LMFDB - Artin representation 1.23.11t1.a.j

Basic invariants

Dimension:	$1$
Group:	$C_{11}$
Conductor:	$23$
Artin field:	Galois closure of $\Q(\zeta_{23})^+$
Galois orbit size:	$10$
Smallest permutation container:	$C_{11}$
Parity:	even
Dirichlet character:	$\chi_{23}(8,\cdot)$
Projective image:	$C_1$
Projective field:	Galois closure of $\Q$

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{11} - x^{10} - 10x^{9} + 9x^{8} + 36x^{7} - 28x^{6} - 56x^{5} + 35x^{4} + 35x^{3} - 15x^{2} - 6x + 1 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 13 }$ to precision 7.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 13 }$: $ x^{11} + 3x + 11 $ x^11 + 3*x + 11

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 2 a^{9} + 12 a^{8} + 7 a^{7} + 2 a^{6} + 7 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 6 + \left(4 a^{10} + a^{9} + 4 a^{8} + a^{7} + 5 a^{6} + 3 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13 + \left(4 a^{10} + 7 a^{9} + a^{8} + 5 a^{6} + 6 a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{2} + \left(a^{9} + 12 a^{8} + a^{7} + 9 a^{6} + 8 a^{5} + 9 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{3} + \left(7 a^{10} + 3 a^{9} + 9 a^{8} + a^{7} + 10 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{4} + \left(2 a^{10} + a^{9} + 12 a^{7} + 9 a^{6} + 8 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{5} + \left(7 a^{10} + 2 a^{9} + a^{8} + 7 a^{7} + 12 a^{6} + 10 a^{5} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{6} +O(13^{7})$ 2a^9 + 12a^8 + 7a^7 + 2a^6 + 7a^5 + 4a^4 + 8a^3 + 12a^2 + 9a + 6 + (4a^10 + a^9 + 4a^8 + a^7 + 5a^6 + 3a^5 + 12a^4 + 4a^3 + 4a^2 + 8a + 1)13 + (4a^10 + 7a^9 + a^8 + 5a^6 + 6a^5 + 5a^4 + 6a^3 + 4a^2 + 5a + 1)13^2 + (a^9 + 12a^8 + a^7 + 9a^6 + 8a^5 + 9a^4 + 6a^3 + 10a^2 + 6a + 2)13^3 + (7a^10 + 3a^9 + 9a^8 + a^7 + 10a^5 + 8a^4 + 6a^3 + 6a^2 + 12a + 6)13^4 + (2a^10 + a^9 + 12a^7 + 9a^6 + 8a^5 + 4a^4 + a^3 + 9a^2 + 10)13^5 + (7a^10 + 2a^9 + a^8 + 7a^7 + 12a^6 + 10a^5 + 11a^3 + 9a^2 + 2a + 7)13^6+O(13^7)
$r_{ 2 }$	$=$	$ 12 a^{9} + a^{8} + 9 a^{7} + 12 a^{6} + 12 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 6 + \left(11 a^{10} + 6 a^{9} + 10 a^{8} + 4 a^{7} + a^{6} + 6 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13 + \left(9 a^{10} + 11 a^{9} + 5 a^{8} + 12 a^{7} + 11 a^{6} + 9 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{2} + \left(7 a^{10} + 12 a^{9} + 5 a^{8} + a^{7} + 8 a^{6} + 12 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{3} + \left(3 a^{10} + 10 a^{9} + 2 a^{8} + 2 a^{7} + 6 a^{6} + 3 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{4} + \left(3 a^{9} + 9 a^{8} + 4 a^{7} + 11 a^{6} + 7 a^{5} + 4 a^{4} + 12 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{5} + \left(2 a^{10} + 7 a^{9} + 6 a^{8} + 4 a^{7} + 4 a^{6} + 4 a^{5} + 8 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{6} +O(13^{7})$ 12a^9 + a^8 + 9a^7 + 12a^6 + 12a^5 + 7a^4 + a^3 + 3a^2 + 6a + 6 + (11a^10 + 6a^9 + 10a^8 + 4a^7 + a^6 + 6a^5 + 3a^4 + 8a^3 + 12a^2 + 4a)13 + (9a^10 + 11a^9 + 5a^8 + 12a^7 + 11a^6 + 9a^5 + 4a^4 + 8a^3 + 7a^2 + 6a + 2)13^2 + (7a^10 + 12a^9 + 5a^8 + a^7 + 8a^6 + 12a^5 + 10a^4 + 5a + 8)13^3 + (3a^10 + 10a^9 + 2a^8 + 2a^7 + 6a^6 + 3a^5 + 9a^4 + 10a^3 + 6a^2 + 12a + 8)13^4 + (3a^9 + 9a^8 + 4a^7 + 11a^6 + 7a^5 + 4a^4 + 12a^2 + 2a + 6)13^5 + (2a^10 + 7a^9 + 6a^8 + 4a^7 + 4a^6 + 4a^5 + 8a^4 + 2a^3 + 12a^2 + 6a + 5)*13^6+O(13^7)
$r_{ 3 }$	$=$	$ a^{10} + a^{9} + 11 a^{8} + 5 a^{7} + 12 a^{6} + 3 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{2} + 11 a + 4 + \left(3 a^{10} + 10 a^{9} + 8 a^{8} + a^{7} + 5 a^{6} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 1\right)\cdot 13 + \left(2 a^{10} + 10 a^{9} + 6 a^{7} + 9 a^{6} + 3 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{2} + \left(12 a^{9} + 2 a^{8} + 2 a^{7} + a^{6} + 10 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{3} + \left(9 a^{10} + 6 a^{9} + 6 a^{8} + 12 a^{7} + 6 a^{6} + 6 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{4} + \left(11 a^{10} + 4 a^{9} + a^{8} + 7 a^{7} + 11 a^{6} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{5} + \left(12 a^{10} + 10 a^{9} + 12 a^{8} + 10 a^{7} + 12 a^{6} + 9 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{6} +O(13^{7})$ a^10 + a^9 + 11a^8 + 5a^7 + 12a^6 + 3a^5 + 7a^4 + 7a^2 + 11a + 4 + (3a^10 + 10a^9 + 8a^8 + a^7 + 5a^6 + 6a^3 + 4a^2 + 1)13 + (2a^10 + 10a^9 + 6a^7 + 9a^6 + 3a^5 + 4a^4 + 9a^3 + 5a^2 + 2a + 6)13^2 + (12a^9 + 2a^8 + 2a^7 + a^6 + 10a^5 + 3a^4 + 9a^3 + 7a^2 + 7a)13^3 + (9a^10 + 6a^9 + 6a^8 + 12a^7 + 6a^6 + 6a^5 + 11a^4 + 4a^3 + 11a^2 + a + 8)13^4 + (11a^10 + 4a^9 + a^8 + 7a^7 + 11a^6 + 11a^4 + 9a^3 + 7a^2 + 5a + 10)13^5 + (12a^10 + 10a^9 + 12a^8 + 10a^7 + 12a^6 + 9a^5 + 9a^4 + 4a^3 + 2a^2 + 11a + 6)*13^6+O(13^7)
$r_{ 4 }$	$=$	$ 4 a^{10} + 5 a^{9} + a^{8} + 5 a^{7} + 6 a^{6} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 11 + \left(5 a^{10} + 6 a^{9} + 7 a^{8} + 5 a^{7} + a^{6} + 11 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{2} + 3\right)\cdot 13 + \left(9 a^{10} + 10 a^{9} + a^{8} + 4 a^{7} + 4 a^{6} + 2 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{2} + \left(7 a^{10} + 10 a^{9} + 10 a^{8} + 11 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{3} + \left(9 a^{10} + 9 a^{9} + 5 a^{8} + a^{7} + 5 a^{6} + 9 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{4} + \left(a^{10} + 2 a^{9} + 4 a^{7} + 9 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{5} + \left(10 a^{10} + 2 a^{9} + 6 a^{8} + 8 a^{7} + 10 a^{6} + 3 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{6} +O(13^{7})$ 4a^10 + 5a^9 + a^8 + 5a^7 + 6a^6 + 5a^4 + 4a^3 + 11a^2 + 6a + 11 + (5a^10 + 6a^9 + 7a^8 + 5a^7 + a^6 + 11a^5 + 11a^4 + 8a^2 + 3)13 + (9a^10 + 10a^9 + a^8 + 4a^7 + 4a^6 + 2a^5 + 11a^4 + 6a^3 + 3a^2 + 3a + 10)13^2 + (7a^10 + 10a^9 + 10a^8 + 11a^6 + 10a^5 + 4a^4 + 9a^3 + 8a^2 + 12a + 12)13^3 + (9a^10 + 9a^9 + 5a^8 + a^7 + 5a^6 + 9a^5 + 4a^4 + 10a^3 + 11a^2 + 5a + 11)13^4 + (a^10 + 2a^9 + 4a^7 + 9a^6 + 10a^5 + 4a^4 + 11a^3 + 6a^2 + 3a + 5)13^5 + (10a^10 + 2a^9 + 6a^8 + 8a^7 + 10a^6 + 3a^5 + 6a^4 + 7a^3 + 9a^2 + 6a)13^6+O(13^7)
$r_{ 5 }$	$=$	$ 4 a^{10} + 12 a^{9} + 5 a^{8} + 11 a^{7} + a^{5} + 2 a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 11 + \left(6 a^{10} + 10 a^{9} + 7 a^{8} + 9 a^{7} + 4 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13 + \left(11 a^{8} + 9 a^{7} + 5 a^{6} + 5 a^{5} + 7 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{2} + \left(8 a^{10} + 2 a^{9} + a^{8} + 5 a^{7} + 9 a^{6} + 7 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{3} + \left(2 a^{10} + 7 a^{9} + 5 a^{8} + 5 a^{7} + 9 a^{6} + 2 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{4} + \left(9 a^{10} + 5 a^{9} + 12 a^{8} + a^{7} + 3 a^{6} + 2 a^{5} + 4 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{5} + \left(10 a^{10} + 6 a^{9} + a^{8} + 3 a^{6} + 6 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{6} +O(13^{7})$ 4a^10 + 12a^9 + 5a^8 + 11a^7 + a^5 + 2a^4 + 5a^3 + 4a^2 + 3a + 11 + (6a^10 + 10a^9 + 7a^8 + 9a^7 + 4a^6 + 10a^5 + 4a^4 + 10a^3 + a^2 + 10a + 1)13 + (11a^8 + 9a^7 + 5a^6 + 5a^5 + 7a^4 + 10a^3 + 12a^2 + 10a)13^2 + (8a^10 + 2a^9 + a^8 + 5a^7 + 9a^6 + 7a^5 + 11a^4 + 3a^3 + 3a^2 + 6a + 3)13^3 + (2a^10 + 7a^9 + 5a^8 + 5a^7 + 9a^6 + 2a^5 + 6a^4 + 12a^3 + 3a^2 + 5a + 1)13^4 + (9a^10 + 5a^9 + 12a^8 + a^7 + 3a^6 + 2a^5 + 4a^4 + 6a^3 + 10a^2 + 2a + 12)13^5 + (10a^10 + 6a^9 + a^8 + 3a^6 + 6a^5 + 10a^4 + 6a^3 + 8a + 7)13^6+O(13^7)
$r_{ 6 }$	$=$	$ 6 a^{10} + 6 a^{9} + a^{8} + 3 a^{7} + 11 a^{6} + 10 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 7 + \left(12 a^{10} + 12 a^{9} + 10 a^{8} + 11 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 11\right)\cdot 13 + \left(12 a^{10} + a^{9} + 12 a^{8} + 3 a^{7} + 7 a^{6} + 5 a^{5} + 9 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{2} + \left(3 a^{10} + 4 a^{9} + 11 a^{8} + 2 a^{7} + a^{6} + 8 a^{5} + 5 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{3} + \left(9 a^{10} + 4 a^{9} + 2 a^{8} + 12 a^{7} + 9 a^{6} + 9 a^{5} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{4} + \left(11 a^{10} + 8 a^{9} + 3 a^{8} + 12 a^{7} + 4 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{5} + \left(12 a^{10} + 5 a^{9} + 6 a^{8} + 10 a^{6} + 11 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{6} +O(13^{7})$ 6a^10 + 6a^9 + a^8 + 3a^7 + 11a^6 + 10a^5 + 9a^4 + 10a^3 + 7a^2 + 9a + 7 + (12a^10 + 12a^9 + 10a^8 + 11a^6 + 7a^5 + 10a^3 + 7a^2 + 11)13 + (12a^10 + a^9 + 12a^8 + 3a^7 + 7a^6 + 5a^5 + 9a^4 + 12a^3 + 3a^2 + 12)13^2 + (3a^10 + 4a^9 + 11a^8 + 2a^7 + a^6 + 8a^5 + 5a^4 + 10a^3 + 6a^2 + 3a + 4)13^3 + (9a^10 + 4a^9 + 2a^8 + 12a^7 + 9a^6 + 9a^5 + 7a^3 + 11a^2 + 7a + 12)13^4 + (11a^10 + 8a^9 + 3a^8 + 12a^7 + 4a^6 + 7a^5 + 10a^4 + a^3 + 9a^2 + 5)13^5 + (12a^10 + 5a^9 + 6a^8 + 10a^6 + 11a^5 + 10a^4 + 3a^2 + 3a + 4)13^6+O(13^7)
$r_{ 7 }$	$=$	$ 6 a^{10} + 11 a^{9} + 8 a^{8} + 5 a^{7} + 6 a^{6} + 5 a^{5} + 12 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + a + 7 + \left(2 a^{10} + 11 a^{9} + 8 a^{8} + 4 a^{7} + 4 a^{6} + 6 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + 5\right)\cdot 13 + \left(2 a^{9} + 7 a^{8} + 2 a^{6} + 10 a^{5} + 10 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{2} + \left(2 a^{10} + 4 a^{9} + 2 a^{8} + 6 a^{7} + 10 a^{6} + 9 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{3} + \left(6 a^{10} + 12 a^{9} + 12 a^{8} + 10 a^{7} + 3 a^{6} + 2 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{4} + \left(10 a^{10} + 5 a^{9} + 10 a^{8} + 5 a^{7} + a^{6} + 10 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{5} + \left(11 a^{10} + 6 a^{9} + 2 a^{8} + 8 a^{7} + a^{6} + 9 a^{5} + 11 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{6} +O(13^{7})$ 6a^10 + 11a^9 + 8a^8 + 5a^7 + 6a^6 + 5a^5 + 12a^4 + 9a^3 + 2a^2 + a + 7 + (2a^10 + 11a^9 + 8a^8 + 4a^7 + 4a^6 + 6a^5 + 7a^4 + a^3 + 4a^2 + 5)13 + (2a^9 + 7a^8 + 2a^6 + 10a^5 + 10a^4 + 12a^3 + 5a^2 + 5a + 6)13^2 + (2a^10 + 4a^9 + 2a^8 + 6a^7 + 10a^6 + 9a^5 + 8a^4 + a^3 + 10a^2 + 5a + 5)13^3 + (6a^10 + 12a^9 + 12a^8 + 10a^7 + 3a^6 + 2a^4 + 9a^3 + 4a^2 + 8a + 1)13^4 + (10a^10 + 5a^9 + 10a^8 + 5a^7 + a^6 + 10a^5 + 9a^4 + 8a^3 + 6a^2 + 12a + 6)13^5 + (11a^10 + 6a^9 + 2a^8 + 8a^7 + a^6 + 9a^5 + 11a^4 + 7a^3 + 7a^2 + 8a + 1)*13^6+O(13^7)
$r_{ 8 }$	$=$	$ 10 a^{10} + a^{8} + 12 a^{7} + a^{6} + a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 12 + \left(12 a^{10} + a^{9} + 6 a^{8} + 12 a^{7} + 7 a^{6} + 6 a^{5} + 5 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13 + \left(12 a^{10} + 11 a^{9} + 10 a^{8} + 12 a^{7} + a^{6} + 6 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{2} + \left(4 a^{10} + a^{9} + 4 a^{8} + 8 a^{6} + 10 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{3} + \left(4 a^{10} + 7 a^{8} + 9 a^{7} + 8 a^{6} + 12 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{4} + \left(10 a^{10} + 5 a^{9} + 9 a^{8} + 11 a^{7} + 7 a^{6} + a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{5} + \left(8 a^{10} + 2 a^{9} + a^{8} + 5 a^{7} + 2 a^{6} + a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{6} +O(13^{7})$ 10a^10 + a^8 + 12a^7 + a^6 + a^5 + a^4 + 7a^3 + 3a^2 + 6a + 12 + (12a^10 + a^9 + 6a^8 + 12a^7 + 7a^6 + 6a^5 + 5a^4 + 2a^3 + 10a^2 + a + 2)13 + (12a^10 + 11a^9 + 10a^8 + 12a^7 + a^6 + 6a^5 + 5a^4 + 9a^3 + 11a^2 + 4a + 8)13^2 + (4a^10 + a^9 + 4a^8 + 8a^6 + 10a^5 + 9a^4 + 8a^3 + 10a^2 + 10a)13^3 + (4a^10 + 7a^8 + 9a^7 + 8a^6 + 12a^5 + 4a^4 + a^3 + 5a^2 + 10a + 6)13^4 + (10a^10 + 5a^9 + 9a^8 + 11a^7 + 7a^6 + a^5 + 6a^4 + 7a^2 + 6a + 10)13^5 + (8a^10 + 2a^9 + a^8 + 5a^7 + 2a^6 + a^5 + 4a^4 + a^3 + 6a^2 + 9)13^6+O(13^7)
$r_{ 9 }$	$=$	$ 10 a^{10} + 10 a^{9} + 7 a^{8} + 8 a^{7} + 4 a^{6} + 12 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 12 + \left(2 a^{10} + 4 a^{9} + 2 a^{8} + 2 a^{7} + 11 a^{6} + 10 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13 + \left(6 a^{10} + 10 a^{9} + a^{8} + 7 a^{7} + 4 a^{6} + 6 a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{2} + \left(12 a^{10} + 9 a^{9} + a^{8} + 9 a^{7} + 4 a^{6} + 12 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{3} + \left(8 a^{10} + 10 a^{9} + a^{8} + 3 a^{7} + 10 a^{6} + 12 a^{5} + 9 a^{3} + a^{2} + 6\right)\cdot 13^{4} + \left(6 a^{10} + 3 a^{9} + 10 a^{8} + a^{7} + 7 a^{6} + 8 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{5} + \left(a^{9} + 8 a^{7} + 12 a^{6} + 4 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{6} +O(13^{7})$ 10a^10 + 10a^9 + 7a^8 + 8a^7 + 4a^6 + 12a^5 + a^4 + 6a^3 + 5a^2 + 9a + 12 + (2a^10 + 4a^9 + 2a^8 + 2a^7 + 11a^6 + 10a^5 + 5a^4 + 3a^3 + 11a^2 + 11a + 9)13 + (6a^10 + 10a^9 + a^8 + 7a^7 + 4a^6 + 6a^5 + 12a^4 + 6a^3 + 2a + 2)13^2 + (12a^10 + 9a^9 + a^8 + 9a^7 + 4a^6 + 12a^5 + 7a^4 + 5a^3 + 2a^2 + 10a + 9)13^3 + (8a^10 + 10a^9 + a^8 + 3a^7 + 10a^6 + 12a^5 + 9a^3 + a^2 + 6)13^4 + (6a^10 + 3a^9 + 10a^8 + a^7 + 7a^6 + 8a^5 + 3a^4 + 12a^3 + a^2 + 9a)13^5 + (a^9 + 8a^7 + 12a^6 + 4a^5 + 11a^4 + 8a^3 + 12a^2 + 7a + 12)*13^6+O(13^7)
$r_{ 10 }$	$=$	$ 12 a^{10} + 3 a^{9} + a^{8} + 5 a^{7} + 4 a^{6} + 7 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{2} + 12 a + 8 + \left(12 a^{10} + 12 a^{9} + 7 a^{8} + 12 a^{7} + 12 a^{6} + 3 a^{5} + 12 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13 + \left(4 a^{10} + 6 a^{8} + 3 a^{7} + 11 a^{6} + 4 a^{5} + 12 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{2} + \left(10 a^{10} + 9 a^{9} + a^{8} + a^{7} + 4 a^{6} + 4 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{3} + \left(10 a^{10} + 6 a^{9} + 10 a^{8} + 4 a^{7} + 6 a^{6} + 8 a^{5} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{4} + \left(11 a^{10} + 2 a^{8} + 12 a^{7} + 7 a^{6} + 8 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{5} + \left(4 a^{10} + 5 a^{9} + 10 a^{8} + 4 a^{7} + 2 a^{6} + 5 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{6} +O(13^{7})$ 12a^10 + 3a^9 + a^8 + 5a^7 + 4a^6 + 7a^5 + 7a^4 + 12a^2 + 12a + 8 + (12a^10 + 12a^9 + 7a^8 + 12a^7 + 12a^6 + 3a^5 + 12a^4 + 8a^3 + 2a^2 + 7a + 11)13 + (4a^10 + 6a^8 + 3a^7 + 11a^6 + 4a^5 + 12a^4 + 9a^3 + a^2 + 4a + 8)13^2 + (10a^10 + 9a^9 + a^8 + a^7 + 4a^6 + 4a^5 + 9a^4 + a^3 + 10a^2 + 4)13^3 + (10a^10 + 6a^9 + 10a^8 + 4a^7 + 6a^6 + 8a^5 + 8a^4 + 10a^3 + 5a^2 + 5a + 9)13^4 + (11a^10 + 2a^8 + 12a^7 + 7a^6 + 8a^5 + 10a^4 + 4a^3 + 3a + 2)13^5 + (4a^10 + 5a^9 + 10a^8 + 4a^7 + 2a^6 + 5a^5 + 3a^4 + 8a^3 + a^2 + 7a + 12)*13^6+O(13^7)
$r_{ 11 }$	$=$	$ 12 a^{10} + 3 a^{9} + 4 a^{8} + 8 a^{7} + 7 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 8 + \left(4 a^{10} + 5 a^{8} + 9 a^{7} + 12 a^{6} + 11 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13 + \left(a^{10} + 10 a^{9} + 5 a^{8} + 4 a^{7} + 3 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{2} + \left(7 a^{10} + 8 a^{9} + 11 a^{8} + 7 a^{7} + 8 a^{6} + 9 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{3} + \left(6 a^{10} + 5 a^{9} + a^{8} + 3 a^{7} + 10 a^{6} + 12 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{4} + \left(a^{10} + 10 a^{9} + 4 a^{8} + 4 a^{7} + 3 a^{6} + 10 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{5} + \left(9 a^{10} + 2 a^{9} + 2 a^{8} + 5 a^{7} + 4 a^{6} + 10 a^{5} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{6} +O(13^{7})$ 12a^10 + 3a^9 + 4a^8 + 8a^7 + 7a^6 + 7a^5 + 10a^4 + 2a^3 + 12a^2 + 6a + 8 + (4a^10 + 5a^8 + 9a^7 + 12a^6 + 11a^5 + a^4 + 9a^3 + 9a^2 + 5a + 1)13 + (a^10 + 10a^9 + 5a^8 + 4a^7 + 3a^5 + 7a^4 + 12a^3 + 8a^2 + 7a + 6)13^2 + (7a^10 + 8a^9 + 11a^8 + 7a^7 + 8a^6 + 9a^5 + 9a^4 + 5a^3 + 7a^2 + 10a)13^3 + (6a^10 + 5a^9 + a^8 + 3a^7 + 10a^6 + 12a^5 + 6a^4 + 8a^3 + 9a^2 + 7a + 6)13^4 + (a^10 + 10a^9 + 4a^8 + 4a^7 + 3a^6 + 10a^5 + 8a^4 + 6a^3 + 5a^2 + 4a + 6)13^5 + (9a^10 + 2a^9 + 2a^8 + 5a^7 + 4a^6 + 10a^5 + 6a^3 + 11a^2 + 3a + 9)*13^6+O(13^7)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 11 }$

Cycle notation
$(1,4,6,2,5,7,10,11,3,8,9)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 11 }$	Character value	Complex conjugation
$1$	$1$	$()$	$1$	✓
$1$	$11$	$(1,4,6,2,5,7,10,11,3,8,9)$	$-\zeta_{11}^{9} - \zeta_{11}^{8} - \zeta_{11}^{7} - \zeta_{11}^{6} - \zeta_{11}^{5} - \zeta_{11}^{4} - \zeta_{11}^{3} - \zeta_{11}^{2} - \zeta_{11} - 1$
$1$	$11$	$(1,6,5,10,3,9,4,2,7,11,8)$	$\zeta_{11}^{9}$
$1$	$11$	$(1,2,10,8,4,5,11,9,6,7,3)$	$\zeta_{11}^{8}$
$1$	$11$	$(1,5,3,4,7,8,6,10,9,2,11)$	$\zeta_{11}^{7}$
$1$	$11$	$(1,7,9,5,8,2,3,6,11,4,10)$	$\zeta_{11}^{6}$
$1$	$11$	$(1,10,4,11,6,3,2,8,5,9,7)$	$\zeta_{11}^{5}$
$1$	$11$	$(1,11,2,9,10,6,8,7,4,3,5)$	$\zeta_{11}^{4}$
$1$	$11$	$(1,3,7,6,9,11,5,4,8,10,2)$	$\zeta_{11}^{3}$
$1$	$11$	$(1,8,11,7,2,4,9,3,10,5,6)$	$\zeta_{11}^{2}$
$1$	$11$	$(1,9,8,3,11,10,7,5,2,6,4)$	$\zeta_{11}$

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 11 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	1.23.11t1.a.j
Dimension	$1$
Group	$C_{11}$
Conductor	$23$
Root number	not computed
Indicator	$0$

$r_{ 1 }$	$=$	\( 2 a^{9} + 12 a^{8} + 7 a^{7} + 2 a^{6} + 7 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 6 + \left(4 a^{10} + a^{9} + 4 a^{8} + a^{7} + 5 a^{6} + 3 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13 + \left(4 a^{10} + 7 a^{9} + a^{8} + 5 a^{6} + 6 a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{2} + \left(a^{9} + 12 a^{8} + a^{7} + 9 a^{6} + 8 a^{5} + 9 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{3} + \left(7 a^{10} + 3 a^{9} + 9 a^{8} + a^{7} + 10 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{4} + \left(2 a^{10} + a^{9} + 12 a^{7} + 9 a^{6} + 8 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{5} + \left(7 a^{10} + 2 a^{9} + a^{8} + 7 a^{7} + 12 a^{6} + 10 a^{5} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{6} +O(13^{7})\) 2a^9 + 12a^8 + 7a^7 + 2a^6 + 7a^5 + 4a^4 + 8a^3 + 12a^2 + 9a + 6 + (4a^10 + a^9 + 4a^8 + a^7 + 5a^6 + 3a^5 + 12a^4 + 4a^3 + 4a^2 + 8a + 1)13 + (4a^10 + 7a^9 + a^8 + 5a^6 + 6a^5 + 5a^4 + 6a^3 + 4a^2 + 5a + 1)13^2 + (a^9 + 12a^8 + a^7 + 9a^6 + 8a^5 + 9a^4 + 6a^3 + 10a^2 + 6a + 2)13^3 + (7a^10 + 3a^9 + 9a^8 + a^7 + 10a^5 + 8a^4 + 6a^3 + 6a^2 + 12a + 6)13^4 + (2a^10 + a^9 + 12a^7 + 9a^6 + 8a^5 + 4a^4 + a^3 + 9a^2 + 10)13^5 + (7a^10 + 2a^9 + a^8 + 7a^7 + 12a^6 + 10a^5 + 11a^3 + 9a^2 + 2a + 7)13^6+O(13^7)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 12 a^{9} + a^{8} + 9 a^{7} + 12 a^{6} + 12 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 6 + \left(11 a^{10} + 6 a^{9} + 10 a^{8} + 4 a^{7} + a^{6} + 6 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13 + \left(9 a^{10} + 11 a^{9} + 5 a^{8} + 12 a^{7} + 11 a^{6} + 9 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{2} + \left(7 a^{10} + 12 a^{9} + 5 a^{8} + a^{7} + 8 a^{6} + 12 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{3} + \left(3 a^{10} + 10 a^{9} + 2 a^{8} + 2 a^{7} + 6 a^{6} + 3 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{4} + \left(3 a^{9} + 9 a^{8} + 4 a^{7} + 11 a^{6} + 7 a^{5} + 4 a^{4} + 12 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{5} + \left(2 a^{10} + 7 a^{9} + 6 a^{8} + 4 a^{7} + 4 a^{6} + 4 a^{5} + 8 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{6} +O(13^{7})\) 12a^9 + a^8 + 9a^7 + 12a^6 + 12a^5 + 7a^4 + a^3 + 3a^2 + 6a + 6 + (11a^10 + 6a^9 + 10a^8 + 4a^7 + a^6 + 6a^5 + 3a^4 + 8a^3 + 12a^2 + 4a)13 + (9a^10 + 11a^9 + 5a^8 + 12a^7 + 11a^6 + 9a^5 + 4a^4 + 8a^3 + 7a^2 + 6a + 2)13^2 + (7a^10 + 12a^9 + 5a^8 + a^7 + 8a^6 + 12a^5 + 10a^4 + 5a + 8)13^3 + (3a^10 + 10a^9 + 2a^8 + 2a^7 + 6a^6 + 3a^5 + 9a^4 + 10a^3 + 6a^2 + 12a + 8)13^4 + (3a^9 + 9a^8 + 4a^7 + 11a^6 + 7a^5 + 4a^4 + 12a^2 + 2a + 6)13^5 + (2a^10 + 7a^9 + 6a^8 + 4a^7 + 4a^6 + 4a^5 + 8a^4 + 2a^3 + 12a^2 + 6a + 5)*13^6+O(13^7)
$r_{ 3 }$	$=$	\( a^{10} + a^{9} + 11 a^{8} + 5 a^{7} + 12 a^{6} + 3 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{2} + 11 a + 4 + \left(3 a^{10} + 10 a^{9} + 8 a^{8} + a^{7} + 5 a^{6} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 1\right)\cdot 13 + \left(2 a^{10} + 10 a^{9} + 6 a^{7} + 9 a^{6} + 3 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{2} + \left(12 a^{9} + 2 a^{8} + 2 a^{7} + a^{6} + 10 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{3} + \left(9 a^{10} + 6 a^{9} + 6 a^{8} + 12 a^{7} + 6 a^{6} + 6 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{4} + \left(11 a^{10} + 4 a^{9} + a^{8} + 7 a^{7} + 11 a^{6} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{5} + \left(12 a^{10} + 10 a^{9} + 12 a^{8} + 10 a^{7} + 12 a^{6} + 9 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{6} +O(13^{7})\) a^10 + a^9 + 11a^8 + 5a^7 + 12a^6 + 3a^5 + 7a^4 + 7a^2 + 11a + 4 + (3a^10 + 10a^9 + 8a^8 + a^7 + 5a^6 + 6a^3 + 4a^2 + 1)13 + (2a^10 + 10a^9 + 6a^7 + 9a^6 + 3a^5 + 4a^4 + 9a^3 + 5a^2 + 2a + 6)13^2 + (12a^9 + 2a^8 + 2a^7 + a^6 + 10a^5 + 3a^4 + 9a^3 + 7a^2 + 7a)13^3 + (9a^10 + 6a^9 + 6a^8 + 12a^7 + 6a^6 + 6a^5 + 11a^4 + 4a^3 + 11a^2 + a + 8)13^4 + (11a^10 + 4a^9 + a^8 + 7a^7 + 11a^6 + 11a^4 + 9a^3 + 7a^2 + 5a + 10)13^5 + (12a^10 + 10a^9 + 12a^8 + 10a^7 + 12a^6 + 9a^5 + 9a^4 + 4a^3 + 2a^2 + 11a + 6)*13^6+O(13^7)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 4 a^{10} + 5 a^{9} + a^{8} + 5 a^{7} + 6 a^{6} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 11 + \left(5 a^{10} + 6 a^{9} + 7 a^{8} + 5 a^{7} + a^{6} + 11 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{2} + 3\right)\cdot 13 + \left(9 a^{10} + 10 a^{9} + a^{8} + 4 a^{7} + 4 a^{6} + 2 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{2} + \left(7 a^{10} + 10 a^{9} + 10 a^{8} + 11 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{3} + \left(9 a^{10} + 9 a^{9} + 5 a^{8} + a^{7} + 5 a^{6} + 9 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{4} + \left(a^{10} + 2 a^{9} + 4 a^{7} + 9 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{5} + \left(10 a^{10} + 2 a^{9} + 6 a^{8} + 8 a^{7} + 10 a^{6} + 3 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{6} +O(13^{7})\) 4a^10 + 5a^9 + a^8 + 5a^7 + 6a^6 + 5a^4 + 4a^3 + 11a^2 + 6a + 11 + (5a^10 + 6a^9 + 7a^8 + 5a^7 + a^6 + 11a^5 + 11a^4 + 8a^2 + 3)13 + (9a^10 + 10a^9 + a^8 + 4a^7 + 4a^6 + 2a^5 + 11a^4 + 6a^3 + 3a^2 + 3a + 10)13^2 + (7a^10 + 10a^9 + 10a^8 + 11a^6 + 10a^5 + 4a^4 + 9a^3 + 8a^2 + 12a + 12)13^3 + (9a^10 + 9a^9 + 5a^8 + a^7 + 5a^6 + 9a^5 + 4a^4 + 10a^3 + 11a^2 + 5a + 11)13^4 + (a^10 + 2a^9 + 4a^7 + 9a^6 + 10a^5 + 4a^4 + 11a^3 + 6a^2 + 3a + 5)13^5 + (10a^10 + 2a^9 + 6a^8 + 8a^7 + 10a^6 + 3a^5 + 6a^4 + 7a^3 + 9a^2 + 6a)13^6+O(13^7)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 4 a^{10} + 12 a^{9} + 5 a^{8} + 11 a^{7} + a^{5} + 2 a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 11 + \left(6 a^{10} + 10 a^{9} + 7 a^{8} + 9 a^{7} + 4 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13 + \left(11 a^{8} + 9 a^{7} + 5 a^{6} + 5 a^{5} + 7 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{2} + \left(8 a^{10} + 2 a^{9} + a^{8} + 5 a^{7} + 9 a^{6} + 7 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{3} + \left(2 a^{10} + 7 a^{9} + 5 a^{8} + 5 a^{7} + 9 a^{6} + 2 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{4} + \left(9 a^{10} + 5 a^{9} + 12 a^{8} + a^{7} + 3 a^{6} + 2 a^{5} + 4 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{5} + \left(10 a^{10} + 6 a^{9} + a^{8} + 3 a^{6} + 6 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{6} +O(13^{7})\) 4a^10 + 12a^9 + 5a^8 + 11a^7 + a^5 + 2a^4 + 5a^3 + 4a^2 + 3a + 11 + (6a^10 + 10a^9 + 7a^8 + 9a^7 + 4a^6 + 10a^5 + 4a^4 + 10a^3 + a^2 + 10a + 1)13 + (11a^8 + 9a^7 + 5a^6 + 5a^5 + 7a^4 + 10a^3 + 12a^2 + 10a)13^2 + (8a^10 + 2a^9 + a^8 + 5a^7 + 9a^6 + 7a^5 + 11a^4 + 3a^3 + 3a^2 + 6a + 3)13^3 + (2a^10 + 7a^9 + 5a^8 + 5a^7 + 9a^6 + 2a^5 + 6a^4 + 12a^3 + 3a^2 + 5a + 1)13^4 + (9a^10 + 5a^9 + 12a^8 + a^7 + 3a^6 + 2a^5 + 4a^4 + 6a^3 + 10a^2 + 2a + 12)13^5 + (10a^10 + 6a^9 + a^8 + 3a^6 + 6a^5 + 10a^4 + 6a^3 + 8a + 7)13^6+O(13^7)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 6 a^{10} + 6 a^{9} + a^{8} + 3 a^{7} + 11 a^{6} + 10 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 7 + \left(12 a^{10} + 12 a^{9} + 10 a^{8} + 11 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 11\right)\cdot 13 + \left(12 a^{10} + a^{9} + 12 a^{8} + 3 a^{7} + 7 a^{6} + 5 a^{5} + 9 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{2} + \left(3 a^{10} + 4 a^{9} + 11 a^{8} + 2 a^{7} + a^{6} + 8 a^{5} + 5 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{3} + \left(9 a^{10} + 4 a^{9} + 2 a^{8} + 12 a^{7} + 9 a^{6} + 9 a^{5} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{4} + \left(11 a^{10} + 8 a^{9} + 3 a^{8} + 12 a^{7} + 4 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{5} + \left(12 a^{10} + 5 a^{9} + 6 a^{8} + 10 a^{6} + 11 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{6} +O(13^{7})\) 6a^10 + 6a^9 + a^8 + 3a^7 + 11a^6 + 10a^5 + 9a^4 + 10a^3 + 7a^2 + 9a + 7 + (12a^10 + 12a^9 + 10a^8 + 11a^6 + 7a^5 + 10a^3 + 7a^2 + 11)13 + (12a^10 + a^9 + 12a^8 + 3a^7 + 7a^6 + 5a^5 + 9a^4 + 12a^3 + 3a^2 + 12)13^2 + (3a^10 + 4a^9 + 11a^8 + 2a^7 + a^6 + 8a^5 + 5a^4 + 10a^3 + 6a^2 + 3a + 4)13^3 + (9a^10 + 4a^9 + 2a^8 + 12a^7 + 9a^6 + 9a^5 + 7a^3 + 11a^2 + 7a + 12)13^4 + (11a^10 + 8a^9 + 3a^8 + 12a^7 + 4a^6 + 7a^5 + 10a^4 + a^3 + 9a^2 + 5)13^5 + (12a^10 + 5a^9 + 6a^8 + 10a^6 + 11a^5 + 10a^4 + 3a^2 + 3a + 4)13^6+O(13^7)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 6 a^{10} + 11 a^{9} + 8 a^{8} + 5 a^{7} + 6 a^{6} + 5 a^{5} + 12 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + a + 7 + \left(2 a^{10} + 11 a^{9} + 8 a^{8} + 4 a^{7} + 4 a^{6} + 6 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + 5\right)\cdot 13 + \left(2 a^{9} + 7 a^{8} + 2 a^{6} + 10 a^{5} + 10 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{2} + \left(2 a^{10} + 4 a^{9} + 2 a^{8} + 6 a^{7} + 10 a^{6} + 9 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{3} + \left(6 a^{10} + 12 a^{9} + 12 a^{8} + 10 a^{7} + 3 a^{6} + 2 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{4} + \left(10 a^{10} + 5 a^{9} + 10 a^{8} + 5 a^{7} + a^{6} + 10 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{5} + \left(11 a^{10} + 6 a^{9} + 2 a^{8} + 8 a^{7} + a^{6} + 9 a^{5} + 11 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{6} +O(13^{7})\) 6a^10 + 11a^9 + 8a^8 + 5a^7 + 6a^6 + 5a^5 + 12a^4 + 9a^3 + 2a^2 + a + 7 + (2a^10 + 11a^9 + 8a^8 + 4a^7 + 4a^6 + 6a^5 + 7a^4 + a^3 + 4a^2 + 5)13 + (2a^9 + 7a^8 + 2a^6 + 10a^5 + 10a^4 + 12a^3 + 5a^2 + 5a + 6)13^2 + (2a^10 + 4a^9 + 2a^8 + 6a^7 + 10a^6 + 9a^5 + 8a^4 + a^3 + 10a^2 + 5a + 5)13^3 + (6a^10 + 12a^9 + 12a^8 + 10a^7 + 3a^6 + 2a^4 + 9a^3 + 4a^2 + 8a + 1)13^4 + (10a^10 + 5a^9 + 10a^8 + 5a^7 + a^6 + 10a^5 + 9a^4 + 8a^3 + 6a^2 + 12a + 6)13^5 + (11a^10 + 6a^9 + 2a^8 + 8a^7 + a^6 + 9a^5 + 11a^4 + 7a^3 + 7a^2 + 8a + 1)*13^6+O(13^7)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 10 a^{10} + a^{8} + 12 a^{7} + a^{6} + a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 12 + \left(12 a^{10} + a^{9} + 6 a^{8} + 12 a^{7} + 7 a^{6} + 6 a^{5} + 5 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13 + \left(12 a^{10} + 11 a^{9} + 10 a^{8} + 12 a^{7} + a^{6} + 6 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{2} + \left(4 a^{10} + a^{9} + 4 a^{8} + 8 a^{6} + 10 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{3} + \left(4 a^{10} + 7 a^{8} + 9 a^{7} + 8 a^{6} + 12 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{4} + \left(10 a^{10} + 5 a^{9} + 9 a^{8} + 11 a^{7} + 7 a^{6} + a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{5} + \left(8 a^{10} + 2 a^{9} + a^{8} + 5 a^{7} + 2 a^{6} + a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{6} +O(13^{7})\) 10a^10 + a^8 + 12a^7 + a^6 + a^5 + a^4 + 7a^3 + 3a^2 + 6a + 12 + (12a^10 + a^9 + 6a^8 + 12a^7 + 7a^6 + 6a^5 + 5a^4 + 2a^3 + 10a^2 + a + 2)13 + (12a^10 + 11a^9 + 10a^8 + 12a^7 + a^6 + 6a^5 + 5a^4 + 9a^3 + 11a^2 + 4a + 8)13^2 + (4a^10 + a^9 + 4a^8 + 8a^6 + 10a^5 + 9a^4 + 8a^3 + 10a^2 + 10a)13^3 + (4a^10 + 7a^8 + 9a^7 + 8a^6 + 12a^5 + 4a^4 + a^3 + 5a^2 + 10a + 6)13^4 + (10a^10 + 5a^9 + 9a^8 + 11a^7 + 7a^6 + a^5 + 6a^4 + 7a^2 + 6a + 10)13^5 + (8a^10 + 2a^9 + a^8 + 5a^7 + 2a^6 + a^5 + 4a^4 + a^3 + 6a^2 + 9)13^6+O(13^7)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 10 a^{10} + 10 a^{9} + 7 a^{8} + 8 a^{7} + 4 a^{6} + 12 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 12 + \left(2 a^{10} + 4 a^{9} + 2 a^{8} + 2 a^{7} + 11 a^{6} + 10 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13 + \left(6 a^{10} + 10 a^{9} + a^{8} + 7 a^{7} + 4 a^{6} + 6 a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{2} + \left(12 a^{10} + 9 a^{9} + a^{8} + 9 a^{7} + 4 a^{6} + 12 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{3} + \left(8 a^{10} + 10 a^{9} + a^{8} + 3 a^{7} + 10 a^{6} + 12 a^{5} + 9 a^{3} + a^{2} + 6\right)\cdot 13^{4} + \left(6 a^{10} + 3 a^{9} + 10 a^{8} + a^{7} + 7 a^{6} + 8 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{5} + \left(a^{9} + 8 a^{7} + 12 a^{6} + 4 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{6} +O(13^{7})\) 10a^10 + 10a^9 + 7a^8 + 8a^7 + 4a^6 + 12a^5 + a^4 + 6a^3 + 5a^2 + 9a + 12 + (2a^10 + 4a^9 + 2a^8 + 2a^7 + 11a^6 + 10a^5 + 5a^4 + 3a^3 + 11a^2 + 11a + 9)13 + (6a^10 + 10a^9 + a^8 + 7a^7 + 4a^6 + 6a^5 + 12a^4 + 6a^3 + 2a + 2)13^2 + (12a^10 + 9a^9 + a^8 + 9a^7 + 4a^6 + 12a^5 + 7a^4 + 5a^3 + 2a^2 + 10a + 9)13^3 + (8a^10 + 10a^9 + a^8 + 3a^7 + 10a^6 + 12a^5 + 9a^3 + a^2 + 6)13^4 + (6a^10 + 3a^9 + 10a^8 + a^7 + 7a^6 + 8a^5 + 3a^4 + 12a^3 + a^2 + 9a)13^5 + (a^9 + 8a^7 + 12a^6 + 4a^5 + 11a^4 + 8a^3 + 12a^2 + 7a + 12)*13^6+O(13^7)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 12 a^{10} + 3 a^{9} + a^{8} + 5 a^{7} + 4 a^{6} + 7 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{2} + 12 a + 8 + \left(12 a^{10} + 12 a^{9} + 7 a^{8} + 12 a^{7} + 12 a^{6} + 3 a^{5} + 12 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13 + \left(4 a^{10} + 6 a^{8} + 3 a^{7} + 11 a^{6} + 4 a^{5} + 12 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{2} + \left(10 a^{10} + 9 a^{9} + a^{8} + a^{7} + 4 a^{6} + 4 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{3} + \left(10 a^{10} + 6 a^{9} + 10 a^{8} + 4 a^{7} + 6 a^{6} + 8 a^{5} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{4} + \left(11 a^{10} + 2 a^{8} + 12 a^{7} + 7 a^{6} + 8 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{5} + \left(4 a^{10} + 5 a^{9} + 10 a^{8} + 4 a^{7} + 2 a^{6} + 5 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{6} +O(13^{7})\) 12a^10 + 3a^9 + a^8 + 5a^7 + 4a^6 + 7a^5 + 7a^4 + 12a^2 + 12a + 8 + (12a^10 + 12a^9 + 7a^8 + 12a^7 + 12a^6 + 3a^5 + 12a^4 + 8a^3 + 2a^2 + 7a + 11)13 + (4a^10 + 6a^8 + 3a^7 + 11a^6 + 4a^5 + 12a^4 + 9a^3 + a^2 + 4a + 8)13^2 + (10a^10 + 9a^9 + a^8 + a^7 + 4a^6 + 4a^5 + 9a^4 + a^3 + 10a^2 + 4)13^3 + (10a^10 + 6a^9 + 10a^8 + 4a^7 + 6a^6 + 8a^5 + 8a^4 + 10a^3 + 5a^2 + 5a + 9)13^4 + (11a^10 + 2a^8 + 12a^7 + 7a^6 + 8a^5 + 10a^4 + 4a^3 + 3a + 2)13^5 + (4a^10 + 5a^9 + 10a^8 + 4a^7 + 2a^6 + 5a^5 + 3a^4 + 8a^3 + a^2 + 7a + 12)*13^6+O(13^7)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 12 a^{10} + 3 a^{9} + 4 a^{8} + 8 a^{7} + 7 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 8 + \left(4 a^{10} + 5 a^{8} + 9 a^{7} + 12 a^{6} + 11 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13 + \left(a^{10} + 10 a^{9} + 5 a^{8} + 4 a^{7} + 3 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{2} + \left(7 a^{10} + 8 a^{9} + 11 a^{8} + 7 a^{7} + 8 a^{6} + 9 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{3} + \left(6 a^{10} + 5 a^{9} + a^{8} + 3 a^{7} + 10 a^{6} + 12 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{4} + \left(a^{10} + 10 a^{9} + 4 a^{8} + 4 a^{7} + 3 a^{6} + 10 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{5} + \left(9 a^{10} + 2 a^{9} + 2 a^{8} + 5 a^{7} + 4 a^{6} + 10 a^{5} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{6} +O(13^{7})\) 12a^10 + 3a^9 + 4a^8 + 8a^7 + 7a^6 + 7a^5 + 10a^4 + 2a^3 + 12a^2 + 6a + 8 + (4a^10 + 5a^8 + 9a^7 + 12a^6 + 11a^5 + a^4 + 9a^3 + 9a^2 + 5a + 1)13 + (a^10 + 10a^9 + 5a^8 + 4a^7 + 3a^5 + 7a^4 + 12a^3 + 8a^2 + 7a + 6)13^2 + (7a^10 + 8a^9 + 11a^8 + 7a^7 + 8a^6 + 9a^5 + 9a^4 + 5a^3 + 7a^2 + 10a)13^3 + (6a^10 + 5a^9 + a^8 + 3a^7 + 10a^6 + 12a^5 + 6a^4 + 8a^3 + 9a^2 + 7a + 6)13^4 + (a^10 + 10a^9 + 4a^8 + 4a^7 + 3a^6 + 10a^5 + 8a^4 + 6a^3 + 5a^2 + 4a + 6)13^5 + (9a^10 + 2a^9 + 2a^8 + 5a^7 + 4a^6 + 10a^5 + 6a^3 + 11a^2 + 3a + 9)*13^6+O(13^7)