	$(1,7,5)(2,10,12)(3,9,8)(4,6,11)$	$-1$
$110$	$4$	$(1,6,7,5)(2,12,3,4)(8,9,11,10)$	$1$
$132$	$5$	$(2,7,8,10,9)(3,6,11,12,4)$	$1$
$132$	$5$	$(1,2,7,8,5)(4,9,11,6,10)$	$1$
$110$	$6$	$(1,4,2,7,10,8)(3,11,12,9,5,6)$	$-1$
$132$	$10$	$(2,6,7,11,8,12,10,4,9,3)$	$-1$
$132$	$10$	$(2,11,10,3,7,12,9,6,8,4)$	$-1$
$120$	$11$	$(1,4,9,12,3,6,10,8,2,11,7)$	$0$
$110$	$12$	$(1,6,4,3,2,11,7,12,10,9,8,5)$	$1$
$110$	$12$	$(1,11,8,3,10,6,7,5,2,9,4,12)$	$1$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	11.502...000.24t2949.a.a
Dimension	$11$
Group	$\PGL(2,11)$
Conductor	$5.021\times 10^{23}$
Root number	$1$
Indicator	$1$

$r_{ 1 }$	$=$	\( 25 a^{5} + 16 a^{4} + 31 a^{3} + 37 a^{2} + 4 a + 1 + \left(30 a^{5} + 16 a^{4} + 25 a^{3} + 71 a^{2} + 56 a + 8\right)\cdot 89 + \left(29 a^{5} + 88 a^{4} + 59 a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + 28\right)\cdot 89^{2} + \left(68 a^{5} + 84 a^{4} + 27 a^{3} + 59 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 89^{3} + \left(74 a^{5} + 42 a^{4} + 68 a^{3} + 27 a^{2} + 53 a + 22\right)\cdot 89^{4} + \left(20 a^{5} + 83 a^{4} + 77 a^{3} + 56 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 89^{5} + \left(60 a^{5} + 70 a^{4} + 52 a^{3} + 79 a^{2} + 53 a + 31\right)\cdot 89^{6} + \left(67 a^{5} + 55 a^{4} + 65 a^{3} + 35 a^{2} + 41 a + 16\right)\cdot 89^{7} + \left(24 a^{5} + 72 a^{4} + 24 a^{3} + 58 a^{2} + 16 a + 24\right)\cdot 89^{8} + \left(42 a^{5} + 86 a^{4} + 81 a^{3} + 47 a^{2} + 69 a + 8\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})\) 25a^5 + 16a^4 + 31a^3 + 37a^2 + 4a + 1 + (30a^5 + 16a^4 + 25a^3 + 71a^2 + 56a + 8)89 + (29a^5 + 88a^4 + 59a^3 + 6a^2 + 20a + 28)89^2 + (68a^5 + 84a^4 + 27a^3 + 59a^2 + 15a + 13)89^3 + (74a^5 + 42a^4 + 68a^3 + 27a^2 + 53a + 22)89^4 + (20a^5 + 83a^4 + 77a^3 + 56a^2 + 8a + 15)89^5 + (60a^5 + 70a^4 + 52a^3 + 79a^2 + 53a + 31)89^6 + (67a^5 + 55a^4 + 65a^3 + 35a^2 + 41a + 16)89^7 + (24a^5 + 72a^4 + 24a^3 + 58a^2 + 16a + 24)89^8 + (42a^5 + 86a^4 + 81a^3 + 47a^2 + 69a + 8)*89^9+O(89^10)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 56 a^{5} + 4 a^{4} + 50 a^{3} + 55 a^{2} + 82 a + 36 + \left(85 a^{5} + 8 a^{4} + 20 a^{2} + 10 a + 81\right)\cdot 89 + \left(72 a^{5} + 24 a^{4} + 57 a^{3} + 87 a^{2} + 66 a + 17\right)\cdot 89^{2} + \left(71 a^{5} + 58 a^{4} + 72 a^{3} + 9 a^{2} + 22\right)\cdot 89^{3} + \left(40 a^{5} + 15 a^{4} + 45 a^{3} + 35 a^{2} + 44 a + 26\right)\cdot 89^{4} + \left(65 a^{5} + 54 a^{4} + 34 a^{3} + 57 a^{2} + 21 a + 27\right)\cdot 89^{5} + \left(83 a^{5} + 16 a^{4} + 34 a^{3} + 64 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 89^{6} + \left(39 a^{5} + 35 a^{4} + 52 a^{3} + 22 a^{2} + 13 a + 75\right)\cdot 89^{7} + \left(80 a^{5} + 31 a^{4} + 53 a^{3} + 21 a^{2} + 25 a + 23\right)\cdot 89^{8} + \left(42 a^{5} + 70 a^{4} + 39 a^{3} + 37 a^{2} + 69 a + 88\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})\) 56a^5 + 4a^4 + 50a^3 + 55a^2 + 82a + 36 + (85a^5 + 8a^4 + 20a^2 + 10a + 81)89 + (72a^5 + 24a^4 + 57a^3 + 87a^2 + 66a + 17)89^2 + (71a^5 + 58a^4 + 72a^3 + 9a^2 + 22)89^3 + (40a^5 + 15a^4 + 45a^3 + 35a^2 + 44a + 26)89^4 + (65a^5 + 54a^4 + 34a^3 + 57a^2 + 21a + 27)89^5 + (83a^5 + 16a^4 + 34a^3 + 64a^2 + 13a + 1)89^6 + (39a^5 + 35a^4 + 52a^3 + 22a^2 + 13a + 75)89^7 + (80a^5 + 31a^4 + 53a^3 + 21a^2 + 25a + 23)89^8 + (42a^5 + 70a^4 + 39a^3 + 37a^2 + 69a + 88)*89^9+O(89^10)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 41 a^{5} + 25 a^{4} + 4 a^{3} + 37 a^{2} + 73 a + 36 + \left(77 a^{5} + 74 a^{4} + 69 a^{3} + 69 a^{2} + 29 a + 62\right)\cdot 89 + \left(74 a^{5} + 41 a^{4} + 55 a^{3} + 26 a^{2} + 28 a + 17\right)\cdot 89^{2} + \left(8 a^{5} + 79 a^{4} + 57 a^{3} + 54 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 89^{3} + \left(62 a^{5} + 75 a^{4} + 55 a^{3} + 9 a^{2} + 38 a + 51\right)\cdot 89^{4} + \left(47 a^{5} + 88 a^{4} + 3 a^{3} + 65 a^{2} + 38 a + 21\right)\cdot 89^{5} + \left(29 a^{5} + 83 a^{4} + 12 a^{3} + 68 a^{2} + 25 a + 5\right)\cdot 89^{6} + \left(22 a^{5} + 2 a^{4} + 38 a^{3} + 77 a^{2} + 8 a + 63\right)\cdot 89^{7} + \left(8 a^{5} + 27 a^{4} + 41 a^{3} + 37 a^{2} + 65 a + 3\right)\cdot 89^{8} + \left(6 a^{5} + 35 a^{4} + 25 a^{3} + 19 a^{2} + 10 a + 78\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})\) 41a^5 + 25a^4 + 4a^3 + 37a^2 + 73a + 36 + (77a^5 + 74a^4 + 69a^3 + 69a^2 + 29a + 62)89 + (74a^5 + 41a^4 + 55a^3 + 26a^2 + 28a + 17)89^2 + (8a^5 + 79a^4 + 57a^3 + 54a^2 + 9a + 8)89^3 + (62a^5 + 75a^4 + 55a^3 + 9a^2 + 38a + 51)89^4 + (47a^5 + 88a^4 + 3a^3 + 65a^2 + 38a + 21)89^5 + (29a^5 + 83a^4 + 12a^3 + 68a^2 + 25a + 5)89^6 + (22a^5 + 2a^4 + 38a^3 + 77a^2 + 8a + 63)89^7 + (8a^5 + 27a^4 + 41a^3 + 37a^2 + 65a + 3)89^8 + (6a^5 + 35a^4 + 25a^3 + 19a^2 + 10a + 78)*89^9+O(89^10)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 76 a^{5} + 59 a^{4} + 18 a^{3} + 36 a^{2} + 42 a + 71 + \left(62 a^{5} + 68 a^{4} + 24 a^{3} + 33 a^{2} + 83 a + 65\right)\cdot 89 + \left(38 a^{5} + 26 a^{4} + 83 a^{3} + 70 a^{2} + 41 a + 43\right)\cdot 89^{2} + \left(17 a^{5} + 58 a^{4} + 63 a^{3} + a^{2} + 39 a + 45\right)\cdot 89^{3} + \left(81 a^{5} + 9 a^{4} + 23 a^{3} + 6 a^{2} + 52 a + 8\right)\cdot 89^{4} + \left(51 a^{5} + 83 a^{4} + 8 a^{3} + 63 a^{2} + 5 a + 56\right)\cdot 89^{5} + \left(16 a^{5} + 4 a^{4} + 78 a^{3} + 17 a^{2} + 86 a + 57\right)\cdot 89^{6} + \left(33 a^{5} + 8 a^{4} + 77 a^{3} + 64 a^{2} + 28\right)\cdot 89^{7} + \left(66 a^{5} + 55 a^{4} + 63 a^{3} + 38 a^{2} + 29 a + 75\right)\cdot 89^{8} + \left(52 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 53 a^{2} + 63 a + 76\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})\) 76a^5 + 59a^4 + 18a^3 + 36a^2 + 42a + 71 + (62a^5 + 68a^4 + 24a^3 + 33a^2 + 83a + 65)89 + (38a^5 + 26a^4 + 83a^3 + 70a^2 + 41a + 43)89^2 + (17a^5 + 58a^4 + 63a^3 + a^2 + 39a + 45)89^3 + (81a^5 + 9a^4 + 23a^3 + 6a^2 + 52a + 8)89^4 + (51a^5 + 83a^4 + 8a^3 + 63a^2 + 5a + 56)89^5 + (16a^5 + 4a^4 + 78a^3 + 17a^2 + 86a + 57)89^6 + (33a^5 + 8a^4 + 77a^3 + 64a^2 + 28)89^7 + (66a^5 + 55a^4 + 63a^3 + 38a^2 + 29a + 75)89^8 + (52a^5 + 6a^4 + 8a^3 + 53a^2 + 63a + 76)*89^9+O(89^10)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 77 a^{5} + 85 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 26 + \left(87 a^{5} + 74 a^{4} + 5 a^{3} + 87 a^{2} + 17 a + 75\right)\cdot 89 + \left(61 a^{5} + 83 a^{4} + 52 a^{3} + 73 a^{2} + 68 a + 52\right)\cdot 89^{2} + \left(72 a^{5} + 8 a^{4} + 67 a^{3} + 44 a^{2} + 7\right)\cdot 89^{3} + \left(8 a^{5} + 50 a^{4} + 8 a^{3} + 27 a^{2} + 75 a + 54\right)\cdot 89^{4} + \left(61 a^{5} + 73 a^{4} + 57 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 26\right)\cdot 89^{5} + \left(11 a^{5} + 34 a^{4} + 87 a^{3} + 20 a^{2} + 20 a + 40\right)\cdot 89^{6} + \left(37 a^{5} + 18 a^{4} + 20 a^{3} + 16 a + 38\right)\cdot 89^{7} + \left(34 a^{5} + 55 a^{4} + 83 a^{2} + 37 a + 23\right)\cdot 89^{8} + \left(17 a^{5} + 8 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 41\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})\) 77a^5 + 85a^4 + 8a^3 + 10a^2 + 4a + 26 + (87a^5 + 74a^4 + 5a^3 + 87a^2 + 17a + 75)89 + (61a^5 + 83a^4 + 52a^3 + 73a^2 + 68a + 52)89^2 + (72a^5 + 8a^4 + 67a^3 + 44a^2 + 7)89^3 + (8a^5 + 50a^4 + 8a^3 + 27a^2 + 75a + 54)89^4 + (61a^5 + 73a^4 + 57a^3 + 3a^2 + 10a + 26)89^5 + (11a^5 + 34a^4 + 87a^3 + 20a^2 + 20a + 40)89^6 + (37a^5 + 18a^4 + 20a^3 + 16a + 38)89^7 + (34a^5 + 55a^4 + 83a^2 + 37a + 23)89^8 + (17a^5 + 8a^4 + 17a^3 + 8a^2 + 13a + 41)89^9+O(89^10)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 2 a^{5} + 53 a^{4} + 81 a^{3} + 50 a^{2} + 80 + \left(49 a^{5} + 70 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 50 a + 74\right)\cdot 89 + \left(18 a^{5} + 69 a^{4} + 15 a^{3} + 24 a^{2} + 83 a + 20\right)\cdot 89^{2} + \left(27 a^{5} + 84 a^{4} + 43 a^{3} + 74 a^{2} + 32 a + 13\right)\cdot 89^{3} + \left(55 a^{5} + 80 a^{4} + 23 a^{3} + 78 a^{2} + 47 a + 11\right)\cdot 89^{4} + \left(55 a^{5} + 22 a^{4} + 29 a^{3} + 33 a^{2} + 15 a + 47\right)\cdot 89^{5} + \left(57 a^{5} + 77 a^{4} + 54 a^{3} + 51 a^{2} + 47 a\right)\cdot 89^{6} + \left(17 a^{5} + 84 a^{4} + 11 a^{3} + 71 a^{2} + 60 a + 17\right)\cdot 89^{7} + \left(41 a^{5} + 69 a^{4} + 45 a^{3} + 26 a^{2} + 74 a + 38\right)\cdot 89^{8} + \left(28 a^{5} + 20 a^{4} + 42 a^{3} + 57 a^{2} + 28 a + 61\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})\) 2a^5 + 53a^4 + 81a^3 + 50a^2 + 80 + (49a^5 + 70a^4 + 2a^3 + 14a^2 + 50a + 74)89 + (18a^5 + 69a^4 + 15a^3 + 24a^2 + 83a + 20)89^2 + (27a^5 + 84a^4 + 43a^3 + 74a^2 + 32a + 13)89^3 + (55a^5 + 80a^4 + 23a^3 + 78a^2 + 47a + 11)89^4 + (55a^5 + 22a^4 + 29a^3 + 33a^2 + 15a + 47)89^5 + (57a^5 + 77a^4 + 54a^3 + 51a^2 + 47a)89^6 + (17a^5 + 84a^4 + 11a^3 + 71a^2 + 60a + 17)89^7 + (41a^5 + 69a^4 + 45a^3 + 26a^2 + 74a + 38)89^8 + (28a^5 + 20a^4 + 42a^3 + 57a^2 + 28a + 61)89^9+O(89^10)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 19 a^{5} + 51 a^{4} + 27 a^{3} + 33 a^{2} + 74 a + 38 + \left(56 a^{5} + 37 a^{4} + 24 a^{3} + 53 a^{2} + 67 a + 60\right)\cdot 89 + \left(71 a^{5} + 39 a^{4} + 9 a^{3} + 55 a^{2} + 16 a + 49\right)\cdot 89^{2} + \left(65 a^{5} + 4 a^{4} + 57 a^{3} + a^{2} + 44 a + 54\right)\cdot 89^{3} + \left(63 a^{5} + 79 a^{4} + 69 a^{3} + 7 a^{2} + 35 a + 17\right)\cdot 89^{4} + \left(74 a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + 35 a^{2} + 49 a + 18\right)\cdot 89^{5} + \left(13 a^{5} + 29 a^{4} + 57 a^{3} + 67 a^{2} + 43 a + 57\right)\cdot 89^{6} + \left(45 a^{5} + 37 a^{4} + 38 a^{3} + 71 a^{2} + 87 a + 17\right)\cdot 89^{7} + \left(16 a^{5} + 22 a^{4} + 2 a^{3} + 66 a^{2} + 72 a + 42\right)\cdot 89^{8} + \left(67 a^{5} + a^{4} + 60 a^{3} + 20 a^{2} + 83 a + 55\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})\) 19a^5 + 51a^4 + 27a^3 + 33a^2 + 74a + 38 + (56a^5 + 37a^4 + 24a^3 + 53a^2 + 67a + 60)89 + (71a^5 + 39a^4 + 9a^3 + 55a^2 + 16a + 49)89^2 + (65a^5 + 4a^4 + 57a^3 + a^2 + 44a + 54)89^3 + (63a^5 + 79a^4 + 69a^3 + 7a^2 + 35a + 17)89^4 + (74a^5 + 14a^4 + 7a^3 + 35a^2 + 49a + 18)89^5 + (13a^5 + 29a^4 + 57a^3 + 67a^2 + 43a + 57)89^6 + (45a^5 + 37a^4 + 38a^3 + 71a^2 + 87a + 17)89^7 + (16a^5 + 22a^4 + 2a^3 + 66a^2 + 72a + 42)89^8 + (67a^5 + a^4 + 60a^3 + 20a^2 + 83a + 55)*89^9+O(89^10)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 81 a^{5} + 66 a^{4} + 40 a^{3} + 26 a^{2} + 86 a + 38 + \left(66 a^{5} + 42 a^{4} + 85 a^{3} + a^{2} + 69 a + 31\right)\cdot 89 + \left(a^{5} + 87 a^{4} + 43 a^{3} + 82 a^{2} + 39 a + 8\right)\cdot 89^{2} + \left(13 a^{5} + 74 a^{3} + 28 a^{2} + 42 a + 10\right)\cdot 89^{3} + \left(52 a^{5} + 75 a^{4} + 71 a^{3} + 19 a^{2} + 40 a + 85\right)\cdot 89^{4} + \left(27 a^{5} + 39 a^{4} + 32 a^{3} + 63 a^{2} + 39 a + 82\right)\cdot 89^{5} + \left(2 a^{5} + 27 a^{4} + 34 a^{3} + 27 a^{2} + 50 a + 35\right)\cdot 89^{6} + \left(25 a^{5} + 65 a^{4} + 4 a^{3} + 43 a^{2} + 38 a + 68\right)\cdot 89^{7} + \left(34 a^{5} + 85 a^{4} + 65 a^{3} + 48 a^{2} + 35 a + 56\right)\cdot 89^{8} + \left(38 a^{5} + 21 a^{4} + 38 a^{3} + 62 a^{2} + 67 a + 62\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})\) 81a^5 + 66a^4 + 40a^3 + 26a^2 + 86a + 38 + (66a^5 + 42a^4 + 85a^3 + a^2 + 69a + 31)89 + (a^5 + 87a^4 + 43a^3 + 82a^2 + 39a + 8)89^2 + (13a^5 + 74a^3 + 28a^2 + 42a + 10)89^3 + (52a^5 + 75a^4 + 71a^3 + 19a^2 + 40a + 85)89^4 + (27a^5 + 39a^4 + 32a^3 + 63a^2 + 39a + 82)89^5 + (2a^5 + 27a^4 + 34a^3 + 27a^2 + 50a + 35)89^6 + (25a^5 + 65a^4 + 4a^3 + 43a^2 + 38a + 68)89^7 + (34a^5 + 85a^4 + 65a^3 + 48a^2 + 35a + 56)89^8 + (38a^5 + 21a^4 + 38a^3 + 62a^2 + 67a + 62)89^9+O(89^10)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 42 a^{5} + 38 a^{4} + 58 a^{3} + a^{2} + 86 a + 38 + \left(64 a^{5} + 70 a^{4} + 19 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 19\right)\cdot 89 + \left(86 a^{5} + 79 a^{4} + 32 a^{3} + 67 a^{2} + 73 a + 59\right)\cdot 89^{2} + \left(a^{5} + 65 a^{4} + 73 a^{3} + 24 a^{2} + 61 a + 25\right)\cdot 89^{3} + \left(42 a^{5} + 75 a^{4} + 45 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 89^{4} + \left(58 a^{5} + 41 a^{4} + 38 a^{3} + 18 a^{2} + 45 a + 5\right)\cdot 89^{5} + \left(32 a^{5} + 65 a^{4} + 45 a^{3} + 68 a^{2} + 76 a + 25\right)\cdot 89^{6} + \left(60 a^{5} + 25 a^{4} + 36 a^{3} + 75 a^{2} + 17 a + 44\right)\cdot 89^{7} + \left(32 a^{5} + 86 a^{4} + 36 a^{3} + 74 a^{2} + 18 a + 29\right)\cdot 89^{8} + \left(71 a^{5} + 48 a^{4} + 13 a^{3} + 45 a^{2} + 65 a + 54\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})\) 42a^5 + 38a^4 + 58a^3 + a^2 + 86a + 38 + (64a^5 + 70a^4 + 19a^3 + 3a^2 + 10a + 19)89 + (86a^5 + 79a^4 + 32a^3 + 67a^2 + 73a + 59)89^2 + (a^5 + 65a^4 + 73a^3 + 24a^2 + 61a + 25)89^3 + (42a^5 + 75a^4 + 45a^3 + 17a^2 + 18a + 7)89^4 + (58a^5 + 41a^4 + 38a^3 + 18a^2 + 45a + 5)89^5 + (32a^5 + 65a^4 + 45a^3 + 68a^2 + 76a + 25)89^6 + (60a^5 + 25a^4 + 36a^3 + 75a^2 + 17a + 44)89^7 + (32a^5 + 86a^4 + 36a^3 + 74a^2 + 18a + 29)89^8 + (71a^5 + 48a^4 + 13a^3 + 45a^2 + 65a + 54)*89^9+O(89^10)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 10 a^{5} + 71 a^{4} + 12 a^{3} + 80 a^{2} + 68 a + 37 + \left(54 a^{5} + 4 a^{4} + 18 a^{3} + 86 a^{2} + 67 a + 23\right)\cdot 89 + \left(52 a^{5} + a^{4} + 14 a^{3} + 53 a^{2} + 81 a + 51\right)\cdot 89^{2} + \left(30 a^{5} + 60 a^{4} + 60 a^{3} + 76 a^{2} + 35 a + 87\right)\cdot 89^{3} + \left(43 a^{5} + 44 a^{4} + 76 a^{3} + 82 a^{2} + 41 a + 18\right)\cdot 89^{4} + \left(26 a^{5} + 80 a^{4} + 16 a^{3} + 80 a^{2} + 53 a + 64\right)\cdot 89^{5} + \left(a^{5} + 28 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 20 a + 32\right)\cdot 89^{6} + \left(56 a^{5} + 65 a^{4} + 28 a^{3} + 29 a^{2} + 85 a + 4\right)\cdot 89^{7} + \left(44 a^{5} + 88 a^{4} + 57 a^{3} + 33 a^{2} + 87 a + 13\right)\cdot 89^{8} + \left(23 a^{5} + 79 a^{4} + 38 a^{3} + 45 a^{2} + 2 a + 44\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})\) 10a^5 + 71a^4 + 12a^3 + 80a^2 + 68a + 37 + (54a^5 + 4a^4 + 18a^3 + 86a^2 + 67a + 23)89 + (52a^5 + a^4 + 14a^3 + 53a^2 + 81a + 51)89^2 + (30a^5 + 60a^4 + 60a^3 + 76a^2 + 35a + 87)89^3 + (43a^5 + 44a^4 + 76a^3 + 82a^2 + 41a + 18)89^4 + (26a^5 + 80a^4 + 16a^3 + 80a^2 + 53a + 64)89^5 + (a^5 + 28a^4 + 10a^3 + 9a^2 + 20a + 32)89^6 + (56a^5 + 65a^4 + 28a^3 + 29a^2 + 85a + 4)89^7 + (44a^5 + 88a^4 + 57a^3 + 33a^2 + 87a + 13)89^8 + (23a^5 + 79a^4 + 38a^3 + 45a^2 + 2a + 44)*89^9+O(89^10)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 74 a^{5} + 27 a^{4} + 8 a^{3} + 40 a^{2} + 11 a + 22 + \left(59 a^{5} + 79 a^{4} + 37 a^{3} + 63 a^{2} + 71 a + 45\right)\cdot 89 + \left(28 a^{5} + 10 a^{4} + 60 a^{3} + 39 a^{2} + 27 a + 9\right)\cdot 89^{2} + \left(84 a^{5} + 15 a^{4} + 59 a^{3} + 28 a^{2} + 58 a + 9\right)\cdot 89^{3} + \left(73 a^{5} + 70 a^{4} + 83 a^{3} + 78 a^{2} + 31 a + 80\right)\cdot 89^{4} + \left(38 a^{5} + 17 a^{4} + 18 a^{3} + 40 a^{2} + 35 a + 54\right)\cdot 89^{5} + \left(56 a^{5} + 64 a^{4} + 25 a^{3} + 45 a^{2} + 37 a + 3\right)\cdot 89^{6} + \left(5 a^{5} + 7 a^{4} + 20 a^{3} + 5 a^{2} + 33 a + 3\right)\cdot 89^{7} + \left(79 a^{5} + 42 a^{4} + 48 a^{3} + 55 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 89^{8} + \left(50 a^{5} + 38 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 46 a + 11\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})\) 74a^5 + 27a^4 + 8a^3 + 40a^2 + 11a + 22 + (59a^5 + 79a^4 + 37a^3 + 63a^2 + 71a + 45)89 + (28a^5 + 10a^4 + 60a^3 + 39a^2 + 27a + 9)89^2 + (84a^5 + 15a^4 + 59a^3 + 28a^2 + 58a + 9)89^3 + (73a^5 + 70a^4 + 83a^3 + 78a^2 + 31a + 80)89^4 + (38a^5 + 17a^4 + 18a^3 + 40a^2 + 35a + 54)89^5 + (56a^5 + 64a^4 + 25a^3 + 45a^2 + 37a + 3)89^6 + (5a^5 + 7a^4 + 20a^3 + 5a^2 + 33a + 3)89^7 + (79a^5 + 42a^4 + 48a^3 + 55a^2 + 12a + 10)89^8 + (50a^5 + 38a^4 + 5a^3 + 12a^2 + 46a + 11)*89^9+O(89^10)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 31 a^{5} + 39 a^{4} + 19 a^{3} + 40 a^{2} + 4 a + 24 + \left(17 a^{5} + 75 a^{4} + 44 a^{3} + 29 a^{2} + 88 a + 75\right)\cdot 89 + \left(85 a^{5} + 69 a^{4} + 51 a^{3} + 35 a^{2} + 74 a + 85\right)\cdot 89^{2} + \left(71 a^{5} + 12 a^{4} + 54 a^{3} + 40 a^{2} + 14 a + 58\right)\cdot 89^{3} + \left(24 a^{5} + 3 a^{4} + 49 a^{3} + 55 a^{2} + 56 a + 62\right)\cdot 89^{4} + \left(5 a^{5} + 22 a^{4} + 30 a^{3} + 16 a^{2} + 32 a + 25\right)\cdot 89^{5} + \left(79 a^{5} + 30 a^{4} + 42 a^{3} + 13 a^{2} + 60 a + 65\right)\cdot 89^{6} + \left(34 a^{5} + 38 a^{4} + 50 a^{3} + 36 a^{2} + 41 a + 68\right)\cdot 89^{7} + \left(71 a^{5} + 75 a^{4} + 6 a^{3} + 78 a^{2} + 59 a + 15\right)\cdot 89^{8} + \left(3 a^{5} + 25 a^{4} + 74 a^{3} + 33 a^{2} + 13 a + 41\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})\) 31a^5 + 39a^4 + 19a^3 + 40a^2 + 4a + 24 + (17a^5 + 75a^4 + 44a^3 + 29a^2 + 88a + 75)89 + (85a^5 + 69a^4 + 51a^3 + 35a^2 + 74a + 85)89^2 + (71a^5 + 12a^4 + 54a^3 + 40a^2 + 14a + 58)89^3 + (24a^5 + 3a^4 + 49a^3 + 55a^2 + 56a + 62)89^4 + (5a^5 + 22a^4 + 30a^3 + 16a^2 + 32a + 25)89^5 + (79a^5 + 30a^4 + 42a^3 + 13a^2 + 60a + 65)89^6 + (34a^5 + 38a^4 + 50a^3 + 36a^2 + 41a + 68)89^7 + (71a^5 + 75a^4 + 6a^3 + 78a^2 + 59a + 15)89^8 + (3a^5 + 25a^4 + 74a^3 + 33a^2 + 13a + 41)*89^9+O(89^10)