Basic invariants
Dimension: | $1$ |
Group: | $C_{14}$ |
Conductor: | \(1011\)\(\medspace = 3 \cdot 337 \) |
Artin field: | Galois closure of 14.0.4692535788065246220336970873011147.1 |
Galois orbit size: | $6$ |
Smallest permutation container: | $C_{14}$ |
Parity: | odd |
Dirichlet character: | \(\chi_{1011}(389,\cdot)\) |
Projective image: | $C_1$ |
Projective field: | Galois closure of \(\Q\) |
Defining polynomial
$f(x)$ | $=$ | \( x^{14} - x^{13} + 145 x^{12} + 942 x^{11} + 17921 x^{10} + 73096 x^{9} + 539575 x^{8} + 2139126 x^{7} + 11706638 x^{6} + 34577138 x^{5} + 91138731 x^{4} + \cdots + 1530169 \) . |
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 19 }$ to precision 7.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 19 }$: \( x^{7} + 6x + 17 \)
Roots:
$r_{ 1 }$ | $=$ |
\( 12 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 12 + \left(2 a^{6} + 18 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 2 a + 1\right)\cdot 19 + \left(9 a^{6} + 18 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + a + 18\right)\cdot 19^{2} + \left(7 a^{6} + 12 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 19^{3} + \left(16 a^{6} + 14 a^{5} + 13 a^{4} + 17 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a\right)\cdot 19^{4} + \left(9 a^{5} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 19^{5} + \left(9 a^{6} + 8 a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})\)
$r_{ 2 }$ |
$=$ |
\( 18 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 18 + \left(3 a^{6} + 12 a^{5} + 18 a^{4} + 18 a^{3} + 4 a^{2} + a + 15\right)\cdot 19 + \left(11 a^{6} + 16 a^{5} + 5 a^{4} + 16 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{6} + 12 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{6} + 17 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 19^{4} + \left(15 a^{6} + 2 a^{5} + 6 a^{4} + 17 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 19^{5} + \left(a^{6} + 12 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})\)
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
\( a^{6} + 12 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 9 + \left(5 a^{6} + 13 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 19 + \left(16 a^{6} + 8 a^{5} + 13 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 19^{2} + \left(14 a^{6} + 16 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 19^{3} + \left(11 a^{6} + 10 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 14 a^{2} + 9\right)\cdot 19^{4} + \left(2 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 19^{5} + \left(16 a^{6} + 3 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})\)
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
\( 4 a^{6} + 4 a^{5} + a^{4} + 14 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + \left(2 a^{6} + 12 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 16 a^{2} + 18 a\right)\cdot 19 + \left(7 a^{6} + 18 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 19^{2} + \left(16 a^{6} + 17 a^{5} + 11 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 19^{3} + \left(13 a^{6} + 4 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 18 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 19^{4} + \left(5 a^{6} + 7 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + 9 a + 4\right)\cdot 19^{5} + \left(a^{6} + 13 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})\)
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
\( 6 a^{6} + 6 a^{5} + 11 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + \left(17 a^{6} + 13 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a\right)\cdot 19 + \left(14 a^{6} + 11 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 5\right)\cdot 19^{2} + \left(12 a^{6} + 4 a^{5} + 7 a^{4} + 18 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 19^{3} + \left(7 a^{6} + 12 a^{5} + 14 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 19^{4} + \left(13 a^{6} + 18 a^{5} + 13 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 19^{5} + \left(6 a^{6} + 4 a^{5} + 18 a^{4} + 18 a^{3} + 15 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})\)
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
\( 10 a^{6} + 6 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 7 + \left(6 a^{6} + 9 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 19 + \left(16 a^{6} + 5 a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 19^{2} + \left(6 a^{6} + 12 a^{5} + 5 a^{4} + 14 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{6} + 14 a^{4} + 13 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 19^{4} + \left(12 a^{6} + 6 a^{5} + 8 a^{4} + 17 a^{3} + a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 19^{5} + \left(10 a^{6} + 7 a^{5} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})\)
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
\( 10 a^{6} + 8 a^{5} + 2 a^{4} + 14 a^{3} + 12 a^{2} + 16 a + 1 + \left(5 a^{6} + 13 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 19 + \left(13 a^{6} + 2 a^{5} + 6 a^{4} + 17 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{6} + 5 a^{5} + 15 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 19^{3} + \left(10 a^{6} + 6 a^{5} + 4 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 19^{4} + \left(5 a^{6} + 17 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 17 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 19^{5} + \left(11 a^{6} + 11 a^{5} + 16 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})\)
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
\( 11 a^{6} + 18 a^{5} + 17 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 4 + \left(a^{6} + 14 a^{5} + a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 19 + \left(15 a^{6} + 2 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 19^{2} + \left(3 a^{5} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 19^{3} + \left(5 a^{6} + 11 a^{5} + 18 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 17\right)\cdot 19^{4} + \left(17 a^{6} + a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 19^{5} + \left(2 a^{6} + 4 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{3} + 2 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})\)
| $r_{ 9 }$ |
$=$ |
\( 12 a^{6} + 2 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 14 + \left(11 a^{6} + 5 a^{5} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 19 + \left(2 a^{6} + 5 a^{5} + 11 a^{4} + 18 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 19^{2} + \left(a^{6} + 9 a^{5} + 11 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{6} + 6 a^{5} + 3 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 19^{4} + \left(17 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 19^{5} + \left(6 a^{6} + 2 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})\)
| $r_{ 10 }$ |
$=$ |
\( 13 a^{6} + 4 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 11 + \left(5 a^{6} + 16 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a^{2} + 1\right)\cdot 19 + \left(16 a^{6} + 5 a^{5} + 16 a^{4} + 9 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(15 a^{6} + 11 a^{5} + 16 a^{4} + 10 a + 2\right)\cdot 19^{3} + \left(11 a^{6} + a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 19^{4} + \left(3 a^{6} + 18 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 12 a + 7\right)\cdot 19^{5} + \left(14 a^{6} + 4 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})\)
| $r_{ 11 }$ |
$=$ |
\( 15 a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 11 + \left(14 a^{6} + 12 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a\right)\cdot 19 + \left(6 a^{6} + 6 a^{5} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 19^{2} + \left(14 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 19^{3} + \left(16 a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{3} + 18 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{6} + 10 a^{5} + a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 19^{5} + \left(16 a^{6} + 2 a^{5} + 14 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})\)
| $r_{ 12 }$ |
$=$ |
\( 16 a^{6} + 13 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 8 + \left(a^{6} + 9 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 19 + \left(6 a^{6} + 6 a^{5} + 17 a^{4} + 4 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 19^{2} + \left(15 a^{6} + 9 a^{5} + 2 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 19^{3} + \left(9 a^{6} + 18 a^{4} + 17 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{6} + 17 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{5} + \left(15 a^{6} + 14 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 15 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})\)
| $r_{ 13 }$ |
$=$ |
\( 17 a^{6} + 15 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 18 + \left(5 a^{6} + 15 a^{5} + 7 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 19 + \left(11 a^{6} + 15 a^{5} + 17 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 19^{2} + \left(2 a^{6} + 2 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 14 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{6} + 12 a^{5} + 17 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + a + 18\right)\cdot 19^{4} + \left(18 a^{6} + 17 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 19^{5} + \left(17 a^{6} + 11 a^{5} + 8 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 17 a\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})\)
| $r_{ 14 }$ |
$=$ |
\( 18 a^{6} + 3 a^{5} + 12 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 2 + \left(11 a^{6} + 5 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 19 + \left(5 a^{6} + 17 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + 16 a\right)\cdot 19^{2} + \left(3 a^{6} + a^{5} + a^{4} + 14 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 19^{3} + \left(3 a^{6} + 17 a^{5} + 10 a^{4} + 18 a^{3} + a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(7 a^{6} + 18 a^{5} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 19^{5} + \left(2 a^{6} + 10 a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})\)
| |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 14 }$
Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 14 }$ | Character value |
$1$ | $1$ | $()$ | $1$ |
$1$ | $2$ | $(1,2)(3,8)(4,5)(6,10)(7,11)(9,14)(12,13)$ | $-1$ |
$1$ | $7$ | $(1,7,9,13,10,3,4)(2,11,14,12,6,8,5)$ | $\zeta_{7}^{4}$ |
$1$ | $7$ | $(1,9,10,4,7,13,3)(2,14,6,5,11,12,8)$ | $\zeta_{7}$ |
$1$ | $7$ | $(1,13,4,9,3,7,10)(2,12,5,14,8,11,6)$ | $\zeta_{7}^{5}$ |
$1$ | $7$ | $(1,10,7,3,9,4,13)(2,6,11,8,14,5,12)$ | $\zeta_{7}^{2}$ |
$1$ | $7$ | $(1,3,13,7,4,10,9)(2,8,12,11,5,6,14)$ | $-\zeta_{7}^{5} - \zeta_{7}^{4} - \zeta_{7}^{3} - \zeta_{7}^{2} - \zeta_{7} - 1$ |
$1$ | $7$ | $(1,4,3,10,13,9,7)(2,5,8,6,12,14,11)$ | $\zeta_{7}^{3}$ |
$1$ | $14$ | $(1,6,7,8,9,5,13,2,10,11,3,14,4,12)$ | $-\zeta_{7}^{2}$ |
$1$ | $14$ | $(1,8,13,11,4,6,9,2,3,12,7,5,10,14)$ | $\zeta_{7}^{5} + \zeta_{7}^{4} + \zeta_{7}^{3} + \zeta_{7}^{2} + \zeta_{7} + 1$ |
$1$ | $14$ | $(1,5,3,6,13,14,7,2,4,8,10,12,9,11)$ | $-\zeta_{7}^{3}$ |
$1$ | $14$ | $(1,11,9,12,10,8,4,2,7,14,13,6,3,5)$ | $-\zeta_{7}^{4}$ |
$1$ | $14$ | $(1,14,10,5,7,12,3,2,9,6,4,11,13,8)$ | $-\zeta_{7}$ |
$1$ | $14$ | $(1,12,4,14,3,11,10,2,13,5,9,8,7,6)$ | $-\zeta_{7}^{5}$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.