LMFDB - Artin representation 11.19241912323039288533050521.24t2949.a.a

Basic invariants

Dimension:	$11$
Group:	$\PGL(2,11)$
Conductor:	$192\!\cdots\!521$$\medspace = 11^{12} \cdot 19^{10} $
Frobenius-Schur indicator:	$1$
Root number:	$1$
Artin stem field:	Galois closure of 12.2.1749264756639935321186411.1
Galois orbit size:	$1$
Smallest permutation container:	24T2949
Parity:	even
Determinant:	1.1.1t1.a.a
Projective image:	$\PGL(2,11)$
Projective stem field:	Galois closure of 12.2.1749264756639935321186411.1

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{12} - 4 x^{11} + 22 x^{10} - 55 x^{9} + 132 x^{7} - 253 x^{6} + 264 x^{5} - 330 x^{4} + 275 x^{3} + \cdots - 344 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 31 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 31 }$: $ x^{6} + 19x^{3} + 16x^{2} + 8x + 3 $ x^6 + 19*x^3 + 16*x^2 + 8*x + 3

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 5 a^{5} + 12 a^{4} + 29 a^{3} + 22 a^{2} + 16 a + 8 + \left(10 a^{5} + 13 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 25 a + 25\right)\cdot 31 + \left(6 a^{5} + 21 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 4\right)\cdot 31^{2} + \left(21 a^{5} + 6 a^{4} + 4 a^{3} + 22 a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 31^{3} + \left(4 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 13 a^{2} + 30 a + 4\right)\cdot 31^{4} + \left(12 a^{5} + 24 a^{4} + 6 a^{3} + 23 a^{2} + 24 a + 17\right)\cdot 31^{5} + \left(28 a^{5} + 12 a^{4} + 20 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 31^{6} + \left(26 a^{5} + 27 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 31^{7} + \left(24 a^{5} + 6 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 31^{8} + \left(29 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 24 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 5a^5 + 12a^4 + 29a^3 + 22a^2 + 16a + 8 + (10a^5 + 13a^4 + 18a^3 + 3a^2 + 25a + 25)31 + (6a^5 + 21a^4 + 17a^3 + 4a^2 + 4)31^2 + (21a^5 + 6a^4 + 4a^3 + 22a^2 + 6a + 22)31^3 + (4a^5 + 7a^4 + 5a^3 + 13a^2 + 30a + 4)31^4 + (12a^5 + 24a^4 + 6a^3 + 23a^2 + 24a + 17)31^5 + (28a^5 + 12a^4 + 20a^3 + 3a^2 + 9a + 2)31^6 + (26a^5 + 27a^4 + 10a^3 + 9a^2 + 14a + 13)31^7 + (24a^5 + 6a^4 + 18a^3 + 7a^2 + 12a + 8)31^8 + (29a^5 + 9a^4 + 4a^3 + 24a^2 + 8a + 14)31^9+O(31^10)
$r_{ 2 }$	$=$	$ 17 a^{5} + 16 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 10 + \left(11 a^{5} + 2 a^{4} + 21 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 31 + \left(20 a^{5} + 23 a^{4} + 28 a^{3} + 21 a^{2} + 9 a + 22\right)\cdot 31^{2} + \left(4 a^{5} + 9 a^{4} + 26 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 31^{3} + \left(24 a^{5} + 9 a^{4} + 26 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 27\right)\cdot 31^{4} + \left(27 a^{5} + 20 a^{4} + 14 a^{3} + 20 a^{2} + 28 a + 24\right)\cdot 31^{5} + \left(13 a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + 25 a^{2} + 16 a + 23\right)\cdot 31^{6} + \left(6 a^{5} + 12 a^{4} + 26 a^{3} + 26 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 31^{7} + \left(7 a^{5} + 20 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 25 a + 19\right)\cdot 31^{8} + \left(a^{5} + 16 a^{4} + 22 a^{3} + 4 a^{2} + 25 a + 4\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 17a^5 + 16a^4 + a^3 + 2a^2 + 6a + 10 + (11a^5 + 2a^4 + 21a^2 + 15a + 4)31 + (20a^5 + 23a^4 + 28a^3 + 21a^2 + 9a + 22)31^2 + (4a^5 + 9a^4 + 26a^3 + 2a^2 + 18a + 9)31^3 + (24a^5 + 9a^4 + 26a^3 + 16a^2 + 9a + 27)31^4 + (27a^5 + 20a^4 + 14a^3 + 20a^2 + 28a + 24)31^5 + (13a^5 + 14a^4 + 7a^3 + 25a^2 + 16a + 23)31^6 + (6a^5 + 12a^4 + 26a^3 + 26a^2 + 4a + 8)31^7 + (7a^5 + 20a^4 + 4a^3 + a^2 + 25a + 19)31^8 + (a^5 + 16a^4 + 22a^3 + 4a^2 + 25a + 4)*31^9+O(31^10)
$r_{ 3 }$	$=$	$ 3 a^{5} + 12 a^{4} + 17 a^{2} + 28 a + 4 + \left(30 a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 31 + \left(12 a^{5} + 27 a^{4} + 20 a^{3} + 22 a^{2} + 7 a + 29\right)\cdot 31^{2} + \left(14 a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 31^{3} + \left(4 a^{5} + 26 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 28 a + 10\right)\cdot 31^{4} + \left(2 a^{5} + 22 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 31^{5} + \left(11 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 31^{6} + \left(30 a^{5} + 16 a^{4} + 7 a^{3} + 19 a^{2} + 25 a + 18\right)\cdot 31^{7} + \left(15 a^{5} + 9 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 26\right)\cdot 31^{8} + \left(21 a^{5} + 28 a^{4} + 3 a^{3} + 28 a + 16\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 3a^5 + 12a^4 + 17a^2 + 28a + 4 + (30a^5 + 3a^4 + 6a^3 + 4a^2 + 14a + 13)31 + (12a^5 + 27a^4 + 20a^3 + 22a^2 + 7a + 29)31^2 + (14a^5 + 9a^4 + 13a^3 + 8a^2 + 17a + 1)31^3 + (4a^5 + 26a^4 + 9a^3 + 8a^2 + 28a + 10)31^4 + (2a^5 + 22a^4 + 3a^3 + 12a^2 + 21a + 19)31^5 + (11a^5 + 11a^4 + 6a^3 + 4a^2 + 8a + 17)31^6 + (30a^5 + 16a^4 + 7a^3 + 19a^2 + 25a + 18)31^7 + (15a^5 + 9a^4 + 6a^3 + 16a^2 + 17a + 26)31^8 + (21a^5 + 28a^4 + 3a^3 + 28a + 16)*31^9+O(31^10)
$r_{ 4 }$	$=$	$ 7 a^{5} + 15 a^{4} + 25 a^{3} + 30 a^{2} + 9 a + 16 + \left(28 a^{5} + 11 a^{4} + 25 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 31 + \left(28 a^{5} + 28 a^{4} + 29 a^{3} + 2 a^{2} + 24 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(20 a^{5} + 4 a^{4} + 22 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 29\right)\cdot 31^{3} + \left(23 a^{5} + 11 a^{4} + 25 a^{3} + 23 a^{2} + 29 a + 27\right)\cdot 31^{4} + \left(27 a^{5} + 20 a^{4} + 21 a^{3} + 8 a^{2} + 20 a + 8\right)\cdot 31^{5} + \left(22 a^{5} + 29 a^{4} + 27 a^{3} + 27 a^{2} + 30 a + 12\right)\cdot 31^{6} + \left(25 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 31^{7} + \left(16 a^{5} + 19 a^{4} + 29 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 31^{8} + \left(17 a^{5} + 23 a^{4} + 23 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 29\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 7a^5 + 15a^4 + 25a^3 + 30a^2 + 9a + 16 + (28a^5 + 11a^4 + 25a^3 + 12a^2 + 13a + 6)31 + (28a^5 + 28a^4 + 29a^3 + 2a^2 + 24a + 8)31^2 + (20a^5 + 4a^4 + 22a^3 + 3a^2 + 10a + 29)31^3 + (23a^5 + 11a^4 + 25a^3 + 23a^2 + 29a + 27)31^4 + (27a^5 + 20a^4 + 21a^3 + 8a^2 + 20a + 8)31^5 + (22a^5 + 29a^4 + 27a^3 + 27a^2 + 30a + 12)31^6 + (25a^5 + 13a^4 + 14a^3 + 14a^2 + 15a + 14)31^7 + (16a^5 + 19a^4 + 29a^3 + 11a^2 + 6a + 2)31^8 + (17a^5 + 23a^4 + 23a^3 + 6a^2 + 17a + 29)*31^9+O(31^10)
$r_{ 5 }$	$=$	$ 17 a^{5} + 29 a^{4} + 16 a^{3} + 27 a + 27 + \left(12 a^{5} + 17 a^{4} + 19 a^{3} + 20 a^{2} + 29 a + 22\right)\cdot 31 + \left(20 a^{5} + 22 a^{4} + 24 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 27\right)\cdot 31^{2} + \left(24 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 24 a + 22\right)\cdot 31^{3} + \left(4 a^{5} + 20 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a + 17\right)\cdot 31^{4} + \left(10 a^{5} + 21 a^{4} + 13 a^{3} + 9 a + 21\right)\cdot 31^{5} + \left(12 a^{5} + 12 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 25\right)\cdot 31^{6} + \left(4 a^{5} + 23 a^{4} + 15 a^{3} + 23 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 31^{7} + \left(13 a^{5} + 29 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 26\right)\cdot 31^{8} + \left(10 a^{5} + 27 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 17a^5 + 29a^4 + 16a^3 + 27a + 27 + (12a^5 + 17a^4 + 19a^3 + 20a^2 + 29a + 22)31 + (20a^5 + 22a^4 + 24a^3 + 13a^2 + 11a + 27)31^2 + (24a^5 + 9a^4 + 4a^3 + 2a^2 + 24a + 22)31^3 + (4a^5 + 20a^4 + 3a^3 + 8a + 17)31^4 + (10a^5 + 21a^4 + 13a^3 + 9a + 21)31^5 + (12a^5 + 12a^4 + 14a^3 + 11a^2 + 14a + 25)31^6 + (4a^5 + 23a^4 + 15a^3 + 23a^2 + 3a + 15)31^7 + (13a^5 + 29a^4 + 11a^3 + 9a^2 + 14a + 26)31^8 + (10a^5 + 27a^4 + 12a^3 + 3a^2 + 5a + 3)31^9+O(31^10)
$r_{ 6 }$	$=$	$ 14 a^{5} + 13 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 5 + \left(a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 31 + \left(22 a^{5} + 26 a^{4} + 26 a^{2} + 25 a + 16\right)\cdot 31^{2} + \left(27 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 29 a^{2} + 26 a + 21\right)\cdot 31^{3} + \left(23 a^{5} + 25 a^{4} + 5 a^{3} + 22 a^{2} + 7 a + 24\right)\cdot 31^{4} + \left(8 a^{5} + 25 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 31^{5} + \left(6 a^{5} + 7 a^{4} + 6 a^{3} + 30 a^{2} + 26 a + 30\right)\cdot 31^{6} + \left(16 a^{5} + 30 a^{4} + 3 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 31^{7} + \left(17 a^{5} + 17 a^{4} + 12 a^{3} + 7 a + 23\right)\cdot 31^{8} + \left(28 a^{5} + 21 a^{4} + 11 a^{3} + 22 a^{2} + 14 a + 26\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 14a^5 + 13a^3 + 10a^2 + 10a + 5 + (a^5 + 16a^4 + 14a^3 + 16a^2 + 10a + 14)31 + (22a^5 + 26a^4 + 26a^2 + 25a + 16)31^2 + (27a^5 + 13a^4 + 12a^3 + 29a^2 + 26a + 21)31^3 + (23a^5 + 25a^4 + 5a^3 + 22a^2 + 7a + 24)31^4 + (8a^5 + 25a^4 + 3a^3 + 5a^2 + 6a + 3)31^5 + (6a^5 + 7a^4 + 6a^3 + 30a^2 + 26a + 30)31^6 + (16a^5 + 30a^4 + 3a^3 + 13a^2 + 14a + 19)31^7 + (17a^5 + 17a^4 + 12a^3 + 7a + 23)31^8 + (28a^5 + 21a^4 + 11a^3 + 22a^2 + 14a + 26)*31^9+O(31^10)
$r_{ 7 }$	$=$	$ 9 a^{5} + 28 a^{4} + 12 a^{3} + 30 a^{2} + 29 a + 18 + \left(8 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 13 a^{2} + 26 a + 18\right)\cdot 31 + \left(21 a^{5} + 25 a^{4} + 24 a^{3} + 27 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 31^{2} + \left(10 a^{5} + 19 a^{4} + 23 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 26\right)\cdot 31^{3} + \left(7 a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 31^{4} + \left(8 a^{5} + 4 a^{4} + 23 a^{3} + 26 a^{2} + 24 a + 24\right)\cdot 31^{5} + \left(5 a^{5} + 6 a^{4} + 9 a^{3} + 15 a^{2} + 3\right)\cdot 31^{6} + \left(15 a^{5} + 9 a^{4} + 18 a^{3} + 25 a^{2} + 25 a + 25\right)\cdot 31^{7} + \left(18 a^{5} + 16 a^{3} + 21 a^{2} + 6 a + 28\right)\cdot 31^{8} + \left(23 a^{5} + 29 a^{4} + 18 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 9a^5 + 28a^4 + 12a^3 + 30a^2 + 29a + 18 + (8a^5 + 7a^4 + 9a^3 + 13a^2 + 26a + 18)31 + (21a^5 + 25a^4 + 24a^3 + 27a^2 + 9a + 17)31^2 + (10a^5 + 19a^4 + 23a^3 + 11a^2 + 10a + 26)31^3 + (7a^5 + 12a^4 + 6a^3 + 3a^2 + 7a + 7)31^4 + (8a^5 + 4a^4 + 23a^3 + 26a^2 + 24a + 24)31^5 + (5a^5 + 6a^4 + 9a^3 + 15a^2 + 3)31^6 + (15a^5 + 9a^4 + 18a^3 + 25a^2 + 25a + 25)31^7 + (18a^5 + 16a^3 + 21a^2 + 6a + 28)31^8 + (23a^5 + 29a^4 + 18a^3 + 12a^2 + 9a + 21)*31^9+O(31^10)
$r_{ 8 }$	$=$	$ 14 a^{5} + 21 a^{4} + 24 a^{3} + 26 a^{2} + 19 a + 19 + \left(17 a^{5} + a^{4} + 19 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 31 + \left(19 a^{5} + 25 a^{4} + 21 a^{3} + 3 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 31^{2} + \left(12 a^{5} + 21 a^{3} + 30 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 31^{3} + \left(26 a^{5} + 22 a^{4} + 28 a^{3} + 19 a^{2} + 9 a + 19\right)\cdot 31^{4} + \left(30 a^{5} + 22 a^{4} + 12 a^{3} + 19 a^{2} + 13 a + 21\right)\cdot 31^{5} + \left(27 a^{5} + 19 a^{4} + 24 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 31^{6} + \left(24 a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 28\right)\cdot 31^{7} + \left(23 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 26 a + 20\right)\cdot 31^{8} + \left(12 a^{5} + 3 a^{4} + 21 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 14a^5 + 21a^4 + 24a^3 + 26a^2 + 19a + 19 + (17a^5 + a^4 + 19a^3 + 12a^2 + 13a + 15)31 + (19a^5 + 25a^4 + 21a^3 + 3a^2 + 19a + 13)31^2 + (12a^5 + 21a^3 + 30a^2 + 19a + 21)31^3 + (26a^5 + 22a^4 + 28a^3 + 19a^2 + 9a + 19)31^4 + (30a^5 + 22a^4 + 12a^3 + 19a^2 + 13a + 21)31^5 + (27a^5 + 19a^4 + 24a^3 + 11a^2 + 11a + 17)31^6 + (24a^4 + 2a^3 + 17a^2 + 5a + 28)31^7 + (23a^5 + 12a^4 + 4a^3 + a^2 + 26a + 20)31^8 + (12a^5 + 3a^4 + 21a^3 + 6a^2 + 3a + 2)*31^9+O(31^10)
$r_{ 9 }$	$=$	$ 20 a^{5} + 22 a^{4} + 26 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 6 + \left(22 a^{5} + 30 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 31 + \left(30 a^{5} + 26 a^{4} + a^{3} + 17 a^{2} + 30 a + 30\right)\cdot 31^{2} + \left(25 a^{5} + 30 a^{4} + 10 a^{3} + 29 a^{2} + 16 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(7 a^{5} + a^{4} + 15 a^{3} + 28 a^{2} + 26 a + 9\right)\cdot 31^{4} + \left(21 a^{5} + 16 a^{4} + 25 a^{3} + 30 a^{2} + 27 a + 11\right)\cdot 31^{5} + \left(29 a^{5} + 26 a^{4} + 21 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 31^{6} + \left(9 a^{5} + 16 a^{4} + 19 a^{3} + 17 a + 27\right)\cdot 31^{7} + \left(27 a^{5} + 5 a^{4} + 29 a^{3} + 28 a^{2} + 14 a + 28\right)\cdot 31^{8} + \left(12 a^{5} + 20 a^{3} + a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 20a^5 + 22a^4 + 26a^3 + 9a^2 + 9a + 6 + (22a^5 + 30a^4 + 13a^3 + 7a^2 + 2a + 14)31 + (30a^5 + 26a^4 + a^3 + 17a^2 + 30a + 30)31^2 + (25a^5 + 30a^4 + 10a^3 + 29a^2 + 16a + 25)31^3 + (7a^5 + a^4 + 15a^3 + 28a^2 + 26a + 9)31^4 + (21a^5 + 16a^4 + 25a^3 + 30a^2 + 27a + 11)31^5 + (29a^5 + 26a^4 + 21a^3 + 11a^2 + 8a + 4)31^6 + (9a^5 + 16a^4 + 19a^3 + 17a + 27)31^7 + (27a^5 + 5a^4 + 29a^3 + 28a^2 + 14a + 28)31^8 + (12a^5 + 20a^3 + a^2 + 22a + 13)31^9+O(31^10)
$r_{ 10 }$	$=$	$ a^{5} + 7 a^{4} + 17 a^{3} + 9 a^{2} + 22 a + 11 + \left(14 a^{5} + 12 a^{4} + 27 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 29\right)\cdot 31 + \left(11 a^{5} + 24 a^{4} + 22 a^{3} + 26 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 31^{2} + \left(14 a^{5} + 5 a^{4} + 28 a^{3} + 18 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 31^{3} + \left(6 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + 27 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 31^{4} + \left(14 a^{5} + 21 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a + 29\right)\cdot 31^{5} + \left(18 a^{5} + 21 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 31^{6} + \left(19 a^{5} + 8 a^{4} + 22 a^{3} + 14 a^{2} + 24 a + 7\right)\cdot 31^{7} + \left(2 a^{5} + 25 a^{4} + 18 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 31^{8} + \left(27 a^{5} + 20 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 26 a\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ a^5 + 7a^4 + 17a^3 + 9a^2 + 22a + 11 + (14a^5 + 12a^4 + 27a^3 + 3a^2 + 2a + 29)31 + (11a^5 + 24a^4 + 22a^3 + 26a^2 + 2a + 15)31^2 + (14a^5 + 5a^4 + 28a^3 + 18a^2 + 10a + 13)31^3 + (6a^5 + 22a^4 + 17a^3 + 27a^2 + 20a + 13)31^4 + (14a^5 + 21a^4 + 14a^3 + 11a + 29)31^5 + (18a^5 + 21a^4 + 5a^3 + 12a^2 + 16a + 6)31^6 + (19a^5 + 8a^4 + 22a^3 + 14a^2 + 24a + 7)31^7 + (2a^5 + 25a^4 + 18a^3 + 2a^2 + 2a + 7)31^8 + (27a^5 + 20a^4 + a^3 + 12a^2 + 26a)31^9+O(31^10)
$r_{ 11 }$	$=$	$ 12 a^{5} + 21 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 26 a + 21 + \left(12 a^{5} + 21 a^{4} + 25 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 31 + \left(7 a^{5} + 12 a^{3} + 22 a^{2} + 13 a + 24\right)\cdot 31^{2} + \left(7 a^{5} + 21 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 31^{3} + \left(5 a^{5} + 18 a^{4} + 4 a^{3} + 24 a^{2} + 21 a + 6\right)\cdot 31^{4} + \left(28 a^{5} + 23 a^{4} + 3 a^{3} + 24 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 31^{5} + \left(26 a^{5} + 12 a^{4} + 22 a^{3} + 21 a^{2} + 27 a + 15\right)\cdot 31^{6} + \left(18 a^{5} + 19 a^{4} + 3 a^{3} + 29 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 31^{7} + \left(10 a^{5} + 3 a^{4} + 29 a^{3} + 18 a + 17\right)\cdot 31^{8} + \left(15 a^{5} + 25 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 29\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 12a^5 + 21a^4 + 11a^3 + 9a^2 + 26a + 21 + (12a^5 + 21a^4 + 25a^3 + 15a^2 + 17a + 8)31 + (7a^5 + 12a^3 + 22a^2 + 13a + 24)31^2 + (7a^5 + 21a^4 + a^3 + 7a^2 + 9a + 15)31^3 + (5a^5 + 18a^4 + 4a^3 + 24a^2 + 21a + 6)31^4 + (28a^5 + 23a^4 + 3a^3 + 24a^2 + 19a + 21)31^5 + (26a^5 + 12a^4 + 22a^3 + 21a^2 + 27a + 15)31^6 + (18a^5 + 19a^4 + 3a^3 + 29a^2 + 9a + 4)31^7 + (10a^5 + 3a^4 + 29a^3 + 18a + 17)31^8 + (15a^5 + 25a^4 + 3a^3 + 8a^2 + 5a + 29)31^9+O(31^10)
$r_{ 12 }$	$=$	$ 5 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 22 a^{2} + 16 a + 14 + \left(17 a^{5} + 16 a^{4} + 5 a^{3} + 23 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 31 + \left(15 a^{5} + 27 a^{4} + 13 a^{3} + 29 a^{2} + 6\right)\cdot 31^{2} + \left(a^{5} + 21 a^{4} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 31^{3} + \left(16 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 28 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 31^{4} + \left(25 a^{5} + 24 a^{4} + 13 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 31^{5} + \left(13 a^{5} + 9 a^{4} + 20 a^{3} + 10 a^{2} + 14 a + 25\right)\cdot 31^{6} + \left(11 a^{5} + 14 a^{4} + 10 a^{3} + 22 a^{2} + 25 a + 2\right)\cdot 31^{7} + \left(8 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{3} + 21 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 31^{8} + \left(16 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 22 a^{2} + 19 a + 22\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 5a^5 + 3a^4 + 12a^3 + 22a^2 + 16a + 14 + (17a^5 + 16a^4 + 5a^3 + 23a^2 + 13a + 13)31 + (15a^5 + 27a^4 + 13a^3 + 29a^2 + 6)31^2 + (a^5 + 21a^4 + 15a^3 + 18a^2 + 16a + 6)31^3 + (16a^5 + 8a^4 + 6a^3 + 28a^2 + 17a + 16)31^4 + (25a^5 + 24a^4 + 13a^3 + 12a^2 + 8a + 13)31^5 + (13a^5 + 9a^4 + 20a^3 + 10a^2 + 14a + 25)31^6 + (11a^5 + 14a^4 + 10a^3 + 22a^2 + 25a + 2)31^7 + (8a^5 + 3a^4 + 5a^3 + 21a^2 + 2a + 7)31^8 + (16a^5 + 11a^4 + 11a^3 + 22a^2 + 19a + 22)*31^9+O(31^10)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$

Cycle notation
$(1,10)(2,12)(3,8)(4,5)(6,9)(7,11)$
$(1,11,3,2,9,8,5,12,6,4,7)$
$(2,5,11,3,9,6,8,7,4,12)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 12 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$11$
$55$	$2$	$(1,10)(2,12)(3,8)(4,5)(6,9)(7,11)$	$-1$
$66$	$2$	$(2,6)(3,4)(5,8)(7,11)(9,12)$	$-1$
$110$	$3$	$(1,7,10)(2,6,5)(3,12,9)(4,11,8)$	$-1$
$110$	$4$	$(1,8,7,10)(2,9,11,6)(3,4,5,12)$	$1$
$132$	$5$	$(2,11,9,8,4)(3,6,7,12,5)$	$1$
$132$	$5$	$(1,6,7,12,10)(3,4,8,5,11)$	$1$
$110$	$6$	$(1,11,6,7,5,12)(2,3,10,8,9,4)$	$-1$
$132$	$10$	$(2,5,11,3,9,6,8,7,4,12)$	$-1$
$132$	$10$	$(2,3,8,12,11,6,4,5,9,7)$	$-1$
$120$	$11$	$(1,11,3,2,9,8,5,12,6,4,7)$	$0$
$110$	$12$	$(1,8,11,9,6,4,7,2,5,3,12,10)$	$1$
$110$	$12$	$(1,4,12,9,5,8,7,10,6,3,11,2)$	$1$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	11.192...521.24t2949.a.a
Dimension	$11$
Group	$\PGL(2,11)$
Conductor	$1.924\times 10^{25}$
Root number	$1$
Indicator	$1$

$r_{ 1 }$	$=$	\( 5 a^{5} + 12 a^{4} + 29 a^{3} + 22 a^{2} + 16 a + 8 + \left(10 a^{5} + 13 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 25 a + 25\right)\cdot 31 + \left(6 a^{5} + 21 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 4\right)\cdot 31^{2} + \left(21 a^{5} + 6 a^{4} + 4 a^{3} + 22 a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 31^{3} + \left(4 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 13 a^{2} + 30 a + 4\right)\cdot 31^{4} + \left(12 a^{5} + 24 a^{4} + 6 a^{3} + 23 a^{2} + 24 a + 17\right)\cdot 31^{5} + \left(28 a^{5} + 12 a^{4} + 20 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 31^{6} + \left(26 a^{5} + 27 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 31^{7} + \left(24 a^{5} + 6 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 31^{8} + \left(29 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 24 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 5a^5 + 12a^4 + 29a^3 + 22a^2 + 16a + 8 + (10a^5 + 13a^4 + 18a^3 + 3a^2 + 25a + 25)31 + (6a^5 + 21a^4 + 17a^3 + 4a^2 + 4)31^2 + (21a^5 + 6a^4 + 4a^3 + 22a^2 + 6a + 22)31^3 + (4a^5 + 7a^4 + 5a^3 + 13a^2 + 30a + 4)31^4 + (12a^5 + 24a^4 + 6a^3 + 23a^2 + 24a + 17)31^5 + (28a^5 + 12a^4 + 20a^3 + 3a^2 + 9a + 2)31^6 + (26a^5 + 27a^4 + 10a^3 + 9a^2 + 14a + 13)31^7 + (24a^5 + 6a^4 + 18a^3 + 7a^2 + 12a + 8)31^8 + (29a^5 + 9a^4 + 4a^3 + 24a^2 + 8a + 14)31^9+O(31^10)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 17 a^{5} + 16 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 10 + \left(11 a^{5} + 2 a^{4} + 21 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 31 + \left(20 a^{5} + 23 a^{4} + 28 a^{3} + 21 a^{2} + 9 a + 22\right)\cdot 31^{2} + \left(4 a^{5} + 9 a^{4} + 26 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 31^{3} + \left(24 a^{5} + 9 a^{4} + 26 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 27\right)\cdot 31^{4} + \left(27 a^{5} + 20 a^{4} + 14 a^{3} + 20 a^{2} + 28 a + 24\right)\cdot 31^{5} + \left(13 a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + 25 a^{2} + 16 a + 23\right)\cdot 31^{6} + \left(6 a^{5} + 12 a^{4} + 26 a^{3} + 26 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 31^{7} + \left(7 a^{5} + 20 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 25 a + 19\right)\cdot 31^{8} + \left(a^{5} + 16 a^{4} + 22 a^{3} + 4 a^{2} + 25 a + 4\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 17a^5 + 16a^4 + a^3 + 2a^2 + 6a + 10 + (11a^5 + 2a^4 + 21a^2 + 15a + 4)31 + (20a^5 + 23a^4 + 28a^3 + 21a^2 + 9a + 22)31^2 + (4a^5 + 9a^4 + 26a^3 + 2a^2 + 18a + 9)31^3 + (24a^5 + 9a^4 + 26a^3 + 16a^2 + 9a + 27)31^4 + (27a^5 + 20a^4 + 14a^3 + 20a^2 + 28a + 24)31^5 + (13a^5 + 14a^4 + 7a^3 + 25a^2 + 16a + 23)31^6 + (6a^5 + 12a^4 + 26a^3 + 26a^2 + 4a + 8)31^7 + (7a^5 + 20a^4 + 4a^3 + a^2 + 25a + 19)31^8 + (a^5 + 16a^4 + 22a^3 + 4a^2 + 25a + 4)*31^9+O(31^10)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 3 a^{5} + 12 a^{4} + 17 a^{2} + 28 a + 4 + \left(30 a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 31 + \left(12 a^{5} + 27 a^{4} + 20 a^{3} + 22 a^{2} + 7 a + 29\right)\cdot 31^{2} + \left(14 a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 31^{3} + \left(4 a^{5} + 26 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 28 a + 10\right)\cdot 31^{4} + \left(2 a^{5} + 22 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 31^{5} + \left(11 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 31^{6} + \left(30 a^{5} + 16 a^{4} + 7 a^{3} + 19 a^{2} + 25 a + 18\right)\cdot 31^{7} + \left(15 a^{5} + 9 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 26\right)\cdot 31^{8} + \left(21 a^{5} + 28 a^{4} + 3 a^{3} + 28 a + 16\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 3a^5 + 12a^4 + 17a^2 + 28a + 4 + (30a^5 + 3a^4 + 6a^3 + 4a^2 + 14a + 13)31 + (12a^5 + 27a^4 + 20a^3 + 22a^2 + 7a + 29)31^2 + (14a^5 + 9a^4 + 13a^3 + 8a^2 + 17a + 1)31^3 + (4a^5 + 26a^4 + 9a^3 + 8a^2 + 28a + 10)31^4 + (2a^5 + 22a^4 + 3a^3 + 12a^2 + 21a + 19)31^5 + (11a^5 + 11a^4 + 6a^3 + 4a^2 + 8a + 17)31^6 + (30a^5 + 16a^4 + 7a^3 + 19a^2 + 25a + 18)31^7 + (15a^5 + 9a^4 + 6a^3 + 16a^2 + 17a + 26)31^8 + (21a^5 + 28a^4 + 3a^3 + 28a + 16)*31^9+O(31^10)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 7 a^{5} + 15 a^{4} + 25 a^{3} + 30 a^{2} + 9 a + 16 + \left(28 a^{5} + 11 a^{4} + 25 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 31 + \left(28 a^{5} + 28 a^{4} + 29 a^{3} + 2 a^{2} + 24 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(20 a^{5} + 4 a^{4} + 22 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 29\right)\cdot 31^{3} + \left(23 a^{5} + 11 a^{4} + 25 a^{3} + 23 a^{2} + 29 a + 27\right)\cdot 31^{4} + \left(27 a^{5} + 20 a^{4} + 21 a^{3} + 8 a^{2} + 20 a + 8\right)\cdot 31^{5} + \left(22 a^{5} + 29 a^{4} + 27 a^{3} + 27 a^{2} + 30 a + 12\right)\cdot 31^{6} + \left(25 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 31^{7} + \left(16 a^{5} + 19 a^{4} + 29 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 31^{8} + \left(17 a^{5} + 23 a^{4} + 23 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 29\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 7a^5 + 15a^4 + 25a^3 + 30a^2 + 9a + 16 + (28a^5 + 11a^4 + 25a^3 + 12a^2 + 13a + 6)31 + (28a^5 + 28a^4 + 29a^3 + 2a^2 + 24a + 8)31^2 + (20a^5 + 4a^4 + 22a^3 + 3a^2 + 10a + 29)31^3 + (23a^5 + 11a^4 + 25a^3 + 23a^2 + 29a + 27)31^4 + (27a^5 + 20a^4 + 21a^3 + 8a^2 + 20a + 8)31^5 + (22a^5 + 29a^4 + 27a^3 + 27a^2 + 30a + 12)31^6 + (25a^5 + 13a^4 + 14a^3 + 14a^2 + 15a + 14)31^7 + (16a^5 + 19a^4 + 29a^3 + 11a^2 + 6a + 2)31^8 + (17a^5 + 23a^4 + 23a^3 + 6a^2 + 17a + 29)*31^9+O(31^10)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 17 a^{5} + 29 a^{4} + 16 a^{3} + 27 a + 27 + \left(12 a^{5} + 17 a^{4} + 19 a^{3} + 20 a^{2} + 29 a + 22\right)\cdot 31 + \left(20 a^{5} + 22 a^{4} + 24 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 27\right)\cdot 31^{2} + \left(24 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 24 a + 22\right)\cdot 31^{3} + \left(4 a^{5} + 20 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a + 17\right)\cdot 31^{4} + \left(10 a^{5} + 21 a^{4} + 13 a^{3} + 9 a + 21\right)\cdot 31^{5} + \left(12 a^{5} + 12 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 25\right)\cdot 31^{6} + \left(4 a^{5} + 23 a^{4} + 15 a^{3} + 23 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 31^{7} + \left(13 a^{5} + 29 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 26\right)\cdot 31^{8} + \left(10 a^{5} + 27 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 17a^5 + 29a^4 + 16a^3 + 27a + 27 + (12a^5 + 17a^4 + 19a^3 + 20a^2 + 29a + 22)31 + (20a^5 + 22a^4 + 24a^3 + 13a^2 + 11a + 27)31^2 + (24a^5 + 9a^4 + 4a^3 + 2a^2 + 24a + 22)31^3 + (4a^5 + 20a^4 + 3a^3 + 8a + 17)31^4 + (10a^5 + 21a^4 + 13a^3 + 9a + 21)31^5 + (12a^5 + 12a^4 + 14a^3 + 11a^2 + 14a + 25)31^6 + (4a^5 + 23a^4 + 15a^3 + 23a^2 + 3a + 15)31^7 + (13a^5 + 29a^4 + 11a^3 + 9a^2 + 14a + 26)31^8 + (10a^5 + 27a^4 + 12a^3 + 3a^2 + 5a + 3)31^9+O(31^10)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 14 a^{5} + 13 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 5 + \left(a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 31 + \left(22 a^{5} + 26 a^{4} + 26 a^{2} + 25 a + 16\right)\cdot 31^{2} + \left(27 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 29 a^{2} + 26 a + 21\right)\cdot 31^{3} + \left(23 a^{5} + 25 a^{4} + 5 a^{3} + 22 a^{2} + 7 a + 24\right)\cdot 31^{4} + \left(8 a^{5} + 25 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 31^{5} + \left(6 a^{5} + 7 a^{4} + 6 a^{3} + 30 a^{2} + 26 a + 30\right)\cdot 31^{6} + \left(16 a^{5} + 30 a^{4} + 3 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 31^{7} + \left(17 a^{5} + 17 a^{4} + 12 a^{3} + 7 a + 23\right)\cdot 31^{8} + \left(28 a^{5} + 21 a^{4} + 11 a^{3} + 22 a^{2} + 14 a + 26\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 14a^5 + 13a^3 + 10a^2 + 10a + 5 + (a^5 + 16a^4 + 14a^3 + 16a^2 + 10a + 14)31 + (22a^5 + 26a^4 + 26a^2 + 25a + 16)31^2 + (27a^5 + 13a^4 + 12a^3 + 29a^2 + 26a + 21)31^3 + (23a^5 + 25a^4 + 5a^3 + 22a^2 + 7a + 24)31^4 + (8a^5 + 25a^4 + 3a^3 + 5a^2 + 6a + 3)31^5 + (6a^5 + 7a^4 + 6a^3 + 30a^2 + 26a + 30)31^6 + (16a^5 + 30a^4 + 3a^3 + 13a^2 + 14a + 19)31^7 + (17a^5 + 17a^4 + 12a^3 + 7a + 23)31^8 + (28a^5 + 21a^4 + 11a^3 + 22a^2 + 14a + 26)*31^9+O(31^10)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 9 a^{5} + 28 a^{4} + 12 a^{3} + 30 a^{2} + 29 a + 18 + \left(8 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 13 a^{2} + 26 a + 18\right)\cdot 31 + \left(21 a^{5} + 25 a^{4} + 24 a^{3} + 27 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 31^{2} + \left(10 a^{5} + 19 a^{4} + 23 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 26\right)\cdot 31^{3} + \left(7 a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 31^{4} + \left(8 a^{5} + 4 a^{4} + 23 a^{3} + 26 a^{2} + 24 a + 24\right)\cdot 31^{5} + \left(5 a^{5} + 6 a^{4} + 9 a^{3} + 15 a^{2} + 3\right)\cdot 31^{6} + \left(15 a^{5} + 9 a^{4} + 18 a^{3} + 25 a^{2} + 25 a + 25\right)\cdot 31^{7} + \left(18 a^{5} + 16 a^{3} + 21 a^{2} + 6 a + 28\right)\cdot 31^{8} + \left(23 a^{5} + 29 a^{4} + 18 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 9a^5 + 28a^4 + 12a^3 + 30a^2 + 29a + 18 + (8a^5 + 7a^4 + 9a^3 + 13a^2 + 26a + 18)31 + (21a^5 + 25a^4 + 24a^3 + 27a^2 + 9a + 17)31^2 + (10a^5 + 19a^4 + 23a^3 + 11a^2 + 10a + 26)31^3 + (7a^5 + 12a^4 + 6a^3 + 3a^2 + 7a + 7)31^4 + (8a^5 + 4a^4 + 23a^3 + 26a^2 + 24a + 24)31^5 + (5a^5 + 6a^4 + 9a^3 + 15a^2 + 3)31^6 + (15a^5 + 9a^4 + 18a^3 + 25a^2 + 25a + 25)31^7 + (18a^5 + 16a^3 + 21a^2 + 6a + 28)31^8 + (23a^5 + 29a^4 + 18a^3 + 12a^2 + 9a + 21)*31^9+O(31^10)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 14 a^{5} + 21 a^{4} + 24 a^{3} + 26 a^{2} + 19 a + 19 + \left(17 a^{5} + a^{4} + 19 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 31 + \left(19 a^{5} + 25 a^{4} + 21 a^{3} + 3 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 31^{2} + \left(12 a^{5} + 21 a^{3} + 30 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 31^{3} + \left(26 a^{5} + 22 a^{4} + 28 a^{3} + 19 a^{2} + 9 a + 19\right)\cdot 31^{4} + \left(30 a^{5} + 22 a^{4} + 12 a^{3} + 19 a^{2} + 13 a + 21\right)\cdot 31^{5} + \left(27 a^{5} + 19 a^{4} + 24 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 31^{6} + \left(24 a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 28\right)\cdot 31^{7} + \left(23 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 26 a + 20\right)\cdot 31^{8} + \left(12 a^{5} + 3 a^{4} + 21 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 14a^5 + 21a^4 + 24a^3 + 26a^2 + 19a + 19 + (17a^5 + a^4 + 19a^3 + 12a^2 + 13a + 15)31 + (19a^5 + 25a^4 + 21a^3 + 3a^2 + 19a + 13)31^2 + (12a^5 + 21a^3 + 30a^2 + 19a + 21)31^3 + (26a^5 + 22a^4 + 28a^3 + 19a^2 + 9a + 19)31^4 + (30a^5 + 22a^4 + 12a^3 + 19a^2 + 13a + 21)31^5 + (27a^5 + 19a^4 + 24a^3 + 11a^2 + 11a + 17)31^6 + (24a^4 + 2a^3 + 17a^2 + 5a + 28)31^7 + (23a^5 + 12a^4 + 4a^3 + a^2 + 26a + 20)31^8 + (12a^5 + 3a^4 + 21a^3 + 6a^2 + 3a + 2)*31^9+O(31^10)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 20 a^{5} + 22 a^{4} + 26 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 6 + \left(22 a^{5} + 30 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 31 + \left(30 a^{5} + 26 a^{4} + a^{3} + 17 a^{2} + 30 a + 30\right)\cdot 31^{2} + \left(25 a^{5} + 30 a^{4} + 10 a^{3} + 29 a^{2} + 16 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(7 a^{5} + a^{4} + 15 a^{3} + 28 a^{2} + 26 a + 9\right)\cdot 31^{4} + \left(21 a^{5} + 16 a^{4} + 25 a^{3} + 30 a^{2} + 27 a + 11\right)\cdot 31^{5} + \left(29 a^{5} + 26 a^{4} + 21 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 31^{6} + \left(9 a^{5} + 16 a^{4} + 19 a^{3} + 17 a + 27\right)\cdot 31^{7} + \left(27 a^{5} + 5 a^{4} + 29 a^{3} + 28 a^{2} + 14 a + 28\right)\cdot 31^{8} + \left(12 a^{5} + 20 a^{3} + a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 20a^5 + 22a^4 + 26a^3 + 9a^2 + 9a + 6 + (22a^5 + 30a^4 + 13a^3 + 7a^2 + 2a + 14)31 + (30a^5 + 26a^4 + a^3 + 17a^2 + 30a + 30)31^2 + (25a^5 + 30a^4 + 10a^3 + 29a^2 + 16a + 25)31^3 + (7a^5 + a^4 + 15a^3 + 28a^2 + 26a + 9)31^4 + (21a^5 + 16a^4 + 25a^3 + 30a^2 + 27a + 11)31^5 + (29a^5 + 26a^4 + 21a^3 + 11a^2 + 8a + 4)31^6 + (9a^5 + 16a^4 + 19a^3 + 17a + 27)31^7 + (27a^5 + 5a^4 + 29a^3 + 28a^2 + 14a + 28)31^8 + (12a^5 + 20a^3 + a^2 + 22a + 13)31^9+O(31^10)
$r_{ 10 }$	$=$	\( a^{5} + 7 a^{4} + 17 a^{3} + 9 a^{2} + 22 a + 11 + \left(14 a^{5} + 12 a^{4} + 27 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 29\right)\cdot 31 + \left(11 a^{5} + 24 a^{4} + 22 a^{3} + 26 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 31^{2} + \left(14 a^{5} + 5 a^{4} + 28 a^{3} + 18 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 31^{3} + \left(6 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + 27 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 31^{4} + \left(14 a^{5} + 21 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a + 29\right)\cdot 31^{5} + \left(18 a^{5} + 21 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 31^{6} + \left(19 a^{5} + 8 a^{4} + 22 a^{3} + 14 a^{2} + 24 a + 7\right)\cdot 31^{7} + \left(2 a^{5} + 25 a^{4} + 18 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 31^{8} + \left(27 a^{5} + 20 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 26 a\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) a^5 + 7a^4 + 17a^3 + 9a^2 + 22a + 11 + (14a^5 + 12a^4 + 27a^3 + 3a^2 + 2a + 29)31 + (11a^5 + 24a^4 + 22a^3 + 26a^2 + 2a + 15)31^2 + (14a^5 + 5a^4 + 28a^3 + 18a^2 + 10a + 13)31^3 + (6a^5 + 22a^4 + 17a^3 + 27a^2 + 20a + 13)31^4 + (14a^5 + 21a^4 + 14a^3 + 11a + 29)31^5 + (18a^5 + 21a^4 + 5a^3 + 12a^2 + 16a + 6)31^6 + (19a^5 + 8a^4 + 22a^3 + 14a^2 + 24a + 7)31^7 + (2a^5 + 25a^4 + 18a^3 + 2a^2 + 2a + 7)31^8 + (27a^5 + 20a^4 + a^3 + 12a^2 + 26a)31^9+O(31^10)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 12 a^{5} + 21 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 26 a + 21 + \left(12 a^{5} + 21 a^{4} + 25 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 31 + \left(7 a^{5} + 12 a^{3} + 22 a^{2} + 13 a + 24\right)\cdot 31^{2} + \left(7 a^{5} + 21 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 31^{3} + \left(5 a^{5} + 18 a^{4} + 4 a^{3} + 24 a^{2} + 21 a + 6\right)\cdot 31^{4} + \left(28 a^{5} + 23 a^{4} + 3 a^{3} + 24 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 31^{5} + \left(26 a^{5} + 12 a^{4} + 22 a^{3} + 21 a^{2} + 27 a + 15\right)\cdot 31^{6} + \left(18 a^{5} + 19 a^{4} + 3 a^{3} + 29 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 31^{7} + \left(10 a^{5} + 3 a^{4} + 29 a^{3} + 18 a + 17\right)\cdot 31^{8} + \left(15 a^{5} + 25 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 29\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 12a^5 + 21a^4 + 11a^3 + 9a^2 + 26a + 21 + (12a^5 + 21a^4 + 25a^3 + 15a^2 + 17a + 8)31 + (7a^5 + 12a^3 + 22a^2 + 13a + 24)31^2 + (7a^5 + 21a^4 + a^3 + 7a^2 + 9a + 15)31^3 + (5a^5 + 18a^4 + 4a^3 + 24a^2 + 21a + 6)31^4 + (28a^5 + 23a^4 + 3a^3 + 24a^2 + 19a + 21)31^5 + (26a^5 + 12a^4 + 22a^3 + 21a^2 + 27a + 15)31^6 + (18a^5 + 19a^4 + 3a^3 + 29a^2 + 9a + 4)31^7 + (10a^5 + 3a^4 + 29a^3 + 18a + 17)31^8 + (15a^5 + 25a^4 + 3a^3 + 8a^2 + 5a + 29)31^9+O(31^10)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 5 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 22 a^{2} + 16 a + 14 + \left(17 a^{5} + 16 a^{4} + 5 a^{3} + 23 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 31 + \left(15 a^{5} + 27 a^{4} + 13 a^{3} + 29 a^{2} + 6\right)\cdot 31^{2} + \left(a^{5} + 21 a^{4} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 31^{3} + \left(16 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 28 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 31^{4} + \left(25 a^{5} + 24 a^{4} + 13 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 31^{5} + \left(13 a^{5} + 9 a^{4} + 20 a^{3} + 10 a^{2} + 14 a + 25\right)\cdot 31^{6} + \left(11 a^{5} + 14 a^{4} + 10 a^{3} + 22 a^{2} + 25 a + 2\right)\cdot 31^{7} + \left(8 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{3} + 21 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 31^{8} + \left(16 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 22 a^{2} + 19 a + 22\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 5a^5 + 3a^4 + 12a^3 + 22a^2 + 16a + 14 + (17a^5 + 16a^4 + 5a^3 + 23a^2 + 13a + 13)31 + (15a^5 + 27a^4 + 13a^3 + 29a^2 + 6)31^2 + (a^5 + 21a^4 + 15a^3 + 18a^2 + 16a + 6)31^3 + (16a^5 + 8a^4 + 6a^3 + 28a^2 + 17a + 16)31^4 + (25a^5 + 24a^4 + 13a^3 + 12a^2 + 8a + 13)31^5 + (13a^5 + 9a^4 + 20a^3 + 10a^2 + 14a + 25)31^6 + (11a^5 + 14a^4 + 10a^3 + 22a^2 + 25a + 2)31^7 + (8a^5 + 3a^4 + 5a^3 + 21a^2 + 2a + 7)31^8 + (16a^5 + 11a^4 + 11a^3 + 22a^2 + 19a + 22)*31^9+O(31^10)