LMFDB - Artin representation 11.1791247110799293768894884864.12t218.b.a

Basic invariants

Dimension:	$11$
Group:	$\PGL(2,11)$
Conductor:	$179\!\cdots\!864$$\medspace = 2^{10} \cdot 11^{11} \cdot 19^{10} $
Frobenius-Schur indicator:	$1$
Root number:	$1$
Artin stem field:	Galois closure of 12.2.1791247110799293768894884864.2
Galois orbit size:	$1$
Smallest permutation container:	$\PGL(2,11)$
Parity:	odd
Determinant:	1.11.2t1.a.a
Projective image:	$\PGL(2,11)$
Projective stem field:	Galois closure of 12.2.1791247110799293768894884864.2

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{12} - 5 x^{11} + 11 x^{10} - 275 x^{9} + 990 x^{8} - 1650 x^{7} - 2090 x^{6} + 8250 x^{5} + \cdots - 359164 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 47 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 47 }$: $ x^{6} + 2x^{4} + 35x^{3} + 9x^{2} + 41x + 5 $ x^6 + 2*x^4 + 35*x^3 + 9*x^2 + 41*x + 5

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 16 a^{5} + 21 a^{4} + 31 a^{3} + 6 a^{2} + 36 a + 4 + \left(31 a^{5} + 16 a^{4} + 33 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 47 + \left(29 a^{5} + 18 a^{4} + 37 a^{3} + 32 a^{2} + 37 a + 11\right)\cdot 47^{2} + \left(45 a^{5} + 23 a^{4} + 24 a^{3} + 27 a^{2} + 42 a + 13\right)\cdot 47^{3} + \left(29 a^{5} + 11 a^{3} + 34 a^{2} + 26 a + 39\right)\cdot 47^{4} + \left(17 a^{5} + 42 a^{4} + 34 a^{3} + 5 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 47^{5} + \left(23 a^{5} + 7 a^{4} + 25 a^{3} + 43 a^{2} + 34 a + 2\right)\cdot 47^{6} + \left(32 a^{5} + a^{4} + 28 a^{3} + 24 a^{2} + 39 a + 41\right)\cdot 47^{7} + \left(23 a^{5} + 6 a^{4} + 27 a^{3} + 23 a^{2} + 40 a + 31\right)\cdot 47^{8} + \left(a^{5} + 33 a^{4} + 30 a^{3} + 37 a^{2} + 17 a + 35\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})$ 16a^5 + 21a^4 + 31a^3 + 6a^2 + 36a + 4 + (31a^5 + 16a^4 + 33a^3 + 4a^2 + 4a + 3)47 + (29a^5 + 18a^4 + 37a^3 + 32a^2 + 37a + 11)47^2 + (45a^5 + 23a^4 + 24a^3 + 27a^2 + 42a + 13)47^3 + (29a^5 + 11a^3 + 34a^2 + 26a + 39)47^4 + (17a^5 + 42a^4 + 34a^3 + 5a^2 + 22a + 1)47^5 + (23a^5 + 7a^4 + 25a^3 + 43a^2 + 34a + 2)47^6 + (32a^5 + a^4 + 28a^3 + 24a^2 + 39a + 41)47^7 + (23a^5 + 6a^4 + 27a^3 + 23a^2 + 40a + 31)47^8 + (a^5 + 33a^4 + 30a^3 + 37a^2 + 17a + 35)47^9+O(47^10)
$r_{ 2 }$	$=$	$ 42 a^{5} + 39 a^{4} + 18 a^{3} + 6 a^{2} + 25 a + 7 + \left(31 a^{5} + 32 a^{4} + 32 a^{2} + 32 a\right)\cdot 47 + \left(38 a^{5} + 11 a^{4} + 38 a^{3} + 42 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 47^{2} + \left(43 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + 5 a^{2} + 36 a + 12\right)\cdot 47^{3} + \left(28 a^{5} + 28 a^{4} + 33 a^{3} + 24 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 47^{4} + \left(8 a^{5} + 30 a^{4} + 36 a^{3} + 46 a^{2} + 8 a + 23\right)\cdot 47^{5} + \left(42 a^{5} + 18 a^{4} + 13 a^{3} + 35 a^{2} + 2 a + 41\right)\cdot 47^{6} + \left(31 a^{5} + 11 a^{4} + 38 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 43\right)\cdot 47^{7} + \left(10 a^{5} + 6 a^{4} + 34 a^{3} + 2 a^{2} + 37 a + 37\right)\cdot 47^{8} + \left(29 a^{4} + 9 a^{3} + 15 a^{2} + 23 a + 13\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})$ 42a^5 + 39a^4 + 18a^3 + 6a^2 + 25a + 7 + (31a^5 + 32a^4 + 32a^2 + 32a)47 + (38a^5 + 11a^4 + 38a^3 + 42a^2 + 5a + 17)47^2 + (43a^5 + 22a^4 + 17a^3 + 5a^2 + 36a + 12)47^3 + (28a^5 + 28a^4 + 33a^3 + 24a^2 + 11a + 22)47^4 + (8a^5 + 30a^4 + 36a^3 + 46a^2 + 8a + 23)47^5 + (42a^5 + 18a^4 + 13a^3 + 35a^2 + 2a + 41)47^6 + (31a^5 + 11a^4 + 38a^3 + 6a^2 + 4a + 43)47^7 + (10a^5 + 6a^4 + 34a^3 + 2a^2 + 37a + 37)47^8 + (29a^4 + 9a^3 + 15a^2 + 23a + 13)*47^9+O(47^10)
$r_{ 3 }$	$=$	$ 35 a^{5} + 3 a^{4} + 24 a^{3} + 7 a^{2} + 21 a + 12 + \left(11 a^{5} + 23 a^{4} + 30 a^{3} + 18 a^{2} + 23 a + 27\right)\cdot 47 + \left(8 a^{5} + 38 a^{4} + 24 a^{3} + 37 a^{2} + 43 a + 5\right)\cdot 47^{2} + \left(17 a^{5} + 38 a^{4} + 22 a^{3} + 2 a^{2} + 28 a + 15\right)\cdot 47^{3} + \left(15 a^{5} + 18 a^{4} + 29 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a + 28\right)\cdot 47^{4} + \left(12 a^{5} + 13 a^{4} + 35 a^{3} + 21 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 47^{5} + \left(20 a^{5} + 11 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 34 a + 1\right)\cdot 47^{6} + \left(30 a^{5} + 14 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 14 a + 44\right)\cdot 47^{7} + \left(3 a^{5} + 40 a^{4} + 2 a^{3} + 31 a^{2} + 5 a + 42\right)\cdot 47^{8} + \left(39 a^{5} + 42 a^{4} + 15 a^{3} + 21 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})$ 35a^5 + 3a^4 + 24a^3 + 7a^2 + 21a + 12 + (11a^5 + 23a^4 + 30a^3 + 18a^2 + 23a + 27)47 + (8a^5 + 38a^4 + 24a^3 + 37a^2 + 43a + 5)47^2 + (17a^5 + 38a^4 + 22a^3 + 2a^2 + 28a + 15)47^3 + (15a^5 + 18a^4 + 29a^3 + 5a^2 + 21a + 28)47^4 + (12a^5 + 13a^4 + 35a^3 + 21a^2 + 5a + 5)47^5 + (20a^5 + 11a^4 + 14a^3 + 17a^2 + 34a + 1)47^6 + (30a^5 + 14a^4 + 10a^3 + 10a^2 + 14a + 44)47^7 + (3a^5 + 40a^4 + 2a^3 + 31a^2 + 5a + 42)47^8 + (39a^5 + 42a^4 + 15a^3 + 21a^2 + 17a + 3)*47^9+O(47^10)
$r_{ 4 }$	$=$	$ 28 a^{5} + 2 a^{4} + 31 a^{3} + 34 a^{2} + 28 a + 35 + \left(20 a^{5} + 40 a^{4} + 6 a^{3} + 38 a^{2} + 31 a + 13\right)\cdot 47 + \left(43 a^{5} + 31 a^{4} + 4 a^{3} + 38 a^{2} + 32 a + 35\right)\cdot 47^{2} + \left(8 a^{5} + 19 a^{4} + 42 a^{3} + 38 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 47^{3} + \left(11 a^{5} + 8 a^{4} + 21 a^{3} + 28 a^{2} + 19 a + 34\right)\cdot 47^{4} + \left(22 a^{5} + 23 a^{4} + 46 a^{3} + 13 a^{2} + 23 a + 27\right)\cdot 47^{5} + \left(15 a^{5} + 28 a^{4} + 40 a^{3} + 27 a^{2} + 43 a + 12\right)\cdot 47^{6} + \left(35 a^{5} + 38 a^{4} + 36 a^{3} + 36 a^{2} + 39 a + 20\right)\cdot 47^{7} + \left(13 a^{5} + 14 a^{4} + 39 a^{3} + 45 a^{2} + 9 a + 41\right)\cdot 47^{8} + \left(26 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})$ 28a^5 + 2a^4 + 31a^3 + 34a^2 + 28a + 35 + (20a^5 + 40a^4 + 6a^3 + 38a^2 + 31a + 13)47 + (43a^5 + 31a^4 + 4a^3 + 38a^2 + 32a + 35)47^2 + (8a^5 + 19a^4 + 42a^3 + 38a^2 + 17a + 13)47^3 + (11a^5 + 8a^4 + 21a^3 + 28a^2 + 19a + 34)47^4 + (22a^5 + 23a^4 + 46a^3 + 13a^2 + 23a + 27)47^5 + (15a^5 + 28a^4 + 40a^3 + 27a^2 + 43a + 12)47^6 + (35a^5 + 38a^4 + 36a^3 + 36a^2 + 39a + 20)47^7 + (13a^5 + 14a^4 + 39a^3 + 45a^2 + 9a + 41)47^8 + (26a^5 + 2a^4 + 12a^3 + 3a^2 + 3a + 2)*47^9+O(47^10)
$r_{ 5 }$	$=$	$ 24 a^{5} + 7 a^{4} + 34 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 14 + \left(27 a^{5} + 5 a^{4} + 30 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 22\right)\cdot 47 + \left(5 a^{5} + 11 a^{4} + 46 a^{3} + 26 a^{2} + 30 a + 14\right)\cdot 47^{2} + \left(13 a^{5} + 7 a^{4} + 32 a^{3} + 16 a^{2} + 45 a + 21\right)\cdot 47^{3} + \left(2 a^{5} + 45 a^{4} + 29 a^{3} + 45 a^{2} + 38 a + 4\right)\cdot 47^{4} + \left(45 a^{5} + 29 a^{4} + 26 a^{3} + 4 a^{2} + 27 a + 11\right)\cdot 47^{5} + \left(20 a^{5} + 20 a^{4} + 28 a^{3} + 30 a + 31\right)\cdot 47^{6} + \left(a^{5} + 5 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 39 a + 6\right)\cdot 47^{7} + \left(44 a^{4} + 23 a^{3} + 45 a^{2} + 42 a + 17\right)\cdot 47^{8} + \left(23 a^{5} + 32 a^{4} + 13 a^{3} + 37 a^{2} + 45 a + 23\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})$ 24a^5 + 7a^4 + 34a^3 + 13a^2 + 7a + 14 + (27a^5 + 5a^4 + 30a^3 + 3a^2 + 2a + 22)47 + (5a^5 + 11a^4 + 46a^3 + 26a^2 + 30a + 14)47^2 + (13a^5 + 7a^4 + 32a^3 + 16a^2 + 45a + 21)47^3 + (2a^5 + 45a^4 + 29a^3 + 45a^2 + 38a + 4)47^4 + (45a^5 + 29a^4 + 26a^3 + 4a^2 + 27a + 11)47^5 + (20a^5 + 20a^4 + 28a^3 + 30a + 31)47^6 + (a^5 + 5a^4 + 18a^3 + 7a^2 + 39a + 6)47^7 + (44a^4 + 23a^3 + 45a^2 + 42a + 17)47^8 + (23a^5 + 32a^4 + 13a^3 + 37a^2 + 45a + 23)47^9+O(47^10)
$r_{ 6 }$	$=$	$ 31 a^{5} + 23 a^{4} + 27 a^{3} + 43 a^{2} + 38 a + 5 + \left(19 a^{5} + 11 a^{4} + 16 a^{3} + 36 a^{2} + 9 a + 32\right)\cdot 47 + \left(12 a^{5} + 39 a^{4} + 8 a^{3} + 23 a^{2} + 7 a + 21\right)\cdot 47^{2} + \left(21 a^{5} + 46 a^{4} + 13 a^{3} + 30 a^{2} + 24 a + 16\right)\cdot 47^{3} + \left(30 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 43 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 47^{4} + \left(42 a^{5} + a^{3} + 20 a^{2} + 41 a + 45\right)\cdot 47^{5} + \left(20 a^{5} + 21 a^{4} + 28 a^{3} + 23 a^{2} + 41 a + 8\right)\cdot 47^{6} + \left(20 a^{5} + 8 a^{4} + 26 a^{3} + 10 a^{2} + 40 a + 9\right)\cdot 47^{7} + \left(17 a^{5} + 15 a^{4} + 10 a^{3} + 19 a^{2} + 42 a + 42\right)\cdot 47^{8} + \left(12 a^{5} + 32 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 25\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})$ 31a^5 + 23a^4 + 27a^3 + 43a^2 + 38a + 5 + (19a^5 + 11a^4 + 16a^3 + 36a^2 + 9a + 32)47 + (12a^5 + 39a^4 + 8a^3 + 23a^2 + 7a + 21)47^2 + (21a^5 + 46a^4 + 13a^3 + 30a^2 + 24a + 16)47^3 + (30a^5 + 12a^4 + 11a^3 + 43a^2 + 8a + 9)47^4 + (42a^5 + a^3 + 20a^2 + 41a + 45)47^5 + (20a^5 + 21a^4 + 28a^3 + 23a^2 + 41a + 8)47^6 + (20a^5 + 8a^4 + 26a^3 + 10a^2 + 40a + 9)47^7 + (17a^5 + 15a^4 + 10a^3 + 19a^2 + 42a + 42)47^8 + (12a^5 + 32a^4 + a^3 + 6a^2 + 7a + 25)47^9+O(47^10)
$r_{ 7 }$	$=$	$ 23 a^{5} + a^{4} + 22 a^{3} + 25 a^{2} + 6 a + 4 + \left(39 a^{5} + 11 a^{4} + 36 a^{3} + 33 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 47 + \left(2 a^{5} + 12 a^{4} + 23 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 47^{2} + \left(11 a^{5} + 35 a^{4} + 28 a^{3} + 39 a^{2} + 45 a + 21\right)\cdot 47^{3} + \left(38 a^{5} + 3 a^{4} + 7 a^{3} + 30 a^{2} + 26\right)\cdot 47^{4} + \left(21 a^{5} + 16 a^{4} + 5 a^{3} + 40 a^{2} + 27 a + 30\right)\cdot 47^{5} + \left(46 a^{5} + 39 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 47^{6} + \left(25 a^{5} + 39 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 16\right)\cdot 47^{7} + \left(38 a^{5} + 39 a^{4} + 8 a^{3} + 37 a^{2} + 23 a + 14\right)\cdot 47^{8} + \left(9 a^{5} + 18 a^{4} + 22 a^{3} + 23 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})$ 23a^5 + a^4 + 22a^3 + 25a^2 + 6a + 4 + (39a^5 + 11a^4 + 36a^3 + 33a^2 + 12a + 14)47 + (2a^5 + 12a^4 + 23a^3 + 17a^2 + 12a + 1)47^2 + (11a^5 + 35a^4 + 28a^3 + 39a^2 + 45a + 21)47^3 + (38a^5 + 3a^4 + 7a^3 + 30a^2 + 26)47^4 + (21a^5 + 16a^4 + 5a^3 + 40a^2 + 27a + 30)47^5 + (46a^5 + 39a^4 + 9a^3 + 8a^2 + 8a + 5)47^6 + (25a^5 + 39a^4 + 2a^3 + 8a^2 + 16)47^7 + (38a^5 + 39a^4 + 8a^3 + 37a^2 + 23a + 14)47^8 + (9a^5 + 18a^4 + 22a^3 + 23a^2 + 5a + 3)47^9+O(47^10)
$r_{ 8 }$	$=$	$ 5 a^{5} + 44 a^{4} + 31 a^{3} + 15 a^{2} + 2 a + 30 + \left(22 a^{5} + 32 a^{4} + 6 a^{3} + 23 a^{2} + 37 a + 35\right)\cdot 47 + \left(16 a^{5} + 11 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 27 a + 43\right)\cdot 47^{2} + \left(21 a^{5} + 2 a^{4} + 24 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 35\right)\cdot 47^{3} + \left(43 a^{5} + 2 a^{4} + 8 a^{3} + 35 a^{2} + 11 a + 36\right)\cdot 47^{4} + \left(5 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 46\right)\cdot 47^{5} + \left(18 a^{5} + 6 a^{4} + 21 a^{3} + 33 a^{2} + 14 a + 38\right)\cdot 47^{6} + \left(22 a^{5} + 44 a^{4} + 29 a^{3} + 30 a^{2} + 44 a + 44\right)\cdot 47^{7} + \left(25 a^{5} + 6 a^{4} + 46 a^{3} + 3 a^{2} + 23 a\right)\cdot 47^{8} + \left(13 a^{5} + 34 a^{4} + 37 a^{3} + 7 a^{2} + 46 a + 40\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})$ 5a^5 + 44a^4 + 31a^3 + 15a^2 + 2a + 30 + (22a^5 + 32a^4 + 6a^3 + 23a^2 + 37a + 35)47 + (16a^5 + 11a^4 + a^3 + 10a^2 + 27a + 43)47^2 + (21a^5 + 2a^4 + 24a^3 + 14a^2 + 3a + 35)47^3 + (43a^5 + 2a^4 + 8a^3 + 35a^2 + 11a + 36)47^4 + (5a^5 + 4a^4 + a^3 + 9a^2 + 18a + 46)47^5 + (18a^5 + 6a^4 + 21a^3 + 33a^2 + 14a + 38)47^6 + (22a^5 + 44a^4 + 29a^3 + 30a^2 + 44a + 44)47^7 + (25a^5 + 6a^4 + 46a^3 + 3a^2 + 23a)47^8 + (13a^5 + 34a^4 + 37a^3 + 7a^2 + 46a + 40)*47^9+O(47^10)
$r_{ 9 }$	$=$	$ 32 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 38 a^{2} + 8 a + 4 + \left(8 a^{5} + 20 a^{4} + 22 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 47 + \left(36 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + 45 a^{2} + 2 a + 28\right)\cdot 47^{2} + \left(28 a^{5} + 45 a^{4} + 24 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 33\right)\cdot 47^{3} + \left(35 a^{5} + 26 a^{3} + 23 a^{2} + 30 a + 34\right)\cdot 47^{4} + \left(17 a^{5} + 30 a^{4} + 13 a^{3} + 40 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 47^{5} + \left(3 a^{5} + 27 a^{4} + 32 a^{3} + 7 a^{2} + 46 a + 26\right)\cdot 47^{6} + \left(27 a^{5} + 36 a^{4} + 46 a^{3} + 24 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 47^{7} + \left(27 a^{5} + 15 a^{4} + 34 a^{3} + 19 a^{2} + 14 a + 41\right)\cdot 47^{8} + \left(27 a^{5} + 17 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 25\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})$ 32a^5 + 11a^4 + 4a^3 + 38a^2 + 8a + 4 + (8a^5 + 20a^4 + 22a^3 + 14a^2 + 7a + 1)47 + (36a^5 + 11a^4 + 15a^3 + 45a^2 + 2a + 28)47^2 + (28a^5 + 45a^4 + 24a^3 + 5a^2 + 8a + 33)47^3 + (35a^5 + 26a^3 + 23a^2 + 30a + 34)47^4 + (17a^5 + 30a^4 + 13a^3 + 40a^2 + 8a + 1)47^5 + (3a^5 + 27a^4 + 32a^3 + 7a^2 + 46a + 26)47^6 + (27a^5 + 36a^4 + 46a^3 + 24a^2 + 21a + 13)47^7 + (27a^5 + 15a^4 + 34a^3 + 19a^2 + 14a + 41)47^8 + (27a^5 + 17a^4 + 17a^3 + 4a^2 + 3a + 25)47^9+O(47^10)
$r_{ 10 }$	$=$	$ 46 a^{5} + 42 a^{4} + 33 a^{3} + 41 a^{2} + 10 a + 30 + \left(45 a^{5} + 38 a^{4} + 27 a^{3} + 13 a^{2} + 9 a + 28\right)\cdot 47 + \left(44 a^{5} + 35 a^{4} + 10 a^{3} + 13 a^{2} + 29 a + 10\right)\cdot 47^{2} + \left(20 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 26 a^{2} + 46 a + 41\right)\cdot 47^{3} + \left(6 a^{5} + 35 a^{4} + 21 a^{3} + 24 a^{2} + 46 a + 8\right)\cdot 47^{4} + \left(27 a^{5} + 39 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 29 a + 6\right)\cdot 47^{5} + \left(41 a^{5} + a^{4} + 18 a^{3} + 19 a^{2} + 43\right)\cdot 47^{6} + \left(40 a^{5} + 43 a^{4} + 26 a^{3} + 32 a^{2} + 16 a + 25\right)\cdot 47^{7} + \left(12 a^{5} + 9 a^{4} + 29 a^{3} + 38 a^{2} + 3 a + 28\right)\cdot 47^{8} + \left(34 a^{5} + 15 a^{4} + 41 a^{2} + 10\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})$ 46a^5 + 42a^4 + 33a^3 + 41a^2 + 10a + 30 + (45a^5 + 38a^4 + 27a^3 + 13a^2 + 9a + 28)47 + (44a^5 + 35a^4 + 10a^3 + 13a^2 + 29a + 10)47^2 + (20a^5 + 12a^4 + 10a^3 + 26a^2 + 46a + 41)47^3 + (6a^5 + 35a^4 + 21a^3 + 24a^2 + 46a + 8)47^4 + (27a^5 + 39a^4 + 7a^3 + 9a^2 + 29a + 6)47^5 + (41a^5 + a^4 + 18a^3 + 19a^2 + 43)47^6 + (40a^5 + 43a^4 + 26a^3 + 32a^2 + 16a + 25)47^7 + (12a^5 + 9a^4 + 29a^3 + 38a^2 + 3a + 28)47^8 + (34a^5 + 15a^4 + 41a^2 + 10)*47^9+O(47^10)
$r_{ 11 }$	$=$	$ 15 a^{5} + 30 a^{4} + 12 a^{3} + 15 a^{2} + 11 a + 10 + \left(23 a^{5} + 4 a^{4} + 37 a^{3} + 12 a^{2} + 35 a + 22\right)\cdot 47 + \left(11 a^{5} + 8 a^{4} + 30 a^{3} + 3 a^{2} + 28 a + 3\right)\cdot 47^{2} + \left(31 a^{5} + 26 a^{3} + 9 a^{2} + 36 a + 14\right)\cdot 47^{3} + \left(6 a^{5} + 28 a^{4} + 20 a^{3} + 28 a^{2} + 43 a + 15\right)\cdot 47^{4} + \left(34 a^{5} + 40 a^{4} + 45 a^{3} + 23 a^{2} + 35 a + 31\right)\cdot 47^{5} + \left(28 a^{5} + 4 a^{4} + 41 a^{3} + 46 a^{2} + 38 a + 19\right)\cdot 47^{6} + \left(37 a^{5} + 27 a^{4} + 10 a^{3} + 37 a^{2} + 43 a + 12\right)\cdot 47^{7} + \left(20 a^{5} + 11 a^{4} + 25 a^{3} + 32 a^{2} + 41 a + 45\right)\cdot 47^{8} + \left(17 a^{5} + 9 a^{4} + 26 a^{3} + 23 a^{2} + 26 a + 22\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})$ 15a^5 + 30a^4 + 12a^3 + 15a^2 + 11a + 10 + (23a^5 + 4a^4 + 37a^3 + 12a^2 + 35a + 22)47 + (11a^5 + 8a^4 + 30a^3 + 3a^2 + 28a + 3)47^2 + (31a^5 + 26a^3 + 9a^2 + 36a + 14)47^3 + (6a^5 + 28a^4 + 20a^3 + 28a^2 + 43a + 15)47^4 + (34a^5 + 40a^4 + 45a^3 + 23a^2 + 35a + 31)47^5 + (28a^5 + 4a^4 + 41a^3 + 46a^2 + 38a + 19)47^6 + (37a^5 + 27a^4 + 10a^3 + 37a^2 + 43a + 12)47^7 + (20a^5 + 11a^4 + 25a^3 + 32a^2 + 41a + 45)47^8 + (17a^5 + 9a^4 + 26a^3 + 23a^2 + 26a + 22)47^9+O(47^10)
$r_{ 12 }$	$=$	$ 32 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 39 a^{2} + 43 a + 38 + \left(46 a^{5} + 45 a^{4} + 33 a^{3} + 3 a^{2} + 29 a + 34\right)\cdot 47 + \left(31 a^{5} + 4 a^{4} + 40 a^{3} + 38 a^{2} + 25 a + 42\right)\cdot 47^{2} + \left(18 a^{5} + 28 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 40 a + 43\right)\cdot 47^{3} + \left(33 a^{5} + 3 a^{4} + 13 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 47^{4} + \left(26 a^{5} + 12 a^{4} + 28 a^{3} + 45 a^{2} + 33 a + 3\right)\cdot 47^{5} + \left(7 a^{3} + 18 a^{2} + 33 a + 4\right)\cdot 47^{6} + \left(23 a^{5} + 12 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 23 a + 4\right)\cdot 47^{7} + \left(40 a^{5} + 24 a^{4} + 46 a^{3} + 30 a^{2} + 43 a + 32\right)\cdot 47^{8} + \left(29 a^{5} + 14 a^{4} + 46 a^{3} + 11 a^{2} + 36 a + 26\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})$ 32a^5 + 12a^4 + 15a^3 + 39a^2 + 43a + 38 + (46a^5 + 45a^4 + 33a^3 + 3a^2 + 29a + 34)47 + (31a^5 + 4a^4 + 40a^3 + 38a^2 + 25a + 42)47^2 + (18a^5 + 28a^4 + 14a^3 + 17a^2 + 40a + 43)47^3 + (33a^5 + 3a^4 + 13a^3 + 5a^2 + 21a + 21)47^4 + (26a^5 + 12a^4 + 28a^3 + 45a^2 + 33a + 3)47^5 + (7a^3 + 18a^2 + 33a + 4)47^6 + (23a^5 + 12a^4 + 7a^3 + 5a^2 + 23a + 4)47^7 + (40a^5 + 24a^4 + 46a^3 + 30a^2 + 43a + 32)47^8 + (29a^5 + 14a^4 + 46a^3 + 11a^2 + 36a + 26)*47^9+O(47^10)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$

Cycle notation
$(1,3)(2,4)(5,7)(6,8)(9,11)(10,12)$
$(1,5,2,10,8,4,11,12,6,9,7)$
$(2,8,6,4,7,9,12,10,11,5)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 12 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$11$
$55$	$2$	$(1,3)(2,4)(5,7)(6,8)(9,11)(10,12)$	$-1$
$66$	$2$	$(2,9)(4,11)(5,7)(6,10)(8,12)$	$1$
$110$	$3$	$(1,7,3)(2,12,8)(4,9,5)(6,11,10)$	$-1$
$110$	$4$	$(1,4,7,3)(2,9,11,12)(5,6,10,8)$	$-1$
$132$	$5$	$(2,6,7,12,11)(4,9,10,5,8)$	$1$
$132$	$5$	$(1,6,7,12,3)(2,9,4,11,5)$	$1$
$110$	$6$	$(1,5,6,7,11,12)(2,3,4,8,9,10)$	$-1$
$132$	$10$	$(2,8,6,4,7,9,12,10,11,5)$	$1$
$132$	$10$	$(2,4,12,5,6,9,11,8,7,10)$	$1$
$120$	$11$	$(1,5,2,10,8,4,11,12,6,9,7)$	$0$
$110$	$12$	$(1,4,5,8,6,9,7,10,11,2,12,3)$	$-1$
$110$	$12$	$(1,9,12,8,11,4,7,3,6,2,5,10)$	$-1$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	11.179...864.12t218.b.a
Dimension	$11$
Group	$\PGL(2,11)$
Conductor	$1.791\times 10^{27}$
Root number	$1$
Indicator	$1$

$r_{ 1 }$	$=$	\( 16 a^{5} + 21 a^{4} + 31 a^{3} + 6 a^{2} + 36 a + 4 + \left(31 a^{5} + 16 a^{4} + 33 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 47 + \left(29 a^{5} + 18 a^{4} + 37 a^{3} + 32 a^{2} + 37 a + 11\right)\cdot 47^{2} + \left(45 a^{5} + 23 a^{4} + 24 a^{3} + 27 a^{2} + 42 a + 13\right)\cdot 47^{3} + \left(29 a^{5} + 11 a^{3} + 34 a^{2} + 26 a + 39\right)\cdot 47^{4} + \left(17 a^{5} + 42 a^{4} + 34 a^{3} + 5 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 47^{5} + \left(23 a^{5} + 7 a^{4} + 25 a^{3} + 43 a^{2} + 34 a + 2\right)\cdot 47^{6} + \left(32 a^{5} + a^{4} + 28 a^{3} + 24 a^{2} + 39 a + 41\right)\cdot 47^{7} + \left(23 a^{5} + 6 a^{4} + 27 a^{3} + 23 a^{2} + 40 a + 31\right)\cdot 47^{8} + \left(a^{5} + 33 a^{4} + 30 a^{3} + 37 a^{2} + 17 a + 35\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})\) 16a^5 + 21a^4 + 31a^3 + 6a^2 + 36a + 4 + (31a^5 + 16a^4 + 33a^3 + 4a^2 + 4a + 3)47 + (29a^5 + 18a^4 + 37a^3 + 32a^2 + 37a + 11)47^2 + (45a^5 + 23a^4 + 24a^3 + 27a^2 + 42a + 13)47^3 + (29a^5 + 11a^3 + 34a^2 + 26a + 39)47^4 + (17a^5 + 42a^4 + 34a^3 + 5a^2 + 22a + 1)47^5 + (23a^5 + 7a^4 + 25a^3 + 43a^2 + 34a + 2)47^6 + (32a^5 + a^4 + 28a^3 + 24a^2 + 39a + 41)47^7 + (23a^5 + 6a^4 + 27a^3 + 23a^2 + 40a + 31)47^8 + (a^5 + 33a^4 + 30a^3 + 37a^2 + 17a + 35)47^9+O(47^10)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 42 a^{5} + 39 a^{4} + 18 a^{3} + 6 a^{2} + 25 a + 7 + \left(31 a^{5} + 32 a^{4} + 32 a^{2} + 32 a\right)\cdot 47 + \left(38 a^{5} + 11 a^{4} + 38 a^{3} + 42 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 47^{2} + \left(43 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + 5 a^{2} + 36 a + 12\right)\cdot 47^{3} + \left(28 a^{5} + 28 a^{4} + 33 a^{3} + 24 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 47^{4} + \left(8 a^{5} + 30 a^{4} + 36 a^{3} + 46 a^{2} + 8 a + 23\right)\cdot 47^{5} + \left(42 a^{5} + 18 a^{4} + 13 a^{3} + 35 a^{2} + 2 a + 41\right)\cdot 47^{6} + \left(31 a^{5} + 11 a^{4} + 38 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 43\right)\cdot 47^{7} + \left(10 a^{5} + 6 a^{4} + 34 a^{3} + 2 a^{2} + 37 a + 37\right)\cdot 47^{8} + \left(29 a^{4} + 9 a^{3} + 15 a^{2} + 23 a + 13\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})\) 42a^5 + 39a^4 + 18a^3 + 6a^2 + 25a + 7 + (31a^5 + 32a^4 + 32a^2 + 32a)47 + (38a^5 + 11a^4 + 38a^3 + 42a^2 + 5a + 17)47^2 + (43a^5 + 22a^4 + 17a^3 + 5a^2 + 36a + 12)47^3 + (28a^5 + 28a^4 + 33a^3 + 24a^2 + 11a + 22)47^4 + (8a^5 + 30a^4 + 36a^3 + 46a^2 + 8a + 23)47^5 + (42a^5 + 18a^4 + 13a^3 + 35a^2 + 2a + 41)47^6 + (31a^5 + 11a^4 + 38a^3 + 6a^2 + 4a + 43)47^7 + (10a^5 + 6a^4 + 34a^3 + 2a^2 + 37a + 37)47^8 + (29a^4 + 9a^3 + 15a^2 + 23a + 13)*47^9+O(47^10)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 35 a^{5} + 3 a^{4} + 24 a^{3} + 7 a^{2} + 21 a + 12 + \left(11 a^{5} + 23 a^{4} + 30 a^{3} + 18 a^{2} + 23 a + 27\right)\cdot 47 + \left(8 a^{5} + 38 a^{4} + 24 a^{3} + 37 a^{2} + 43 a + 5\right)\cdot 47^{2} + \left(17 a^{5} + 38 a^{4} + 22 a^{3} + 2 a^{2} + 28 a + 15\right)\cdot 47^{3} + \left(15 a^{5} + 18 a^{4} + 29 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a + 28\right)\cdot 47^{4} + \left(12 a^{5} + 13 a^{4} + 35 a^{3} + 21 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 47^{5} + \left(20 a^{5} + 11 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 34 a + 1\right)\cdot 47^{6} + \left(30 a^{5} + 14 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 14 a + 44\right)\cdot 47^{7} + \left(3 a^{5} + 40 a^{4} + 2 a^{3} + 31 a^{2} + 5 a + 42\right)\cdot 47^{8} + \left(39 a^{5} + 42 a^{4} + 15 a^{3} + 21 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})\) 35a^5 + 3a^4 + 24a^3 + 7a^2 + 21a + 12 + (11a^5 + 23a^4 + 30a^3 + 18a^2 + 23a + 27)47 + (8a^5 + 38a^4 + 24a^3 + 37a^2 + 43a + 5)47^2 + (17a^5 + 38a^4 + 22a^3 + 2a^2 + 28a + 15)47^3 + (15a^5 + 18a^4 + 29a^3 + 5a^2 + 21a + 28)47^4 + (12a^5 + 13a^4 + 35a^3 + 21a^2 + 5a + 5)47^5 + (20a^5 + 11a^4 + 14a^3 + 17a^2 + 34a + 1)47^6 + (30a^5 + 14a^4 + 10a^3 + 10a^2 + 14a + 44)47^7 + (3a^5 + 40a^4 + 2a^3 + 31a^2 + 5a + 42)47^8 + (39a^5 + 42a^4 + 15a^3 + 21a^2 + 17a + 3)*47^9+O(47^10)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 28 a^{5} + 2 a^{4} + 31 a^{3} + 34 a^{2} + 28 a + 35 + \left(20 a^{5} + 40 a^{4} + 6 a^{3} + 38 a^{2} + 31 a + 13\right)\cdot 47 + \left(43 a^{5} + 31 a^{4} + 4 a^{3} + 38 a^{2} + 32 a + 35\right)\cdot 47^{2} + \left(8 a^{5} + 19 a^{4} + 42 a^{3} + 38 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 47^{3} + \left(11 a^{5} + 8 a^{4} + 21 a^{3} + 28 a^{2} + 19 a + 34\right)\cdot 47^{4} + \left(22 a^{5} + 23 a^{4} + 46 a^{3} + 13 a^{2} + 23 a + 27\right)\cdot 47^{5} + \left(15 a^{5} + 28 a^{4} + 40 a^{3} + 27 a^{2} + 43 a + 12\right)\cdot 47^{6} + \left(35 a^{5} + 38 a^{4} + 36 a^{3} + 36 a^{2} + 39 a + 20\right)\cdot 47^{7} + \left(13 a^{5} + 14 a^{4} + 39 a^{3} + 45 a^{2} + 9 a + 41\right)\cdot 47^{8} + \left(26 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})\) 28a^5 + 2a^4 + 31a^3 + 34a^2 + 28a + 35 + (20a^5 + 40a^4 + 6a^3 + 38a^2 + 31a + 13)47 + (43a^5 + 31a^4 + 4a^3 + 38a^2 + 32a + 35)47^2 + (8a^5 + 19a^4 + 42a^3 + 38a^2 + 17a + 13)47^3 + (11a^5 + 8a^4 + 21a^3 + 28a^2 + 19a + 34)47^4 + (22a^5 + 23a^4 + 46a^3 + 13a^2 + 23a + 27)47^5 + (15a^5 + 28a^4 + 40a^3 + 27a^2 + 43a + 12)47^6 + (35a^5 + 38a^4 + 36a^3 + 36a^2 + 39a + 20)47^7 + (13a^5 + 14a^4 + 39a^3 + 45a^2 + 9a + 41)47^8 + (26a^5 + 2a^4 + 12a^3 + 3a^2 + 3a + 2)*47^9+O(47^10)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 24 a^{5} + 7 a^{4} + 34 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 14 + \left(27 a^{5} + 5 a^{4} + 30 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 22\right)\cdot 47 + \left(5 a^{5} + 11 a^{4} + 46 a^{3} + 26 a^{2} + 30 a + 14\right)\cdot 47^{2} + \left(13 a^{5} + 7 a^{4} + 32 a^{3} + 16 a^{2} + 45 a + 21\right)\cdot 47^{3} + \left(2 a^{5} + 45 a^{4} + 29 a^{3} + 45 a^{2} + 38 a + 4\right)\cdot 47^{4} + \left(45 a^{5} + 29 a^{4} + 26 a^{3} + 4 a^{2} + 27 a + 11\right)\cdot 47^{5} + \left(20 a^{5} + 20 a^{4} + 28 a^{3} + 30 a + 31\right)\cdot 47^{6} + \left(a^{5} + 5 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 39 a + 6\right)\cdot 47^{7} + \left(44 a^{4} + 23 a^{3} + 45 a^{2} + 42 a + 17\right)\cdot 47^{8} + \left(23 a^{5} + 32 a^{4} + 13 a^{3} + 37 a^{2} + 45 a + 23\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})\) 24a^5 + 7a^4 + 34a^3 + 13a^2 + 7a + 14 + (27a^5 + 5a^4 + 30a^3 + 3a^2 + 2a + 22)47 + (5a^5 + 11a^4 + 46a^3 + 26a^2 + 30a + 14)47^2 + (13a^5 + 7a^4 + 32a^3 + 16a^2 + 45a + 21)47^3 + (2a^5 + 45a^4 + 29a^3 + 45a^2 + 38a + 4)47^4 + (45a^5 + 29a^4 + 26a^3 + 4a^2 + 27a + 11)47^5 + (20a^5 + 20a^4 + 28a^3 + 30a + 31)47^6 + (a^5 + 5a^4 + 18a^3 + 7a^2 + 39a + 6)47^7 + (44a^4 + 23a^3 + 45a^2 + 42a + 17)47^8 + (23a^5 + 32a^4 + 13a^3 + 37a^2 + 45a + 23)47^9+O(47^10)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 31 a^{5} + 23 a^{4} + 27 a^{3} + 43 a^{2} + 38 a + 5 + \left(19 a^{5} + 11 a^{4} + 16 a^{3} + 36 a^{2} + 9 a + 32\right)\cdot 47 + \left(12 a^{5} + 39 a^{4} + 8 a^{3} + 23 a^{2} + 7 a + 21\right)\cdot 47^{2} + \left(21 a^{5} + 46 a^{4} + 13 a^{3} + 30 a^{2} + 24 a + 16\right)\cdot 47^{3} + \left(30 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 43 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 47^{4} + \left(42 a^{5} + a^{3} + 20 a^{2} + 41 a + 45\right)\cdot 47^{5} + \left(20 a^{5} + 21 a^{4} + 28 a^{3} + 23 a^{2} + 41 a + 8\right)\cdot 47^{6} + \left(20 a^{5} + 8 a^{4} + 26 a^{3} + 10 a^{2} + 40 a + 9\right)\cdot 47^{7} + \left(17 a^{5} + 15 a^{4} + 10 a^{3} + 19 a^{2} + 42 a + 42\right)\cdot 47^{8} + \left(12 a^{5} + 32 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 25\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})\) 31a^5 + 23a^4 + 27a^3 + 43a^2 + 38a + 5 + (19a^5 + 11a^4 + 16a^3 + 36a^2 + 9a + 32)47 + (12a^5 + 39a^4 + 8a^3 + 23a^2 + 7a + 21)47^2 + (21a^5 + 46a^4 + 13a^3 + 30a^2 + 24a + 16)47^3 + (30a^5 + 12a^4 + 11a^3 + 43a^2 + 8a + 9)47^4 + (42a^5 + a^3 + 20a^2 + 41a + 45)47^5 + (20a^5 + 21a^4 + 28a^3 + 23a^2 + 41a + 8)47^6 + (20a^5 + 8a^4 + 26a^3 + 10a^2 + 40a + 9)47^7 + (17a^5 + 15a^4 + 10a^3 + 19a^2 + 42a + 42)47^8 + (12a^5 + 32a^4 + a^3 + 6a^2 + 7a + 25)47^9+O(47^10)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 23 a^{5} + a^{4} + 22 a^{3} + 25 a^{2} + 6 a + 4 + \left(39 a^{5} + 11 a^{4} + 36 a^{3} + 33 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 47 + \left(2 a^{5} + 12 a^{4} + 23 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 47^{2} + \left(11 a^{5} + 35 a^{4} + 28 a^{3} + 39 a^{2} + 45 a + 21\right)\cdot 47^{3} + \left(38 a^{5} + 3 a^{4} + 7 a^{3} + 30 a^{2} + 26\right)\cdot 47^{4} + \left(21 a^{5} + 16 a^{4} + 5 a^{3} + 40 a^{2} + 27 a + 30\right)\cdot 47^{5} + \left(46 a^{5} + 39 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 47^{6} + \left(25 a^{5} + 39 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 16\right)\cdot 47^{7} + \left(38 a^{5} + 39 a^{4} + 8 a^{3} + 37 a^{2} + 23 a + 14\right)\cdot 47^{8} + \left(9 a^{5} + 18 a^{4} + 22 a^{3} + 23 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})\) 23a^5 + a^4 + 22a^3 + 25a^2 + 6a + 4 + (39a^5 + 11a^4 + 36a^3 + 33a^2 + 12a + 14)47 + (2a^5 + 12a^4 + 23a^3 + 17a^2 + 12a + 1)47^2 + (11a^5 + 35a^4 + 28a^3 + 39a^2 + 45a + 21)47^3 + (38a^5 + 3a^4 + 7a^3 + 30a^2 + 26)47^4 + (21a^5 + 16a^4 + 5a^3 + 40a^2 + 27a + 30)47^5 + (46a^5 + 39a^4 + 9a^3 + 8a^2 + 8a + 5)47^6 + (25a^5 + 39a^4 + 2a^3 + 8a^2 + 16)47^7 + (38a^5 + 39a^4 + 8a^3 + 37a^2 + 23a + 14)47^8 + (9a^5 + 18a^4 + 22a^3 + 23a^2 + 5a + 3)47^9+O(47^10)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 5 a^{5} + 44 a^{4} + 31 a^{3} + 15 a^{2} + 2 a + 30 + \left(22 a^{5} + 32 a^{4} + 6 a^{3} + 23 a^{2} + 37 a + 35\right)\cdot 47 + \left(16 a^{5} + 11 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 27 a + 43\right)\cdot 47^{2} + \left(21 a^{5} + 2 a^{4} + 24 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 35\right)\cdot 47^{3} + \left(43 a^{5} + 2 a^{4} + 8 a^{3} + 35 a^{2} + 11 a + 36\right)\cdot 47^{4} + \left(5 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 46\right)\cdot 47^{5} + \left(18 a^{5} + 6 a^{4} + 21 a^{3} + 33 a^{2} + 14 a + 38\right)\cdot 47^{6} + \left(22 a^{5} + 44 a^{4} + 29 a^{3} + 30 a^{2} + 44 a + 44\right)\cdot 47^{7} + \left(25 a^{5} + 6 a^{4} + 46 a^{3} + 3 a^{2} + 23 a\right)\cdot 47^{8} + \left(13 a^{5} + 34 a^{4} + 37 a^{3} + 7 a^{2} + 46 a + 40\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})\) 5a^5 + 44a^4 + 31a^3 + 15a^2 + 2a + 30 + (22a^5 + 32a^4 + 6a^3 + 23a^2 + 37a + 35)47 + (16a^5 + 11a^4 + a^3 + 10a^2 + 27a + 43)47^2 + (21a^5 + 2a^4 + 24a^3 + 14a^2 + 3a + 35)47^3 + (43a^5 + 2a^4 + 8a^3 + 35a^2 + 11a + 36)47^4 + (5a^5 + 4a^4 + a^3 + 9a^2 + 18a + 46)47^5 + (18a^5 + 6a^4 + 21a^3 + 33a^2 + 14a + 38)47^6 + (22a^5 + 44a^4 + 29a^3 + 30a^2 + 44a + 44)47^7 + (25a^5 + 6a^4 + 46a^3 + 3a^2 + 23a)47^8 + (13a^5 + 34a^4 + 37a^3 + 7a^2 + 46a + 40)*47^9+O(47^10)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 32 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 38 a^{2} + 8 a + 4 + \left(8 a^{5} + 20 a^{4} + 22 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 47 + \left(36 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + 45 a^{2} + 2 a + 28\right)\cdot 47^{2} + \left(28 a^{5} + 45 a^{4} + 24 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 33\right)\cdot 47^{3} + \left(35 a^{5} + 26 a^{3} + 23 a^{2} + 30 a + 34\right)\cdot 47^{4} + \left(17 a^{5} + 30 a^{4} + 13 a^{3} + 40 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 47^{5} + \left(3 a^{5} + 27 a^{4} + 32 a^{3} + 7 a^{2} + 46 a + 26\right)\cdot 47^{6} + \left(27 a^{5} + 36 a^{4} + 46 a^{3} + 24 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 47^{7} + \left(27 a^{5} + 15 a^{4} + 34 a^{3} + 19 a^{2} + 14 a + 41\right)\cdot 47^{8} + \left(27 a^{5} + 17 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 25\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})\) 32a^5 + 11a^4 + 4a^3 + 38a^2 + 8a + 4 + (8a^5 + 20a^4 + 22a^3 + 14a^2 + 7a + 1)47 + (36a^5 + 11a^4 + 15a^3 + 45a^2 + 2a + 28)47^2 + (28a^5 + 45a^4 + 24a^3 + 5a^2 + 8a + 33)47^3 + (35a^5 + 26a^3 + 23a^2 + 30a + 34)47^4 + (17a^5 + 30a^4 + 13a^3 + 40a^2 + 8a + 1)47^5 + (3a^5 + 27a^4 + 32a^3 + 7a^2 + 46a + 26)47^6 + (27a^5 + 36a^4 + 46a^3 + 24a^2 + 21a + 13)47^7 + (27a^5 + 15a^4 + 34a^3 + 19a^2 + 14a + 41)47^8 + (27a^5 + 17a^4 + 17a^3 + 4a^2 + 3a + 25)47^9+O(47^10)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 46 a^{5} + 42 a^{4} + 33 a^{3} + 41 a^{2} + 10 a + 30 + \left(45 a^{5} + 38 a^{4} + 27 a^{3} + 13 a^{2} + 9 a + 28\right)\cdot 47 + \left(44 a^{5} + 35 a^{4} + 10 a^{3} + 13 a^{2} + 29 a + 10\right)\cdot 47^{2} + \left(20 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 26 a^{2} + 46 a + 41\right)\cdot 47^{3} + \left(6 a^{5} + 35 a^{4} + 21 a^{3} + 24 a^{2} + 46 a + 8\right)\cdot 47^{4} + \left(27 a^{5} + 39 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 29 a + 6\right)\cdot 47^{5} + \left(41 a^{5} + a^{4} + 18 a^{3} + 19 a^{2} + 43\right)\cdot 47^{6} + \left(40 a^{5} + 43 a^{4} + 26 a^{3} + 32 a^{2} + 16 a + 25\right)\cdot 47^{7} + \left(12 a^{5} + 9 a^{4} + 29 a^{3} + 38 a^{2} + 3 a + 28\right)\cdot 47^{8} + \left(34 a^{5} + 15 a^{4} + 41 a^{2} + 10\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})\) 46a^5 + 42a^4 + 33a^3 + 41a^2 + 10a + 30 + (45a^5 + 38a^4 + 27a^3 + 13a^2 + 9a + 28)47 + (44a^5 + 35a^4 + 10a^3 + 13a^2 + 29a + 10)47^2 + (20a^5 + 12a^4 + 10a^3 + 26a^2 + 46a + 41)47^3 + (6a^5 + 35a^4 + 21a^3 + 24a^2 + 46a + 8)47^4 + (27a^5 + 39a^4 + 7a^3 + 9a^2 + 29a + 6)47^5 + (41a^5 + a^4 + 18a^3 + 19a^2 + 43)47^6 + (40a^5 + 43a^4 + 26a^3 + 32a^2 + 16a + 25)47^7 + (12a^5 + 9a^4 + 29a^3 + 38a^2 + 3a + 28)47^8 + (34a^5 + 15a^4 + 41a^2 + 10)*47^9+O(47^10)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 15 a^{5} + 30 a^{4} + 12 a^{3} + 15 a^{2} + 11 a + 10 + \left(23 a^{5} + 4 a^{4} + 37 a^{3} + 12 a^{2} + 35 a + 22\right)\cdot 47 + \left(11 a^{5} + 8 a^{4} + 30 a^{3} + 3 a^{2} + 28 a + 3\right)\cdot 47^{2} + \left(31 a^{5} + 26 a^{3} + 9 a^{2} + 36 a + 14\right)\cdot 47^{3} + \left(6 a^{5} + 28 a^{4} + 20 a^{3} + 28 a^{2} + 43 a + 15\right)\cdot 47^{4} + \left(34 a^{5} + 40 a^{4} + 45 a^{3} + 23 a^{2} + 35 a + 31\right)\cdot 47^{5} + \left(28 a^{5} + 4 a^{4} + 41 a^{3} + 46 a^{2} + 38 a + 19\right)\cdot 47^{6} + \left(37 a^{5} + 27 a^{4} + 10 a^{3} + 37 a^{2} + 43 a + 12\right)\cdot 47^{7} + \left(20 a^{5} + 11 a^{4} + 25 a^{3} + 32 a^{2} + 41 a + 45\right)\cdot 47^{8} + \left(17 a^{5} + 9 a^{4} + 26 a^{3} + 23 a^{2} + 26 a + 22\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})\) 15a^5 + 30a^4 + 12a^3 + 15a^2 + 11a + 10 + (23a^5 + 4a^4 + 37a^3 + 12a^2 + 35a + 22)47 + (11a^5 + 8a^4 + 30a^3 + 3a^2 + 28a + 3)47^2 + (31a^5 + 26a^3 + 9a^2 + 36a + 14)47^3 + (6a^5 + 28a^4 + 20a^3 + 28a^2 + 43a + 15)47^4 + (34a^5 + 40a^4 + 45a^3 + 23a^2 + 35a + 31)47^5 + (28a^5 + 4a^4 + 41a^3 + 46a^2 + 38a + 19)47^6 + (37a^5 + 27a^4 + 10a^3 + 37a^2 + 43a + 12)47^7 + (20a^5 + 11a^4 + 25a^3 + 32a^2 + 41a + 45)47^8 + (17a^5 + 9a^4 + 26a^3 + 23a^2 + 26a + 22)47^9+O(47^10)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 32 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 39 a^{2} + 43 a + 38 + \left(46 a^{5} + 45 a^{4} + 33 a^{3} + 3 a^{2} + 29 a + 34\right)\cdot 47 + \left(31 a^{5} + 4 a^{4} + 40 a^{3} + 38 a^{2} + 25 a + 42\right)\cdot 47^{2} + \left(18 a^{5} + 28 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 40 a + 43\right)\cdot 47^{3} + \left(33 a^{5} + 3 a^{4} + 13 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 47^{4} + \left(26 a^{5} + 12 a^{4} + 28 a^{3} + 45 a^{2} + 33 a + 3\right)\cdot 47^{5} + \left(7 a^{3} + 18 a^{2} + 33 a + 4\right)\cdot 47^{6} + \left(23 a^{5} + 12 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 23 a + 4\right)\cdot 47^{7} + \left(40 a^{5} + 24 a^{4} + 46 a^{3} + 30 a^{2} + 43 a + 32\right)\cdot 47^{8} + \left(29 a^{5} + 14 a^{4} + 46 a^{3} + 11 a^{2} + 36 a + 26\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})\) 32a^5 + 12a^4 + 15a^3 + 39a^2 + 43a + 38 + (46a^5 + 45a^4 + 33a^3 + 3a^2 + 29a + 34)47 + (31a^5 + 4a^4 + 40a^3 + 38a^2 + 25a + 42)47^2 + (18a^5 + 28a^4 + 14a^3 + 17a^2 + 40a + 43)47^3 + (33a^5 + 3a^4 + 13a^3 + 5a^2 + 21a + 21)47^4 + (26a^5 + 12a^4 + 28a^3 + 45a^2 + 33a + 3)47^5 + (7a^3 + 18a^2 + 33a + 4)47^6 + (23a^5 + 12a^4 + 7a^3 + 5a^2 + 23a + 4)47^7 + (40a^5 + 24a^4 + 46a^3 + 30a^2 + 43a + 32)47^8 + (29a^5 + 14a^4 + 46a^3 + 11a^2 + 36a + 26)*47^9+O(47^10)