Properties

Label 11.114...000.12t218.a.a
Dimension $11$
Group $\PGL(2,11)$
Conductor $1.141\times 10^{20}$
Root number $1$
Indicator $1$

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Dimension: $11$
Group: $\PGL(2,11)$
Conductor: \(114\!\cdots\!000\)\(\medspace = 2^{10} \cdot 5^{8} \cdot 11^{11}\)
Frobenius-Schur indicator: $1$
Root number: $1$
Artin stem field: Galois closure of 12.2.114124668244400000000.1
Galois orbit size: $1$
Smallest permutation container: $\PGL(2,11)$
Parity: odd
Determinant: 1.11.2t1.a.a
Projective image: $\PSL(2,11).C_2$
Projective stem field: Galois closure of 12.2.114124668244400000000.1

Defining polynomial

$f(x)$$=$ \( x^{12} - 44 x^{9} + 44 x^{8} - 110 x^{7} + 682 x^{6} - 1364 x^{5} + 1452 x^{4} - 3982 x^{3} + 10406 x^{2} - 11826 x + 4972 \) Copy content Toggle raw display .

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 23 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 23 }$: \( x^{6} + x^{4} + 9x^{3} + 9x^{2} + x + 5 \) Copy content Toggle raw display

Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ \( 19 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 19 a + 9 + \left(9 a^{5} + 6 a^{4} + 17 a^{3} + 14 a + 3\right)\cdot 23 + \left(10 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + 15 a + 19\right)\cdot 23^{2} + \left(11 a^{5} + 9 a^{4} + 20 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 23^{3} + \left(11 a^{5} + 22 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{5} + 20 a^{4} + 5 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{5} + 8 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 23^{6} + \left(19 a^{5} + 19 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a + 6\right)\cdot 23^{7} + \left(17 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 23^{8} + \left(8 a^{5} + 10 a^{4} + 19 a^{3} + 18 a^{2} + a + 16\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 2 }$ $=$ \( 2 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 22 a + 1 + \left(8 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 23 + \left(21 a^{5} + 8 a^{4} + 21 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 23^{2} + \left(18 a^{5} + 16 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 23^{3} + \left(20 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 16 a + 20\right)\cdot 23^{4} + \left(10 a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(22 a^{5} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 23^{6} + \left(20 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 22 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 23^{7} + \left(5 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 18 a^{2} + 19 a + 15\right)\cdot 23^{8} + \left(11 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 3 }$ $=$ \( 19 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + \left(6 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 10 a\right)\cdot 23 + \left(a^{5} + 21 a^{4} + 9 a^{3} + 19\right)\cdot 23^{2} + \left(10 a^{5} + 16 a^{4} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 4\right)\cdot 23^{3} + \left(8 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + 6 a^{2} + a\right)\cdot 23^{5} + \left(5 a^{5} + 15 a^{4} + 21 a^{3} + 11 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 23^{6} + \left(15 a^{5} + 12 a^{4} + 20 a^{3} + 19 a^{2} + 22 a + 9\right)\cdot 23^{7} + \left(a^{5} + 5 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 23^{8} + \left(8 a^{5} + 13 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 4 }$ $=$ \( 5 a^{5} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 21 a + 11 + \left(6 a^{5} + 21 a^{4} + 9 a^{3} + 21 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 23 + \left(15 a^{5} + 12 a^{4} + 20 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 23^{2} + \left(20 a^{5} + 19 a^{4} + 19 a^{3} + 21 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 23^{3} + \left(9 a^{5} + 16 a^{4} + 13 a^{3} + 22 a^{2} + 12 a\right)\cdot 23^{4} + \left(15 a^{5} + 5 a^{4} + 12 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 23^{5} + \left(16 a^{5} + 3 a^{4} + 19 a^{3} + 22 a^{2} + 10\right)\cdot 23^{6} + \left(12 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + 22 a^{2} + 21 a + 18\right)\cdot 23^{7} + \left(6 a^{5} + 19 a^{4} + 16 a^{3} + 21 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 23^{8} + \left(9 a^{5} + 4 a^{4} + 20 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 5 }$ $=$ \( 21 a^{5} + 9 a^{4} + 21 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 2 + \left(18 a^{5} + 15 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 9 a + 20\right)\cdot 23 + \left(5 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 23^{2} + \left(2 a^{5} + 22 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 22 a\right)\cdot 23^{3} + \left(21 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 23^{4} + \left(14 a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 23^{5} + \left(13 a^{5} + 19 a^{4} + 22 a^{3} + 22 a^{2} + 19\right)\cdot 23^{6} + \left(8 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 19 a + 18\right)\cdot 23^{7} + \left(9 a^{5} + 15 a^{4} + 18 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 21\right)\cdot 23^{8} + \left(8 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 6 }$ $=$ \( 13 a^{5} + 11 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 17 a + 11 + \left(18 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 20 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 23 + \left(2 a^{5} + 11 a^{4} + 5 a^{3} + 20 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 23^{2} + \left(11 a^{5} + 8 a^{4} + 22 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 23^{3} + \left(4 a^{5} + 2 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 23^{4} + \left(19 a^{5} + 3 a^{4} + 7 a^{3} + 21 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 23^{5} + \left(12 a^{5} + 19 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 23^{6} + \left(20 a^{5} + 17 a^{4} + 20 a^{3} + 17 a^{2} + 3\right)\cdot 23^{7} + \left(12 a^{5} + 6 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 23^{8} + \left(3 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 19 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 7 }$ $=$ \( 3 a^{5} + 20 a^{4} + 22 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 4 + \left(12 a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 23 + \left(2 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 23^{2} + \left(2 a^{5} + 16 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 20 a + 1\right)\cdot 23^{3} + \left(4 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 23^{4} + \left(11 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 19 a^{2} + 8 a\right)\cdot 23^{5} + \left(4 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 23^{6} + \left(5 a^{5} + 16 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 23^{7} + \left(18 a^{5} + 20 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 23^{8} + \left(14 a^{5} + 14 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 19\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 8 }$ $=$ \( 14 a^{5} + 18 a^{4} + 12 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + \left(16 a^{5} + 16 a^{4} + 13 a^{3} + 10 a^{2} + a + 10\right)\cdot 23 + \left(12 a^{5} + 7 a^{4} + 22 a^{3} + 11 a^{2} + 21 a + 20\right)\cdot 23^{2} + \left(12 a^{5} + 19 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 23^{3} + \left(11 a^{5} + 9 a^{4} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 23^{4} + \left(6 a^{5} + 5 a^{4} + 20 a^{3} + 22 a^{2} + 15 a + 20\right)\cdot 23^{5} + \left(11 a^{5} + 21 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 13 a + 20\right)\cdot 23^{6} + \left(11 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 23^{7} + \left(10 a^{5} + 5 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 23^{8} + \left(8 a^{5} + 18 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 9 }$ $=$ \( 12 a^{5} + 15 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 20 a + 21 + \left(15 a^{5} + 22 a^{4} + 12 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 21\right)\cdot 23 + \left(20 a^{5} + a^{4} + 21 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 23^{2} + \left(13 a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 23^{3} + \left(12 a^{5} + 22 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 23^{4} + \left(15 a^{5} + 22 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 23^{5} + \left(5 a^{5} + 14 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 23^{6} + \left(19 a^{5} + a^{4} + 22 a^{3} + a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 23^{7} + \left(14 a^{5} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + a + 17\right)\cdot 23^{8} + \left(17 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 10 }$ $=$ \( 2 a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{3} + 19 a^{2} + 20 a + 12 + \left(9 a^{5} + 13 a^{4} + 18 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 23 + \left(19 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 19\right)\cdot 23^{2} + \left(14 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a\right)\cdot 23^{3} + \left(15 a^{5} + a^{4} + 20 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 23^{4} + \left(11 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{5} + 17 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 23^{6} + \left(21 a^{5} + 18 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 23^{7} + \left(7 a^{5} + 14 a^{4} + 19 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 21\right)\cdot 23^{8} + \left(20 a^{5} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 11 }$ $=$ \( 7 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 22 a + 2 + \left(18 a^{5} + 3 a^{4} + 13 a^{3} + 16 a^{2} + a + 12\right)\cdot 23 + \left(7 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 17 a^{2} + 19 a + 19\right)\cdot 23^{2} + \left(5 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a\right)\cdot 23^{3} + \left(2 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 23^{4} + \left(2 a^{5} + 7 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(22 a^{5} + 16 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 23^{6} + \left(9 a^{5} + 13 a^{3} + a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 23^{7} + \left(6 a^{5} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 23^{8} + \left(7 a^{5} + 16 a^{4} + 17 a^{3} + 18 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 12 }$ $=$ \( 21 a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{3} + 5 a + 19 + \left(20 a^{5} + 2 a^{4} + 5 a^{3} + a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 23 + \left(17 a^{5} + 13 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 23^{2} + \left(14 a^{5} + 16 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 23^{3} + \left(15 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 17 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 23^{4} + \left(5 a^{5} + 2 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 23^{5} + \left(7 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 23^{6} + \left(18 a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 23^{7} + \left(2 a^{5} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 21 a + 16\right)\cdot 23^{8} + \left(20 a^{5} + 22 a^{3} + 16 a^{2} + 17\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) Copy content Toggle raw display

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$

Cycle notation
$(2,11,5,9,12,7,10,3,6,8)$
$(1,2,11,6,5,12,8,3,9,10,7)$
$(1,4)(2,7)(3,6)(5,9)(8,10)(11,12)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 12 }$ Character value
$1$$1$$()$$11$
$55$$2$$(1,4)(2,7)(3,6)(5,9)(8,10)(11,12)$$-1$
$66$$2$$(2,7)(3,5)(6,9)(8,12)(10,11)$$1$
$110$$3$$(1,7,4)(2,12,10)(3,5,11)(6,9,8)$$-1$
$110$$4$$(1,12,7,4)(2,9,6,5)(3,11,10,8)$$-1$
$132$$5$$(2,5,12,10,6)(3,8,11,9,7)$$1$
$132$$5$$(1,9,7,3,4)(2,11,10,12,8)$$1$
$110$$6$$(1,2,9,7,8,3)(4,12,5,10,6,11)$$-1$
$132$$10$$(2,11,5,9,12,7,10,3,6,8)$$1$
$132$$10$$(2,9,10,8,5,7,6,11,12,3)$$1$
$120$$11$$(1,2,11,6,5,12,8,3,9,10,7)$$0$
$110$$12$$(1,12,2,5,9,10,7,6,8,11,3,4)$$-1$
$110$$12$$(1,10,3,5,8,12,7,4,9,11,2,6)$$-1$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.