Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 13 }$ to precision 8.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 13 }$: $ x^{7} + 3 x + 11 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ a^{6} + 10 a^{5} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 12 + \left(2 a^{6} + 12 a^{5} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13 + \left(2 a^{6} + 5 a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{2} + \left(12 a^{6} + 4 a^{5} + a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{3} + \left(6 a^{6} + a^{5} + 8 a^{4} + 12 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{4} + \left(7 a^{6} + 12 a^{5} + 12 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 2\right)\cdot 13^{5} + \left(a^{6} + 7 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{6} + \left(8 a^{6} + 4 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{7} +O\left(13^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 3 a^{6} + 2 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 6 + \left(10 a^{6} + 6 a^{5} + a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13 + \left(7 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{2} + \left(7 a^{6} + 7 a^{5} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{3} + \left(12 a^{6} + 9 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{4} + \left(6 a^{6} + 5 a^{5} + 9 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{5} + \left(9 a^{6} + 4 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{6} + \left(4 a^{6} + 8 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{7} +O\left(13^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 7 a^{6} + 8 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 7 + \left(10 a^{6} + 11 a^{5} + 4 a^{3} + 3 a + 8\right)\cdot 13 + \left(7 a^{6} + 10 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{2} + \left(6 a^{6} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{3} + \left(4 a^{6} + 6 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{4} + \left(12 a^{6} + 5 a^{5} + a^{3} + 3 a^{2}\right)\cdot 13^{5} + \left(4 a^{6} + 9 a^{5} + 4 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{6} + \left(12 a^{6} + 12 a^{5} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{7} +O\left(13^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 8 a^{6} + 9 a^{5} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 4 + \left(7 a^{6} + 3 a^{5} + 5 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13 + \left(7 a^{6} + 10 a^{5} + 2 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{2} + \left(8 a^{6} + 6 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{3} + \left(5 a^{6} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{4} + \left(3 a^{4} + 9 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{5} + \left(4 a^{6} + 3 a^{5} + a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{6} + \left(11 a^{6} + 10 a^{5} + 7 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{7} +O\left(13^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 9 a^{6} + 7 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 1 + \left(7 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{2} + 11\right)\cdot 13 + \left(5 a^{6} + 11 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{2} + \left(7 a^{6} + 11 a^{5} + 10 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{3} + \left(5 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{4} + \left(11 a^{6} + 5 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{5} + \left(a^{5} + 11 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{6} + \left(a^{6} + a^{5} + 5 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{7} +O\left(13^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 12 a^{6} + 12 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 5 + \left(11 a^{6} + 11 a^{5} + 10 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13 + \left(7 a^{6} + 4 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{2} + \left(10 a^{6} + 10 a^{5} + 10 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{3} + \left(3 a^{6} + 8 a^{5} + 10 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{4} + \left(12 a^{6} + 4 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 7\right)\cdot 13^{5} + \left(7 a^{6} + 12 a^{5} + 4 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{6} + \left(2 a^{6} + 4 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{7} +O\left(13^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 12 a^{6} + 12 a^{5} + 11 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 5 + \left(8 a^{6} + 11 a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13 + \left(7 a^{6} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{2} + \left(12 a^{6} + 10 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{3} + \left(4 a^{6} + 6 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{4} + \left(a^{6} + 5 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{5} + \left(10 a^{6} + a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{6} + \left(11 a^{6} + 10 a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{7} +O\left(13^{ 8 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 7 }$
| Cycle notation |
| $(1,6,3,4,5,2,7)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 7 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $1$ |
| $1$ | $7$ | $(1,6,3,4,5,2,7)$ | $\zeta_{7}$ |
| $1$ | $7$ | $(1,3,5,7,6,4,2)$ | $\zeta_{7}^{2}$ |
| $1$ | $7$ | $(1,4,7,3,2,6,5)$ | $\zeta_{7}^{3}$ |
| $1$ | $7$ | $(1,5,6,2,3,7,4)$ | $\zeta_{7}^{4}$ |
| $1$ | $7$ | $(1,2,4,6,7,5,3)$ | $\zeta_{7}^{5}$ |
| $1$ | $7$ | $(1,7,2,5,4,3,6)$ | $-\zeta_{7}^{5} - \zeta_{7}^{4} - \zeta_{7}^{3} - \zeta_{7}^{2} - \zeta_{7} - 1$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
