LMFDB - Artin representation 11.10069154974041885785533184.12t218.a.a

Basic invariants

Dimension:	$11$
Group:	$\PGL(2,11)$
Conductor:	$100\!\cdots\!184$$\medspace = 2^{8} \cdot 11^{11} \cdot 13^{10} $
Frobenius-Schur indicator:	$1$
Root number:	$1$
Artin stem field:	Galois closure of 12.2.10069154974041885785533184.1
Galois orbit size:	$1$
Smallest permutation container:	$\PGL(2,11)$
Parity:	odd
Determinant:	1.11.2t1.a.a
Projective image:	$\PGL(2,11)$
Projective stem field:	Galois closure of 12.2.10069154974041885785533184.1

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{12} - 2 x^{11} - 44 x^{10} + 44 x^{9} + 847 x^{8} - 924 x^{7} - 8844 x^{6} + 19272 x^{5} + \cdots - 470323 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 59 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 59 }$: $ x^{6} + 2x^{4} + 18x^{3} + 38x^{2} + 2 $ x^6 + 2*x^4 + 18*x^3 + 38*x^2 + 2

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 43 a^{5} + 32 a^{4} + 23 a^{3} + 58 a^{2} + 45 a + 57 + \left(49 a^{5} + 18 a^{4} + 27 a^{3} + 13 a^{2} + 30 a + 24\right)\cdot 59 + \left(22 a^{5} + 33 a^{4} + 13 a^{3} + 53 a^{2} + 51 a + 20\right)\cdot 59^{2} + \left(23 a^{5} + 10 a^{3} + 20 a^{2} + 53 a + 5\right)\cdot 59^{3} + \left(22 a^{5} + 5 a^{4} + 37 a^{3} + 37 a^{2} + 20\right)\cdot 59^{4} + \left(50 a^{5} + 22 a^{4} + 44 a^{3} + a^{2} + 20 a + 40\right)\cdot 59^{5} + \left(9 a^{5} + 35 a^{4} + 36 a^{3} + 33 a^{2} + a + 53\right)\cdot 59^{6} + \left(26 a^{5} + 41 a^{4} + 31 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 51\right)\cdot 59^{7} + \left(25 a^{5} + 24 a^{4} + 50 a^{2} + 28 a + 31\right)\cdot 59^{8} + \left(15 a^{5} + 27 a^{4} + 41 a^{3} + 48 a^{2} + 17 a + 52\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})$ 43a^5 + 32a^4 + 23a^3 + 58a^2 + 45a + 57 + (49a^5 + 18a^4 + 27a^3 + 13a^2 + 30a + 24)59 + (22a^5 + 33a^4 + 13a^3 + 53a^2 + 51a + 20)59^2 + (23a^5 + 10a^3 + 20a^2 + 53a + 5)59^3 + (22a^5 + 5a^4 + 37a^3 + 37a^2 + 20)59^4 + (50a^5 + 22a^4 + 44a^3 + a^2 + 20a + 40)59^5 + (9a^5 + 35a^4 + 36a^3 + 33a^2 + a + 53)59^6 + (26a^5 + 41a^4 + 31a^3 + 8a^2 + 5a + 51)59^7 + (25a^5 + 24a^4 + 50a^2 + 28a + 31)59^8 + (15a^5 + 27a^4 + 41a^3 + 48a^2 + 17a + 52)59^9+O(59^10)
$r_{ 2 }$	$=$	$ a^{5} + 28 a^{4} + 43 a^{3} + 26 a^{2} + 8 a + 3 + \left(26 a^{5} + 36 a^{4} + 30 a^{3} + 29 a^{2} + 29 a + 27\right)\cdot 59 + \left(10 a^{5} + 8 a^{4} + 21 a^{3} + 45 a^{2} + 54 a + 24\right)\cdot 59^{2} + \left(29 a^{5} + 35 a^{4} + 56 a^{3} + 19 a^{2} + 7 a + 53\right)\cdot 59^{3} + \left(8 a^{5} + 32 a^{4} + 58 a^{3} + 36 a^{2} + 35\right)\cdot 59^{4} + \left(3 a^{5} + 38 a^{4} + 14 a^{3} + 20 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 59^{5} + \left(32 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 29 a^{2} + 31 a + 54\right)\cdot 59^{6} + \left(6 a^{5} + 5 a^{4} + 39 a^{3} + 25 a^{2} + 57 a + 25\right)\cdot 59^{7} + \left(31 a^{5} + 49 a^{4} + 36 a^{3} + 58 a^{2} + 35 a + 30\right)\cdot 59^{8} + \left(37 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 42 a + 10\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})$ a^5 + 28a^4 + 43a^3 + 26a^2 + 8a + 3 + (26a^5 + 36a^4 + 30a^3 + 29a^2 + 29a + 27)59 + (10a^5 + 8a^4 + 21a^3 + 45a^2 + 54a + 24)59^2 + (29a^5 + 35a^4 + 56a^3 + 19a^2 + 7a + 53)59^3 + (8a^5 + 32a^4 + 58a^3 + 36a^2 + 35)59^4 + (3a^5 + 38a^4 + 14a^3 + 20a^2 + 5a + 5)59^5 + (32a^5 + 18a^4 + 9a^3 + 29a^2 + 31a + 54)59^6 + (6a^5 + 5a^4 + 39a^3 + 25a^2 + 57a + 25)59^7 + (31a^5 + 49a^4 + 36a^3 + 58a^2 + 35a + 30)59^8 + (37a^5 + 6a^4 + 12a^3 + 9a^2 + 42a + 10)*59^9+O(59^10)
$r_{ 3 }$	$=$	$ 46 a^{5} + 25 a^{4} + 30 a^{3} + 25 a^{2} + 9 a + 39 + \left(43 a^{5} + 49 a^{4} + 36 a^{3} + 21 a^{2} + 51 a + 48\right)\cdot 59 + \left(42 a^{5} + 25 a^{4} + 57 a^{3} + 16 a^{2} + 57 a + 58\right)\cdot 59^{2} + \left(11 a^{5} + 45 a^{4} + 11 a^{3} + 44 a^{2} + 17 a + 32\right)\cdot 59^{3} + \left(26 a^{5} + a^{4} + 44 a^{3} + 3 a^{2} + 42 a + 34\right)\cdot 59^{4} + \left(52 a^{5} + 18 a^{4} + 7 a^{3} + 41 a^{2} + 52 a + 48\right)\cdot 59^{5} + \left(9 a^{5} + 10 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 48\right)\cdot 59^{6} + \left(12 a^{5} + 13 a^{4} + 32 a^{3} + 42 a^{2} + 32 a + 12\right)\cdot 59^{7} + \left(9 a^{5} + 15 a^{4} + 49 a^{3} + 45 a + 37\right)\cdot 59^{8} + \left(32 a^{5} + 52 a^{4} + 15 a^{3} + 33 a^{2} + 16 a + 34\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})$ 46a^5 + 25a^4 + 30a^3 + 25a^2 + 9a + 39 + (43a^5 + 49a^4 + 36a^3 + 21a^2 + 51a + 48)59 + (42a^5 + 25a^4 + 57a^3 + 16a^2 + 57a + 58)59^2 + (11a^5 + 45a^4 + 11a^3 + 44a^2 + 17a + 32)59^3 + (26a^5 + a^4 + 44a^3 + 3a^2 + 42a + 34)59^4 + (52a^5 + 18a^4 + 7a^3 + 41a^2 + 52a + 48)59^5 + (9a^5 + 10a^4 + 12a^3 + 2a^2 + 8a + 48)59^6 + (12a^5 + 13a^4 + 32a^3 + 42a^2 + 32a + 12)59^7 + (9a^5 + 15a^4 + 49a^3 + 45a + 37)59^8 + (32a^5 + 52a^4 + 15a^3 + 33a^2 + 16a + 34)*59^9+O(59^10)
$r_{ 4 }$	$=$	$ a^{5} + 42 a^{4} + 37 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 19 + \left(19 a^{5} + 47 a^{4} + 51 a^{3} + 52 a^{2} + 26 a + 2\right)\cdot 59 + \left(36 a^{4} + 53 a^{3} + 20 a^{2} + 12 a + 30\right)\cdot 59^{2} + \left(27 a^{5} + a^{4} + 10 a^{3} + 26 a^{2} + 3 a + 35\right)\cdot 59^{3} + \left(54 a^{5} + 44 a^{4} + 43 a^{3} + 36 a + 12\right)\cdot 59^{4} + \left(49 a^{5} + 36 a^{4} + 50 a^{3} + 44 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 59^{5} + \left(49 a^{5} + 31 a^{4} + 24 a^{3} + 41 a^{2} + 3 a + 33\right)\cdot 59^{6} + \left(22 a^{5} + 57 a^{4} + 31 a^{3} + 49 a^{2} + 46 a + 27\right)\cdot 59^{7} + \left(17 a^{5} + 14 a^{4} + 58 a^{3} + 45 a^{2} + 8 a + 34\right)\cdot 59^{8} + \left(16 a^{5} + 36 a^{4} + 32 a^{3} + 38 a^{2} + 21 a + 48\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})$ a^5 + 42a^4 + 37a^3 + 7a^2 + 15a + 19 + (19a^5 + 47a^4 + 51a^3 + 52a^2 + 26a + 2)59 + (36a^4 + 53a^3 + 20a^2 + 12a + 30)59^2 + (27a^5 + a^4 + 10a^3 + 26a^2 + 3a + 35)59^3 + (54a^5 + 44a^4 + 43a^3 + 36a + 12)59^4 + (49a^5 + 36a^4 + 50a^3 + 44a^2 + 12a + 18)59^5 + (49a^5 + 31a^4 + 24a^3 + 41a^2 + 3a + 33)59^6 + (22a^5 + 57a^4 + 31a^3 + 49a^2 + 46a + 27)59^7 + (17a^5 + 14a^4 + 58a^3 + 45a^2 + 8a + 34)59^8 + (16a^5 + 36a^4 + 32a^3 + 38a^2 + 21a + 48)*59^9+O(59^10)
$r_{ 5 }$	$=$	$ 44 a^{5} + 30 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 37 a + 15 + \left(54 a^{5} + 43 a^{4} + 23 a^{3} + 45 a^{2} + 40 a + 42\right)\cdot 59 + \left(18 a^{5} + 14 a^{4} + 12 a^{3} + 19 a^{2} + 39 a + 33\right)\cdot 59^{2} + \left(47 a^{5} + 33 a^{4} + 6 a^{3} + 21 a^{2} + 7 a + 55\right)\cdot 59^{3} + \left(30 a^{5} + 50 a^{4} + 57 a^{3} + 13 a^{2} + 48 a + 1\right)\cdot 59^{4} + \left(31 a^{5} + 10 a^{4} + 28 a^{3} + 16 a^{2} + 21 a + 48\right)\cdot 59^{5} + \left(42 a^{5} + 35 a^{3} + 34 a^{2} + a + 7\right)\cdot 59^{6} + \left(36 a^{5} + 19 a^{4} + 16 a^{3} + 50 a^{2} + 51 a + 10\right)\cdot 59^{7} + \left(57 a^{5} + 35 a^{4} + 22 a^{3} + 22 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 59^{8} + \left(38 a^{5} + 12 a^{4} + 54 a^{3} + 20 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})$ 44a^5 + 30a^4 + 2a^3 + 12a^2 + 37a + 15 + (54a^5 + 43a^4 + 23a^3 + 45a^2 + 40a + 42)59 + (18a^5 + 14a^4 + 12a^3 + 19a^2 + 39a + 33)59^2 + (47a^5 + 33a^4 + 6a^3 + 21a^2 + 7a + 55)59^3 + (30a^5 + 50a^4 + 57a^3 + 13a^2 + 48a + 1)59^4 + (31a^5 + 10a^4 + 28a^3 + 16a^2 + 21a + 48)59^5 + (42a^5 + 35a^3 + 34a^2 + a + 7)59^6 + (36a^5 + 19a^4 + 16a^3 + 50a^2 + 51a + 10)59^7 + (57a^5 + 35a^4 + 22a^3 + 22a^2 + 9a + 10)59^8 + (38a^5 + 12a^4 + 54a^3 + 20a^2 + 17a + 16)*59^9+O(59^10)
$r_{ 6 }$	$=$	$ 20 a^{5} + 12 a^{4} + 17 a^{3} + 45 a^{2} + 30 a + 10 + \left(34 a^{5} + 19 a^{4} + 5 a^{3} + 14 a^{2} + 56 a + 29\right)\cdot 59 + \left(55 a^{5} + 19 a^{4} + 54 a^{3} + 42 a^{2} + 3 a + 53\right)\cdot 59^{2} + \left(43 a^{5} + 42 a^{4} + 12 a^{3} + 30 a^{2} + 58 a + 13\right)\cdot 59^{3} + \left(21 a^{5} + 5 a^{4} + 21 a^{3} + 20 a^{2} + 49 a + 8\right)\cdot 59^{4} + \left(43 a^{5} + 3 a^{4} + 41 a^{3} + 58 a^{2} + 54 a + 1\right)\cdot 59^{5} + \left(50 a^{5} + 57 a^{4} + 54 a^{3} + 43 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 59^{6} + \left(20 a^{5} + 25 a^{4} + 37 a^{3} + 32 a^{2} + 24 a + 6\right)\cdot 59^{7} + \left(54 a^{5} + 8 a^{4} + 53 a^{3} + 34 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 59^{8} + \left(46 a^{5} + 48 a^{4} + 41 a^{3} + 43 a^{2} + 2 a + 49\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})$ 20a^5 + 12a^4 + 17a^3 + 45a^2 + 30a + 10 + (34a^5 + 19a^4 + 5a^3 + 14a^2 + 56a + 29)59 + (55a^5 + 19a^4 + 54a^3 + 42a^2 + 3a + 53)59^2 + (43a^5 + 42a^4 + 12a^3 + 30a^2 + 58a + 13)59^3 + (21a^5 + 5a^4 + 21a^3 + 20a^2 + 49a + 8)59^4 + (43a^5 + 3a^4 + 41a^3 + 58a^2 + 54a + 1)59^5 + (50a^5 + 57a^4 + 54a^3 + 43a^2 + 8a + 2)59^6 + (20a^5 + 25a^4 + 37a^3 + 32a^2 + 24a + 6)59^7 + (54a^5 + 8a^4 + 53a^3 + 34a^2 + 3a + 15)59^8 + (46a^5 + 48a^4 + 41a^3 + 43a^2 + 2a + 49)*59^9+O(59^10)
$r_{ 7 }$	$=$	$ 34 a^{5} + 37 a^{4} + 48 a^{3} + 53 a^{2} + 45 a + \left(30 a^{5} + 48 a^{4} + 40 a^{3} + 25 a^{2} + 3 a + 54\right)\cdot 59 + \left(7 a^{5} + 40 a^{4} + 29 a^{3} + 25 a^{2} + 44 a + 20\right)\cdot 59^{2} + \left(31 a^{5} + 7 a^{4} + 46 a^{3} + 20 a^{2} + 27 a + 34\right)\cdot 59^{3} + \left(45 a^{5} + 24 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 35 a + 45\right)\cdot 59^{4} + \left(30 a^{5} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 35 a + 18\right)\cdot 59^{5} + \left(13 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 32\right)\cdot 59^{6} + \left(54 a^{5} + 8 a^{4} + 54 a^{3} + 35 a^{2} + 18 a + 41\right)\cdot 59^{7} + \left(27 a^{5} + 5 a^{4} + 12 a^{3} + 33 a^{2} + 24 a + 40\right)\cdot 59^{8} + \left(33 a^{5} + 25 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 28 a + 19\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})$ 34a^5 + 37a^4 + 48a^3 + 53a^2 + 45a + (30a^5 + 48a^4 + 40a^3 + 25a^2 + 3a + 54)59 + (7a^5 + 40a^4 + 29a^3 + 25a^2 + 44a + 20)59^2 + (31a^5 + 7a^4 + 46a^3 + 20a^2 + 27a + 34)59^3 + (45a^5 + 24a^4 + 2a^3 + 7a^2 + 35a + 45)59^4 + (30a^5 + 16a^4 + 4a^3 + 16a^2 + 35a + 18)59^5 + (13a^5 + 2a^4 + 12a^3 + 9a^2 + 18a + 32)59^6 + (54a^5 + 8a^4 + 54a^3 + 35a^2 + 18a + 41)59^7 + (27a^5 + 5a^4 + 12a^3 + 33a^2 + 24a + 40)59^8 + (33a^5 + 25a^4 + 8a^3 + 10a^2 + 28a + 19)*59^9+O(59^10)
$r_{ 8 }$	$=$	$ 5 a^{5} + 17 a^{4} + 36 a^{3} + 52 a^{2} + 49 a + 6 + \left(10 a^{5} + 54 a^{4} + 51 a^{3} + 19 a^{2} + 6 a + 52\right)\cdot 59 + \left(55 a^{5} + 9 a^{4} + 28 a^{3} + 34 a^{2} + 36 a + 50\right)\cdot 59^{2} + \left(51 a^{5} + 12 a^{4} + 7 a^{3} + 38 a + 57\right)\cdot 59^{3} + \left(37 a^{5} + 42 a^{4} + 27 a^{3} + 54 a^{2} + 38 a + 14\right)\cdot 59^{4} + \left(32 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 59^{5} + \left(15 a^{5} + 17 a^{4} + 36 a^{3} + 14 a^{2} + 33 a + 40\right)\cdot 59^{6} + \left(47 a^{5} + 32 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 54 a + 7\right)\cdot 59^{7} + \left(13 a^{5} + 32 a^{4} + 20 a^{3} + 3 a^{2} + 17 a + 26\right)\cdot 59^{8} + \left(49 a^{5} + 56 a^{4} + 41 a^{3} + 36 a^{2} + 29 a + 7\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})$ 5a^5 + 17a^4 + 36a^3 + 52a^2 + 49a + 6 + (10a^5 + 54a^4 + 51a^3 + 19a^2 + 6a + 52)59 + (55a^5 + 9a^4 + 28a^3 + 34a^2 + 36a + 50)59^2 + (51a^5 + 12a^4 + 7a^3 + 38a + 57)59^3 + (37a^5 + 42a^4 + 27a^3 + 54a^2 + 38a + 14)59^4 + (32a^5 + 15a^4 + 11a^3 + 10a^2 + 12a + 9)59^5 + (15a^5 + 17a^4 + 36a^3 + 14a^2 + 33a + 40)59^6 + (47a^5 + 32a^4 + 8a^3 + 3a^2 + 54a + 7)59^7 + (13a^5 + 32a^4 + 20a^3 + 3a^2 + 17a + 26)59^8 + (49a^5 + 56a^4 + 41a^3 + 36a^2 + 29a + 7)59^9+O(59^10)
$r_{ 9 }$	$=$	$ 24 a^{5} + 51 a^{4} + 52 a^{3} + 8 a^{2} + 54 a + 15 + \left(18 a^{5} + 44 a^{4} + 49 a^{3} + 49 a^{2} + 24 a + 13\right)\cdot 59 + \left(44 a^{5} + 43 a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 59^{2} + \left(10 a^{5} + 42 a^{4} + 33 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 48\right)\cdot 59^{3} + \left(34 a^{5} + 44 a^{4} + 41 a^{3} + 47 a^{2} + 49 a + 24\right)\cdot 59^{4} + \left(55 a^{5} + 22 a^{4} + 6 a^{3} + 17 a^{2} + 34 a + 23\right)\cdot 59^{5} + \left(30 a^{5} + 12 a^{4} + 53 a^{3} + 17 a^{2} + 25 a + 42\right)\cdot 59^{6} + \left(35 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 53 a^{2} + 16 a + 53\right)\cdot 59^{7} + \left(3 a^{5} + 53 a^{4} + 11 a^{3} + 32 a^{2} + 31 a + 41\right)\cdot 59^{8} + \left(25 a^{5} + 44 a^{4} + 45 a^{3} + 21 a + 57\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})$ 24a^5 + 51a^4 + 52a^3 + 8a^2 + 54a + 15 + (18a^5 + 44a^4 + 49a^3 + 49a^2 + 24a + 13)59 + (44a^5 + 43a^4 + 11a^3 + 4a^2 + 15a + 22)59^2 + (10a^5 + 42a^4 + 33a^3 + 11a^2 + 8a + 48)59^3 + (34a^5 + 44a^4 + 41a^3 + 47a^2 + 49a + 24)59^4 + (55a^5 + 22a^4 + 6a^3 + 17a^2 + 34a + 23)59^5 + (30a^5 + 12a^4 + 53a^3 + 17a^2 + 25a + 42)59^6 + (35a^5 + 2a^4 + 11a^3 + 53a^2 + 16a + 53)59^7 + (3a^5 + 53a^4 + 11a^3 + 32a^2 + 31a + 41)59^8 + (25a^5 + 44a^4 + 45a^3 + 21a + 57)59^9+O(59^10)
$r_{ 10 }$	$=$	$ 27 a^{5} + 14 a^{4} + 23 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 17 + \left(45 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 43 a^{2} + 30 a + 13\right)\cdot 59 + \left(34 a^{5} + 52 a^{4} + 27 a^{3} + 10 a^{2} + 46 a + 58\right)\cdot 59^{2} + \left(9 a^{5} + 47 a^{4} + 10 a^{3} + 56 a^{2} + 26 a + 31\right)\cdot 59^{3} + \left(43 a^{5} + 18 a^{4} + 21 a^{3} + 47 a^{2} + 44 a + 12\right)\cdot 59^{4} + \left(12 a^{5} + 41 a^{4} + 55 a^{3} + a^{2} + 46 a + 18\right)\cdot 59^{5} + \left(a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 36 a^{2} + 58 a + 26\right)\cdot 59^{6} + \left(28 a^{5} + 16 a^{4} + 2 a^{3} + 30 a^{2} + 33 a + 55\right)\cdot 59^{7} + \left(44 a^{5} + 43 a^{4} + 58 a^{3} + 42 a^{2} + 13 a + 31\right)\cdot 59^{8} + \left(30 a^{5} + 30 a^{4} + 57 a^{3} + 15 a^{2} + 29 a + 6\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})$ 27a^5 + 14a^4 + 23a^3 + 11a^2 + 3a + 17 + (45a^5 + 3a^4 + 2a^3 + 43a^2 + 30a + 13)59 + (34a^5 + 52a^4 + 27a^3 + 10a^2 + 46a + 58)59^2 + (9a^5 + 47a^4 + 10a^3 + 56a^2 + 26a + 31)59^3 + (43a^5 + 18a^4 + 21a^3 + 47a^2 + 44a + 12)59^4 + (12a^5 + 41a^4 + 55a^3 + a^2 + 46a + 18)59^5 + (a^5 + 4a^4 + a^3 + 36a^2 + 58a + 26)59^6 + (28a^5 + 16a^4 + 2a^3 + 30a^2 + 33a + 55)59^7 + (44a^5 + 43a^4 + 58a^3 + 42a^2 + 13a + 31)59^8 + (30a^5 + 30a^4 + 57a^3 + 15a^2 + 29a + 6)59^9+O(59^10)
$r_{ 11 }$	$=$	$ 50 a^{5} + 33 a^{4} + 25 a^{3} + 35 a^{2} + 52 a + 31 + \left(5 a^{5} + 34 a^{4} + 3 a^{3} + 42 a^{2} + 6 a + 34\right)\cdot 59 + \left(3 a^{5} + 10 a^{4} + 12 a^{3} + 57 a^{2} + 10 a + 57\right)\cdot 59^{2} + \left(53 a^{5} + 29 a^{4} + 50 a^{3} + 34 a^{2} + 41 a + 13\right)\cdot 59^{3} + \left(31 a^{5} + 22 a^{4} + 52 a^{3} + 28 a^{2} + 53 a + 34\right)\cdot 59^{4} + \left(28 a^{5} + 14 a^{4} + 13 a^{3} + 52 a^{2} + 22 a + 51\right)\cdot 59^{5} + \left(4 a^{5} + 44 a^{4} + 47 a^{3} + 56 a^{2} + 32 a + 6\right)\cdot 59^{6} + \left(6 a^{5} + 11 a^{4} + 26 a^{3} + 53 a^{2} + 49 a + 43\right)\cdot 59^{7} + \left(21 a^{5} + 30 a^{4} + 25 a^{3} + 8 a^{2} + a + 18\right)\cdot 59^{8} + \left(2 a^{5} + 48 a^{4} + 19 a^{3} + 51 a^{2} + 42 a + 50\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})$ 50a^5 + 33a^4 + 25a^3 + 35a^2 + 52a + 31 + (5a^5 + 34a^4 + 3a^3 + 42a^2 + 6a + 34)59 + (3a^5 + 10a^4 + 12a^3 + 57a^2 + 10a + 57)59^2 + (53a^5 + 29a^4 + 50a^3 + 34a^2 + 41a + 13)59^3 + (31a^5 + 22a^4 + 52a^3 + 28a^2 + 53a + 34)59^4 + (28a^5 + 14a^4 + 13a^3 + 52a^2 + 22a + 51)59^5 + (4a^5 + 44a^4 + 47a^3 + 56a^2 + 32a + 6)59^6 + (6a^5 + 11a^4 + 26a^3 + 53a^2 + 49a + 43)59^7 + (21a^5 + 30a^4 + 25a^3 + 8a^2 + a + 18)59^8 + (2a^5 + 48a^4 + 19a^3 + 51a^2 + 42a + 50)59^9+O(59^10)
$r_{ 12 }$	$=$	$ 33 a^{4} + 18 a^{3} + 22 a^{2} + 7 a + 26 + \left(16 a^{5} + 12 a^{4} + 31 a^{3} + 55 a^{2} + 47 a + 12\right)\cdot 59 + \left(58 a^{5} + 58 a^{4} + 31 a^{3} + 22 a^{2} + 40 a + 41\right)\cdot 59^{2} + \left(14 a^{5} + 55 a^{4} + 38 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 29\right)\cdot 59^{3} + \left(56 a^{5} + 2 a^{4} + 5 a^{3} + 57 a^{2} + 14 a + 49\right)\cdot 59^{4} + \left(21 a^{5} + 55 a^{4} + 15 a^{3} + 13 a^{2} + 34 a + 11\right)\cdot 59^{5} + \left(34 a^{5} + a^{4} + 30 a^{3} + 35 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 59^{6} + \left(57 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 27 a^{2} + 24 a + 18\right)\cdot 59^{7} + \left(47 a^{5} + 42 a^{4} + 5 a^{3} + 20 a^{2} + 15 a + 35\right)\cdot 59^{8} + \left(25 a^{5} + 23 a^{4} + 42 a^{3} + 45 a^{2} + 27 a\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})$ 33a^4 + 18a^3 + 22a^2 + 7a + 26 + (16a^5 + 12a^4 + 31a^3 + 55a^2 + 47a + 12)59 + (58a^5 + 58a^4 + 31a^3 + 22a^2 + 40a + 41)59^2 + (14a^5 + 55a^4 + 38a^3 + 8a^2 + 3a + 29)59^3 + (56a^5 + 2a^4 + 5a^3 + 57a^2 + 14a + 49)59^4 + (21a^5 + 55a^4 + 15a^3 + 13a^2 + 34a + 11)59^5 + (34a^5 + a^4 + 30a^3 + 35a^2 + 12a + 6)59^6 + (57a^5 + 3a^4 + 2a^3 + 27a^2 + 24a + 18)59^7 + (47a^5 + 42a^4 + 5a^3 + 20a^2 + 15a + 35)59^8 + (25a^5 + 23a^4 + 42a^3 + 45a^2 + 27a)*59^9+O(59^10)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$

Cycle notation
$(1,6)(2,7)(3,5)(4,9)(8,12)(10,11)$
$(1,2,9,10,3,4,8,11,5,12,7)$
$(2,9,3,5,4,7,12,11,10,8)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 12 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$11$
$55$	$2$	$(1,6)(2,7)(3,5)(4,9)(8,12)(10,11)$	$-1$
$66$	$2$	$(2,7)(3,11)(4,8)(5,10)(9,12)$	$1$
$110$	$3$	$(1,7,6)(2,4,12)(3,9,11)(5,8,10)$	$-1$
$110$	$4$	$(1,4,7,6)(2,5,10,3)(8,11,9,12)$	$-1$
$132$	$5$	$(2,3,4,12,10)(5,7,11,8,9)$	$1$
$132$	$5$	$(1,5,7,11,6)(2,9,12,4,8)$	$1$
$110$	$6$	$(1,2,5,7,8,11)(3,12,10,9,6,4)$	$-1$
$132$	$10$	$(2,9,3,5,4,7,12,11,10,8)$	$1$
$132$	$10$	$(2,5,12,8,3,7,10,9,4,11)$	$1$
$120$	$11$	$(1,2,9,10,3,4,8,11,5,12,7)$	$0$
$110$	$12$	$(1,4,2,3,5,12,7,10,8,9,11,6)$	$-1$
$110$	$12$	$(1,12,11,3,8,4,7,6,5,9,2,10)$	$-1$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	11.100...184.12t218.a.a
Dimension	$11$
Group	$\PGL(2,11)$
Conductor	$1.007\times 10^{25}$
Root number	$1$
Indicator	$1$

$r_{ 1 }$	$=$	\( 43 a^{5} + 32 a^{4} + 23 a^{3} + 58 a^{2} + 45 a + 57 + \left(49 a^{5} + 18 a^{4} + 27 a^{3} + 13 a^{2} + 30 a + 24\right)\cdot 59 + \left(22 a^{5} + 33 a^{4} + 13 a^{3} + 53 a^{2} + 51 a + 20\right)\cdot 59^{2} + \left(23 a^{5} + 10 a^{3} + 20 a^{2} + 53 a + 5\right)\cdot 59^{3} + \left(22 a^{5} + 5 a^{4} + 37 a^{3} + 37 a^{2} + 20\right)\cdot 59^{4} + \left(50 a^{5} + 22 a^{4} + 44 a^{3} + a^{2} + 20 a + 40\right)\cdot 59^{5} + \left(9 a^{5} + 35 a^{4} + 36 a^{3} + 33 a^{2} + a + 53\right)\cdot 59^{6} + \left(26 a^{5} + 41 a^{4} + 31 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 51\right)\cdot 59^{7} + \left(25 a^{5} + 24 a^{4} + 50 a^{2} + 28 a + 31\right)\cdot 59^{8} + \left(15 a^{5} + 27 a^{4} + 41 a^{3} + 48 a^{2} + 17 a + 52\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\) 43a^5 + 32a^4 + 23a^3 + 58a^2 + 45a + 57 + (49a^5 + 18a^4 + 27a^3 + 13a^2 + 30a + 24)59 + (22a^5 + 33a^4 + 13a^3 + 53a^2 + 51a + 20)59^2 + (23a^5 + 10a^3 + 20a^2 + 53a + 5)59^3 + (22a^5 + 5a^4 + 37a^3 + 37a^2 + 20)59^4 + (50a^5 + 22a^4 + 44a^3 + a^2 + 20a + 40)59^5 + (9a^5 + 35a^4 + 36a^3 + 33a^2 + a + 53)59^6 + (26a^5 + 41a^4 + 31a^3 + 8a^2 + 5a + 51)59^7 + (25a^5 + 24a^4 + 50a^2 + 28a + 31)59^8 + (15a^5 + 27a^4 + 41a^3 + 48a^2 + 17a + 52)59^9+O(59^10)
$r_{ 2 }$	$=$	\( a^{5} + 28 a^{4} + 43 a^{3} + 26 a^{2} + 8 a + 3 + \left(26 a^{5} + 36 a^{4} + 30 a^{3} + 29 a^{2} + 29 a + 27\right)\cdot 59 + \left(10 a^{5} + 8 a^{4} + 21 a^{3} + 45 a^{2} + 54 a + 24\right)\cdot 59^{2} + \left(29 a^{5} + 35 a^{4} + 56 a^{3} + 19 a^{2} + 7 a + 53\right)\cdot 59^{3} + \left(8 a^{5} + 32 a^{4} + 58 a^{3} + 36 a^{2} + 35\right)\cdot 59^{4} + \left(3 a^{5} + 38 a^{4} + 14 a^{3} + 20 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 59^{5} + \left(32 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 29 a^{2} + 31 a + 54\right)\cdot 59^{6} + \left(6 a^{5} + 5 a^{4} + 39 a^{3} + 25 a^{2} + 57 a + 25\right)\cdot 59^{7} + \left(31 a^{5} + 49 a^{4} + 36 a^{3} + 58 a^{2} + 35 a + 30\right)\cdot 59^{8} + \left(37 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 42 a + 10\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\) a^5 + 28a^4 + 43a^3 + 26a^2 + 8a + 3 + (26a^5 + 36a^4 + 30a^3 + 29a^2 + 29a + 27)59 + (10a^5 + 8a^4 + 21a^3 + 45a^2 + 54a + 24)59^2 + (29a^5 + 35a^4 + 56a^3 + 19a^2 + 7a + 53)59^3 + (8a^5 + 32a^4 + 58a^3 + 36a^2 + 35)59^4 + (3a^5 + 38a^4 + 14a^3 + 20a^2 + 5a + 5)59^5 + (32a^5 + 18a^4 + 9a^3 + 29a^2 + 31a + 54)59^6 + (6a^5 + 5a^4 + 39a^3 + 25a^2 + 57a + 25)59^7 + (31a^5 + 49a^4 + 36a^3 + 58a^2 + 35a + 30)59^8 + (37a^5 + 6a^4 + 12a^3 + 9a^2 + 42a + 10)*59^9+O(59^10)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 46 a^{5} + 25 a^{4} + 30 a^{3} + 25 a^{2} + 9 a + 39 + \left(43 a^{5} + 49 a^{4} + 36 a^{3} + 21 a^{2} + 51 a + 48\right)\cdot 59 + \left(42 a^{5} + 25 a^{4} + 57 a^{3} + 16 a^{2} + 57 a + 58\right)\cdot 59^{2} + \left(11 a^{5} + 45 a^{4} + 11 a^{3} + 44 a^{2} + 17 a + 32\right)\cdot 59^{3} + \left(26 a^{5} + a^{4} + 44 a^{3} + 3 a^{2} + 42 a + 34\right)\cdot 59^{4} + \left(52 a^{5} + 18 a^{4} + 7 a^{3} + 41 a^{2} + 52 a + 48\right)\cdot 59^{5} + \left(9 a^{5} + 10 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 48\right)\cdot 59^{6} + \left(12 a^{5} + 13 a^{4} + 32 a^{3} + 42 a^{2} + 32 a + 12\right)\cdot 59^{7} + \left(9 a^{5} + 15 a^{4} + 49 a^{3} + 45 a + 37\right)\cdot 59^{8} + \left(32 a^{5} + 52 a^{4} + 15 a^{3} + 33 a^{2} + 16 a + 34\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\) 46a^5 + 25a^4 + 30a^3 + 25a^2 + 9a + 39 + (43a^5 + 49a^4 + 36a^3 + 21a^2 + 51a + 48)59 + (42a^5 + 25a^4 + 57a^3 + 16a^2 + 57a + 58)59^2 + (11a^5 + 45a^4 + 11a^3 + 44a^2 + 17a + 32)59^3 + (26a^5 + a^4 + 44a^3 + 3a^2 + 42a + 34)59^4 + (52a^5 + 18a^4 + 7a^3 + 41a^2 + 52a + 48)59^5 + (9a^5 + 10a^4 + 12a^3 + 2a^2 + 8a + 48)59^6 + (12a^5 + 13a^4 + 32a^3 + 42a^2 + 32a + 12)59^7 + (9a^5 + 15a^4 + 49a^3 + 45a + 37)59^8 + (32a^5 + 52a^4 + 15a^3 + 33a^2 + 16a + 34)*59^9+O(59^10)
$r_{ 4 }$	$=$	\( a^{5} + 42 a^{4} + 37 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 19 + \left(19 a^{5} + 47 a^{4} + 51 a^{3} + 52 a^{2} + 26 a + 2\right)\cdot 59 + \left(36 a^{4} + 53 a^{3} + 20 a^{2} + 12 a + 30\right)\cdot 59^{2} + \left(27 a^{5} + a^{4} + 10 a^{3} + 26 a^{2} + 3 a + 35\right)\cdot 59^{3} + \left(54 a^{5} + 44 a^{4} + 43 a^{3} + 36 a + 12\right)\cdot 59^{4} + \left(49 a^{5} + 36 a^{4} + 50 a^{3} + 44 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 59^{5} + \left(49 a^{5} + 31 a^{4} + 24 a^{3} + 41 a^{2} + 3 a + 33\right)\cdot 59^{6} + \left(22 a^{5} + 57 a^{4} + 31 a^{3} + 49 a^{2} + 46 a + 27\right)\cdot 59^{7} + \left(17 a^{5} + 14 a^{4} + 58 a^{3} + 45 a^{2} + 8 a + 34\right)\cdot 59^{8} + \left(16 a^{5} + 36 a^{4} + 32 a^{3} + 38 a^{2} + 21 a + 48\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\) a^5 + 42a^4 + 37a^3 + 7a^2 + 15a + 19 + (19a^5 + 47a^4 + 51a^3 + 52a^2 + 26a + 2)59 + (36a^4 + 53a^3 + 20a^2 + 12a + 30)59^2 + (27a^5 + a^4 + 10a^3 + 26a^2 + 3a + 35)59^3 + (54a^5 + 44a^4 + 43a^3 + 36a + 12)59^4 + (49a^5 + 36a^4 + 50a^3 + 44a^2 + 12a + 18)59^5 + (49a^5 + 31a^4 + 24a^3 + 41a^2 + 3a + 33)59^6 + (22a^5 + 57a^4 + 31a^3 + 49a^2 + 46a + 27)59^7 + (17a^5 + 14a^4 + 58a^3 + 45a^2 + 8a + 34)59^8 + (16a^5 + 36a^4 + 32a^3 + 38a^2 + 21a + 48)*59^9+O(59^10)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 44 a^{5} + 30 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 37 a + 15 + \left(54 a^{5} + 43 a^{4} + 23 a^{3} + 45 a^{2} + 40 a + 42\right)\cdot 59 + \left(18 a^{5} + 14 a^{4} + 12 a^{3} + 19 a^{2} + 39 a + 33\right)\cdot 59^{2} + \left(47 a^{5} + 33 a^{4} + 6 a^{3} + 21 a^{2} + 7 a + 55\right)\cdot 59^{3} + \left(30 a^{5} + 50 a^{4} + 57 a^{3} + 13 a^{2} + 48 a + 1\right)\cdot 59^{4} + \left(31 a^{5} + 10 a^{4} + 28 a^{3} + 16 a^{2} + 21 a + 48\right)\cdot 59^{5} + \left(42 a^{5} + 35 a^{3} + 34 a^{2} + a + 7\right)\cdot 59^{6} + \left(36 a^{5} + 19 a^{4} + 16 a^{3} + 50 a^{2} + 51 a + 10\right)\cdot 59^{7} + \left(57 a^{5} + 35 a^{4} + 22 a^{3} + 22 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 59^{8} + \left(38 a^{5} + 12 a^{4} + 54 a^{3} + 20 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\) 44a^5 + 30a^4 + 2a^3 + 12a^2 + 37a + 15 + (54a^5 + 43a^4 + 23a^3 + 45a^2 + 40a + 42)59 + (18a^5 + 14a^4 + 12a^3 + 19a^2 + 39a + 33)59^2 + (47a^5 + 33a^4 + 6a^3 + 21a^2 + 7a + 55)59^3 + (30a^5 + 50a^4 + 57a^3 + 13a^2 + 48a + 1)59^4 + (31a^5 + 10a^4 + 28a^3 + 16a^2 + 21a + 48)59^5 + (42a^5 + 35a^3 + 34a^2 + a + 7)59^6 + (36a^5 + 19a^4 + 16a^3 + 50a^2 + 51a + 10)59^7 + (57a^5 + 35a^4 + 22a^3 + 22a^2 + 9a + 10)59^8 + (38a^5 + 12a^4 + 54a^3 + 20a^2 + 17a + 16)*59^9+O(59^10)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 20 a^{5} + 12 a^{4} + 17 a^{3} + 45 a^{2} + 30 a + 10 + \left(34 a^{5} + 19 a^{4} + 5 a^{3} + 14 a^{2} + 56 a + 29\right)\cdot 59 + \left(55 a^{5} + 19 a^{4} + 54 a^{3} + 42 a^{2} + 3 a + 53\right)\cdot 59^{2} + \left(43 a^{5} + 42 a^{4} + 12 a^{3} + 30 a^{2} + 58 a + 13\right)\cdot 59^{3} + \left(21 a^{5} + 5 a^{4} + 21 a^{3} + 20 a^{2} + 49 a + 8\right)\cdot 59^{4} + \left(43 a^{5} + 3 a^{4} + 41 a^{3} + 58 a^{2} + 54 a + 1\right)\cdot 59^{5} + \left(50 a^{5} + 57 a^{4} + 54 a^{3} + 43 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 59^{6} + \left(20 a^{5} + 25 a^{4} + 37 a^{3} + 32 a^{2} + 24 a + 6\right)\cdot 59^{7} + \left(54 a^{5} + 8 a^{4} + 53 a^{3} + 34 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 59^{8} + \left(46 a^{5} + 48 a^{4} + 41 a^{3} + 43 a^{2} + 2 a + 49\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\) 20a^5 + 12a^4 + 17a^3 + 45a^2 + 30a + 10 + (34a^5 + 19a^4 + 5a^3 + 14a^2 + 56a + 29)59 + (55a^5 + 19a^4 + 54a^3 + 42a^2 + 3a + 53)59^2 + (43a^5 + 42a^4 + 12a^3 + 30a^2 + 58a + 13)59^3 + (21a^5 + 5a^4 + 21a^3 + 20a^2 + 49a + 8)59^4 + (43a^5 + 3a^4 + 41a^3 + 58a^2 + 54a + 1)59^5 + (50a^5 + 57a^4 + 54a^3 + 43a^2 + 8a + 2)59^6 + (20a^5 + 25a^4 + 37a^3 + 32a^2 + 24a + 6)59^7 + (54a^5 + 8a^4 + 53a^3 + 34a^2 + 3a + 15)59^8 + (46a^5 + 48a^4 + 41a^3 + 43a^2 + 2a + 49)*59^9+O(59^10)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 34 a^{5} + 37 a^{4} + 48 a^{3} + 53 a^{2} + 45 a + \left(30 a^{5} + 48 a^{4} + 40 a^{3} + 25 a^{2} + 3 a + 54\right)\cdot 59 + \left(7 a^{5} + 40 a^{4} + 29 a^{3} + 25 a^{2} + 44 a + 20\right)\cdot 59^{2} + \left(31 a^{5} + 7 a^{4} + 46 a^{3} + 20 a^{2} + 27 a + 34\right)\cdot 59^{3} + \left(45 a^{5} + 24 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 35 a + 45\right)\cdot 59^{4} + \left(30 a^{5} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 35 a + 18\right)\cdot 59^{5} + \left(13 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 32\right)\cdot 59^{6} + \left(54 a^{5} + 8 a^{4} + 54 a^{3} + 35 a^{2} + 18 a + 41\right)\cdot 59^{7} + \left(27 a^{5} + 5 a^{4} + 12 a^{3} + 33 a^{2} + 24 a + 40\right)\cdot 59^{8} + \left(33 a^{5} + 25 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 28 a + 19\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\) 34a^5 + 37a^4 + 48a^3 + 53a^2 + 45a + (30a^5 + 48a^4 + 40a^3 + 25a^2 + 3a + 54)59 + (7a^5 + 40a^4 + 29a^3 + 25a^2 + 44a + 20)59^2 + (31a^5 + 7a^4 + 46a^3 + 20a^2 + 27a + 34)59^3 + (45a^5 + 24a^4 + 2a^3 + 7a^2 + 35a + 45)59^4 + (30a^5 + 16a^4 + 4a^3 + 16a^2 + 35a + 18)59^5 + (13a^5 + 2a^4 + 12a^3 + 9a^2 + 18a + 32)59^6 + (54a^5 + 8a^4 + 54a^3 + 35a^2 + 18a + 41)59^7 + (27a^5 + 5a^4 + 12a^3 + 33a^2 + 24a + 40)59^8 + (33a^5 + 25a^4 + 8a^3 + 10a^2 + 28a + 19)*59^9+O(59^10)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 5 a^{5} + 17 a^{4} + 36 a^{3} + 52 a^{2} + 49 a + 6 + \left(10 a^{5} + 54 a^{4} + 51 a^{3} + 19 a^{2} + 6 a + 52\right)\cdot 59 + \left(55 a^{5} + 9 a^{4} + 28 a^{3} + 34 a^{2} + 36 a + 50\right)\cdot 59^{2} + \left(51 a^{5} + 12 a^{4} + 7 a^{3} + 38 a + 57\right)\cdot 59^{3} + \left(37 a^{5} + 42 a^{4} + 27 a^{3} + 54 a^{2} + 38 a + 14\right)\cdot 59^{4} + \left(32 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 59^{5} + \left(15 a^{5} + 17 a^{4} + 36 a^{3} + 14 a^{2} + 33 a + 40\right)\cdot 59^{6} + \left(47 a^{5} + 32 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 54 a + 7\right)\cdot 59^{7} + \left(13 a^{5} + 32 a^{4} + 20 a^{3} + 3 a^{2} + 17 a + 26\right)\cdot 59^{8} + \left(49 a^{5} + 56 a^{4} + 41 a^{3} + 36 a^{2} + 29 a + 7\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\) 5a^5 + 17a^4 + 36a^3 + 52a^2 + 49a + 6 + (10a^5 + 54a^4 + 51a^3 + 19a^2 + 6a + 52)59 + (55a^5 + 9a^4 + 28a^3 + 34a^2 + 36a + 50)59^2 + (51a^5 + 12a^4 + 7a^3 + 38a + 57)59^3 + (37a^5 + 42a^4 + 27a^3 + 54a^2 + 38a + 14)59^4 + (32a^5 + 15a^4 + 11a^3 + 10a^2 + 12a + 9)59^5 + (15a^5 + 17a^4 + 36a^3 + 14a^2 + 33a + 40)59^6 + (47a^5 + 32a^4 + 8a^3 + 3a^2 + 54a + 7)59^7 + (13a^5 + 32a^4 + 20a^3 + 3a^2 + 17a + 26)59^8 + (49a^5 + 56a^4 + 41a^3 + 36a^2 + 29a + 7)59^9+O(59^10)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 24 a^{5} + 51 a^{4} + 52 a^{3} + 8 a^{2} + 54 a + 15 + \left(18 a^{5} + 44 a^{4} + 49 a^{3} + 49 a^{2} + 24 a + 13\right)\cdot 59 + \left(44 a^{5} + 43 a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 59^{2} + \left(10 a^{5} + 42 a^{4} + 33 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 48\right)\cdot 59^{3} + \left(34 a^{5} + 44 a^{4} + 41 a^{3} + 47 a^{2} + 49 a + 24\right)\cdot 59^{4} + \left(55 a^{5} + 22 a^{4} + 6 a^{3} + 17 a^{2} + 34 a + 23\right)\cdot 59^{5} + \left(30 a^{5} + 12 a^{4} + 53 a^{3} + 17 a^{2} + 25 a + 42\right)\cdot 59^{6} + \left(35 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 53 a^{2} + 16 a + 53\right)\cdot 59^{7} + \left(3 a^{5} + 53 a^{4} + 11 a^{3} + 32 a^{2} + 31 a + 41\right)\cdot 59^{8} + \left(25 a^{5} + 44 a^{4} + 45 a^{3} + 21 a + 57\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\) 24a^5 + 51a^4 + 52a^3 + 8a^2 + 54a + 15 + (18a^5 + 44a^4 + 49a^3 + 49a^2 + 24a + 13)59 + (44a^5 + 43a^4 + 11a^3 + 4a^2 + 15a + 22)59^2 + (10a^5 + 42a^4 + 33a^3 + 11a^2 + 8a + 48)59^3 + (34a^5 + 44a^4 + 41a^3 + 47a^2 + 49a + 24)59^4 + (55a^5 + 22a^4 + 6a^3 + 17a^2 + 34a + 23)59^5 + (30a^5 + 12a^4 + 53a^3 + 17a^2 + 25a + 42)59^6 + (35a^5 + 2a^4 + 11a^3 + 53a^2 + 16a + 53)59^7 + (3a^5 + 53a^4 + 11a^3 + 32a^2 + 31a + 41)59^8 + (25a^5 + 44a^4 + 45a^3 + 21a + 57)59^9+O(59^10)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 27 a^{5} + 14 a^{4} + 23 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 17 + \left(45 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 43 a^{2} + 30 a + 13\right)\cdot 59 + \left(34 a^{5} + 52 a^{4} + 27 a^{3} + 10 a^{2} + 46 a + 58\right)\cdot 59^{2} + \left(9 a^{5} + 47 a^{4} + 10 a^{3} + 56 a^{2} + 26 a + 31\right)\cdot 59^{3} + \left(43 a^{5} + 18 a^{4} + 21 a^{3} + 47 a^{2} + 44 a + 12\right)\cdot 59^{4} + \left(12 a^{5} + 41 a^{4} + 55 a^{3} + a^{2} + 46 a + 18\right)\cdot 59^{5} + \left(a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 36 a^{2} + 58 a + 26\right)\cdot 59^{6} + \left(28 a^{5} + 16 a^{4} + 2 a^{3} + 30 a^{2} + 33 a + 55\right)\cdot 59^{7} + \left(44 a^{5} + 43 a^{4} + 58 a^{3} + 42 a^{2} + 13 a + 31\right)\cdot 59^{8} + \left(30 a^{5} + 30 a^{4} + 57 a^{3} + 15 a^{2} + 29 a + 6\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\) 27a^5 + 14a^4 + 23a^3 + 11a^2 + 3a + 17 + (45a^5 + 3a^4 + 2a^3 + 43a^2 + 30a + 13)59 + (34a^5 + 52a^4 + 27a^3 + 10a^2 + 46a + 58)59^2 + (9a^5 + 47a^4 + 10a^3 + 56a^2 + 26a + 31)59^3 + (43a^5 + 18a^4 + 21a^3 + 47a^2 + 44a + 12)59^4 + (12a^5 + 41a^4 + 55a^3 + a^2 + 46a + 18)59^5 + (a^5 + 4a^4 + a^3 + 36a^2 + 58a + 26)59^6 + (28a^5 + 16a^4 + 2a^3 + 30a^2 + 33a + 55)59^7 + (44a^5 + 43a^4 + 58a^3 + 42a^2 + 13a + 31)59^8 + (30a^5 + 30a^4 + 57a^3 + 15a^2 + 29a + 6)59^9+O(59^10)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 50 a^{5} + 33 a^{4} + 25 a^{3} + 35 a^{2} + 52 a + 31 + \left(5 a^{5} + 34 a^{4} + 3 a^{3} + 42 a^{2} + 6 a + 34\right)\cdot 59 + \left(3 a^{5} + 10 a^{4} + 12 a^{3} + 57 a^{2} + 10 a + 57\right)\cdot 59^{2} + \left(53 a^{5} + 29 a^{4} + 50 a^{3} + 34 a^{2} + 41 a + 13\right)\cdot 59^{3} + \left(31 a^{5} + 22 a^{4} + 52 a^{3} + 28 a^{2} + 53 a + 34\right)\cdot 59^{4} + \left(28 a^{5} + 14 a^{4} + 13 a^{3} + 52 a^{2} + 22 a + 51\right)\cdot 59^{5} + \left(4 a^{5} + 44 a^{4} + 47 a^{3} + 56 a^{2} + 32 a + 6\right)\cdot 59^{6} + \left(6 a^{5} + 11 a^{4} + 26 a^{3} + 53 a^{2} + 49 a + 43\right)\cdot 59^{7} + \left(21 a^{5} + 30 a^{4} + 25 a^{3} + 8 a^{2} + a + 18\right)\cdot 59^{8} + \left(2 a^{5} + 48 a^{4} + 19 a^{3} + 51 a^{2} + 42 a + 50\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\) 50a^5 + 33a^4 + 25a^3 + 35a^2 + 52a + 31 + (5a^5 + 34a^4 + 3a^3 + 42a^2 + 6a + 34)59 + (3a^5 + 10a^4 + 12a^3 + 57a^2 + 10a + 57)59^2 + (53a^5 + 29a^4 + 50a^3 + 34a^2 + 41a + 13)59^3 + (31a^5 + 22a^4 + 52a^3 + 28a^2 + 53a + 34)59^4 + (28a^5 + 14a^4 + 13a^3 + 52a^2 + 22a + 51)59^5 + (4a^5 + 44a^4 + 47a^3 + 56a^2 + 32a + 6)59^6 + (6a^5 + 11a^4 + 26a^3 + 53a^2 + 49a + 43)59^7 + (21a^5 + 30a^4 + 25a^3 + 8a^2 + a + 18)59^8 + (2a^5 + 48a^4 + 19a^3 + 51a^2 + 42a + 50)59^9+O(59^10)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 33 a^{4} + 18 a^{3} + 22 a^{2} + 7 a + 26 + \left(16 a^{5} + 12 a^{4} + 31 a^{3} + 55 a^{2} + 47 a + 12\right)\cdot 59 + \left(58 a^{5} + 58 a^{4} + 31 a^{3} + 22 a^{2} + 40 a + 41\right)\cdot 59^{2} + \left(14 a^{5} + 55 a^{4} + 38 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 29\right)\cdot 59^{3} + \left(56 a^{5} + 2 a^{4} + 5 a^{3} + 57 a^{2} + 14 a + 49\right)\cdot 59^{4} + \left(21 a^{5} + 55 a^{4} + 15 a^{3} + 13 a^{2} + 34 a + 11\right)\cdot 59^{5} + \left(34 a^{5} + a^{4} + 30 a^{3} + 35 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 59^{6} + \left(57 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 27 a^{2} + 24 a + 18\right)\cdot 59^{7} + \left(47 a^{5} + 42 a^{4} + 5 a^{3} + 20 a^{2} + 15 a + 35\right)\cdot 59^{8} + \left(25 a^{5} + 23 a^{4} + 42 a^{3} + 45 a^{2} + 27 a\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\) 33a^4 + 18a^3 + 22a^2 + 7a + 26 + (16a^5 + 12a^4 + 31a^3 + 55a^2 + 47a + 12)59 + (58a^5 + 58a^4 + 31a^3 + 22a^2 + 40a + 41)59^2 + (14a^5 + 55a^4 + 38a^3 + 8a^2 + 3a + 29)59^3 + (56a^5 + 2a^4 + 5a^3 + 57a^2 + 14a + 49)59^4 + (21a^5 + 55a^4 + 15a^3 + 13a^2 + 34a + 11)59^5 + (34a^5 + a^4 + 30a^3 + 35a^2 + 12a + 6)59^6 + (57a^5 + 3a^4 + 2a^3 + 27a^2 + 24a + 18)59^7 + (47a^5 + 42a^4 + 5a^3 + 20a^2 + 15a + 35)59^8 + (25a^5 + 23a^4 + 42a^3 + 45a^2 + 27a)*59^9+O(59^10)