LMFDB - Artin representation 11.25548081455797626762693120321.24t2949.a.a

Basic invariants

Dimension:	$11$
Group:	$\PGL(2,11)$
Conductor:	$255\!\cdots\!321$$\medspace = 3^{10} \cdot 11^{12} \cdot 13^{10} $
Frobenius-Schur indicator:	$1$
Root number:	$1$
Artin stem field:	Galois closure of 12.2.2322552859617966069335738211.1
Galois orbit size:	$1$
Smallest permutation container:	24T2949
Parity:	even
Determinant:	1.1.1t1.a.a
Projective image:	$\PGL(2,11)$
Projective stem field:	Galois closure of 12.2.2322552859617966069335738211.1

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{12} - 5 x^{11} + 22 x^{10} - 165 x^{8} + 330 x^{7} - 495 x^{6} + 660 x^{5} - 825 x^{4} + 275 x^{3} + \cdots - 1446 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 31 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 31 }$: $ x^{6} + 19x^{3} + 16x^{2} + 8x + 3 $ x^6 + 19*x^3 + 16*x^2 + 8*x + 3

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 17 a^{5} + 11 a^{4} + 21 a^{3} + 14 a^{2} + 25 a + 21 + \left(24 a^{5} + 30 a^{4} + a^{3} + 13 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 31 + \left(22 a^{5} + 17 a^{4} + 13 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 31^{2} + \left(4 a^{5} + 10 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 24\right)\cdot 31^{3} + \left(24 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 31^{4} + \left(6 a^{5} + 5 a^{4} + 21 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 31^{5} + \left(6 a^{5} + 23 a^{4} + 19 a^{3} + 14 a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 31^{6} + \left(10 a^{5} + 24 a^{4} + 18 a^{3} + 11 a^{2} + 27 a + 1\right)\cdot 31^{7} + \left(23 a^{5} + 19 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 31^{8} + \left(3 a^{5} + 2 a^{4} + 14 a^{3} + 19 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 17a^5 + 11a^4 + 21a^3 + 14a^2 + 25a + 21 + (24a^5 + 30a^4 + a^3 + 13a^2 + 10a + 18)31 + (22a^5 + 17a^4 + 13a^2 + 20a + 14)31^2 + (4a^5 + 10a^4 + a^3 + 15a^2 + 17a + 24)31^3 + (24a^5 + 3a^4 + 5a^3 + 3a^2 + 4a + 6)31^4 + (6a^5 + 5a^4 + 21a^3 + 17a^2 + 10a + 4)31^5 + (6a^5 + 23a^4 + 19a^3 + 14a^2 + 21a + 19)31^6 + (10a^5 + 24a^4 + 18a^3 + 11a^2 + 27a + 1)31^7 + (23a^5 + 19a^4 + 5a^3 + 6a^2 + 5a + 4)31^8 + (3a^5 + 2a^4 + 14a^3 + 19a^2 + 3a + 16)31^9+O(31^10)
$r_{ 2 }$	$=$	$ 10 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 22 a^{2} + 7 a + 9 + \left(13 a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a^{2} + 22 a + 12\right)\cdot 31 + \left(20 a^{5} + 13 a^{4} + 2 a^{3} + 29 a^{2} + 24 a + 16\right)\cdot 31^{2} + \left(23 a^{5} + 13 a^{4} + 30 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 31^{3} + \left(19 a^{5} + 13 a^{4} + 28 a^{3} + 23 a^{2} + 23 a + 28\right)\cdot 31^{4} + \left(24 a^{5} + 3 a^{4} + 7 a^{3} + 28 a^{2} + 29 a + 19\right)\cdot 31^{5} + \left(18 a^{5} + 4 a^{4} + 22 a^{3} + 7 a^{2} + 20\right)\cdot 31^{6} + \left(6 a^{5} + 6 a^{4} + 30 a^{3} + 11 a^{2} + 26 a + 9\right)\cdot 31^{7} + \left(20 a^{5} + 11 a^{4} + 10 a^{2} + 8 a + 23\right)\cdot 31^{8} + \left(15 a^{5} + 21 a^{4} + 19 a^{3} + 8 a^{2} + 26 a + 2\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 10a^5 + 14a^4 + 15a^3 + 22a^2 + 7a + 9 + (13a^5 + 10a^4 + 13a^3 + 3a^2 + 22a + 12)31 + (20a^5 + 13a^4 + 2a^3 + 29a^2 + 24a + 16)31^2 + (23a^5 + 13a^4 + 30a^3 + 13a^2 + 20a + 13)31^3 + (19a^5 + 13a^4 + 28a^3 + 23a^2 + 23a + 28)31^4 + (24a^5 + 3a^4 + 7a^3 + 28a^2 + 29a + 19)31^5 + (18a^5 + 4a^4 + 22a^3 + 7a^2 + 20)31^6 + (6a^5 + 6a^4 + 30a^3 + 11a^2 + 26a + 9)31^7 + (20a^5 + 11a^4 + 10a^2 + 8a + 23)31^8 + (15a^5 + 21a^4 + 19a^3 + 8a^2 + 26a + 2)*31^9+O(31^10)
$r_{ 3 }$	$=$	$ 25 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 25 + \left(14 a^{5} + 6 a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + 21 a + 29\right)\cdot 31 + \left(10 a^{5} + 15 a^{3} + 22 a^{2} + 30 a + 19\right)\cdot 31^{2} + \left(3 a^{5} + 20 a^{4} + 28 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 31^{3} + \left(12 a^{5} + 19 a^{4} + 27 a^{3} + 30 a^{2} + 19 a + 23\right)\cdot 31^{4} + \left(15 a^{5} + 18 a^{4} + 29 a^{3} + a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 31^{5} + \left(19 a^{5} + 3 a^{4} + 29 a^{3} + 14 a^{2} + 30 a + 5\right)\cdot 31^{6} + \left(24 a^{5} + 26 a^{4} + 19 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 31^{7} + \left(21 a^{5} + 19 a^{4} + 20 a^{3} + 8 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 31^{8} + \left(29 a^{5} + 22 a^{4} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 26\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 25a^5 + 11a^4 + 3a^3 + 9a^2 + 12a + 25 + (14a^5 + 6a^4 + 9a^3 + 14a^2 + 21a + 29)31 + (10a^5 + 15a^3 + 22a^2 + 30a + 19)31^2 + (3a^5 + 20a^4 + 28a^3 + 13a^2 + 11a + 10)31^3 + (12a^5 + 19a^4 + 27a^3 + 30a^2 + 19a + 23)31^4 + (15a^5 + 18a^4 + 29a^3 + a^2 + 22a + 8)31^5 + (19a^5 + 3a^4 + 29a^3 + 14a^2 + 30a + 5)31^6 + (24a^5 + 26a^4 + 19a^3 + 12a^2 + 15a + 3)31^7 + (21a^5 + 19a^4 + 20a^3 + 8a^2 + 21a + 13)31^8 + (29a^5 + 22a^4 + 15a^3 + 3a^2 + 3a + 26)*31^9+O(31^10)
$r_{ 4 }$	$=$	$ 26 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + 30 a^{2} + 26 + \left(20 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{2} + 15\right)\cdot 31 + \left(16 a^{5} + 11 a^{4} + 26 a^{3} + 4 a^{2} + a + 6\right)\cdot 31^{2} + \left(30 a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 16 a + 28\right)\cdot 31^{3} + \left(19 a^{5} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 28\right)\cdot 31^{4} + \left(12 a^{5} + 29 a^{4} + 17 a^{3} + 12 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 31^{5} + \left(5 a^{5} + 4 a^{4} + 19 a^{3} + 27 a^{2} + 21 a + 14\right)\cdot 31^{6} + \left(18 a^{4} + 16 a^{3} + 15 a^{2} + 24 a\right)\cdot 31^{7} + \left(14 a^{5} + 28 a^{4} + 22 a^{3} + 16 a^{2} + 20 a + 26\right)\cdot 31^{8} + \left(11 a^{5} + 27 a^{4} + 20 a^{3} + 27 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 26a^5 + 10a^4 + 6a^3 + 30a^2 + 26 + (20a^5 + 15a^4 + 3a^2 + 15)31 + (16a^5 + 11a^4 + 26a^3 + 4a^2 + a + 6)31^2 + (30a^5 + 6a^4 + 16a^3 + 13a^2 + 16a + 28)31^3 + (19a^5 + 10a^3 + 12a^2 + 11a + 28)31^4 + (12a^5 + 29a^4 + 17a^3 + 12a^2 + 16a + 13)31^5 + (5a^5 + 4a^4 + 19a^3 + 27a^2 + 21a + 14)31^6 + (18a^4 + 16a^3 + 15a^2 + 24a)31^7 + (14a^5 + 28a^4 + 22a^3 + 16a^2 + 20a + 26)31^8 + (11a^5 + 27a^4 + 20a^3 + 27a^2 + 19a + 11)*31^9+O(31^10)
$r_{ 5 }$	$=$	$ 2 a^{5} + 20 a^{4} + 5 a^{3} + 30 a^{2} + 10 a + 28 + \left(27 a^{5} + 21 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 24 a + 27\right)\cdot 31 + \left(16 a^{5} + 5 a^{4} + 29 a^{3} + 22 a^{2} + 28 a + 29\right)\cdot 31^{2} + \left(9 a^{5} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + 18 a^{2} + 29\right)\cdot 31^{3} + \left(18 a^{5} + 13 a^{4} + 8 a^{3} + 20 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 31^{4} + \left(22 a^{5} + 29 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 31^{5} + \left(25 a^{4} + 18 a^{3} + 23 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 31^{6} + \left(4 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + 4 a + 29\right)\cdot 31^{7} + \left(19 a^{3} + 15 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 31^{8} + \left(5 a^{5} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + 17 a^{2} + 25 a + 13\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 2a^5 + 20a^4 + 5a^3 + 30a^2 + 10a + 28 + (27a^5 + 21a^4 + 2a^3 + 18a^2 + 24a + 27)31 + (16a^5 + 5a^4 + 29a^3 + 22a^2 + 28a + 29)31^2 + (9a^5 + 15a^4 + 4a^3 + 18a^2 + 29)31^3 + (18a^5 + 13a^4 + 8a^3 + 20a^2 + 2a + 17)31^4 + (22a^5 + 29a^4 + a^3 + 8a^2 + 13a + 13)31^5 + (25a^4 + 18a^3 + 23a^2 + 14a + 10)31^6 + (4a^5 + 14a^4 + 15a^3 + 18a^2 + 4a + 29)31^7 + (19a^3 + 15a^2 + 12a + 12)31^8 + (5a^5 + 13a^4 + 7a^3 + 17a^2 + 25a + 13)31^9+O(31^10)
$r_{ 6 }$	$=$	$ 11 a^{5} + 20 a^{4} + 27 a^{3} + 30 a^{2} + 22 a + 10 + \left(18 a^{5} + 2 a^{4} + 19 a^{3} + 11 a^{2} + 19 a + 30\right)\cdot 31 + \left(9 a^{5} + 14 a^{4} + 11 a^{3} + 22 a^{2} + 23 a + 20\right)\cdot 31^{2} + \left(7 a^{5} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 31^{3} + \left(3 a^{5} + 26 a^{4} + 26 a^{3} + 30 a^{2} + 6 a + 27\right)\cdot 31^{4} + \left(2 a^{5} + 18 a^{4} + 29 a^{3} + 20 a^{2} + 30 a + 5\right)\cdot 31^{5} + \left(4 a^{5} + 21 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 31^{6} + \left(11 a^{5} + a^{4} + 23 a^{3} + 28 a^{2} + 28 a + 7\right)\cdot 31^{7} + \left(2 a^{5} + 13 a^{4} + 17 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 31^{8} + \left(30 a^{5} + 8 a^{4} + 19 a^{3} + 20 a^{2} + 17 a + 25\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 11a^5 + 20a^4 + 27a^3 + 30a^2 + 22a + 10 + (18a^5 + 2a^4 + 19a^3 + 11a^2 + 19a + 30)31 + (9a^5 + 14a^4 + 11a^3 + 22a^2 + 23a + 20)31^2 + (7a^5 + 12a^4 + 13a^3 + 15a^2 + 16a + 8)31^3 + (3a^5 + 26a^4 + 26a^3 + 30a^2 + 6a + 27)31^4 + (2a^5 + 18a^4 + 29a^3 + 20a^2 + 30a + 5)31^5 + (4a^5 + 21a^4 + 7a^3 + 8a^2 + 2a + 11)31^6 + (11a^5 + a^4 + 23a^3 + 28a^2 + 28a + 7)31^7 + (2a^5 + 13a^4 + 17a^3 + 6a^2 + 12a + 16)31^8 + (30a^5 + 8a^4 + 19a^3 + 20a^2 + 17a + 25)31^9+O(31^10)
$r_{ 7 }$	$=$	$ 25 a^{5} + 19 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 14 a + 12 + \left(5 a^{5} + 18 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 29\right)\cdot 31 + \left(16 a^{5} + 22 a^{4} + 29 a^{2} + 17 a + 27\right)\cdot 31^{2} + \left(18 a^{5} + 30 a^{4} + 27 a^{3} + 27 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 31^{3} + \left(8 a^{5} + 2 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 31^{4} + \left(18 a^{5} + 22 a^{4} + 15 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 31^{5} + \left(14 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 31^{6} + \left(11 a^{5} + 29 a^{4} + 6 a^{3} + 26 a^{2} + 22 a + 23\right)\cdot 31^{7} + \left(23 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 31^{8} + \left(27 a^{5} + 21 a^{4} + 29 a^{2} + 28 a + 15\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 25a^5 + 19a^4 + 6a^3 + a^2 + 14a + 12 + (5a^5 + 18a^4 + 11a^3 + 8a^2 + 3a + 29)31 + (16a^5 + 22a^4 + 29a^2 + 17a + 27)31^2 + (18a^5 + 30a^4 + 27a^3 + 27a^2 + 5a + 4)31^3 + (8a^5 + 2a^4 + 9a^3 + 8a^2 + 12a + 2)31^4 + (18a^5 + 22a^4 + 15a^3 + 4a^2 + 5a + 5)31^5 + (14a^5 + 8a^4 + 6a^3 + 8a^2 + 7a + 2)31^6 + (11a^5 + 29a^4 + 6a^3 + 26a^2 + 22a + 23)31^7 + (23a^5 + 9a^4 + 7a^3 + 5a^2 + 8a + 17)31^8 + (27a^5 + 21a^4 + 29a^2 + 28a + 15)31^9+O(31^10)
$r_{ 8 }$	$=$	$ 20 a^{5} + 26 a^{4} + 30 a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + \left(21 a^{5} + 19 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 27\right)\cdot 31 + \left(8 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 23 a + 9\right)\cdot 31^{2} + \left(6 a^{5} + 7 a^{4} + 22 a^{3} + 2 a^{2} + 29 a + 8\right)\cdot 31^{3} + \left(9 a^{5} + 13 a^{4} + 27 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 31^{4} + \left(29 a^{5} + 28 a^{4} + 17 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 31^{5} + \left(20 a^{5} + a^{4} + 29 a^{3} + 25 a^{2} + 24 a + 24\right)\cdot 31^{6} + \left(11 a^{5} + 5 a^{4} + 25 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 31^{7} + \left(26 a^{5} + 27 a^{4} + 4 a^{3} + 25 a^{2} + 19 a + 2\right)\cdot 31^{8} + \left(29 a^{5} + 26 a^{4} + 18 a^{3} + 12 a^{2} + 29 a + 29\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 20a^5 + 26a^4 + 30a^3 + 6a^2 + 20a + (21a^5 + 19a^4 + 14a^3 + 3a^2 + 13a + 27)31 + (8a^5 + 22a^4 + 17a^3 + 4a^2 + 23a + 9)31^2 + (6a^5 + 7a^4 + 22a^3 + 2a^2 + 29a + 8)31^3 + (9a^5 + 13a^4 + 27a^3 + 9a^2 + 11a + 6)31^4 + (29a^5 + 28a^4 + 17a^3 + 17a^2 + 10a + 9)31^5 + (20a^5 + a^4 + 29a^3 + 25a^2 + 24a + 24)31^6 + (11a^5 + 5a^4 + 25a^3 + 3a^2 + 15a + 17)31^7 + (26a^5 + 27a^4 + 4a^3 + 25a^2 + 19a + 2)31^8 + (29a^5 + 26a^4 + 18a^3 + 12a^2 + 29a + 29)31^9+O(31^10)
$r_{ 9 }$	$=$	$ 2 a^{5} + 2 a^{4} + 14 a^{3} + 6 a^{2} + 26 a + 30 + \left(13 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 30 a^{2} + 22 a + 9\right)\cdot 31 + \left(26 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 27\right)\cdot 31^{2} + \left(22 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 28 a^{2} + 23 a + 22\right)\cdot 31^{3} + \left(21 a^{5} + 6 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 31^{4} + \left(9 a^{5} + 29 a^{3} + 22 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 31^{5} + \left(9 a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{3} + 7 a^{2} + a + 16\right)\cdot 31^{6} + \left(30 a^{5} + 25 a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 26 a + 1\right)\cdot 31^{7} + \left(19 a^{5} + 16 a^{4} + 28 a^{3} + 15 a^{2} + 27 a + 11\right)\cdot 31^{8} + \left(23 a^{4} + 29 a^{3} + 29 a^{2} + 29 a + 29\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 2a^5 + 2a^4 + 14a^3 + 6a^2 + 26a + 30 + (13a^5 + 9a^4 + 8a^3 + 30a^2 + 22a + 9)31 + (26a^5 + 11a^4 + 15a^3 + 4a^2 + 6a + 27)31^2 + (22a^5 + 8a^4 + 8a^3 + 28a^2 + 23a + 22)31^3 + (21a^5 + 6a^4 + 10a^3 + 11a^2 + 20a + 9)31^4 + (9a^5 + 29a^3 + 22a^2 + 3a + 1)31^5 + (9a^5 + 4a^4 + 14a^3 + 7a^2 + a + 16)31^6 + (30a^5 + 25a^4 + 11a^3 + 4a^2 + 26a + 1)31^7 + (19a^5 + 16a^4 + 28a^3 + 15a^2 + 27a + 11)31^8 + (23a^4 + 29a^3 + 29a^2 + 29a + 29)31^9+O(31^10)
$r_{ 10 }$	$=$	$ 4 a^{5} + 10 a^{4} + 28 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 16 + \left(11 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 30 a + 5\right)\cdot 31 + \left(22 a^{5} + 11 a^{4} + 24 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 31^{2} + \left(3 a^{5} + 8 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 31^{3} + \left(25 a^{5} + 9 a^{4} + 23 a^{3} + 26 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 31^{4} + \left(13 a^{5} + 18 a^{4} + 26 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 31^{5} + \left(14 a^{5} + a^{4} + 14 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 31^{6} + \left(5 a^{5} + 29 a^{4} + 24 a^{3} + 8 a^{2} + 29 a + 10\right)\cdot 31^{7} + \left(13 a^{5} + 2 a^{4} + 23 a^{3} + 22 a^{2} + 23 a + 27\right)\cdot 31^{8} + \left(14 a^{5} + 23 a^{4} + 29 a^{3} + 30 a^{2} + 9 a + 29\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 4a^5 + 10a^4 + 28a^3 + 8a^2 + 16a + 16 + (11a^5 + 10a^4 + 9a^3 + 8a^2 + 30a + 5)31 + (22a^5 + 11a^4 + 24a^3 + 12a^2 + 5a + 11)31^2 + (3a^5 + 8a^4 + 13a^3 + 3a^2 + 9a + 17)31^3 + (25a^5 + 9a^4 + 23a^3 + 26a^2 + 15a + 8)31^4 + (13a^5 + 18a^4 + 26a^3 + 5a^2 + 13a + 7)31^5 + (14a^5 + a^4 + 14a^2 + 16a + 11)31^6 + (5a^5 + 29a^4 + 24a^3 + 8a^2 + 29a + 10)31^7 + (13a^5 + 2a^4 + 23a^3 + 22a^2 + 23a + 27)31^8 + (14a^5 + 23a^4 + 29a^3 + 30a^2 + 9a + 29)*31^9+O(31^10)
$r_{ 11 }$	$=$	$ 3 a^{5} + 20 a^{4} + 26 a^{3} + 20 a^{2} + 18 a + 12 + \left(3 a^{5} + 25 a^{4} + 13 a^{3} + 22 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 31 + \left(10 a^{5} + 8 a^{4} + 13 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 31^{2} + \left(27 a^{5} + 28 a^{4} + 29 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 31^{3} + \left(11 a^{5} + 26 a^{4} + 20 a^{3} + 28 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 31^{4} + \left(22 a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 21\right)\cdot 31^{5} + \left(23 a^{5} + 22 a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + 21 a + 26\right)\cdot 31^{6} + \left(15 a^{5} + 15 a^{4} + 20 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 31^{7} + \left(4 a^{5} + 17 a^{4} + 18 a^{3} + 18 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 31^{8} + \left(12 a^{5} + 16 a^{4} + 2 a^{3} + 21 a^{2} + 9 a + 30\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 3a^5 + 20a^4 + 26a^3 + 20a^2 + 18a + 12 + (3a^5 + 25a^4 + 13a^3 + 22a^2 + 19a + 11)31 + (10a^5 + 8a^4 + 13a^3 + 9a^2 + 9a + 14)31^2 + (27a^5 + 28a^4 + 29a^3 + 16a^2 + 6a + 9)31^3 + (11a^5 + 26a^4 + 20a^3 + 28a^2 + 15a + 7)31^4 + (22a^5 + 12a^4 + 6a^3 + 13a^2 + 13a + 21)31^5 + (23a^5 + 22a^4 + 9a^3 + 14a^2 + 21a + 26)31^6 + (15a^5 + 15a^4 + 20a^3 + 11a^2 + 4a + 6)31^7 + (4a^5 + 17a^4 + 18a^3 + 18a^2 + 3a + 14)31^8 + (12a^5 + 16a^4 + 2a^3 + 21a^2 + 9a + 30)*31^9+O(31^10)
$r_{ 12 }$	$=$	$ 10 a^{5} + 23 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 2 + \left(12 a^{5} + 15 a^{4} + 19 a^{3} + 16 a^{2} + 28 a + 30\right)\cdot 31 + \left(5 a^{5} + 15 a^{4} + 30 a^{3} + 11 a^{2} + 24 a + 17\right)\cdot 31^{2} + \left(28 a^{5} + 24 a^{4} + 20 a^{3} + 17 a^{2} + 27 a + 7\right)\cdot 31^{3} + \left(11 a^{5} + 19 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 19\right)\cdot 31^{4} + \left(8 a^{5} + 30 a^{4} + 13 a^{3} + a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 31^{5} + \left(17 a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + 20 a^{2} + 23 a + 24\right)\cdot 31^{6} + \left(23 a^{5} + 21 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 22 a + 12\right)\cdot 31^{7} + \left(16 a^{5} + 18 a^{4} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 31^{8} + \left(5 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 28 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 10a^5 + 23a^4 + 5a^3 + 10a^2 + 16a + 2 + (12a^5 + 15a^4 + 19a^3 + 16a^2 + 28a + 30)31 + (5a^5 + 15a^4 + 30a^3 + 11a^2 + 24a + 17)31^2 + (28a^5 + 24a^4 + 20a^3 + 17a^2 + 27a + 7)31^3 + (11a^5 + 19a^4 + 17a^3 + 11a^2 + 11a + 19)31^4 + (8a^5 + 30a^4 + 13a^3 + a^2 + 17a + 13)31^5 + (17a^5 + a^4 + 7a^3 + 20a^2 + 23a + 24)31^6 + (23a^5 + 21a^4 + 4a^3 + 2a^2 + 22a + 12)31^7 + (16a^5 + 18a^4 + 16a^3 + 4a^2 + 20a + 17)31^8 + (5a^5 + 9a^4 + 8a^3 + 28a^2 + 14a + 17)*31^9+O(31^10)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$

Cycle notation
$(3,4,5,7,8,10,11,12,6,9)$
$(1,6,9,11,3,5,12,10,4,8,7)$
$(1,2)(3,4)(5,9)(6,7)(8,12)(10,11)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 12 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$11$
$55$	$2$	$(1,2)(3,4)(5,9)(6,7)(8,12)(10,11)$	$-1$
$66$	$2$	$(3,10)(4,11)(5,12)(6,7)(8,9)$	$-1$
$110$	$3$	$(1,7,2)(3,9,10)(4,12,11)(5,8,6)$	$-1$
$110$	$4$	$(1,5,7,2)(3,6,4,11)(8,12,10,9)$	$1$
$132$	$5$	$(3,5,8,11,6)(4,7,10,12,9)$	$1$
$132$	$5$	$(1,4,7,10,2)(5,12,6,9,8)$	$1$
$110$	$6$	$(1,6,4,7,12,10)(2,5,3,8,11,9)$	$-1$
$132$	$10$	$(3,4,5,7,8,10,11,12,6,9)$	$-1$
$132$	$10$	$(3,7,11,9,5,10,6,4,8,12)$	$-1$
$120$	$11$	$(1,6,9,11,3,5,12,10,4,8,7)$	$0$
$110$	$12$	$(1,5,6,3,4,8,7,11,12,9,10,2)$	$1$
$110$	$12$	$(1,8,10,3,12,5,7,2,4,9,6,11)$	$1$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	11.255...321.24t2949.a.a
Dimension	$11$
Group	$\PGL(2,11)$
Conductor	$2.555\times 10^{28}$
Root number	$1$
Indicator	$1$

$r_{ 1 }$	$=$	\( 17 a^{5} + 11 a^{4} + 21 a^{3} + 14 a^{2} + 25 a + 21 + \left(24 a^{5} + 30 a^{4} + a^{3} + 13 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 31 + \left(22 a^{5} + 17 a^{4} + 13 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 31^{2} + \left(4 a^{5} + 10 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 24\right)\cdot 31^{3} + \left(24 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 31^{4} + \left(6 a^{5} + 5 a^{4} + 21 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 31^{5} + \left(6 a^{5} + 23 a^{4} + 19 a^{3} + 14 a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 31^{6} + \left(10 a^{5} + 24 a^{4} + 18 a^{3} + 11 a^{2} + 27 a + 1\right)\cdot 31^{7} + \left(23 a^{5} + 19 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 31^{8} + \left(3 a^{5} + 2 a^{4} + 14 a^{3} + 19 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 17a^5 + 11a^4 + 21a^3 + 14a^2 + 25a + 21 + (24a^5 + 30a^4 + a^3 + 13a^2 + 10a + 18)31 + (22a^5 + 17a^4 + 13a^2 + 20a + 14)31^2 + (4a^5 + 10a^4 + a^3 + 15a^2 + 17a + 24)31^3 + (24a^5 + 3a^4 + 5a^3 + 3a^2 + 4a + 6)31^4 + (6a^5 + 5a^4 + 21a^3 + 17a^2 + 10a + 4)31^5 + (6a^5 + 23a^4 + 19a^3 + 14a^2 + 21a + 19)31^6 + (10a^5 + 24a^4 + 18a^3 + 11a^2 + 27a + 1)31^7 + (23a^5 + 19a^4 + 5a^3 + 6a^2 + 5a + 4)31^8 + (3a^5 + 2a^4 + 14a^3 + 19a^2 + 3a + 16)31^9+O(31^10)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 10 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 22 a^{2} + 7 a + 9 + \left(13 a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a^{2} + 22 a + 12\right)\cdot 31 + \left(20 a^{5} + 13 a^{4} + 2 a^{3} + 29 a^{2} + 24 a + 16\right)\cdot 31^{2} + \left(23 a^{5} + 13 a^{4} + 30 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 31^{3} + \left(19 a^{5} + 13 a^{4} + 28 a^{3} + 23 a^{2} + 23 a + 28\right)\cdot 31^{4} + \left(24 a^{5} + 3 a^{4} + 7 a^{3} + 28 a^{2} + 29 a + 19\right)\cdot 31^{5} + \left(18 a^{5} + 4 a^{4} + 22 a^{3} + 7 a^{2} + 20\right)\cdot 31^{6} + \left(6 a^{5} + 6 a^{4} + 30 a^{3} + 11 a^{2} + 26 a + 9\right)\cdot 31^{7} + \left(20 a^{5} + 11 a^{4} + 10 a^{2} + 8 a + 23\right)\cdot 31^{8} + \left(15 a^{5} + 21 a^{4} + 19 a^{3} + 8 a^{2} + 26 a + 2\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 10a^5 + 14a^4 + 15a^3 + 22a^2 + 7a + 9 + (13a^5 + 10a^4 + 13a^3 + 3a^2 + 22a + 12)31 + (20a^5 + 13a^4 + 2a^3 + 29a^2 + 24a + 16)31^2 + (23a^5 + 13a^4 + 30a^3 + 13a^2 + 20a + 13)31^3 + (19a^5 + 13a^4 + 28a^3 + 23a^2 + 23a + 28)31^4 + (24a^5 + 3a^4 + 7a^3 + 28a^2 + 29a + 19)31^5 + (18a^5 + 4a^4 + 22a^3 + 7a^2 + 20)31^6 + (6a^5 + 6a^4 + 30a^3 + 11a^2 + 26a + 9)31^7 + (20a^5 + 11a^4 + 10a^2 + 8a + 23)31^8 + (15a^5 + 21a^4 + 19a^3 + 8a^2 + 26a + 2)*31^9+O(31^10)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 25 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 25 + \left(14 a^{5} + 6 a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + 21 a + 29\right)\cdot 31 + \left(10 a^{5} + 15 a^{3} + 22 a^{2} + 30 a + 19\right)\cdot 31^{2} + \left(3 a^{5} + 20 a^{4} + 28 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 31^{3} + \left(12 a^{5} + 19 a^{4} + 27 a^{3} + 30 a^{2} + 19 a + 23\right)\cdot 31^{4} + \left(15 a^{5} + 18 a^{4} + 29 a^{3} + a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 31^{5} + \left(19 a^{5} + 3 a^{4} + 29 a^{3} + 14 a^{2} + 30 a + 5\right)\cdot 31^{6} + \left(24 a^{5} + 26 a^{4} + 19 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 31^{7} + \left(21 a^{5} + 19 a^{4} + 20 a^{3} + 8 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 31^{8} + \left(29 a^{5} + 22 a^{4} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 26\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 25a^5 + 11a^4 + 3a^3 + 9a^2 + 12a + 25 + (14a^5 + 6a^4 + 9a^3 + 14a^2 + 21a + 29)31 + (10a^5 + 15a^3 + 22a^2 + 30a + 19)31^2 + (3a^5 + 20a^4 + 28a^3 + 13a^2 + 11a + 10)31^3 + (12a^5 + 19a^4 + 27a^3 + 30a^2 + 19a + 23)31^4 + (15a^5 + 18a^4 + 29a^3 + a^2 + 22a + 8)31^5 + (19a^5 + 3a^4 + 29a^3 + 14a^2 + 30a + 5)31^6 + (24a^5 + 26a^4 + 19a^3 + 12a^2 + 15a + 3)31^7 + (21a^5 + 19a^4 + 20a^3 + 8a^2 + 21a + 13)31^8 + (29a^5 + 22a^4 + 15a^3 + 3a^2 + 3a + 26)*31^9+O(31^10)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 26 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + 30 a^{2} + 26 + \left(20 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{2} + 15\right)\cdot 31 + \left(16 a^{5} + 11 a^{4} + 26 a^{3} + 4 a^{2} + a + 6\right)\cdot 31^{2} + \left(30 a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 16 a + 28\right)\cdot 31^{3} + \left(19 a^{5} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 28\right)\cdot 31^{4} + \left(12 a^{5} + 29 a^{4} + 17 a^{3} + 12 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 31^{5} + \left(5 a^{5} + 4 a^{4} + 19 a^{3} + 27 a^{2} + 21 a + 14\right)\cdot 31^{6} + \left(18 a^{4} + 16 a^{3} + 15 a^{2} + 24 a\right)\cdot 31^{7} + \left(14 a^{5} + 28 a^{4} + 22 a^{3} + 16 a^{2} + 20 a + 26\right)\cdot 31^{8} + \left(11 a^{5} + 27 a^{4} + 20 a^{3} + 27 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 26a^5 + 10a^4 + 6a^3 + 30a^2 + 26 + (20a^5 + 15a^4 + 3a^2 + 15)31 + (16a^5 + 11a^4 + 26a^3 + 4a^2 + a + 6)31^2 + (30a^5 + 6a^4 + 16a^3 + 13a^2 + 16a + 28)31^3 + (19a^5 + 10a^3 + 12a^2 + 11a + 28)31^4 + (12a^5 + 29a^4 + 17a^3 + 12a^2 + 16a + 13)31^5 + (5a^5 + 4a^4 + 19a^3 + 27a^2 + 21a + 14)31^6 + (18a^4 + 16a^3 + 15a^2 + 24a)31^7 + (14a^5 + 28a^4 + 22a^3 + 16a^2 + 20a + 26)31^8 + (11a^5 + 27a^4 + 20a^3 + 27a^2 + 19a + 11)*31^9+O(31^10)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 2 a^{5} + 20 a^{4} + 5 a^{3} + 30 a^{2} + 10 a + 28 + \left(27 a^{5} + 21 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 24 a + 27\right)\cdot 31 + \left(16 a^{5} + 5 a^{4} + 29 a^{3} + 22 a^{2} + 28 a + 29\right)\cdot 31^{2} + \left(9 a^{5} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + 18 a^{2} + 29\right)\cdot 31^{3} + \left(18 a^{5} + 13 a^{4} + 8 a^{3} + 20 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 31^{4} + \left(22 a^{5} + 29 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 31^{5} + \left(25 a^{4} + 18 a^{3} + 23 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 31^{6} + \left(4 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + 4 a + 29\right)\cdot 31^{7} + \left(19 a^{3} + 15 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 31^{8} + \left(5 a^{5} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + 17 a^{2} + 25 a + 13\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 2a^5 + 20a^4 + 5a^3 + 30a^2 + 10a + 28 + (27a^5 + 21a^4 + 2a^3 + 18a^2 + 24a + 27)31 + (16a^5 + 5a^4 + 29a^3 + 22a^2 + 28a + 29)31^2 + (9a^5 + 15a^4 + 4a^3 + 18a^2 + 29)31^3 + (18a^5 + 13a^4 + 8a^3 + 20a^2 + 2a + 17)31^4 + (22a^5 + 29a^4 + a^3 + 8a^2 + 13a + 13)31^5 + (25a^4 + 18a^3 + 23a^2 + 14a + 10)31^6 + (4a^5 + 14a^4 + 15a^3 + 18a^2 + 4a + 29)31^7 + (19a^3 + 15a^2 + 12a + 12)31^8 + (5a^5 + 13a^4 + 7a^3 + 17a^2 + 25a + 13)31^9+O(31^10)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 11 a^{5} + 20 a^{4} + 27 a^{3} + 30 a^{2} + 22 a + 10 + \left(18 a^{5} + 2 a^{4} + 19 a^{3} + 11 a^{2} + 19 a + 30\right)\cdot 31 + \left(9 a^{5} + 14 a^{4} + 11 a^{3} + 22 a^{2} + 23 a + 20\right)\cdot 31^{2} + \left(7 a^{5} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 31^{3} + \left(3 a^{5} + 26 a^{4} + 26 a^{3} + 30 a^{2} + 6 a + 27\right)\cdot 31^{4} + \left(2 a^{5} + 18 a^{4} + 29 a^{3} + 20 a^{2} + 30 a + 5\right)\cdot 31^{5} + \left(4 a^{5} + 21 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 31^{6} + \left(11 a^{5} + a^{4} + 23 a^{3} + 28 a^{2} + 28 a + 7\right)\cdot 31^{7} + \left(2 a^{5} + 13 a^{4} + 17 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 31^{8} + \left(30 a^{5} + 8 a^{4} + 19 a^{3} + 20 a^{2} + 17 a + 25\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 11a^5 + 20a^4 + 27a^3 + 30a^2 + 22a + 10 + (18a^5 + 2a^4 + 19a^3 + 11a^2 + 19a + 30)31 + (9a^5 + 14a^4 + 11a^3 + 22a^2 + 23a + 20)31^2 + (7a^5 + 12a^4 + 13a^3 + 15a^2 + 16a + 8)31^3 + (3a^5 + 26a^4 + 26a^3 + 30a^2 + 6a + 27)31^4 + (2a^5 + 18a^4 + 29a^3 + 20a^2 + 30a + 5)31^5 + (4a^5 + 21a^4 + 7a^3 + 8a^2 + 2a + 11)31^6 + (11a^5 + a^4 + 23a^3 + 28a^2 + 28a + 7)31^7 + (2a^5 + 13a^4 + 17a^3 + 6a^2 + 12a + 16)31^8 + (30a^5 + 8a^4 + 19a^3 + 20a^2 + 17a + 25)31^9+O(31^10)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 25 a^{5} + 19 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 14 a + 12 + \left(5 a^{5} + 18 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 29\right)\cdot 31 + \left(16 a^{5} + 22 a^{4} + 29 a^{2} + 17 a + 27\right)\cdot 31^{2} + \left(18 a^{5} + 30 a^{4} + 27 a^{3} + 27 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 31^{3} + \left(8 a^{5} + 2 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 31^{4} + \left(18 a^{5} + 22 a^{4} + 15 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 31^{5} + \left(14 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 31^{6} + \left(11 a^{5} + 29 a^{4} + 6 a^{3} + 26 a^{2} + 22 a + 23\right)\cdot 31^{7} + \left(23 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 31^{8} + \left(27 a^{5} + 21 a^{4} + 29 a^{2} + 28 a + 15\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 25a^5 + 19a^4 + 6a^3 + a^2 + 14a + 12 + (5a^5 + 18a^4 + 11a^3 + 8a^2 + 3a + 29)31 + (16a^5 + 22a^4 + 29a^2 + 17a + 27)31^2 + (18a^5 + 30a^4 + 27a^3 + 27a^2 + 5a + 4)31^3 + (8a^5 + 2a^4 + 9a^3 + 8a^2 + 12a + 2)31^4 + (18a^5 + 22a^4 + 15a^3 + 4a^2 + 5a + 5)31^5 + (14a^5 + 8a^4 + 6a^3 + 8a^2 + 7a + 2)31^6 + (11a^5 + 29a^4 + 6a^3 + 26a^2 + 22a + 23)31^7 + (23a^5 + 9a^4 + 7a^3 + 5a^2 + 8a + 17)31^8 + (27a^5 + 21a^4 + 29a^2 + 28a + 15)31^9+O(31^10)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 20 a^{5} + 26 a^{4} + 30 a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + \left(21 a^{5} + 19 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 27\right)\cdot 31 + \left(8 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 23 a + 9\right)\cdot 31^{2} + \left(6 a^{5} + 7 a^{4} + 22 a^{3} + 2 a^{2} + 29 a + 8\right)\cdot 31^{3} + \left(9 a^{5} + 13 a^{4} + 27 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 31^{4} + \left(29 a^{5} + 28 a^{4} + 17 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 31^{5} + \left(20 a^{5} + a^{4} + 29 a^{3} + 25 a^{2} + 24 a + 24\right)\cdot 31^{6} + \left(11 a^{5} + 5 a^{4} + 25 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 31^{7} + \left(26 a^{5} + 27 a^{4} + 4 a^{3} + 25 a^{2} + 19 a + 2\right)\cdot 31^{8} + \left(29 a^{5} + 26 a^{4} + 18 a^{3} + 12 a^{2} + 29 a + 29\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 20a^5 + 26a^4 + 30a^3 + 6a^2 + 20a + (21a^5 + 19a^4 + 14a^3 + 3a^2 + 13a + 27)31 + (8a^5 + 22a^4 + 17a^3 + 4a^2 + 23a + 9)31^2 + (6a^5 + 7a^4 + 22a^3 + 2a^2 + 29a + 8)31^3 + (9a^5 + 13a^4 + 27a^3 + 9a^2 + 11a + 6)31^4 + (29a^5 + 28a^4 + 17a^3 + 17a^2 + 10a + 9)31^5 + (20a^5 + a^4 + 29a^3 + 25a^2 + 24a + 24)31^6 + (11a^5 + 5a^4 + 25a^3 + 3a^2 + 15a + 17)31^7 + (26a^5 + 27a^4 + 4a^3 + 25a^2 + 19a + 2)31^8 + (29a^5 + 26a^4 + 18a^3 + 12a^2 + 29a + 29)31^9+O(31^10)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 2 a^{5} + 2 a^{4} + 14 a^{3} + 6 a^{2} + 26 a + 30 + \left(13 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 30 a^{2} + 22 a + 9\right)\cdot 31 + \left(26 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 27\right)\cdot 31^{2} + \left(22 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 28 a^{2} + 23 a + 22\right)\cdot 31^{3} + \left(21 a^{5} + 6 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 31^{4} + \left(9 a^{5} + 29 a^{3} + 22 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 31^{5} + \left(9 a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{3} + 7 a^{2} + a + 16\right)\cdot 31^{6} + \left(30 a^{5} + 25 a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 26 a + 1\right)\cdot 31^{7} + \left(19 a^{5} + 16 a^{4} + 28 a^{3} + 15 a^{2} + 27 a + 11\right)\cdot 31^{8} + \left(23 a^{4} + 29 a^{3} + 29 a^{2} + 29 a + 29\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 2a^5 + 2a^4 + 14a^3 + 6a^2 + 26a + 30 + (13a^5 + 9a^4 + 8a^3 + 30a^2 + 22a + 9)31 + (26a^5 + 11a^4 + 15a^3 + 4a^2 + 6a + 27)31^2 + (22a^5 + 8a^4 + 8a^3 + 28a^2 + 23a + 22)31^3 + (21a^5 + 6a^4 + 10a^3 + 11a^2 + 20a + 9)31^4 + (9a^5 + 29a^3 + 22a^2 + 3a + 1)31^5 + (9a^5 + 4a^4 + 14a^3 + 7a^2 + a + 16)31^6 + (30a^5 + 25a^4 + 11a^3 + 4a^2 + 26a + 1)31^7 + (19a^5 + 16a^4 + 28a^3 + 15a^2 + 27a + 11)31^8 + (23a^4 + 29a^3 + 29a^2 + 29a + 29)31^9+O(31^10)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 4 a^{5} + 10 a^{4} + 28 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 16 + \left(11 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 30 a + 5\right)\cdot 31 + \left(22 a^{5} + 11 a^{4} + 24 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 31^{2} + \left(3 a^{5} + 8 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 31^{3} + \left(25 a^{5} + 9 a^{4} + 23 a^{3} + 26 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 31^{4} + \left(13 a^{5} + 18 a^{4} + 26 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 31^{5} + \left(14 a^{5} + a^{4} + 14 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 31^{6} + \left(5 a^{5} + 29 a^{4} + 24 a^{3} + 8 a^{2} + 29 a + 10\right)\cdot 31^{7} + \left(13 a^{5} + 2 a^{4} + 23 a^{3} + 22 a^{2} + 23 a + 27\right)\cdot 31^{8} + \left(14 a^{5} + 23 a^{4} + 29 a^{3} + 30 a^{2} + 9 a + 29\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 4a^5 + 10a^4 + 28a^3 + 8a^2 + 16a + 16 + (11a^5 + 10a^4 + 9a^3 + 8a^2 + 30a + 5)31 + (22a^5 + 11a^4 + 24a^3 + 12a^2 + 5a + 11)31^2 + (3a^5 + 8a^4 + 13a^3 + 3a^2 + 9a + 17)31^3 + (25a^5 + 9a^4 + 23a^3 + 26a^2 + 15a + 8)31^4 + (13a^5 + 18a^4 + 26a^3 + 5a^2 + 13a + 7)31^5 + (14a^5 + a^4 + 14a^2 + 16a + 11)31^6 + (5a^5 + 29a^4 + 24a^3 + 8a^2 + 29a + 10)31^7 + (13a^5 + 2a^4 + 23a^3 + 22a^2 + 23a + 27)31^8 + (14a^5 + 23a^4 + 29a^3 + 30a^2 + 9a + 29)*31^9+O(31^10)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 3 a^{5} + 20 a^{4} + 26 a^{3} + 20 a^{2} + 18 a + 12 + \left(3 a^{5} + 25 a^{4} + 13 a^{3} + 22 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 31 + \left(10 a^{5} + 8 a^{4} + 13 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 31^{2} + \left(27 a^{5} + 28 a^{4} + 29 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 31^{3} + \left(11 a^{5} + 26 a^{4} + 20 a^{3} + 28 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 31^{4} + \left(22 a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 21\right)\cdot 31^{5} + \left(23 a^{5} + 22 a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + 21 a + 26\right)\cdot 31^{6} + \left(15 a^{5} + 15 a^{4} + 20 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 31^{7} + \left(4 a^{5} + 17 a^{4} + 18 a^{3} + 18 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 31^{8} + \left(12 a^{5} + 16 a^{4} + 2 a^{3} + 21 a^{2} + 9 a + 30\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 3a^5 + 20a^4 + 26a^3 + 20a^2 + 18a + 12 + (3a^5 + 25a^4 + 13a^3 + 22a^2 + 19a + 11)31 + (10a^5 + 8a^4 + 13a^3 + 9a^2 + 9a + 14)31^2 + (27a^5 + 28a^4 + 29a^3 + 16a^2 + 6a + 9)31^3 + (11a^5 + 26a^4 + 20a^3 + 28a^2 + 15a + 7)31^4 + (22a^5 + 12a^4 + 6a^3 + 13a^2 + 13a + 21)31^5 + (23a^5 + 22a^4 + 9a^3 + 14a^2 + 21a + 26)31^6 + (15a^5 + 15a^4 + 20a^3 + 11a^2 + 4a + 6)31^7 + (4a^5 + 17a^4 + 18a^3 + 18a^2 + 3a + 14)31^8 + (12a^5 + 16a^4 + 2a^3 + 21a^2 + 9a + 30)*31^9+O(31^10)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 10 a^{5} + 23 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 2 + \left(12 a^{5} + 15 a^{4} + 19 a^{3} + 16 a^{2} + 28 a + 30\right)\cdot 31 + \left(5 a^{5} + 15 a^{4} + 30 a^{3} + 11 a^{2} + 24 a + 17\right)\cdot 31^{2} + \left(28 a^{5} + 24 a^{4} + 20 a^{3} + 17 a^{2} + 27 a + 7\right)\cdot 31^{3} + \left(11 a^{5} + 19 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 19\right)\cdot 31^{4} + \left(8 a^{5} + 30 a^{4} + 13 a^{3} + a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 31^{5} + \left(17 a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + 20 a^{2} + 23 a + 24\right)\cdot 31^{6} + \left(23 a^{5} + 21 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 22 a + 12\right)\cdot 31^{7} + \left(16 a^{5} + 18 a^{4} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 31^{8} + \left(5 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 28 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 10a^5 + 23a^4 + 5a^3 + 10a^2 + 16a + 2 + (12a^5 + 15a^4 + 19a^3 + 16a^2 + 28a + 30)31 + (5a^5 + 15a^4 + 30a^3 + 11a^2 + 24a + 17)31^2 + (28a^5 + 24a^4 + 20a^3 + 17a^2 + 27a + 7)31^3 + (11a^5 + 19a^4 + 17a^3 + 11a^2 + 11a + 19)31^4 + (8a^5 + 30a^4 + 13a^3 + a^2 + 17a + 13)31^5 + (17a^5 + a^4 + 7a^3 + 20a^2 + 23a + 24)31^6 + (23a^5 + 21a^4 + 4a^3 + 2a^2 + 22a + 12)31^7 + (16a^5 + 18a^4 + 16a^3 + 4a^2 + 20a + 17)31^8 + (5a^5 + 9a^4 + 8a^3 + 28a^2 + 14a + 17)*31^9+O(31^10)