LMFDB - Artin representation 1.27.18t1.a.f

Basic invariants

Dimension:	$1$
Group:	$C_{18}$
Conductor:	$27$$\medspace = 3^{3} $
Artin field:	Galois closure of $\Q(\zeta_{27})$
Galois orbit size:	$6$
Smallest permutation container:	$C_{18}$
Parity:	odd
Dirichlet character:	$\chi_{27}(11,\cdot)$
Projective image:	$C_1$
Projective field:	Galois closure of $\Q$

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{18} - x^{9} + 1 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 31 }$ to precision 5.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 31 }$: $ x^{9} + 4x^{3} + 20x^{2} + 29x + 28 $ x^9 + 4*x^3 + 20*x^2 + 29*x + 28

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 29 a^{8} + 19 a^{7} + 6 a^{6} + 23 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 12 + \left(3 a^{8} + 17 a^{7} + 18 a^{6} + 23 a^{5} + 27 a^{4} + 17 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 24\right)\cdot 31 + \left(10 a^{8} + 28 a^{7} + 29 a^{6} + 24 a^{5} + 15 a^{4} + 14 a^{3} + 30 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 31^{2} + \left(13 a^{8} + 12 a^{7} + 5 a^{6} + 29 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 18 a^{2} + 20 a + 2\right)\cdot 31^{3} + \left(24 a^{8} + a^{7} + 3 a^{6} + a^{5} + 27 a^{4} + 26 a^{3} + 9 a^{2} + 25 a + 23\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})$ 29a^8 + 19a^7 + 6a^6 + 23a^5 + 12a^4 + 16a^3 + 8a^2 + 8a + 12 + (3a^8 + 17a^7 + 18a^6 + 23a^5 + 27a^4 + 17a^3 + 17a^2 + 7a + 24)31 + (10a^8 + 28a^7 + 29a^6 + 24a^5 + 15a^4 + 14a^3 + 30a^2 + 19a + 12)31^2 + (13a^8 + 12a^7 + 5a^6 + 29a^5 + 11a^4 + 11a^3 + 18a^2 + 20a + 2)31^3 + (24a^8 + a^7 + 3a^6 + a^5 + 27a^4 + 26a^3 + 9a^2 + 25a + 23)31^4+O(31^5)
$r_{ 2 }$	$=$	$ 5 a^{8} + 9 a^{7} + 7 a^{6} + 20 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 23 a + 12 + \left(10 a^{8} + 21 a^{7} + 30 a^{6} + 25 a^{5} + 8 a^{4} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + 23 a + 12\right)\cdot 31 + \left(13 a^{8} + 4 a^{7} + 10 a^{6} + 21 a^{5} + 12 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 31^{2} + \left(18 a^{8} + 2 a^{7} + 4 a^{6} + 23 a^{5} + 26 a^{4} + 13 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a\right)\cdot 31^{3} + \left(18 a^{8} + 6 a^{7} + 6 a^{6} + 30 a^{5} + 10 a^{4} + 12 a^{3} + 29 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})$ 5a^8 + 9a^7 + 7a^6 + 20a^5 + 10a^4 + 3a^3 + 16a^2 + 23a + 12 + (10a^8 + 21a^7 + 30a^6 + 25a^5 + 8a^4 + 15a^3 + 3a^2 + 23a + 12)31 + (13a^8 + 4a^7 + 10a^6 + 21a^5 + 12a^4 + 3a^3 + 2a^2 + 15a + 1)31^2 + (18a^8 + 2a^7 + 4a^6 + 23a^5 + 26a^4 + 13a^3 + 12a^2 + 13a)31^3 + (18a^8 + 6a^7 + 6a^6 + 30a^5 + 10a^4 + 12a^3 + 29a^2 + 3a + 8)31^4+O(31^5)
$r_{ 3 }$	$=$	$ 5 a^{8} + 19 a^{7} + 11 a^{6} + 16 a^{5} + 18 a^{4} + 22 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 6 + \left(30 a^{8} + 10 a^{7} + 30 a^{6} + 3 a^{5} + 6 a^{4} + 25 a^{3} + 7 a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 31 + \left(a^{8} + 7 a^{7} + 14 a^{6} + 3 a^{5} + 28 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(a^{8} + 22 a^{7} + 12 a^{6} + 7 a^{5} + 30 a^{4} + 21 a^{3} + 17 a^{2} + 24\right)\cdot 31^{3} + \left(3 a^{8} + 16 a^{7} + 30 a^{6} + 24 a^{5} + 23 a^{4} + 22 a^{3} + 13 a^{2} + 27 a + 19\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})$ 5a^8 + 19a^7 + 11a^6 + 16a^5 + 18a^4 + 22a^3 + 16a^2 + 10a + 6 + (30a^8 + 10a^7 + 30a^6 + 3a^5 + 6a^4 + 25a^3 + 7a^2 + 21a + 21)31 + (a^8 + 7a^7 + 14a^6 + 3a^5 + 28a^4 + 10a^3 + a^2 + 16a + 8)31^2 + (a^8 + 22a^7 + 12a^6 + 7a^5 + 30a^4 + 21a^3 + 17a^2 + 24)31^3 + (3a^8 + 16a^7 + 30a^6 + 24a^5 + 23a^4 + 22a^3 + 13a^2 + 27a + 19)31^4+O(31^5)
$r_{ 4 }$	$=$	$ 14 a^{8} + 13 a^{7} + 19 a^{6} + 21 a^{5} + 21 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 15 a + 11 + \left(a^{8} + 6 a^{7} + 7 a^{6} + 9 a^{5} + 23 a^{4} + 17 a^{3} + 23 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 31 + \left(10 a^{8} + 18 a^{7} + 11 a^{6} + 3 a^{5} + 18 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 24\right)\cdot 31^{2} + \left(25 a^{8} + 15 a^{7} + 8 a^{6} + 2 a^{5} + 22 a^{4} + 19 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 31^{3} + \left(6 a^{8} + 7 a^{7} + 10 a^{6} + 4 a^{5} + 9 a^{4} + 26 a^{3} + 28 a^{2} + 3 a + 20\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})$ 14a^8 + 13a^7 + 19a^6 + 21a^5 + 21a^4 + 14a^3 + 17a^2 + 15a + 11 + (a^8 + 6a^7 + 7a^6 + 9a^5 + 23a^4 + 17a^3 + 23a^2 + 7a + 16)31 + (10a^8 + 18a^7 + 11a^6 + 3a^5 + 18a^4 + 17a^3 + 8a^2 + 15a + 24)31^2 + (25a^8 + 15a^7 + 8a^6 + 2a^5 + 22a^4 + 19a^3 + 15a^2 + 6a + 4)31^3 + (6a^8 + 7a^7 + 10a^6 + 4a^5 + 9a^4 + 26a^3 + 28a^2 + 3a + 20)*31^4+O(31^5)
$r_{ 5 }$	$=$	$ 15 a^{8} + a^{7} + 24 a^{6} + 14 a^{5} + 25 a^{4} + 3 a^{3} + 20 a^{2} + 5 a + 15 + \left(8 a^{8} + 24 a^{7} + 22 a^{6} + 19 a^{5} + 28 a^{4} + 26 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 31 + \left(17 a^{8} + 7 a^{7} + 26 a^{6} + 2 a^{5} + 25 a^{4} + 17 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 31^{2} + \left(2 a^{8} + 27 a^{7} + a^{6} + 2 a^{5} + 10 a^{4} + 28 a^{3} + 10 a^{2} + 14 a + 26\right)\cdot 31^{3} + \left(4 a^{8} + a^{7} + 21 a^{6} + 6 a^{5} + 26 a^{4} + 13 a^{3} + 23 a^{2} + 7 a + 21\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})$ 15a^8 + a^7 + 24a^6 + 14a^5 + 25a^4 + 3a^3 + 20a^2 + 5a + 15 + (8a^8 + 24a^7 + 22a^6 + 19a^5 + 28a^4 + 26a^3 + 8a^2 + 15a + 19)31 + (17a^8 + 7a^7 + 26a^6 + 2a^5 + 25a^4 + 17a^3 + 10a^2 + 6a + 10)31^2 + (2a^8 + 27a^7 + a^6 + 2a^5 + 10a^4 + 28a^3 + 10a^2 + 14a + 26)31^3 + (4a^8 + a^7 + 21a^6 + 6a^5 + 26a^4 + 13a^3 + 23a^2 + 7a + 21)*31^4+O(31^5)
$r_{ 6 }$	$=$	$ 30 a^{8} + 4 a^{7} + 21 a^{6} + 11 a^{5} + 24 a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 27 + \left(9 a^{8} + 21 a^{7} + 14 a^{6} + 29 a^{5} + 11 a^{4} + 30 a^{3} + 28 a^{2} + 3 a + 28\right)\cdot 31 + \left(28 a^{8} + 5 a^{7} + 17 a^{6} + 6 a^{5} + 3 a^{4} + 7 a^{3} + 20 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 31^{2} + \left(3 a^{8} + 28 a^{6} + 29 a^{5} + 8 a^{4} + 12 a^{3} + 7 a^{2} + 22 a + 11\right)\cdot 31^{3} + \left(12 a^{8} + 7 a^{7} + 19 a^{6} + 3 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 22 a^{2} + 9 a + 30\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})$ 30a^8 + 4a^7 + 21a^6 + 11a^5 + 24a^4 + 13a^3 + 2a^2 + 11a + 27 + (9a^8 + 21a^7 + 14a^6 + 29a^5 + 11a^4 + 30a^3 + 28a^2 + 3a + 28)31 + (28a^8 + 5a^7 + 17a^6 + 6a^5 + 3a^4 + 7a^3 + 20a^2 + 10a + 3)31^2 + (3a^8 + 28a^6 + 29a^5 + 8a^4 + 12a^3 + 7a^2 + 22a + 11)31^3 + (12a^8 + 7a^7 + 19a^6 + 3a^5 + 9a^4 + 5a^3 + 22a^2 + 9a + 30)*31^4+O(31^5)
$r_{ 7 }$	$=$	$ 12 a^{8} + 10 a^{7} + 26 a^{6} + 17 a^{5} + 21 a^{4} + 28 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 21 + \left(4 a^{8} + 23 a^{6} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 30 a + 26\right)\cdot 31 + \left(25 a^{8} + 25 a^{7} + 12 a^{6} + 21 a^{5} + 8 a^{4} + 27 a^{3} + 3 a^{2} + 24 a + 6\right)\cdot 31^{2} + \left(9 a^{8} + a^{7} + 26 a^{6} + 22 a^{5} + 9 a^{4} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + 19 a + 24\right)\cdot 31^{3} + \left(17 a^{8} + 6 a^{7} + 18 a^{6} + 15 a^{5} + 5 a^{4} + 19 a^{3} + 25 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})$ 12a^8 + 10a^7 + 26a^6 + 17a^5 + 21a^4 + 28a^3 + 14a^2 + 14a + 21 + (4a^8 + 23a^6 + 8a^4 + 11a^3 + a^2 + 30a + 26)31 + (25a^8 + 25a^7 + 12a^6 + 21a^5 + 8a^4 + 27a^3 + 3a^2 + 24a + 6)31^2 + (9a^8 + a^7 + 26a^6 + 22a^5 + 9a^4 + 15a^3 + 3a^2 + 19a + 24)31^3 + (17a^8 + 6a^7 + 18a^6 + 15a^5 + 5a^4 + 19a^3 + 25a^2 + 9a + 8)31^4+O(31^5)
$r_{ 8 }$	$=$	$ a^{8} + 8 a^{7} + 20 a^{6} + 4 a^{5} + 2 a^{4} + 13 a^{3} + 28 a^{2} + 17 a + 21 + \left(24 a^{8} + 25 a^{7} + 30 a^{6} + 27 a^{4} + 22 a^{3} + 2 a^{2} + 5\right)\cdot 31 + \left(29 a^{8} + 15 a^{7} + 24 a^{6} + 22 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{3} + 19 a^{2} + 13 a + 26\right)\cdot 31^{2} + \left(7 a^{8} + 20 a^{7} + 30 a^{6} + 16 a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + 26 a^{2} + 29 a + 20\right)\cdot 31^{3} + \left(7 a^{8} + 15 a^{7} + 14 a^{6} + 6 a^{5} + 16 a^{4} + 10 a^{3} + 16 a + 5\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})$ a^8 + 8a^7 + 20a^6 + 4a^5 + 2a^4 + 13a^3 + 28a^2 + 17a + 21 + (24a^8 + 25a^7 + 30a^6 + 27a^4 + 22a^3 + 2a^2 + 5)31 + (29a^8 + 15a^7 + 24a^6 + 22a^5 + 3a^4 + 5a^3 + 19a^2 + 13a + 26)31^2 + (7a^8 + 20a^7 + 30a^6 + 16a^5 + 10a^4 + 13a^3 + 26a^2 + 29a + 20)31^3 + (7a^8 + 15a^7 + 14a^6 + 6a^5 + 16a^4 + 10a^3 + 16a + 5)31^4+O(31^5)
$r_{ 9 }$	$=$	$ a^{8} + 10 a^{7} + 27 a^{6} + 28 a^{5} + 16 a^{4} + 23 a^{3} + 28 a^{2} + 2 a + 26 + \left(28 a^{8} + 11 a^{7} + 4 a^{6} + 2 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 31 + \left(3 a^{8} + 2 a^{7} + 27 a^{6} + 13 a^{5} + 19 a^{4} + 8 a^{3} + 30 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 31^{2} + \left(8 a^{8} + 8 a^{7} + 14 a^{6} + 11 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 31^{3} + \left(22 a^{8} + 8 a^{7} + 20 a^{6} + 15 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 15 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})$ a^8 + 10a^7 + 27a^6 + 28a^5 + 16a^4 + 23a^3 + 28a^2 + 2a + 26 + (28a^8 + 11a^7 + 4a^6 + 2a^5 + 18a^4 + 2a^3 + 9a^2 + 11a + 5)31 + (3a^8 + 2a^7 + 27a^6 + 13a^5 + 19a^4 + 8a^3 + 30a^2 + 12a + 3)31^2 + (8a^8 + 8a^7 + 14a^6 + 11a^5 + 16a^4 + 12a^3 + 5a^2 + 8a + 13)31^3 + (22a^8 + 8a^7 + 20a^6 + 15a^5 + 12a^4 + 5a^3 + 15a^2 + 9a + 16)*31^4+O(31^5)
$r_{ 10 }$	$=$	$ 9 a^{8} + 15 a^{7} + 10 a^{6} + 29 a^{5} + 29 a^{4} + 9 a^{3} + 22 a^{2} + 3 a + 27 + \left(12 a^{8} + 27 a^{7} + 29 a^{6} + 19 a^{5} + 28 a^{4} + 9 a^{3} + 23 a^{2} + 24 a + 26\right)\cdot 31 + \left(17 a^{8} + 15 a^{7} + 20 a^{6} + 22 a^{5} + 12 a^{4} + 27 a^{3} + 15 a^{2} + a + 10\right)\cdot 31^{2} + \left(25 a^{8} + 13 a^{7} + 15 a^{6} + 5 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 31^{3} + \left(29 a^{8} + 6 a^{7} + 16 a^{6} + 2 a^{4} + 24 a^{3} + 26 a^{2} + 10\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})$ 9a^8 + 15a^7 + 10a^6 + 29a^5 + 29a^4 + 9a^3 + 22a^2 + 3a + 27 + (12a^8 + 27a^7 + 29a^6 + 19a^5 + 28a^4 + 9a^3 + 23a^2 + 24a + 26)31 + (17a^8 + 15a^7 + 20a^6 + 22a^5 + 12a^4 + 27a^3 + 15a^2 + a + 10)31^2 + (25a^8 + 13a^7 + 15a^6 + 5a^5 + 12a^4 + 4a^3 + 14a^2 + 6a + 15)31^3 + (29a^8 + 6a^7 + 16a^6 + 2a^4 + 24a^3 + 26a^2 + 10)*31^4+O(31^5)
$r_{ 11 }$	$=$	$ 3 a^{8} + 25 a^{7} + 11 a^{6} + 9 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + a + 3 + \left(18 a^{8} + 27 a^{7} + 23 a^{6} + 28 a^{5} + 4 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 25 a + 14\right)\cdot 31 + \left(6 a^{8} + 26 a^{7} + 29 a^{6} + 26 a^{5} + 19 a^{4} + 13 a^{3} + 19 a^{2} + 16\right)\cdot 31^{2} + \left(8 a^{8} + 10 a^{7} + 22 a^{6} + 22 a^{5} + 13 a^{4} + 13 a^{3} + 15 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 31^{3} + \left(24 a^{8} + 16 a^{7} + 17 a^{6} + 21 a^{5} + 30 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a + 28\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})$ 3a^8 + 25a^7 + 11a^6 + 9a^5 + 5a^4 + 13a^3 + 4a^2 + a + 3 + (18a^8 + 27a^7 + 23a^6 + 28a^5 + 4a^4 + 18a^3 + 9a^2 + 25a + 14)31 + (6a^8 + 26a^7 + 29a^6 + 26a^5 + 19a^4 + 13a^3 + 19a^2 + 16)31^2 + (8a^8 + 10a^7 + 22a^6 + 22a^5 + 13a^4 + 13a^3 + 15a^2 + 9a + 4)31^3 + (24a^8 + 16a^7 + 17a^6 + 21a^5 + 30a^4 + 3a^3 + 9a + 28)*31^4+O(31^5)
$r_{ 12 }$	$=$	$ 6 a^{8} + 7 a^{7} + 29 a^{6} + 27 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + 19 a^{2} + 27 a + 24 + \left(16 a^{8} + 3 a^{7} + 20 a^{6} + 10 a^{5} + 27 a^{4} + 7 a^{3} + 20 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 31 + \left(24 a^{8} + 8 a^{7} + 22 a^{6} + 27 a^{5} + 13 a^{4} + 20 a^{3} + 22 a^{2} + 9\right)\cdot 31^{2} + \left(30 a^{8} + 24 a^{6} + 19 a^{5} + 18 a^{4} + 3 a^{3} + 25 a^{2} + 21 a + 23\right)\cdot 31^{3} + \left(29 a^{8} + 12 a^{7} + 22 a^{6} + 21 a^{5} + 29 a^{4} + 26 a^{3} + 19 a^{2} + 29 a + 28\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})$ 6a^8 + 7a^7 + 29a^6 + 27a^5 + 11a^4 + 15a^3 + 19a^2 + 27a + 24 + (16a^8 + 3a^7 + 20a^6 + 10a^5 + 27a^4 + 7a^3 + 20a^2 + 11a + 6)31 + (24a^8 + 8a^7 + 22a^6 + 27a^5 + 13a^4 + 20a^3 + 22a^2 + 9)31^2 + (30a^8 + 24a^6 + 19a^5 + 18a^4 + 3a^3 + 25a^2 + 21a + 23)31^3 + (29a^8 + 12a^7 + 22a^6 + 21a^5 + 29a^4 + 26a^3 + 19a^2 + 29a + 28)31^4+O(31^5)
$r_{ 13 }$	$=$	$ 21 a^{8} + 2 a^{7} + 30 a^{6} + 22 a^{5} + 29 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 29 + \left(22 a^{8} + 13 a^{7} + 19 a^{6} + 6 a^{5} + 25 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 24 a + 10\right)\cdot 31 + \left(26 a^{8} + 8 a^{7} + 19 a^{6} + 16 a^{5} + 6 a^{4} + 20 a^{3} + 28 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 31^{2} + \left(7 a^{8} + 16 a^{7} + 29 a^{6} + 9 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 21 a + 4\right)\cdot 31^{3} + \left(20 a^{8} + 23 a^{7} + 8 a^{6} + 13 a^{5} + 29 a^{4} + 16 a^{3} + 27 a^{2} + 26 a + 30\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})$ 21a^8 + 2a^7 + 30a^6 + 22a^5 + 29a^4 + 18a^3 + 9a^2 + 9a + 29 + (22a^8 + 13a^7 + 19a^6 + 6a^5 + 25a^4 + a^3 + 12a^2 + 24a + 10)31 + (26a^8 + 8a^7 + 19a^6 + 16a^5 + 6a^4 + 20a^3 + 28a^2 + 17a + 11)31^2 + (7a^8 + 16a^7 + 29a^6 + 9a^5 + 10a^4 + 3a^3 + 8a^2 + 21a + 4)31^3 + (20a^8 + 23a^7 + 8a^6 + 13a^5 + 29a^4 + 16a^3 + 27a^2 + 26a + 30)*31^4+O(31^5)
$r_{ 14 }$	$=$	$ 25 a^{8} + 14 a^{7} + 4 a^{6} + 7 a^{5} + 19 a^{4} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + 22 a + 29 + \left(27 a^{8} + 15 a^{7} + a^{6} + 5 a^{5} + 26 a^{4} + 24 a^{3} + 24 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 31 + \left(18 a^{8} + 10 a^{7} + 26 a^{6} + 18 a^{5} + 14 a^{4} + 21 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 31^{2} + \left(4 a^{8} + 8 a^{7} + 26 a^{6} + 21 a^{5} + 25 a^{4} + 4 a^{3} + 23 a^{2} + 19 a + 10\right)\cdot 31^{3} + \left(5 a^{8} + 9 a^{7} + 9 a^{6} + 24 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a + 17\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})$ 25a^8 + 14a^7 + 4a^6 + 7a^5 + 19a^4 + 15a^3 + 18a^2 + 22a + 29 + (27a^8 + 15a^7 + a^6 + 5a^5 + 26a^4 + 24a^3 + 24a^2 + 6a + 12)31 + (18a^8 + 10a^7 + 26a^6 + 18a^5 + 14a^4 + 21a^3 + 9a^2 + 2a + 3)31^2 + (4a^8 + 8a^7 + 26a^6 + 21a^5 + 25a^4 + 4a^3 + 23a^2 + 19a + 10)31^3 + (5a^8 + 9a^7 + 9a^6 + 24a^5 + 3a^4 + 8a^3 + 10a + 17)31^4+O(31^5)
$r_{ 15 }$	$=$	$ 25 a^{8} + 2 a^{7} + 24 a^{6} + 18 a^{5} + 28 a^{4} + 17 a^{3} + 18 a^{2} + 19 a + 30 + \left(3 a^{8} + 9 a^{7} + 26 a^{6} + 24 a^{5} + 5 a^{4} + 2 a^{3} + 13 a^{2} + 29 a + 3\right)\cdot 31 + \left(25 a^{8} + 21 a^{7} + 19 a^{6} + 14 a^{5} + 14 a^{4} + 12 a^{3} + 30 a^{2} + a + 19\right)\cdot 31^{2} + \left(21 a^{8} + 3 a^{6} + 12 a^{5} + 14 a^{4} + 28 a^{3} + 7 a^{2} + 22 a + 24\right)\cdot 31^{3} + \left(5 a^{8} + 6 a^{7} + 11 a^{6} + 22 a^{5} + 25 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 25 a + 25\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})$ 25a^8 + 2a^7 + 24a^6 + 18a^5 + 28a^4 + 17a^3 + 18a^2 + 19a + 30 + (3a^8 + 9a^7 + 26a^6 + 24a^5 + 5a^4 + 2a^3 + 13a^2 + 29a + 3)31 + (25a^8 + 21a^7 + 19a^6 + 14a^5 + 14a^4 + 12a^3 + 30a^2 + a + 19)31^2 + (21a^8 + 3a^6 + 12a^5 + 14a^4 + 28a^3 + 7a^2 + 22a + 24)31^3 + (5a^8 + 6a^7 + 11a^6 + 22a^5 + 25a^4 + 2a^3 + 2a^2 + 25a + 25)31^4+O(31^5)
$r_{ 16 }$	$=$	$ 8 a^{8} + 3 a^{7} + 2 a^{6} + 12 a^{5} + 12 a^{4} + 8 a^{3} + 23 a^{2} + 13 a + 24 + \left(17 a^{8} + 28 a^{7} + 25 a^{6} + a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 30 a + 18\right)\cdot 31 + \left(3 a^{8} + 27 a^{7} + 29 a^{6} + 5 a^{5} + 30 a^{4} + 17 a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 26\right)\cdot 31^{2} + \left(11 a^{8} + a^{7} + 6 a^{6} + 23 a^{5} + 26 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 31^{3} + \left(25 a^{8} + 17 a^{7} + 4 a^{6} + 26 a^{5} + 18 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 27 a\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})$ 8a^8 + 3a^7 + 2a^6 + 12a^5 + 12a^4 + 8a^3 + 23a^2 + 13a + 24 + (17a^8 + 28a^7 + 25a^6 + a^5 + 9a^4 + 4a^3 + 14a^2 + 30a + 18)31 + (3a^8 + 27a^7 + 29a^6 + 5a^5 + 30a^4 + 17a^3 + 6a^2 + 13a + 26)31^2 + (11a^8 + a^7 + 6a^6 + 23a^5 + 26a^4 + 6a^3 + a^2 + 18a + 10)31^3 + (25a^8 + 17a^7 + 4a^6 + 26a^5 + 18a^4 + 11a^3 + 7a^2 + 27a)*31^4+O(31^5)
$r_{ 17 }$	$=$	$ 13 a^{8} + 5 a^{7} + 27 a^{6} + 8 a^{5} + a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 25 a + 13 + \left(4 a^{8} + 10 a^{7} + 15 a^{6} + 14 a^{5} + 29 a^{4} + 17 a^{3} + 13 a^{2} + 21 a + 28\right)\cdot 31 + \left(7 a^{8} + 27 a^{7} + 5 a^{6} + a^{5} + 16 a^{4} + 30 a^{3} + a^{2} + 23 a + 3\right)\cdot 31^{2} + \left(20 a^{8} + 23 a^{7} + 6 a^{6} + 6 a^{5} + 6 a^{4} + 19 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a\right)\cdot 31^{3} + \left(2 a^{8} + 12 a^{7} + 23 a^{6} + 3 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})$ 13a^8 + 5a^7 + 27a^6 + 8a^5 + a^4 + 15a^3 + 7a^2 + 25a + 13 + (4a^8 + 10a^7 + 15a^6 + 14a^5 + 29a^4 + 17a^3 + 13a^2 + 21a + 28)31 + (7a^8 + 27a^7 + 5a^6 + a^5 + 16a^4 + 30a^3 + a^2 + 23a + 3)31^2 + (20a^8 + 23a^7 + 6a^6 + 6a^5 + 6a^4 + 19a^3 + 5a^2 + 7a)31^3 + (2a^8 + 12a^7 + 23a^6 + 3a^5 + 5a^4 + 13a^3 + 7a^2 + 14a + 12)*31^4+O(31^5)
$r_{ 18 }$	$=$	$ 26 a^{8} + 20 a^{7} + 12 a^{6} + 24 a^{5} + 27 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 24 a + 11 + \left(4 a^{8} + 6 a^{7} + 26 a^{6} + 21 a^{5} + 22 a^{4} + 24 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 26\right)\cdot 31 + \left(9 a^{8} + 17 a^{7} + 21 a^{6} + 27 a^{5} + 13 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 31^{2} + \left(27 a^{8} + 30 a^{7} + 8 a^{6} + 12 a^{5} + 4 a^{4} + 15 a^{3} + 28 a^{2} + 18 a + 27\right)\cdot 31^{3} + \left(19 a^{8} + 11 a^{7} + 19 a^{6} + 5 a^{5} + 23 a^{4} + 30 a^{3} + 19 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})$ 26a^8 + 20a^7 + 12a^6 + 24a^5 + 27a^4 + 3a^3 + 10a^2 + 24a + 11 + (4a^8 + 6a^7 + 26a^6 + 21a^5 + 22a^4 + 24a^3 + 13a^2 + 15a + 26)31 + (9a^8 + 17a^7 + 21a^6 + 27a^5 + 13a^4 + 2a^3 + 18a^2 + 20a + 17)31^2 + (27a^8 + 30a^7 + 8a^6 + 12a^5 + 4a^4 + 15a^3 + 28a^2 + 18a + 27)31^3 + (19a^8 + 11a^7 + 19a^6 + 5a^5 + 23a^4 + 30a^3 + 19a^2 + 22a + 2)31^4+O(31^5)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 18 }$

Cycle notation
$(1,18,7,12,13,6)(2,5,14,11,8,17)(3,16,9,10,15,4)$
$(1,12)(2,11)(3,10)(4,9)(5,8)(6,7)(13,18)(14,17)(15,16)$
$(1,15,5,7,3,11,13,9,17)(2,18,4,14,12,16,8,6,10)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 18 }$	Character value	Complex conjugation
$1$	$1$	$()$	$1$
$1$	$2$	$(1,12)(2,11)(3,10)(4,9)(5,8)(6,7)(13,18)(14,17)(15,16)$	$-1$	✓
$1$	$3$	$(1,7,13)(2,14,8)(3,9,15)(4,16,10)(5,11,17)(6,18,12)$	$-\zeta_{9}^{3} - 1$
$1$	$3$	$(1,13,7)(2,8,14)(3,15,9)(4,10,16)(5,17,11)(6,12,18)$	$\zeta_{9}^{3}$
$1$	$6$	$(1,18,7,12,13,6)(2,5,14,11,8,17)(3,16,9,10,15,4)$	$-\zeta_{9}^{3}$
$1$	$6$	$(1,6,13,12,7,18)(2,17,8,11,14,5)(3,4,15,10,9,16)$	$\zeta_{9}^{3} + 1$
$1$	$9$	$(1,15,5,7,3,11,13,9,17)(2,18,4,14,12,16,8,6,10)$	$-\zeta_{9}^{5} - \zeta_{9}^{2}$
$1$	$9$	$(1,5,3,13,17,15,7,11,9)(2,4,12,8,10,18,14,16,6)$	$-\zeta_{9}^{4} - \zeta_{9}$
$1$	$9$	$(1,3,17,7,9,5,13,15,11)(2,12,10,14,6,4,8,18,16)$	$\zeta_{9}^{5}$
$1$	$9$	$(1,11,15,13,5,9,7,17,3)(2,16,18,8,4,6,14,10,12)$	$\zeta_{9}^{4}$
$1$	$9$	$(1,9,11,7,15,17,13,3,5)(2,6,16,14,18,10,8,12,4)$	$\zeta_{9}^{2}$
$1$	$9$	$(1,17,9,13,11,3,7,5,15)(2,10,6,8,16,12,14,4,18)$	$\zeta_{9}$
$1$	$18$	$(1,4,11,6,15,14,13,10,5,12,9,2,7,16,17,18,3,8)$	$-\zeta_{9}^{2}$
$1$	$18$	$(1,14,9,18,11,10,7,8,15,12,17,4,13,2,3,6,5,16)$	$-\zeta_{9}$
$1$	$18$	$(1,10,17,6,9,8,13,16,11,12,3,14,7,4,5,18,15,2)$	$-\zeta_{9}^{5}$
$1$	$18$	$(1,2,15,18,5,4,7,14,3,12,11,16,13,8,9,6,17,10)$	$-\zeta_{9}^{4}$
$1$	$18$	$(1,16,5,6,3,2,13,4,17,12,15,8,7,10,11,18,9,14)$	$\zeta_{9}^{5} + \zeta_{9}^{2}$
$1$	$18$	$(1,8,3,18,17,16,7,2,9,12,5,10,13,14,15,6,11,4)$	$\zeta_{9}^{4} + \zeta_{9}$

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 18 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	1.27.18t1.a.f
Dimension	$1$
Group	$C_{18}$
Conductor	$27$
Root number	not computed
Indicator	$0$

$r_{ 1 }$	$=$	\( 29 a^{8} + 19 a^{7} + 6 a^{6} + 23 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 12 + \left(3 a^{8} + 17 a^{7} + 18 a^{6} + 23 a^{5} + 27 a^{4} + 17 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 24\right)\cdot 31 + \left(10 a^{8} + 28 a^{7} + 29 a^{6} + 24 a^{5} + 15 a^{4} + 14 a^{3} + 30 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 31^{2} + \left(13 a^{8} + 12 a^{7} + 5 a^{6} + 29 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 18 a^{2} + 20 a + 2\right)\cdot 31^{3} + \left(24 a^{8} + a^{7} + 3 a^{6} + a^{5} + 27 a^{4} + 26 a^{3} + 9 a^{2} + 25 a + 23\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\) 29a^8 + 19a^7 + 6a^6 + 23a^5 + 12a^4 + 16a^3 + 8a^2 + 8a + 12 + (3a^8 + 17a^7 + 18a^6 + 23a^5 + 27a^4 + 17a^3 + 17a^2 + 7a + 24)31 + (10a^8 + 28a^7 + 29a^6 + 24a^5 + 15a^4 + 14a^3 + 30a^2 + 19a + 12)31^2 + (13a^8 + 12a^7 + 5a^6 + 29a^5 + 11a^4 + 11a^3 + 18a^2 + 20a + 2)31^3 + (24a^8 + a^7 + 3a^6 + a^5 + 27a^4 + 26a^3 + 9a^2 + 25a + 23)31^4+O(31^5)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 5 a^{8} + 9 a^{7} + 7 a^{6} + 20 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 23 a + 12 + \left(10 a^{8} + 21 a^{7} + 30 a^{6} + 25 a^{5} + 8 a^{4} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + 23 a + 12\right)\cdot 31 + \left(13 a^{8} + 4 a^{7} + 10 a^{6} + 21 a^{5} + 12 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 31^{2} + \left(18 a^{8} + 2 a^{7} + 4 a^{6} + 23 a^{5} + 26 a^{4} + 13 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a\right)\cdot 31^{3} + \left(18 a^{8} + 6 a^{7} + 6 a^{6} + 30 a^{5} + 10 a^{4} + 12 a^{3} + 29 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\) 5a^8 + 9a^7 + 7a^6 + 20a^5 + 10a^4 + 3a^3 + 16a^2 + 23a + 12 + (10a^8 + 21a^7 + 30a^6 + 25a^5 + 8a^4 + 15a^3 + 3a^2 + 23a + 12)31 + (13a^8 + 4a^7 + 10a^6 + 21a^5 + 12a^4 + 3a^3 + 2a^2 + 15a + 1)31^2 + (18a^8 + 2a^7 + 4a^6 + 23a^5 + 26a^4 + 13a^3 + 12a^2 + 13a)31^3 + (18a^8 + 6a^7 + 6a^6 + 30a^5 + 10a^4 + 12a^3 + 29a^2 + 3a + 8)31^4+O(31^5)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 5 a^{8} + 19 a^{7} + 11 a^{6} + 16 a^{5} + 18 a^{4} + 22 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 6 + \left(30 a^{8} + 10 a^{7} + 30 a^{6} + 3 a^{5} + 6 a^{4} + 25 a^{3} + 7 a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 31 + \left(a^{8} + 7 a^{7} + 14 a^{6} + 3 a^{5} + 28 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(a^{8} + 22 a^{7} + 12 a^{6} + 7 a^{5} + 30 a^{4} + 21 a^{3} + 17 a^{2} + 24\right)\cdot 31^{3} + \left(3 a^{8} + 16 a^{7} + 30 a^{6} + 24 a^{5} + 23 a^{4} + 22 a^{3} + 13 a^{2} + 27 a + 19\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\) 5a^8 + 19a^7 + 11a^6 + 16a^5 + 18a^4 + 22a^3 + 16a^2 + 10a + 6 + (30a^8 + 10a^7 + 30a^6 + 3a^5 + 6a^4 + 25a^3 + 7a^2 + 21a + 21)31 + (a^8 + 7a^7 + 14a^6 + 3a^5 + 28a^4 + 10a^3 + a^2 + 16a + 8)31^2 + (a^8 + 22a^7 + 12a^6 + 7a^5 + 30a^4 + 21a^3 + 17a^2 + 24)31^3 + (3a^8 + 16a^7 + 30a^6 + 24a^5 + 23a^4 + 22a^3 + 13a^2 + 27a + 19)31^4+O(31^5)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 14 a^{8} + 13 a^{7} + 19 a^{6} + 21 a^{5} + 21 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 15 a + 11 + \left(a^{8} + 6 a^{7} + 7 a^{6} + 9 a^{5} + 23 a^{4} + 17 a^{3} + 23 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 31 + \left(10 a^{8} + 18 a^{7} + 11 a^{6} + 3 a^{5} + 18 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 24\right)\cdot 31^{2} + \left(25 a^{8} + 15 a^{7} + 8 a^{6} + 2 a^{5} + 22 a^{4} + 19 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 31^{3} + \left(6 a^{8} + 7 a^{7} + 10 a^{6} + 4 a^{5} + 9 a^{4} + 26 a^{3} + 28 a^{2} + 3 a + 20\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\) 14a^8 + 13a^7 + 19a^6 + 21a^5 + 21a^4 + 14a^3 + 17a^2 + 15a + 11 + (a^8 + 6a^7 + 7a^6 + 9a^5 + 23a^4 + 17a^3 + 23a^2 + 7a + 16)31 + (10a^8 + 18a^7 + 11a^6 + 3a^5 + 18a^4 + 17a^3 + 8a^2 + 15a + 24)31^2 + (25a^8 + 15a^7 + 8a^6 + 2a^5 + 22a^4 + 19a^3 + 15a^2 + 6a + 4)31^3 + (6a^8 + 7a^7 + 10a^6 + 4a^5 + 9a^4 + 26a^3 + 28a^2 + 3a + 20)*31^4+O(31^5)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 15 a^{8} + a^{7} + 24 a^{6} + 14 a^{5} + 25 a^{4} + 3 a^{3} + 20 a^{2} + 5 a + 15 + \left(8 a^{8} + 24 a^{7} + 22 a^{6} + 19 a^{5} + 28 a^{4} + 26 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 31 + \left(17 a^{8} + 7 a^{7} + 26 a^{6} + 2 a^{5} + 25 a^{4} + 17 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 31^{2} + \left(2 a^{8} + 27 a^{7} + a^{6} + 2 a^{5} + 10 a^{4} + 28 a^{3} + 10 a^{2} + 14 a + 26\right)\cdot 31^{3} + \left(4 a^{8} + a^{7} + 21 a^{6} + 6 a^{5} + 26 a^{4} + 13 a^{3} + 23 a^{2} + 7 a + 21\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\) 15a^8 + a^7 + 24a^6 + 14a^5 + 25a^4 + 3a^3 + 20a^2 + 5a + 15 + (8a^8 + 24a^7 + 22a^6 + 19a^5 + 28a^4 + 26a^3 + 8a^2 + 15a + 19)31 + (17a^8 + 7a^7 + 26a^6 + 2a^5 + 25a^4 + 17a^3 + 10a^2 + 6a + 10)31^2 + (2a^8 + 27a^7 + a^6 + 2a^5 + 10a^4 + 28a^3 + 10a^2 + 14a + 26)31^3 + (4a^8 + a^7 + 21a^6 + 6a^5 + 26a^4 + 13a^3 + 23a^2 + 7a + 21)*31^4+O(31^5)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 30 a^{8} + 4 a^{7} + 21 a^{6} + 11 a^{5} + 24 a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 27 + \left(9 a^{8} + 21 a^{7} + 14 a^{6} + 29 a^{5} + 11 a^{4} + 30 a^{3} + 28 a^{2} + 3 a + 28\right)\cdot 31 + \left(28 a^{8} + 5 a^{7} + 17 a^{6} + 6 a^{5} + 3 a^{4} + 7 a^{3} + 20 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 31^{2} + \left(3 a^{8} + 28 a^{6} + 29 a^{5} + 8 a^{4} + 12 a^{3} + 7 a^{2} + 22 a + 11\right)\cdot 31^{3} + \left(12 a^{8} + 7 a^{7} + 19 a^{6} + 3 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 22 a^{2} + 9 a + 30\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\) 30a^8 + 4a^7 + 21a^6 + 11a^5 + 24a^4 + 13a^3 + 2a^2 + 11a + 27 + (9a^8 + 21a^7 + 14a^6 + 29a^5 + 11a^4 + 30a^3 + 28a^2 + 3a + 28)31 + (28a^8 + 5a^7 + 17a^6 + 6a^5 + 3a^4 + 7a^3 + 20a^2 + 10a + 3)31^2 + (3a^8 + 28a^6 + 29a^5 + 8a^4 + 12a^3 + 7a^2 + 22a + 11)31^3 + (12a^8 + 7a^7 + 19a^6 + 3a^5 + 9a^4 + 5a^3 + 22a^2 + 9a + 30)*31^4+O(31^5)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 12 a^{8} + 10 a^{7} + 26 a^{6} + 17 a^{5} + 21 a^{4} + 28 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 21 + \left(4 a^{8} + 23 a^{6} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 30 a + 26\right)\cdot 31 + \left(25 a^{8} + 25 a^{7} + 12 a^{6} + 21 a^{5} + 8 a^{4} + 27 a^{3} + 3 a^{2} + 24 a + 6\right)\cdot 31^{2} + \left(9 a^{8} + a^{7} + 26 a^{6} + 22 a^{5} + 9 a^{4} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + 19 a + 24\right)\cdot 31^{3} + \left(17 a^{8} + 6 a^{7} + 18 a^{6} + 15 a^{5} + 5 a^{4} + 19 a^{3} + 25 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\) 12a^8 + 10a^7 + 26a^6 + 17a^5 + 21a^4 + 28a^3 + 14a^2 + 14a + 21 + (4a^8 + 23a^6 + 8a^4 + 11a^3 + a^2 + 30a + 26)31 + (25a^8 + 25a^7 + 12a^6 + 21a^5 + 8a^4 + 27a^3 + 3a^2 + 24a + 6)31^2 + (9a^8 + a^7 + 26a^6 + 22a^5 + 9a^4 + 15a^3 + 3a^2 + 19a + 24)31^3 + (17a^8 + 6a^7 + 18a^6 + 15a^5 + 5a^4 + 19a^3 + 25a^2 + 9a + 8)31^4+O(31^5)
$r_{ 8 }$	$=$	\( a^{8} + 8 a^{7} + 20 a^{6} + 4 a^{5} + 2 a^{4} + 13 a^{3} + 28 a^{2} + 17 a + 21 + \left(24 a^{8} + 25 a^{7} + 30 a^{6} + 27 a^{4} + 22 a^{3} + 2 a^{2} + 5\right)\cdot 31 + \left(29 a^{8} + 15 a^{7} + 24 a^{6} + 22 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{3} + 19 a^{2} + 13 a + 26\right)\cdot 31^{2} + \left(7 a^{8} + 20 a^{7} + 30 a^{6} + 16 a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + 26 a^{2} + 29 a + 20\right)\cdot 31^{3} + \left(7 a^{8} + 15 a^{7} + 14 a^{6} + 6 a^{5} + 16 a^{4} + 10 a^{3} + 16 a + 5\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\) a^8 + 8a^7 + 20a^6 + 4a^5 + 2a^4 + 13a^3 + 28a^2 + 17a + 21 + (24a^8 + 25a^7 + 30a^6 + 27a^4 + 22a^3 + 2a^2 + 5)31 + (29a^8 + 15a^7 + 24a^6 + 22a^5 + 3a^4 + 5a^3 + 19a^2 + 13a + 26)31^2 + (7a^8 + 20a^7 + 30a^6 + 16a^5 + 10a^4 + 13a^3 + 26a^2 + 29a + 20)31^3 + (7a^8 + 15a^7 + 14a^6 + 6a^5 + 16a^4 + 10a^3 + 16a + 5)31^4+O(31^5)
$r_{ 9 }$	$=$	\( a^{8} + 10 a^{7} + 27 a^{6} + 28 a^{5} + 16 a^{4} + 23 a^{3} + 28 a^{2} + 2 a + 26 + \left(28 a^{8} + 11 a^{7} + 4 a^{6} + 2 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 31 + \left(3 a^{8} + 2 a^{7} + 27 a^{6} + 13 a^{5} + 19 a^{4} + 8 a^{3} + 30 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 31^{2} + \left(8 a^{8} + 8 a^{7} + 14 a^{6} + 11 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 31^{3} + \left(22 a^{8} + 8 a^{7} + 20 a^{6} + 15 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 15 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\) a^8 + 10a^7 + 27a^6 + 28a^5 + 16a^4 + 23a^3 + 28a^2 + 2a + 26 + (28a^8 + 11a^7 + 4a^6 + 2a^5 + 18a^4 + 2a^3 + 9a^2 + 11a + 5)31 + (3a^8 + 2a^7 + 27a^6 + 13a^5 + 19a^4 + 8a^3 + 30a^2 + 12a + 3)31^2 + (8a^8 + 8a^7 + 14a^6 + 11a^5 + 16a^4 + 12a^3 + 5a^2 + 8a + 13)31^3 + (22a^8 + 8a^7 + 20a^6 + 15a^5 + 12a^4 + 5a^3 + 15a^2 + 9a + 16)*31^4+O(31^5)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 9 a^{8} + 15 a^{7} + 10 a^{6} + 29 a^{5} + 29 a^{4} + 9 a^{3} + 22 a^{2} + 3 a + 27 + \left(12 a^{8} + 27 a^{7} + 29 a^{6} + 19 a^{5} + 28 a^{4} + 9 a^{3} + 23 a^{2} + 24 a + 26\right)\cdot 31 + \left(17 a^{8} + 15 a^{7} + 20 a^{6} + 22 a^{5} + 12 a^{4} + 27 a^{3} + 15 a^{2} + a + 10\right)\cdot 31^{2} + \left(25 a^{8} + 13 a^{7} + 15 a^{6} + 5 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 31^{3} + \left(29 a^{8} + 6 a^{7} + 16 a^{6} + 2 a^{4} + 24 a^{3} + 26 a^{2} + 10\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\) 9a^8 + 15a^7 + 10a^6 + 29a^5 + 29a^4 + 9a^3 + 22a^2 + 3a + 27 + (12a^8 + 27a^7 + 29a^6 + 19a^5 + 28a^4 + 9a^3 + 23a^2 + 24a + 26)31 + (17a^8 + 15a^7 + 20a^6 + 22a^5 + 12a^4 + 27a^3 + 15a^2 + a + 10)31^2 + (25a^8 + 13a^7 + 15a^6 + 5a^5 + 12a^4 + 4a^3 + 14a^2 + 6a + 15)31^3 + (29a^8 + 6a^7 + 16a^6 + 2a^4 + 24a^3 + 26a^2 + 10)*31^4+O(31^5)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 3 a^{8} + 25 a^{7} + 11 a^{6} + 9 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + a + 3 + \left(18 a^{8} + 27 a^{7} + 23 a^{6} + 28 a^{5} + 4 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 25 a + 14\right)\cdot 31 + \left(6 a^{8} + 26 a^{7} + 29 a^{6} + 26 a^{5} + 19 a^{4} + 13 a^{3} + 19 a^{2} + 16\right)\cdot 31^{2} + \left(8 a^{8} + 10 a^{7} + 22 a^{6} + 22 a^{5} + 13 a^{4} + 13 a^{3} + 15 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 31^{3} + \left(24 a^{8} + 16 a^{7} + 17 a^{6} + 21 a^{5} + 30 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a + 28\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\) 3a^8 + 25a^7 + 11a^6 + 9a^5 + 5a^4 + 13a^3 + 4a^2 + a + 3 + (18a^8 + 27a^7 + 23a^6 + 28a^5 + 4a^4 + 18a^3 + 9a^2 + 25a + 14)31 + (6a^8 + 26a^7 + 29a^6 + 26a^5 + 19a^4 + 13a^3 + 19a^2 + 16)31^2 + (8a^8 + 10a^7 + 22a^6 + 22a^5 + 13a^4 + 13a^3 + 15a^2 + 9a + 4)31^3 + (24a^8 + 16a^7 + 17a^6 + 21a^5 + 30a^4 + 3a^3 + 9a + 28)*31^4+O(31^5)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 6 a^{8} + 7 a^{7} + 29 a^{6} + 27 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + 19 a^{2} + 27 a + 24 + \left(16 a^{8} + 3 a^{7} + 20 a^{6} + 10 a^{5} + 27 a^{4} + 7 a^{3} + 20 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 31 + \left(24 a^{8} + 8 a^{7} + 22 a^{6} + 27 a^{5} + 13 a^{4} + 20 a^{3} + 22 a^{2} + 9\right)\cdot 31^{2} + \left(30 a^{8} + 24 a^{6} + 19 a^{5} + 18 a^{4} + 3 a^{3} + 25 a^{2} + 21 a + 23\right)\cdot 31^{3} + \left(29 a^{8} + 12 a^{7} + 22 a^{6} + 21 a^{5} + 29 a^{4} + 26 a^{3} + 19 a^{2} + 29 a + 28\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\) 6a^8 + 7a^7 + 29a^6 + 27a^5 + 11a^4 + 15a^3 + 19a^2 + 27a + 24 + (16a^8 + 3a^7 + 20a^6 + 10a^5 + 27a^4 + 7a^3 + 20a^2 + 11a + 6)31 + (24a^8 + 8a^7 + 22a^6 + 27a^5 + 13a^4 + 20a^3 + 22a^2 + 9)31^2 + (30a^8 + 24a^6 + 19a^5 + 18a^4 + 3a^3 + 25a^2 + 21a + 23)31^3 + (29a^8 + 12a^7 + 22a^6 + 21a^5 + 29a^4 + 26a^3 + 19a^2 + 29a + 28)31^4+O(31^5)
$r_{ 13 }$	$=$	\( 21 a^{8} + 2 a^{7} + 30 a^{6} + 22 a^{5} + 29 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 29 + \left(22 a^{8} + 13 a^{7} + 19 a^{6} + 6 a^{5} + 25 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 24 a + 10\right)\cdot 31 + \left(26 a^{8} + 8 a^{7} + 19 a^{6} + 16 a^{5} + 6 a^{4} + 20 a^{3} + 28 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 31^{2} + \left(7 a^{8} + 16 a^{7} + 29 a^{6} + 9 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 21 a + 4\right)\cdot 31^{3} + \left(20 a^{8} + 23 a^{7} + 8 a^{6} + 13 a^{5} + 29 a^{4} + 16 a^{3} + 27 a^{2} + 26 a + 30\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\) 21a^8 + 2a^7 + 30a^6 + 22a^5 + 29a^4 + 18a^3 + 9a^2 + 9a + 29 + (22a^8 + 13a^7 + 19a^6 + 6a^5 + 25a^4 + a^3 + 12a^2 + 24a + 10)31 + (26a^8 + 8a^7 + 19a^6 + 16a^5 + 6a^4 + 20a^3 + 28a^2 + 17a + 11)31^2 + (7a^8 + 16a^7 + 29a^6 + 9a^5 + 10a^4 + 3a^3 + 8a^2 + 21a + 4)31^3 + (20a^8 + 23a^7 + 8a^6 + 13a^5 + 29a^4 + 16a^3 + 27a^2 + 26a + 30)*31^4+O(31^5)
$r_{ 14 }$	$=$	\( 25 a^{8} + 14 a^{7} + 4 a^{6} + 7 a^{5} + 19 a^{4} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + 22 a + 29 + \left(27 a^{8} + 15 a^{7} + a^{6} + 5 a^{5} + 26 a^{4} + 24 a^{3} + 24 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 31 + \left(18 a^{8} + 10 a^{7} + 26 a^{6} + 18 a^{5} + 14 a^{4} + 21 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 31^{2} + \left(4 a^{8} + 8 a^{7} + 26 a^{6} + 21 a^{5} + 25 a^{4} + 4 a^{3} + 23 a^{2} + 19 a + 10\right)\cdot 31^{3} + \left(5 a^{8} + 9 a^{7} + 9 a^{6} + 24 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a + 17\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\) 25a^8 + 14a^7 + 4a^6 + 7a^5 + 19a^4 + 15a^3 + 18a^2 + 22a + 29 + (27a^8 + 15a^7 + a^6 + 5a^5 + 26a^4 + 24a^3 + 24a^2 + 6a + 12)31 + (18a^8 + 10a^7 + 26a^6 + 18a^5 + 14a^4 + 21a^3 + 9a^2 + 2a + 3)31^2 + (4a^8 + 8a^7 + 26a^6 + 21a^5 + 25a^4 + 4a^3 + 23a^2 + 19a + 10)31^3 + (5a^8 + 9a^7 + 9a^6 + 24a^5 + 3a^4 + 8a^3 + 10a + 17)31^4+O(31^5)
$r_{ 15 }$	$=$	\( 25 a^{8} + 2 a^{7} + 24 a^{6} + 18 a^{5} + 28 a^{4} + 17 a^{3} + 18 a^{2} + 19 a + 30 + \left(3 a^{8} + 9 a^{7} + 26 a^{6} + 24 a^{5} + 5 a^{4} + 2 a^{3} + 13 a^{2} + 29 a + 3\right)\cdot 31 + \left(25 a^{8} + 21 a^{7} + 19 a^{6} + 14 a^{5} + 14 a^{4} + 12 a^{3} + 30 a^{2} + a + 19\right)\cdot 31^{2} + \left(21 a^{8} + 3 a^{6} + 12 a^{5} + 14 a^{4} + 28 a^{3} + 7 a^{2} + 22 a + 24\right)\cdot 31^{3} + \left(5 a^{8} + 6 a^{7} + 11 a^{6} + 22 a^{5} + 25 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 25 a + 25\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\) 25a^8 + 2a^7 + 24a^6 + 18a^5 + 28a^4 + 17a^3 + 18a^2 + 19a + 30 + (3a^8 + 9a^7 + 26a^6 + 24a^5 + 5a^4 + 2a^3 + 13a^2 + 29a + 3)31 + (25a^8 + 21a^7 + 19a^6 + 14a^5 + 14a^4 + 12a^3 + 30a^2 + a + 19)31^2 + (21a^8 + 3a^6 + 12a^5 + 14a^4 + 28a^3 + 7a^2 + 22a + 24)31^3 + (5a^8 + 6a^7 + 11a^6 + 22a^5 + 25a^4 + 2a^3 + 2a^2 + 25a + 25)31^4+O(31^5)
$r_{ 16 }$	$=$	\( 8 a^{8} + 3 a^{7} + 2 a^{6} + 12 a^{5} + 12 a^{4} + 8 a^{3} + 23 a^{2} + 13 a + 24 + \left(17 a^{8} + 28 a^{7} + 25 a^{6} + a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 30 a + 18\right)\cdot 31 + \left(3 a^{8} + 27 a^{7} + 29 a^{6} + 5 a^{5} + 30 a^{4} + 17 a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 26\right)\cdot 31^{2} + \left(11 a^{8} + a^{7} + 6 a^{6} + 23 a^{5} + 26 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 31^{3} + \left(25 a^{8} + 17 a^{7} + 4 a^{6} + 26 a^{5} + 18 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 27 a\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\) 8a^8 + 3a^7 + 2a^6 + 12a^5 + 12a^4 + 8a^3 + 23a^2 + 13a + 24 + (17a^8 + 28a^7 + 25a^6 + a^5 + 9a^4 + 4a^3 + 14a^2 + 30a + 18)31 + (3a^8 + 27a^7 + 29a^6 + 5a^5 + 30a^4 + 17a^3 + 6a^2 + 13a + 26)31^2 + (11a^8 + a^7 + 6a^6 + 23a^5 + 26a^4 + 6a^3 + a^2 + 18a + 10)31^3 + (25a^8 + 17a^7 + 4a^6 + 26a^5 + 18a^4 + 11a^3 + 7a^2 + 27a)*31^4+O(31^5)
$r_{ 17 }$	$=$	\( 13 a^{8} + 5 a^{7} + 27 a^{6} + 8 a^{5} + a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 25 a + 13 + \left(4 a^{8} + 10 a^{7} + 15 a^{6} + 14 a^{5} + 29 a^{4} + 17 a^{3} + 13 a^{2} + 21 a + 28\right)\cdot 31 + \left(7 a^{8} + 27 a^{7} + 5 a^{6} + a^{5} + 16 a^{4} + 30 a^{3} + a^{2} + 23 a + 3\right)\cdot 31^{2} + \left(20 a^{8} + 23 a^{7} + 6 a^{6} + 6 a^{5} + 6 a^{4} + 19 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a\right)\cdot 31^{3} + \left(2 a^{8} + 12 a^{7} + 23 a^{6} + 3 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\) 13a^8 + 5a^7 + 27a^6 + 8a^5 + a^4 + 15a^3 + 7a^2 + 25a + 13 + (4a^8 + 10a^7 + 15a^6 + 14a^5 + 29a^4 + 17a^3 + 13a^2 + 21a + 28)31 + (7a^8 + 27a^7 + 5a^6 + a^5 + 16a^4 + 30a^3 + a^2 + 23a + 3)31^2 + (20a^8 + 23a^7 + 6a^6 + 6a^5 + 6a^4 + 19a^3 + 5a^2 + 7a)31^3 + (2a^8 + 12a^7 + 23a^6 + 3a^5 + 5a^4 + 13a^3 + 7a^2 + 14a + 12)*31^4+O(31^5)
$r_{ 18 }$	$=$	\( 26 a^{8} + 20 a^{7} + 12 a^{6} + 24 a^{5} + 27 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 24 a + 11 + \left(4 a^{8} + 6 a^{7} + 26 a^{6} + 21 a^{5} + 22 a^{4} + 24 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 26\right)\cdot 31 + \left(9 a^{8} + 17 a^{7} + 21 a^{6} + 27 a^{5} + 13 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 31^{2} + \left(27 a^{8} + 30 a^{7} + 8 a^{6} + 12 a^{5} + 4 a^{4} + 15 a^{3} + 28 a^{2} + 18 a + 27\right)\cdot 31^{3} + \left(19 a^{8} + 11 a^{7} + 19 a^{6} + 5 a^{5} + 23 a^{4} + 30 a^{3} + 19 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\) 26a^8 + 20a^7 + 12a^6 + 24a^5 + 27a^4 + 3a^3 + 10a^2 + 24a + 11 + (4a^8 + 6a^7 + 26a^6 + 21a^5 + 22a^4 + 24a^3 + 13a^2 + 15a + 26)31 + (9a^8 + 17a^7 + 21a^6 + 27a^5 + 13a^4 + 2a^3 + 18a^2 + 20a + 17)31^2 + (27a^8 + 30a^7 + 8a^6 + 12a^5 + 4a^4 + 15a^3 + 28a^2 + 18a + 27)31^3 + (19a^8 + 11a^7 + 19a^6 + 5a^5 + 23a^4 + 30a^3 + 19a^2 + 22a + 2)31^4+O(31^5)