LMFDB - Galois orbit of Artin representations 11.1255371350688400000000.24t2949.a

Basic invariants

Dimension:	$11$
Group:	$\PGL(2,11)$
Conductor:	$125\!\cdots\!000$$\medspace = 2^{10} \cdot 5^{8} \cdot 11^{12} $
Frobenius-Schur indicator:	$1$
Root number:	$1$
Artin number field:	Galois closure of 12.2.114124668244400000000.1
Galois orbit size:	$1$
Smallest permutation container:	24T2949
Parity:	even
Projective image:	$\PGL(2,11)$
Projective field:	Galois closure of 12.2.114124668244400000000.1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 23 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 23 }$: $ x^{6} + x^{4} + 9x^{3} + 9x^{2} + x + 5 $

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 19 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 19 a + 9 + \left(9 a^{5} + 6 a^{4} + 17 a^{3} + 14 a + 3\right)\cdot 23 + \left(10 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + 15 a + 19\right)\cdot 23^{2} + \left(11 a^{5} + 9 a^{4} + 20 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 23^{3} + \left(11 a^{5} + 22 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{5} + 20 a^{4} + 5 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{5} + 8 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 23^{6} + \left(19 a^{5} + 19 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a + 6\right)\cdot 23^{7} + \left(17 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 23^{8} + \left(8 a^{5} + 10 a^{4} + 19 a^{3} + 18 a^{2} + a + 16\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 19a^5 + 3a^4 + a^3 + 3a^2 + 19a + 9 + (9a^5 + 6a^4 + 17a^3 + 14a + 3)23 + (10a^5 + 15a^4 + a^3 + 15a + 19)23^2 + (11a^5 + 9a^4 + 20a^2 + 20a + 18)23^3 + (11a^5 + 22a^4 + 11a^3 + 8a^2 + 22a + 2)23^4 + (12a^5 + 20a^4 + 5a^3 + 13a^2 + 12a + 17)23^5 + (19a^5 + 8a^4 + 2a^3 + a^2 + 12a + 12)23^6 + (19a^5 + 19a^4 + 9a^3 + 12a + 6)23^7 + (17a^5 + 9a^4 + 5a^3 + 5a^2 + 8a + 5)23^8 + (8a^5 + 10a^4 + 19a^3 + 18a^2 + a + 16)*23^9+O(23^10)
$r_{ 2 }$	$=$	$ 2 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 22 a + 1 + \left(8 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 23 + \left(21 a^{5} + 8 a^{4} + 21 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 23^{2} + \left(18 a^{5} + 16 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 23^{3} + \left(20 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 16 a + 20\right)\cdot 23^{4} + \left(10 a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(22 a^{5} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 23^{6} + \left(20 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 22 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 23^{7} + \left(5 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 18 a^{2} + 19 a + 15\right)\cdot 23^{8} + \left(11 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 2a^5 + 9a^4 + 9a^3 + 4a^2 + 22a + 1 + (8a^5 + 13a^4 + 9a^3 + 6a^2 + 9a + 16)23 + (21a^5 + 8a^4 + 21a^3 + 9a^2 + 9a + 7)23^2 + (18a^5 + 16a^4 + 3a^3 + 2a^2 + 11a + 22)23^3 + (20a^5 + 12a^4 + 10a^3 + 12a^2 + 16a + 20)23^4 + (10a^5 + 6a^4 + 2a^3 + 12a^2 + 18a + 4)23^5 + (22a^5 + 4a^3 + 15a^2 + 15a + 7)23^6 + (20a^5 + 11a^4 + 6a^3 + 22a^2 + 2a + 7)23^7 + (5a^5 + 12a^4 + 10a^3 + 18a^2 + 19a + 15)23^8 + (11a^5 + 14a^4 + 4a^3 + 13a^2 + 19a + 8)23^9+O(23^10)
$r_{ 3 }$	$=$	$ 19 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + \left(6 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 10 a\right)\cdot 23 + \left(a^{5} + 21 a^{4} + 9 a^{3} + 19\right)\cdot 23^{2} + \left(10 a^{5} + 16 a^{4} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 4\right)\cdot 23^{3} + \left(8 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + 6 a^{2} + a\right)\cdot 23^{5} + \left(5 a^{5} + 15 a^{4} + 21 a^{3} + 11 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 23^{6} + \left(15 a^{5} + 12 a^{4} + 20 a^{3} + 19 a^{2} + 22 a + 9\right)\cdot 23^{7} + \left(a^{5} + 5 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 23^{8} + \left(8 a^{5} + 13 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 19a^5 + 4a^4 + 9a^3 + 12a^2 + 7a + (6a^5 + 15a^4 + a^3 + 10a^2 + 10a)23 + (a^5 + 21a^4 + 9a^3 + 19)23^2 + (10a^5 + 16a^4 + 8a^3 + 13a^2 + 20a + 4)23^3 + (8a^5 + 11a^4 + 4a^3 + 13a^2 + 6a + 7)23^4 + (12a^5 + a^4 + 17a^3 + 6a^2 + a)23^5 + (5a^5 + 15a^4 + 21a^3 + 11a^2 + 17a + 2)23^6 + (15a^5 + 12a^4 + 20a^3 + 19a^2 + 22a + 9)23^7 + (a^5 + 5a^4 + 10a^3 + 7a^2 + 12a + 7)23^8 + (8a^5 + 13a^2 + 16a + 11)23^9+O(23^10)
$r_{ 4 }$	$=$	$ 5 a^{5} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 21 a + 11 + \left(6 a^{5} + 21 a^{4} + 9 a^{3} + 21 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 23 + \left(15 a^{5} + 12 a^{4} + 20 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 23^{2} + \left(20 a^{5} + 19 a^{4} + 19 a^{3} + 21 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 23^{3} + \left(9 a^{5} + 16 a^{4} + 13 a^{3} + 22 a^{2} + 12 a\right)\cdot 23^{4} + \left(15 a^{5} + 5 a^{4} + 12 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 23^{5} + \left(16 a^{5} + 3 a^{4} + 19 a^{3} + 22 a^{2} + 10\right)\cdot 23^{6} + \left(12 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + 22 a^{2} + 21 a + 18\right)\cdot 23^{7} + \left(6 a^{5} + 19 a^{4} + 16 a^{3} + 21 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 23^{8} + \left(9 a^{5} + 4 a^{4} + 20 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 5a^5 + 2a^4 + 3a^3 + 7a^2 + 21a + 11 + (6a^5 + 21a^4 + 9a^3 + 21a^2 + 5a + 15)23 + (15a^5 + 12a^4 + 20a^3 + 6a^2 + 4a + 13)23^2 + (20a^5 + 19a^4 + 19a^3 + 21a^2 + 3a + 5)23^3 + (9a^5 + 16a^4 + 13a^3 + 22a^2 + 12a)23^4 + (15a^5 + 5a^4 + 12a^2 + 18a + 11)23^5 + (16a^5 + 3a^4 + 19a^3 + 22a^2 + 10)23^6 + (12a^5 + 4a^4 + 10a^3 + 22a^2 + 21a + 18)23^7 + (6a^5 + 19a^4 + 16a^3 + 21a^2 + 18a + 11)23^8 + (9a^5 + 4a^4 + 20a^3 + 6a^2 + 17a + 11)*23^9+O(23^10)
$r_{ 5 }$	$=$	$ 21 a^{5} + 9 a^{4} + 21 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 2 + \left(18 a^{5} + 15 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 9 a + 20\right)\cdot 23 + \left(5 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 23^{2} + \left(2 a^{5} + 22 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 22 a\right)\cdot 23^{3} + \left(21 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 23^{4} + \left(14 a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 23^{5} + \left(13 a^{5} + 19 a^{4} + 22 a^{3} + 22 a^{2} + 19\right)\cdot 23^{6} + \left(8 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 19 a + 18\right)\cdot 23^{7} + \left(9 a^{5} + 15 a^{4} + 18 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 21\right)\cdot 23^{8} + \left(8 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 21a^5 + 9a^4 + 21a^3 + 7a^2 + 7a + 2 + (18a^5 + 15a^4 + 12a^3 + a^2 + 9a + 20)23 + (5a^5 + 7a^4 + 3a^3 + 6a^2 + 10a + 16)23^2 + (2a^5 + 22a^4 + 12a^3 + 6a^2 + 22a)23^3 + (21a^5 + 7a^4 + 7a^3 + 8a^2 + 4a + 22)23^4 + (14a^5 + 14a^4 + 7a^3 + 15a^2 + 8a + 9)23^5 + (13a^5 + 19a^4 + 22a^3 + 22a^2 + 19)23^6 + (8a^5 + 12a^4 + 11a^3 + 7a^2 + 19a + 18)23^7 + (9a^5 + 15a^4 + 18a^3 + 4a^2 + 5a + 21)23^8 + (8a^5 + 10a^4 + 14a^3 + a^2 + 21a + 21)23^9+O(23^10)
$r_{ 6 }$	$=$	$ 13 a^{5} + 11 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 17 a + 11 + \left(18 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 20 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 23 + \left(2 a^{5} + 11 a^{4} + 5 a^{3} + 20 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 23^{2} + \left(11 a^{5} + 8 a^{4} + 22 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 23^{3} + \left(4 a^{5} + 2 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 23^{4} + \left(19 a^{5} + 3 a^{4} + 7 a^{3} + 21 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 23^{5} + \left(12 a^{5} + 19 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 23^{6} + \left(20 a^{5} + 17 a^{4} + 20 a^{3} + 17 a^{2} + 3\right)\cdot 23^{7} + \left(12 a^{5} + 6 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 23^{8} + \left(3 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 19 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 13a^5 + 11a^4 + 18a^3 + 7a^2 + 17a + 11 + (18a^5 + 13a^4 + 9a^3 + 20a^2 + 11a + 11)23 + (2a^5 + 11a^4 + 5a^3 + 20a^2 + 17a + 3)23^2 + (11a^5 + 8a^4 + 22a^3 + 8a^2 + 10a + 9)23^3 + (4a^5 + 2a^4 + 5a^3 + 7a^2 + 4a + 9)23^4 + (19a^5 + 3a^4 + 7a^3 + 21a^2 + 20a + 11)23^5 + (12a^5 + 19a^4 + 4a^3 + 12a^2 + 6a + 14)23^6 + (20a^5 + 17a^4 + 20a^3 + 17a^2 + 3)23^7 + (12a^5 + 6a^3 + 18a^2 + 16a + 1)23^8 + (3a^5 + 13a^4 + 9a^3 + 19a^2 + 8a + 3)*23^9+O(23^10)
$r_{ 7 }$	$=$	$ 3 a^{5} + 20 a^{4} + 22 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 4 + \left(12 a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 23 + \left(2 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 23^{2} + \left(2 a^{5} + 16 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 20 a + 1\right)\cdot 23^{3} + \left(4 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 23^{4} + \left(11 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 19 a^{2} + 8 a\right)\cdot 23^{5} + \left(4 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 23^{6} + \left(5 a^{5} + 16 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 23^{7} + \left(18 a^{5} + 20 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 23^{8} + \left(14 a^{5} + 14 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 19\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 3a^5 + 20a^4 + 22a^3 + 4a^2 + 4a + 4 + (12a^5 + 17a^4 + 14a^3 + 2a^2 + 3a + 15)23 + (2a^5 + 13a^4 + 15a^3 + 18a^2 + 11a + 1)23^2 + (2a^5 + 16a^4 + 8a^3 + 5a^2 + 20a + 1)23^3 + (4a^5 + 12a^4 + a^3 + 3a^2 + 8a + 21)23^4 + (11a^5 + 11a^4 + 13a^3 + 19a^2 + 8a)23^5 + (4a^5 + 8a^4 + 9a^3 + 11a^2 + 6a + 13)23^6 + (5a^5 + 16a^4 + 2a^3 + 12a^2 + 9a + 7)23^7 + (18a^5 + 20a^4 + 12a^3 + 8a^2 + 15a + 15)23^8 + (14a^5 + 14a^4 + 12a^3 + 2a^2 + 4a + 19)23^9+O(23^10)
$r_{ 8 }$	$=$	$ 14 a^{5} + 18 a^{4} + 12 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + \left(16 a^{5} + 16 a^{4} + 13 a^{3} + 10 a^{2} + a + 10\right)\cdot 23 + \left(12 a^{5} + 7 a^{4} + 22 a^{3} + 11 a^{2} + 21 a + 20\right)\cdot 23^{2} + \left(12 a^{5} + 19 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 23^{3} + \left(11 a^{5} + 9 a^{4} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 23^{4} + \left(6 a^{5} + 5 a^{4} + 20 a^{3} + 22 a^{2} + 15 a + 20\right)\cdot 23^{5} + \left(11 a^{5} + 21 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 13 a + 20\right)\cdot 23^{6} + \left(11 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 23^{7} + \left(10 a^{5} + 5 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 23^{8} + \left(8 a^{5} + 18 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 14a^5 + 18a^4 + 12a^3 + 13a^2 + 20a + (16a^5 + 16a^4 + 13a^3 + 10a^2 + a + 10)23 + (12a^5 + 7a^4 + 22a^3 + 11a^2 + 21a + 20)23^2 + (12a^5 + 19a^4 + 7a^3 + 15a^2 + 3a + 19)23^3 + (11a^5 + 9a^4 + 12a^3 + 14a^2 + 14a + 15)23^4 + (6a^5 + 5a^4 + 20a^3 + 22a^2 + 15a + 20)23^5 + (11a^5 + 21a^4 + 12a^3 + a^2 + 13a + 20)23^6 + (11a^5 + 7a^4 + 7a^3 + 13a^2 + 13a + 13)23^7 + (10a^5 + 5a^4 + 2a^3 + 14a^2 + 11a + 10)23^8 + (8a^5 + 18a^4 + 5a^3 + 3a^2 + 7a + 9)*23^9+O(23^10)
$r_{ 9 }$	$=$	$ 12 a^{5} + 15 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 20 a + 21 + \left(15 a^{5} + 22 a^{4} + 12 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 21\right)\cdot 23 + \left(20 a^{5} + a^{4} + 21 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 23^{2} + \left(13 a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 23^{3} + \left(12 a^{5} + 22 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 23^{4} + \left(15 a^{5} + 22 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 23^{5} + \left(5 a^{5} + 14 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 23^{6} + \left(19 a^{5} + a^{4} + 22 a^{3} + a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 23^{7} + \left(14 a^{5} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + a + 17\right)\cdot 23^{8} + \left(17 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 12a^5 + 15a^4 + 16a^3 + 10a^2 + 20a + 21 + (15a^5 + 22a^4 + 12a^3 + 16a^2 + 5a + 21)23 + (20a^5 + a^4 + 21a^3 + 6a^2 + 11a + 12)23^2 + (13a^5 + 13a^4 + 16a^3 + 12a^2 + 15a + 18)23^3 + (12a^5 + 22a^4 + 6a^3 + 16a^2 + 22a + 21)23^4 + (15a^5 + 22a^4 + 10a^3 + 17a^2 + 11a + 15)23^5 + (5a^5 + 14a^4 + 18a^3 + 3a^2 + 3a + 21)23^6 + (19a^5 + a^4 + 22a^3 + a^2 + 8a + 21)23^7 + (14a^5 + 15a^4 + 4a^3 + 14a^2 + a + 17)23^8 + (17a^5 + 10a^4 + 4a^3 + 17a^2 + 19a + 1)*23^9+O(23^10)
$r_{ 10 }$	$=$	$ 2 a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{3} + 19 a^{2} + 20 a + 12 + \left(9 a^{5} + 13 a^{4} + 18 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 23 + \left(19 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 19\right)\cdot 23^{2} + \left(14 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a\right)\cdot 23^{3} + \left(15 a^{5} + a^{4} + 20 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 23^{4} + \left(11 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{5} + 17 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 23^{6} + \left(21 a^{5} + 18 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 23^{7} + \left(7 a^{5} + 14 a^{4} + 19 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 21\right)\cdot 23^{8} + \left(20 a^{5} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 2a^5 + 3a^4 + 6a^3 + 19a^2 + 20a + 12 + (9a^5 + 13a^4 + 18a^3 + 8a^2 + 17a + 3)23 + (19a^5 + 5a^4 + 4a^3 + 4a^2 + 4a + 19)23^2 + (14a^5 + 12a^4 + 5a^3 + 6a^2 + 8a)23^3 + (15a^5 + a^4 + 20a^3 + 5a^2 + 13a + 9)23^4 + (11a^5 + 13a^4 + 14a^3 + 3a^2 + 12a + 4)23^5 + (19a^5 + 17a^4 + 5a^3 + 12a^2 + 17a + 5)23^6 + (21a^5 + 18a^4 + 11a^3 + 12a^2 + 6a + 8)23^7 + (7a^5 + 14a^4 + 19a^3 + 8a^2 + 4a + 21)23^8 + (20a^5 + 7a^3 + 6a^2 + 16a + 16)*23^9+O(23^10)
$r_{ 11 }$	$=$	$ 7 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 22 a + 2 + \left(18 a^{5} + 3 a^{4} + 13 a^{3} + 16 a^{2} + a + 12\right)\cdot 23 + \left(7 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 17 a^{2} + 19 a + 19\right)\cdot 23^{2} + \left(5 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a\right)\cdot 23^{3} + \left(2 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 23^{4} + \left(2 a^{5} + 7 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(22 a^{5} + 16 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 23^{6} + \left(9 a^{5} + 13 a^{3} + a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 23^{7} + \left(6 a^{5} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 23^{8} + \left(7 a^{5} + 16 a^{4} + 17 a^{3} + 18 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 7a^5 + 8a^4 + 5a^3 + 6a^2 + 22a + 2 + (18a^5 + 3a^4 + 13a^3 + 16a^2 + a + 12)23 + (7a^5 + 8a^4 + 11a^3 + 17a^2 + 19a + 19)23^2 + (5a^5 + 13a^4 + 3a^3 + 15a^2 + 5a)23^3 + (2a^5 + 12a^4 + 5a^3 + 7a^2 + 18a + 2)23^4 + (2a^5 + 7a^4 + 8a^3 + 14a^2 + 6a + 3)23^5 + (22a^5 + 16a^4 + 3a^3 + 7a^2 + 6a + 15)23^6 + (9a^5 + 13a^3 + a^2 + 8a + 20)23^7 + (6a^5 + 2a^4 + 3a^3 + 6a^2 + 2a + 16)23^8 + (7a^5 + 16a^4 + 17a^3 + 18a^2 + 4a + 22)23^9+O(23^10)
$r_{ 12 }$	$=$	$ 21 a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{3} + 5 a + 19 + \left(20 a^{5} + 2 a^{4} + 5 a^{3} + a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 23 + \left(17 a^{5} + 13 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 23^{2} + \left(14 a^{5} + 16 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 23^{3} + \left(15 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 17 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 23^{4} + \left(5 a^{5} + 2 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 23^{5} + \left(7 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 23^{6} + \left(18 a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 23^{7} + \left(2 a^{5} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 21 a + 16\right)\cdot 23^{8} + \left(20 a^{5} + 22 a^{3} + 16 a^{2} + 17\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 21a^5 + 13a^4 + 16a^3 + 5a + 19 + (20a^5 + 2a^4 + 5a^3 + a^2 + 22a + 8)23 + (17a^5 + 13a^2 + 12a + 7)23^2 + (14a^5 + 16a^4 + 6a^3 + 10a^2 + 18a + 12)23^3 + (15a^5 + 4a^4 + 16a^3 + 17a^2 + 15a + 5)23^4 + (5a^5 + 2a^4 + 7a^3 + a^2 + 2a + 15)23^5 + (7a^5 + 16a^4 + 14a^3 + 14a^2 + 14a + 18)23^6 + (18a^5 + 14a^4 + a^3 + 6a^2 + 13a + 1)23^7 + (2a^5 + 16a^4 + 4a^3 + 9a^2 + 21a + 16)23^8 + (20a^5 + 22a^3 + 16a^2 + 17)*23^9+O(23^10)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$

Cycle notation
$(2,11,5,9,12,7,10,3,6,8)$
$(1,2,11,6,5,12,8,3,9,10,7)$
$(1,4)(2,7)(3,6)(5,9)(8,10)(11,12)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 12 }$	Character values
			$c1$
$1$	$1$	$()$	$11$
$55$	$2$	$(1,4)(2,7)(3,6)(5,9)(8,10)(11,12)$	$-1$
$66$	$2$	$(2,7)(3,5)(6,9)(8,12)(10,11)$	$-1$
$110$	$3$	$(1,7,4)(2,12,10)(3,5,11)(6,9,8)$	$-1$
$110$	$4$	$(1,12,7,4)(2,9,6,5)(3,11,10,8)$	$1$
$132$	$5$	$(2,5,12,10,6)(3,8,11,9,7)$	$1$
$132$	$5$	$(1,9,7,3,4)(2,11,10,12,8)$	$1$
$110$	$6$	$(1,2,9,7,8,3)(4,12,5,10,6,11)$	$-1$
$132$	$10$	$(2,11,5,9,12,7,10,3,6,8)$	$-1$
$132$	$10$	$(2,9,10,8,5,7,6,11,12,3)$	$-1$
$120$	$11$	$(1,2,11,6,5,12,8,3,9,10,7)$	$0$
$110$	$12$	$(1,12,2,5,9,10,7,6,8,11,3,4)$	$1$
$110$	$12$	$(1,10,3,5,8,12,7,4,9,11,2,6)$	$1$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Galois action

Roots of defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	11.125...000.24t2949.a
Dimension	$11$
Group	$\PGL(2,11)$
Conductor	$1.255\times 10^{21}$
Indicator	$1$

$r_{ 1 }$	$=$	\( 19 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 19 a + 9 + \left(9 a^{5} + 6 a^{4} + 17 a^{3} + 14 a + 3\right)\cdot 23 + \left(10 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + 15 a + 19\right)\cdot 23^{2} + \left(11 a^{5} + 9 a^{4} + 20 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 23^{3} + \left(11 a^{5} + 22 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{5} + 20 a^{4} + 5 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{5} + 8 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 23^{6} + \left(19 a^{5} + 19 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a + 6\right)\cdot 23^{7} + \left(17 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 23^{8} + \left(8 a^{5} + 10 a^{4} + 19 a^{3} + 18 a^{2} + a + 16\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 19a^5 + 3a^4 + a^3 + 3a^2 + 19a + 9 + (9a^5 + 6a^4 + 17a^3 + 14a + 3)23 + (10a^5 + 15a^4 + a^3 + 15a + 19)23^2 + (11a^5 + 9a^4 + 20a^2 + 20a + 18)23^3 + (11a^5 + 22a^4 + 11a^3 + 8a^2 + 22a + 2)23^4 + (12a^5 + 20a^4 + 5a^3 + 13a^2 + 12a + 17)23^5 + (19a^5 + 8a^4 + 2a^3 + a^2 + 12a + 12)23^6 + (19a^5 + 19a^4 + 9a^3 + 12a + 6)23^7 + (17a^5 + 9a^4 + 5a^3 + 5a^2 + 8a + 5)23^8 + (8a^5 + 10a^4 + 19a^3 + 18a^2 + a + 16)*23^9+O(23^10)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 2 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 22 a + 1 + \left(8 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 23 + \left(21 a^{5} + 8 a^{4} + 21 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 23^{2} + \left(18 a^{5} + 16 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 23^{3} + \left(20 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 16 a + 20\right)\cdot 23^{4} + \left(10 a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(22 a^{5} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 23^{6} + \left(20 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 22 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 23^{7} + \left(5 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 18 a^{2} + 19 a + 15\right)\cdot 23^{8} + \left(11 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 2a^5 + 9a^4 + 9a^3 + 4a^2 + 22a + 1 + (8a^5 + 13a^4 + 9a^3 + 6a^2 + 9a + 16)23 + (21a^5 + 8a^4 + 21a^3 + 9a^2 + 9a + 7)23^2 + (18a^5 + 16a^4 + 3a^3 + 2a^2 + 11a + 22)23^3 + (20a^5 + 12a^4 + 10a^3 + 12a^2 + 16a + 20)23^4 + (10a^5 + 6a^4 + 2a^3 + 12a^2 + 18a + 4)23^5 + (22a^5 + 4a^3 + 15a^2 + 15a + 7)23^6 + (20a^5 + 11a^4 + 6a^3 + 22a^2 + 2a + 7)23^7 + (5a^5 + 12a^4 + 10a^3 + 18a^2 + 19a + 15)23^8 + (11a^5 + 14a^4 + 4a^3 + 13a^2 + 19a + 8)23^9+O(23^10)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 19 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + \left(6 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 10 a\right)\cdot 23 + \left(a^{5} + 21 a^{4} + 9 a^{3} + 19\right)\cdot 23^{2} + \left(10 a^{5} + 16 a^{4} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 4\right)\cdot 23^{3} + \left(8 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + 6 a^{2} + a\right)\cdot 23^{5} + \left(5 a^{5} + 15 a^{4} + 21 a^{3} + 11 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 23^{6} + \left(15 a^{5} + 12 a^{4} + 20 a^{3} + 19 a^{2} + 22 a + 9\right)\cdot 23^{7} + \left(a^{5} + 5 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 23^{8} + \left(8 a^{5} + 13 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 19a^5 + 4a^4 + 9a^3 + 12a^2 + 7a + (6a^5 + 15a^4 + a^3 + 10a^2 + 10a)23 + (a^5 + 21a^4 + 9a^3 + 19)23^2 + (10a^5 + 16a^4 + 8a^3 + 13a^2 + 20a + 4)23^3 + (8a^5 + 11a^4 + 4a^3 + 13a^2 + 6a + 7)23^4 + (12a^5 + a^4 + 17a^3 + 6a^2 + a)23^5 + (5a^5 + 15a^4 + 21a^3 + 11a^2 + 17a + 2)23^6 + (15a^5 + 12a^4 + 20a^3 + 19a^2 + 22a + 9)23^7 + (a^5 + 5a^4 + 10a^3 + 7a^2 + 12a + 7)23^8 + (8a^5 + 13a^2 + 16a + 11)23^9+O(23^10)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 5 a^{5} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 21 a + 11 + \left(6 a^{5} + 21 a^{4} + 9 a^{3} + 21 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 23 + \left(15 a^{5} + 12 a^{4} + 20 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 23^{2} + \left(20 a^{5} + 19 a^{4} + 19 a^{3} + 21 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 23^{3} + \left(9 a^{5} + 16 a^{4} + 13 a^{3} + 22 a^{2} + 12 a\right)\cdot 23^{4} + \left(15 a^{5} + 5 a^{4} + 12 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 23^{5} + \left(16 a^{5} + 3 a^{4} + 19 a^{3} + 22 a^{2} + 10\right)\cdot 23^{6} + \left(12 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + 22 a^{2} + 21 a + 18\right)\cdot 23^{7} + \left(6 a^{5} + 19 a^{4} + 16 a^{3} + 21 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 23^{8} + \left(9 a^{5} + 4 a^{4} + 20 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 5a^5 + 2a^4 + 3a^3 + 7a^2 + 21a + 11 + (6a^5 + 21a^4 + 9a^3 + 21a^2 + 5a + 15)23 + (15a^5 + 12a^4 + 20a^3 + 6a^2 + 4a + 13)23^2 + (20a^5 + 19a^4 + 19a^3 + 21a^2 + 3a + 5)23^3 + (9a^5 + 16a^4 + 13a^3 + 22a^2 + 12a)23^4 + (15a^5 + 5a^4 + 12a^2 + 18a + 11)23^5 + (16a^5 + 3a^4 + 19a^3 + 22a^2 + 10)23^6 + (12a^5 + 4a^4 + 10a^3 + 22a^2 + 21a + 18)23^7 + (6a^5 + 19a^4 + 16a^3 + 21a^2 + 18a + 11)23^8 + (9a^5 + 4a^4 + 20a^3 + 6a^2 + 17a + 11)*23^9+O(23^10)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 21 a^{5} + 9 a^{4} + 21 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 2 + \left(18 a^{5} + 15 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 9 a + 20\right)\cdot 23 + \left(5 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 23^{2} + \left(2 a^{5} + 22 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 22 a\right)\cdot 23^{3} + \left(21 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 23^{4} + \left(14 a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 23^{5} + \left(13 a^{5} + 19 a^{4} + 22 a^{3} + 22 a^{2} + 19\right)\cdot 23^{6} + \left(8 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 19 a + 18\right)\cdot 23^{7} + \left(9 a^{5} + 15 a^{4} + 18 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 21\right)\cdot 23^{8} + \left(8 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 21a^5 + 9a^4 + 21a^3 + 7a^2 + 7a + 2 + (18a^5 + 15a^4 + 12a^3 + a^2 + 9a + 20)23 + (5a^5 + 7a^4 + 3a^3 + 6a^2 + 10a + 16)23^2 + (2a^5 + 22a^4 + 12a^3 + 6a^2 + 22a)23^3 + (21a^5 + 7a^4 + 7a^3 + 8a^2 + 4a + 22)23^4 + (14a^5 + 14a^4 + 7a^3 + 15a^2 + 8a + 9)23^5 + (13a^5 + 19a^4 + 22a^3 + 22a^2 + 19)23^6 + (8a^5 + 12a^4 + 11a^3 + 7a^2 + 19a + 18)23^7 + (9a^5 + 15a^4 + 18a^3 + 4a^2 + 5a + 21)23^8 + (8a^5 + 10a^4 + 14a^3 + a^2 + 21a + 21)23^9+O(23^10)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 13 a^{5} + 11 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 17 a + 11 + \left(18 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 20 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 23 + \left(2 a^{5} + 11 a^{4} + 5 a^{3} + 20 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 23^{2} + \left(11 a^{5} + 8 a^{4} + 22 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 23^{3} + \left(4 a^{5} + 2 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 23^{4} + \left(19 a^{5} + 3 a^{4} + 7 a^{3} + 21 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 23^{5} + \left(12 a^{5} + 19 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 23^{6} + \left(20 a^{5} + 17 a^{4} + 20 a^{3} + 17 a^{2} + 3\right)\cdot 23^{7} + \left(12 a^{5} + 6 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 23^{8} + \left(3 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 19 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 13a^5 + 11a^4 + 18a^3 + 7a^2 + 17a + 11 + (18a^5 + 13a^4 + 9a^3 + 20a^2 + 11a + 11)23 + (2a^5 + 11a^4 + 5a^3 + 20a^2 + 17a + 3)23^2 + (11a^5 + 8a^4 + 22a^3 + 8a^2 + 10a + 9)23^3 + (4a^5 + 2a^4 + 5a^3 + 7a^2 + 4a + 9)23^4 + (19a^5 + 3a^4 + 7a^3 + 21a^2 + 20a + 11)23^5 + (12a^5 + 19a^4 + 4a^3 + 12a^2 + 6a + 14)23^6 + (20a^5 + 17a^4 + 20a^3 + 17a^2 + 3)23^7 + (12a^5 + 6a^3 + 18a^2 + 16a + 1)23^8 + (3a^5 + 13a^4 + 9a^3 + 19a^2 + 8a + 3)*23^9+O(23^10)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 3 a^{5} + 20 a^{4} + 22 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 4 + \left(12 a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 23 + \left(2 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 23^{2} + \left(2 a^{5} + 16 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 20 a + 1\right)\cdot 23^{3} + \left(4 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 23^{4} + \left(11 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 19 a^{2} + 8 a\right)\cdot 23^{5} + \left(4 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 23^{6} + \left(5 a^{5} + 16 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 23^{7} + \left(18 a^{5} + 20 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 23^{8} + \left(14 a^{5} + 14 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 19\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 3a^5 + 20a^4 + 22a^3 + 4a^2 + 4a + 4 + (12a^5 + 17a^4 + 14a^3 + 2a^2 + 3a + 15)23 + (2a^5 + 13a^4 + 15a^3 + 18a^2 + 11a + 1)23^2 + (2a^5 + 16a^4 + 8a^3 + 5a^2 + 20a + 1)23^3 + (4a^5 + 12a^4 + a^3 + 3a^2 + 8a + 21)23^4 + (11a^5 + 11a^4 + 13a^3 + 19a^2 + 8a)23^5 + (4a^5 + 8a^4 + 9a^3 + 11a^2 + 6a + 13)23^6 + (5a^5 + 16a^4 + 2a^3 + 12a^2 + 9a + 7)23^7 + (18a^5 + 20a^4 + 12a^3 + 8a^2 + 15a + 15)23^8 + (14a^5 + 14a^4 + 12a^3 + 2a^2 + 4a + 19)23^9+O(23^10)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 14 a^{5} + 18 a^{4} + 12 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + \left(16 a^{5} + 16 a^{4} + 13 a^{3} + 10 a^{2} + a + 10\right)\cdot 23 + \left(12 a^{5} + 7 a^{4} + 22 a^{3} + 11 a^{2} + 21 a + 20\right)\cdot 23^{2} + \left(12 a^{5} + 19 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 23^{3} + \left(11 a^{5} + 9 a^{4} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 23^{4} + \left(6 a^{5} + 5 a^{4} + 20 a^{3} + 22 a^{2} + 15 a + 20\right)\cdot 23^{5} + \left(11 a^{5} + 21 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 13 a + 20\right)\cdot 23^{6} + \left(11 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 23^{7} + \left(10 a^{5} + 5 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 23^{8} + \left(8 a^{5} + 18 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 14a^5 + 18a^4 + 12a^3 + 13a^2 + 20a + (16a^5 + 16a^4 + 13a^3 + 10a^2 + a + 10)23 + (12a^5 + 7a^4 + 22a^3 + 11a^2 + 21a + 20)23^2 + (12a^5 + 19a^4 + 7a^3 + 15a^2 + 3a + 19)23^3 + (11a^5 + 9a^4 + 12a^3 + 14a^2 + 14a + 15)23^4 + (6a^5 + 5a^4 + 20a^3 + 22a^2 + 15a + 20)23^5 + (11a^5 + 21a^4 + 12a^3 + a^2 + 13a + 20)23^6 + (11a^5 + 7a^4 + 7a^3 + 13a^2 + 13a + 13)23^7 + (10a^5 + 5a^4 + 2a^3 + 14a^2 + 11a + 10)23^8 + (8a^5 + 18a^4 + 5a^3 + 3a^2 + 7a + 9)*23^9+O(23^10)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 12 a^{5} + 15 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 20 a + 21 + \left(15 a^{5} + 22 a^{4} + 12 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 21\right)\cdot 23 + \left(20 a^{5} + a^{4} + 21 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 23^{2} + \left(13 a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 23^{3} + \left(12 a^{5} + 22 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 23^{4} + \left(15 a^{5} + 22 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 23^{5} + \left(5 a^{5} + 14 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 23^{6} + \left(19 a^{5} + a^{4} + 22 a^{3} + a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 23^{7} + \left(14 a^{5} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + a + 17\right)\cdot 23^{8} + \left(17 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 12a^5 + 15a^4 + 16a^3 + 10a^2 + 20a + 21 + (15a^5 + 22a^4 + 12a^3 + 16a^2 + 5a + 21)23 + (20a^5 + a^4 + 21a^3 + 6a^2 + 11a + 12)23^2 + (13a^5 + 13a^4 + 16a^3 + 12a^2 + 15a + 18)23^3 + (12a^5 + 22a^4 + 6a^3 + 16a^2 + 22a + 21)23^4 + (15a^5 + 22a^4 + 10a^3 + 17a^2 + 11a + 15)23^5 + (5a^5 + 14a^4 + 18a^3 + 3a^2 + 3a + 21)23^6 + (19a^5 + a^4 + 22a^3 + a^2 + 8a + 21)23^7 + (14a^5 + 15a^4 + 4a^3 + 14a^2 + a + 17)23^8 + (17a^5 + 10a^4 + 4a^3 + 17a^2 + 19a + 1)*23^9+O(23^10)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 2 a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{3} + 19 a^{2} + 20 a + 12 + \left(9 a^{5} + 13 a^{4} + 18 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 23 + \left(19 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 19\right)\cdot 23^{2} + \left(14 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a\right)\cdot 23^{3} + \left(15 a^{5} + a^{4} + 20 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 23^{4} + \left(11 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{5} + 17 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 23^{6} + \left(21 a^{5} + 18 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 23^{7} + \left(7 a^{5} + 14 a^{4} + 19 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 21\right)\cdot 23^{8} + \left(20 a^{5} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 2a^5 + 3a^4 + 6a^3 + 19a^2 + 20a + 12 + (9a^5 + 13a^4 + 18a^3 + 8a^2 + 17a + 3)23 + (19a^5 + 5a^4 + 4a^3 + 4a^2 + 4a + 19)23^2 + (14a^5 + 12a^4 + 5a^3 + 6a^2 + 8a)23^3 + (15a^5 + a^4 + 20a^3 + 5a^2 + 13a + 9)23^4 + (11a^5 + 13a^4 + 14a^3 + 3a^2 + 12a + 4)23^5 + (19a^5 + 17a^4 + 5a^3 + 12a^2 + 17a + 5)23^6 + (21a^5 + 18a^4 + 11a^3 + 12a^2 + 6a + 8)23^7 + (7a^5 + 14a^4 + 19a^3 + 8a^2 + 4a + 21)23^8 + (20a^5 + 7a^3 + 6a^2 + 16a + 16)*23^9+O(23^10)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 7 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 22 a + 2 + \left(18 a^{5} + 3 a^{4} + 13 a^{3} + 16 a^{2} + a + 12\right)\cdot 23 + \left(7 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 17 a^{2} + 19 a + 19\right)\cdot 23^{2} + \left(5 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a\right)\cdot 23^{3} + \left(2 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 23^{4} + \left(2 a^{5} + 7 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(22 a^{5} + 16 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 23^{6} + \left(9 a^{5} + 13 a^{3} + a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 23^{7} + \left(6 a^{5} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 23^{8} + \left(7 a^{5} + 16 a^{4} + 17 a^{3} + 18 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 7a^5 + 8a^4 + 5a^3 + 6a^2 + 22a + 2 + (18a^5 + 3a^4 + 13a^3 + 16a^2 + a + 12)23 + (7a^5 + 8a^4 + 11a^3 + 17a^2 + 19a + 19)23^2 + (5a^5 + 13a^4 + 3a^3 + 15a^2 + 5a)23^3 + (2a^5 + 12a^4 + 5a^3 + 7a^2 + 18a + 2)23^4 + (2a^5 + 7a^4 + 8a^3 + 14a^2 + 6a + 3)23^5 + (22a^5 + 16a^4 + 3a^3 + 7a^2 + 6a + 15)23^6 + (9a^5 + 13a^3 + a^2 + 8a + 20)23^7 + (6a^5 + 2a^4 + 3a^3 + 6a^2 + 2a + 16)23^8 + (7a^5 + 16a^4 + 17a^3 + 18a^2 + 4a + 22)23^9+O(23^10)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 21 a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{3} + 5 a + 19 + \left(20 a^{5} + 2 a^{4} + 5 a^{3} + a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 23 + \left(17 a^{5} + 13 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 23^{2} + \left(14 a^{5} + 16 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 23^{3} + \left(15 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 17 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 23^{4} + \left(5 a^{5} + 2 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 23^{5} + \left(7 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 23^{6} + \left(18 a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 23^{7} + \left(2 a^{5} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 21 a + 16\right)\cdot 23^{8} + \left(20 a^{5} + 22 a^{3} + 16 a^{2} + 17\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 21a^5 + 13a^4 + 16a^3 + 5a + 19 + (20a^5 + 2a^4 + 5a^3 + a^2 + 22a + 8)23 + (17a^5 + 13a^2 + 12a + 7)23^2 + (14a^5 + 16a^4 + 6a^3 + 10a^2 + 18a + 12)23^3 + (15a^5 + 4a^4 + 16a^3 + 17a^2 + 15a + 5)23^4 + (5a^5 + 2a^4 + 7a^3 + a^2 + 2a + 15)23^5 + (7a^5 + 16a^4 + 14a^3 + 14a^2 + 14a + 18)23^6 + (18a^5 + 14a^4 + a^3 + 6a^2 + 13a + 1)23^7 + (2a^5 + 16a^4 + 4a^3 + 9a^2 + 21a + 16)23^8 + (20a^5 + 22a^3 + 16a^2 + 17)*23^9+O(23^10)