# Properties

 Label 1.23.11t1.a.c Dimension $1$ Group $C_{11}$ Conductor $23$ Root number not computed Indicator $0$

# Related objects

## Basic invariants

 Dimension: $1$ Group: $C_{11}$ Conductor: $$23$$ Artin field: Galois closure of $$\Q(\zeta_{23})^+$$ Galois orbit size: $10$ Smallest permutation container: $C_{11}$ Parity: even Dirichlet character: $$\chi_{23}(4,\cdot)$$ Projective image: $C_1$ Projective field: Galois closure of $$\Q$$

## Defining polynomial

 $f(x)$ $=$ $$x^{11} - x^{10} - 10x^{9} + 9x^{8} + 36x^{7} - 28x^{6} - 56x^{5} + 35x^{4} + 35x^{3} - 15x^{2} - 6x + 1$$ x^11 - x^10 - 10*x^9 + 9*x^8 + 36*x^7 - 28*x^6 - 56*x^5 + 35*x^4 + 35*x^3 - 15*x^2 - 6*x + 1 .

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 13 }$ to precision 7.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 13 }$: $$x^{11} + 3x + 11$$

Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $$2 a^{9} + 12 a^{8} + 7 a^{7} + 2 a^{6} + 7 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 6 + \left(4 a^{10} + a^{9} + 4 a^{8} + a^{7} + 5 a^{6} + 3 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13 + \left(4 a^{10} + 7 a^{9} + a^{8} + 5 a^{6} + 6 a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{2} + \left(a^{9} + 12 a^{8} + a^{7} + 9 a^{6} + 8 a^{5} + 9 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{3} + \left(7 a^{10} + 3 a^{9} + 9 a^{8} + a^{7} + 10 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{4} + \left(2 a^{10} + a^{9} + 12 a^{7} + 9 a^{6} + 8 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{5} + \left(7 a^{10} + 2 a^{9} + a^{8} + 7 a^{7} + 12 a^{6} + 10 a^{5} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{6} +O(13^{7})$$ 2*a^9 + 12*a^8 + 7*a^7 + 2*a^6 + 7*a^5 + 4*a^4 + 8*a^3 + 12*a^2 + 9*a + 6 + (4*a^10 + a^9 + 4*a^8 + a^7 + 5*a^6 + 3*a^5 + 12*a^4 + 4*a^3 + 4*a^2 + 8*a + 1)*13 + (4*a^10 + 7*a^9 + a^8 + 5*a^6 + 6*a^5 + 5*a^4 + 6*a^3 + 4*a^2 + 5*a + 1)*13^2 + (a^9 + 12*a^8 + a^7 + 9*a^6 + 8*a^5 + 9*a^4 + 6*a^3 + 10*a^2 + 6*a + 2)*13^3 + (7*a^10 + 3*a^9 + 9*a^8 + a^7 + 10*a^5 + 8*a^4 + 6*a^3 + 6*a^2 + 12*a + 6)*13^4 + (2*a^10 + a^9 + 12*a^7 + 9*a^6 + 8*a^5 + 4*a^4 + a^3 + 9*a^2 + 10)*13^5 + (7*a^10 + 2*a^9 + a^8 + 7*a^7 + 12*a^6 + 10*a^5 + 11*a^3 + 9*a^2 + 2*a + 7)*13^6+O(13^7) $r_{ 2 }$ $=$ $$12 a^{9} + a^{8} + 9 a^{7} + 12 a^{6} + 12 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 6 + \left(11 a^{10} + 6 a^{9} + 10 a^{8} + 4 a^{7} + a^{6} + 6 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13 + \left(9 a^{10} + 11 a^{9} + 5 a^{8} + 12 a^{7} + 11 a^{6} + 9 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{2} + \left(7 a^{10} + 12 a^{9} + 5 a^{8} + a^{7} + 8 a^{6} + 12 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{3} + \left(3 a^{10} + 10 a^{9} + 2 a^{8} + 2 a^{7} + 6 a^{6} + 3 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{4} + \left(3 a^{9} + 9 a^{8} + 4 a^{7} + 11 a^{6} + 7 a^{5} + 4 a^{4} + 12 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{5} + \left(2 a^{10} + 7 a^{9} + 6 a^{8} + 4 a^{7} + 4 a^{6} + 4 a^{5} + 8 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{6} +O(13^{7})$$ 12*a^9 + a^8 + 9*a^7 + 12*a^6 + 12*a^5 + 7*a^4 + a^3 + 3*a^2 + 6*a + 6 + (11*a^10 + 6*a^9 + 10*a^8 + 4*a^7 + a^6 + 6*a^5 + 3*a^4 + 8*a^3 + 12*a^2 + 4*a)*13 + (9*a^10 + 11*a^9 + 5*a^8 + 12*a^7 + 11*a^6 + 9*a^5 + 4*a^4 + 8*a^3 + 7*a^2 + 6*a + 2)*13^2 + (7*a^10 + 12*a^9 + 5*a^8 + a^7 + 8*a^6 + 12*a^5 + 10*a^4 + 5*a + 8)*13^3 + (3*a^10 + 10*a^9 + 2*a^8 + 2*a^7 + 6*a^6 + 3*a^5 + 9*a^4 + 10*a^3 + 6*a^2 + 12*a + 8)*13^4 + (3*a^9 + 9*a^8 + 4*a^7 + 11*a^6 + 7*a^5 + 4*a^4 + 12*a^2 + 2*a + 6)*13^5 + (2*a^10 + 7*a^9 + 6*a^8 + 4*a^7 + 4*a^6 + 4*a^5 + 8*a^4 + 2*a^3 + 12*a^2 + 6*a + 5)*13^6+O(13^7) $r_{ 3 }$ $=$ $$a^{10} + a^{9} + 11 a^{8} + 5 a^{7} + 12 a^{6} + 3 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{2} + 11 a + 4 + \left(3 a^{10} + 10 a^{9} + 8 a^{8} + a^{7} + 5 a^{6} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 1\right)\cdot 13 + \left(2 a^{10} + 10 a^{9} + 6 a^{7} + 9 a^{6} + 3 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{2} + \left(12 a^{9} + 2 a^{8} + 2 a^{7} + a^{6} + 10 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{3} + \left(9 a^{10} + 6 a^{9} + 6 a^{8} + 12 a^{7} + 6 a^{6} + 6 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{4} + \left(11 a^{10} + 4 a^{9} + a^{8} + 7 a^{7} + 11 a^{6} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{5} + \left(12 a^{10} + 10 a^{9} + 12 a^{8} + 10 a^{7} + 12 a^{6} + 9 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{6} +O(13^{7})$$ a^10 + a^9 + 11*a^8 + 5*a^7 + 12*a^6 + 3*a^5 + 7*a^4 + 7*a^2 + 11*a + 4 + (3*a^10 + 10*a^9 + 8*a^8 + a^7 + 5*a^6 + 6*a^3 + 4*a^2 + 1)*13 + (2*a^10 + 10*a^9 + 6*a^7 + 9*a^6 + 3*a^5 + 4*a^4 + 9*a^3 + 5*a^2 + 2*a + 6)*13^2 + (12*a^9 + 2*a^8 + 2*a^7 + a^6 + 10*a^5 + 3*a^4 + 9*a^3 + 7*a^2 + 7*a)*13^3 + (9*a^10 + 6*a^9 + 6*a^8 + 12*a^7 + 6*a^6 + 6*a^5 + 11*a^4 + 4*a^3 + 11*a^2 + a + 8)*13^4 + (11*a^10 + 4*a^9 + a^8 + 7*a^7 + 11*a^6 + 11*a^4 + 9*a^3 + 7*a^2 + 5*a + 10)*13^5 + (12*a^10 + 10*a^9 + 12*a^8 + 10*a^7 + 12*a^6 + 9*a^5 + 9*a^4 + 4*a^3 + 2*a^2 + 11*a + 6)*13^6+O(13^7) $r_{ 4 }$ $=$ $$4 a^{10} + 5 a^{9} + a^{8} + 5 a^{7} + 6 a^{6} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 11 + \left(5 a^{10} + 6 a^{9} + 7 a^{8} + 5 a^{7} + a^{6} + 11 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{2} + 3\right)\cdot 13 + \left(9 a^{10} + 10 a^{9} + a^{8} + 4 a^{7} + 4 a^{6} + 2 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{2} + \left(7 a^{10} + 10 a^{9} + 10 a^{8} + 11 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{3} + \left(9 a^{10} + 9 a^{9} + 5 a^{8} + a^{7} + 5 a^{6} + 9 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{4} + \left(a^{10} + 2 a^{9} + 4 a^{7} + 9 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{5} + \left(10 a^{10} + 2 a^{9} + 6 a^{8} + 8 a^{7} + 10 a^{6} + 3 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{6} +O(13^{7})$$ 4*a^10 + 5*a^9 + a^8 + 5*a^7 + 6*a^6 + 5*a^4 + 4*a^3 + 11*a^2 + 6*a + 11 + (5*a^10 + 6*a^9 + 7*a^8 + 5*a^7 + a^6 + 11*a^5 + 11*a^4 + 8*a^2 + 3)*13 + (9*a^10 + 10*a^9 + a^8 + 4*a^7 + 4*a^6 + 2*a^5 + 11*a^4 + 6*a^3 + 3*a^2 + 3*a + 10)*13^2 + (7*a^10 + 10*a^9 + 10*a^8 + 11*a^6 + 10*a^5 + 4*a^4 + 9*a^3 + 8*a^2 + 12*a + 12)*13^3 + (9*a^10 + 9*a^9 + 5*a^8 + a^7 + 5*a^6 + 9*a^5 + 4*a^4 + 10*a^3 + 11*a^2 + 5*a + 11)*13^4 + (a^10 + 2*a^9 + 4*a^7 + 9*a^6 + 10*a^5 + 4*a^4 + 11*a^3 + 6*a^2 + 3*a + 5)*13^5 + (10*a^10 + 2*a^9 + 6*a^8 + 8*a^7 + 10*a^6 + 3*a^5 + 6*a^4 + 7*a^3 + 9*a^2 + 6*a)*13^6+O(13^7) $r_{ 5 }$ $=$ $$4 a^{10} + 12 a^{9} + 5 a^{8} + 11 a^{7} + a^{5} + 2 a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 11 + \left(6 a^{10} + 10 a^{9} + 7 a^{8} + 9 a^{7} + 4 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13 + \left(11 a^{8} + 9 a^{7} + 5 a^{6} + 5 a^{5} + 7 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{2} + \left(8 a^{10} + 2 a^{9} + a^{8} + 5 a^{7} + 9 a^{6} + 7 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{3} + \left(2 a^{10} + 7 a^{9} + 5 a^{8} + 5 a^{7} + 9 a^{6} + 2 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{4} + \left(9 a^{10} + 5 a^{9} + 12 a^{8} + a^{7} + 3 a^{6} + 2 a^{5} + 4 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{5} + \left(10 a^{10} + 6 a^{9} + a^{8} + 3 a^{6} + 6 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{6} +O(13^{7})$$ 4*a^10 + 12*a^9 + 5*a^8 + 11*a^7 + a^5 + 2*a^4 + 5*a^3 + 4*a^2 + 3*a + 11 + (6*a^10 + 10*a^9 + 7*a^8 + 9*a^7 + 4*a^6 + 10*a^5 + 4*a^4 + 10*a^3 + a^2 + 10*a + 1)*13 + (11*a^8 + 9*a^7 + 5*a^6 + 5*a^5 + 7*a^4 + 10*a^3 + 12*a^2 + 10*a)*13^2 + (8*a^10 + 2*a^9 + a^8 + 5*a^7 + 9*a^6 + 7*a^5 + 11*a^4 + 3*a^3 + 3*a^2 + 6*a + 3)*13^3 + (2*a^10 + 7*a^9 + 5*a^8 + 5*a^7 + 9*a^6 + 2*a^5 + 6*a^4 + 12*a^3 + 3*a^2 + 5*a + 1)*13^4 + (9*a^10 + 5*a^9 + 12*a^8 + a^7 + 3*a^6 + 2*a^5 + 4*a^4 + 6*a^3 + 10*a^2 + 2*a + 12)*13^5 + (10*a^10 + 6*a^9 + a^8 + 3*a^6 + 6*a^5 + 10*a^4 + 6*a^3 + 8*a + 7)*13^6+O(13^7) $r_{ 6 }$ $=$ $$6 a^{10} + 6 a^{9} + a^{8} + 3 a^{7} + 11 a^{6} + 10 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 7 + \left(12 a^{10} + 12 a^{9} + 10 a^{8} + 11 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 11\right)\cdot 13 + \left(12 a^{10} + a^{9} + 12 a^{8} + 3 a^{7} + 7 a^{6} + 5 a^{5} + 9 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{2} + \left(3 a^{10} + 4 a^{9} + 11 a^{8} + 2 a^{7} + a^{6} + 8 a^{5} + 5 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{3} + \left(9 a^{10} + 4 a^{9} + 2 a^{8} + 12 a^{7} + 9 a^{6} + 9 a^{5} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{4} + \left(11 a^{10} + 8 a^{9} + 3 a^{8} + 12 a^{7} + 4 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{5} + \left(12 a^{10} + 5 a^{9} + 6 a^{8} + 10 a^{6} + 11 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{6} +O(13^{7})$$ 6*a^10 + 6*a^9 + a^8 + 3*a^7 + 11*a^6 + 10*a^5 + 9*a^4 + 10*a^3 + 7*a^2 + 9*a + 7 + (12*a^10 + 12*a^9 + 10*a^8 + 11*a^6 + 7*a^5 + 10*a^3 + 7*a^2 + 11)*13 + (12*a^10 + a^9 + 12*a^8 + 3*a^7 + 7*a^6 + 5*a^5 + 9*a^4 + 12*a^3 + 3*a^2 + 12)*13^2 + (3*a^10 + 4*a^9 + 11*a^8 + 2*a^7 + a^6 + 8*a^5 + 5*a^4 + 10*a^3 + 6*a^2 + 3*a + 4)*13^3 + (9*a^10 + 4*a^9 + 2*a^8 + 12*a^7 + 9*a^6 + 9*a^5 + 7*a^3 + 11*a^2 + 7*a + 12)*13^4 + (11*a^10 + 8*a^9 + 3*a^8 + 12*a^7 + 4*a^6 + 7*a^5 + 10*a^4 + a^3 + 9*a^2 + 5)*13^5 + (12*a^10 + 5*a^9 + 6*a^8 + 10*a^6 + 11*a^5 + 10*a^4 + 3*a^2 + 3*a + 4)*13^6+O(13^7) $r_{ 7 }$ $=$ $$6 a^{10} + 11 a^{9} + 8 a^{8} + 5 a^{7} + 6 a^{6} + 5 a^{5} + 12 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + a + 7 + \left(2 a^{10} + 11 a^{9} + 8 a^{8} + 4 a^{7} + 4 a^{6} + 6 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + 5\right)\cdot 13 + \left(2 a^{9} + 7 a^{8} + 2 a^{6} + 10 a^{5} + 10 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{2} + \left(2 a^{10} + 4 a^{9} + 2 a^{8} + 6 a^{7} + 10 a^{6} + 9 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{3} + \left(6 a^{10} + 12 a^{9} + 12 a^{8} + 10 a^{7} + 3 a^{6} + 2 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{4} + \left(10 a^{10} + 5 a^{9} + 10 a^{8} + 5 a^{7} + a^{6} + 10 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{5} + \left(11 a^{10} + 6 a^{9} + 2 a^{8} + 8 a^{7} + a^{6} + 9 a^{5} + 11 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{6} +O(13^{7})$$ 6*a^10 + 11*a^9 + 8*a^8 + 5*a^7 + 6*a^6 + 5*a^5 + 12*a^4 + 9*a^3 + 2*a^2 + a + 7 + (2*a^10 + 11*a^9 + 8*a^8 + 4*a^7 + 4*a^6 + 6*a^5 + 7*a^4 + a^3 + 4*a^2 + 5)*13 + (2*a^9 + 7*a^8 + 2*a^6 + 10*a^5 + 10*a^4 + 12*a^3 + 5*a^2 + 5*a + 6)*13^2 + (2*a^10 + 4*a^9 + 2*a^8 + 6*a^7 + 10*a^6 + 9*a^5 + 8*a^4 + a^3 + 10*a^2 + 5*a + 5)*13^3 + (6*a^10 + 12*a^9 + 12*a^8 + 10*a^7 + 3*a^6 + 2*a^4 + 9*a^3 + 4*a^2 + 8*a + 1)*13^4 + (10*a^10 + 5*a^9 + 10*a^8 + 5*a^7 + a^6 + 10*a^5 + 9*a^4 + 8*a^3 + 6*a^2 + 12*a + 6)*13^5 + (11*a^10 + 6*a^9 + 2*a^8 + 8*a^7 + a^6 + 9*a^5 + 11*a^4 + 7*a^3 + 7*a^2 + 8*a + 1)*13^6+O(13^7) $r_{ 8 }$ $=$ $$10 a^{10} + a^{8} + 12 a^{7} + a^{6} + a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 12 + \left(12 a^{10} + a^{9} + 6 a^{8} + 12 a^{7} + 7 a^{6} + 6 a^{5} + 5 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13 + \left(12 a^{10} + 11 a^{9} + 10 a^{8} + 12 a^{7} + a^{6} + 6 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{2} + \left(4 a^{10} + a^{9} + 4 a^{8} + 8 a^{6} + 10 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{3} + \left(4 a^{10} + 7 a^{8} + 9 a^{7} + 8 a^{6} + 12 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{4} + \left(10 a^{10} + 5 a^{9} + 9 a^{8} + 11 a^{7} + 7 a^{6} + a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{5} + \left(8 a^{10} + 2 a^{9} + a^{8} + 5 a^{7} + 2 a^{6} + a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{6} +O(13^{7})$$ 10*a^10 + a^8 + 12*a^7 + a^6 + a^5 + a^4 + 7*a^3 + 3*a^2 + 6*a + 12 + (12*a^10 + a^9 + 6*a^8 + 12*a^7 + 7*a^6 + 6*a^5 + 5*a^4 + 2*a^3 + 10*a^2 + a + 2)*13 + (12*a^10 + 11*a^9 + 10*a^8 + 12*a^7 + a^6 + 6*a^5 + 5*a^4 + 9*a^3 + 11*a^2 + 4*a + 8)*13^2 + (4*a^10 + a^9 + 4*a^8 + 8*a^6 + 10*a^5 + 9*a^4 + 8*a^3 + 10*a^2 + 10*a)*13^3 + (4*a^10 + 7*a^8 + 9*a^7 + 8*a^6 + 12*a^5 + 4*a^4 + a^3 + 5*a^2 + 10*a + 6)*13^4 + (10*a^10 + 5*a^9 + 9*a^8 + 11*a^7 + 7*a^6 + a^5 + 6*a^4 + 7*a^2 + 6*a + 10)*13^5 + (8*a^10 + 2*a^9 + a^8 + 5*a^7 + 2*a^6 + a^5 + 4*a^4 + a^3 + 6*a^2 + 9)*13^6+O(13^7) $r_{ 9 }$ $=$ $$10 a^{10} + 10 a^{9} + 7 a^{8} + 8 a^{7} + 4 a^{6} + 12 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 12 + \left(2 a^{10} + 4 a^{9} + 2 a^{8} + 2 a^{7} + 11 a^{6} + 10 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13 + \left(6 a^{10} + 10 a^{9} + a^{8} + 7 a^{7} + 4 a^{6} + 6 a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{2} + \left(12 a^{10} + 9 a^{9} + a^{8} + 9 a^{7} + 4 a^{6} + 12 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{3} + \left(8 a^{10} + 10 a^{9} + a^{8} + 3 a^{7} + 10 a^{6} + 12 a^{5} + 9 a^{3} + a^{2} + 6\right)\cdot 13^{4} + \left(6 a^{10} + 3 a^{9} + 10 a^{8} + a^{7} + 7 a^{6} + 8 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{5} + \left(a^{9} + 8 a^{7} + 12 a^{6} + 4 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{6} +O(13^{7})$$ 10*a^10 + 10*a^9 + 7*a^8 + 8*a^7 + 4*a^6 + 12*a^5 + a^4 + 6*a^3 + 5*a^2 + 9*a + 12 + (2*a^10 + 4*a^9 + 2*a^8 + 2*a^7 + 11*a^6 + 10*a^5 + 5*a^4 + 3*a^3 + 11*a^2 + 11*a + 9)*13 + (6*a^10 + 10*a^9 + a^8 + 7*a^7 + 4*a^6 + 6*a^5 + 12*a^4 + 6*a^3 + 2*a + 2)*13^2 + (12*a^10 + 9*a^9 + a^8 + 9*a^7 + 4*a^6 + 12*a^5 + 7*a^4 + 5*a^3 + 2*a^2 + 10*a + 9)*13^3 + (8*a^10 + 10*a^9 + a^8 + 3*a^7 + 10*a^6 + 12*a^5 + 9*a^3 + a^2 + 6)*13^4 + (6*a^10 + 3*a^9 + 10*a^8 + a^7 + 7*a^6 + 8*a^5 + 3*a^4 + 12*a^3 + a^2 + 9*a)*13^5 + (a^9 + 8*a^7 + 12*a^6 + 4*a^5 + 11*a^4 + 8*a^3 + 12*a^2 + 7*a + 12)*13^6+O(13^7) $r_{ 10 }$ $=$ $$12 a^{10} + 3 a^{9} + a^{8} + 5 a^{7} + 4 a^{6} + 7 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{2} + 12 a + 8 + \left(12 a^{10} + 12 a^{9} + 7 a^{8} + 12 a^{7} + 12 a^{6} + 3 a^{5} + 12 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13 + \left(4 a^{10} + 6 a^{8} + 3 a^{7} + 11 a^{6} + 4 a^{5} + 12 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{2} + \left(10 a^{10} + 9 a^{9} + a^{8} + a^{7} + 4 a^{6} + 4 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{3} + \left(10 a^{10} + 6 a^{9} + 10 a^{8} + 4 a^{7} + 6 a^{6} + 8 a^{5} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{4} + \left(11 a^{10} + 2 a^{8} + 12 a^{7} + 7 a^{6} + 8 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{5} + \left(4 a^{10} + 5 a^{9} + 10 a^{8} + 4 a^{7} + 2 a^{6} + 5 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{6} +O(13^{7})$$ 12*a^10 + 3*a^9 + a^8 + 5*a^7 + 4*a^6 + 7*a^5 + 7*a^4 + 12*a^2 + 12*a + 8 + (12*a^10 + 12*a^9 + 7*a^8 + 12*a^7 + 12*a^6 + 3*a^5 + 12*a^4 + 8*a^3 + 2*a^2 + 7*a + 11)*13 + (4*a^10 + 6*a^8 + 3*a^7 + 11*a^6 + 4*a^5 + 12*a^4 + 9*a^3 + a^2 + 4*a + 8)*13^2 + (10*a^10 + 9*a^9 + a^8 + a^7 + 4*a^6 + 4*a^5 + 9*a^4 + a^3 + 10*a^2 + 4)*13^3 + (10*a^10 + 6*a^9 + 10*a^8 + 4*a^7 + 6*a^6 + 8*a^5 + 8*a^4 + 10*a^3 + 5*a^2 + 5*a + 9)*13^4 + (11*a^10 + 2*a^8 + 12*a^7 + 7*a^6 + 8*a^5 + 10*a^4 + 4*a^3 + 3*a + 2)*13^5 + (4*a^10 + 5*a^9 + 10*a^8 + 4*a^7 + 2*a^6 + 5*a^5 + 3*a^4 + 8*a^3 + a^2 + 7*a + 12)*13^6+O(13^7) $r_{ 11 }$ $=$ $$12 a^{10} + 3 a^{9} + 4 a^{8} + 8 a^{7} + 7 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 8 + \left(4 a^{10} + 5 a^{8} + 9 a^{7} + 12 a^{6} + 11 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13 + \left(a^{10} + 10 a^{9} + 5 a^{8} + 4 a^{7} + 3 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{2} + \left(7 a^{10} + 8 a^{9} + 11 a^{8} + 7 a^{7} + 8 a^{6} + 9 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{3} + \left(6 a^{10} + 5 a^{9} + a^{8} + 3 a^{7} + 10 a^{6} + 12 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{4} + \left(a^{10} + 10 a^{9} + 4 a^{8} + 4 a^{7} + 3 a^{6} + 10 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{5} + \left(9 a^{10} + 2 a^{9} + 2 a^{8} + 5 a^{7} + 4 a^{6} + 10 a^{5} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{6} +O(13^{7})$$ 12*a^10 + 3*a^9 + 4*a^8 + 8*a^7 + 7*a^6 + 7*a^5 + 10*a^4 + 2*a^3 + 12*a^2 + 6*a + 8 + (4*a^10 + 5*a^8 + 9*a^7 + 12*a^6 + 11*a^5 + a^4 + 9*a^3 + 9*a^2 + 5*a + 1)*13 + (a^10 + 10*a^9 + 5*a^8 + 4*a^7 + 3*a^5 + 7*a^4 + 12*a^3 + 8*a^2 + 7*a + 6)*13^2 + (7*a^10 + 8*a^9 + 11*a^8 + 7*a^7 + 8*a^6 + 9*a^5 + 9*a^4 + 5*a^3 + 7*a^2 + 10*a)*13^3 + (6*a^10 + 5*a^9 + a^8 + 3*a^7 + 10*a^6 + 12*a^5 + 6*a^4 + 8*a^3 + 9*a^2 + 7*a + 6)*13^4 + (a^10 + 10*a^9 + 4*a^8 + 4*a^7 + 3*a^6 + 10*a^5 + 8*a^4 + 6*a^3 + 5*a^2 + 4*a + 6)*13^5 + (9*a^10 + 2*a^9 + 2*a^8 + 5*a^7 + 4*a^6 + 10*a^5 + 6*a^3 + 11*a^2 + 3*a + 9)*13^6+O(13^7)

## Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 11 }$

 Cycle notation $(1,4,6,2,5,7,10,11,3,8,9)$

## Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 11 }$ Character value $1$ $1$ $()$ $1$ $1$ $11$ $(1,4,6,2,5,7,10,11,3,8,9)$ $\zeta_{11}^{3}$ $1$ $11$ $(1,6,5,10,3,9,4,2,7,11,8)$ $\zeta_{11}^{6}$ $1$ $11$ $(1,2,10,8,4,5,11,9,6,7,3)$ $\zeta_{11}^{9}$ $1$ $11$ $(1,5,3,4,7,8,6,10,9,2,11)$ $\zeta_{11}$ $1$ $11$ $(1,7,9,5,8,2,3,6,11,4,10)$ $\zeta_{11}^{4}$ $1$ $11$ $(1,10,4,11,6,3,2,8,5,9,7)$ $\zeta_{11}^{7}$ $1$ $11$ $(1,11,2,9,10,6,8,7,4,3,5)$ $-\zeta_{11}^{9} - \zeta_{11}^{8} - \zeta_{11}^{7} - \zeta_{11}^{6} - \zeta_{11}^{5} - \zeta_{11}^{4} - \zeta_{11}^{3} - \zeta_{11}^{2} - \zeta_{11} - 1$ $1$ $11$ $(1,3,7,6,9,11,5,4,8,10,2)$ $\zeta_{11}^{2}$ $1$ $11$ $(1,8,11,7,2,4,9,3,10,5,6)$ $\zeta_{11}^{5}$ $1$ $11$ $(1,9,8,3,11,10,7,5,2,6,4)$ $\zeta_{11}^{8}$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.