LMFDB - Artin representation 1.275.20t1.a.g

Basic invariants

Dimension:	$1$
Group:	20T1
Conductor:	$275$$\medspace = 5^{2} \cdot 11 $
Artin field:	Galois closure of 20.20.75487840807181783020496368408203125.1
Galois orbit size:	$8$
Smallest permutation container:	20T1
Parity:	even
Dirichlet character:	$\chi_{275}(252,\cdot)$
Projective image:	$C_1$
Projective field:	Galois closure of $\Q$

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{20} - 60 x^{18} + 1530 x^{16} - 31 x^{15} - 21600 x^{14} + 1395 x^{13} + 184275 x^{12} - 25110 x^{11} + \cdots + 51151 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 41 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 41 }$: $ x^{10} + 3x^{5} + 31x^{4} + 8x^{3} + 20x^{2} + 30x + 6 $ x^10 + 3*x^5 + 31*x^4 + 8*x^3 + 20*x^2 + 30*x + 6

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	\( 31 a^{9} + 35 a^{8} + 4 a^{7} + 13 a^{6} + 20 a^{5} + 19 a^{4} + 8 a^{3} + 34 a^{2} + 5 a + 2 + \left(39 a^{9} + 21 a^{8} + 28 a^{7} + 30 a^{6} + a^{5} + 35 a^{4} + 37 a^{3} + 28 a^{2} + 28 a + 35\right)\cdot 41 + \left(29 a^{9} + 19 a^{8} + 33 a^{7} + 23 a^{6} + 5 a^{5} + 27 a^{4} + 15 a^{3} + 17 a^{2} + 21 a + 12\right)\cdot 41^{2} + \left(39 a^{9} + 8 a^{8} + 3 a^{7} + 34 a^{6} + 10 a^{5} + 31 a^{4} + 21 a^{2} + 29 a + 10\right)\cdot 41^{3} + \left(16 a^{9} + 24 a^{8} + 8 a^{7} + 23 a^{6} + 3 a^{5} + 24 a^{4} + 31 a^{3} + 25 a + 31\right)\cdot 41^{4} + \left(9 a^{9} + 11 a^{8} + 28 a^{7} + 23 a^{6} + 33 a^{5} + 17 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 41^{5} + \left(15 a^{9} + 32 a^{8} + 37 a^{7} + 21 a^{6} + 16 a^{5} + 35 a^{4} + 5 a^{3} + 21 a + 15\right)\cdot 41^{6} + \left(31 a^{9} + 33 a^{8} + 26 a^{7} + 5 a^{6} + 13 a^{5} + 27 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 33 a + 25\right)\cdot 41^{7} + \left(28 a^{9} + 20 a^{8} + 12 a^{7} + 18 a^{6} + 29 a^{5} + 14 a^{4} + 40 a^{3} + 24 a^{2} + 17 a + 28\right)\cdot 41^{8} + \left(31 a^{9} + 12 a^{8} + 3 a^{7} + 15 a^{5} + 21 a^{4} + 27 a^{3} + 22 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\) 31a^9 + 35a^8 + 4a^7 + 13a^6 + 20a^5 + 19a^4 + 8a^3 + 34a^2 + 5a + 2 + (39a^9 + 21a^8 + 28a^7 + 30a^6 + a^5 + 35a^4 + 37a^3 + 28a^2 + 28a + 35)41 + (29a^9 + 19a^8 + 33a^7 + 23a^6 + 5a^5 + 27a^4 + 15a^3 + 17a^2 + 21a + 12)41^2 + (39a^9 + 8a^8 + 3a^7 + 34a^6 + 10a^5 + 31a^4 + 21a^2 + 29a + 10)41^3 + (16a^9 + 24a^8 + 8a^7 + 23a^6 + 3a^5 + 24a^4 + 31a^3 + 25a + 31)41^4 + (9a^9 + 11a^8 + 28a^7 + 23a^6 + 33a^5 + 17a^4 + 7a^3 + 14a^2 + 8a + 19)41^5 + (15a^9 + 32a^8 + 37a^7 + 21a^6 + 16a^5 + 35a^4 + 5a^3 + 21a + 15)41^6 + (31a^9 + 33a^8 + 26a^7 + 5a^6 + 13a^5 + 27a^4 + 14a^3 + 5a^2 + 33a + 25)41^7 + (28a^9 + 20a^8 + 12a^7 + 18a^6 + 29a^5 + 14a^4 + 40a^3 + 24a^2 + 17a + 28)41^8 + (31a^9 + 12a^8 + 3a^7 + 15a^5 + 21a^4 + 27a^3 + 22a^2 + 4a + 11)41^9+O(41^10)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 8 a^{9} + 21 a^{8} + 6 a^{7} + 10 a^{6} + 16 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + 32 a^{2} + 15 a + 33 + \left(38 a^{9} + 3 a^{8} + 31 a^{7} + 23 a^{6} + 12 a^{5} + 19 a^{4} + 7 a^{3} + 30 a^{2} + 26 a + 31\right)\cdot 41 + \left(6 a^{9} + 18 a^{8} + 12 a^{7} + 34 a^{6} + 12 a^{5} + 11 a^{4} + 26 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 36\right)\cdot 41^{2} + \left(14 a^{9} + 2 a^{8} + 33 a^{7} + 32 a^{6} + 33 a^{5} + 8 a^{4} + 24 a^{3} + 24 a^{2} + 13 a + 34\right)\cdot 41^{3} + \left(23 a^{9} + 15 a^{8} + 13 a^{7} + 36 a^{6} + 27 a^{5} + 32 a^{4} + 9 a^{3} + 33 a^{2} + 11 a + 34\right)\cdot 41^{4} + \left(29 a^{9} + 13 a^{8} + 11 a^{7} + 11 a^{6} + 38 a^{5} + 10 a^{4} + 15 a^{3} + 40 a^{2} + 6 a + 34\right)\cdot 41^{5} + \left(10 a^{9} + a^{8} + 14 a^{7} + 13 a^{6} + 23 a^{5} + 15 a^{4} + 28 a^{3} + 30 a^{2} + 26 a + 21\right)\cdot 41^{6} + \left(17 a^{9} + 18 a^{8} + 37 a^{7} + 36 a^{6} + a^{5} + 21 a^{4} + 3 a^{3} + 38 a^{2} + 22 a + 34\right)\cdot 41^{7} + \left(35 a^{9} + 37 a^{8} + 29 a^{7} + 12 a^{6} + 13 a^{5} + 18 a^{4} + 32 a^{3} + 20 a^{2} + 27 a + 1\right)\cdot 41^{8} + \left(18 a^{9} + 9 a^{8} + 2 a^{7} + 10 a^{5} + 23 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 39 a + 28\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\) 8a^9 + 21a^8 + 6a^7 + 10a^6 + 16a^5 + 10a^4 + 14a^3 + 32a^2 + 15a + 33 + (38a^9 + 3a^8 + 31a^7 + 23a^6 + 12a^5 + 19a^4 + 7a^3 + 30a^2 + 26a + 31)41 + (6a^9 + 18a^8 + 12a^7 + 34a^6 + 12a^5 + 11a^4 + 26a^3 + 8a^2 + 12a + 36)41^2 + (14a^9 + 2a^8 + 33a^7 + 32a^6 + 33a^5 + 8a^4 + 24a^3 + 24a^2 + 13a + 34)41^3 + (23a^9 + 15a^8 + 13a^7 + 36a^6 + 27a^5 + 32a^4 + 9a^3 + 33a^2 + 11a + 34)41^4 + (29a^9 + 13a^8 + 11a^7 + 11a^6 + 38a^5 + 10a^4 + 15a^3 + 40a^2 + 6a + 34)41^5 + (10a^9 + a^8 + 14a^7 + 13a^6 + 23a^5 + 15a^4 + 28a^3 + 30a^2 + 26a + 21)41^6 + (17a^9 + 18a^8 + 37a^7 + 36a^6 + a^5 + 21a^4 + 3a^3 + 38a^2 + 22a + 34)41^7 + (35a^9 + 37a^8 + 29a^7 + 12a^6 + 13a^5 + 18a^4 + 32a^3 + 20a^2 + 27a + 1)41^8 + (18a^9 + 9a^8 + 2a^7 + 10a^5 + 23a^4 + a^3 + 2a^2 + 39a + 28)*41^9+O(41^10)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 11 a^{9} + 30 a^{8} + 14 a^{7} + 4 a^{6} + 22 a^{5} + 31 a^{4} + 3 a^{3} + 13 a + 28 + \left(40 a^{9} + 29 a^{8} + 39 a^{7} + 3 a^{6} + 18 a^{5} + 18 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 35 a + 23\right)\cdot 41 + \left(21 a^{9} + 13 a^{8} + 3 a^{7} + 32 a^{6} + 24 a^{5} + 20 a^{4} + 25 a^{3} + 3 a^{2} + 36 a + 33\right)\cdot 41^{2} + \left(17 a^{9} + 22 a^{8} + 14 a^{7} + 31 a^{6} + 35 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 29 a^{2} + 19 a + 16\right)\cdot 41^{3} + \left(2 a^{9} + 18 a^{8} + 18 a^{7} + 17 a^{6} + 6 a^{5} + 30 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + 34 a + 6\right)\cdot 41^{4} + \left(28 a^{9} + 17 a^{8} + 22 a^{7} + 6 a^{6} + 33 a^{5} + a^{4} + 14 a^{3} + 40 a + 28\right)\cdot 41^{5} + \left(5 a^{9} + 32 a^{8} + 39 a^{7} + 4 a^{6} + 4 a^{5} + 30 a^{4} + 30 a^{3} + 22 a^{2} + 29 a + 10\right)\cdot 41^{6} + \left(6 a^{9} + 11 a^{8} + 38 a^{7} + 26 a^{6} + 9 a^{5} + 12 a^{4} + 28 a^{3} + 29 a^{2} + 38 a + 26\right)\cdot 41^{7} + \left(37 a^{9} + 11 a^{8} + 24 a^{7} + 19 a^{6} + 27 a^{5} + 5 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 41^{8} + \left(6 a^{9} + 35 a^{8} + 13 a^{7} + 7 a^{6} + 16 a^{5} + 7 a^{4} + 37 a^{3} + 6 a^{2} + 37 a + 15\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\) 11a^9 + 30a^8 + 14a^7 + 4a^6 + 22a^5 + 31a^4 + 3a^3 + 13a + 28 + (40a^9 + 29a^8 + 39a^7 + 3a^6 + 18a^5 + 18a^4 + 7a^3 + 9a^2 + 35a + 23)41 + (21a^9 + 13a^8 + 3a^7 + 32a^6 + 24a^5 + 20a^4 + 25a^3 + 3a^2 + 36a + 33)41^2 + (17a^9 + 22a^8 + 14a^7 + 31a^6 + 35a^5 + 10a^4 + 7a^3 + 29a^2 + 19a + 16)41^3 + (2a^9 + 18a^8 + 18a^7 + 17a^6 + 6a^5 + 30a^4 + 7a^3 + 12a^2 + 34a + 6)41^4 + (28a^9 + 17a^8 + 22a^7 + 6a^6 + 33a^5 + a^4 + 14a^3 + 40a + 28)41^5 + (5a^9 + 32a^8 + 39a^7 + 4a^6 + 4a^5 + 30a^4 + 30a^3 + 22a^2 + 29a + 10)41^6 + (6a^9 + 11a^8 + 38a^7 + 26a^6 + 9a^5 + 12a^4 + 28a^3 + 29a^2 + 38a + 26)41^7 + (37a^9 + 11a^8 + 24a^7 + 19a^6 + 27a^5 + 5a^4 + 5a^3 + 18a^2 + 16a + 15)41^8 + (6a^9 + 35a^8 + 13a^7 + 7a^6 + 16a^5 + 7a^4 + 37a^3 + 6a^2 + 37a + 15)41^9+O(41^10)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 29 a^{9} + 29 a^{8} + 26 a^{7} + 39 a^{6} + 15 a^{5} + 2 a^{4} + 37 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 29 + \left(29 a^{9} + 13 a^{8} + 31 a^{7} + 14 a^{6} + 11 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 29 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 41 + \left(a^{9} + 26 a^{8} + 37 a^{7} + 10 a^{6} + 40 a^{5} + 13 a^{4} + 26 a^{3} + 39 a^{2} + 20 a + 22\right)\cdot 41^{2} + \left(19 a^{9} + 14 a^{8} + 21 a^{7} + 25 a^{6} + 19 a^{5} + 18 a^{4} + 33 a^{3} + 13 a^{2} + 26 a + 5\right)\cdot 41^{3} + \left(25 a^{9} + 26 a^{8} + 11 a^{7} + 9 a^{6} + 33 a^{5} + 36 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 41^{4} + \left(40 a^{9} + 31 a^{8} + 16 a^{7} + 31 a^{6} + 10 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 30 a^{2} + 19 a + 36\right)\cdot 41^{5} + \left(19 a^{9} + a^{8} + 3 a^{7} + 15 a^{6} + 22 a^{5} + 23 a^{4} + 40 a^{3} + 22 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 41^{6} + \left(35 a^{9} + 25 a^{8} + 26 a^{7} + 25 a^{6} + 37 a^{4} + 18 a^{3} + 25 a^{2} + 2 a + 34\right)\cdot 41^{7} + \left(20 a^{9} + 30 a^{8} + 28 a^{7} + 30 a^{6} + 27 a^{5} + 9 a^{4} + 17 a^{3} + 33 a^{2} + 21 a + 31\right)\cdot 41^{8} + \left(10 a^{9} + a^{8} + 39 a^{7} + 24 a^{6} + 22 a^{5} + 26 a^{4} + 7 a^{3} + 18 a^{2} + 30 a + 23\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\) 29a^9 + 29a^8 + 26a^7 + 39a^6 + 15a^5 + 2a^4 + 37a^3 + 10a^2 + 12a + 29 + (29a^9 + 13a^8 + 31a^7 + 14a^6 + 11a^5 + a^4 + 6a^3 + 29a^2 + 8a + 17)41 + (a^9 + 26a^8 + 37a^7 + 10a^6 + 40a^5 + 13a^4 + 26a^3 + 39a^2 + 20a + 22)41^2 + (19a^9 + 14a^8 + 21a^7 + 25a^6 + 19a^5 + 18a^4 + 33a^3 + 13a^2 + 26a + 5)41^3 + (25a^9 + 26a^8 + 11a^7 + 9a^6 + 33a^5 + 36a^4 + 2a^3 + 6a^2 + 6a + 17)41^4 + (40a^9 + 31a^8 + 16a^7 + 31a^6 + 10a^5 + 2a^4 + 11a^3 + 30a^2 + 19a + 36)41^5 + (19a^9 + a^8 + 3a^7 + 15a^6 + 22a^5 + 23a^4 + 40a^3 + 22a^2 + 15a + 19)41^6 + (35a^9 + 25a^8 + 26a^7 + 25a^6 + 37a^4 + 18a^3 + 25a^2 + 2a + 34)41^7 + (20a^9 + 30a^8 + 28a^7 + 30a^6 + 27a^5 + 9a^4 + 17a^3 + 33a^2 + 21a + 31)41^8 + (10a^9 + a^8 + 39a^7 + 24a^6 + 22a^5 + 26a^4 + 7a^3 + 18a^2 + 30a + 23)41^9+O(41^10)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 34 a^{9} + 17 a^{8} + 39 a^{7} + 39 a^{6} + 23 a^{5} + 30 a^{4} + 11 a^{3} + 30 a^{2} + 18 a + 24 + \left(29 a^{9} + 26 a^{8} + 19 a^{7} + a^{6} + 27 a^{5} + 14 a^{4} + 23 a^{3} + 30 a^{2} + 24 a + 31\right)\cdot 41 + \left(a^{9} + 6 a^{8} + 38 a^{7} + 21 a^{6} + 33 a^{5} + 24 a^{4} + 14 a^{3} + 34 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 41^{2} + \left(17 a^{9} + a^{8} + 3 a^{7} + 16 a^{6} + 10 a^{5} + 8 a^{4} + 39 a^{3} + 38 a^{2} + 23 a\right)\cdot 41^{3} + \left(38 a^{9} + 30 a^{8} + 6 a^{7} + 3 a^{6} + 18 a^{5} + 11 a^{4} + 23 a^{3} + 35 a^{2} + 31 a + 23\right)\cdot 41^{4} + \left(40 a^{9} + 12 a^{8} + 16 a^{7} + 40 a^{6} + 40 a^{5} + 28 a^{4} + 10 a^{3} + 31 a^{2} + 18 a + 28\right)\cdot 41^{5} + \left(38 a^{9} + 38 a^{8} + 8 a^{7} + 9 a^{6} + 10 a^{5} + 20 a^{4} + 40 a^{3} + 20 a^{2} + 19 a + 16\right)\cdot 41^{6} + \left(9 a^{9} + 13 a^{8} + 35 a^{7} + 18 a^{6} + 9 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 4 a^{2} + 21 a + 33\right)\cdot 41^{7} + \left(35 a^{9} + 2 a^{8} + 38 a^{7} + 34 a^{6} + 35 a^{5} + 31 a^{4} + 29 a^{3} + 19 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 41^{8} + \left(17 a^{9} + 13 a^{8} + 5 a^{7} + 3 a^{6} + 31 a^{5} + 19 a^{4} + 38 a^{3} + 12 a^{2} + 40 a + 40\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\) 34a^9 + 17a^8 + 39a^7 + 39a^6 + 23a^5 + 30a^4 + 11a^3 + 30a^2 + 18a + 24 + (29a^9 + 26a^8 + 19a^7 + a^6 + 27a^5 + 14a^4 + 23a^3 + 30a^2 + 24a + 31)41 + (a^9 + 6a^8 + 38a^7 + 21a^6 + 33a^5 + 24a^4 + 14a^3 + 34a^2 + 3a + 2)41^2 + (17a^9 + a^8 + 3a^7 + 16a^6 + 10a^5 + 8a^4 + 39a^3 + 38a^2 + 23a)41^3 + (38a^9 + 30a^8 + 6a^7 + 3a^6 + 18a^5 + 11a^4 + 23a^3 + 35a^2 + 31a + 23)41^4 + (40a^9 + 12a^8 + 16a^7 + 40a^6 + 40a^5 + 28a^4 + 10a^3 + 31a^2 + 18a + 28)41^5 + (38a^9 + 38a^8 + 8a^7 + 9a^6 + 10a^5 + 20a^4 + 40a^3 + 20a^2 + 19a + 16)41^6 + (9a^9 + 13a^8 + 35a^7 + 18a^6 + 9a^5 + 13a^4 + 15a^3 + 4a^2 + 21a + 33)41^7 + (35a^9 + 2a^8 + 38a^7 + 34a^6 + 35a^5 + 31a^4 + 29a^3 + 19a^2 + 8a + 1)41^8 + (17a^9 + 13a^8 + 5a^7 + 3a^6 + 31a^5 + 19a^4 + 38a^3 + 12a^2 + 40a + 40)41^9+O(41^10)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 15 a^{9} + 28 a^{8} + 26 a^{7} + 8 a^{6} + 30 a^{5} + 22 a^{4} + 22 a^{3} + 22 a^{2} + 5 a + 28 + \left(8 a^{9} + 16 a^{8} + 20 a^{7} + 24 a^{6} + 34 a^{5} + 36 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 24 a + 11\right)\cdot 41 + \left(3 a^{9} + 39 a^{8} + 9 a^{7} + 8 a^{6} + 9 a^{5} + 23 a^{4} + 20 a^{3} + 3 a^{2} + 34 a + 22\right)\cdot 41^{2} + \left(32 a^{9} + 23 a^{8} + 9 a^{7} + 35 a^{6} + 8 a^{5} + 33 a^{4} + 30 a^{3} + 16 a^{2} + 23 a + 4\right)\cdot 41^{3} + \left(14 a^{9} + 3 a^{8} + 29 a^{7} + 5 a^{6} + 23 a^{5} + 19 a^{4} + 19 a^{3} + 22 a^{2} + 22 a + 34\right)\cdot 41^{4} + \left(4 a^{9} + 2 a^{7} + 7 a^{6} + 7 a^{5} + 28 a^{4} + 23 a^{3} + 18 a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 41^{5} + \left(37 a^{9} + 16 a^{8} + 10 a^{7} + 37 a^{6} + 19 a^{5} + 23 a^{4} + 36 a^{3} + 11 a^{2} + 35 a + 9\right)\cdot 41^{6} + \left(3 a^{9} + 4 a^{8} + 12 a^{7} + 14 a^{6} + 5 a^{5} + 35 a^{4} + 17 a^{2} + 27 a + 17\right)\cdot 41^{7} + \left(18 a^{9} + 24 a^{8} + 37 a^{7} + 20 a^{6} + 3 a^{4} + 36 a^{3} + 29 a + 39\right)\cdot 41^{8} + \left(4 a^{9} + 15 a^{8} + 22 a^{7} + 40 a^{6} + 37 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 34 a^{2} + 18\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\) 15a^9 + 28a^8 + 26a^7 + 8a^6 + 30a^5 + 22a^4 + 22a^3 + 22a^2 + 5a + 28 + (8a^9 + 16a^8 + 20a^7 + 24a^6 + 34a^5 + 36a^4 + 2a^3 + 14a^2 + 24a + 11)41 + (3a^9 + 39a^8 + 9a^7 + 8a^6 + 9a^5 + 23a^4 + 20a^3 + 3a^2 + 34a + 22)41^2 + (32a^9 + 23a^8 + 9a^7 + 35a^6 + 8a^5 + 33a^4 + 30a^3 + 16a^2 + 23a + 4)41^3 + (14a^9 + 3a^8 + 29a^7 + 5a^6 + 23a^5 + 19a^4 + 19a^3 + 22a^2 + 22a + 34)41^4 + (4a^9 + 2a^7 + 7a^6 + 7a^5 + 28a^4 + 23a^3 + 18a^2 + 22a + 3)41^5 + (37a^9 + 16a^8 + 10a^7 + 37a^6 + 19a^5 + 23a^4 + 36a^3 + 11a^2 + 35a + 9)41^6 + (3a^9 + 4a^8 + 12a^7 + 14a^6 + 5a^5 + 35a^4 + 17a^2 + 27a + 17)41^7 + (18a^9 + 24a^8 + 37a^7 + 20a^6 + 3a^4 + 36a^3 + 29a + 39)41^8 + (4a^9 + 15a^8 + 22a^7 + 40a^6 + 37a^5 + 3a^4 + 4a^3 + 34a^2 + 18)41^9+O(41^10)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 10 a^{9} + 29 a^{8} + 17 a^{7} + 16 a^{6} + 20 a^{5} + 37 a^{3} + 19 a^{2} + 32 a + 17 + \left(24 a^{9} + a^{8} + 31 a^{7} + 27 a^{5} + 20 a^{4} + 23 a^{3} + 39 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 41 + \left(34 a^{9} + 37 a^{8} + 38 a^{7} + 19 a^{5} + 34 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 41^{2} + \left(37 a^{9} + 5 a^{8} + 24 a^{7} + 17 a^{6} + 3 a^{5} + 38 a^{4} + 36 a^{3} + 31 a^{2} + 26 a + 7\right)\cdot 41^{3} + \left(37 a^{9} + 29 a^{8} + 21 a^{7} + 35 a^{6} + 17 a^{5} + 32 a^{4} + 3 a^{3} + 24 a^{2} + 30 a + 24\right)\cdot 41^{4} + \left(7 a^{9} + 24 a^{8} + 38 a^{7} + 4 a^{6} + 11 a^{5} + 3 a^{4} + 19 a^{3} + 33 a^{2} + 9 a + 26\right)\cdot 41^{5} + \left(17 a^{9} + 27 a^{8} + 16 a^{7} + 24 a^{6} + 15 a^{5} + 7 a^{4} + 40 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 41^{6} + \left(31 a^{9} + 2 a^{8} + 17 a^{7} + a^{6} + 30 a^{5} + 19 a^{4} + 35 a^{3} + 21 a^{2} + 19 a + 22\right)\cdot 41^{7} + \left(38 a^{9} + 30 a^{8} + 2 a^{7} + 37 a^{6} + 4 a^{5} + 13 a^{4} + 26 a^{3} + 13 a^{2} + 38 a + 31\right)\cdot 41^{8} + \left(8 a^{9} + 8 a^{8} + 13 a^{7} + 40 a^{5} + 24 a^{4} + 5 a^{3} + 15 a^{2} + a + 14\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\) 10a^9 + 29a^8 + 17a^7 + 16a^6 + 20a^5 + 37a^3 + 19a^2 + 32a + 17 + (24a^9 + a^8 + 31a^7 + 27a^5 + 20a^4 + 23a^3 + 39a^2 + 22a + 8)41 + (34a^9 + 37a^8 + 38a^7 + 19a^5 + 34a^4 + 15a^3 + 8a^2 + 21a + 2)41^2 + (37a^9 + 5a^8 + 24a^7 + 17a^6 + 3a^5 + 38a^4 + 36a^3 + 31a^2 + 26a + 7)41^3 + (37a^9 + 29a^8 + 21a^7 + 35a^6 + 17a^5 + 32a^4 + 3a^3 + 24a^2 + 30a + 24)41^4 + (7a^9 + 24a^8 + 38a^7 + 4a^6 + 11a^5 + 3a^4 + 19a^3 + 33a^2 + 9a + 26)41^5 + (17a^9 + 27a^8 + 16a^7 + 24a^6 + 15a^5 + 7a^4 + 40a^3 + 4a^2 + 10a + 12)41^6 + (31a^9 + 2a^8 + 17a^7 + a^6 + 30a^5 + 19a^4 + 35a^3 + 21a^2 + 19a + 22)41^7 + (38a^9 + 30a^8 + 2a^7 + 37a^6 + 4a^5 + 13a^4 + 26a^3 + 13a^2 + 38a + 31)41^8 + (8a^9 + 8a^8 + 13a^7 + 40a^5 + 24a^4 + 5a^3 + 15a^2 + a + 14)41^9+O(41^10)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 9 a^{9} + 38 a^{8} + 25 a^{7} + 20 a^{6} + 8 a^{5} + 29 a^{4} + a^{3} + 5 a^{2} + 32 a + 22 + \left(17 a^{9} + 18 a^{8} + 20 a^{7} + 11 a^{6} + 26 a^{5} + 22 a^{3} + 34 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 41 + \left(18 a^{9} + 26 a^{8} + 20 a^{7} + 12 a^{6} + 34 a^{5} + 5 a^{4} + 39 a^{3} + 34 a^{2} + 37 a + 12\right)\cdot 41^{2} + \left(36 a^{9} + 31 a^{8} + a^{7} + 14 a^{6} + 19 a^{5} + 31 a^{4} + 28 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 19\right)\cdot 41^{3} + \left(35 a^{9} + 35 a^{8} + 8 a^{7} + 16 a^{6} + 32 a^{5} + 11 a^{4} + 32 a^{3} + 24 a^{2} + 33 a + 24\right)\cdot 41^{4} + \left(20 a^{9} + 6 a^{8} + 11 a^{7} + 8 a^{6} + 17 a^{4} + 20 a^{3} + 34 a^{2} + 38 a + 28\right)\cdot 41^{5} + \left(22 a^{9} + 29 a^{8} + 3 a^{7} + 26 a^{6} + 12 a^{5} + 19 a^{3} + 36 a^{2} + 9 a + 19\right)\cdot 41^{6} + \left(28 a^{8} + 30 a^{7} + 2 a^{6} + 33 a^{5} + 18 a^{4} + 30 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 36\right)\cdot 41^{7} + \left(24 a^{9} + 31 a^{8} + 2 a^{7} + 8 a^{6} + 2 a^{5} + 24 a^{4} + 18 a^{3} + 30 a^{2} + 28 a + 4\right)\cdot 41^{8} + \left(29 a^{9} + 36 a^{8} + 13 a^{7} + 37 a^{5} + 8 a^{4} + 35 a^{3} + 36 a^{2} + 29 a + 23\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\) 9a^9 + 38a^8 + 25a^7 + 20a^6 + 8a^5 + 29a^4 + a^3 + 5a^2 + 32a + 22 + (17a^9 + 18a^8 + 20a^7 + 11a^6 + 26a^5 + 22a^3 + 34a^2 + 4a + 4)41 + (18a^9 + 26a^8 + 20a^7 + 12a^6 + 34a^5 + 5a^4 + 39a^3 + 34a^2 + 37a + 12)41^2 + (36a^9 + 31a^8 + a^7 + 14a^6 + 19a^5 + 31a^4 + 28a^3 + 5a^2 + 4a + 19)41^3 + (35a^9 + 35a^8 + 8a^7 + 16a^6 + 32a^5 + 11a^4 + 32a^3 + 24a^2 + 33a + 24)41^4 + (20a^9 + 6a^8 + 11a^7 + 8a^6 + 17a^4 + 20a^3 + 34a^2 + 38a + 28)41^5 + (22a^9 + 29a^8 + 3a^7 + 26a^6 + 12a^5 + 19a^3 + 36a^2 + 9a + 19)41^6 + (28a^8 + 30a^7 + 2a^6 + 33a^5 + 18a^4 + 30a^3 + 15a^2 + 14a + 36)41^7 + (24a^9 + 31a^8 + 2a^7 + 8a^6 + 2a^5 + 24a^4 + 18a^3 + 30a^2 + 28a + 4)41^8 + (29a^9 + 36a^8 + 13a^7 + 37a^5 + 8a^4 + 35a^3 + 36a^2 + 29a + 23)41^9+O(41^10)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 20 a^{9} + 16 a^{8} + 29 a^{7} + 16 a^{6} + 29 a^{5} + 34 a^{4} + 9 a^{3} + 26 a^{2} + 26 a + 8 + \left(38 a^{9} + a^{8} + 36 a^{7} + 15 a^{6} + 27 a^{5} + 14 a^{4} + 39 a^{3} + 38 a^{2} + 39 a + 12\right)\cdot 41 + \left(36 a^{9} + 7 a^{8} + 29 a^{7} + a^{6} + 33 a^{5} + 29 a^{4} + 11 a^{3} + 28 a^{2} + 17 a + 37\right)\cdot 41^{2} + \left(23 a^{9} + 20 a^{8} + 15 a^{7} + 35 a^{6} + 8 a^{5} + 35 a^{4} + 7 a^{3} + 33 a^{2} + 31 a + 35\right)\cdot 41^{3} + \left(15 a^{9} + 19 a^{8} + 9 a^{7} + 18 a^{6} + 9 a^{5} + 8 a^{4} + 32 a^{3} + 31 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 41^{4} + \left(19 a^{9} + 25 a^{8} + 33 a^{7} + 21 a^{6} + 26 a^{5} + 19 a^{3} + 39 a^{2} + 19 a + 30\right)\cdot 41^{5} + \left(11 a^{9} + 38 a^{8} + 19 a^{7} + 33 a^{6} + 38 a^{5} + 13 a^{4} + 37 a^{3} + 34 a^{2} + 18 a + 22\right)\cdot 41^{6} + \left(13 a^{9} + 28 a^{8} + 15 a^{7} + 29 a^{6} + 31 a^{5} + 15 a^{4} + 38 a^{3} + 28 a^{2} + 16 a + 22\right)\cdot 41^{7} + \left(39 a^{9} + 9 a^{8} + 5 a^{6} + 19 a^{5} + 33 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 29 a + 10\right)\cdot 41^{8} + \left(22 a^{9} + 19 a^{8} + 4 a^{7} + 8 a^{6} + 17 a^{5} + 23 a^{4} + 31 a^{3} + 16 a^{2} + 30 a\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\) 20a^9 + 16a^8 + 29a^7 + 16a^6 + 29a^5 + 34a^4 + 9a^3 + 26a^2 + 26a + 8 + (38a^9 + a^8 + 36a^7 + 15a^6 + 27a^5 + 14a^4 + 39a^3 + 38a^2 + 39a + 12)41 + (36a^9 + 7a^8 + 29a^7 + a^6 + 33a^5 + 29a^4 + 11a^3 + 28a^2 + 17a + 37)41^2 + (23a^9 + 20a^8 + 15a^7 + 35a^6 + 8a^5 + 35a^4 + 7a^3 + 33a^2 + 31a + 35)41^3 + (15a^9 + 19a^8 + 9a^7 + 18a^6 + 9a^5 + 8a^4 + 32a^3 + 31a^2 + 5a + 9)41^4 + (19a^9 + 25a^8 + 33a^7 + 21a^6 + 26a^5 + 19a^3 + 39a^2 + 19a + 30)41^5 + (11a^9 + 38a^8 + 19a^7 + 33a^6 + 38a^5 + 13a^4 + 37a^3 + 34a^2 + 18a + 22)41^6 + (13a^9 + 28a^8 + 15a^7 + 29a^6 + 31a^5 + 15a^4 + 38a^3 + 28a^2 + 16a + 22)41^7 + (39a^9 + 9a^8 + 5a^6 + 19a^5 + 33a^4 + 5a^3 + 2a^2 + 29a + 10)41^8 + (22a^9 + 19a^8 + 4a^7 + 8a^6 + 17a^5 + 23a^4 + 31a^3 + 16a^2 + 30a)*41^9+O(41^10)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 36 a^{9} + 2 a^{8} + a^{7} + 18 a^{6} + 3 a^{5} + 30 a^{4} + 30 a^{3} + 22 a^{2} + 25 a + \left(7 a^{9} + 16 a^{8} + 37 a^{7} + 8 a^{6} + 18 a^{5} + 26 a^{4} + 2 a^{3} + 19 a^{2} + 30 a + 4\right)\cdot 41 + \left(11 a^{9} + 24 a^{8} + 39 a^{7} + 35 a^{6} + a^{5} + a^{4} + 35 a^{3} + 18 a^{2} + 20 a + 23\right)\cdot 41^{2} + \left(22 a^{9} + 29 a^{8} + 35 a^{7} + 7 a^{6} + 16 a^{5} + 24 a^{4} + 23 a^{3} + 9 a^{2} + 31 a + 11\right)\cdot 41^{3} + \left(28 a^{8} + a^{7} + 4 a^{6} + 22 a^{5} + 5 a^{4} + 7 a^{3} + 39 a^{2} + 2 a + 22\right)\cdot 41^{4} + \left(27 a^{9} + 40 a^{8} + 37 a^{7} + 5 a^{6} + 32 a^{5} + 37 a^{4} + 35 a^{3} + 36 a^{2} + 39 a + 1\right)\cdot 41^{5} + \left(12 a^{9} + 19 a^{8} + 9 a^{7} + 7 a^{6} + 39 a^{5} + 14 a^{4} + 29 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 36\right)\cdot 41^{6} + \left(19 a^{9} + 15 a^{8} + 36 a^{7} + 2 a^{6} + 2 a^{5} + 4 a^{4} + 32 a^{3} + 2 a^{2} + 28 a + 28\right)\cdot 41^{7} + \left(28 a^{9} + 34 a^{8} + 27 a^{7} + 30 a^{6} + 33 a^{5} + 7 a^{4} + 23 a^{3} + 14 a^{2} + a\right)\cdot 41^{8} + \left(4 a^{9} + 18 a^{8} + 26 a^{7} + 35 a^{6} + 27 a^{5} + 27 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\) 36a^9 + 2a^8 + a^7 + 18a^6 + 3a^5 + 30a^4 + 30a^3 + 22a^2 + 25a + (7a^9 + 16a^8 + 37a^7 + 8a^6 + 18a^5 + 26a^4 + 2a^3 + 19a^2 + 30a + 4)41 + (11a^9 + 24a^8 + 39a^7 + 35a^6 + a^5 + a^4 + 35a^3 + 18a^2 + 20a + 23)41^2 + (22a^9 + 29a^8 + 35a^7 + 7a^6 + 16a^5 + 24a^4 + 23a^3 + 9a^2 + 31a + 11)41^3 + (28a^8 + a^7 + 4a^6 + 22a^5 + 5a^4 + 7a^3 + 39a^2 + 2a + 22)41^4 + (27a^9 + 40a^8 + 37a^7 + 5a^6 + 32a^5 + 37a^4 + 35a^3 + 36a^2 + 39a + 1)41^5 + (12a^9 + 19a^8 + 9a^7 + 7a^6 + 39a^5 + 14a^4 + 29a^3 + 6a^2 + 3a + 36)41^6 + (19a^9 + 15a^8 + 36a^7 + 2a^6 + 2a^5 + 4a^4 + 32a^3 + 2a^2 + 28a + 28)41^7 + (28a^9 + 34a^8 + 27a^7 + 30a^6 + 33a^5 + 7a^4 + 23a^3 + 14a^2 + a)41^8 + (4a^9 + 18a^8 + 26a^7 + 35a^6 + 27a^5 + 27a^4 + 11a^3 + 2a^2 + 22a + 17)*41^9+O(41^10)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 21 a^{9} + 3 a^{8} + 16 a^{7} + 39 a^{6} + 4 a^{5} + 7 a^{4} + 24 a^{3} + 14 a^{2} + 9 a + 1 + \left(10 a^{9} + 17 a^{8} + 40 a^{7} + 40 a^{6} + 8 a^{5} + 34 a^{4} + 21 a^{3} + 23 a^{2} + 23 a + 40\right)\cdot 41 + \left(14 a^{9} + 37 a^{8} + 21 a^{7} + 39 a^{6} + 25 a^{5} + 24 a^{4} + 11 a^{2} + 32 a + 22\right)\cdot 41^{2} + \left(8 a^{9} + 30 a^{8} + 5 a^{7} + 32 a^{6} + 27 a^{5} + 18 a^{4} + 28 a^{3} + 19 a^{2} + 28 a + 3\right)\cdot 41^{3} + \left(5 a^{9} + 24 a^{8} + 21 a^{7} + 13 a^{6} + a^{5} + 7 a^{4} + 21 a^{3} + 6 a^{2} + 40 a + 8\right)\cdot 41^{4} + \left(27 a^{9} + 24 a^{8} + 35 a^{7} + 28 a^{6} + 33 a^{5} + 35 a^{4} + 9 a^{3} + 21 a^{2} + a + 40\right)\cdot 41^{5} + \left(18 a^{9} + 40 a^{8} + 39 a^{7} + 40 a^{6} + 23 a^{5} + 20 a^{4} + 24 a^{3} + 25 a^{2} + 29 a + 24\right)\cdot 41^{6} + \left(34 a^{9} + 17 a^{8} + 26 a^{7} + 37 a^{6} + 14 a^{5} + 12 a^{4} + 24 a^{3} + 39 a^{2} + 37 a + 2\right)\cdot 41^{7} + \left(25 a^{9} + 15 a^{8} + 36 a^{7} + 15 a^{6} + 14 a^{5} + 36 a^{4} + 13 a^{3} + 22 a^{2} + 20 a + 4\right)\cdot 41^{8} + \left(6 a^{9} + 38 a^{8} + a^{7} + 33 a^{6} + 27 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{3} + 38 a^{2} + 21 a + 6\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\) 21a^9 + 3a^8 + 16a^7 + 39a^6 + 4a^5 + 7a^4 + 24a^3 + 14a^2 + 9a + 1 + (10a^9 + 17a^8 + 40a^7 + 40a^6 + 8a^5 + 34a^4 + 21a^3 + 23a^2 + 23a + 40)41 + (14a^9 + 37a^8 + 21a^7 + 39a^6 + 25a^5 + 24a^4 + 11a^2 + 32a + 22)41^2 + (8a^9 + 30a^8 + 5a^7 + 32a^6 + 27a^5 + 18a^4 + 28a^3 + 19a^2 + 28a + 3)41^3 + (5a^9 + 24a^8 + 21a^7 + 13a^6 + a^5 + 7a^4 + 21a^3 + 6a^2 + 40a + 8)41^4 + (27a^9 + 24a^8 + 35a^7 + 28a^6 + 33a^5 + 35a^4 + 9a^3 + 21a^2 + a + 40)41^5 + (18a^9 + 40a^8 + 39a^7 + 40a^6 + 23a^5 + 20a^4 + 24a^3 + 25a^2 + 29a + 24)41^6 + (34a^9 + 17a^8 + 26a^7 + 37a^6 + 14a^5 + 12a^4 + 24a^3 + 39a^2 + 37a + 2)41^7 + (25a^9 + 15a^8 + 36a^7 + 15a^6 + 14a^5 + 36a^4 + 13a^3 + 22a^2 + 20a + 4)41^8 + (6a^9 + 38a^8 + a^7 + 33a^6 + 27a^5 + 4a^4 + 4a^3 + 38a^2 + 21a + 6)*41^9+O(41^10)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 38 a^{9} + 15 a^{8} + 19 a^{7} + 3 a^{6} + 35 a^{5} + 19 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a + 17 + \left(11 a^{9} + 30 a^{8} + 31 a^{6} + 29 a^{5} + 28 a^{4} + 29 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 41 + \left(15 a^{9} + 14 a^{8} + 17 a^{7} + 6 a^{6} + 15 a^{5} + 32 a^{4} + 36 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 28\right)\cdot 41^{2} + \left(21 a^{9} + 27 a^{8} + 6 a^{6} + a^{5} + 31 a^{4} + 23 a^{3} + 22 a^{2} + 39 a + 18\right)\cdot 41^{3} + \left(3 a^{9} + 15 a^{8} + 40 a^{7} + 27 a^{6} + 7 a^{5} + 7 a^{4} + 29 a^{2} + 23 a + 23\right)\cdot 41^{4} + \left(12 a^{9} + 26 a^{8} + 6 a^{7} + 10 a^{6} + 32 a^{5} + 37 a^{4} + 10 a^{3} + 29 a^{2} + 2 a + 29\right)\cdot 41^{5} + \left(11 a^{9} + 4 a^{8} + a^{7} + 3 a^{6} + 18 a^{5} + 5 a^{4} + 28 a^{3} + 12 a^{2} + 21 a + 27\right)\cdot 41^{6} + \left(23 a^{9} + 4 a^{8} + 17 a^{7} + 3 a^{6} + 35 a^{5} + 34 a^{4} + 12 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 22\right)\cdot 41^{7} + \left(34 a^{9} + 20 a^{8} + 28 a^{7} + 33 a^{6} + 36 a^{5} + 40 a^{4} + 22 a^{3} + 28 a^{2} + 10 a + 34\right)\cdot 41^{8} + \left(a^{9} + 12 a^{8} + 29 a^{7} + 32 a^{6} + 18 a^{5} + 23 a^{4} + 32 a^{3} + 23 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\) 38a^9 + 15a^8 + 19a^7 + 3a^6 + 35a^5 + 19a^4 + 6a^3 + 9a^2 + 17a + 17 + (11a^9 + 30a^8 + 31a^6 + 29a^5 + 28a^4 + 29a^2 + 14a + 6)41 + (15a^9 + 14a^8 + 17a^7 + 6a^6 + 15a^5 + 32a^4 + 36a^3 + 16a^2 + 17a + 28)41^2 + (21a^9 + 27a^8 + 6a^6 + a^5 + 31a^4 + 23a^3 + 22a^2 + 39a + 18)41^3 + (3a^9 + 15a^8 + 40a^7 + 27a^6 + 7a^5 + 7a^4 + 29a^2 + 23a + 23)41^4 + (12a^9 + 26a^8 + 6a^7 + 10a^6 + 32a^5 + 37a^4 + 10a^3 + 29a^2 + 2a + 29)41^5 + (11a^9 + 4a^8 + a^7 + 3a^6 + 18a^5 + 5a^4 + 28a^3 + 12a^2 + 21a + 27)41^6 + (23a^9 + 4a^8 + 17a^7 + 3a^6 + 35a^5 + 34a^4 + 12a^3 + 16a^2 + 14a + 22)41^7 + (34a^9 + 20a^8 + 28a^7 + 33a^6 + 36a^5 + 40a^4 + 22a^3 + 28a^2 + 10a + 34)41^8 + (a^9 + 12a^8 + 29a^7 + 32a^6 + 18a^5 + 23a^4 + 32a^3 + 23a^2 + 2a + 4)41^9+O(41^10)
$r_{ 13 }$	$=$	\( 25 a^{9} + 15 a^{6} + 10 a^{5} + 30 a^{4} + 14 a^{3} + 9 a^{2} + 26 + \left(34 a^{9} + 30 a^{8} + 3 a^{7} + 27 a^{6} + 22 a^{5} + 23 a^{4} + 8 a^{3} + 16 a^{2} + 37 a + 5\right)\cdot 41 + \left(17 a^{9} + 13 a^{8} + 2 a^{7} + 35 a^{6} + 11 a^{5} + 9 a^{4} + 6 a^{3} + 23 a^{2} + 31 a + 12\right)\cdot 41^{2} + \left(30 a^{9} + 36 a^{8} + 37 a^{7} + 13 a^{6} + 5 a^{5} + 31 a^{4} + 35 a^{3} + 6 a^{2} + 28 a + 23\right)\cdot 41^{3} + \left(22 a^{9} + 7 a^{8} + 15 a^{7} + 37 a^{6} + 10 a^{5} + 23 a^{4} + 7 a^{3} + 22 a^{2} + 40 a + 5\right)\cdot 41^{4} + \left(6 a^{9} + 31 a^{8} + 9 a^{7} + 12 a^{6} + 11 a^{5} + 22 a^{4} + 27 a + 22\right)\cdot 41^{5} + \left(19 a^{9} + 26 a^{8} + 26 a^{7} + 8 a^{6} + 12 a^{5} + 28 a^{4} + 40 a^{3} + 39 a^{2} + 14 a + 39\right)\cdot 41^{6} + \left(19 a^{8} + 30 a^{7} + 39 a^{6} + 16 a^{5} + 21 a^{4} + 37 a^{3} + 34 a^{2} + 9\right)\cdot 41^{7} + \left(28 a^{9} + 6 a^{8} + 30 a^{6} + 16 a^{5} + 13 a^{4} + 22 a^{3} + 30 a^{2} + a + 17\right)\cdot 41^{8} + \left(7 a^{9} + 11 a^{8} + 8 a^{7} + 35 a^{6} + 12 a^{5} + 32 a^{4} + 15 a^{3} + 13 a^{2} + 33 a + 3\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\) 25a^9 + 15a^6 + 10a^5 + 30a^4 + 14a^3 + 9a^2 + 26 + (34a^9 + 30a^8 + 3a^7 + 27a^6 + 22a^5 + 23a^4 + 8a^3 + 16a^2 + 37a + 5)41 + (17a^9 + 13a^8 + 2a^7 + 35a^6 + 11a^5 + 9a^4 + 6a^3 + 23a^2 + 31a + 12)41^2 + (30a^9 + 36a^8 + 37a^7 + 13a^6 + 5a^5 + 31a^4 + 35a^3 + 6a^2 + 28a + 23)41^3 + (22a^9 + 7a^8 + 15a^7 + 37a^6 + 10a^5 + 23a^4 + 7a^3 + 22a^2 + 40a + 5)41^4 + (6a^9 + 31a^8 + 9a^7 + 12a^6 + 11a^5 + 22a^4 + 27a + 22)41^5 + (19a^9 + 26a^8 + 26a^7 + 8a^6 + 12a^5 + 28a^4 + 40a^3 + 39a^2 + 14a + 39)41^6 + (19a^8 + 30a^7 + 39a^6 + 16a^5 + 21a^4 + 37a^3 + 34a^2 + 9)41^7 + (28a^9 + 6a^8 + 30a^6 + 16a^5 + 13a^4 + 22a^3 + 30a^2 + a + 17)41^8 + (7a^9 + 11a^8 + 8a^7 + 35a^6 + 12a^5 + 32a^4 + 15a^3 + 13a^2 + 33a + 3)41^9+O(41^10)
$r_{ 14 }$	$=$	\( 15 a^{9} + 12 a^{8} + 30 a^{7} + 27 a^{6} + 4 a^{5} + 15 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 35 + \left(6 a^{9} + 39 a^{8} + 37 a^{7} + 6 a^{5} + 30 a^{4} + 20 a^{3} + 32 a^{2} + 29 a + 32\right)\cdot 41 + \left(35 a^{8} + 25 a^{7} + 40 a^{6} + 26 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 41^{2} + \left(31 a^{9} + 28 a^{8} + 33 a^{7} + 19 a^{6} + 32 a^{5} + 22 a^{4} + 36 a^{3} + 20 a^{2} + 29 a + 38\right)\cdot 41^{3} + \left(18 a^{9} + 12 a^{8} + 3 a^{7} + 16 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 26 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 41^{4} + \left(19 a^{9} + 34 a^{8} + 13 a^{7} + 27 a^{6} + a^{5} + 26 a^{4} + 15 a^{3} + 33 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 41^{5} + \left(15 a^{9} + 23 a^{8} + 34 a^{7} + 10 a^{6} + 27 a^{5} + 22 a^{4} + 30 a^{3} + 17 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 41^{6} + \left(7 a^{9} + 17 a^{8} + 38 a^{7} + 10 a^{6} + 33 a^{5} + 15 a^{4} + 32 a^{3} + 30 a^{2} + 13 a + 33\right)\cdot 41^{7} + \left(34 a^{9} + 23 a^{8} + 11 a^{7} + 8 a^{6} + 38 a^{5} + 17 a^{4} + 40 a^{3} + 22 a^{2} + 21 a + 38\right)\cdot 41^{8} + \left(27 a^{9} + 10 a^{8} + 30 a^{7} + 38 a^{6} + 7 a^{5} + 3 a^{4} + 18 a^{3} + 8 a^{2} + 22 a + 16\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\) 15a^9 + 12a^8 + 30a^7 + 27a^6 + 4a^5 + 15a^4 + 10a^3 + 6a^2 + 2a + 35 + (6a^9 + 39a^8 + 37a^7 + 6a^5 + 30a^4 + 20a^3 + 32a^2 + 29a + 32)41 + (35a^8 + 25a^7 + 40a^6 + 26a^5 + 11a^4 + 6a^3 + 6a^2 + 8a + 15)41^2 + (31a^9 + 28a^8 + 33a^7 + 19a^6 + 32a^5 + 22a^4 + 36a^3 + 20a^2 + 29a + 38)41^3 + (18a^9 + 12a^8 + 3a^7 + 16a^5 + 13a^4 + 15a^3 + 26a^2 + 13a + 10)41^4 + (19a^9 + 34a^8 + 13a^7 + 27a^6 + a^5 + 26a^4 + 15a^3 + 33a^2 + 13a + 16)41^5 + (15a^9 + 23a^8 + 34a^7 + 10a^6 + 27a^5 + 22a^4 + 30a^3 + 17a^2 + 8a + 8)41^6 + (7a^9 + 17a^8 + 38a^7 + 10a^6 + 33a^5 + 15a^4 + 32a^3 + 30a^2 + 13a + 33)41^7 + (34a^9 + 23a^8 + 11a^7 + 8a^6 + 38a^5 + 17a^4 + 40a^3 + 22a^2 + 21a + 38)41^8 + (27a^9 + 10a^8 + 30a^7 + 38a^6 + 7a^5 + 3a^4 + 18a^3 + 8a^2 + 22a + 16)*41^9+O(41^10)
$r_{ 15 }$	$=$	\( 33 a^{9} + 20 a^{8} + 11 a^{7} + 40 a^{6} + 3 a^{5} + 3 a^{4} + 23 a^{3} + 16 a^{2} + 19 a + 8 + \left(3 a^{9} + 30 a^{8} + 18 a^{7} + 16 a^{6} + 38 a^{5} + 34 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 41 + \left(31 a^{9} + 29 a^{8} + 4 a^{7} + 10 a^{6} + 8 a^{5} + 38 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + a + 34\right)\cdot 41^{2} + \left(7 a^{9} + 4 a^{8} + 30 a^{7} + 3 a^{6} + 37 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 39 a + 28\right)\cdot 41^{3} + \left(23 a^{9} + 18 a^{8} + 2 a^{7} + 36 a^{6} + 10 a^{5} + 22 a^{4} + 7 a^{3} + 16 a^{2} + 28 a + 19\right)\cdot 41^{4} + \left(25 a^{9} + a^{8} + 11 a^{7} + 20 a^{6} + 23 a^{5} + 27 a^{4} + 28 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 41^{5} + \left(14 a^{9} + 34 a^{8} + 6 a^{7} + 14 a^{6} + 39 a^{5} + a^{4} + 28 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 41^{6} + \left(32 a^{9} + 18 a^{8} + 18 a^{7} + 19 a^{6} + 9 a^{4} + 15 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 41^{7} + \left(3 a^{9} + 28 a^{8} + 26 a^{7} + 18 a^{6} + 37 a^{5} + 13 a^{4} + 34 a^{3} + 36 a^{2} + 36 a + 10\right)\cdot 41^{8} + \left(4 a^{9} + 29 a^{8} + 34 a^{7} + 16 a^{6} + 7 a^{5} + 2 a^{4} + 37 a^{3} + 18 a^{2} + 38 a + 23\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\) 33a^9 + 20a^8 + 11a^7 + 40a^6 + 3a^5 + 3a^4 + 23a^3 + 16a^2 + 19a + 8 + (3a^9 + 30a^8 + 18a^7 + 16a^6 + 38a^5 + 34a^4 + 9a^3 + 4a^2 + 12a + 20)41 + (31a^9 + 29a^8 + 4a^7 + 10a^6 + 8a^5 + 38a^4 + 2a^3 + 18a^2 + a + 34)41^2 + (7a^9 + 4a^8 + 30a^7 + 3a^6 + 37a^5 + 7a^4 + 9a^3 + 4a^2 + 39a + 28)41^3 + (23a^9 + 18a^8 + 2a^7 + 36a^6 + 10a^5 + 22a^4 + 7a^3 + 16a^2 + 28a + 19)41^4 + (25a^9 + a^8 + 11a^7 + 20a^6 + 23a^5 + 27a^4 + 28a^2 + 6a + 5)41^5 + (14a^9 + 34a^8 + 6a^7 + 14a^6 + 39a^5 + a^4 + 28a^3 + 5a^2 + 2a + 8)41^6 + (32a^9 + 18a^8 + 18a^7 + 19a^6 + 9a^4 + 15a^3 + 11a^2 + 16a + 6)41^7 + (3a^9 + 28a^8 + 26a^7 + 18a^6 + 37a^5 + 13a^4 + 34a^3 + 36a^2 + 36a + 10)41^8 + (4a^9 + 29a^8 + 34a^7 + 16a^6 + 7a^5 + 2a^4 + 37a^3 + 18a^2 + 38a + 23)41^9+O(41^10)
$r_{ 16 }$	$=$	\( 13 a^{9} + 29 a^{8} + 15 a^{7} + 21 a^{6} + 21 a^{5} + 19 a^{4} + 30 a^{3} + 14 a^{2} + 28 a + 5 + \left(32 a^{9} + 32 a^{8} + 29 a^{7} + 15 a^{6} + 24 a^{5} + 34 a^{4} + 10 a^{3} + 18 a^{2} + 23 a + 20\right)\cdot 41 + \left(4 a^{9} + 12 a^{8} + 39 a^{7} + 35 a^{6} + 37 a^{5} + 37 a^{4} + 24 a^{3} + 23 a^{2} + 11 a + 24\right)\cdot 41^{2} + \left(28 a^{9} + 38 a^{8} + 30 a^{7} + 3 a^{6} + 8 a^{5} + 28 a^{4} + 29 a^{2} + 5 a + 23\right)\cdot 41^{3} + \left(9 a^{9} + 3 a^{8} + 10 a^{7} + 34 a^{6} + 31 a^{5} + 36 a^{4} + 13 a^{3} + 33 a^{2} + 4 a + 36\right)\cdot 41^{4} + \left(2 a^{9} + 11 a^{8} + 34 a^{7} + a^{6} + 9 a^{5} + 7 a^{4} + 18 a^{3} + 16 a^{2} + 38 a + 2\right)\cdot 41^{5} + \left(19 a^{9} + 25 a^{8} + 12 a^{7} + 24 a^{6} + 20 a^{5} + 16 a^{4} + 26 a^{3} + 36 a^{2} + 29 a + 25\right)\cdot 41^{6} + \left(12 a^{9} + 38 a^{8} + 27 a^{7} + 21 a^{6} + 8 a^{5} + 6 a^{4} + 5 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 41^{7} + \left(7 a^{9} + 6 a^{8} + 25 a^{7} + 3 a^{6} + 6 a^{5} + 23 a^{4} + 23 a^{3} + 26 a^{2} + 36 a + 2\right)\cdot 41^{8} + \left(36 a^{9} + 33 a^{8} + 16 a^{7} + 37 a^{6} + 13 a^{5} + 30 a^{4} + 24 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\) 13a^9 + 29a^8 + 15a^7 + 21a^6 + 21a^5 + 19a^4 + 30a^3 + 14a^2 + 28a + 5 + (32a^9 + 32a^8 + 29a^7 + 15a^6 + 24a^5 + 34a^4 + 10a^3 + 18a^2 + 23a + 20)41 + (4a^9 + 12a^8 + 39a^7 + 35a^6 + 37a^5 + 37a^4 + 24a^3 + 23a^2 + 11a + 24)41^2 + (28a^9 + 38a^8 + 30a^7 + 3a^6 + 8a^5 + 28a^4 + 29a^2 + 5a + 23)41^3 + (9a^9 + 3a^8 + 10a^7 + 34a^6 + 31a^5 + 36a^4 + 13a^3 + 33a^2 + 4a + 36)41^4 + (2a^9 + 11a^8 + 34a^7 + a^6 + 9a^5 + 7a^4 + 18a^3 + 16a^2 + 38a + 2)41^5 + (19a^9 + 25a^8 + 12a^7 + 24a^6 + 20a^5 + 16a^4 + 26a^3 + 36a^2 + 29a + 25)41^6 + (12a^9 + 38a^8 + 27a^7 + 21a^6 + 8a^5 + 6a^4 + 5a^2 + 18a + 4)41^7 + (7a^9 + 6a^8 + 25a^7 + 3a^6 + 6a^5 + 23a^4 + 23a^3 + 26a^2 + 36a + 2)41^8 + (36a^9 + 33a^8 + 16a^7 + 37a^6 + 13a^5 + 30a^4 + 24a^3 + 5a^2 + 10a + 10)41^9+O(41^10)
$r_{ 17 }$	$=$	\( 37 a^{9} + 17 a^{7} + 40 a^{6} + 14 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 25 a + 6 + \left(12 a^{9} + 19 a^{8} + a^{7} + 35 a^{6} + 4 a^{5} + 11 a^{4} + 36 a^{2} + 7 a + 32\right)\cdot 41 + \left(22 a^{9} + 9 a^{8} + 22 a^{7} + a^{6} + 27 a^{5} + 8 a^{4} + 14 a^{3} + 8 a^{2} + 34 a + 5\right)\cdot 41^{2} + \left(38 a^{9} + 26 a^{8} + 10 a^{7} + 35 a^{6} + 17 a^{5} + 23 a^{4} + 9 a^{2} + 12 a\right)\cdot 41^{3} + \left(10 a^{9} + 14 a^{8} + 28 a^{7} + 19 a^{6} + 24 a^{5} + 6 a^{4} + 38 a^{3} + 21 a^{2} + 5 a + 36\right)\cdot 41^{4} + \left(21 a^{9} + 9 a^{8} + 13 a^{7} + 40 a^{6} + 19 a^{5} + 28 a^{4} + 16 a^{3} + 27 a^{2} + 35 a + 20\right)\cdot 41^{5} + \left(17 a^{9} + 17 a^{8} + 19 a^{7} + 36 a^{6} + 10 a^{5} + 2 a^{4} + 34 a^{3} + 33 a^{2} + 15 a + 39\right)\cdot 41^{6} + \left(40 a^{9} + 19 a^{8} + 14 a^{6} + a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 41^{7} + \left(34 a^{9} + 22 a^{8} + 31 a^{7} + 17 a^{6} + a^{5} + 23 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 23 a + 27\right)\cdot 41^{8} + \left(19 a^{9} + 25 a^{8} + 7 a^{7} + 34 a^{6} + 23 a^{5} + 38 a^{4} + 28 a^{3} + 14 a^{2} + a + 6\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\) 37a^9 + 17a^7 + 40a^6 + 14a^5 + a^4 + 6a^3 + 3a^2 + 25a + 6 + (12a^9 + 19a^8 + a^7 + 35a^6 + 4a^5 + 11a^4 + 36a^2 + 7a + 32)41 + (22a^9 + 9a^8 + 22a^7 + a^6 + 27a^5 + 8a^4 + 14a^3 + 8a^2 + 34a + 5)41^2 + (38a^9 + 26a^8 + 10a^7 + 35a^6 + 17a^5 + 23a^4 + 9a^2 + 12a)41^3 + (10a^9 + 14a^8 + 28a^7 + 19a^6 + 24a^5 + 6a^4 + 38a^3 + 21a^2 + 5a + 36)41^4 + (21a^9 + 9a^8 + 13a^7 + 40a^6 + 19a^5 + 28a^4 + 16a^3 + 27a^2 + 35a + 20)41^5 + (17a^9 + 17a^8 + 19a^7 + 36a^6 + 10a^5 + 2a^4 + 34a^3 + 33a^2 + 15a + 39)41^6 + (40a^9 + 19a^8 + 14a^6 + a^5 + 12a^4 + 6a^3 + a^2 + 12a + 2)41^7 + (34a^9 + 22a^8 + 31a^7 + 17a^6 + a^5 + 23a^4 + 3a^3 + 7a^2 + 23a + 27)41^8 + (19a^9 + 25a^8 + 7a^7 + 34a^6 + 23a^5 + 38a^4 + 28a^3 + 14a^2 + a + 6)41^9+O(41^10)
$r_{ 18 }$	$=$	\( 22 a^{9} + 39 a^{8} + 19 a^{7} + 17 a^{6} + 40 a^{5} + 17 a^{4} + 6 a^{3} + 37 a^{2} + 2 a + 36 + \left(22 a^{9} + 15 a^{8} + 17 a^{7} + 21 a^{6} + 28 a^{5} + 20 a^{4} + 7 a^{3} + 16 a^{2} + 32 a + 33\right)\cdot 41 + \left(2 a^{9} + 40 a^{8} + 36 a^{7} + 10 a^{6} + 30 a^{5} + 22 a^{4} + 2 a^{3} + 24 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 41^{2} + \left(3 a^{9} + 40 a^{8} + 11 a^{7} + 15 a^{6} + 6 a^{5} + 24 a^{4} + 21 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 41^{3} + \left(a^{9} + 21 a^{8} + 37 a^{7} + 23 a^{6} + 28 a^{5} + 19 a^{4} + 7 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 41^{4} + \left(12 a^{9} + 27 a^{8} + 24 a^{7} + 7 a^{6} + 18 a^{5} + 23 a^{4} + 37 a^{3} + 8 a^{2} + 38 a + 40\right)\cdot 41^{5} + \left(17 a^{9} + 36 a^{8} + 5 a^{7} + 3 a^{6} + 25 a^{5} + 25 a^{4} + a^{3} + 28 a^{2} + 23 a + 13\right)\cdot 41^{6} + \left(2 a^{9} + 31 a^{8} + 20 a^{7} + 33 a^{6} + 35 a^{5} + 2 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a + 12\right)\cdot 41^{7} + \left(18 a^{9} + 35 a^{8} + 26 a^{7} + 22 a^{6} + 2 a^{5} + 11 a^{4} + 32 a^{3} + 12 a^{2} + 40 a + 13\right)\cdot 41^{8} + \left(34 a^{9} + 34 a^{8} + 18 a^{6} + 10 a^{5} + 23 a^{4} + 39 a^{3} + 10 a^{2} + 24 a + 31\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\) 22a^9 + 39a^8 + 19a^7 + 17a^6 + 40a^5 + 17a^4 + 6a^3 + 37a^2 + 2a + 36 + (22a^9 + 15a^8 + 17a^7 + 21a^6 + 28a^5 + 20a^4 + 7a^3 + 16a^2 + 32a + 33)41 + (2a^9 + 40a^8 + 36a^7 + 10a^6 + 30a^5 + 22a^4 + 2a^3 + 24a^2 + 6a + 12)41^2 + (3a^9 + 40a^8 + 11a^7 + 15a^6 + 6a^5 + 24a^4 + 21a^3 + 13a^2 + 3a + 8)41^3 + (a^9 + 21a^8 + 37a^7 + 23a^6 + 28a^5 + 19a^4 + 7a^3 + 2a^2 + 15a + 17)41^4 + (12a^9 + 27a^8 + 24a^7 + 7a^6 + 18a^5 + 23a^4 + 37a^3 + 8a^2 + 38a + 40)41^5 + (17a^9 + 36a^8 + 5a^7 + 3a^6 + 25a^5 + 25a^4 + a^3 + 28a^2 + 23a + 13)41^6 + (2a^9 + 31a^8 + 20a^7 + 33a^6 + 35a^5 + 2a^4 + 9a^3 + 9a + 12)41^7 + (18a^9 + 35a^8 + 26a^7 + 22a^6 + 2a^5 + 11a^4 + 32a^3 + 12a^2 + 40a + 13)41^8 + (34a^9 + 34a^8 + 18a^6 + 10a^5 + 23a^4 + 39a^3 + 10a^2 + 24a + 31)*41^9+O(41^10)
$r_{ 19 }$	$=$	\( 35 a^{9} + 21 a^{8} + 30 a^{7} + 9 a^{6} + 16 a^{5} + 13 a^{4} + 20 a^{3} + 38 a^{2} + 22 a + 25 + \left(15 a^{9} + 26 a^{8} + 40 a^{7} + 26 a^{6} + 28 a^{5} + 30 a^{4} + 20 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 41 + \left(15 a^{8} + 32 a^{7} + 24 a^{6} + a^{5} + 3 a^{4} + 33 a^{3} + 35 a^{2} + 20 a\right)\cdot 41^{2} + \left(40 a^{9} + 19 a^{8} + 7 a^{7} + 17 a^{6} + 33 a^{5} + 34 a^{4} + 21 a^{3} + 4 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 41^{3} + \left(35 a^{9} + 36 a^{8} + 34 a^{7} + 19 a^{6} + 26 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 24\right)\cdot 41^{4} + \left(a^{9} + 17 a^{8} + 14 a^{7} + 11 a^{6} + 13 a^{5} + 20 a^{4} + 10 a^{3} + 38 a^{2} + 6 a + 26\right)\cdot 41^{5} + \left(7 a^{9} + 33 a^{8} + 6 a^{7} + 33 a^{6} + 35 a^{5} + 30 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 26 a + 30\right)\cdot 41^{6} + \left(14 a^{9} + 37 a^{8} + 17 a^{7} + 23 a^{6} + 16 a^{5} + 20 a^{4} + 14 a^{3} + 21 a^{2} + 13 a + 26\right)\cdot 41^{7} + \left(40 a^{8} + 15 a^{7} + 8 a^{6} + 11 a^{5} + 35 a^{4} + 33 a^{3} + 2 a^{2} + 36 a + 4\right)\cdot 41^{8} + \left(34 a^{9} + 6 a^{8} + 24 a^{7} + 37 a^{6} + 38 a^{5} + 33 a^{4} + 29 a^{3} + 15 a^{2} + 40 a + 26\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\) 35a^9 + 21a^8 + 30a^7 + 9a^6 + 16a^5 + 13a^4 + 20a^3 + 38a^2 + 22a + 25 + (15a^9 + 26a^8 + 40a^7 + 26a^6 + 28a^5 + 30a^4 + 20a^3 + 3a^2 + 4a + 11)41 + (15a^8 + 32a^7 + 24a^6 + a^5 + 3a^4 + 33a^3 + 35a^2 + 20a)41^2 + (40a^9 + 19a^8 + 7a^7 + 17a^6 + 33a^5 + 34a^4 + 21a^3 + 4a^2 + 21a + 7)41^3 + (35a^9 + 36a^8 + 34a^7 + 19a^6 + 26a^5 + 16a^4 + 12a^3 + 13a^2 + 20a + 24)41^4 + (a^9 + 17a^8 + 14a^7 + 11a^6 + 13a^5 + 20a^4 + 10a^3 + 38a^2 + 6a + 26)41^5 + (7a^9 + 33a^8 + 6a^7 + 33a^6 + 35a^5 + 30a^4 + 11a^3 + 15a^2 + 26a + 30)41^6 + (14a^9 + 37a^8 + 17a^7 + 23a^6 + 16a^5 + 20a^4 + 14a^3 + 21a^2 + 13a + 26)41^7 + (40a^8 + 15a^7 + 8a^6 + 11a^5 + 35a^4 + 33a^3 + 2a^2 + 36a + 4)41^8 + (34a^9 + 6a^8 + 24a^7 + 37a^6 + 38a^5 + 33a^4 + 29a^3 + 15a^2 + 40a + 26)*41^9+O(41^10)
$r_{ 20 }$	$=$	\( 9 a^{9} + 26 a^{8} + 25 a^{7} + 16 a^{6} + 36 a^{5} + 38 a^{4} + 17 a^{3} + 23 a^{2} + 21 a + 19 + \left(26 a^{9} + 18 a^{8} + 6 a^{7} + 19 a^{6} + 13 a^{5} + 15 a^{4} + 16 a^{3} + 36 a^{2} + 22 a + 26\right)\cdot 41 + \left(11 a^{9} + 22 a^{8} + 24 a^{7} + 25 a^{6} + 10 a^{5} + 28 a^{4} + 13 a^{3} + a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 41^{2} + \left(23 a^{9} + 37 a^{8} + 36 a^{7} + 11 a^{6} + 32 a^{5} + 28 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 12 a + 30\right)\cdot 41^{3} + \left(26 a^{9} + 22 a^{8} + 5 a^{7} + 26 a^{6} + 17 a^{5} + 33 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a\right)\cdot 41^{4} + \left(12 a^{9} + 29 a^{7} + 6 a^{6} + 12 a^{5} + 33 a^{4} + 32 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 41^{5} + \left(37 a^{9} + 12 a^{8} + 12 a^{7} + a^{6} + 34 a^{5} + 30 a^{4} + 40 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 41^{6} + \left(32 a^{9} + 21 a^{8} + 19 a^{7} + 3 a^{6} + 26 a^{5} + 28 a^{4} + 34 a^{3} + 18 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 41^{7} + \left(39 a^{9} + 18 a^{8} + a^{7} + 34 a^{6} + 11 a^{5} + 33 a^{4} + 29 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 41^{8} + \left(39 a^{9} + 35 a^{8} + 29 a^{7} + 3 a^{6} + 35 a^{5} + 31 a^{4} + 17 a^{3} + 12 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\) 9a^9 + 26a^8 + 25a^7 + 16a^6 + 36a^5 + 38a^4 + 17a^3 + 23a^2 + 21a + 19 + (26a^9 + 18a^8 + 6a^7 + 19a^6 + 13a^5 + 15a^4 + 16a^3 + 36a^2 + 22a + 26)41 + (11a^9 + 22a^8 + 24a^7 + 25a^6 + 10a^5 + 28a^4 + 13a^3 + a^2 + 18a + 6)41^2 + (23a^9 + 37a^8 + 36a^7 + 11a^6 + 32a^5 + 28a^4 + a^3 + 15a^2 + 12a + 30)41^3 + (26a^9 + 22a^8 + 5a^7 + 26a^6 + 17a^5 + 33a^3 + 7a^2 + 12a)41^4 + (12a^9 + 29a^7 + 6a^6 + 12a^5 + 33a^4 + 32a^3 + 7a^2 + 16a + 8)41^5 + (37a^9 + 12a^8 + 12a^7 + a^6 + 34a^5 + 30a^4 + 40a^3 + 3a^2 + 7a + 7)41^6 + (32a^9 + 21a^8 + 19a^7 + 3a^6 + 26a^5 + 28a^4 + 34a^3 + 18a^2 + 8a + 7)41^7 + (39a^9 + 18a^8 + a^7 + 34a^6 + 11a^5 + 33a^4 + 29a^3 + 2a^2 + 5a + 9)41^8 + (39a^9 + 35a^8 + 29a^7 + 3a^6 + 35a^5 + 31a^4 + 17a^3 + 12a^2 + 17a + 6)*41^9+O(41^10)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 20 }$

Cycle notation
$(1,7,16,8,20,2,17,11,4,12,14,19,5,6,18,13,9,3,10,15)$
$(1,2,14,13)(3,16,11,5)(4,6,10,8)(7,17,19,9)(12,18,15,20)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 20 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$1$
$1$	$2$	$(1,14)(2,13)(3,11)(4,10)(5,16)(6,8)(7,19)(9,17)(12,15)(18,20)$	$-1$
$1$	$4$	$(1,2,14,13)(3,16,11,5)(4,6,10,8)(7,17,19,9)(12,18,15,20)$	$\zeta_{20}^{5}$
$1$	$4$	$(1,13,14,2)(3,5,11,16)(4,8,10,6)(7,9,19,17)(12,20,15,18)$	$-\zeta_{20}^{5}$
$1$	$5$	$(1,20,4,5,9)(2,12,6,3,7)(8,11,19,13,15)(10,16,17,14,18)$	$-\zeta_{20}^{2}$
$1$	$5$	$(1,4,9,20,5)(2,6,7,12,3)(8,19,15,11,13)(10,17,18,16,14)$	$\zeta_{20}^{4}$
$1$	$5$	$(1,5,20,9,4)(2,3,12,7,6)(8,13,11,15,19)(10,14,16,18,17)$	$-\zeta_{20}^{6}$
$1$	$5$	$(1,9,5,4,20)(2,7,3,6,12)(8,15,13,19,11)(10,18,14,17,16)$	$\zeta_{20}^{6} - \zeta_{20}^{4} + \zeta_{20}^{2} - 1$
$1$	$10$	$(1,16,20,17,4,14,5,18,9,10)(2,11,12,19,6,13,3,15,7,8)$	$\zeta_{20}^{6}$
$1$	$10$	$(1,17,5,10,20,14,9,16,4,18)(2,19,3,8,12,13,7,11,6,15)$	$-\zeta_{20}^{6} + \zeta_{20}^{4} - \zeta_{20}^{2} + 1$
$1$	$10$	$(1,18,4,16,9,14,20,10,5,17)(2,15,6,11,7,13,12,8,3,19)$	$\zeta_{20}^{2}$
$1$	$10$	$(1,10,9,18,5,14,4,17,20,16)(2,8,7,15,3,13,6,19,12,11)$	$-\zeta_{20}^{4}$
$1$	$20$	$(1,7,16,8,20,2,17,11,4,12,14,19,5,6,18,13,9,3,10,15)$	$-\zeta_{20}^{3}$
$1$	$20$	$(1,8,17,12,5,13,10,7,20,11,14,6,9,15,16,2,4,19,18,3)$	$-\zeta_{20}^{7} + \zeta_{20}^{5} - \zeta_{20}^{3} + \zeta_{20}$
$1$	$20$	$(1,11,18,7,4,13,16,12,9,8,14,3,20,19,10,2,5,15,17,6)$	$-\zeta_{20}$
$1$	$20$	$(1,12,10,11,9,2,18,8,5,7,14,15,4,3,17,13,20,6,16,19)$	$-\zeta_{20}^{7}$
$1$	$20$	$(1,19,16,6,20,13,17,3,4,15,14,7,5,8,18,2,9,11,10,12)$	$\zeta_{20}^{3}$
$1$	$20$	$(1,6,17,15,5,2,10,19,20,3,14,8,9,12,16,13,4,7,18,11)$	$\zeta_{20}^{7} - \zeta_{20}^{5} + \zeta_{20}^{3} - \zeta_{20}$
$1$	$20$	$(1,3,18,19,4,2,16,15,9,6,14,11,20,7,10,13,5,12,17,8)$	$\zeta_{20}$
$1$	$20$	$(1,15,10,3,9,13,18,6,5,19,14,12,4,11,17,2,20,8,16,7)$	$\zeta_{20}^{7}$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 20 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	1.275.20t1.a.g
Dimension	$1$
Group	$C_{20}$
Conductor	$275$
Root number	not computed
Indicator	$0$