# Properties

 Label 1.99.30t1.a.c Dimension $1$ Group $C_{30}$ Conductor $99$ Root number not computed Indicator $0$

# Related objects

## Basic invariants

 Dimension: $1$ Group: $C_{30}$ Conductor: $$99$$$$\medspace = 3^{2} \cdot 11$$ Artin field: 30.0.159386923550435671074967363509984324121230045171.1 Galois orbit size: $8$ Smallest permutation container: $C_{30}$ Parity: odd Dirichlet character: $$\chi_{99}(13,\cdot)$$ Projective image: $C_1$ Projective field: $$\Q$$

## Defining polynomial

 $f(x)$ $=$ $$x^{30} + 3 x^{28} - x^{27} + 9 x^{26} - 6 x^{25} + 28 x^{24} - 27 x^{23} + 90 x^{22} - 109 x^{21} + 297 x^{20} + 507 x^{19} + 1000 x^{18} + 1224 x^{17} + 2493 x^{16} + 2672 x^{15} + 6255 x^{14} + 5523 x^{13} + 16093 x^{12} + 10314 x^{11} + 42756 x^{10} + 14849 x^{9} + 5157 x^{8} + 1791 x^{7} + 622 x^{6} + 216 x^{5} + 75 x^{4} + 26 x^{3} + 9 x^{2} + 3 x + 1$$  .

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 31 }$ to precision 9.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 31 }$: $$x^{15} + 30 x^{6} + 29 x^{5} + 12 x^{4} + 13 x^{3} + 23 x^{2} + 25 x + 28$$

Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $$10 a^{14} + 23 a^{13} + 2 a^{12} + 19 a^{11} + 24 a^{10} + 13 a^{9} + 9 a^{8} + 29 a^{7} + 26 a^{6} + 29 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 27 a^{2} + 28 a + 3 + \left(9 a^{14} + 11 a^{13} + 24 a^{12} + 22 a^{11} + 8 a^{10} + 16 a^{9} + 27 a^{8} + 22 a^{7} + 4 a^{6} + 4 a^{5} + 7 a^{4} + 14 a^{3} + 26 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 31 + \left(5 a^{14} + 24 a^{13} + 10 a^{12} + 11 a^{11} + 9 a^{9} + 4 a^{8} + 23 a^{7} + 24 a^{6} + 17 a^{5} + 23 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 31^{2} + \left(16 a^{14} + 21 a^{13} + 9 a^{12} + 5 a^{11} + 15 a^{10} + 20 a^{9} + a^{8} + 3 a^{7} + 16 a^{6} + 7 a^{5} + 24 a^{4} + a^{3} + 22 a^{2} + 24 a + 20\right)\cdot 31^{3} + \left(21 a^{14} + 24 a^{13} + 22 a^{12} + 24 a^{11} + 29 a^{10} + 17 a^{9} + 22 a^{8} + 20 a^{7} + 2 a^{6} + 14 a^{5} + a^{4} + 12 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 31^{4} + \left(16 a^{14} + 28 a^{13} + 23 a^{12} + 7 a^{11} + 27 a^{10} + 29 a^{9} + 15 a^{8} + 18 a^{7} + 21 a^{6} + 22 a^{5} + 8 a^{4} + 7 a^{3} + 20 a^{2} + 27 a + 5\right)\cdot 31^{5} + \left(19 a^{14} + 15 a^{13} + 2 a^{12} + 24 a^{11} + 12 a^{10} + 10 a^{9} + 13 a^{8} + 24 a^{7} + 30 a^{6} + 7 a^{5} + 3 a^{4} + 24 a^{3} + 6 a^{2} + 26 a + 5\right)\cdot 31^{6} + \left(19 a^{14} + 3 a^{13} + 19 a^{12} + 28 a^{11} + 8 a^{10} + 28 a^{9} + 8 a^{8} + 4 a^{6} + 5 a^{5} + 23 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 31^{7} + \left(25 a^{14} + 8 a^{13} + 13 a^{12} + 30 a^{11} + 17 a^{10} + 11 a^{9} + 3 a^{8} + 18 a^{7} + 3 a^{6} + 15 a^{5} + 21 a^{4} + 12 a^{3} + 29 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$$ $r_{ 2 }$ $=$ $$26 a^{14} + 10 a^{13} + 3 a^{12} + 15 a^{11} + 6 a^{10} + 29 a^{9} + 25 a^{8} + 19 a^{7} + 7 a^{6} + 23 a^{5} + 3 a^{4} + 29 a^{3} + 13 a^{2} + 30 a + 20 + \left(12 a^{14} + 4 a^{13} + 12 a^{12} + 6 a^{11} + 9 a^{9} + 22 a^{8} + 7 a^{7} + 2 a^{6} + 30 a^{5} + 9 a^{4} + 24 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 31 + \left(21 a^{14} + 26 a^{13} + 27 a^{12} + 29 a^{11} + 30 a^{10} + 9 a^{9} + 14 a^{8} + 20 a^{7} + 11 a^{6} + 25 a^{5} + 27 a^{4} + 14 a^{3} + 22 a^{2} + 8 a + 22\right)\cdot 31^{2} + \left(13 a^{14} + 26 a^{13} + 24 a^{12} + 11 a^{11} + 25 a^{10} + 17 a^{9} + 29 a^{8} + 9 a^{7} + 24 a^{6} + 17 a^{5} + 3 a^{4} + 18 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 31^{3} + \left(8 a^{13} + 24 a^{12} + 7 a^{11} + 27 a^{10} + 28 a^{9} + 28 a^{8} + 8 a^{7} + 5 a^{6} + 19 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 31^{4} + \left(30 a^{14} + 26 a^{13} + 26 a^{12} + 20 a^{11} + 9 a^{10} + 2 a^{9} + 13 a^{8} + 14 a^{7} + 9 a^{6} + 14 a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 27 a + 19\right)\cdot 31^{5} + \left(23 a^{14} + 17 a^{13} + 26 a^{12} + 19 a^{11} + 5 a^{10} + 13 a^{9} + 16 a^{7} + 14 a^{6} + 25 a^{5} + 3 a^{4} + 16 a^{3} + 15 a^{2} + 30 a + 23\right)\cdot 31^{6} + \left(2 a^{14} + 6 a^{13} + 20 a^{12} + 6 a^{11} + 15 a^{10} + 11 a^{9} + 30 a^{8} + 14 a^{7} + 6 a^{6} + 17 a^{5} + 11 a^{4} + 2 a^{3} + 29 a^{2} + 29 a + 29\right)\cdot 31^{7} + \left(4 a^{14} + 10 a^{13} + 6 a^{12} + 3 a^{11} + 25 a^{10} + 16 a^{9} + 7 a^{8} + 19 a^{7} + a^{6} + 6 a^{5} + 5 a^{4} + 16 a^{3} + 5 a^{2} + 26 a + 1\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$$ $r_{ 3 }$ $=$ $$7 a^{14} + 6 a^{13} + 13 a^{12} + 14 a^{11} + 8 a^{10} + 30 a^{9} + 22 a^{8} + 19 a^{7} + 4 a^{6} + 11 a^{5} + 24 a^{4} + 7 a^{3} + 30 a^{2} + 17 a + 27 + \left(2 a^{14} + 3 a^{13} + 28 a^{12} + 12 a^{11} + 18 a^{10} + a^{9} + 3 a^{7} + 13 a^{6} + 23 a^{5} + 22 a^{4} + 23 a^{3} + 24 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 31 + \left(29 a^{14} + 7 a^{13} + 10 a^{12} + 16 a^{11} + 30 a^{10} + 4 a^{9} + 4 a^{8} + 2 a^{7} + 4 a^{6} + 21 a^{5} + 28 a^{4} + 16 a^{3} + 21 a^{2} + 21 a + 29\right)\cdot 31^{2} + \left(4 a^{14} + 8 a^{13} + 17 a^{12} + 13 a^{11} + 19 a^{10} + 18 a^{9} + 30 a^{8} + 19 a^{7} + 7 a^{6} + 6 a^{5} + 25 a^{4} + 21 a^{3} + 5 a^{2} + 25 a + 1\right)\cdot 31^{3} + \left(3 a^{14} + a^{13} + 8 a^{11} + 29 a^{10} + 12 a^{9} + 17 a^{8} + 10 a^{7} + a^{6} + 10 a^{5} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 30\right)\cdot 31^{4} + \left(10 a^{14} + 25 a^{13} + 3 a^{12} + 8 a^{11} + 25 a^{10} + 2 a^{8} + 6 a^{7} + 18 a^{6} + 12 a^{5} + 16 a^{4} + 30 a^{3} + a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 31^{5} + \left(25 a^{14} + a^{13} + 16 a^{12} + 5 a^{11} + 15 a^{10} + 8 a^{9} + 27 a^{8} + 18 a^{7} + 11 a^{6} + 5 a^{5} + 30 a^{4} + 12 a^{3} + 19 a^{2} + 4 a + 24\right)\cdot 31^{6} + \left(24 a^{14} + 23 a^{13} + 14 a^{12} + 4 a^{11} + 19 a^{10} + 8 a^{9} + 23 a^{8} + 24 a^{6} + 15 a^{5} + 26 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 31^{7} + \left(a^{14} + 14 a^{13} + 26 a^{12} + 11 a^{11} + 10 a^{10} + 10 a^{9} + 16 a^{8} + 5 a^{7} + 2 a^{6} + 30 a^{5} + 23 a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$$ $r_{ 4 }$ $=$ $$28 a^{14} + 21 a^{13} + 25 a^{11} + 27 a^{10} + 12 a^{9} + 14 a^{8} + 6 a^{7} + 23 a^{6} + 18 a^{5} + 10 a^{4} + 16 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 17 + \left(29 a^{14} + 7 a^{13} + 2 a^{12} + 27 a^{11} + 21 a^{10} + 3 a^{9} + 18 a^{8} + 5 a^{7} + 17 a^{6} + 12 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 28 a + 2\right)\cdot 31 + \left(8 a^{14} + 30 a^{13} + 12 a^{12} + 2 a^{11} + 26 a^{10} + 14 a^{9} + 16 a^{8} + 19 a^{7} + 2 a^{5} + 2 a^{4} + 20 a^{3} + 27 a^{2} + 26 a + 20\right)\cdot 31^{2} + \left(24 a^{14} + 4 a^{13} + 26 a^{12} + 18 a^{11} + 8 a^{10} + 20 a^{9} + 6 a^{8} + a^{7} + 24 a^{6} + 17 a^{5} + 17 a^{4} + a^{3} + 29 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 31^{3} + \left(27 a^{14} + 21 a^{13} + 27 a^{12} + 19 a^{11} + 19 a^{10} + 4 a^{9} + 4 a^{8} + 25 a^{7} + 9 a^{6} + 25 a^{5} + 23 a^{4} + 26 a^{3} + 29 a^{2} + 2 a + 23\right)\cdot 31^{4} + \left(a^{14} + 25 a^{13} + 29 a^{12} + 10 a^{11} + 18 a^{10} + 28 a^{9} + 16 a^{8} + 14 a^{7} + 18 a^{6} + 8 a^{5} + 27 a^{4} + 13 a^{3} + 23 a^{2} + 26 a + 8\right)\cdot 31^{5} + \left(28 a^{14} + 20 a^{13} + 3 a^{12} + 20 a^{11} + 29 a^{10} + 28 a^{9} + 18 a^{8} + 18 a^{7} + 24 a^{6} + 9 a^{5} + 20 a^{4} + 4 a^{3} + 20 a^{2} + 20 a + 10\right)\cdot 31^{6} + \left(28 a^{14} + a^{13} + 4 a^{12} + 6 a^{11} + 10 a^{10} + 18 a^{9} + 9 a^{8} + 16 a^{7} + 25 a^{6} + 11 a^{5} + a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 31^{7} + \left(20 a^{14} + 18 a^{13} + 24 a^{12} + 8 a^{11} + 4 a^{10} + 2 a^{9} + 5 a^{8} + 17 a^{7} + 7 a^{6} + 17 a^{5} + 3 a^{4} + 21 a^{3} + 24 a^{2} + 14 a + 21\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$$ $r_{ 5 }$ $=$ $$3 a^{14} + 29 a^{13} + 22 a^{12} + 10 a^{11} + 6 a^{10} + 24 a^{9} + 21 a^{8} + 12 a^{7} + 19 a^{6} + 8 a^{5} + 15 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 13 a + 29 + \left(5 a^{14} + 4 a^{13} + 14 a^{12} + 26 a^{11} + 22 a^{10} + 26 a^{9} + 20 a^{8} + 10 a^{7} + 2 a^{6} + a^{5} + 11 a^{4} + 28 a^{3} + 21 a^{2} + a + 24\right)\cdot 31 + \left(20 a^{14} + 14 a^{13} + 7 a^{12} + 27 a^{11} + 29 a^{10} + 18 a^{9} + 20 a^{8} + 19 a^{7} + 17 a^{6} + 2 a^{5} + 29 a^{4} + 27 a^{3} + 15 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 31^{2} + \left(12 a^{14} + 17 a^{13} + 20 a^{12} + 24 a^{11} + 3 a^{10} + 29 a^{9} + 24 a^{8} + 22 a^{7} + 20 a^{6} + 5 a^{5} + 19 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 12\right)\cdot 31^{3} + \left(28 a^{14} + 11 a^{13} + 12 a^{11} + a^{10} + 27 a^{9} + 3 a^{8} + 8 a^{7} + 4 a^{6} + 30 a^{5} + 28 a^{4} + 3 a^{3} + 17 a^{2} + 20 a + 6\right)\cdot 31^{4} + \left(27 a^{14} + 17 a^{13} + 11 a^{12} + 23 a^{11} + 11 a^{10} + 8 a^{9} + 7 a^{8} + 17 a^{7} + 24 a^{6} + 28 a^{5} + 20 a^{4} + 6 a^{3} + 29 a^{2} + a + 26\right)\cdot 31^{5} + \left(21 a^{14} + 27 a^{13} + 6 a^{12} + 27 a^{11} + 6 a^{10} + 29 a^{9} + 19 a^{8} + 15 a^{7} + 13 a^{6} + 26 a^{5} + 25 a^{4} + 6 a^{3} + 23 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 31^{6} + \left(17 a^{14} + 22 a^{13} + 12 a^{12} + 23 a^{11} + 9 a^{10} + 13 a^{9} + 29 a^{8} + 19 a^{7} + 5 a^{6} + a^{5} + 28 a^{4} + 20 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 31^{7} + \left(4 a^{14} + 4 a^{13} + 30 a^{12} + 10 a^{11} + 6 a^{10} + 12 a^{9} + a^{8} + 29 a^{7} + 2 a^{6} + 2 a^{5} + 15 a^{4} + 12 a^{3} + 7 a^{2} + a + 15\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$$ $r_{ 6 }$ $=$ $$12 a^{14} + 19 a^{13} + 30 a^{12} + 18 a^{11} + a^{10} + 2 a^{9} + 15 a^{7} + 14 a^{6} + 3 a^{5} + 30 a^{4} + 21 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 23 + \left(6 a^{14} + 16 a^{13} + 2 a^{12} + 21 a^{11} + 16 a^{10} + 9 a^{9} + 24 a^{8} + 5 a^{7} + 17 a^{6} + 23 a^{5} + 21 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 21 a + 16\right)\cdot 31 + \left(28 a^{14} + 17 a^{13} + 29 a^{12} + 11 a^{11} + 15 a^{10} + 29 a^{9} + 8 a^{8} + 10 a^{7} + 13 a^{6} + 20 a^{5} + 25 a^{4} + 21 a^{3} + 9 a^{2} + 24 a + 10\right)\cdot 31^{2} + \left(10 a^{14} + 22 a^{13} + 16 a^{12} + 24 a^{11} + 29 a^{10} + 24 a^{9} + 29 a^{8} + 18 a^{7} + 2 a^{6} + 26 a^{5} + 2 a^{4} + 26 a^{2} + 4\right)\cdot 31^{3} + \left(28 a^{14} + 3 a^{13} + 28 a^{12} + 4 a^{11} + 4 a^{10} + 8 a^{9} + 5 a^{8} + a^{7} + 23 a^{6} + 15 a^{5} + 29 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 29\right)\cdot 31^{4} + \left(7 a^{14} + 7 a^{13} + 12 a^{12} + 9 a^{11} + 14 a^{10} + 19 a^{9} + 24 a^{8} + 2 a^{7} + 23 a^{6} + 30 a^{5} + 30 a^{4} + 21 a^{3} + 16 a^{2} + 25 a\right)\cdot 31^{5} + \left(17 a^{14} + 17 a^{13} + 11 a^{12} + 6 a^{11} + 14 a^{10} + 29 a^{9} + 30 a^{8} + 19 a^{7} + 23 a^{6} + a^{4} + 3 a^{3} + 26 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 31^{6} + \left(14 a^{14} + 18 a^{13} + 19 a^{12} + 13 a^{11} + 14 a^{10} + 3 a^{9} + 16 a^{8} + 19 a^{7} + 11 a^{6} + 11 a^{5} + 27 a^{4} + 13 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 31^{7} + \left(a^{13} + 30 a^{12} + 9 a^{11} + 14 a^{10} + 27 a^{9} + 30 a^{8} + 24 a^{7} + 17 a^{6} + 12 a^{5} + a^{4} + 21 a^{3} + 24 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$$ $r_{ 7 }$ $=$ $$15 a^{14} + 6 a^{13} + 14 a^{12} + 16 a^{11} + 7 a^{10} + a^{9} + 4 a^{8} + 2 a^{7} + 14 a^{6} + 3 a^{5} + 6 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 26 a + \left(12 a^{13} + 15 a^{12} + 19 a^{11} + 30 a^{10} + 24 a^{9} + 10 a^{8} + 22 a^{7} + 24 a^{6} + 16 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 20 a^{2} + 2 a\right)\cdot 31 + \left(5 a^{14} + 27 a^{13} + 30 a^{12} + 21 a^{11} + 4 a^{10} + 14 a^{9} + a^{8} + 10 a^{7} + 24 a^{6} + 6 a^{5} + 18 a^{4} + 19 a^{3} + 23 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 31^{2} + \left(27 a^{14} + 20 a^{13} + a^{12} + 28 a^{11} + 11 a^{10} + 15 a^{9} + 29 a^{8} + 10 a^{7} + 15 a^{5} + 21 a^{4} + 30 a^{3} + 22 a^{2} + 2 a + 23\right)\cdot 31^{3} + \left(20 a^{14} + 3 a^{13} + 30 a^{12} + 8 a^{11} + a^{10} + 18 a^{9} + 5 a^{8} + 18 a^{7} + 7 a^{6} + 25 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 31^{4} + \left(5 a^{14} + 30 a^{13} + a^{12} + 24 a^{11} + 20 a^{10} + 17 a^{9} + 23 a^{8} + 24 a^{7} + 30 a^{6} + 30 a^{5} + a^{4} + 14 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 28\right)\cdot 31^{5} + \left(3 a^{14} + 14 a^{13} + 6 a^{12} + 5 a^{11} + 11 a^{10} + 26 a^{9} + 6 a^{8} + a^{7} + 15 a^{6} + 21 a^{5} + 27 a^{4} + 19 a^{3} + 24 a^{2} + 30 a + 7\right)\cdot 31^{6} + \left(10 a^{14} + 13 a^{13} + 23 a^{12} + 28 a^{11} + 23 a^{10} + 19 a^{9} + 23 a^{8} + 4 a^{7} + 18 a^{6} + 2 a^{5} + 25 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 31^{7} + \left(9 a^{14} + 2 a^{13} + 10 a^{12} + 18 a^{11} + 30 a^{10} + 30 a^{9} + 23 a^{8} + 21 a^{7} + 30 a^{6} + 6 a^{5} + 22 a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$$ $r_{ 8 }$ $=$ $$27 a^{14} + a^{13} + 18 a^{12} + 29 a^{10} + 22 a^{9} + 17 a^{8} + 22 a^{7} + 28 a^{6} + 16 a^{5} + 21 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 25 a + 2 + \left(3 a^{14} + 13 a^{13} + 7 a^{12} + 17 a^{11} + 12 a^{10} + 7 a^{9} + 16 a^{8} + 13 a^{7} + 12 a^{6} + 21 a^{5} + 28 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 27\right)\cdot 31 + \left(13 a^{14} + 27 a^{13} + 9 a^{12} + 9 a^{11} + 26 a^{10} + a^{9} + 16 a^{8} + 5 a^{7} + 8 a^{6} + a^{5} + 16 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 20 a + 5\right)\cdot 31^{2} + \left(12 a^{14} + a^{13} + 21 a^{12} + 10 a^{11} + 29 a^{10} + 19 a^{9} + 10 a^{8} + 21 a^{7} + 30 a^{6} + 21 a^{5} + 28 a^{4} + 19 a^{3} + 26 a^{2} + 12 a + 30\right)\cdot 31^{3} + \left(18 a^{14} + 7 a^{13} + 25 a^{12} + 19 a^{11} + 13 a^{10} + 3 a^{9} + 11 a^{8} + 9 a^{7} + 4 a^{6} + 23 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 30 a + 27\right)\cdot 31^{4} + \left(28 a^{14} + 5 a^{13} + 10 a^{12} + 6 a^{11} + 20 a^{10} + 15 a^{9} + 25 a^{8} + 2 a^{7} + a^{6} + 16 a^{5} + 7 a^{4} + 14 a^{3} + 22 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 31^{5} + \left(14 a^{14} + 16 a^{13} + 22 a^{12} + 24 a^{11} + 10 a^{10} + a^{9} + 12 a^{8} + 28 a^{6} + 21 a^{5} + 15 a^{4} + 18 a^{3} + 10 a^{2} + 25 a + 22\right)\cdot 31^{6} + \left(10 a^{14} + 13 a^{13} + 5 a^{12} + 13 a^{11} + 18 a^{9} + 3 a^{8} + 23 a^{7} + 13 a^{6} + 10 a^{4} + 22 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 31^{7} + \left(25 a^{14} + 17 a^{13} + 14 a^{12} + 3 a^{11} + 23 a^{10} + 23 a^{9} + a^{8} + 11 a^{7} + 15 a^{5} + 29 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$$ $r_{ 9 }$ $=$ $$26 a^{14} + 5 a^{13} + 8 a^{12} + 22 a^{11} + 18 a^{10} + 16 a^{9} + 2 a^{7} + 11 a^{6} + 19 a^{5} + 12 a^{4} + 27 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 3 + \left(6 a^{14} + 15 a^{13} + 24 a^{12} + 7 a^{11} + 18 a^{10} + 21 a^{9} + 16 a^{8} + 21 a^{7} + 28 a^{6} + a^{5} + 19 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 30\right)\cdot 31 + \left(7 a^{14} + 8 a^{13} + 16 a^{12} + 27 a^{11} + 21 a^{10} + 19 a^{9} + 8 a^{8} + 25 a^{7} + 25 a^{6} + 8 a^{5} + 3 a^{4} + 22 a^{3} + 6 a^{2} + 27 a\right)\cdot 31^{2} + \left(9 a^{14} + 7 a^{13} + 23 a^{12} + 19 a^{11} + 30 a^{10} + 13 a^{9} + 28 a^{8} + 4 a^{7} + 3 a^{6} + 28 a^{5} + 3 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 28 a + 5\right)\cdot 31^{3} + \left(23 a^{14} + 29 a^{13} + 17 a^{12} + 2 a^{11} + 24 a^{10} + 27 a^{9} + 14 a^{8} + 22 a^{6} + 25 a^{5} + 19 a^{4} + 11 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 31^{4} + \left(12 a^{14} + 12 a^{13} + 5 a^{12} + 22 a^{11} + 29 a^{10} + 22 a^{9} + a^{8} + 13 a^{7} + 4 a^{6} + 9 a^{5} + 20 a^{4} + 21 a^{3} + 29 a^{2} + 26 a + 8\right)\cdot 31^{5} + \left(7 a^{14} + 13 a^{13} + 16 a^{12} + 9 a^{11} + 28 a^{10} + 13 a^{9} + 21 a^{8} + 10 a^{7} + 3 a^{6} + 24 a^{5} + 26 a^{3} + 7 a^{2} + 23 a + 11\right)\cdot 31^{6} + \left(11 a^{14} + 9 a^{13} + 25 a^{12} + 17 a^{11} + 27 a^{10} + 14 a^{9} + 24 a^{8} + 12 a^{7} + 22 a^{6} + 7 a^{5} + 29 a^{4} + 14 a^{3} + 27 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 31^{7} + \left(22 a^{14} + 26 a^{13} + 5 a^{12} + 16 a^{11} + 28 a^{10} + 13 a^{9} + 14 a^{8} + 4 a^{7} + 29 a^{6} + 19 a^{5} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + 22 a^{2} + a + 24\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$$ $r_{ 10 }$ $=$ $$3 a^{14} + 2 a^{13} + 16 a^{12} + 29 a^{11} + 3 a^{9} + 20 a^{8} + 22 a^{7} + 7 a^{6} + 5 a^{5} + 28 a^{4} + 2 a^{2} + 26 a + 13 + \left(3 a^{14} + 5 a^{13} + 3 a^{12} + 20 a^{11} + 19 a^{10} + 22 a^{9} + 13 a^{8} + 10 a^{7} + 23 a^{6} + 30 a^{5} + 17 a^{4} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + 25 a + 22\right)\cdot 31 + \left(23 a^{14} + 28 a^{13} + 12 a^{12} + 30 a^{11} + 18 a^{10} + 17 a^{9} + 10 a^{8} + 9 a^{7} + 6 a^{6} + 6 a^{5} + 8 a^{4} + 20 a^{3} + 14 a^{2} + 23 a + 27\right)\cdot 31^{2} + \left(11 a^{14} + 21 a^{13} + 4 a^{12} + 20 a^{11} + 2 a^{10} + 14 a^{9} + 20 a^{8} + a^{7} + 28 a^{6} + 28 a^{5} + 18 a^{3} + 6 a^{2} + 28 a + 19\right)\cdot 31^{3} + \left(10 a^{14} + 13 a^{13} + 20 a^{11} + 7 a^{10} + 18 a^{9} + 20 a^{8} + 14 a^{7} + 3 a^{6} + 11 a^{5} + 27 a^{4} + 25 a^{3} + 6 a^{2} + 26 a + 2\right)\cdot 31^{4} + \left(2 a^{14} + 27 a^{13} + 17 a^{12} + 27 a^{11} + 25 a^{10} + 28 a^{9} + 7 a^{8} + 9 a^{7} + a^{6} + a^{5} + 9 a^{4} + 16 a^{3} + 19 a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 31^{5} + \left(3 a^{14} + 4 a^{13} + 24 a^{12} + 21 a^{11} + 7 a^{10} + 7 a^{9} + 14 a^{8} + 9 a^{7} + 15 a^{6} + 21 a^{5} + 14 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 29 a + 22\right)\cdot 31^{6} + \left(10 a^{14} + 5 a^{13} + 15 a^{12} + 4 a^{11} + 2 a^{10} + 16 a^{9} + 2 a^{8} + 21 a^{7} + 16 a^{6} + 19 a^{5} + 5 a^{4} + 16 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 26\right)\cdot 31^{7} + \left(22 a^{14} + 21 a^{13} + 24 a^{12} + 20 a^{11} + 10 a^{10} + 12 a^{9} + 26 a^{8} + 13 a^{7} + 10 a^{6} + 17 a^{5} + 20 a^{4} + 21 a^{3} + 29 a^{2} + 19 a + 15\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$$ $r_{ 11 }$ $=$ $$25 a^{14} + 24 a^{13} + 11 a^{12} + 29 a^{11} + 10 a^{10} + 22 a^{9} + 11 a^{8} + 2 a^{7} + 18 a^{6} + 2 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 22 a + 16 + \left(2 a^{14} + 22 a^{13} + 19 a^{12} + 24 a^{11} + 13 a^{10} + 21 a^{9} + 25 a^{8} + a^{7} + 4 a^{6} + 27 a^{4} + 8 a^{2} + 22 a + 7\right)\cdot 31 + \left(24 a^{14} + 2 a^{13} + 25 a^{12} + 13 a^{11} + 22 a^{10} + 13 a^{9} + 13 a^{8} + 18 a^{7} + 18 a^{6} + 25 a^{5} + 4 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 23\right)\cdot 31^{2} + \left(17 a^{14} + 28 a^{13} + 12 a^{12} + 5 a^{11} + 11 a^{10} + 13 a^{9} + 21 a^{8} + 9 a^{7} + 13 a^{6} + 13 a^{5} + 27 a^{4} + 3 a^{3} + 15 a^{2} + 26 a + 16\right)\cdot 31^{3} + \left(5 a^{14} + 11 a^{13} + 20 a^{12} + 22 a^{11} + 8 a^{10} + 7 a^{9} + 11 a^{8} + 18 a^{7} + 21 a^{6} + 17 a^{5} + 21 a^{4} + 27 a^{3} + 4 a^{2} + 27 a + 14\right)\cdot 31^{4} + \left(28 a^{14} + 7 a^{13} + 6 a^{12} + 28 a^{11} + 13 a^{10} + 4 a^{9} + 7 a^{8} + 15 a^{7} + 19 a^{6} + 15 a^{5} + 12 a^{4} + 29 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a\right)\cdot 31^{5} + \left(2 a^{14} + 30 a^{13} + 15 a^{12} + 4 a^{11} + 4 a^{10} + 18 a^{9} + 30 a^{8} + 22 a^{7} + 15 a^{6} + 17 a^{5} + 25 a^{4} + 29 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 31^{6} + \left(29 a^{14} + a^{13} + 7 a^{12} + 27 a^{11} + 10 a^{10} + 28 a^{9} + 27 a^{8} + 5 a^{7} + 9 a^{6} + 23 a^{5} + 10 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 22\right)\cdot 31^{7} + \left(17 a^{14} + 25 a^{13} + 9 a^{12} + 20 a^{11} + 18 a^{10} + 10 a^{9} + 5 a^{7} + 5 a^{6} + 9 a^{5} + 10 a^{4} + 10 a^{3} + 19 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$$ $r_{ 12 }$ $=$ $$25 a^{14} + 7 a^{13} + 16 a^{12} + 6 a^{11} + 10 a^{10} + 2 a^{9} + 13 a^{8} + 15 a^{7} + 20 a^{6} + 11 a^{4} + 23 a^{3} + 18 a^{2} + 23 a + 12 + \left(13 a^{14} + 9 a^{13} + 13 a^{12} + 21 a^{11} + 4 a^{10} + 27 a^{9} + 20 a^{8} + 19 a^{7} + 30 a^{6} + 26 a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{2} + 25\right)\cdot 31 + \left(19 a^{14} + 12 a^{13} + 14 a^{12} + 13 a^{11} + 27 a^{10} + 20 a^{9} + 20 a^{8} + 4 a^{7} + 16 a^{6} + 21 a^{5} + 15 a^{4} + 13 a^{3} + 27 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 31^{2} + \left(a^{14} + 14 a^{13} + 30 a^{11} + 25 a^{10} + a^{9} + 9 a^{8} + 8 a^{7} + 2 a^{6} + 27 a^{5} + 30 a^{4} + 8 a^{3} + 24 a^{2} + 27 a + 20\right)\cdot 31^{3} + \left(24 a^{14} + 13 a^{13} + 14 a^{11} + 28 a^{10} + a^{9} + 24 a^{8} + 4 a^{7} + 19 a^{6} + 5 a^{5} + 22 a^{4} + 30 a^{3} + 23 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 31^{4} + \left(12 a^{14} + 27 a^{13} + 28 a^{11} + 5 a^{10} + 6 a^{9} + 9 a^{8} + 24 a^{7} + 30 a^{6} + a^{5} + 21 a^{4} + 6 a^{3} + 23 a^{2} + 4 a + 27\right)\cdot 31^{5} + \left(18 a^{14} + 21 a^{13} + 22 a^{11} + 5 a^{10} + 22 a^{9} + 17 a^{8} + 14 a^{7} + 8 a^{6} + 18 a^{5} + 12 a^{4} + 28 a^{3} + 18 a^{2} + 26 a\right)\cdot 31^{6} + \left(8 a^{14} + 29 a^{13} + 6 a^{12} + 30 a^{11} + 30 a^{10} + 29 a^{9} + 29 a^{8} + 12 a^{7} + 11 a^{6} + 19 a^{5} + 6 a^{4} + 20 a^{3} + 20 a^{2} + 24 a + 22\right)\cdot 31^{7} + \left(17 a^{14} + 25 a^{13} + 21 a^{12} + 4 a^{11} + 28 a^{10} + 22 a^{9} + 5 a^{8} + 22 a^{7} + 29 a^{6} + 22 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + 24 a^{2} + 29 a\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$$ $r_{ 13 }$ $=$ $$14 a^{14} + 13 a^{13} + 8 a^{12} + 12 a^{11} + 8 a^{10} + 17 a^{9} + 27 a^{8} + 24 a^{7} + 14 a^{6} + 21 a^{5} + 6 a^{4} + 10 a^{3} + 20 a^{2} + 8 a + 18 + \left(27 a^{14} + 18 a^{13} + 6 a^{12} + 17 a^{11} + 28 a^{10} + 6 a^{9} + 20 a^{8} + 29 a^{7} + 25 a^{6} + 19 a^{5} + 27 a^{3} + 6 a^{2} + a + 17\right)\cdot 31 + \left(5 a^{14} + 2 a^{13} + 26 a^{12} + 27 a^{11} + 29 a^{10} + 27 a^{9} + 30 a^{8} + 3 a^{7} + 4 a^{6} + 15 a^{5} + 7 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 23 a + 17\right)\cdot 31^{2} + \left(15 a^{14} + 30 a^{13} + 20 a^{12} + 9 a^{11} + 3 a^{10} + 10 a^{9} + 21 a^{8} + 12 a^{7} + 8 a^{6} + 3 a^{5} + 12 a^{4} + 9 a^{3} + 19 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 31^{3} + \left(27 a^{14} + 29 a^{13} + 23 a^{12} + 27 a^{11} + 30 a^{10} + 5 a^{9} + 13 a^{8} + 27 a^{7} + 12 a^{6} + 27 a^{5} + 27 a^{4} + 26 a^{3} + 30 a^{2} + 27\right)\cdot 31^{4} + \left(2 a^{14} + 20 a^{13} + 15 a^{12} + 3 a^{11} + 28 a^{10} + 7 a^{9} + 7 a^{8} + 3 a^{7} + 6 a^{6} + 11 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 31^{5} + \left(25 a^{14} + 3 a^{13} + 16 a^{12} + 15 a^{11} + 14 a^{10} + 9 a^{9} + 23 a^{8} + 29 a^{7} + 29 a^{6} + 9 a^{5} + 7 a^{4} + 26 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 25\right)\cdot 31^{6} + \left(13 a^{14} + 30 a^{13} + 7 a^{12} + 4 a^{10} + 23 a^{9} + 8 a^{8} + 21 a^{7} + 28 a^{6} + 7 a^{5} + 6 a^{4} + 23 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 31^{7} + \left(2 a^{14} + 10 a^{13} + 14 a^{12} + 26 a^{11} + 2 a^{10} + 25 a^{9} + 26 a^{8} + 2 a^{7} + 21 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 27\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$$ $r_{ 14 }$ $=$ $$10 a^{13} + 16 a^{12} + 8 a^{11} + 19 a^{10} + 7 a^{9} + 5 a^{7} + 19 a^{6} + 11 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 30 a^{2} + 27 a + 16 + \left(4 a^{14} + 12 a^{13} + 2 a^{12} + 14 a^{11} + 14 a^{10} + 17 a^{9} + 5 a^{8} + 13 a^{7} + 3 a^{6} + 6 a^{5} + 15 a^{4} + 17 a^{3} + 19 a^{2} + 8\right)\cdot 31 + \left(30 a^{14} + 2 a^{13} + 4 a^{12} + 24 a^{11} + 24 a^{10} + 7 a^{9} + 17 a^{8} + 29 a^{7} + 22 a^{6} + 19 a^{5} + 7 a^{4} + 19 a^{3} + 24 a^{2} + 14 a + 26\right)\cdot 31^{2} + \left(6 a^{14} + 17 a^{13} + 4 a^{12} + 3 a^{11} + 7 a^{10} + 21 a^{9} + 4 a^{8} + 15 a^{7} + 29 a^{6} + 4 a^{5} + 21 a^{4} + 5 a^{3} + 26 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 31^{3} + \left(27 a^{14} + 16 a^{13} + 10 a^{12} + 2 a^{11} + 23 a^{10} + 5 a^{9} + 27 a^{8} + 2 a^{7} + 19 a^{5} + 7 a^{4} + 24 a^{3} + 25 a^{2} + 29 a + 6\right)\cdot 31^{4} + \left(2 a^{14} + 29 a^{13} + 3 a^{12} + 27 a^{11} + 5 a^{10} + 24 a^{9} + 23 a^{8} + 17 a^{7} + 14 a^{6} + 25 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 15 a^{2} + 30 a + 20\right)\cdot 31^{5} + \left(30 a^{14} + 21 a^{13} + 3 a^{12} + 29 a^{11} + 4 a^{10} + 10 a^{9} + a^{8} + 12 a^{6} + 27 a^{5} + 4 a^{4} + 7 a^{3} + 16 a^{2} + 25 a + 27\right)\cdot 31^{6} + \left(14 a^{14} + 27 a^{13} + 10 a^{12} + a^{11} + 10 a^{10} + 7 a^{9} + 29 a^{8} + 20 a^{7} + 30 a^{6} + 5 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 31^{7} + \left(7 a^{14} + 11 a^{13} + 15 a^{12} + 28 a^{11} + 9 a^{10} + a^{9} + 9 a^{8} + 22 a^{7} + 19 a^{6} + 20 a^{5} + 6 a^{4} + 30 a^{3} + 27 a^{2} + 20\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$$ $r_{ 15 }$ $=$ $$21 a^{14} + 22 a^{13} + 26 a^{12} + 27 a^{11} + 26 a^{10} + 28 a^{9} + 6 a^{8} + 6 a^{7} + 22 a^{6} + 29 a^{5} + 21 a^{4} + 8 a^{3} + 21 a^{2} + 4 a + 19 + \left(26 a^{14} + 21 a^{13} + 6 a^{12} + 20 a^{11} + 13 a^{10} + 20 a^{9} + 24 a^{8} + 8 a^{7} + 2 a^{6} + 23 a^{5} + 29 a^{4} + 28 a^{3} + 17 a^{2} + 25 a + 25\right)\cdot 31 + \left(7 a^{14} + 7 a^{13} + 9 a^{12} + 5 a^{11} + 26 a^{10} + 30 a^{9} + 17 a^{8} + 3 a^{7} + 21 a^{6} + 8 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 31^{2} + \left(17 a^{14} + 3 a^{13} + 15 a^{12} + 17 a^{11} + 4 a^{10} + a^{9} + 30 a^{8} + 23 a^{7} + 22 a^{6} + 4 a^{5} + 17 a^{4} + 6 a^{3} + 20 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 31^{3} + \left(18 a^{14} + 30 a^{13} + 2 a^{12} + 23 a^{11} + 2 a^{10} + 21 a^{9} + 20 a^{8} + 11 a^{7} + 10 a^{6} + 7 a^{5} + 19 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 28 a + 25\right)\cdot 31^{4} + \left(11 a^{12} + 3 a^{11} + 25 a^{10} + 14 a^{9} + 25 a^{8} + 20 a^{7} + 8 a^{6} + 29 a^{5} + 4 a^{4} + 13 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 31^{5} + \left(25 a^{14} + 18 a^{13} + 9 a^{12} + 13 a^{11} + 25 a^{10} + 26 a^{9} + 9 a^{8} + 27 a^{7} + 17 a^{6} + 22 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 31^{6} + \left(7 a^{14} + 26 a^{13} + 11 a^{12} + 2 a^{11} + 17 a^{10} + 29 a^{9} + 12 a^{8} + 22 a^{7} + 6 a^{6} + 21 a^{5} + 3 a^{4} + 19 a^{3} + 9 a^{2} + 26 a + 13\right)\cdot 31^{7} + \left(7 a^{14} + 6 a^{13} + 5 a^{12} + 15 a^{11} + 16 a^{10} + 18 a^{9} + 8 a^{8} + 29 a^{7} + 9 a^{6} + 9 a^{5} + 25 a^{4} + 21 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$$ $r_{ 16 }$ $=$ $$27 a^{14} + 6 a^{13} + 16 a^{12} + 24 a^{11} + 3 a^{10} + 18 a^{9} + 27 a^{8} + 7 a^{7} + 14 a^{6} + 24 a^{5} + 14 a^{4} + 28 a^{3} + 26 a^{2} + 26 a + 15 + \left(7 a^{14} + 26 a^{13} + 29 a^{12} + 16 a^{11} + 8 a^{10} + 27 a^{9} + 6 a^{8} + 5 a^{7} + 29 a^{6} + 5 a^{5} + 18 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 19\right)\cdot 31 + \left(13 a^{14} + 3 a^{13} + 10 a^{12} + 10 a^{11} + 14 a^{9} + 18 a^{8} + a^{7} + 15 a^{6} + 17 a^{5} + 25 a^{4} + 16 a^{3} + 17 a^{2} + 13 a + 28\right)\cdot 31^{2} + \left(28 a^{14} + 2 a^{13} + 20 a^{12} + 14 a^{11} + 3 a^{10} + 4 a^{9} + 3 a^{8} + 13 a^{7} + 20 a^{6} + 20 a^{4} + 14 a^{3} + 15 a^{2} + 26 a + 22\right)\cdot 31^{3} + \left(17 a^{14} + 18 a^{13} + 14 a^{11} + 16 a^{10} + 19 a^{9} + 28 a^{8} + 27 a^{7} + 21 a^{6} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + 30 a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 31^{4} + \left(15 a^{14} + 17 a^{13} + 13 a^{12} + 10 a^{11} + 4 a^{10} + 12 a^{9} + 9 a^{8} + 22 a^{7} + 29 a^{6} + 2 a^{5} + 24 a^{4} + 4 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 31^{5} + \left(26 a^{14} + 23 a^{13} + 18 a^{12} + 26 a^{11} + 9 a^{10} + 28 a^{9} + 8 a^{8} + 14 a^{7} + 22 a^{6} + 12 a^{5} + 25 a^{4} + 27 a^{3} + 6 a^{2}\right)\cdot 31^{6} + \left(18 a^{14} + 3 a^{13} + 11 a^{12} + 19 a^{11} + 18 a^{10} + 11 a^{9} + 25 a^{8} + 6 a^{7} + 19 a^{6} + 12 a^{5} + 28 a^{4} + 10 a^{3} + 18 a^{2} + 20 a + 4\right)\cdot 31^{7} + \left(16 a^{14} + 26 a^{13} + 6 a^{12} + 22 a^{11} + 22 a^{10} + 27 a^{9} + 5 a^{8} + 29 a^{6} + 9 a^{5} + 26 a^{4} + 3 a^{2} + 28 a + 18\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$$ $r_{ 17 }$ $=$ $$18 a^{14} + 10 a^{13} + 7 a^{12} + 2 a^{11} + a^{10} + 25 a^{9} + a^{8} + 21 a^{7} + 17 a^{6} + 25 a^{5} + 7 a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 21 a + 30 + \left(16 a^{14} + 14 a^{13} + 23 a^{12} + 13 a^{11} + 18 a^{9} + 14 a^{8} + 28 a^{7} + 23 a^{6} + 24 a^{5} + 12 a^{4} + 19 a^{3} + 14 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 31 + \left(5 a^{14} + 23 a^{13} + 12 a^{12} + 22 a^{11} + a^{10} + 2 a^{9} + 5 a^{8} + 18 a^{7} + 20 a^{6} + 11 a^{5} + 9 a^{4} + 28 a^{3} + 6 a^{2} + 25 a + 3\right)\cdot 31^{2} + \left(2 a^{14} + 22 a^{13} + a^{12} + 12 a^{10} + 12 a^{9} + 5 a^{8} + 4 a^{7} + 24 a^{6} + 18 a^{5} + 17 a^{4} + 10 a^{3} + 30 a^{2} + 5 a + 29\right)\cdot 31^{3} + \left(12 a^{14} + 25 a^{13} + 8 a^{12} + 25 a^{11} + 16 a^{9} + 5 a^{8} + 2 a^{7} + 23 a^{6} + 17 a^{5} + 15 a^{3} + 27 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 31^{4} + \left(17 a^{14} + 15 a^{13} + 27 a^{12} + 30 a^{11} + 23 a^{10} + 23 a^{9} + 8 a^{8} + 26 a^{7} + 16 a^{6} + 10 a^{5} + 2 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 30\right)\cdot 31^{5} + \left(20 a^{14} + 18 a^{13} + 21 a^{12} + 9 a^{11} + 11 a^{10} + 21 a^{9} + 29 a^{8} + 21 a^{7} + 17 a^{6} + 27 a^{5} + 2 a^{4} + 21 a + 17\right)\cdot 31^{6} + \left(24 a^{14} + 4 a^{13} + 30 a^{12} + 9 a^{11} + 13 a^{10} + 19 a^{9} + 23 a^{8} + 10 a^{7} + 20 a^{6} + 23 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 20 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 31^{7} + \left(18 a^{13} + 17 a^{12} + 20 a^{11} + 7 a^{10} + 6 a^{9} + 25 a^{8} + 14 a^{7} + 25 a^{6} + 13 a^{5} + 24 a^{4} + 6 a^{3} + 25 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$$ $r_{ 18 }$ $=$ $$22 a^{14} + 22 a^{13} + a^{12} + 19 a^{11} + 3 a^{10} + 17 a^{9} + 17 a^{8} + 10 a^{7} + 25 a^{6} + 10 a^{5} + 22 a^{4} + 25 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 22 + \left(25 a^{14} + 6 a^{13} + 26 a^{12} + 12 a^{11} + 24 a^{10} + 18 a^{9} + 19 a^{8} + 20 a^{7} + 26 a^{6} + 26 a^{5} + a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 31 + \left(24 a^{14} + 14 a^{13} + 20 a^{12} + 16 a^{11} + 19 a^{10} + 18 a^{9} + 5 a^{8} + a^{7} + 16 a^{6} + 7 a^{5} + 3 a^{4} + 20 a^{3} + 25 a^{2} + 10 a\right)\cdot 31^{2} + \left(26 a^{14} + 3 a^{13} + 18 a^{12} + 19 a^{11} + 23 a^{10} + 16 a^{9} + 26 a^{8} + 11 a^{7} + 4 a^{6} + 18 a^{5} + 11 a^{4} + 28 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 31^{3} + \left(5 a^{14} + 6 a^{13} + 5 a^{12} + 6 a^{11} + 6 a^{10} + 17 a^{9} + 20 a^{8} + 4 a^{7} + 29 a^{6} + 20 a^{5} + 9 a^{4} + 25 a^{3} + 21 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 31^{4} + \left(21 a^{14} + 29 a^{13} + 19 a^{12} + 11 a^{11} + 29 a^{10} + 14 a^{9} + 21 a^{8} + 14 a^{7} + 19 a^{6} + 22 a^{5} + 3 a^{4} + 26 a^{3} + 21 a^{2} + 10 a + 21\right)\cdot 31^{5} + \left(16 a^{14} + 23 a^{13} + 15 a^{12} + 4 a^{11} + 17 a^{10} + 3 a^{9} + 12 a^{8} + 24 a^{7} + 13 a^{6} + 20 a^{5} + 8 a^{4} + 22 a^{3} + 14 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 31^{6} + \left(18 a^{14} + 10 a^{13} + 7 a^{12} + 11 a^{11} + 5 a^{10} + 8 a^{9} + 4 a^{8} + 25 a^{7} + 24 a^{6} + 8 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 31^{7} + \left(9 a^{14} + 11 a^{13} + 7 a^{12} + 13 a^{11} + 12 a^{10} + a^{9} + 26 a^{8} + 19 a^{7} + 5 a^{6} + a^{5} + 26 a^{4} + 19 a^{3} + 13 a^{2} + a\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$$ $r_{ 19 }$ $=$ $$20 a^{14} + 24 a^{13} + 30 a^{12} + 15 a^{11} + 26 a^{10} + 8 a^{9} + 10 a^{8} + 7 a^{7} + 20 a^{6} + 12 a^{5} + 4 a^{4} + 17 a^{3} + 27 a^{2} + 11 a + 29 + \left(26 a^{14} + 5 a^{13} + 7 a^{12} + 25 a^{11} + 18 a^{10} + 30 a^{9} + 4 a^{8} + 26 a^{7} + 24 a^{6} + 24 a^{5} + 18 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 31 + \left(12 a^{14} + 7 a^{13} + 22 a^{12} + 30 a^{11} + 30 a^{10} + 14 a^{9} + 13 a^{8} + 14 a^{7} + 28 a^{6} + 22 a^{5} + 26 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 30 a + 3\right)\cdot 31^{2} + \left(22 a^{14} + 8 a^{13} + 7 a^{12} + 22 a^{11} + 20 a^{10} + 27 a^{9} + 22 a^{8} + 30 a^{7} + 30 a^{6} + 25 a^{5} + 11 a^{4} + 12 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 31^{3} + \left(22 a^{14} + 20 a^{13} + 6 a^{12} + 2 a^{11} + 15 a^{10} + 8 a^{9} + 13 a^{8} + 2 a^{7} + 18 a^{6} + 12 a^{5} + 9 a^{4} + 15 a^{3} + 20 a^{2} + 29 a + 27\right)\cdot 31^{4} + \left(27 a^{14} + 26 a^{13} + 18 a^{12} + 21 a^{10} + 29 a^{9} + 13 a^{8} + 4 a^{7} + 30 a^{6} + 14 a^{5} + 22 a^{4} + 2 a^{3} + 25 a^{2} + 9 a\right)\cdot 31^{5} + \left(12 a^{14} + 30 a^{13} + 2 a^{12} + a^{11} + 8 a^{10} + 2 a^{9} + 11 a^{8} + 29 a^{7} + 17 a^{6} + 18 a^{5} + 19 a^{4} + 24 a^{3} + 26 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 31^{6} + \left(10 a^{14} + 3 a^{13} + 2 a^{12} + 20 a^{11} + 7 a^{10} + 24 a^{9} + 4 a^{8} + 3 a^{7} + 29 a^{6} + 27 a^{5} + 25 a^{4} + 26 a^{3} + 23 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 31^{7} + \left(27 a^{14} + 11 a^{13} + 6 a^{12} + 8 a^{11} + 8 a^{10} + 7 a^{9} + 6 a^{8} + 29 a^{7} + 30 a^{6} + 9 a^{5} + 9 a^{4} + 17 a^{3} + 18 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$$ $r_{ 20 }$ $=$ $$11 a^{14} + 2 a^{13} + 12 a^{12} + 11 a^{11} + 3 a^{10} + 24 a^{9} + 20 a^{8} + 27 a^{7} + 2 a^{6} + 10 a^{5} + 7 a^{4} + 30 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 12 + \left(21 a^{14} + 24 a^{13} + 18 a^{12} + 29 a^{11} + 30 a^{10} + 18 a^{9} + 20 a^{8} + 8 a^{7} + 29 a^{6} + 29 a^{5} + 15 a^{4} + 28 a^{3} + 12 a^{2} + 21 a + 24\right)\cdot 31 + \left(30 a^{14} + 19 a^{13} + 19 a^{12} + 20 a^{11} + 17 a^{10} + 28 a^{9} + 8 a^{8} + 18 a^{7} + 17 a^{6} + 28 a^{5} + 22 a^{4} + 28 a^{3} + 8 a^{2} + 30 a + 6\right)\cdot 31^{2} + \left(3 a^{14} + 26 a^{13} + 25 a^{12} + 5 a^{11} + 19 a^{10} + 3 a^{9} + 12 a^{8} + 16 a^{7} + 13 a^{6} + 19 a^{5} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 31^{3} + \left(2 a^{14} + 20 a^{13} + 23 a^{12} + 6 a^{11} + 28 a^{10} + 27 a^{9} + 4 a^{8} + 12 a^{7} + 18 a^{6} + 18 a^{5} + 21 a^{4} + 23 a^{3} + 23 a^{2} + 24 a + 5\right)\cdot 31^{4} + \left(21 a^{14} + 10 a^{13} + 18 a^{12} + 11 a^{11} + 18 a^{10} + 3 a^{9} + 22 a^{8} + 2 a^{7} + 6 a^{6} + 5 a^{5} + 28 a^{4} + 10 a^{3} + 29 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 31^{5} + \left(20 a^{14} + 18 a^{13} + 30 a^{12} + 16 a^{11} + 28 a^{10} + 30 a^{9} + 10 a^{8} + 29 a^{7} + 12 a^{6} + 20 a^{5} + 4 a^{4} + 5 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 31^{6} + \left(21 a^{14} + 19 a^{13} + 28 a^{12} + 17 a^{11} + 23 a^{10} + 18 a^{9} + 9 a^{8} + 12 a^{7} + 30 a^{6} + 30 a^{5} + 22 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 20 a + 6\right)\cdot 31^{7} + \left(21 a^{14} + 10 a^{13} + 15 a^{12} + 24 a^{11} + 14 a^{10} + 6 a^{9} + 15 a^{8} + 21 a^{7} + 26 a^{6} + a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 20 a^{2} + 7 a\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$$ $r_{ 21 }$ $=$ $$14 a^{14} + 16 a^{13} + 7 a^{12} + 21 a^{11} + 23 a^{10} + 11 a^{9} + 15 a^{8} + 16 a^{7} + 10 a^{6} + 5 a^{5} + 28 a^{4} + 21 a^{3} + 9 a^{2} + 28 a + \left(7 a^{13} + 21 a^{12} + 23 a^{11} + 14 a^{10} + 2 a^{9} + 27 a^{8} + 21 a^{7} + 13 a^{6} + 12 a^{5} + 12 a^{4} + 26 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 22\right)\cdot 31 + \left(2 a^{14} + 23 a^{12} + 3 a^{11} + 13 a^{10} + 17 a^{9} + 20 a^{8} + 17 a^{7} + 19 a^{6} + 8 a^{5} + 15 a^{4} + 26 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 31^{2} + \left(4 a^{14} + 10 a^{13} + 5 a^{12} + 24 a^{10} + 5 a^{9} + 19 a^{8} + 17 a^{7} + 25 a^{6} + 30 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 14 a + 24\right)\cdot 31^{3} + \left(24 a^{14} + 18 a^{13} + 7 a^{12} + 14 a^{11} + 24 a^{10} + 7 a^{9} + 27 a^{8} + 20 a^{7} + 14 a^{6} + 22 a^{5} + 7 a^{4} + 10 a^{3} + 25 a^{2} + 3 a\right)\cdot 31^{4} + \left(25 a^{14} + 13 a^{13} + 29 a^{12} + 30 a^{11} + 7 a^{10} + 26 a^{9} + 15 a^{8} + 17 a^{7} + 23 a^{6} + 28 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 28 a + 11\right)\cdot 31^{5} + \left(2 a^{14} + 22 a^{13} + 20 a^{12} + 24 a^{11} + 8 a^{10} + 13 a^{9} + 24 a^{8} + 23 a^{7} + 17 a^{6} + 9 a^{4} + 19 a^{3} + 7 a^{2} + 24 a + 14\right)\cdot 31^{6} + \left(7 a^{14} + 26 a^{13} + 7 a^{12} + 25 a^{11} + 24 a^{10} + 22 a^{9} + 19 a^{8} + 18 a^{7} + 16 a^{6} + 4 a^{5} + 19 a^{4} + 21 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 24\right)\cdot 31^{7} + \left(6 a^{14} + 29 a^{13} + 23 a^{12} + 15 a^{11} + 18 a^{10} + 23 a^{9} + 9 a^{8} + 14 a^{7} + 19 a^{6} + 23 a^{5} + 2 a^{4} + 28 a^{3} + 27 a^{2} + a + 18\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$$ $r_{ 22 }$ $=$ $$6 a^{14} + 14 a^{13} + 30 a^{12} + 17 a^{11} + 2 a^{10} + 22 a^{9} + 18 a^{8} + 11 a^{7} + 23 a^{6} + 20 a^{5} + 13 a^{4} + 30 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 3 + \left(13 a^{14} + 9 a^{13} + 14 a^{12} + 26 a^{11} + 12 a^{10} + 17 a^{9} + 5 a^{8} + 29 a^{7} + 27 a^{6} + 29 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 25 a^{2} + 29 a + 28\right)\cdot 31 + \left(12 a^{14} + 16 a^{13} + 12 a^{12} + 23 a^{11} + 10 a^{10} + 2 a^{9} + 24 a^{8} + 27 a^{7} + 22 a^{6} + 20 a^{5} + 8 a^{4} + 29 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 25\right)\cdot 31^{2} + \left(22 a^{14} + 30 a^{13} + 26 a^{12} + 27 a^{11} + 28 a^{10} + 8 a^{9} + 16 a^{8} + 6 a^{7} + 29 a^{6} + 29 a^{5} + 10 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 24 a + 30\right)\cdot 31^{3} + \left(10 a^{14} + 20 a^{12} + 13 a^{11} + 9 a^{10} + 24 a^{9} + 10 a^{8} + 24 a^{7} + 10 a^{6} + 5 a^{5} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + 23 a + 17\right)\cdot 31^{4} + \left(15 a^{14} + 5 a^{13} + 27 a^{12} + 6 a^{11} + 19 a^{10} + 28 a^{8} + 20 a^{7} + 17 a^{6} + 4 a^{5} + 29 a^{4} + 17 a^{3} + 22 a^{2} + 26 a + 14\right)\cdot 31^{5} + \left(13 a^{14} + 18 a^{13} + 27 a^{12} + 9 a^{11} + 21 a^{10} + 29 a^{9} + 11 a^{8} + 15 a^{7} + 9 a^{6} + 16 a^{5} + 13 a^{4} + 26 a^{3} + 26 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 31^{6} + \left(7 a^{14} + 4 a^{13} + 14 a^{12} + 29 a^{11} + 21 a^{10} + 24 a^{9} + 3 a^{8} + 29 a^{7} + 20 a^{6} + 5 a^{5} + 22 a^{4} + 3 a^{3} + 27 a^{2} + 28 a + 29\right)\cdot 31^{7} + \left(6 a^{14} + 24 a^{13} + 25 a^{12} + 28 a^{11} + 23 a^{10} + 6 a^{9} + 15 a^{8} + 16 a^{7} + 12 a^{6} + 19 a^{5} + 20 a^{4} + 21 a^{3} + 9 a^{2} + 9\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$$ $r_{ 23 }$ $=$ $$19 a^{14} + 18 a^{13} + a^{12} + 3 a^{11} + 24 a^{10} + 4 a^{9} + 25 a^{6} + 9 a^{5} + 12 a^{4} + 21 a^{3} + 28 a^{2} + 3 a + 13 + \left(a^{14} + 13 a^{13} + 10 a^{12} + 13 a^{11} + 26 a^{10} + 22 a^{9} + 2 a^{8} + 23 a^{7} + 29 a^{6} + 16 a^{5} + 8 a^{4} + 25 a^{3} + 9 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 31 + \left(4 a^{14} + 24 a^{13} + 2 a^{12} + 23 a^{11} + 4 a^{10} + a^{9} + 17 a^{8} + 7 a^{7} + 20 a^{6} + 15 a^{5} + 13 a^{4} + 8 a^{3} + 28 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 31^{2} + \left(7 a^{14} + 10 a^{13} + 29 a^{12} + 13 a^{11} + 10 a^{10} + 4 a^{7} + 20 a^{6} + 7 a^{5} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + 29 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 31^{3} + \left(17 a^{14} + 24 a^{13} + 23 a^{12} + 26 a^{11} + 27 a^{10} + 28 a^{9} + 17 a^{8} + 25 a^{7} + 30 a^{6} + 12 a^{5} + 6 a^{4} + 5 a^{3} + 28 a^{2} + 15 a + 20\right)\cdot 31^{4} + \left(20 a^{14} + 24 a^{13} + 21 a^{12} + 21 a^{11} + 28 a^{10} + 26 a^{9} + 8 a^{8} + 24 a^{7} + 18 a^{6} + 25 a^{5} + 9 a^{4} + 18 a^{3} + a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 31^{5} + \left(26 a^{14} + 20 a^{13} + 5 a^{12} + 13 a^{11} + 26 a^{10} + 22 a^{9} + 2 a^{8} + 18 a^{7} + 2 a^{6} + 24 a^{5} + 26 a^{4} + 20 a^{3} + 23 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 31^{6} + \left(13 a^{14} + 18 a^{13} + 5 a^{12} + 15 a^{11} + 13 a^{10} + 28 a^{9} + 3 a^{8} + 22 a^{7} + 30 a^{6} + 11 a^{5} + 20 a^{4} + 13 a^{3} + 16 a^{2} + 11 a + 19\right)\cdot 31^{7} + \left(24 a^{14} + 4 a^{13} + 26 a^{12} + 22 a^{11} + 8 a^{10} + 19 a^{9} + 15 a^{8} + 30 a^{7} + 15 a^{6} + 17 a^{5} + 29 a^{4} + 17 a^{3} + 19 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$$ $r_{ 24 }$ $=$ $$10 a^{14} + 14 a^{13} + 19 a^{12} + 25 a^{11} + 21 a^{10} + 16 a^{9} + 30 a^{8} + 7 a^{7} + 13 a^{6} + 13 a^{5} + 15 a^{4} + 15 a^{3} + 21 a^{2} + 9 a + 12 + \left(a^{14} + 12 a^{13} + 15 a^{12} + 7 a^{11} + 18 a^{10} + 27 a^{9} + 5 a^{7} + 27 a^{6} + 4 a^{5} + a^{4} + 28 a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 29\right)\cdot 31 + \left(14 a^{14} + 7 a^{13} + 28 a^{12} + 22 a^{11} + 11 a^{10} + 16 a^{9} + 24 a^{8} + 6 a^{7} + 3 a^{6} + 16 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 28 a^{2} + 25 a + 13\right)\cdot 31^{2} + \left(8 a^{14} + 17 a^{13} + 24 a^{12} + 15 a^{11} + 12 a^{10} + 15 a^{9} + 30 a^{8} + 21 a^{7} + 24 a^{6} + 23 a^{5} + 24 a^{4} + 2 a^{3} + 28 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 31^{3} + \left(16 a^{14} + 20 a^{13} + 20 a^{12} + 2 a^{11} + 26 a^{10} + 26 a^{9} + 8 a^{8} + 18 a^{7} + 25 a^{6} + 12 a^{5} + 29 a^{4} + 10 a^{3} + 19 a^{2} + 17 a + 25\right)\cdot 31^{4} + \left(25 a^{14} + 25 a^{12} + 17 a^{11} + 30 a^{10} + 26 a^{9} + 4 a^{8} + 25 a^{7} + 30 a^{6} + 18 a^{5} + 7 a^{4} + 29 a + 24\right)\cdot 31^{5} + \left(16 a^{14} + 20 a^{13} + 26 a^{12} + 7 a^{11} + 14 a^{10} + 17 a^{9} + 19 a^{8} + 26 a^{7} + 23 a^{6} + 13 a^{5} + 10 a^{4} + 12 a^{3} + 22 a^{2} + 30 a + 18\right)\cdot 31^{6} + \left(7 a^{14} + 18 a^{13} + 10 a^{12} + 25 a^{11} + 11 a^{10} + 26 a^{9} + 23 a^{8} + 6 a^{7} + 16 a^{6} + 18 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + 14 a^{2} + 22 a + 14\right)\cdot 31^{7} + \left(3 a^{14} + 14 a^{13} + 11 a^{12} + 4 a^{11} + 26 a^{10} + a^{9} + 23 a^{8} + 18 a^{7} + 5 a^{6} + 22 a^{5} + 24 a^{4} + 2 a^{3} + 28 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$$ $r_{ 25 }$ $=$ $$29 a^{14} + 7 a^{13} + 23 a^{12} + 21 a^{11} + 22 a^{10} + 11 a^{9} + 22 a^{8} + 7 a^{7} + 23 a^{6} + a^{5} + 28 a^{4} + 4 a^{3} + 28 a^{2} + 7 a + 18 + \left(22 a^{14} + 19 a^{13} + 19 a^{12} + 18 a^{11} + 28 a^{10} + 28 a^{9} + 2 a^{8} + 9 a^{7} + 28 a^{6} + 7 a^{5} + 2 a^{4} + 14 a^{3} + 16 a^{2} + 19 a + 30\right)\cdot 31 + \left(28 a^{14} + 23 a^{13} + 18 a^{12} + 5 a^{11} + 26 a^{10} + 18 a^{9} + 18 a^{8} + 4 a^{7} + 5 a^{6} + 29 a^{5} + 19 a^{4} + 23 a^{3} + 14 a^{2} + 26 a + 25\right)\cdot 31^{2} + \left(30 a^{14} + 3 a^{13} + 18 a^{12} + 16 a^{11} + 27 a^{10} + 17 a^{9} + 8 a^{8} + 6 a^{7} + 16 a^{6} + 3 a^{5} + a^{4} + 23 a^{3} + 27 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 31^{3} + \left(24 a^{14} + 4 a^{13} + 20 a^{12} + 26 a^{11} + 8 a^{10} + a^{9} + 16 a^{8} + 10 a^{7} + 21 a^{6} + 13 a^{5} + 15 a^{4} + 18 a^{3} + 22 a^{2} + 6 a + 23\right)\cdot 31^{4} + \left(a^{14} + 8 a^{13} + 26 a^{12} + a^{11} + 21 a^{10} + 24 a^{9} + 6 a^{8} + 17 a^{7} + 29 a^{6} + 9 a^{5} + 3 a^{4} + 24 a^{3} + 28 a^{2} + 7 a + 21\right)\cdot 31^{5} + \left(7 a^{14} + 10 a^{13} + 13 a^{12} + 16 a^{11} + 29 a^{10} + 5 a^{9} + 2 a^{7} + 16 a^{6} + 18 a^{5} + 11 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 31^{6} + \left(21 a^{13} + 2 a^{11} + 25 a^{10} + 18 a^{9} + 29 a^{8} + 20 a^{7} + a^{6} + 21 a^{5} + 7 a^{4} + 23 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 31^{7} + \left(7 a^{14} + 2 a^{13} + 9 a^{12} + 16 a^{11} + 25 a^{10} + 7 a^{9} + 7 a^{8} + 30 a^{7} + 12 a^{6} + 28 a^{5} + 16 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$$ $r_{ 26 }$ $=$ $$21 a^{14} + 6 a^{13} + 16 a^{12} + 2 a^{11} + 15 a^{10} + 27 a^{9} + 8 a^{8} + 12 a^{7} + 4 a^{6} + 11 a^{5} + 18 a^{4} + 30 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 1 + \left(21 a^{14} + 18 a^{13} + 22 a^{12} + 7 a^{11} + 6 a^{10} + 15 a^{9} + 6 a^{8} + 23 a^{7} + 15 a^{6} + 9 a^{5} + 9 a^{4} + 27 a^{3} + 4 a^{2} + 28 a + 1\right)\cdot 31 + \left(5 a^{14} + 30 a^{13} + 27 a^{12} + 14 a^{11} + 13 a^{9} + 7 a^{8} + 5 a^{7} + 27 a^{6} + 20 a^{5} + 14 a^{4} + 21 a^{3} + 3 a^{2} + 22 a + 25\right)\cdot 31^{2} + \left(27 a^{14} + 23 a^{13} + 19 a^{12} + 5 a^{11} + 20 a^{10} + 2 a^{9} + 3 a^{8} + 23 a^{7} + 11 a^{6} + 16 a^{5} + 27 a^{4} + 26 a^{3} + 30 a^{2} + 24 a + 24\right)\cdot 31^{3} + \left(17 a^{14} + 29 a^{13} + 19 a^{12} + 30 a^{11} + 30 a^{10} + 22 a^{9} + 19 a^{8} + 4 a^{7} + 3 a^{6} + 29 a^{5} + 28 a^{4} + 11 a^{3} + 22 a^{2} + 20 a + 4\right)\cdot 31^{4} + \left(4 a^{14} + 2 a^{13} + 20 a^{12} + a^{11} + 3 a^{10} + 15 a^{9} + 28 a^{8} + 17 a^{7} + 10 a^{6} + 25 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + 30 a^{2} + 25 a + 28\right)\cdot 31^{5} + \left(3 a^{14} + 5 a^{13} + 30 a^{12} + 2 a^{11} + 17 a^{10} + 24 a^{9} + 18 a^{8} + 9 a^{7} + 13 a^{6} + 26 a^{5} + 9 a^{4} + 6 a^{3} + 26 a^{2} + 4 a + 29\right)\cdot 31^{6} + \left(3 a^{14} + 26 a^{13} + 4 a^{12} + 24 a^{11} + 17 a^{10} + 15 a^{9} + 24 a^{8} + 25 a^{7} + 26 a^{6} + 21 a^{5} + 15 a^{4} + 20 a^{3} + a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 31^{7} + \left(25 a^{14} + 29 a^{13} + 25 a^{12} + 25 a^{11} + 5 a^{10} + 9 a^{9} + 27 a^{8} + 24 a^{7} + 16 a^{6} + 10 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 23 a^{2} + 17\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$$ $r_{ 27 }$ $=$ $$2 a^{14} + 30 a^{13} + 11 a^{12} + 3 a^{11} + 17 a^{10} + 11 a^{9} + a^{8} + 24 a^{7} + 24 a^{6} + 9 a^{5} + 4 a^{4} + 26 a^{3} + 13 a^{2} + 19 a + 6 + \left(28 a^{14} + 4 a^{13} + 5 a^{12} + 10 a^{11} + 16 a^{10} + 12 a^{9} + 28 a^{8} + 2 a^{7} + 4 a^{6} + 10 a^{5} + 21 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 29\right)\cdot 31 + \left(12 a^{14} + 30 a^{13} + 16 a^{11} + 14 a^{10} + 12 a^{9} + 20 a^{8} + 17 a^{7} + 6 a^{6} + 30 a^{5} + 30 a^{4} + 19 a^{3} + 5 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 31^{2} + \left(15 a^{14} + 2 a^{13} + 8 a^{12} + a^{11} + 8 a^{10} + 15 a^{9} + 30 a^{8} + 5 a^{7} + 17 a^{6} + 30 a^{5} + 20 a^{4} + 24 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 31^{3} + \left(28 a^{14} + 17 a^{13} + 17 a^{12} + 2 a^{11} + 8 a^{10} + 7 a^{9} + 4 a^{8} + 18 a^{7} + 5 a^{6} + 5 a^{5} + 25 a^{4} + 15 a^{3} + 13 a^{2} + 29 a + 16\right)\cdot 31^{4} + \left(15 a^{14} + 5 a^{13} + 14 a^{12} + 23 a^{11} + 2 a^{10} + 8 a^{9} + 18 a^{8} + 11 a^{7} + 12 a^{6} + 18 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 28 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 31^{5} + \left(18 a^{14} + 21 a^{13} + 29 a^{12} + 9 a^{11} + 20 a^{10} + 21 a^{9} + 9 a^{8} + 16 a^{7} + 4 a^{6} + 23 a^{5} + 25 a^{4} + 29 a^{3} + 16 a^{2} + 20 a + 27\right)\cdot 31^{6} + \left(9 a^{14} + 24 a^{13} + 14 a^{12} + 21 a^{11} + 5 a^{10} + 6 a^{9} + 4 a^{8} + a^{7} + 15 a^{6} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 30 a^{2} + 27 a + 27\right)\cdot 31^{7} + \left(3 a^{14} + 11 a^{13} + 24 a^{12} + 3 a^{11} + 27 a^{10} + 9 a^{9} + 23 a^{8} + 13 a^{7} + 9 a^{6} + 22 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 25 a + 21\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$$ $r_{ 28 }$ $=$ $$12 a^{14} + 18 a^{13} + 23 a^{12} + 8 a^{11} + 25 a^{10} + 24 a^{9} + a^{8} + 12 a^{7} + 4 a^{6} + 19 a^{5} + 16 a^{4} + 28 a^{3} + 13 a + 12 + \left(17 a^{14} + 24 a^{13} + 19 a^{12} + 5 a^{11} + 26 a^{10} + 17 a^{9} + 22 a^{8} + 29 a^{7} + 18 a^{6} + 14 a^{5} + 18 a^{4} + 19 a^{3} + 10 a^{2} + 14 a + 30\right)\cdot 31 + \left(27 a^{14} + 7 a^{13} + 15 a^{12} + 11 a^{11} + 3 a^{10} + 29 a^{9} + 5 a^{8} + 20 a^{7} + 28 a^{6} + 12 a^{5} + 28 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 31^{2} + \left(3 a^{14} + 3 a^{13} + 23 a^{12} + 9 a^{11} + 14 a^{10} + 10 a^{9} + 19 a^{8} + a^{7} + 2 a^{6} + 10 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 19 a + 14\right)\cdot 31^{3} + \left(19 a^{14} + 28 a^{13} + 21 a^{12} + 5 a^{11} + 22 a^{10} + 7 a^{9} + 26 a^{8} + 16 a^{7} + 6 a^{6} + 19 a^{5} + 18 a^{4} + 16 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 31^{4} + \left(24 a^{14} + 19 a^{13} + 14 a^{12} + 27 a^{11} + 5 a^{10} + 22 a^{9} + 26 a^{8} + 27 a^{7} + 22 a^{6} + 26 a^{5} + 11 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 29 a + 12\right)\cdot 31^{5} + \left(20 a^{14} + 15 a^{13} + 17 a^{12} + 12 a^{11} + 15 a^{10} + 11 a^{8} + 18 a^{7} + 16 a^{5} + 10 a^{4} + 22 a^{3} + 30 a^{2} + 7 a + 30\right)\cdot 31^{6} + \left(27 a^{14} + 14 a^{13} + 25 a^{12} + 4 a^{11} + 18 a^{10} + 28 a^{9} + 8 a^{8} + 16 a^{7} + 3 a^{6} + 18 a^{5} + 8 a^{4} + 18 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 31^{7} + \left(29 a^{14} + 29 a^{13} + 27 a^{12} + 20 a^{11} + 30 a^{10} + 13 a^{9} + 26 a^{8} + 6 a^{7} + 2 a^{6} + 22 a^{5} + a^{4} + 12 a^{3} + 26 a^{2} + 23 a + 22\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$$ $r_{ 29 }$ $=$ $$15 a^{14} + 30 a^{13} + 2 a^{12} + 20 a^{11} + 30 a^{10} + 5 a^{9} + 6 a^{7} + 2 a^{6} + 10 a^{5} + 7 a^{4} + 25 a^{3} + 28 a^{2} + 28 a + 23 + \left(22 a^{14} + 4 a^{13} + 12 a^{12} + 3 a^{11} + 16 a^{10} + 15 a^{8} + 15 a^{7} + 26 a^{6} + 7 a^{5} + 23 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 29 a + 14\right)\cdot 31 + \left(a^{14} + 28 a^{13} + 25 a^{12} + 27 a^{11} + 5 a^{10} + 22 a^{9} + 29 a^{8} + 7 a^{7} + 29 a^{6} + 27 a^{5} + 29 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 22\right)\cdot 31^{2} + \left(21 a^{12} + a^{11} + 11 a^{9} + a^{8} + 29 a^{7} + 14 a^{6} + 8 a^{5} + 9 a^{4} + 6 a^{3} + 24 a^{2} + 28 a + 1\right)\cdot 31^{3} + \left(12 a^{14} + 23 a^{13} + 3 a^{12} + a^{10} + 12 a^{9} + 12 a^{8} + 10 a^{7} + 14 a^{6} + 4 a^{5} + 27 a^{4} + 27 a^{3} + 11 a^{2} + 28 a + 18\right)\cdot 31^{4} + \left(3 a^{13} + 24 a^{12} + 7 a^{11} + 27 a^{10} + 13 a^{9} + 22 a^{8} + 27 a^{7} + 13 a^{6} + 18 a^{5} + 13 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 2\right)\cdot 31^{5} + \left(13 a^{14} + 26 a^{13} + 25 a^{12} + 29 a^{11} + 30 a^{10} + 22 a^{9} + 20 a^{8} + 17 a^{7} + 30 a^{6} + 13 a^{5} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 31^{6} + \left(20 a^{14} + 28 a^{13} + 29 a^{12} + 21 a^{11} + 28 a^{10} + 20 a^{9} + 19 a^{8} + 24 a^{7} + 17 a^{6} + 22 a^{5} + 16 a^{4} + 9 a^{3} + 23 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 31^{7} + \left(19 a^{14} + 13 a^{13} + 18 a^{12} + 12 a^{11} + 19 a^{10} + 26 a^{9} + 14 a^{8} + 12 a^{7} + 20 a^{6} + 14 a^{5} + 24 a^{3} + 17 a^{2} + a + 11\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$$ $r_{ 30 }$ $=$ $$28 a^{14} + 19 a^{13} + 2 a^{12} + 24 a^{11} + 20 a^{10} + 14 a^{9} + 13 a^{8} + 5 a^{7} + 13 a^{6} + 27 a^{5} + 24 a^{4} + 27 a^{3} + 6 a^{2} + 19 a + 20 + \left(20 a^{14} + a^{13} + 4 a^{12} + a^{11} + 4 a^{10} + a^{9} + 23 a^{8} + 22 a^{7} + 19 a^{6} + a^{5} + 20 a^{4} + 2 a^{3} + 28 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 31 + \left(19 a^{14} + 20 a^{13} + 9 a^{12} + 4 a^{11} + 12 a^{9} + 8 a^{8} + 27 a^{7} + 10 a^{6} + 23 a^{5} + 7 a^{4} + 29 a^{3} + 22 a^{2} + 27 a + 4\right)\cdot 31^{2} + \left(28 a^{14} + 20 a^{13} + 24 a^{12} + 3 a^{11} + 8 a^{10} + 8 a^{9} + 28 a^{8} + 29 a^{7} + 3 a^{6} + 23 a^{5} + 15 a^{4} + 25 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 31^{3} + \left(9 a^{14} + 11 a^{13} + 29 a^{12} + 8 a^{11} + 16 a^{10} + 30 a^{9} + 15 a^{8} + 23 a^{7} + 8 a^{6} + 20 a^{5} + 16 a^{4} + 11 a^{3} + 24 a^{2} + 23 a + 26\right)\cdot 31^{4} + \left(5 a^{14} + 19 a^{13} + 14 a^{12} + 12 a^{11} + 17 a^{9} + 18 a^{8} + a^{7} + 14 a^{6} + 16 a^{5} + 21 a^{4} + 27 a^{3} + 23 a^{2} + 28 a + 30\right)\cdot 31^{5} + \left(10 a^{14} + 5 a^{13} + 27 a^{12} + 30 a^{11} + 6 a^{10} + 25 a^{9} + 26 a^{8} + 29 a^{7} + 27 a^{6} + 13 a^{5} + 5 a^{4} + 21 a^{3} + 5 a^{2} + 25 a + 5\right)\cdot 31^{6} + \left(18 a^{14} + 4 a^{13} + 4 a^{12} + 6 a^{11} + 24 a^{10} + 10 a^{9} + 12 a^{8} + 23 a^{7} + 17 a^{6} + 3 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 25\right)\cdot 31^{7} + \left(12 a^{14} + 21 a^{13} + 29 a^{12} + 28 a^{11} + 28 a^{10} + 24 a^{9} + 8 a^{8} + 25 a^{7} + 29 a^{6} + 22 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + 20 a^{2} + 28 a + 10\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$$

## Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 30 }$

 Cycle notation $(1,21,26,4,20,3,12,15,24,7,17,13,25,18,11,30,22,2,23,19,5,10,28,6,9,16,14,29,27,8)$ $(1,30)(2,26)(3,5)(4,23)(6,24)(7,9)(8,11)(10,12)(13,14)(15,28)(16,17)(18,27)(19,20)(21,22)(25,29)$ $(1,3,17,30,5,16)(2,28,29,26,15,25)(4,24,18,23,6,27)(7,11,19,9,8,20)(10,14,21,12,13,22)$

## Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 30 }$ Character value $1$ $1$ $()$ $1$ $1$ $2$ $(1,30)(2,26)(3,5)(4,23)(6,24)(7,9)(8,11)(10,12)(13,14)(15,28)(16,17)(18,27)(19,20)(21,22)(25,29)$ $-1$ $1$ $3$ $(1,17,5)(2,29,15)(3,30,16)(4,18,6)(7,19,8)(9,20,11)(10,21,13)(12,22,14)(23,27,24)(25,28,26)$ $\zeta_{15}^{5}$ $1$ $3$ $(1,5,17)(2,15,29)(3,16,30)(4,6,18)(7,8,19)(9,11,20)(10,13,21)(12,14,22)(23,24,27)(25,26,28)$ $-\zeta_{15}^{5} - 1$ $1$ $5$ $(1,12,25,23,9)(2,6,8,3,13)(4,7,30,10,29)(5,14,26,24,11)(15,18,19,16,21)(17,22,28,27,20)$ $\zeta_{15}^{6}$ $1$ $5$ $(1,25,9,12,23)(2,8,13,6,3)(4,30,29,7,10)(5,26,11,14,24)(15,19,21,18,16)(17,28,20,22,27)$ $-\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{2}$ $1$ $5$ $(1,23,12,9,25)(2,3,6,13,8)(4,10,7,29,30)(5,24,14,11,26)(15,16,18,21,19)(17,27,22,20,28)$ $\zeta_{15}^{3}$ $1$ $5$ $(1,9,23,25,12)(2,13,3,8,6)(4,29,10,30,7)(5,11,24,26,14)(15,21,16,19,18)(17,20,27,28,22)$ $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{6} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15}^{2} - 1$ $1$ $6$ $(1,3,17,30,5,16)(2,28,29,26,15,25)(4,24,18,23,6,27)(7,11,19,9,8,20)(10,14,21,12,13,22)$ $\zeta_{15}^{5} + 1$ $1$ $6$ $(1,16,5,30,17,3)(2,25,15,26,29,28)(4,27,6,23,18,24)(7,20,8,9,19,11)(10,22,13,12,21,14)$ $-\zeta_{15}^{5}$ $1$ $10$ $(1,4,12,7,25,30,23,10,9,29)(2,5,6,14,8,26,3,24,13,11)(15,17,18,22,19,28,16,27,21,20)$ $-\zeta_{15}^{3}$ $1$ $10$ $(1,7,23,29,12,30,9,4,25,10)(2,14,3,11,6,26,13,5,8,24)(15,22,16,20,18,28,21,17,19,27)$ $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{6} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2} + 1$ $1$ $10$ $(1,10,25,4,9,30,12,29,23,7)(2,24,8,5,13,26,6,11,3,14)(15,27,19,17,21,28,18,20,16,22)$ $-\zeta_{15}^{6}$ $1$ $10$ $(1,29,9,10,23,30,25,7,12,4)(2,11,13,24,3,26,8,14,6,5)(15,20,21,27,16,28,19,22,18,17)$ $\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{2}$ $1$ $15$ $(1,26,20,12,24,17,25,11,22,23,5,28,9,14,27)(2,19,10,6,16,29,8,21,4,3,15,7,13,18,30)$ $\zeta_{15}^{7}$ $1$ $15$ $(1,20,24,25,22,5,9,27,26,12,17,11,23,28,14)(2,10,16,8,4,15,13,30,19,6,29,21,3,7,18)$ $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{6} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2} + 1$ $1$ $15$ $(1,24,22,9,26,17,23,14,20,25,5,27,12,11,28)(2,16,4,13,19,29,3,18,10,8,15,30,6,21,7)$ $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{5} - \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15} + 1$ $1$ $15$ $(1,11,27,25,14,17,9,24,28,12,5,20,23,26,22)(2,21,30,8,18,29,13,16,7,6,15,10,3,19,4)$ $\zeta_{15}^{4}$ $1$ $15$ $(1,22,26,23,20,5,12,28,24,9,17,14,25,27,11)(2,4,19,3,10,15,6,7,16,13,29,18,8,30,21)$ $-\zeta_{15}^{6} - \zeta_{15}$ $1$ $15$ $(1,28,11,12,27,5,25,20,14,23,17,26,9,22,24)(2,7,21,6,30,15,8,10,18,3,29,19,13,4,16)$ $\zeta_{15}^{2}$ $1$ $15$ $(1,14,28,23,11,17,12,26,27,9,5,22,25,24,20)(2,18,7,3,21,29,6,19,30,13,15,4,8,16,10)$ $\zeta_{15}$ $1$ $15$ $(1,27,14,9,28,5,23,22,11,25,17,24,12,20,26)(2,30,18,13,7,15,3,4,21,8,29,16,6,10,19)$ $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{5} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15} - 1$ $1$ $30$ $(1,21,26,4,20,3,12,15,24,7,17,13,25,18,11,30,22,2,23,19,5,10,28,6,9,16,14,29,27,8)$ $\zeta_{15}^{6} + \zeta_{15}$ $1$ $30$ $(1,15,11,10,27,3,25,19,14,4,17,2,9,21,24,30,28,8,12,18,5,29,20,13,23,16,26,7,22,6)$ $-\zeta_{15}^{2}$ $1$ $30$ $(1,13,28,4,11,16,12,2,27,7,5,21,25,6,20,30,14,15,23,8,17,10,26,18,9,3,22,29,24,19)$ $-\zeta_{15}$ $1$ $30$ $(1,18,14,7,28,3,23,21,11,29,17,6,12,19,26,30,27,13,9,15,5,4,22,8,25,16,24,10,20,2)$ $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{5} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15} + 1$ $1$ $30$ $(1,2,20,10,24,16,25,8,22,4,5,15,9,13,27,30,26,19,12,6,17,29,11,21,23,3,28,7,14,18)$ $-\zeta_{15}^{7}$ $1$ $30$ $(1,19,24,29,22,3,9,18,26,10,17,8,23,15,14,30,20,6,25,21,5,7,27,2,12,16,11,4,28,13)$ $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{6} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15}^{2} - 1$ $1$ $30$ $(1,6,22,7,26,16,23,13,20,29,5,18,12,8,28,30,24,21,9,2,17,4,14,19,25,3,27,10,11,15)$ $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{5} + \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15} - 1$ $1$ $30$ $(1,8,27,29,14,16,9,6,28,10,5,19,23,2,22,30,11,18,25,13,17,7,24,15,12,3,20,4,26,21)$ $-\zeta_{15}^{4}$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.