Properties

Label 11.150...129.24t2949.b.a
Dimension $11$
Group $\PGL(2,11)$
Conductor $1.509\times 10^{28}$
Root number $1$
Indicator $1$

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Dimension: $11$
Group: $\PGL(2,11)$
Conductor: \(150\!\cdots\!129\)\(\medspace = 11^{12} \cdot 37^{10}\)
Frobenius-Schur indicator: $1$
Root number: $1$
Artin stem field: Galois closure of 12.2.1371945240568483487545135739.2
Galois orbit size: $1$
Smallest permutation container: 24T2949
Parity: even
Determinant: 1.1.1t1.a.a
Projective image: $\PSL(2,11).C_2$
Projective stem field: Galois closure of 12.2.1371945240568483487545135739.2

Defining polynomial

$f(x)$$=$ \( x^{12} - 4 x^{11} - 11 x^{10} + 55 x^{9} + 99 x^{8} + 803 x^{7} - 7414 x^{6} + 2255 x^{5} + 26334 x^{4} + 115764 x^{3} - 246488 x^{2} - 809024 x + 1821056 \) Copy content Toggle raw display .

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 23 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 23 }$: \( x^{6} + x^{4} + 9x^{3} + 9x^{2} + x + 5 \) Copy content Toggle raw display

Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ \( 20 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 19 a^{2} + 2 a + 4 + \left(22 a^{5} + 2 a^{4} + 7 a^{3} + 18 a^{2} + 21 a + 10\right)\cdot 23 + \left(13 a^{5} + 13 a^{4} + 21 a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 23^{2} + \left(10 a^{5} + 9 a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 23^{3} + \left(10 a^{5} + 14 a^{4} + 22 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 23^{4} + \left(7 a^{5} + 13 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(21 a^{5} + 17 a^{4} + 20 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 23^{6} + \left(17 a^{5} + 7 a^{4} + 13 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 23^{7} + \left(4 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 23^{8} + \left(11 a^{5} + 16 a^{4} + 9 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 2 }$ $=$ \( 4 a^{5} + a^{3} + a^{2} + 21 a + 5 + \left(20 a^{5} + 19 a^{4} + 20 a^{3} + 3 a + 14\right)\cdot 23 + \left(6 a^{5} + 21 a^{4} + 11 a^{3} + 4 a + 7\right)\cdot 23^{2} + \left(19 a^{5} + 8 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + a + 6\right)\cdot 23^{3} + \left(16 a^{5} + 8 a^{4} + 17 a^{3} + 10 a^{2} + 20 a + 2\right)\cdot 23^{4} + \left(18 a^{5} + 14 a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 23^{5} + \left(21 a^{5} + 9 a^{4} + 16 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 23^{6} + \left(6 a^{4} + 11 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 23^{7} + \left(16 a^{5} + 6 a^{3} + 22 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 23^{8} + \left(20 a^{5} + 21 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 3 }$ $=$ \( 12 a^{5} + 21 a^{4} + 18 a^{3} + 21 a^{2} + 19 a + 5 + \left(5 a^{5} + 19 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 23 + \left(11 a^{5} + 17 a^{4} + 18 a^{3} + 21 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 23^{2} + \left(7 a^{5} + 22 a^{4} + 2 a^{3} + 22 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 23^{3} + \left(16 a^{5} + 19 a^{4} + 20 a^{3} + 4 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 23^{4} + \left(17 a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(18 a^{5} + 13 a^{4} + a^{3} + 20 a^{2} + 16 a + 20\right)\cdot 23^{6} + \left(3 a^{5} + 2 a^{4} + 17 a^{3} + a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 23^{7} + \left(14 a^{5} + 9 a^{4} + 19 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 23^{8} + \left(12 a^{5} + a^{4} + 19 a^{3} + 4 a^{2} + a + 10\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 4 }$ $=$ \( 15 a^{5} + 3 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 18 a + 13 + \left(12 a^{5} + 16 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 23 + \left(16 a^{5} + 13 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 23^{2} + \left(3 a^{5} + 10 a^{4} + 22 a^{3} + 13 a + 16\right)\cdot 23^{3} + \left(12 a^{5} + 17 a^{4} + 15 a^{3} + 19 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 23^{4} + \left(7 a^{5} + 21 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 2\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{5} + 9 a^{4} + 15 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 23^{6} + \left(20 a^{5} + 6 a^{4} + 9 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 23^{7} + \left(7 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 23^{8} + \left(18 a^{5} + 12 a^{4} + 7 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 5 }$ $=$ \( 2 a^{5} + 5 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 9 + \left(20 a^{5} + 12 a^{4} + 22 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 23 + \left(12 a^{5} + 21 a^{4} + 20 a^{3} + 4 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 23^{2} + \left(19 a^{5} + 22 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 23^{3} + \left(18 a^{5} + 7 a^{4} + 16 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 23^{4} + \left(6 a^{5} + a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 23^{5} + \left(22 a^{5} + 6 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 19 a + 5\right)\cdot 23^{6} + \left(6 a^{5} + 19 a^{4} + a^{3} + 19 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 23^{7} + \left(9 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 20 a^{2} + 20 a\right)\cdot 23^{8} + \left(15 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 19 a^{2} + 20 a + 5\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 6 }$ $=$ \( 21 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 11 a + 15 + \left(7 a^{4} + 20 a^{3} + 7 a^{2} + a + 14\right)\cdot 23 + \left(10 a^{5} + 20 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 23^{2} + \left(2 a^{5} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 23^{3} + \left(17 a^{5} + 18 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 17 a + 19\right)\cdot 23^{4} + \left(9 a^{5} + 14 a^{4} + 13 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 23^{5} + \left(10 a^{5} + 22 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 20 a + 19\right)\cdot 23^{6} + \left(14 a^{5} + 18 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 20 a + 5\right)\cdot 23^{7} + \left(16 a^{5} + a^{4} + 21 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 23^{8} + \left(6 a^{5} + 21 a^{4} + 16 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 7 }$ $=$ \( 13 a^{5} + 14 a^{4} + 19 a^{3} + 3 a^{2} + 21 a + 7 + \left(14 a^{5} + 2 a^{4} + 21 a^{3} + 17 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 23 + \left(15 a^{5} + 16 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a + 5\right)\cdot 23^{2} + \left(18 a^{5} + 11 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a\right)\cdot 23^{3} + \left(15 a^{5} + 14 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 23^{4} + \left(6 a^{5} + 4 a^{4} + 19 a^{3} + 19 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 23^{5} + \left(22 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 23^{6} + \left(4 a^{5} + 17 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 23^{7} + \left(10 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 20 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 23^{8} + \left(13 a^{5} + 9 a^{4} + 22 a^{3} + 18 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 8 }$ $=$ \( 3 a^{5} + 9 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 2 + \left(17 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + 17 a^{2} + a + 14\right)\cdot 23 + \left(20 a^{5} + 16 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 23^{2} + \left(12 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 22 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 23^{3} + \left(a^{5} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 20 a + 16\right)\cdot 23^{4} + \left(2 a^{5} + 21 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 23^{5} + \left(3 a^{5} + 19 a^{4} + 8 a^{3} + 22 a + 20\right)\cdot 23^{6} + \left(18 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 19 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 23^{7} + \left(21 a^{5} + 2 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 22\right)\cdot 23^{8} + \left(2 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 9 }$ $=$ \( 19 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 18 + \left(14 a^{5} + 21 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 23 + \left(19 a^{5} + 22 a^{4} + 20 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 23^{2} + \left(10 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 22 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 23^{3} + \left(6 a^{5} + 7 a^{4} + 14 a^{3} + 4 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 23^{4} + \left(9 a^{4} + a^{3} + 20 a^{2} + 20 a + 10\right)\cdot 23^{5} + \left(22 a^{5} + 20 a^{4} + 16 a^{3} + 7 a^{2} + a + 6\right)\cdot 23^{6} + \left(2 a^{5} + 19 a^{4} + 20 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 23^{7} + \left(8 a^{5} + 17 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 23^{8} + \left(21 a^{5} + 8 a^{4} + 18 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 10 }$ $=$ \( 2 a^{5} + 19 a^{4} + a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + \left(4 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{3} + 3 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 23 + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 23^{2} + \left(15 a^{5} + 9 a^{4} + 12 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a\right)\cdot 23^{3} + \left(22 a^{5} + 16 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 23^{4} + \left(10 a^{5} + 21 a^{4} + 22 a^{3} + 6 a^{2} + 19 a + 18\right)\cdot 23^{5} + \left(20 a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{3} + 21 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 23^{6} + \left(19 a^{5} + 3 a^{4} + 14 a^{3} + 15 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 23^{7} + \left(18 a^{5} + 12 a^{4} + 17 a^{3} + 20 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 23^{8} + \left(14 a^{5} + 2 a^{4} + 21 a^{3} + 19 a^{2} + 20\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 11 }$ $=$ \( 22 a^{5} + a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a + 7 + \left(14 a^{5} + 10 a^{4} + 21 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 23 + \left(18 a^{5} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 23^{2} + \left(a^{5} + 17 a^{4} + 5 a^{3} + a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 23^{3} + \left(a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{3} + 19 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 23^{4} + \left(7 a^{5} + 5 a^{4} + 22 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 23^{5} + \left(8 a^{5} + 8 a^{4} + 17 a^{3} + 20 a^{2} + 10 a + 22\right)\cdot 23^{6} + \left(9 a^{5} + 2 a^{4} + 22 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 22\right)\cdot 23^{7} + \left(22 a^{5} + 6 a^{4} + 14 a^{3} + 21 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 23^{8} + \left(17 a^{5} + a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 12 }$ $=$ \( a^{5} + 5 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 20 a + 11 + \left(14 a^{5} + 22 a^{4} + 20 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 23 + \left(14 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 19 a + 19\right)\cdot 23^{2} + \left(15 a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + a + 19\right)\cdot 23^{3} + \left(21 a^{5} + 8 a^{4} + 15 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 23^{4} + \left(19 a^{5} + 21 a^{4} + 19 a^{3} + 3 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 23^{5} + \left(16 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 23^{6} + \left(17 a^{5} + 5 a^{3} + 9 a\right)\cdot 23^{7} + \left(10 a^{5} + 16 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 23^{8} + \left(5 a^{5} + 6 a^{4} + 20 a^{3} + 4 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) Copy content Toggle raw display

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$

Cycle notation
$(1,2)(3,12)(4,6)(5,7)(8,11)(9,10)$
$(3,12,11,5,4,10,9,6,7,8)$
$(1,5,4,12,10,6,11,3,9,8,7)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 12 }$ Character value
$1$$1$$()$$11$
$55$$2$$(1,2)(3,12)(4,6)(5,7)(8,11)(9,10)$$-1$
$66$$2$$(3,10)(4,8)(5,7)(6,11)(9,12)$$-1$
$110$$3$$(1,7,2)(3,10,4)(5,6,8)(9,11,12)$$-1$
$110$$4$$(1,6,7,2)(3,4,8,11)(5,9,12,10)$$1$
$132$$5$$(3,11,4,9,7)(5,10,6,8,12)$$1$
$132$$5$$(1,9,7,3,2)(4,8,6,11,5)$$1$
$110$$6$$(1,5,9,7,11,3)(2,6,10,8,12,4)$$-1$
$132$$10$$(3,12,11,5,4,10,9,6,7,8)$$-1$
$132$$10$$(3,5,9,8,11,10,7,12,4,6)$$-1$
$120$$11$$(1,5,4,12,10,6,11,3,9,8,7)$$0$
$110$$12$$(1,6,5,10,9,8,7,12,11,4,3,2)$$1$
$110$$12$$(1,8,3,10,11,6,7,2,9,4,5,12)$$1$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.