Basic invariants
| Dimension: | $1$ |
| Group: | $C_{18}$ |
| Conductor: | $135= 3^{3} \cdot 5 $ |
| Artin number field: | Splitting field of $f= x^{18} - 27 x^{16} + 270 x^{14} - 1269 x^{12} + 3042 x^{10} - 76 x^{9} - 3888 x^{8} + 261 x^{7} + 2601 x^{6} - 297 x^{5} - 810 x^{4} + 120 x^{3} + 81 x^{2} - 9 x - 1 $ over $\Q$ |
| Size of Galois orbit: | 6 |
| Smallest containing permutation representation: | $C_{18}$ |
| Parity: | Even |
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 29 }$ to precision 10.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 29 }$: $ x^{9} + 4 x^{3} + 22 x^{2} + 22 x + 27 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ | $ 12 a^{8} + 20 a^{6} + 20 a^{5} + 12 a^{4} + 26 a^{3} + 10 a^{2} + 27 + \left(28 a^{8} + 12 a^{7} + 12 a^{6} + 17 a^{5} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 28 a + 27\right)\cdot 29 + \left(26 a^{8} + 28 a^{7} + 22 a^{6} + 8 a^{5} + 16 a^{3} + 19 a^{2} + 24 a + 19\right)\cdot 29^{2} + \left(5 a^{8} + 27 a^{7} + 22 a^{6} + 14 a^{5} + 21 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 17 a + 20\right)\cdot 29^{3} + \left(15 a^{8} + 15 a^{7} + 2 a^{6} + 6 a^{5} + 19 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 15 a + 23\right)\cdot 29^{4} + \left(2 a^{8} + 4 a^{7} + 17 a^{6} + 2 a^{5} + 24 a^{4} + 6 a^{3} + 20 a^{2} + 26 a + 27\right)\cdot 29^{5} + \left(18 a^{8} + 17 a^{7} + 12 a^{6} + 9 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a\right)\cdot 29^{6} + \left(5 a^{8} + 11 a^{7} + 16 a^{6} + 9 a^{5} + 23 a^{4} + 19 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 29^{7} + \left(20 a^{8} + 15 a^{7} + 12 a^{6} + 2 a^{5} + 13 a^{4} + 28 a^{3} + 12 a^{2} + 25 a + 5\right)\cdot 29^{8} + \left(5 a^{8} + 24 a^{7} + 12 a^{6} + 6 a^{5} + 22 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 26\right)\cdot 29^{9} +O\left(29^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ | $=$ | $ 3 a^{8} + 11 a^{7} + 27 a^{6} + 22 a^{5} + 27 a^{4} + 7 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 16 + \left(16 a^{8} + 15 a^{7} + 11 a^{6} + 28 a^{5} + 16 a^{4} + 23 a^{3} + 18 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 29 + \left(26 a^{8} + 22 a^{7} + 26 a^{6} + 24 a^{5} + 18 a^{4} + 22 a^{3} + 20 a^{2} + 22 a + 5\right)\cdot 29^{2} + \left(28 a^{8} + 25 a^{7} + 4 a^{6} + 16 a^{5} + 6 a^{4} + 28 a^{3} + 21 a + 27\right)\cdot 29^{3} + \left(a^{8} + 7 a^{7} + 15 a^{6} + 21 a^{5} + 10 a^{4} + 16 a^{3} + 8 a^{2} + 17\right)\cdot 29^{4} + \left(6 a^{8} + 20 a^{7} + 7 a^{6} + 17 a^{5} + 27 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 29^{5} + \left(23 a^{8} + 3 a^{7} + 5 a^{6} + 12 a^{5} + 7 a^{4} + 27 a^{3} + a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 29^{6} + \left(24 a^{8} + 8 a^{7} + 23 a^{6} + 11 a^{5} + a^{4} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 29^{7} + \left(9 a^{8} + 25 a^{7} + 20 a^{6} + a^{5} + 21 a^{4} + 16 a^{3} + 23 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 29^{8} + \left(2 a^{8} + 17 a^{7} + 17 a^{6} + 6 a^{5} + 5 a^{4} + 24 a^{3} + 13 a + 2\right)\cdot 29^{9} +O\left(29^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ | $=$ | $ 5 a^{8} + 24 a^{7} + 7 a^{6} + 26 a^{5} + 9 a^{4} + 17 a^{3} + 22 a^{2} + 8 a + 18 + \left(13 a^{8} + 21 a^{7} + 9 a^{6} + 20 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + 28 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 29 + \left(4 a^{8} + 16 a^{7} + 14 a^{6} + 16 a^{4} + a^{3} + a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 29^{2} + \left(10 a^{8} + 21 a^{7} + 11 a^{6} + 18 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a + 8\right)\cdot 29^{3} + \left(15 a^{8} + 7 a^{7} + 4 a^{6} + 24 a^{4} + 19 a^{3} + 18 a^{2} + 19 a + 22\right)\cdot 29^{4} + \left(17 a^{8} + 26 a^{7} + 5 a^{6} + 27 a^{5} + 5 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 23 a + 19\right)\cdot 29^{5} + \left(2 a^{8} + 20 a^{7} + 15 a^{6} + 7 a^{5} + 21 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 29^{6} + \left(24 a^{8} + 5 a^{7} + 23 a^{6} + 16 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 29^{7} + \left(16 a^{8} + 26 a^{7} + 22 a^{6} + 5 a^{5} + 13 a^{4} + 13 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 29^{8} + \left(3 a^{8} + 7 a^{7} + 11 a^{6} + 11 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 10 a^{2} + 25 a + 17\right)\cdot 29^{9} +O\left(29^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ | $=$ | $ 20 a^{8} + 9 a^{7} + 28 a^{6} + 17 a^{5} + 7 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 3 a + 14 + \left(12 a^{8} + 11 a^{7} + 9 a^{6} + 20 a^{5} + 6 a^{4} + 15 a^{3} + 26 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 29 + \left(24 a^{8} + 12 a^{7} + 18 a^{6} + 23 a^{5} + 12 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 27 a + 20\right)\cdot 29^{2} + \left(7 a^{8} + 8 a^{7} + 28 a^{6} + 28 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 19 a^{2} + 5 a + 22\right)\cdot 29^{3} + \left(6 a^{8} + 19 a^{7} + 5 a^{6} + 27 a^{5} + a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 29^{4} + \left(22 a^{8} + 21 a^{7} + 9 a^{5} + 20 a^{4} + 26 a^{3} + 28 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 29^{5} + \left(11 a^{8} + 23 a^{7} + 15 a^{6} + 9 a^{5} + 23 a^{4} + 16 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 28\right)\cdot 29^{6} + \left(a^{8} + 7 a^{7} + 26 a^{6} + 3 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 28\right)\cdot 29^{7} + \left(25 a^{8} + 20 a^{7} + 27 a^{6} + 7 a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 24\right)\cdot 29^{8} + \left(25 a^{8} + 27 a^{7} + 19 a^{6} + 12 a^{5} + 17 a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 29^{9} +O\left(29^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ | $=$ | $ 27 a^{8} + 19 a^{7} + 14 a^{6} + 28 a^{5} + 25 a^{4} + 25 a^{3} + 27 a^{2} + 6 a + 14 + \left(7 a^{8} + 27 a^{7} + 2 a^{6} + 20 a^{5} + 23 a^{4} + 24 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 19\right)\cdot 29 + \left(19 a^{8} + 4 a^{7} + 13 a^{6} + 25 a^{5} + 12 a^{4} + 19 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 19\right)\cdot 29^{2} + \left(21 a^{8} + 14 a^{7} + 24 a^{6} + 7 a^{5} + 23 a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 25\right)\cdot 29^{3} + \left(14 a^{8} + 15 a^{7} + 6 a^{5} + 21 a^{4} + 17 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 29^{4} + \left(3 a^{8} + 12 a^{7} + 17 a^{6} + 13 a^{5} + 7 a^{4} + 6 a^{3} + 21 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 29^{5} + \left(13 a^{8} + 22 a^{7} + a^{6} + 20 a^{5} + 21 a^{4} + 15 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a\right)\cdot 29^{6} + \left(14 a^{8} + 22 a^{7} + 11 a^{6} + 3 a^{5} + 20 a^{4} + 17 a^{3} + 23 a^{2} + a + 9\right)\cdot 29^{7} + \left(26 a^{8} + 8 a^{7} + 2 a^{6} + 25 a^{5} + 21 a^{4} + 26 a^{3} + 3 a^{2} + 28 a + 14\right)\cdot 29^{8} + \left(26 a^{8} + 20 a^{7} + 11 a^{6} + 15 a^{4} + 19 a^{3} + 16 a^{2} + 25 a + 7\right)\cdot 29^{9} +O\left(29^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ | $=$ | $ 28 a^{8} + 24 a^{7} + 16 a^{6} + 2 a^{4} + a^{3} + a^{2} + 10 a + 2 + \left(18 a^{8} + 21 a^{7} + 25 a^{6} + a^{5} + a^{4} + 25 a^{3} + 21 a^{2} + 24 a + 23\right)\cdot 29 + \left(5 a^{8} + 19 a^{7} + 15 a^{6} + 3 a^{5} + 17 a^{4} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 29^{2} + \left(22 a^{8} + 12 a^{7} + 24 a^{6} + 26 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 21 a + 4\right)\cdot 29^{3} + \left(5 a^{8} + 16 a^{7} + 11 a^{6} + 18 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 29^{4} + \left(25 a^{8} + 11 a^{7} + 4 a^{6} + a^{5} + 2 a^{4} + 8 a^{3} + 28 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 29^{5} + \left(5 a^{8} + 17 a^{7} + 7 a^{6} + 24 a^{5} + 20 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 29^{6} + \left(11 a^{8} + 27 a^{7} + 5 a^{6} + 22 a^{5} + 19 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 26 a + 22\right)\cdot 29^{7} + \left(28 a^{8} + 27 a^{7} + 2 a^{6} + 24 a^{5} + 5 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 29^{8} + \left(24 a^{8} + 19 a^{7} + 4 a^{6} + 17 a^{5} + a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 29^{9} +O\left(29^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ | $=$ | $ 21 a^{8} + 18 a^{7} + 27 a^{6} + 25 a^{5} + 13 a^{4} + 13 a^{3} + 21 a^{2} + 24 a + 27 + \left(18 a^{8} + 16 a^{7} + 13 a^{6} + 4 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 23\right)\cdot 29 + \left(3 a^{8} + 9 a^{7} + 15 a^{6} + 17 a^{5} + 14 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + a + 21\right)\cdot 29^{2} + \left(3 a^{8} + 20 a^{7} + 20 a^{6} + 18 a^{5} + 27 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 21 a + 28\right)\cdot 29^{3} + \left(2 a^{8} + 27 a^{7} + 22 a^{6} + 25 a^{5} + 24 a^{4} + 17 a^{3} + 24 a^{2} + 13 a + 27\right)\cdot 29^{4} + \left(15 a^{8} + 19 a^{7} + 18 a^{6} + 10 a^{5} + 24 a^{4} + 23 a^{3} + 16 a + 28\right)\cdot 29^{5} + \left(27 a^{8} + 19 a^{7} + 5 a^{6} + a^{5} + 9 a^{4} + 2 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 29^{6} + \left(a^{8} + 3 a^{7} + 5 a^{5} + 9 a^{4} + 20 a^{3} + 15 a + 8\right)\cdot 29^{7} + \left(a^{8} + 8 a^{7} + 5 a^{6} + 26 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 28\right)\cdot 29^{8} + \left(9 a^{8} + 18 a^{7} + 19 a^{6} + 18 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 8\right)\cdot 29^{9} +O\left(29^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ | $=$ | $ 25 a^{8} + 9 a^{7} + 6 a^{6} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 8 + \left(25 a^{8} + 11 a^{7} + 3 a^{6} + 4 a^{5} + 17 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 29 + \left(10 a^{8} + 24 a^{7} + 26 a^{6} + 4 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 25 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 29^{2} + \left(23 a^{8} + 6 a^{7} + 24 a^{6} + 27 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 20 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 29^{3} + \left(13 a^{8} + 24 a^{7} + 28 a^{6} + 25 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 15 a + 20\right)\cdot 29^{4} + \left(8 a^{8} + 19 a^{7} + 22 a^{6} + 26 a^{5} + 24 a^{4} + 24 a^{3} + 24 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 29^{5} + \left(20 a^{8} + 21 a^{7} + 14 a^{6} + 23 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{3} + 26 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 29^{6} + \left(2 a^{8} + 26 a^{7} + 13 a^{6} + 20 a^{5} + 12 a^{4} + 23 a^{3} + 6 a^{2} + 25 a + 24\right)\cdot 29^{7} + \left(8 a^{8} + 25 a^{7} + 6 a^{6} + 22 a^{5} + 21 a^{3} + 25 a^{2} + a + 6\right)\cdot 29^{8} + \left(2 a^{8} + 17 a^{6} + 16 a^{5} + 3 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 21 a + 25\right)\cdot 29^{9} +O\left(29^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ | $=$ | $ 27 a^{8} + 5 a^{7} + 8 a^{6} + 24 a^{5} + 24 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 19 a + 13 + \left(25 a^{8} + 4 a^{7} + 19 a^{6} + 20 a^{5} + 21 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 26 a + 14\right)\cdot 29 + \left(15 a^{8} + 25 a^{7} + 23 a^{6} + 15 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 29^{2} + \left(20 a^{8} + 15 a^{7} + 27 a^{6} + 15 a^{5} + 14 a^{4} + 25 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 29^{3} + \left(20 a^{8} + a^{7} + 21 a^{6} + 5 a^{5} + 2 a^{4} + 23 a^{3} + 28 a^{2} + 27 a\right)\cdot 29^{4} + \left(21 a^{8} + 10 a^{7} + 17 a^{6} + 20 a^{5} + 20 a^{4} + a^{3} + 27 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 29^{5} + \left(11 a^{8} + 5 a^{7} + 3 a^{6} + 21 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 20 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 29^{6} + \left(26 a^{8} + 11 a^{7} + 8 a^{6} + 5 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 20 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 29^{7} + \left(11 a^{8} + 17 a^{7} + 8 a^{6} + 24 a^{4} + 22 a^{3} + 23 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 29^{8} + \left(14 a^{8} + 6 a^{7} + 6 a^{6} + 25 a^{5} + 15 a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 28\right)\cdot 29^{9} +O\left(29^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 10 }$ | $=$ | $ 21 a^{8} + 20 a^{7} + 3 a^{6} + 9 a^{5} + 9 a^{4} + 28 a^{3} + 15 a^{2} + 18 a + 23 + \left(3 a^{8} + 5 a^{7} + 13 a^{6} + 7 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 29 + \left(20 a^{8} + 5 a^{7} + 9 a^{6} + 16 a^{5} + 17 a^{4} + 28 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 24\right)\cdot 29^{2} + \left(28 a^{8} + 23 a^{7} + 10 a^{6} + 16 a^{5} + 27 a^{4} + 4 a^{3} + 25 a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 29^{3} + \left(28 a^{8} + 17 a^{7} + 26 a^{6} + 25 a^{5} + 25 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 26 a + 13\right)\cdot 29^{4} + \left(17 a^{8} + 4 a^{7} + 17 a^{6} + 28 a^{5} + 8 a^{4} + 27 a^{3} + 13 a^{2} + 23 a + 11\right)\cdot 29^{5} + \left(19 a^{8} + 19 a^{7} + a^{6} + 24 a^{5} + 6 a^{4} + 20 a^{3} + 24 a^{2} + 23 a + 13\right)\cdot 29^{6} + \left(20 a^{8} + 19 a^{7} + 28 a^{6} + 27 a^{5} + 22 a^{4} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + 24 a + 16\right)\cdot 29^{7} + \left(16 a^{7} + 9 a^{6} + 3 a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + 20 a^{2} + a + 16\right)\cdot 29^{8} + \left(21 a^{8} + 3 a^{7} + 28 a^{6} + 6 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 29^{9} +O\left(29^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 11 }$ | $=$ | $ 3 a^{8} + 11 a^{7} + 15 a^{6} + 10 a^{5} + 24 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 13 + \left(28 a^{8} + 21 a^{7} + 25 a^{5} + 14 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 27\right)\cdot 29 + \left(28 a^{8} + 12 a^{7} + 3 a^{6} + 13 a^{5} + a^{4} + 24 a^{3} + 9 a^{2} + 23 a + 15\right)\cdot 29^{2} + \left(21 a^{8} + 18 a^{7} + 4 a^{6} + 24 a^{5} + 10 a^{4} + 23 a^{3} + 21 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 29^{3} + \left(13 a^{8} + 11 a^{7} + 11 a^{6} + 7 a^{4} + 26 a^{3} + 24 a^{2} + 27 a + 14\right)\cdot 29^{4} + \left(15 a^{8} + 11 a^{7} + 13 a^{6} + 24 a^{5} + 7 a^{4} + 8 a^{2} + 13 a + 27\right)\cdot 29^{5} + \left(13 a^{8} + 4 a^{7} + 15 a^{6} + 19 a^{5} + 20 a^{4} + 2 a^{3} + 19 a + 16\right)\cdot 29^{6} + \left(24 a^{8} + 17 a^{7} + 18 a^{6} + 9 a^{5} + 22 a^{4} + 8 a^{3} + 27 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 29^{7} + \left(24 a^{8} + 26 a^{7} + 19 a^{6} + 26 a^{5} + 20 a^{4} + 23 a^{3} + 10 a + 10\right)\cdot 29^{8} + \left(12 a^{8} + 19 a^{7} + 28 a^{6} + 21 a^{5} + 17 a^{4} + 16 a^{3} + 2 a^{2} + 28 a + 11\right)\cdot 29^{9} +O\left(29^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 12 }$ | $=$ | $ 12 a^{8} + 15 a^{7} + 2 a^{6} + 11 a^{5} + 9 a^{4} + 27 a^{3} + 11 a^{2} + 23 a + 23 + \left(a^{8} + 26 a^{7} + 27 a^{6} + 21 a^{5} + 12 a^{4} + 25 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 29 + \left(22 a^{8} + 21 a^{7} + 24 a^{6} + 18 a^{5} + 7 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 19 a + 25\right)\cdot 29^{2} + \left(22 a^{8} + 9 a^{7} + 8 a^{6} + 16 a^{5} + 20 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 21 a\right)\cdot 29^{3} + \left(11 a^{8} + 19 a^{7} + 19 a^{6} + a^{5} + 11 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 29^{4} + \left(22 a^{8} + 15 a^{7} + 4 a^{6} + 8 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 29^{5} + \left(a^{8} + 22 a^{7} + 8 a^{6} + 3 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 16 a^{2} + 28 a + 13\right)\cdot 29^{6} + \left(7 a^{8} + 27 a^{7} + 12 a^{6} + 7 a^{5} + 8 a^{4} + 22 a^{3} + 16 a^{2} + 27\right)\cdot 29^{7} + \left(2 a^{8} + 4 a^{7} + 6 a^{6} + 22 a^{5} + 21 a^{4} + 15 a^{3} + a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 29^{8} + \left(3 a^{8} + 13 a^{7} + 4 a^{6} + 16 a^{5} + 17 a^{4} + 13 a^{3} + a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 29^{9} +O\left(29^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 13 }$ | $=$ | $ 18 a^{8} + 8 a^{7} + 28 a^{5} + 20 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 28 a + 12 + \left(2 a^{8} + 27 a^{7} + 12 a^{6} + 28 a^{5} + 3 a^{4} + 14 a^{3} + 21 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 29 + \left(14 a^{8} + 18 a^{7} + 18 a^{6} + 11 a^{5} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + 19 a + 17\right)\cdot 29^{2} + \left(16 a^{8} + 18 a^{7} + 25 a^{6} + 15 a^{5} + 3 a^{4} + 17 a^{3} + 23 a^{2} + 18 a + 23\right)\cdot 29^{3} + \left(17 a^{8} + 12 a^{7} + 6 a^{5} + 28 a^{4} + 28 a^{3} + 24 a^{2} + 23 a + 4\right)\cdot 29^{4} + \left(25 a^{8} + 9 a^{7} + 6 a^{6} + 5 a^{5} + 5 a^{4} + 10 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 24\right)\cdot 29^{5} + \left(28 a^{8} + 12 a^{7} + 7 a^{6} + 22 a^{5} + 20 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a^{2} + a + 24\right)\cdot 29^{6} + \left(4 a^{7} + 9 a^{6} + 24 a^{5} + 22 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 29^{7} + \left(9 a^{8} + 21 a^{7} + 6 a^{6} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 29^{8} + \left(26 a^{8} + 26 a^{7} + 25 a^{6} + 28 a^{5} + 20 a^{4} + 11 a^{3} + 21 a^{2} + 27 a + 14\right)\cdot 29^{9} +O\left(29^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 14 }$ | $=$ | $ 26 a^{8} + 15 a^{7} + 8 a^{6} + 4 a^{5} + 24 a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 26 + \left(7 a^{8} + 8 a^{7} + 17 a^{6} + 16 a^{5} + 21 a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 29 + \left(5 a^{8} + 7 a^{7} + a^{6} + 2 a^{5} + 28 a^{4} + 8 a^{3} + 19 a^{2} + 16\right)\cdot 29^{2} + \left(26 a^{8} + 22 a^{7} + 22 a^{6} + 3 a^{5} + 25 a^{4} + 5 a^{3} + 21 a^{2} + 22 a + 23\right)\cdot 29^{3} + \left(27 a^{8} + 5 a^{7} + 23 a^{6} + 22 a^{5} + 11 a^{4} + 21 a^{3} + 3 a^{2} + 26 a + 27\right)\cdot 29^{4} + \left(7 a^{8} + 19 a^{7} + 6 a^{6} + 17 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + 28 a + 2\right)\cdot 29^{5} + \left(13 a^{8} + 14 a^{7} + 12 a^{6} + 15 a^{4} + 10 a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 29^{6} + \left(19 a^{8} + 23 a^{6} + 25 a^{5} + 20 a^{4} + 25 a^{3} + 3 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 29^{7} + \left(14 a^{8} + 23 a^{7} + 3 a^{6} + 27 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + 13 a^{2} + 23 a + 27\right)\cdot 29^{8} + \left(27 a^{8} + 6 a^{6} + 16 a^{5} + 28 a^{4} + 22 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 29^{9} +O\left(29^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 15 }$ | $=$ | $ 14 a^{8} + 3 a^{7} + 25 a^{5} + 22 a^{4} + 24 a^{3} + 16 a^{2} + 25 a + 19 + \left(11 a^{8} + 16 a^{7} + 19 a^{6} + 7 a^{5} + 28 a^{4} + 8 a^{3} + 23 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 29 + \left(9 a^{8} + 13 a^{7} + 6 a^{6} + 14 a^{5} + 2 a^{4} + 28 a^{3} + 27 a^{2} + 16 a + 27\right)\cdot 29^{2} + \left(6 a^{8} + 22 a^{7} + 15 a^{6} + 24 a^{5} + 2 a^{4} + 26 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a\right)\cdot 29^{3} + \left(15 a^{8} + a^{7} + 23 a^{6} + 5 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 19 a + 4\right)\cdot 29^{4} + \left(22 a^{7} + 16 a^{6} + 3 a^{5} + 24 a^{4} + 21 a^{3} + 11 a^{2} + 19 a + 20\right)\cdot 29^{5} + \left(4 a^{8} + 2 a^{7} + 15 a^{6} + 13 a^{5} + 16 a^{4} + 28 a^{3} + 11 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 29^{6} + \left(26 a^{8} + 22 a^{7} + 22 a^{6} + 10 a^{5} + 19 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 29^{7} + \left(16 a^{8} + 27 a^{7} + a^{6} + 5 a^{5} + 15 a^{4} + 25 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 27\right)\cdot 29^{8} + \left(23 a^{8} + 26 a^{7} + 7 a^{6} + 6 a^{5} + 5 a^{4} + 19 a^{3} + 27 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 29^{9} +O\left(29^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 16 }$ | $=$ | $ 17 a^{8} + 2 a^{7} + 3 a^{6} + 16 a^{5} + 9 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 17 + \left(26 a^{8} + a^{7} + 5 a^{6} + 3 a^{5} + 11 a^{4} + 27 a^{3} + 26 a^{2} + 5 a + 26\right)\cdot 29 + \left(7 a^{7} + 24 a^{6} + 17 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 15\right)\cdot 29^{2} + \left(18 a^{8} + 8 a^{6} + 10 a^{5} + 17 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 29^{3} + \left(20 a^{8} + 11 a^{7} + 4 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 28 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 29^{4} + \left(20 a^{8} + 16 a^{7} + 10 a^{6} + 8 a^{5} + 13 a^{4} + 8 a^{3} + 28 a^{2} + 24 a + 6\right)\cdot 29^{5} + \left(18 a^{8} + 14 a^{7} + 8 a^{6} + 18 a^{5} + 24 a^{4} + 11 a^{3} + 20 a^{2} + 2 a + 25\right)\cdot 29^{6} + \left(25 a^{8} + 17 a^{7} + 2 a^{6} + 20 a^{5} + 13 a^{4} + 24 a^{3} + 25 a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 29^{7} + \left(2 a^{8} + 25 a^{6} + 24 a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + 28 a + 4\right)\cdot 29^{8} + \left(23 a^{8} + 12 a^{7} + 18 a^{6} + 26 a^{5} + 26 a^{4} + 11 a^{3} + 25 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 29^{9} +O\left(29^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 17 }$ | $=$ | $ 3 a^{8} + 5 a^{6} + 5 a^{5} + 3 a^{4} + 21 a^{3} + 17 a^{2} + 14 + \left(13 a^{8} + 3 a^{7} + 13 a^{6} + 7 a^{5} + 6 a^{4} + 23 a^{3} + 28 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 29 + \left(7 a^{8} + 13 a^{7} + 18 a^{6} + 10 a^{5} + a^{4} + 10 a^{3} + 18 a^{2} + 20 a + 6\right)\cdot 29^{2} + \left(15 a^{8} + 5 a^{6} + 16 a^{5} + 8 a^{4} + 16 a^{2} + 21 a + 18\right)\cdot 29^{3} + \left(2 a^{8} + 11 a^{7} + 24 a^{6} + 4 a^{5} + 24 a^{4} + 4 a^{3} + 18 a^{2} + 23 a + 15\right)\cdot 29^{4} + \left(11 a^{8} + 7 a^{7} + 6 a^{6} + 7 a^{5} + 6 a^{4} + 19 a^{3} + a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 29^{5} + \left(11 a^{8} + 6 a^{7} + 18 a^{6} + 12 a^{5} + 28 a^{4} + 21 a^{3} + 6 a^{2} + a + 20\right)\cdot 29^{6} + \left(20 a^{8} + 19 a^{7} + 15 a^{6} + a^{4} + 19 a^{3} + 6 a^{2} + 27 a + 21\right)\cdot 29^{7} + \left(17 a^{8} + 12 a^{7} + 18 a^{6} + 4 a^{5} + 28 a^{4} + 18 a^{3} + 18 a^{2} + 28 a + 9\right)\cdot 29^{8} + \left(18 a^{8} + 2 a^{7} + 18 a^{6} + 15 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 29^{9} +O\left(29^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 18 }$ | $=$ | $ 8 a^{8} + 10 a^{7} + 14 a^{6} + 20 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 4 + \left(27 a^{8} + 9 a^{7} + 16 a^{6} + 3 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 25\right)\cdot 29 + \left(14 a^{8} + 26 a^{7} + 7 a^{6} + 3 a^{5} + 15 a^{4} + 20 a^{3} + 19 a^{2} + 15 a + 24\right)\cdot 29^{2} + \left(19 a^{8} + 20 a^{7} + 28 a^{6} + 18 a^{5} + 15 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 28 a + 18\right)\cdot 29^{3} + \left(26 a^{8} + 4 a^{7} + 16 a^{6} + 21 a^{5} + 22 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 29^{4} + \left(16 a^{8} + 8 a^{7} + 9 a^{6} + 28 a^{5} + 15 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 29^{5} + \left(15 a^{8} + 12 a^{7} + 6 a^{6} + 15 a^{5} + 17 a^{4} + 16 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 29^{6} + \left(3 a^{8} + 7 a^{7} + a^{6} + 23 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 15 a + 12\right)\cdot 29^{7} + \left(24 a^{8} + 10 a^{7} + 3 a^{6} + a^{5} + 19 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 29^{8} + \left(18 a^{8} + 11 a^{7} + 4 a^{6} + 8 a^{5} + 19 a^{4} + a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 29^{9} +O\left(29^{ 10 }\right)$ |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 18 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 18 }$ | Character values | |||||
| $c1$ | $c2$ | $c3$ | $c4$ | $c5$ | $c6$ | |||
| $1$ | $1$ | $()$ | $1$ | $1$ | $1$ | $1$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $2$ | $(1,17)(2,18)(3,4)(5,7)(6,8)(9,10)(11,12)(13,15)(14,16)$ | $-1$ | $-1$ | $-1$ | $-1$ | $-1$ | $-1$ |
| $1$ | $3$ | $(1,10,8)(2,12,15)(3,5,14)(4,7,16)(6,17,9)(11,13,18)$ | $\zeta_{9}^{3}$ | $-\zeta_{9}^{3} - 1$ | $\zeta_{9}^{3}$ | $-\zeta_{9}^{3} - 1$ | $\zeta_{9}^{3}$ | $-\zeta_{9}^{3} - 1$ |
| $1$ | $3$ | $(1,8,10)(2,15,12)(3,14,5)(4,16,7)(6,9,17)(11,18,13)$ | $-\zeta_{9}^{3} - 1$ | $\zeta_{9}^{3}$ | $-\zeta_{9}^{3} - 1$ | $\zeta_{9}^{3}$ | $-\zeta_{9}^{3} - 1$ | $\zeta_{9}^{3}$ |
| $1$ | $6$ | $(1,6,10,17,8,9)(2,13,12,18,15,11)(3,16,5,4,14,7)$ | $\zeta_{9}^{3} + 1$ | $-\zeta_{9}^{3}$ | $\zeta_{9}^{3} + 1$ | $-\zeta_{9}^{3}$ | $\zeta_{9}^{3} + 1$ | $-\zeta_{9}^{3}$ |
| $1$ | $6$ | $(1,9,8,17,10,6)(2,11,15,18,12,13)(3,7,14,4,5,16)$ | $-\zeta_{9}^{3}$ | $\zeta_{9}^{3} + 1$ | $-\zeta_{9}^{3}$ | $\zeta_{9}^{3} + 1$ | $-\zeta_{9}^{3}$ | $\zeta_{9}^{3} + 1$ |
| $1$ | $9$ | $(1,7,12,10,16,15,8,4,2)(3,18,17,5,11,9,14,13,6)$ | $\zeta_{9}$ | $\zeta_{9}^{2}$ | $\zeta_{9}^{4}$ | $\zeta_{9}^{5}$ | $-\zeta_{9}^{4} - \zeta_{9}$ | $-\zeta_{9}^{5} - \zeta_{9}^{2}$ |
| $1$ | $9$ | $(1,12,16,8,2,7,10,15,4)(3,17,11,14,6,18,5,9,13)$ | $\zeta_{9}^{2}$ | $\zeta_{9}^{4}$ | $-\zeta_{9}^{5} - \zeta_{9}^{2}$ | $\zeta_{9}$ | $\zeta_{9}^{5}$ | $-\zeta_{9}^{4} - \zeta_{9}$ |
| $1$ | $9$ | $(1,16,2,10,4,12,8,7,15)(3,11,6,5,13,17,14,18,9)$ | $\zeta_{9}^{4}$ | $-\zeta_{9}^{5} - \zeta_{9}^{2}$ | $-\zeta_{9}^{4} - \zeta_{9}$ | $\zeta_{9}^{2}$ | $\zeta_{9}$ | $\zeta_{9}^{5}$ |
| $1$ | $9$ | $(1,15,7,8,12,4,10,2,16)(3,9,18,14,17,13,5,6,11)$ | $\zeta_{9}^{5}$ | $\zeta_{9}$ | $\zeta_{9}^{2}$ | $-\zeta_{9}^{4} - \zeta_{9}$ | $-\zeta_{9}^{5} - \zeta_{9}^{2}$ | $\zeta_{9}^{4}$ |
| $1$ | $9$ | $(1,4,15,10,7,2,8,16,12)(3,13,9,5,18,6,14,11,17)$ | $-\zeta_{9}^{4} - \zeta_{9}$ | $\zeta_{9}^{5}$ | $\zeta_{9}$ | $-\zeta_{9}^{5} - \zeta_{9}^{2}$ | $\zeta_{9}^{4}$ | $\zeta_{9}^{2}$ |
| $1$ | $9$ | $(1,2,4,8,15,16,10,12,7)(3,6,13,14,9,11,5,17,18)$ | $-\zeta_{9}^{5} - \zeta_{9}^{2}$ | $-\zeta_{9}^{4} - \zeta_{9}$ | $\zeta_{9}^{5}$ | $\zeta_{9}^{4}$ | $\zeta_{9}^{2}$ | $\zeta_{9}$ |
| $1$ | $18$ | $(1,5,12,9,16,13,8,3,2,17,7,11,10,14,15,6,4,18)$ | $-\zeta_{9}$ | $-\zeta_{9}^{2}$ | $-\zeta_{9}^{4}$ | $-\zeta_{9}^{5}$ | $\zeta_{9}^{4} + \zeta_{9}$ | $\zeta_{9}^{5} + \zeta_{9}^{2}$ |
| $1$ | $18$ | $(1,13,7,6,12,3,10,18,16,17,15,5,8,11,4,9,2,14)$ | $-\zeta_{9}^{5}$ | $-\zeta_{9}$ | $-\zeta_{9}^{2}$ | $\zeta_{9}^{4} + \zeta_{9}$ | $\zeta_{9}^{5} + \zeta_{9}^{2}$ | $-\zeta_{9}^{4}$ |
| $1$ | $18$ | $(1,3,15,9,7,18,8,14,12,17,4,13,10,5,2,6,16,11)$ | $\zeta_{9}^{4} + \zeta_{9}$ | $-\zeta_{9}^{5}$ | $-\zeta_{9}$ | $\zeta_{9}^{5} + \zeta_{9}^{2}$ | $-\zeta_{9}^{4}$ | $-\zeta_{9}^{2}$ |
| $1$ | $18$ | $(1,11,16,6,2,5,10,13,4,17,12,14,8,18,7,9,15,3)$ | $-\zeta_{9}^{2}$ | $-\zeta_{9}^{4}$ | $\zeta_{9}^{5} + \zeta_{9}^{2}$ | $-\zeta_{9}$ | $-\zeta_{9}^{5}$ | $\zeta_{9}^{4} + \zeta_{9}$ |
| $1$ | $18$ | $(1,14,2,9,4,11,8,5,15,17,16,18,10,3,12,6,7,13)$ | $-\zeta_{9}^{4}$ | $\zeta_{9}^{5} + \zeta_{9}^{2}$ | $\zeta_{9}^{4} + \zeta_{9}$ | $-\zeta_{9}^{2}$ | $-\zeta_{9}$ | $-\zeta_{9}^{5}$ |
| $1$ | $18$ | $(1,18,4,6,15,14,10,11,7,17,2,3,8,13,16,9,12,5)$ | $\zeta_{9}^{5} + \zeta_{9}^{2}$ | $\zeta_{9}^{4} + \zeta_{9}$ | $-\zeta_{9}^{5}$ | $-\zeta_{9}^{4}$ | $-\zeta_{9}^{2}$ | $-\zeta_{9}$ |