LMFDB - Artin representation 1.135.18t1.a.f

Basic invariants

Dimension:	$1$
Group:	$C_{18}$
Conductor:	$135$$\medspace = 3^{3} \cdot 5 $
Artin field:	Galois closure of 18.18.1923380668327365689220703125.1
Galois orbit size:	$6$
Smallest permutation container:	$C_{18}$
Parity:	even
Dirichlet character:	$\chi_{135}(4,\cdot)$
Projective image:	$C_1$
Projective field:	Galois closure of $\Q$

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{18} - 27 x^{16} + 270 x^{14} - 1269 x^{12} + 3042 x^{10} - 76 x^{9} - 3888 x^{8} + 261 x^{7} + \cdots - 1 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 29 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 29 }$: $ x^{9} + 4x^{3} + 22x^{2} + 22x + 27 $ x^9 + 4*x^3 + 22*x^2 + 22*x + 27

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	\( 12 a^{8} + 20 a^{6} + 20 a^{5} + 12 a^{4} + 26 a^{3} + 10 a^{2} + 27 + \left(28 a^{8} + 12 a^{7} + 12 a^{6} + 17 a^{5} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 28 a + 27\right)\cdot 29 + \left(26 a^{8} + 28 a^{7} + 22 a^{6} + 8 a^{5} + 16 a^{3} + 19 a^{2} + 24 a + 19\right)\cdot 29^{2} + \left(5 a^{8} + 27 a^{7} + 22 a^{6} + 14 a^{5} + 21 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 17 a + 20\right)\cdot 29^{3} + \left(15 a^{8} + 15 a^{7} + 2 a^{6} + 6 a^{5} + 19 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 15 a + 23\right)\cdot 29^{4} + \left(2 a^{8} + 4 a^{7} + 17 a^{6} + 2 a^{5} + 24 a^{4} + 6 a^{3} + 20 a^{2} + 26 a + 27\right)\cdot 29^{5} + \left(18 a^{8} + 17 a^{7} + 12 a^{6} + 9 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a\right)\cdot 29^{6} + \left(5 a^{8} + 11 a^{7} + 16 a^{6} + 9 a^{5} + 23 a^{4} + 19 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 29^{7} + \left(20 a^{8} + 15 a^{7} + 12 a^{6} + 2 a^{5} + 13 a^{4} + 28 a^{3} + 12 a^{2} + 25 a + 5\right)\cdot 29^{8} + \left(5 a^{8} + 24 a^{7} + 12 a^{6} + 6 a^{5} + 22 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 26\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) 12a^8 + 20a^6 + 20a^5 + 12a^4 + 26a^3 + 10a^2 + 27 + (28a^8 + 12a^7 + 12a^6 + 17a^5 + 13a^3 + 7a^2 + 28a + 27)29 + (26a^8 + 28a^7 + 22a^6 + 8a^5 + 16a^3 + 19a^2 + 24a + 19)29^2 + (5a^8 + 27a^7 + 22a^6 + 14a^5 + 21a^4 + 12a^3 + 11a^2 + 17a + 20)29^3 + (15a^8 + 15a^7 + 2a^6 + 6a^5 + 19a^4 + 10a^3 + a^2 + 15a + 23)29^4 + (2a^8 + 4a^7 + 17a^6 + 2a^5 + 24a^4 + 6a^3 + 20a^2 + 26a + 27)29^5 + (18a^8 + 17a^7 + 12a^6 + 9a^5 + 18a^4 + 2a^3 + 6a^2 + 17a)29^6 + (5a^8 + 11a^7 + 16a^6 + 9a^5 + 23a^4 + 19a^3 + 3a^2 + 7a + 17)29^7 + (20a^8 + 15a^7 + 12a^6 + 2a^5 + 13a^4 + 28a^3 + 12a^2 + 25a + 5)29^8 + (5a^8 + 24a^7 + 12a^6 + 6a^5 + 22a^4 + 2a^3 + 8a^2 + 5a + 26)29^9+O(29^10)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 3 a^{8} + 11 a^{7} + 27 a^{6} + 22 a^{5} + 27 a^{4} + 7 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 16 + \left(16 a^{8} + 15 a^{7} + 11 a^{6} + 28 a^{5} + 16 a^{4} + 23 a^{3} + 18 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 29 + \left(26 a^{8} + 22 a^{7} + 26 a^{6} + 24 a^{5} + 18 a^{4} + 22 a^{3} + 20 a^{2} + 22 a + 5\right)\cdot 29^{2} + \left(28 a^{8} + 25 a^{7} + 4 a^{6} + 16 a^{5} + 6 a^{4} + 28 a^{3} + 21 a + 27\right)\cdot 29^{3} + \left(a^{8} + 7 a^{7} + 15 a^{6} + 21 a^{5} + 10 a^{4} + 16 a^{3} + 8 a^{2} + 17\right)\cdot 29^{4} + \left(6 a^{8} + 20 a^{7} + 7 a^{6} + 17 a^{5} + 27 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 29^{5} + \left(23 a^{8} + 3 a^{7} + 5 a^{6} + 12 a^{5} + 7 a^{4} + 27 a^{3} + a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 29^{6} + \left(24 a^{8} + 8 a^{7} + 23 a^{6} + 11 a^{5} + a^{4} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 29^{7} + \left(9 a^{8} + 25 a^{7} + 20 a^{6} + a^{5} + 21 a^{4} + 16 a^{3} + 23 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 29^{8} + \left(2 a^{8} + 17 a^{7} + 17 a^{6} + 6 a^{5} + 5 a^{4} + 24 a^{3} + 13 a + 2\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) 3a^8 + 11a^7 + 27a^6 + 22a^5 + 27a^4 + 7a^3 + 2a^2 + 10a + 16 + (16a^8 + 15a^7 + 11a^6 + 28a^5 + 16a^4 + 23a^3 + 18a^2 + 13a + 10)29 + (26a^8 + 22a^7 + 26a^6 + 24a^5 + 18a^4 + 22a^3 + 20a^2 + 22a + 5)29^2 + (28a^8 + 25a^7 + 4a^6 + 16a^5 + 6a^4 + 28a^3 + 21a + 27)29^3 + (a^8 + 7a^7 + 15a^6 + 21a^5 + 10a^4 + 16a^3 + 8a^2 + 17)29^4 + (6a^8 + 20a^7 + 7a^6 + 17a^5 + 27a^3 + 8a^2 + 3a + 21)29^5 + (23a^8 + 3a^7 + 5a^6 + 12a^5 + 7a^4 + 27a^3 + a^2 + 10a + 2)29^6 + (24a^8 + 8a^7 + 23a^6 + 11a^5 + a^4 + 16a^3 + 3a^2 + 17a + 22)29^7 + (9a^8 + 25a^7 + 20a^6 + a^5 + 21a^4 + 16a^3 + 23a^2 + 7a + 13)29^8 + (2a^8 + 17a^7 + 17a^6 + 6a^5 + 5a^4 + 24a^3 + 13a + 2)*29^9+O(29^10)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 5 a^{8} + 24 a^{7} + 7 a^{6} + 26 a^{5} + 9 a^{4} + 17 a^{3} + 22 a^{2} + 8 a + 18 + \left(13 a^{8} + 21 a^{7} + 9 a^{6} + 20 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + 28 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 29 + \left(4 a^{8} + 16 a^{7} + 14 a^{6} + 16 a^{4} + a^{3} + a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 29^{2} + \left(10 a^{8} + 21 a^{7} + 11 a^{6} + 18 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a + 8\right)\cdot 29^{3} + \left(15 a^{8} + 7 a^{7} + 4 a^{6} + 24 a^{4} + 19 a^{3} + 18 a^{2} + 19 a + 22\right)\cdot 29^{4} + \left(17 a^{8} + 26 a^{7} + 5 a^{6} + 27 a^{5} + 5 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 23 a + 19\right)\cdot 29^{5} + \left(2 a^{8} + 20 a^{7} + 15 a^{6} + 7 a^{5} + 21 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 29^{6} + \left(24 a^{8} + 5 a^{7} + 23 a^{6} + 16 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 29^{7} + \left(16 a^{8} + 26 a^{7} + 22 a^{6} + 5 a^{5} + 13 a^{4} + 13 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 29^{8} + \left(3 a^{8} + 7 a^{7} + 11 a^{6} + 11 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 10 a^{2} + 25 a + 17\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) 5a^8 + 24a^7 + 7a^6 + 26a^5 + 9a^4 + 17a^3 + 22a^2 + 8a + 18 + (13a^8 + 21a^7 + 9a^6 + 20a^5 + 12a^4 + a^3 + 28a^2 + 10a + 1)29 + (4a^8 + 16a^7 + 14a^6 + 16a^4 + a^3 + a^2 + 17a + 22)29^2 + (10a^8 + 21a^7 + 11a^6 + 18a^5 + 8a^4 + 8a^3 + 3a + 8)29^3 + (15a^8 + 7a^7 + 4a^6 + 24a^4 + 19a^3 + 18a^2 + 19a + 22)29^4 + (17a^8 + 26a^7 + 5a^6 + 27a^5 + 5a^4 + 10a^3 + 2a^2 + 23a + 19)29^5 + (2a^8 + 20a^7 + 15a^6 + 7a^5 + 21a^4 + 3a^3 + 4a^2 + 12a + 7)29^6 + (24a^8 + 5a^7 + 23a^6 + 16a^4 + 15a^3 + 2a^2 + 9a + 16)29^7 + (16a^8 + 26a^7 + 22a^6 + 5a^5 + 13a^4 + 13a^3 + 12a^2 + 6a + 16)29^8 + (3a^8 + 7a^7 + 11a^6 + 11a^5 + 13a^4 + 15a^3 + 10a^2 + 25a + 17)29^9+O(29^10)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 20 a^{8} + 9 a^{7} + 28 a^{6} + 17 a^{5} + 7 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 3 a + 14 + \left(12 a^{8} + 11 a^{7} + 9 a^{6} + 20 a^{5} + 6 a^{4} + 15 a^{3} + 26 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 29 + \left(24 a^{8} + 12 a^{7} + 18 a^{6} + 23 a^{5} + 12 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 27 a + 20\right)\cdot 29^{2} + \left(7 a^{8} + 8 a^{7} + 28 a^{6} + 28 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 19 a^{2} + 5 a + 22\right)\cdot 29^{3} + \left(6 a^{8} + 19 a^{7} + 5 a^{6} + 27 a^{5} + a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 29^{4} + \left(22 a^{8} + 21 a^{7} + 9 a^{5} + 20 a^{4} + 26 a^{3} + 28 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 29^{5} + \left(11 a^{8} + 23 a^{7} + 15 a^{6} + 9 a^{5} + 23 a^{4} + 16 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 28\right)\cdot 29^{6} + \left(a^{8} + 7 a^{7} + 26 a^{6} + 3 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 28\right)\cdot 29^{7} + \left(25 a^{8} + 20 a^{7} + 27 a^{6} + 7 a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 24\right)\cdot 29^{8} + \left(25 a^{8} + 27 a^{7} + 19 a^{6} + 12 a^{5} + 17 a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) 20a^8 + 9a^7 + 28a^6 + 17a^5 + 7a^4 + 10a^3 + a^2 + 3a + 14 + (12a^8 + 11a^7 + 9a^6 + 20a^5 + 6a^4 + 15a^3 + 26a^2 + 6a + 7)29 + (24a^8 + 12a^7 + 18a^6 + 23a^5 + 12a^4 + 18a^3 + 3a^2 + 27a + 20)29^2 + (7a^8 + 8a^7 + 28a^6 + 28a^5 + 13a^4 + 14a^3 + 19a^2 + 5a + 22)29^3 + (6a^8 + 19a^7 + 5a^6 + 27a^5 + a^4 + 10a^3 + 5a^2 + 12a + 20)29^4 + (22a^8 + 21a^7 + 9a^5 + 20a^4 + 26a^3 + 28a^2 + 17a + 22)29^5 + (11a^8 + 23a^7 + 15a^6 + 9a^5 + 23a^4 + 16a^3 + 5a^2 + 13a + 28)29^6 + (a^8 + 7a^7 + 26a^6 + 3a^5 + 5a^4 + 13a^3 + 3a^2 + 8a + 28)29^7 + (25a^8 + 20a^7 + 27a^6 + 7a^5 + 5a^4 + 6a^3 + 7a^2 + 24)29^8 + (25a^8 + 27a^7 + 19a^6 + 12a^5 + 17a^4 + 13a^3 + 2a^2 + 19a + 1)29^9+O(29^10)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 27 a^{8} + 19 a^{7} + 14 a^{6} + 28 a^{5} + 25 a^{4} + 25 a^{3} + 27 a^{2} + 6 a + 14 + \left(7 a^{8} + 27 a^{7} + 2 a^{6} + 20 a^{5} + 23 a^{4} + 24 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 19\right)\cdot 29 + \left(19 a^{8} + 4 a^{7} + 13 a^{6} + 25 a^{5} + 12 a^{4} + 19 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 19\right)\cdot 29^{2} + \left(21 a^{8} + 14 a^{7} + 24 a^{6} + 7 a^{5} + 23 a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 25\right)\cdot 29^{3} + \left(14 a^{8} + 15 a^{7} + 6 a^{5} + 21 a^{4} + 17 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 29^{4} + \left(3 a^{8} + 12 a^{7} + 17 a^{6} + 13 a^{5} + 7 a^{4} + 6 a^{3} + 21 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 29^{5} + \left(13 a^{8} + 22 a^{7} + a^{6} + 20 a^{5} + 21 a^{4} + 15 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a\right)\cdot 29^{6} + \left(14 a^{8} + 22 a^{7} + 11 a^{6} + 3 a^{5} + 20 a^{4} + 17 a^{3} + 23 a^{2} + a + 9\right)\cdot 29^{7} + \left(26 a^{8} + 8 a^{7} + 2 a^{6} + 25 a^{5} + 21 a^{4} + 26 a^{3} + 3 a^{2} + 28 a + 14\right)\cdot 29^{8} + \left(26 a^{8} + 20 a^{7} + 11 a^{6} + 15 a^{4} + 19 a^{3} + 16 a^{2} + 25 a + 7\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) 27a^8 + 19a^7 + 14a^6 + 28a^5 + 25a^4 + 25a^3 + 27a^2 + 6a + 14 + (7a^8 + 27a^7 + 2a^6 + 20a^5 + 23a^4 + 24a^3 + 11a^2 + 9a + 19)29 + (19a^8 + 4a^7 + 13a^6 + 25a^5 + 12a^4 + 19a^3 + 7a^2 + 11a + 19)29^2 + (21a^8 + 14a^7 + 24a^6 + 7a^5 + 23a^4 + 15a^3 + 7a^2 + 3a + 25)29^3 + (14a^8 + 15a^7 + 6a^5 + 21a^4 + 17a^3 + 7a^2 + 12a + 7)29^4 + (3a^8 + 12a^7 + 17a^6 + 13a^5 + 7a^4 + 6a^3 + 21a^2 + 5a + 6)29^5 + (13a^8 + 22a^7 + a^6 + 20a^5 + 21a^4 + 15a^3 + 11a^2 + 7a)29^6 + (14a^8 + 22a^7 + 11a^6 + 3a^5 + 20a^4 + 17a^3 + 23a^2 + a + 9)29^7 + (26a^8 + 8a^7 + 2a^6 + 25a^5 + 21a^4 + 26a^3 + 3a^2 + 28a + 14)29^8 + (26a^8 + 20a^7 + 11a^6 + 15a^4 + 19a^3 + 16a^2 + 25a + 7)*29^9+O(29^10)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 28 a^{8} + 24 a^{7} + 16 a^{6} + 2 a^{4} + a^{3} + a^{2} + 10 a + 2 + \left(18 a^{8} + 21 a^{7} + 25 a^{6} + a^{5} + a^{4} + 25 a^{3} + 21 a^{2} + 24 a + 23\right)\cdot 29 + \left(5 a^{8} + 19 a^{7} + 15 a^{6} + 3 a^{5} + 17 a^{4} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 29^{2} + \left(22 a^{8} + 12 a^{7} + 24 a^{6} + 26 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 21 a + 4\right)\cdot 29^{3} + \left(5 a^{8} + 16 a^{7} + 11 a^{6} + 18 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 29^{4} + \left(25 a^{8} + 11 a^{7} + 4 a^{6} + a^{5} + 2 a^{4} + 8 a^{3} + 28 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 29^{5} + \left(5 a^{8} + 17 a^{7} + 7 a^{6} + 24 a^{5} + 20 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 29^{6} + \left(11 a^{8} + 27 a^{7} + 5 a^{6} + 22 a^{5} + 19 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 26 a + 22\right)\cdot 29^{7} + \left(28 a^{8} + 27 a^{7} + 2 a^{6} + 24 a^{5} + 5 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 29^{8} + \left(24 a^{8} + 19 a^{7} + 4 a^{6} + 17 a^{5} + a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) 28a^8 + 24a^7 + 16a^6 + 2a^4 + a^3 + a^2 + 10a + 2 + (18a^8 + 21a^7 + 25a^6 + a^5 + a^4 + 25a^3 + 21a^2 + 24a + 23)29 + (5a^8 + 19a^7 + 15a^6 + 3a^5 + 17a^4 + 15a^3 + 3a^2 + 18a + 10)29^2 + (22a^8 + 12a^7 + 24a^6 + 26a^5 + 6a^4 + 3a^3 + a^2 + 21a + 4)29^3 + (5a^8 + 16a^7 + 11a^6 + 18a^5 + 2a^4 + a^3 + 11a^2 + 6a + 13)29^4 + (25a^8 + 11a^7 + 4a^6 + a^5 + 2a^4 + 8a^3 + 28a^2 + 15a + 6)29^5 + (5a^8 + 17a^7 + 7a^6 + 24a^5 + 20a^4 + 2a^3 + a^2 + 22a + 6)29^6 + (11a^8 + 27a^7 + 5a^6 + 22a^5 + 19a^4 + 4a^3 + 2a^2 + 26a + 22)29^7 + (28a^8 + 27a^7 + 2a^6 + 24a^5 + 5a^4 + 17a^3 + 16a^2 + 7a + 17)29^8 + (24a^8 + 19a^7 + 4a^6 + 17a^5 + a^4 + 16a^3 + 9a^2 + 5a + 9)*29^9+O(29^10)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 21 a^{8} + 18 a^{7} + 27 a^{6} + 25 a^{5} + 13 a^{4} + 13 a^{3} + 21 a^{2} + 24 a + 27 + \left(18 a^{8} + 16 a^{7} + 13 a^{6} + 4 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 23\right)\cdot 29 + \left(3 a^{8} + 9 a^{7} + 15 a^{6} + 17 a^{5} + 14 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + a + 21\right)\cdot 29^{2} + \left(3 a^{8} + 20 a^{7} + 20 a^{6} + 18 a^{5} + 27 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 21 a + 28\right)\cdot 29^{3} + \left(2 a^{8} + 27 a^{7} + 22 a^{6} + 25 a^{5} + 24 a^{4} + 17 a^{3} + 24 a^{2} + 13 a + 27\right)\cdot 29^{4} + \left(15 a^{8} + 19 a^{7} + 18 a^{6} + 10 a^{5} + 24 a^{4} + 23 a^{3} + 16 a + 28\right)\cdot 29^{5} + \left(27 a^{8} + 19 a^{7} + 5 a^{6} + a^{5} + 9 a^{4} + 2 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 29^{6} + \left(a^{8} + 3 a^{7} + 5 a^{5} + 9 a^{4} + 20 a^{3} + 15 a + 8\right)\cdot 29^{7} + \left(a^{8} + 8 a^{7} + 5 a^{6} + 26 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 28\right)\cdot 29^{8} + \left(9 a^{8} + 18 a^{7} + 19 a^{6} + 18 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 8\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) 21a^8 + 18a^7 + 27a^6 + 25a^5 + 13a^4 + 13a^3 + 21a^2 + 24a + 27 + (18a^8 + 16a^7 + 13a^6 + 4a^5 + 11a^4 + 15a^3 + 5a^2 + 17a + 23)29 + (3a^8 + 9a^7 + 15a^6 + 17a^5 + 14a^4 + 5a^3 + 11a^2 + a + 21)29^2 + (3a^8 + 20a^7 + 20a^6 + 18a^5 + 27a^4 + 3a^3 + 2a^2 + 21a + 28)29^3 + (2a^8 + 27a^7 + 22a^6 + 25a^5 + 24a^4 + 17a^3 + 24a^2 + 13a + 27)29^4 + (15a^8 + 19a^7 + 18a^6 + 10a^5 + 24a^4 + 23a^3 + 16a + 28)29^5 + (27a^8 + 19a^7 + 5a^6 + a^5 + 9a^4 + 2a^2 + 12a + 3)29^6 + (a^8 + 3a^7 + 5a^5 + 9a^4 + 20a^3 + 15a + 8)29^7 + (a^8 + 8a^7 + 5a^6 + 26a^5 + 10a^4 + 5a^3 + 18a^2 + 28)29^8 + (9a^8 + 18a^7 + 19a^6 + 18a^5 + 14a^4 + 4a^3 + a^2 + 8)29^9+O(29^10)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 25 a^{8} + 9 a^{7} + 6 a^{6} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 8 + \left(25 a^{8} + 11 a^{7} + 3 a^{6} + 4 a^{5} + 17 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 29 + \left(10 a^{8} + 24 a^{7} + 26 a^{6} + 4 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 25 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 29^{2} + \left(23 a^{8} + 6 a^{7} + 24 a^{6} + 27 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 20 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 29^{3} + \left(13 a^{8} + 24 a^{7} + 28 a^{6} + 25 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 15 a + 20\right)\cdot 29^{4} + \left(8 a^{8} + 19 a^{7} + 22 a^{6} + 26 a^{5} + 24 a^{4} + 24 a^{3} + 24 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 29^{5} + \left(20 a^{8} + 21 a^{7} + 14 a^{6} + 23 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{3} + 26 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 29^{6} + \left(2 a^{8} + 26 a^{7} + 13 a^{6} + 20 a^{5} + 12 a^{4} + 23 a^{3} + 6 a^{2} + 25 a + 24\right)\cdot 29^{7} + \left(8 a^{8} + 25 a^{7} + 6 a^{6} + 22 a^{5} + 21 a^{3} + 25 a^{2} + a + 6\right)\cdot 29^{8} + \left(2 a^{8} + 17 a^{6} + 16 a^{5} + 3 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 21 a + 25\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) 25a^8 + 9a^7 + 6a^6 + 8a^4 + 4a^3 + 4a^2 + 11a + 8 + (25a^8 + 11a^7 + 3a^6 + 4a^5 + 17a^4 + 5a^3 + 18a^2 + 17a + 18)29 + (10a^8 + 24a^7 + 26a^6 + 4a^5 + 11a^4 + 13a^3 + 25a^2 + 17a + 13)29^2 + (23a^8 + 6a^7 + 24a^6 + 27a^5 + 9a^4 + 11a^3 + 20a^2 + 18a + 15)29^3 + (13a^8 + 24a^7 + 28a^6 + 25a^5 + 12a^4 + 16a^3 + 18a^2 + 15a + 20)29^4 + (8a^8 + 19a^7 + 22a^6 + 26a^5 + 24a^4 + 24a^3 + 24a^2 + 7a + 18)29^5 + (20a^8 + 21a^7 + 14a^6 + 23a^5 + 3a^4 + 5a^3 + 26a^2 + 16a + 14)29^6 + (2a^8 + 26a^7 + 13a^6 + 20a^5 + 12a^4 + 23a^3 + 6a^2 + 25a + 24)29^7 + (8a^8 + 25a^7 + 6a^6 + 22a^5 + 21a^3 + 25a^2 + a + 6)29^8 + (2a^8 + 17a^6 + 16a^5 + 3a^4 + 17a^3 + 16a^2 + 21a + 25)*29^9+O(29^10)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 27 a^{8} + 5 a^{7} + 8 a^{6} + 24 a^{5} + 24 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 19 a + 13 + \left(25 a^{8} + 4 a^{7} + 19 a^{6} + 20 a^{5} + 21 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 26 a + 14\right)\cdot 29 + \left(15 a^{8} + 25 a^{7} + 23 a^{6} + 15 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 29^{2} + \left(20 a^{8} + 15 a^{7} + 27 a^{6} + 15 a^{5} + 14 a^{4} + 25 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 29^{3} + \left(20 a^{8} + a^{7} + 21 a^{6} + 5 a^{5} + 2 a^{4} + 23 a^{3} + 28 a^{2} + 27 a\right)\cdot 29^{4} + \left(21 a^{8} + 10 a^{7} + 17 a^{6} + 20 a^{5} + 20 a^{4} + a^{3} + 27 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 29^{5} + \left(11 a^{8} + 5 a^{7} + 3 a^{6} + 21 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 20 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 29^{6} + \left(26 a^{8} + 11 a^{7} + 8 a^{6} + 5 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 20 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 29^{7} + \left(11 a^{8} + 17 a^{7} + 8 a^{6} + 24 a^{4} + 22 a^{3} + 23 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 29^{8} + \left(14 a^{8} + 6 a^{7} + 6 a^{6} + 25 a^{5} + 15 a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 28\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) 27a^8 + 5a^7 + 8a^6 + 24a^5 + 24a^4 + 7a^3 + 11a^2 + 19a + 13 + (25a^8 + 4a^7 + 19a^6 + 20a^5 + 21a^4 + 9a^3 + 8a^2 + 26a + 14)29 + (15a^8 + 25a^7 + 23a^6 + 15a^5 + 10a^4 + 2a^3 + 6a^2 + 18a + 11)29^2 + (20a^8 + 15a^7 + 27a^6 + 15a^5 + 14a^4 + 25a^3 + 11a^2 + 14a + 6)29^3 + (20a^8 + a^7 + 21a^6 + 5a^5 + 2a^4 + 23a^3 + 28a^2 + 27a)29^4 + (21a^8 + 10a^7 + 17a^6 + 20a^5 + 20a^4 + a^3 + 27a^2 + 7a + 6)29^5 + (11a^8 + 5a^7 + 3a^6 + 21a^5 + 9a^4 + 5a^3 + 20a^2 + 5a + 2)29^6 + (26a^8 + 11a^7 + 8a^6 + 5a^5 + 7a^4 + 5a^3 + 20a^2 + 4a + 14)29^7 + (11a^8 + 17a^7 + 8a^6 + 24a^4 + 22a^3 + 23a^2 + 21a + 1)29^8 + (14a^8 + 6a^7 + 6a^6 + 25a^5 + 15a^4 + 2a^3 + 16a^2 + 10a + 28)29^9+O(29^10)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 21 a^{8} + 20 a^{7} + 3 a^{6} + 9 a^{5} + 9 a^{4} + 28 a^{3} + 15 a^{2} + 18 a + 23 + \left(3 a^{8} + 5 a^{7} + 13 a^{6} + 7 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 29 + \left(20 a^{8} + 5 a^{7} + 9 a^{6} + 16 a^{5} + 17 a^{4} + 28 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 24\right)\cdot 29^{2} + \left(28 a^{8} + 23 a^{7} + 10 a^{6} + 16 a^{5} + 27 a^{4} + 4 a^{3} + 25 a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 29^{3} + \left(28 a^{8} + 17 a^{7} + 26 a^{6} + 25 a^{5} + 25 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 26 a + 13\right)\cdot 29^{4} + \left(17 a^{8} + 4 a^{7} + 17 a^{6} + 28 a^{5} + 8 a^{4} + 27 a^{3} + 13 a^{2} + 23 a + 11\right)\cdot 29^{5} + \left(19 a^{8} + 19 a^{7} + a^{6} + 24 a^{5} + 6 a^{4} + 20 a^{3} + 24 a^{2} + 23 a + 13\right)\cdot 29^{6} + \left(20 a^{8} + 19 a^{7} + 28 a^{6} + 27 a^{5} + 22 a^{4} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + 24 a + 16\right)\cdot 29^{7} + \left(16 a^{7} + 9 a^{6} + 3 a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + 20 a^{2} + a + 16\right)\cdot 29^{8} + \left(21 a^{8} + 3 a^{7} + 28 a^{6} + 6 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) 21a^8 + 20a^7 + 3a^6 + 9a^5 + 9a^4 + 28a^3 + 15a^2 + 18a + 23 + (3a^8 + 5a^7 + 13a^6 + 7a^5 + 11a^4 + 9a^3 + 3a^2 + 12a + 11)29 + (20a^8 + 5a^7 + 9a^6 + 16a^5 + 17a^4 + 28a^3 + 13a^2 + 15a + 24)29^2 + (28a^8 + 23a^7 + 10a^6 + 16a^5 + 27a^4 + 4a^3 + 25a^2 + 21a + 21)29^3 + (28a^8 + 17a^7 + 26a^6 + 25a^5 + 25a^4 + 2a^3 + 8a^2 + 26a + 13)29^4 + (17a^8 + 4a^7 + 17a^6 + 28a^5 + 8a^4 + 27a^3 + 13a^2 + 23a + 11)29^5 + (19a^8 + 19a^7 + a^6 + 24a^5 + 6a^4 + 20a^3 + 24a^2 + 23a + 13)29^6 + (20a^8 + 19a^7 + 28a^6 + 27a^5 + 22a^4 + 15a^3 + 18a^2 + 24a + 16)29^7 + (16a^7 + 9a^6 + 3a^5 + 14a^4 + 7a^3 + 20a^2 + a + 16)29^8 + (21a^8 + 3a^7 + 28a^6 + 6a^5 + 3a^4 + 8a^3 + 3a^2 + 2a + 6)29^9+O(29^10)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 3 a^{8} + 11 a^{7} + 15 a^{6} + 10 a^{5} + 24 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 13 + \left(28 a^{8} + 21 a^{7} + 25 a^{5} + 14 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 27\right)\cdot 29 + \left(28 a^{8} + 12 a^{7} + 3 a^{6} + 13 a^{5} + a^{4} + 24 a^{3} + 9 a^{2} + 23 a + 15\right)\cdot 29^{2} + \left(21 a^{8} + 18 a^{7} + 4 a^{6} + 24 a^{5} + 10 a^{4} + 23 a^{3} + 21 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 29^{3} + \left(13 a^{8} + 11 a^{7} + 11 a^{6} + 7 a^{4} + 26 a^{3} + 24 a^{2} + 27 a + 14\right)\cdot 29^{4} + \left(15 a^{8} + 11 a^{7} + 13 a^{6} + 24 a^{5} + 7 a^{4} + 8 a^{2} + 13 a + 27\right)\cdot 29^{5} + \left(13 a^{8} + 4 a^{7} + 15 a^{6} + 19 a^{5} + 20 a^{4} + 2 a^{3} + 19 a + 16\right)\cdot 29^{6} + \left(24 a^{8} + 17 a^{7} + 18 a^{6} + 9 a^{5} + 22 a^{4} + 8 a^{3} + 27 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 29^{7} + \left(24 a^{8} + 26 a^{7} + 19 a^{6} + 26 a^{5} + 20 a^{4} + 23 a^{3} + 10 a + 10\right)\cdot 29^{8} + \left(12 a^{8} + 19 a^{7} + 28 a^{6} + 21 a^{5} + 17 a^{4} + 16 a^{3} + 2 a^{2} + 28 a + 11\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) 3a^8 + 11a^7 + 15a^6 + 10a^5 + 24a^4 + 14a^3 + 10a^2 + 13a + 13 + (28a^8 + 21a^7 + 25a^5 + 14a^4 + 5a^3 + 2a^2 + 6a + 27)29 + (28a^8 + 12a^7 + 3a^6 + 13a^5 + a^4 + 24a^3 + 9a^2 + 23a + 15)29^2 + (21a^8 + 18a^7 + 4a^6 + 24a^5 + 10a^4 + 23a^3 + 21a^2 + 10a + 15)29^3 + (13a^8 + 11a^7 + 11a^6 + 7a^4 + 26a^3 + 24a^2 + 27a + 14)29^4 + (15a^8 + 11a^7 + 13a^6 + 24a^5 + 7a^4 + 8a^2 + 13a + 27)29^5 + (13a^8 + 4a^7 + 15a^6 + 19a^5 + 20a^4 + 2a^3 + 19a + 16)29^6 + (24a^8 + 17a^7 + 18a^6 + 9a^5 + 22a^4 + 8a^3 + 27a^2 + 5a + 12)29^7 + (24a^8 + 26a^7 + 19a^6 + 26a^5 + 20a^4 + 23a^3 + 10a + 10)29^8 + (12a^8 + 19a^7 + 28a^6 + 21a^5 + 17a^4 + 16a^3 + 2a^2 + 28a + 11)*29^9+O(29^10)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 12 a^{8} + 15 a^{7} + 2 a^{6} + 11 a^{5} + 9 a^{4} + 27 a^{3} + 11 a^{2} + 23 a + 23 + \left(a^{8} + 26 a^{7} + 27 a^{6} + 21 a^{5} + 12 a^{4} + 25 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 29 + \left(22 a^{8} + 21 a^{7} + 24 a^{6} + 18 a^{5} + 7 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 19 a + 25\right)\cdot 29^{2} + \left(22 a^{8} + 9 a^{7} + 8 a^{6} + 16 a^{5} + 20 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 21 a\right)\cdot 29^{3} + \left(11 a^{8} + 19 a^{7} + 19 a^{6} + a^{5} + 11 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 29^{4} + \left(22 a^{8} + 15 a^{7} + 4 a^{6} + 8 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 29^{5} + \left(a^{8} + 22 a^{7} + 8 a^{6} + 3 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 16 a^{2} + 28 a + 13\right)\cdot 29^{6} + \left(7 a^{8} + 27 a^{7} + 12 a^{6} + 7 a^{5} + 8 a^{4} + 22 a^{3} + 16 a^{2} + 27\right)\cdot 29^{7} + \left(2 a^{8} + 4 a^{7} + 6 a^{6} + 22 a^{5} + 21 a^{4} + 15 a^{3} + a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 29^{8} + \left(3 a^{8} + 13 a^{7} + 4 a^{6} + 16 a^{5} + 17 a^{4} + 13 a^{3} + a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) 12a^8 + 15a^7 + 2a^6 + 11a^5 + 9a^4 + 27a^3 + 11a^2 + 23a + 23 + (a^8 + 26a^7 + 27a^6 + 21a^5 + 12a^4 + 25a^3 + 16a^2 + 8a + 5)29 + (22a^8 + 21a^7 + 24a^6 + 18a^5 + 7a^4 + 6a^3 + 9a^2 + 19a + 25)29^2 + (22a^8 + 9a^7 + 8a^6 + 16a^5 + 20a^4 + 2a^3 + 14a^2 + 21a)29^3 + (11a^8 + 19a^7 + 19a^6 + a^5 + 11a^4 + 10a^3 + 5a^2 + 8a + 7)29^4 + (22a^8 + 15a^7 + 4a^6 + 8a^5 + 4a^4 + 9a^3 + 9a^2 + 6a + 16)29^5 + (a^8 + 22a^7 + 8a^6 + 3a^5 + 5a^4 + a^3 + 16a^2 + 28a + 13)29^6 + (7a^8 + 27a^7 + 12a^6 + 7a^5 + 8a^4 + 22a^3 + 16a^2 + 27)29^7 + (2a^8 + 4a^7 + 6a^6 + 22a^5 + 21a^4 + 15a^3 + a^2 + 17a + 16)29^8 + (3a^8 + 13a^7 + 4a^6 + 16a^5 + 17a^4 + 13a^3 + a^2 + 22a + 3)29^9+O(29^10)
$r_{ 13 }$	$=$	\( 18 a^{8} + 8 a^{7} + 28 a^{5} + 20 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 28 a + 12 + \left(2 a^{8} + 27 a^{7} + 12 a^{6} + 28 a^{5} + 3 a^{4} + 14 a^{3} + 21 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 29 + \left(14 a^{8} + 18 a^{7} + 18 a^{6} + 11 a^{5} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + 19 a + 17\right)\cdot 29^{2} + \left(16 a^{8} + 18 a^{7} + 25 a^{6} + 15 a^{5} + 3 a^{4} + 17 a^{3} + 23 a^{2} + 18 a + 23\right)\cdot 29^{3} + \left(17 a^{8} + 12 a^{7} + 6 a^{5} + 28 a^{4} + 28 a^{3} + 24 a^{2} + 23 a + 4\right)\cdot 29^{4} + \left(25 a^{8} + 9 a^{7} + 6 a^{6} + 5 a^{5} + 5 a^{4} + 10 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 24\right)\cdot 29^{5} + \left(28 a^{8} + 12 a^{7} + 7 a^{6} + 22 a^{5} + 20 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a^{2} + a + 24\right)\cdot 29^{6} + \left(4 a^{7} + 9 a^{6} + 24 a^{5} + 22 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 29^{7} + \left(9 a^{8} + 21 a^{7} + 6 a^{6} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 29^{8} + \left(26 a^{8} + 26 a^{7} + 25 a^{6} + 28 a^{5} + 20 a^{4} + 11 a^{3} + 21 a^{2} + 27 a + 14\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) 18a^8 + 8a^7 + 28a^5 + 20a^4 + 6a^3 + 4a^2 + 28a + 12 + (2a^8 + 27a^7 + 12a^6 + 28a^5 + 3a^4 + 14a^3 + 21a^2 + 6a + 5)29 + (14a^8 + 18a^7 + 18a^6 + 11a^5 + 12a^4 + 13a^3 + 19a + 17)29^2 + (16a^8 + 18a^7 + 25a^6 + 15a^5 + 3a^4 + 17a^3 + 23a^2 + 18a + 23)29^3 + (17a^8 + 12a^7 + 6a^5 + 28a^4 + 28a^3 + 24a^2 + 23a + 4)29^4 + (25a^8 + 9a^7 + 6a^6 + 5a^5 + 5a^4 + 10a^3 + 8a^2 + 7a + 24)29^5 + (28a^8 + 12a^7 + 7a^6 + 22a^5 + 20a^4 + 10a^3 + 17a^2 + a + 24)29^6 + (4a^7 + 9a^6 + 24a^5 + 22a^4 + 4a^3 + a^2 + 8a + 3)29^7 + (9a^8 + 21a^7 + 6a^6 + 17a^4 + 2a^3 + 17a^2 + 3a + 14)29^8 + (26a^8 + 26a^7 + 25a^6 + 28a^5 + 20a^4 + 11a^3 + 21a^2 + 27a + 14)29^9+O(29^10)
$r_{ 14 }$	$=$	\( 26 a^{8} + 15 a^{7} + 8 a^{6} + 4 a^{5} + 24 a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 26 + \left(7 a^{8} + 8 a^{7} + 17 a^{6} + 16 a^{5} + 21 a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 29 + \left(5 a^{8} + 7 a^{7} + a^{6} + 2 a^{5} + 28 a^{4} + 8 a^{3} + 19 a^{2} + 16\right)\cdot 29^{2} + \left(26 a^{8} + 22 a^{7} + 22 a^{6} + 3 a^{5} + 25 a^{4} + 5 a^{3} + 21 a^{2} + 22 a + 23\right)\cdot 29^{3} + \left(27 a^{8} + 5 a^{7} + 23 a^{6} + 22 a^{5} + 11 a^{4} + 21 a^{3} + 3 a^{2} + 26 a + 27\right)\cdot 29^{4} + \left(7 a^{8} + 19 a^{7} + 6 a^{6} + 17 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + 28 a + 2\right)\cdot 29^{5} + \left(13 a^{8} + 14 a^{7} + 12 a^{6} + 15 a^{4} + 10 a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 29^{6} + \left(19 a^{8} + 23 a^{6} + 25 a^{5} + 20 a^{4} + 25 a^{3} + 3 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 29^{7} + \left(14 a^{8} + 23 a^{7} + 3 a^{6} + 27 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + 13 a^{2} + 23 a + 27\right)\cdot 29^{8} + \left(27 a^{8} + 6 a^{6} + 16 a^{5} + 28 a^{4} + 22 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) 26a^8 + 15a^7 + 8a^6 + 4a^5 + 24a^4 + 16a^3 + 9a^2 + 15a + 26 + (7a^8 + 8a^7 + 17a^6 + 16a^5 + 21a^4 + 2a^3 + 17a^2 + 9a + 7)29 + (5a^8 + 7a^7 + a^6 + 2a^5 + 28a^4 + 8a^3 + 19a^2 + 16)29^2 + (26a^8 + 22a^7 + 22a^6 + 3a^5 + 25a^4 + 5a^3 + 21a^2 + 22a + 23)29^3 + (27a^8 + 5a^7 + 23a^6 + 22a^5 + 11a^4 + 21a^3 + 3a^2 + 26a + 27)29^4 + (7a^8 + 19a^7 + 6a^6 + 17a^5 + 15a^4 + 11a^3 + 5a^2 + 28a + 2)29^5 + (13a^8 + 14a^7 + 12a^6 + 15a^4 + 10a^3 + 13a^2 + 8a + 21)29^6 + (19a^8 + 23a^6 + 25a^5 + 20a^4 + 25a^3 + 3a^2 + 18a + 3)29^7 + (14a^8 + 23a^7 + 3a^6 + 27a^5 + 22a^4 + 17a^3 + 13a^2 + 23a + 27)29^8 + (27a^8 + 6a^6 + 16a^5 + 28a^4 + 22a^3 + 2a^2 + 6a + 3)29^9+O(29^10)
$r_{ 15 }$	$=$	\( 14 a^{8} + 3 a^{7} + 25 a^{5} + 22 a^{4} + 24 a^{3} + 16 a^{2} + 25 a + 19 + \left(11 a^{8} + 16 a^{7} + 19 a^{6} + 7 a^{5} + 28 a^{4} + 8 a^{3} + 23 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 29 + \left(9 a^{8} + 13 a^{7} + 6 a^{6} + 14 a^{5} + 2 a^{4} + 28 a^{3} + 27 a^{2} + 16 a + 27\right)\cdot 29^{2} + \left(6 a^{8} + 22 a^{7} + 15 a^{6} + 24 a^{5} + 2 a^{4} + 26 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a\right)\cdot 29^{3} + \left(15 a^{8} + a^{7} + 23 a^{6} + 5 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 19 a + 4\right)\cdot 29^{4} + \left(22 a^{7} + 16 a^{6} + 3 a^{5} + 24 a^{4} + 21 a^{3} + 11 a^{2} + 19 a + 20\right)\cdot 29^{5} + \left(4 a^{8} + 2 a^{7} + 15 a^{6} + 13 a^{5} + 16 a^{4} + 28 a^{3} + 11 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 29^{6} + \left(26 a^{8} + 22 a^{7} + 22 a^{6} + 10 a^{5} + 19 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 29^{7} + \left(16 a^{8} + 27 a^{7} + a^{6} + 5 a^{5} + 15 a^{4} + 25 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 27\right)\cdot 29^{8} + \left(23 a^{8} + 26 a^{7} + 7 a^{6} + 6 a^{5} + 5 a^{4} + 19 a^{3} + 27 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) 14a^8 + 3a^7 + 25a^5 + 22a^4 + 24a^3 + 16a^2 + 25a + 19 + (11a^8 + 16a^7 + 19a^6 + 7a^5 + 28a^4 + 8a^3 + 23a^2 + 6a + 12)29 + (9a^8 + 13a^7 + 6a^6 + 14a^5 + 2a^4 + 28a^3 + 27a^2 + 16a + 27)29^2 + (6a^8 + 22a^7 + 15a^6 + 24a^5 + 2a^4 + 26a^3 + 13a^2 + 14a)29^3 + (15a^8 + a^7 + 23a^6 + 5a^5 + 7a^4 + a^3 + 15a^2 + 19a + 4)29^4 + (22a^7 + 16a^6 + 3a^5 + 24a^4 + 21a^3 + 11a^2 + 19a + 20)29^5 + (4a^8 + 2a^7 + 15a^6 + 13a^5 + 16a^4 + 28a^3 + 11a^2 + 19a + 12)29^6 + (26a^8 + 22a^7 + 22a^6 + 10a^5 + 19a^4 + 18a^3 + 9a^2 + 10a + 8)29^7 + (16a^8 + 27a^7 + a^6 + 5a^5 + 15a^4 + 25a^3 + 4a^2 + 4a + 27)29^8 + (23a^8 + 26a^7 + 7a^6 + 6a^5 + 5a^4 + 19a^3 + 27a^2 + 22a + 22)29^9+O(29^10)
$r_{ 16 }$	$=$	\( 17 a^{8} + 2 a^{7} + 3 a^{6} + 16 a^{5} + 9 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 17 + \left(26 a^{8} + a^{7} + 5 a^{6} + 3 a^{5} + 11 a^{4} + 27 a^{3} + 26 a^{2} + 5 a + 26\right)\cdot 29 + \left(7 a^{7} + 24 a^{6} + 17 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 15\right)\cdot 29^{2} + \left(18 a^{8} + 8 a^{6} + 10 a^{5} + 17 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 29^{3} + \left(20 a^{8} + 11 a^{7} + 4 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 28 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 29^{4} + \left(20 a^{8} + 16 a^{7} + 10 a^{6} + 8 a^{5} + 13 a^{4} + 8 a^{3} + 28 a^{2} + 24 a + 6\right)\cdot 29^{5} + \left(18 a^{8} + 14 a^{7} + 8 a^{6} + 18 a^{5} + 24 a^{4} + 11 a^{3} + 20 a^{2} + 2 a + 25\right)\cdot 29^{6} + \left(25 a^{8} + 17 a^{7} + 2 a^{6} + 20 a^{5} + 13 a^{4} + 24 a^{3} + 25 a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 29^{7} + \left(2 a^{8} + 25 a^{6} + 24 a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + 28 a + 4\right)\cdot 29^{8} + \left(23 a^{8} + 12 a^{7} + 18 a^{6} + 26 a^{5} + 26 a^{4} + 11 a^{3} + 25 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) 17a^8 + 2a^7 + 3a^6 + 16a^5 + 9a^4 + 6a^3 + 7a^2 + 2a + 17 + (26a^8 + a^7 + 5a^6 + 3a^5 + 11a^4 + 27a^3 + 26a^2 + 5a + 26)29 + (7a^7 + 24a^6 + 17a^5 + 2a^4 + 4a^3 + 13a^2 + 15)29^2 + (18a^8 + 8a^6 + 10a^5 + 17a^4 + 11a^3 + 7a^2 + 2a + 6)29^3 + (20a^8 + 11a^7 + 4a^5 + 2a^4 + a^3 + 28a^2 + 3a + 9)29^4 + (20a^8 + 16a^7 + 10a^6 + 8a^5 + 13a^4 + 8a^3 + 28a^2 + 24a + 6)29^5 + (18a^8 + 14a^7 + 8a^6 + 18a^5 + 24a^4 + 11a^3 + 20a^2 + 2a + 25)29^6 + (25a^8 + 17a^7 + 2a^6 + 20a^5 + 13a^4 + 24a^3 + 25a^2 + 5a + 20)29^7 + (2a^8 + 25a^6 + 24a^5 + 13a^4 + 16a^3 + 3a^2 + 28a + 4)29^8 + (23a^8 + 12a^7 + 18a^6 + 26a^5 + 26a^4 + 11a^3 + 25a^2 + 9a + 18)29^9+O(29^10)
$r_{ 17 }$	$=$	\( 3 a^{8} + 5 a^{6} + 5 a^{5} + 3 a^{4} + 21 a^{3} + 17 a^{2} + 14 + \left(13 a^{8} + 3 a^{7} + 13 a^{6} + 7 a^{5} + 6 a^{4} + 23 a^{3} + 28 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 29 + \left(7 a^{8} + 13 a^{7} + 18 a^{6} + 10 a^{5} + a^{4} + 10 a^{3} + 18 a^{2} + 20 a + 6\right)\cdot 29^{2} + \left(15 a^{8} + 5 a^{6} + 16 a^{5} + 8 a^{4} + 16 a^{2} + 21 a + 18\right)\cdot 29^{3} + \left(2 a^{8} + 11 a^{7} + 24 a^{6} + 4 a^{5} + 24 a^{4} + 4 a^{3} + 18 a^{2} + 23 a + 15\right)\cdot 29^{4} + \left(11 a^{8} + 7 a^{7} + 6 a^{6} + 7 a^{5} + 6 a^{4} + 19 a^{3} + a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 29^{5} + \left(11 a^{8} + 6 a^{7} + 18 a^{6} + 12 a^{5} + 28 a^{4} + 21 a^{3} + 6 a^{2} + a + 20\right)\cdot 29^{6} + \left(20 a^{8} + 19 a^{7} + 15 a^{6} + a^{4} + 19 a^{3} + 6 a^{2} + 27 a + 21\right)\cdot 29^{7} + \left(17 a^{8} + 12 a^{7} + 18 a^{6} + 4 a^{5} + 28 a^{4} + 18 a^{3} + 18 a^{2} + 28 a + 9\right)\cdot 29^{8} + \left(18 a^{8} + 2 a^{7} + 18 a^{6} + 15 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) 3a^8 + 5a^6 + 5a^5 + 3a^4 + 21a^3 + 17a^2 + 14 + (13a^8 + 3a^7 + 13a^6 + 7a^5 + 6a^4 + 23a^3 + 28a^2 + 7a + 20)29 + (7a^8 + 13a^7 + 18a^6 + 10a^5 + a^4 + 10a^3 + 18a^2 + 20a + 6)29^2 + (15a^8 + 5a^6 + 16a^5 + 8a^4 + 16a^2 + 21a + 18)29^3 + (2a^8 + 11a^7 + 24a^6 + 4a^5 + 24a^4 + 4a^3 + 18a^2 + 23a + 15)29^4 + (11a^8 + 7a^7 + 6a^6 + 7a^5 + 6a^4 + 19a^3 + a^2 + 5a + 16)29^5 + (11a^8 + 6a^7 + 18a^6 + 12a^5 + 28a^4 + 21a^3 + 6a^2 + a + 20)29^6 + (20a^8 + 19a^7 + 15a^6 + a^4 + 19a^3 + 6a^2 + 27a + 21)29^7 + (17a^8 + 12a^7 + 18a^6 + 4a^5 + 28a^4 + 18a^3 + 18a^2 + 28a + 9)29^8 + (18a^8 + 2a^7 + 18a^6 + 15a^5 + 11a^4 + 9a^3 + 2a^2 + 12a + 20)29^9+O(29^10)
$r_{ 18 }$	$=$	\( 8 a^{8} + 10 a^{7} + 14 a^{6} + 20 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 4 + \left(27 a^{8} + 9 a^{7} + 16 a^{6} + 3 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 25\right)\cdot 29 + \left(14 a^{8} + 26 a^{7} + 7 a^{6} + 3 a^{5} + 15 a^{4} + 20 a^{3} + 19 a^{2} + 15 a + 24\right)\cdot 29^{2} + \left(19 a^{8} + 20 a^{7} + 28 a^{6} + 18 a^{5} + 15 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 28 a + 18\right)\cdot 29^{3} + \left(26 a^{8} + 4 a^{7} + 16 a^{6} + 21 a^{5} + 22 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 29^{4} + \left(16 a^{8} + 8 a^{7} + 9 a^{6} + 28 a^{5} + 15 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 29^{5} + \left(15 a^{8} + 12 a^{7} + 6 a^{6} + 15 a^{5} + 17 a^{4} + 16 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 29^{6} + \left(3 a^{8} + 7 a^{7} + a^{6} + 23 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 15 a + 12\right)\cdot 29^{7} + \left(24 a^{8} + 10 a^{7} + 3 a^{6} + a^{5} + 19 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 29^{8} + \left(18 a^{8} + 11 a^{7} + 4 a^{6} + 8 a^{5} + 19 a^{4} + a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) 8a^8 + 10a^7 + 14a^6 + 20a^5 + 14a^4 + 9a^3 + 15a^2 + 17a + 4 + (27a^8 + 9a^7 + 16a^6 + 3a^5 + 10a^4 + 9a^3 + 5a^2 + 15a + 25)29 + (14a^8 + 26a^7 + 7a^6 + 3a^5 + 15a^4 + 20a^3 + 19a^2 + 15a + 24)29^2 + (19a^8 + 20a^7 + 28a^6 + 18a^5 + 15a^4 + 16a^3 + 13a^2 + 28a + 18)29^3 + (26a^8 + 4a^7 + 16a^6 + 21a^5 + 22a^4 + 2a^3 + 8a^2 + 6a + 9)29^4 + (16a^8 + 8a^7 + 9a^6 + 28a^5 + 15a^4 + 17a^3 + 11a^2 + 7a + 6)29^5 + (15a^8 + 12a^7 + 6a^6 + 15a^5 + 17a^4 + 16a^3 + 11a^2 + 8a + 16)29^6 + (3a^8 + 7a^7 + a^6 + 23a^5 + 12a^4 + 16a^3 + 15a + 12)29^7 + (24a^8 + 10a^7 + 3a^6 + a^5 + 19a^4 + 3a^3 + 11a^2 + 15a + 4)29^8 + (18a^8 + 11a^7 + 4a^6 + 8a^5 + 19a^4 + a^3 + 5a^2 + 2a + 3)*29^9+O(29^10)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 18 }$

Cycle notation
$(1,17)(2,18)(3,4)(5,7)(6,8)(9,10)(11,12)(13,15)(14,16)$
$(1,7,12,10,16,15,8,4,2)(3,18,17,5,11,9,14,13,6)$
$(1,6,10,17,8,9)(2,13,12,18,15,11)(3,16,5,4,14,7)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 18 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$1$
$1$	$2$	$(1,17)(2,18)(3,4)(5,7)(6,8)(9,10)(11,12)(13,15)(14,16)$	$-1$
$1$	$3$	$(1,10,8)(2,12,15)(3,5,14)(4,7,16)(6,17,9)(11,13,18)$	$-\zeta_{9}^{3} - 1$
$1$	$3$	$(1,8,10)(2,15,12)(3,14,5)(4,16,7)(6,9,17)(11,18,13)$	$\zeta_{9}^{3}$
$1$	$6$	$(1,6,10,17,8,9)(2,13,12,18,15,11)(3,16,5,4,14,7)$	$-\zeta_{9}^{3}$
$1$	$6$	$(1,9,8,17,10,6)(2,11,15,18,12,13)(3,7,14,4,5,16)$	$\zeta_{9}^{3} + 1$
$1$	$9$	$(1,7,12,10,16,15,8,4,2)(3,18,17,5,11,9,14,13,6)$	$-\zeta_{9}^{5} - \zeta_{9}^{2}$
$1$	$9$	$(1,12,16,8,2,7,10,15,4)(3,17,11,14,6,18,5,9,13)$	$-\zeta_{9}^{4} - \zeta_{9}$
$1$	$9$	$(1,16,2,10,4,12,8,7,15)(3,11,6,5,13,17,14,18,9)$	$\zeta_{9}^{5}$
$1$	$9$	$(1,15,7,8,12,4,10,2,16)(3,9,18,14,17,13,5,6,11)$	$\zeta_{9}^{4}$
$1$	$9$	$(1,4,15,10,7,2,8,16,12)(3,13,9,5,18,6,14,11,17)$	$\zeta_{9}^{2}$
$1$	$9$	$(1,2,4,8,15,16,10,12,7)(3,6,13,14,9,11,5,17,18)$	$\zeta_{9}$
$1$	$18$	$(1,5,12,9,16,13,8,3,2,17,7,11,10,14,15,6,4,18)$	$\zeta_{9}^{5} + \zeta_{9}^{2}$
$1$	$18$	$(1,13,7,6,12,3,10,18,16,17,15,5,8,11,4,9,2,14)$	$-\zeta_{9}^{4}$
$1$	$18$	$(1,3,15,9,7,18,8,14,12,17,4,13,10,5,2,6,16,11)$	$-\zeta_{9}^{2}$
$1$	$18$	$(1,11,16,6,2,5,10,13,4,17,12,14,8,18,7,9,15,3)$	$\zeta_{9}^{4} + \zeta_{9}$
$1$	$18$	$(1,14,2,9,4,11,8,5,15,17,16,18,10,3,12,6,7,13)$	$-\zeta_{9}^{5}$
$1$	$18$	$(1,18,4,6,15,14,10,11,7,17,2,3,8,13,16,9,12,5)$	$-\zeta_{9}$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 18 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	1.135.18t1.a.f
Dimension	$1$
Group	$C_{18}$
Conductor	$135$
Root number	not computed
Indicator	$0$