Basic invariants
| Dimension: | $10$ |
| Group: | $F_{11}$ |
| Conductor: | $193763450514676380800000= 2^{10} \cdot 5^{5} \cdot 7^{10} \cdot 11^{8} $ |
| Artin number field: | Splitting field of $f= x^{11} - x^{10} - 53 x^{9} + 31 x^{8} + 996 x^{7} - 28 x^{6} - 7812 x^{5} - 5784 x^{4} + 20673 x^{3} + 36219 x^{2} + 19909 x + 3279 $ over $\Q$ |
| Size of Galois orbit: | 1 |
| Smallest containing permutation representation: | $F_{11}$ |
| Parity: | Even |
| Determinant: | 1.5.2t1.1c1 |
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 19 }$ to precision 28.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 19 }$: $ x^{5} + 5 x + 17 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ | $ 9 + 15\cdot 19 + 17\cdot 19^{2} + 6\cdot 19^{4} + 17\cdot 19^{5} + 9\cdot 19^{6} + 12\cdot 19^{7} + 4\cdot 19^{8} + 7\cdot 19^{9} + 5\cdot 19^{10} + 13\cdot 19^{11} + 12\cdot 19^{12} + 9\cdot 19^{13} + 5\cdot 19^{14} + 2\cdot 19^{15} + 11\cdot 19^{16} + 16\cdot 19^{17} + 7\cdot 19^{18} + 4\cdot 19^{19} + 10\cdot 19^{20} + 9\cdot 19^{21} + 17\cdot 19^{22} + 7\cdot 19^{23} + 3\cdot 19^{24} + 18\cdot 19^{25} + 16\cdot 19^{26} + 5\cdot 19^{27} +O\left(19^{ 28 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ | $=$ | $ a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 11 + \left(2 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 19 + \left(4 a^{4} + 9 a^{3} + 18 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 19^{2} + \left(9 a^{4} + 13 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 19^{3} + \left(11 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 19^{4} + \left(9 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 19^{5} + \left(7 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 19^{6} + \left(a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 19^{7} + \left(4 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 19^{8} + \left(15 a^{4} + 13 a^{3} + 12 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 19^{9} + \left(17 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 19^{10} + \left(12 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + a + 2\right)\cdot 19^{11} + \left(18 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 19^{12} + \left(5 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 19^{13} + \left(17 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 19^{14} + \left(2 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 19^{15} + \left(15 a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 19^{16} + \left(5 a^{4} + 10 a^{3} + 13 a\right)\cdot 19^{17} + \left(6 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 19^{18} + \left(11 a^{4} + 10 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 19^{19} + \left(13 a^{4} + 6 a^{3} + 14 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 19^{20} + \left(11 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + a + 3\right)\cdot 19^{21} + \left(4 a^{4} + 17 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 19^{22} + \left(5 a^{4} + 6 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 19^{23} + \left(13 a^{4} + 18 a^{3} + 18 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 19^{24} + \left(7 a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 19^{25} + \left(7 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 19^{26} + \left(4 a^{4} + 17 a^{3} + 14 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 19^{27} +O\left(19^{ 28 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ | $=$ | $ a^{4} + 6 a^{3} + 14 a^{2} + 15 + \left(6 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 19 + \left(18 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 19^{2} + \left(15 a^{4} + 16 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(11 a^{4} + 13 a^{3} + 18 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 18\right)\cdot 19^{5} + \left(13 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 19^{6} + \left(14 a^{4} + 15 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 19^{7} + \left(2 a^{4} + 15 a^{3} + 13 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 19^{8} + \left(14 a^{4} + 8 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 19^{9} + \left(15 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 19^{10} + \left(13 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + a + 6\right)\cdot 19^{11} + \left(3 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 19^{12} + \left(5 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 19^{13} + \left(3 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 19^{14} + \left(9 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 19^{15} + \left(13 a^{4} + 6 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 19^{16} + \left(11 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 19^{17} + \left(a^{4} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 19^{18} + \left(7 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 19^{19} + \left(16 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 19^{20} + \left(5 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 19^{21} + \left(7 a^{4} + 15 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a\right)\cdot 19^{22} + \left(17 a^{4} + 17 a^{3} + 7 a + 15\right)\cdot 19^{23} + \left(12 a^{4} + 16 a^{3} + 7 a^{2} + 2\right)\cdot 19^{24} + \left(4 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 19^{25} + \left(4 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 19^{26} + \left(12 a^{4} + 15 a^{3} + 16 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 19^{27} +O\left(19^{ 28 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ | $=$ | $ 2 a^{4} + 17 a^{3} + 12 a^{2} + 14 a + 3 + \left(15 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 5\right)\cdot 19 + \left(16 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + a + 15\right)\cdot 19^{2} + \left(15 a^{3} + 18 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a + 9\right)\cdot 19^{4} + \left(7 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 19^{5} + \left(14 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 19^{6} + \left(11 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a\right)\cdot 19^{7} + \left(a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 19^{8} + \left(14 a^{4} + 17 a^{3} + a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 19^{9} + \left(4 a^{4} + 14 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 19^{10} + \left(7 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 19^{11} + \left(10 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 19^{12} + \left(14 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 19^{13} + \left(12 a^{4} + 16 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 19^{14} + \left(5 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 19^{15} + \left(7 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 19^{16} + \left(9 a^{4} + 17 a^{3} + 13 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 19^{17} + \left(9 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 19^{18} + \left(4 a^{4} + 11 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 19^{19} + \left(13 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 19^{20} + \left(8 a^{3} + 18 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 19^{21} + \left(13 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + a + 12\right)\cdot 19^{22} + \left(13 a^{4} + 15 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 19^{23} + \left(6 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 19^{24} + \left(12 a^{3} + 18 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 19^{25} + \left(16 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 19^{26} + \left(18 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 19^{27} +O\left(19^{ 28 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ | $=$ | $ 2 a^{4} + 17 a^{3} + 17 a^{2} + 3 a + \left(12 a^{4} + 14 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 19 + \left(15 a^{4} + 15 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 19^{2} + \left(7 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 19^{3} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 19^{4} + \left(2 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 19^{5} + \left(10 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 19^{6} + \left(9 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 19^{7} + \left(18 a^{4} + 18 a^{3} + 15 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 19^{8} + \left(6 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 19^{9} + \left(13 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 19^{10} + \left(15 a^{4} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 19^{11} + \left(13 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 19^{12} + \left(11 a^{4} + 15 a^{3} + 5 a^{2} + 13\right)\cdot 19^{13} + \left(3 a^{4} + 18 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a\right)\cdot 19^{14} + \left(17 a^{4} + 18 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 19^{15} + \left(2 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 3\right)\cdot 19^{16} + \left(14 a^{4} + 18 a^{3} + 18 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 19^{17} + \left(3 a^{4} + 3 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 19^{18} + \left(5 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 19^{19} + \left(14 a^{4} + 8 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 19^{20} + \left(5 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 19^{21} + \left(8 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 4\right)\cdot 19^{22} + \left(3 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 19^{23} + \left(4 a^{4} + 13 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 19^{24} + \left(16 a^{4} + 13 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 19^{25} + \left(7 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 19^{26} + \left(3 a^{4} + 14 a^{3} + 12 a^{2} + a + 8\right)\cdot 19^{27} +O\left(19^{ 28 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ | $=$ | $ 7 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 1 + \left(14 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 19 + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 13\right)\cdot 19^{2} + \left(18 a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a\right)\cdot 19^{3} + \left(14 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 3\right)\cdot 19^{4} + \left(4 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + a + 17\right)\cdot 19^{5} + \left(8 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 19^{6} + \left(9 a^{4} + 15 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 19^{7} + \left(2 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 19^{8} + \left(16 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 19^{9} + \left(5 a^{4} + 15 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 19^{10} + \left(14 a^{4} + 9 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 19^{11} + \left(4 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 19^{12} + \left(a^{4} + 18 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 19^{13} + \left(7 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 19^{14} + \left(5 a^{4} + 17 a^{3} + 7 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 19^{15} + \left(6 a^{4} + 16 a^{3} + 15 a^{2} + 16\right)\cdot 19^{16} + \left(18 a^{4} + 17 a^{3} + a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 19^{17} + \left(15 a^{4} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 19^{18} + \left(10 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 19^{19} + \left(4 a^{4} + 10 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 19^{20} + \left(5 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 19^{21} + \left(8 a^{4} + 16 a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 19^{22} + \left(11 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + a + 10\right)\cdot 19^{23} + \left(13 a^{4} + 3 a^{3} + 14 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 19^{24} + \left(7 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 19^{25} + \left(6 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a + 4\right)\cdot 19^{26} + \left(17 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 19^{27} +O\left(19^{ 28 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ | $=$ | $ 9 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 9 + \left(5 a^{4} + 8 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 19 + \left(18 a^{4} + a^{3} + 14 a^{2} + a + 7\right)\cdot 19^{2} + \left(5 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 19^{4} + \left(6 a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 19^{5} + \left(17 a^{4} + 3 a^{3} + 18 a + 1\right)\cdot 19^{6} + \left(2 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 19^{7} + \left(10 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 19^{8} + \left(4 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 19^{9} + \left(4 a^{4} + 13 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 19^{10} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 19^{11} + \left(16 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 19^{12} + \left(13 a^{4} + a^{3} + 7 a + 3\right)\cdot 19^{13} + \left(6 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 19^{14} + \left(3 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 19^{15} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 19^{16} + \left(7 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 19^{17} + \left(10 a^{4} + 5 a^{3} + 13 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 19^{18} + \left(3 a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a\right)\cdot 19^{19} + \left(8 a^{4} + 5 a^{3} + 13 a^{2} + 10\right)\cdot 19^{20} + \left(9 a^{4} + 9 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 19^{21} + \left(9 a^{4} + 12 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 19^{22} + \left(7 a^{3} + 13 a + 4\right)\cdot 19^{23} + \left(13 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 19^{24} + \left(a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 19^{25} + \left(12 a^{4} + 10 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 19^{26} + \left(17 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 19^{27} +O\left(19^{ 28 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ | $=$ | $ 9 a^{4} + 15 a^{3} + a^{2} + 2 a + 12 + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 19 + \left(3 a^{3} + 18 a^{2} + 5\right)\cdot 19^{2} + \left(11 a^{4} + 12 a^{3} + 15 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 19^{3} + \left(2 a^{4} + 17 a^{3} + 15 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(18 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 19^{5} + \left(2 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 19^{6} + \left(17 a^{4} + 17 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 19^{7} + \left(12 a^{4} + 10 a^{3} + 18 a^{2} + 6\right)\cdot 19^{8} + \left(5 a^{4} + 14 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 19^{9} + \left(7 a^{4} + 13 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 19^{10} + \left(9 a^{4} + 17 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 19^{11} + \left(16 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 19^{12} + \left(10 a^{4} + 14 a^{3} + 13 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 19^{13} + \left(7 a^{3} + 18 a^{2} + 3\right)\cdot 19^{14} + \left(9 a^{4} + 10 a^{3} + a + 6\right)\cdot 19^{15} + \left(a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 19^{16} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 19^{17} + \left(11 a^{4} + 8 a^{3} + 18 a^{2} + a + 2\right)\cdot 19^{18} + \left(13 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 19^{19} + \left(9 a^{4} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 19^{20} + \left(4 a^{4} + 3 a^{3} + 18 a^{2} + 2\right)\cdot 19^{21} + \left(17 a^{4} + 6 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 19^{22} + \left(16 a^{4} + 6 a^{3} + 15 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 19^{23} + \left(10 a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 4\right)\cdot 19^{24} + \left(18 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 19^{25} + \left(6 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 19^{26} + \left(8 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 19^{27} +O\left(19^{ 28 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ | $=$ | $ 13 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 9 + \left(4 a^{4} + 6 a^{3} + 17 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 19 + \left(15 a^{4} + 18 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 19^{2} + \left(6 a^{4} + 15 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 19^{3} + \left(16 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 19^{5} + \left(4 a^{4} + 10 a^{3} + 3 a + 16\right)\cdot 19^{6} + \left(16 a^{4} + 12 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 19^{7} + \left(11 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 19^{8} + \left(a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 19^{9} + \left(7 a^{4} + 16 a^{3} + 8 a^{2} + a + 15\right)\cdot 19^{10} + \left(14 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 19^{11} + \left(11 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a + 2\right)\cdot 19^{12} + \left(12 a^{4} + 17 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 19^{13} + \left(15 a^{4} + 11 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 19^{14} + \left(13 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 19^{15} + \left(6 a^{4} + 17 a^{3} + 13 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 19^{16} + \left(4 a^{4} + 6 a^{3} + 14 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 19^{17} + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + a + 16\right)\cdot 19^{18} + \left(11 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 19^{19} + \left(6 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 19^{20} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 19^{21} + \left(9 a^{4} + 14 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 19^{22} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 19^{23} + \left(13 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 19^{24} + \left(5 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 19^{25} + \left(9 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 19^{26} + \left(15 a^{4} + 17 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 19^{27} +O\left(19^{ 28 }\right)$ |
| $r_{ 10 }$ | $=$ | $ 15 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 17 + \left(2 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 19 + \left(18 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 19^{2} + \left(7 a^{4} + 12 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 19^{3} + \left(5 a^{4} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 19^{4} + \left(17 a^{4} + 15 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 19^{5} + \left(9 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 19^{6} + \left(3 a^{4} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 19^{7} + \left(a^{4} + 12 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 19^{8} + \left(10 a^{4} + 4 a^{3} + 18 a^{2} + 14\right)\cdot 19^{9} + \left(2 a^{4} + 9 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 19^{10} + \left(17 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a\right)\cdot 19^{11} + \left(5 a^{4} + 7 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 19^{12} + \left(16 a^{4} + 4 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 19^{13} + \left(12 a^{4} + 15 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 19^{14} + \left(11 a^{4} + 16 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 19^{15} + \left(4 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 19^{16} + \left(3 a^{4} + 16 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 19^{17} + \left(13 a^{3} + 8 a + 15\right)\cdot 19^{18} + \left(13 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 19^{19} + \left(11 a^{4} + a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 19^{20} + \left(9 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 19^{21} + \left(15 a^{4} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 19^{22} + \left(10 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a + 1\right)\cdot 19^{23} + \left(11 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 19^{24} + \left(18 a^{4} + 8 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 19^{25} + \left(9 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 19^{26} + \left(14 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 19^{27} +O\left(19^{ 28 }\right)$ |
| $r_{ 11 }$ | $=$ | $ 18 a^{4} + 15 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 10 + \left(14 a^{4} + 9 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 19 + \left(6 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 19^{2} + \left(11 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 19^{3} + \left(14 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 19^{4} + \left(17 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 19^{5} + \left(14 a^{3} + 13 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 19^{6} + \left(9 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 19^{7} + \left(2 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 19^{8} + \left(7 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 19^{9} + \left(16 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 19^{10} + \left(8 a^{4} + 11 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 19^{11} + \left(12 a^{4} + 16 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 19^{12} + \left(2 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 19^{13} + \left(15 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 19^{14} + \left(16 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 19^{15} + \left(17 a^{4} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + 12\right)\cdot 19^{16} + \left(a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 19^{17} + \left(17 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 7\right)\cdot 19^{18} + \left(14 a^{4} + 17 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 19^{19} + \left(15 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 19^{20} + \left(3 a^{4} + 12 a^{3} + 16 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 19^{21} + \left(2 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 19^{22} + \left(15 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 19^{23} + \left(14 a^{4} + 14 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a\right)\cdot 19^{24} + \left(13 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 19^{25} + \left(14 a^{4} + 4 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 19^{26} + \left(18 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a + 6\right)\cdot 19^{27} +O\left(19^{ 28 }\right)$ |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 11 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 11 }$ | Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $10$ |
| $11$ | $2$ | $(2,10)(3,11)(4,5)(6,9)(7,8)$ | $0$ |
| $11$ | $5$ | $(2,5,6,7,3)(4,9,8,11,10)$ | $0$ |
| $11$ | $5$ | $(2,6,3,5,7)(4,8,10,9,11)$ | $0$ |
| $11$ | $5$ | $(2,7,5,3,6)(4,11,9,10,8)$ | $0$ |
| $11$ | $5$ | $(2,3,7,6,5)(4,10,11,8,9)$ | $0$ |
| $11$ | $10$ | $(2,8,5,11,6,10,7,4,3,9)$ | $0$ |
| $11$ | $10$ | $(2,11,7,9,5,10,3,8,6,4)$ | $0$ |
| $11$ | $10$ | $(2,4,6,8,3,10,5,9,7,11)$ | $0$ |
| $11$ | $10$ | $(2,9,3,4,7,10,6,11,5,8)$ | $0$ |
| $10$ | $11$ | $(1,3,9,7,2,5,4,10,8,6,11)$ | $-1$ |