LMFDB - Artin representation 1.1011.14t1.a.a

Basic invariants

Dimension:	$1$
Group:	$C_{14}$
Conductor:	$1011$$\medspace = 3 \cdot 337 $
Artin field:	Galois closure of 14.0.4692535788065246220336970873011147.1
Galois orbit size:	$6$
Smallest permutation container:	$C_{14}$
Parity:	odd
Dirichlet character:	$\chi_{1011}(8,\cdot)$
Projective image:	$C_1$
Projective field:	Galois closure of $\Q$

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{14} - x^{13} + 145 x^{12} + 942 x^{11} + 17921 x^{10} + 73096 x^{9} + 539575 x^{8} + 2139126 x^{7} + \cdots + 1530169 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 19 }$ to precision 7.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 19 }$: $ x^{7} + 6x + 17 $ x^7 + 6*x + 17

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 12 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 12 + \left(2 a^{6} + 18 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 2 a + 1\right)\cdot 19 + \left(9 a^{6} + 18 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + a + 18\right)\cdot 19^{2} + \left(7 a^{6} + 12 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 19^{3} + \left(16 a^{6} + 14 a^{5} + 13 a^{4} + 17 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a\right)\cdot 19^{4} + \left(9 a^{5} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 19^{5} + \left(9 a^{6} + 8 a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})$ 12a^5 + 14a^4 + 9a^3 + 12a^2 + 5a + 12 + (2a^6 + 18a^5 + 4a^4 + 16a^3 + 2a + 1)19 + (9a^6 + 18a^5 + 4a^4 + a^3 + 3a^2 + a + 18)19^2 + (7a^6 + 12a^5 + 4a^4 + 16a^3 + 2a^2 + 2a + 5)19^3 + (16a^6 + 14a^5 + 13a^4 + 17a^3 + 17a^2 + 16a)19^4 + (9a^5 + 2a^4 + 3a^3 + 5a^2 + 13a + 7)19^5 + (9a^6 + 8a^5 + 6a^4 + 2a^3 + 17a^2 + 16a + 11)*19^6+O(19^7)
$r_{ 2 }$	$=$	$ 18 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 18 + \left(3 a^{6} + 12 a^{5} + 18 a^{4} + 18 a^{3} + 4 a^{2} + a + 15\right)\cdot 19 + \left(11 a^{6} + 16 a^{5} + 5 a^{4} + 16 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{6} + 12 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{6} + 17 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 19^{4} + \left(15 a^{6} + 2 a^{5} + 6 a^{4} + 17 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 19^{5} + \left(a^{6} + 12 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})$ 18a^5 + 2a^4 + 4a^3 + 18a^2 + 17a + 18 + (3a^6 + 12a^5 + 18a^4 + 18a^3 + 4a^2 + a + 15)19 + (11a^6 + 16a^5 + 5a^4 + 16a^3 + 15a^2 + 17a + 12)19^2 + (17a^6 + 12a^5 + 2a^4 + 12a^3 + 8a^2 + 7a + 11)19^3 + (15a^6 + 17a^5 + 15a^4 + 11a^3 + 6a^2 + 17a + 16)19^4 + (15a^6 + 2a^5 + 6a^4 + 17a^3 + 15a^2 + 15a + 2)19^5 + (a^6 + 12a^5 + 13a^4 + 12a^3 + 18a^2 + 16a + 1)*19^6+O(19^7)
$r_{ 3 }$	$=$	$ a^{6} + 12 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 9 + \left(5 a^{6} + 13 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 19 + \left(16 a^{6} + 8 a^{5} + 13 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 19^{2} + \left(14 a^{6} + 16 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 19^{3} + \left(11 a^{6} + 10 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 14 a^{2} + 9\right)\cdot 19^{4} + \left(2 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 19^{5} + \left(16 a^{6} + 3 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})$ a^6 + 12a^5 + 5a^4 + 11a^3 + 13a^2 + 14a + 9 + (5a^6 + 13a^5 + 2a^4 + 2a^3 + 18a^2 + 8a + 6)19 + (16a^6 + 8a^5 + 13a^4 + 10a^3 + 4a^2 + 3a + 3)19^2 + (14a^6 + 16a^5 + 9a^4 + a^3 + 8a^2 + 17a + 3)19^3 + (11a^6 + 10a^5 + 12a^4 + 5a^3 + 14a^2 + 9)19^4 + (2a^6 + 7a^5 + 10a^4 + 13a^3 + 7a^2 + 5a + 2)19^5 + (16a^6 + 3a^5 + a^4 + 11a^3 + 3a^2 + 10a + 7)19^6+O(19^7)
$r_{ 4 }$	$=$	$ 4 a^{6} + 4 a^{5} + a^{4} + 14 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + \left(2 a^{6} + 12 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 16 a^{2} + 18 a\right)\cdot 19 + \left(7 a^{6} + 18 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 19^{2} + \left(16 a^{6} + 17 a^{5} + 11 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 19^{3} + \left(13 a^{6} + 4 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 18 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 19^{4} + \left(5 a^{6} + 7 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + 9 a + 4\right)\cdot 19^{5} + \left(a^{6} + 13 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})$ 4a^6 + 4a^5 + a^4 + 14a^3 + 9a^2 + 10a + (2a^6 + 12a^5 + 9a^4 + 8a^3 + 16a^2 + 18a)19 + (7a^6 + 18a^5 + 4a^4 + 4a^2 + 3a + 16)19^2 + (16a^6 + 17a^5 + 11a^4 + a^3 + 2a^2 + 10a + 2)19^3 + (13a^6 + 4a^5 + a^4 + 11a^3 + 18a^2 + 15a + 17)19^4 + (5a^6 + 7a^5 + a^4 + 9a^3 + 9a + 4)19^5 + (a^6 + 13a^5 + 16a^4 + 14a^3 + 14a^2 + 12a + 12)*19^6+O(19^7)
$r_{ 5 }$	$=$	$ 6 a^{6} + 6 a^{5} + 11 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + \left(17 a^{6} + 13 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a\right)\cdot 19 + \left(14 a^{6} + 11 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 5\right)\cdot 19^{2} + \left(12 a^{6} + 4 a^{5} + 7 a^{4} + 18 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 19^{3} + \left(7 a^{6} + 12 a^{5} + 14 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 19^{4} + \left(13 a^{6} + 18 a^{5} + 13 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 19^{5} + \left(6 a^{6} + 4 a^{5} + 18 a^{4} + 18 a^{3} + 15 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})$ 6a^6 + 6a^5 + 11a^4 + 2a^3 + 4a^2 + 15a + (17a^6 + 13a^5 + 7a^4 + 5a^3 + 18a^2 + 5a)19 + (14a^6 + 11a^4 + 14a^3 + 11a^2 + 5)19^2 + (12a^6 + 4a^5 + 7a^4 + 18a^3 + 2a^2 + 14a + 3)19^3 + (7a^6 + 12a^5 + 14a^4 + 11a^3 + 6a^2 + 7a + 12)19^4 + (13a^6 + 18a^5 + 13a^4 + 2a^3 + a^2 + 7a + 6)19^5 + (6a^6 + 4a^5 + 18a^4 + 18a^3 + 15a^2 + 9a + 15)*19^6+O(19^7)
$r_{ 6 }$	$=$	$ 10 a^{6} + 6 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 7 + \left(6 a^{6} + 9 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 19 + \left(16 a^{6} + 5 a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 19^{2} + \left(6 a^{6} + 12 a^{5} + 5 a^{4} + 14 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{6} + 14 a^{4} + 13 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 19^{4} + \left(12 a^{6} + 6 a^{5} + 8 a^{4} + 17 a^{3} + a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 19^{5} + \left(10 a^{6} + 7 a^{5} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})$ 10a^6 + 6a^5 + a^4 + 11a^3 + 14a^2 + 10a + 7 + (6a^6 + 9a^4 + 2a^3 + 7a^2 + 8a + 12)19 + (16a^6 + 5a^5 + 14a^4 + a^3 + 9a^2 + 15a + 9)19^2 + (6a^6 + 12a^5 + 5a^4 + 14a^3 + 7a^2 + 16a + 13)19^3 + (15a^6 + 14a^4 + 13a^3 + 11a^2 + 12a + 13)19^4 + (12a^6 + 6a^5 + 8a^4 + 17a^3 + a^2 + 3a + 11)19^5 + (10a^6 + 7a^5 + 17a^3 + 3a^2 + 15a + 8)19^6+O(19^7)
$r_{ 7 }$	$=$	$ 10 a^{6} + 8 a^{5} + 2 a^{4} + 14 a^{3} + 12 a^{2} + 16 a + 1 + \left(5 a^{6} + 13 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 19 + \left(13 a^{6} + 2 a^{5} + 6 a^{4} + 17 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{6} + 5 a^{5} + 15 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 19^{3} + \left(10 a^{6} + 6 a^{5} + 4 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 19^{4} + \left(5 a^{6} + 17 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 17 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 19^{5} + \left(11 a^{6} + 11 a^{5} + 16 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})$ 10a^6 + 8a^5 + 2a^4 + 14a^3 + 12a^2 + 16a + 1 + (5a^6 + 13a^5 + 16a^4 + 14a^3 + 7a^2 + 4a + 17)19 + (13a^6 + 2a^5 + 6a^4 + 17a^3 + 10a^2 + 6a + 17)19^2 + (17a^6 + 5a^5 + 15a^4 + 13a^3 + 7a^2 + 2a + 6)19^3 + (10a^6 + 6a^5 + 4a^4 + 11a^3 + a^2 + 18a + 18)19^4 + (5a^6 + 17a^5 + 11a^4 + 13a^3 + 17a^2 + 8a + 14)19^5 + (11a^6 + 11a^5 + 16a^4 + 3a^3 + 10a^2 + 7a + 14)*19^6+O(19^7)
$r_{ 8 }$	$=$	$ 11 a^{6} + 18 a^{5} + 17 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 4 + \left(a^{6} + 14 a^{5} + a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 19 + \left(15 a^{6} + 2 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 19^{2} + \left(3 a^{5} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 19^{3} + \left(5 a^{6} + 11 a^{5} + 18 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 17\right)\cdot 19^{4} + \left(17 a^{6} + a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 19^{5} + \left(2 a^{6} + 4 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{3} + 2 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})$ 11a^6 + 18a^5 + 17a^4 + 7a^3 + 10a^2 + 2a + 4 + (a^6 + 14a^5 + a^4 + 4a^3 + 16a^2 + 5a + 3)19 + (15a^6 + 2a^5 + 16a^4 + 12a^3 + 6a^2 + 9a + 3)19^2 + (3a^5 + 13a^4 + 7a^3 + 13a^2 + 15a + 12)19^3 + (5a^6 + 11a^5 + 18a^4 + 6a^3 + 16a^2 + 17)19^4 + (17a^6 + a^5 + 3a^4 + 5a^3 + 18a^2 + 2a + 12)19^5 + (2a^6 + 4a^5 + 9a^4 + 14a^3 + 2a^2 + 17a + 6)*19^6+O(19^7)
$r_{ 9 }$	$=$	$ 12 a^{6} + 2 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 14 + \left(11 a^{6} + 5 a^{5} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 19 + \left(2 a^{6} + 5 a^{5} + 11 a^{4} + 18 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 19^{2} + \left(a^{6} + 9 a^{5} + 11 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{6} + 6 a^{5} + 3 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 19^{4} + \left(17 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 19^{5} + \left(6 a^{6} + 2 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})$ 12a^6 + 2a^5 + 8a^4 + 6a^3 + 16a^2 + 2a + 14 + (11a^6 + 5a^5 + 15a^4 + 4a^3 + 17a^2 + 16a + 7)19 + (2a^6 + 5a^5 + 11a^4 + 18a^3 + 8a^2 + 15a + 6)19^2 + (a^6 + 9a^5 + 11a^4 + 2a^3 + 2a^2 + 16a + 11)19^3 + (15a^6 + 6a^5 + 3a^4 + 18a^3 + 9a^2 + 18a + 1)19^4 + (17a^5 + 8a^4 + 11a^3 + 16a^2 + 2a + 12)19^5 + (6a^6 + 2a^5 + 14a^4 + 9a^3 + a^2 + 9a + 17)*19^6+O(19^7)
$r_{ 10 }$	$=$	$ 13 a^{6} + 4 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 11 + \left(5 a^{6} + 16 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a^{2} + 1\right)\cdot 19 + \left(16 a^{6} + 5 a^{5} + 16 a^{4} + 9 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(15 a^{6} + 11 a^{5} + 16 a^{4} + 10 a + 2\right)\cdot 19^{3} + \left(11 a^{6} + a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 19^{4} + \left(3 a^{6} + 18 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 12 a + 7\right)\cdot 19^{5} + \left(14 a^{6} + 4 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})$ 13a^6 + 4a^5 + 7a^4 + a^3 + 3a^2 + 13a + 11 + (5a^6 + 16a^5 + 2a^4 + 12a^3 + 17a^2 + 1)19 + (16a^6 + 5a^5 + 16a^4 + 9a^3 + 13a^2 + 2a + 17)19^2 + (15a^6 + 11a^5 + 16a^4 + 10a + 2)19^3 + (11a^6 + a^5 + 3a^4 + 3a^3 + 6a^2 + 4a + 12)19^4 + (3a^6 + 18a^5 + a^4 + 2a^3 + 12a + 7)19^5 + (14a^6 + 4a^5 + 13a^4 + 3a^3 + 8a^2 + 2a + 13)*19^6+O(19^7)
$r_{ 11 }$	$=$	$ 15 a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 11 + \left(14 a^{6} + 12 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a\right)\cdot 19 + \left(6 a^{6} + 6 a^{5} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 19^{2} + \left(14 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 19^{3} + \left(16 a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{3} + 18 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{6} + 10 a^{5} + a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 19^{5} + \left(16 a^{6} + 2 a^{5} + 14 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})$ 15a^6 + 12a^5 + 3a^4 + 2a^3 + 18a^2 + 5a + 11 + (14a^6 + 12a^4 + 14a^3 + 5a^2 + 6a)19 + (6a^6 + 6a^5 + 12a^4 + 13a^3 + 3a^2 + 12a + 12)19^2 + (14a^5 + 3a^4 + 12a^3 + 15a^2 + 5a + 12)19^3 + (16a^5 + 4a^4 + 14a^3 + 18a^2 + 7a + 2)19^4 + (14a^6 + 10a^5 + a^4 + 15a^3 + 2a^2 + 12a + 15)19^5 + (16a^6 + 2a^5 + 14a^4 + 8a^3 + 12a^2 + 3a + 1)19^6+O(19^7)
$r_{ 12 }$	$=$	$ 16 a^{6} + 13 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 8 + \left(a^{6} + 9 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 19 + \left(6 a^{6} + 6 a^{5} + 17 a^{4} + 4 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 19^{2} + \left(15 a^{6} + 9 a^{5} + 2 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 19^{3} + \left(9 a^{6} + 18 a^{4} + 17 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{6} + 17 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{5} + \left(15 a^{6} + 14 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 15 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})$ 16a^6 + 13a^5 + 11a^4 + 3a^3 + 7a^2 + 5a + 8 + (a^6 + 9a^5 + 4a^4 + 4a^3 + 6a^2 + 17a + 15)19 + (6a^6 + 6a^5 + 17a^4 + 4a^3 + 5a^2 + 4a + 5)19^2 + (15a^6 + 9a^5 + 2a^4 + 14a^3 + 3a^2 + 7a + 16)19^3 + (9a^6 + 18a^4 + 17a^3 + 15a^2 + 14a + 6)19^4 + (14a^6 + 17a^5 + 2a^4 + 4a^3 + 17a + 12)19^5 + (15a^6 + 14a^5 + 3a^4 + 8a^3 + 15a^2 + 18a + 7)*19^6+O(19^7)
$r_{ 13 }$	$=$	$ 17 a^{6} + 15 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 18 + \left(5 a^{6} + 15 a^{5} + 7 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 19 + \left(11 a^{6} + 15 a^{5} + 17 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 19^{2} + \left(2 a^{6} + 2 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 14 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{6} + 12 a^{5} + 17 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + a + 18\right)\cdot 19^{4} + \left(18 a^{6} + 17 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 19^{5} + \left(17 a^{6} + 11 a^{5} + 8 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 17 a\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})$ 17a^6 + 15a^5 + a^4 + 2a^3 + 11a^2 + 16a + 18 + (5a^6 + 15a^5 + 7a^4 + 17a^3 + 16a^2 + 5a + 18)19 + (11a^6 + 15a^5 + 17a^3 + 10a^2 + 5a + 4)19^2 + (2a^6 + 2a^5 + 7a^4 + a^3 + 14a^2 + 17a + 5)19^3 + (15a^6 + 12a^5 + 17a^4 + 9a^3 + 9a^2 + a + 18)19^4 + (18a^6 + 17a^5 + 2a^4 + 2a^3 + 8a^2 + 4a + 6)19^5 + (17a^6 + 11a^5 + 8a^4 + 12a^3 + a^2 + 17a)*19^6+O(19^7)
$r_{ 14 }$	$=$	$ 18 a^{6} + 3 a^{5} + 12 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 2 + \left(11 a^{6} + 5 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 19 + \left(5 a^{6} + 17 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + 16 a\right)\cdot 19^{2} + \left(3 a^{6} + a^{5} + a^{4} + 14 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 19^{3} + \left(3 a^{6} + 17 a^{5} + 10 a^{4} + 18 a^{3} + a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(7 a^{6} + 18 a^{5} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 19^{5} + \left(2 a^{6} + 10 a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})$ 18a^6 + 3a^5 + 12a^4 + 9a^3 + 5a^2 + 3a + 2 + (11a^6 + 5a^5 + 3a^4 + 8a^3 + 16a^2 + 12a + 13)19 + (5a^6 + 17a^4 + 13a^3 + 4a^2 + 16a)19^2 + (3a^6 + a^5 + a^4 + 14a^3 + 6a^2 + 8a + 6)19^3 + (3a^6 + 17a^5 + 10a^4 + 18a^3 + a^2 + 15a + 5)19^4 + (7a^6 + 18a^5 + 11a^3 + 16a^2 + 16a + 15)19^5 + (2a^6 + 10a^5 + 17a^4 + 14a^3 + 8a^2 + 13a + 14)*19^6+O(19^7)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 14 }$

Cycle notation
$(1,6,7,8,9,5,13,2,10,11,3,14,4,12)$
$(1,2)(3,8)(4,5)(6,10)(7,11)(9,14)(12,13)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 14 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$1$
$1$	$2$	$(1,2)(3,8)(4,5)(6,10)(7,11)(9,14)(12,13)$	$-1$
$1$	$7$	$(1,7,9,13,10,3,4)(2,11,14,12,6,8,5)$	$\zeta_{7}$
$1$	$7$	$(1,9,10,4,7,13,3)(2,14,6,5,11,12,8)$	$\zeta_{7}^{2}$
$1$	$7$	$(1,13,4,9,3,7,10)(2,12,5,14,8,11,6)$	$\zeta_{7}^{3}$
$1$	$7$	$(1,10,7,3,9,4,13)(2,6,11,8,14,5,12)$	$\zeta_{7}^{4}$
$1$	$7$	$(1,3,13,7,4,10,9)(2,8,12,11,5,6,14)$	$\zeta_{7}^{5}$
$1$	$7$	$(1,4,3,10,13,9,7)(2,5,8,6,12,14,11)$	$-\zeta_{7}^{5} - \zeta_{7}^{4} - \zeta_{7}^{3} - \zeta_{7}^{2} - \zeta_{7} - 1$
$1$	$14$	$(1,6,7,8,9,5,13,2,10,11,3,14,4,12)$	$-\zeta_{7}^{4}$
$1$	$14$	$(1,8,13,11,4,6,9,2,3,12,7,5,10,14)$	$-\zeta_{7}^{5}$
$1$	$14$	$(1,5,3,6,13,14,7,2,4,8,10,12,9,11)$	$\zeta_{7}^{5} + \zeta_{7}^{4} + \zeta_{7}^{3} + \zeta_{7}^{2} + \zeta_{7} + 1$
$1$	$14$	$(1,11,9,12,10,8,4,2,7,14,13,6,3,5)$	$-\zeta_{7}$
$1$	$14$	$(1,14,10,5,7,12,3,2,9,6,4,11,13,8)$	$-\zeta_{7}^{2}$
$1$	$14$	$(1,12,4,14,3,11,10,2,13,5,9,8,7,6)$	$-\zeta_{7}^{3}$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 14 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	1.1011.14t1.a.a
Dimension	$1$
Group	$C_{14}$
Conductor	$1011$
Root number	not computed
Indicator	$0$

$r_{ 1 }$	$=$	\( 12 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 12 + \left(2 a^{6} + 18 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 2 a + 1\right)\cdot 19 + \left(9 a^{6} + 18 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + a + 18\right)\cdot 19^{2} + \left(7 a^{6} + 12 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 19^{3} + \left(16 a^{6} + 14 a^{5} + 13 a^{4} + 17 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a\right)\cdot 19^{4} + \left(9 a^{5} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 19^{5} + \left(9 a^{6} + 8 a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})\) 12a^5 + 14a^4 + 9a^3 + 12a^2 + 5a + 12 + (2a^6 + 18a^5 + 4a^4 + 16a^3 + 2a + 1)19 + (9a^6 + 18a^5 + 4a^4 + a^3 + 3a^2 + a + 18)19^2 + (7a^6 + 12a^5 + 4a^4 + 16a^3 + 2a^2 + 2a + 5)19^3 + (16a^6 + 14a^5 + 13a^4 + 17a^3 + 17a^2 + 16a)19^4 + (9a^5 + 2a^4 + 3a^3 + 5a^2 + 13a + 7)19^5 + (9a^6 + 8a^5 + 6a^4 + 2a^3 + 17a^2 + 16a + 11)*19^6+O(19^7)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 18 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 18 + \left(3 a^{6} + 12 a^{5} + 18 a^{4} + 18 a^{3} + 4 a^{2} + a + 15\right)\cdot 19 + \left(11 a^{6} + 16 a^{5} + 5 a^{4} + 16 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{6} + 12 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{6} + 17 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 19^{4} + \left(15 a^{6} + 2 a^{5} + 6 a^{4} + 17 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 19^{5} + \left(a^{6} + 12 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})\) 18a^5 + 2a^4 + 4a^3 + 18a^2 + 17a + 18 + (3a^6 + 12a^5 + 18a^4 + 18a^3 + 4a^2 + a + 15)19 + (11a^6 + 16a^5 + 5a^4 + 16a^3 + 15a^2 + 17a + 12)19^2 + (17a^6 + 12a^5 + 2a^4 + 12a^3 + 8a^2 + 7a + 11)19^3 + (15a^6 + 17a^5 + 15a^4 + 11a^3 + 6a^2 + 17a + 16)19^4 + (15a^6 + 2a^5 + 6a^4 + 17a^3 + 15a^2 + 15a + 2)19^5 + (a^6 + 12a^5 + 13a^4 + 12a^3 + 18a^2 + 16a + 1)*19^6+O(19^7)
$r_{ 3 }$	$=$	\( a^{6} + 12 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 9 + \left(5 a^{6} + 13 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 19 + \left(16 a^{6} + 8 a^{5} + 13 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 19^{2} + \left(14 a^{6} + 16 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 19^{3} + \left(11 a^{6} + 10 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 14 a^{2} + 9\right)\cdot 19^{4} + \left(2 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 19^{5} + \left(16 a^{6} + 3 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})\) a^6 + 12a^5 + 5a^4 + 11a^3 + 13a^2 + 14a + 9 + (5a^6 + 13a^5 + 2a^4 + 2a^3 + 18a^2 + 8a + 6)19 + (16a^6 + 8a^5 + 13a^4 + 10a^3 + 4a^2 + 3a + 3)19^2 + (14a^6 + 16a^5 + 9a^4 + a^3 + 8a^2 + 17a + 3)19^3 + (11a^6 + 10a^5 + 12a^4 + 5a^3 + 14a^2 + 9)19^4 + (2a^6 + 7a^5 + 10a^4 + 13a^3 + 7a^2 + 5a + 2)19^5 + (16a^6 + 3a^5 + a^4 + 11a^3 + 3a^2 + 10a + 7)19^6+O(19^7)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 4 a^{6} + 4 a^{5} + a^{4} + 14 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + \left(2 a^{6} + 12 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 16 a^{2} + 18 a\right)\cdot 19 + \left(7 a^{6} + 18 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 19^{2} + \left(16 a^{6} + 17 a^{5} + 11 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 19^{3} + \left(13 a^{6} + 4 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 18 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 19^{4} + \left(5 a^{6} + 7 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + 9 a + 4\right)\cdot 19^{5} + \left(a^{6} + 13 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})\) 4a^6 + 4a^5 + a^4 + 14a^3 + 9a^2 + 10a + (2a^6 + 12a^5 + 9a^4 + 8a^3 + 16a^2 + 18a)19 + (7a^6 + 18a^5 + 4a^4 + 4a^2 + 3a + 16)19^2 + (16a^6 + 17a^5 + 11a^4 + a^3 + 2a^2 + 10a + 2)19^3 + (13a^6 + 4a^5 + a^4 + 11a^3 + 18a^2 + 15a + 17)19^4 + (5a^6 + 7a^5 + a^4 + 9a^3 + 9a + 4)19^5 + (a^6 + 13a^5 + 16a^4 + 14a^3 + 14a^2 + 12a + 12)*19^6+O(19^7)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 6 a^{6} + 6 a^{5} + 11 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + \left(17 a^{6} + 13 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a\right)\cdot 19 + \left(14 a^{6} + 11 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 5\right)\cdot 19^{2} + \left(12 a^{6} + 4 a^{5} + 7 a^{4} + 18 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 19^{3} + \left(7 a^{6} + 12 a^{5} + 14 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 19^{4} + \left(13 a^{6} + 18 a^{5} + 13 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 19^{5} + \left(6 a^{6} + 4 a^{5} + 18 a^{4} + 18 a^{3} + 15 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})\) 6a^6 + 6a^5 + 11a^4 + 2a^3 + 4a^2 + 15a + (17a^6 + 13a^5 + 7a^4 + 5a^3 + 18a^2 + 5a)19 + (14a^6 + 11a^4 + 14a^3 + 11a^2 + 5)19^2 + (12a^6 + 4a^5 + 7a^4 + 18a^3 + 2a^2 + 14a + 3)19^3 + (7a^6 + 12a^5 + 14a^4 + 11a^3 + 6a^2 + 7a + 12)19^4 + (13a^6 + 18a^5 + 13a^4 + 2a^3 + a^2 + 7a + 6)19^5 + (6a^6 + 4a^5 + 18a^4 + 18a^3 + 15a^2 + 9a + 15)*19^6+O(19^7)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 10 a^{6} + 6 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 7 + \left(6 a^{6} + 9 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 19 + \left(16 a^{6} + 5 a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 19^{2} + \left(6 a^{6} + 12 a^{5} + 5 a^{4} + 14 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{6} + 14 a^{4} + 13 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 19^{4} + \left(12 a^{6} + 6 a^{5} + 8 a^{4} + 17 a^{3} + a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 19^{5} + \left(10 a^{6} + 7 a^{5} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})\) 10a^6 + 6a^5 + a^4 + 11a^3 + 14a^2 + 10a + 7 + (6a^6 + 9a^4 + 2a^3 + 7a^2 + 8a + 12)19 + (16a^6 + 5a^5 + 14a^4 + a^3 + 9a^2 + 15a + 9)19^2 + (6a^6 + 12a^5 + 5a^4 + 14a^3 + 7a^2 + 16a + 13)19^3 + (15a^6 + 14a^4 + 13a^3 + 11a^2 + 12a + 13)19^4 + (12a^6 + 6a^5 + 8a^4 + 17a^3 + a^2 + 3a + 11)19^5 + (10a^6 + 7a^5 + 17a^3 + 3a^2 + 15a + 8)19^6+O(19^7)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 10 a^{6} + 8 a^{5} + 2 a^{4} + 14 a^{3} + 12 a^{2} + 16 a + 1 + \left(5 a^{6} + 13 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 19 + \left(13 a^{6} + 2 a^{5} + 6 a^{4} + 17 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{6} + 5 a^{5} + 15 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 19^{3} + \left(10 a^{6} + 6 a^{5} + 4 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 19^{4} + \left(5 a^{6} + 17 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 17 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 19^{5} + \left(11 a^{6} + 11 a^{5} + 16 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})\) 10a^6 + 8a^5 + 2a^4 + 14a^3 + 12a^2 + 16a + 1 + (5a^6 + 13a^5 + 16a^4 + 14a^3 + 7a^2 + 4a + 17)19 + (13a^6 + 2a^5 + 6a^4 + 17a^3 + 10a^2 + 6a + 17)19^2 + (17a^6 + 5a^5 + 15a^4 + 13a^3 + 7a^2 + 2a + 6)19^3 + (10a^6 + 6a^5 + 4a^4 + 11a^3 + a^2 + 18a + 18)19^4 + (5a^6 + 17a^5 + 11a^4 + 13a^3 + 17a^2 + 8a + 14)19^5 + (11a^6 + 11a^5 + 16a^4 + 3a^3 + 10a^2 + 7a + 14)*19^6+O(19^7)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 11 a^{6} + 18 a^{5} + 17 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 4 + \left(a^{6} + 14 a^{5} + a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 19 + \left(15 a^{6} + 2 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 19^{2} + \left(3 a^{5} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 19^{3} + \left(5 a^{6} + 11 a^{5} + 18 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 17\right)\cdot 19^{4} + \left(17 a^{6} + a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 19^{5} + \left(2 a^{6} + 4 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{3} + 2 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})\) 11a^6 + 18a^5 + 17a^4 + 7a^3 + 10a^2 + 2a + 4 + (a^6 + 14a^5 + a^4 + 4a^3 + 16a^2 + 5a + 3)19 + (15a^6 + 2a^5 + 16a^4 + 12a^3 + 6a^2 + 9a + 3)19^2 + (3a^5 + 13a^4 + 7a^3 + 13a^2 + 15a + 12)19^3 + (5a^6 + 11a^5 + 18a^4 + 6a^3 + 16a^2 + 17)19^4 + (17a^6 + a^5 + 3a^4 + 5a^3 + 18a^2 + 2a + 12)19^5 + (2a^6 + 4a^5 + 9a^4 + 14a^3 + 2a^2 + 17a + 6)*19^6+O(19^7)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 12 a^{6} + 2 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 14 + \left(11 a^{6} + 5 a^{5} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 19 + \left(2 a^{6} + 5 a^{5} + 11 a^{4} + 18 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 19^{2} + \left(a^{6} + 9 a^{5} + 11 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{6} + 6 a^{5} + 3 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 19^{4} + \left(17 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 19^{5} + \left(6 a^{6} + 2 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})\) 12a^6 + 2a^5 + 8a^4 + 6a^3 + 16a^2 + 2a + 14 + (11a^6 + 5a^5 + 15a^4 + 4a^3 + 17a^2 + 16a + 7)19 + (2a^6 + 5a^5 + 11a^4 + 18a^3 + 8a^2 + 15a + 6)19^2 + (a^6 + 9a^5 + 11a^4 + 2a^3 + 2a^2 + 16a + 11)19^3 + (15a^6 + 6a^5 + 3a^4 + 18a^3 + 9a^2 + 18a + 1)19^4 + (17a^5 + 8a^4 + 11a^3 + 16a^2 + 2a + 12)19^5 + (6a^6 + 2a^5 + 14a^4 + 9a^3 + a^2 + 9a + 17)*19^6+O(19^7)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 13 a^{6} + 4 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 11 + \left(5 a^{6} + 16 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a^{2} + 1\right)\cdot 19 + \left(16 a^{6} + 5 a^{5} + 16 a^{4} + 9 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(15 a^{6} + 11 a^{5} + 16 a^{4} + 10 a + 2\right)\cdot 19^{3} + \left(11 a^{6} + a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 19^{4} + \left(3 a^{6} + 18 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 12 a + 7\right)\cdot 19^{5} + \left(14 a^{6} + 4 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})\) 13a^6 + 4a^5 + 7a^4 + a^3 + 3a^2 + 13a + 11 + (5a^6 + 16a^5 + 2a^4 + 12a^3 + 17a^2 + 1)19 + (16a^6 + 5a^5 + 16a^4 + 9a^3 + 13a^2 + 2a + 17)19^2 + (15a^6 + 11a^5 + 16a^4 + 10a + 2)19^3 + (11a^6 + a^5 + 3a^4 + 3a^3 + 6a^2 + 4a + 12)19^4 + (3a^6 + 18a^5 + a^4 + 2a^3 + 12a + 7)19^5 + (14a^6 + 4a^5 + 13a^4 + 3a^3 + 8a^2 + 2a + 13)*19^6+O(19^7)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 15 a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 11 + \left(14 a^{6} + 12 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a\right)\cdot 19 + \left(6 a^{6} + 6 a^{5} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 19^{2} + \left(14 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 19^{3} + \left(16 a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{3} + 18 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{6} + 10 a^{5} + a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 19^{5} + \left(16 a^{6} + 2 a^{5} + 14 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})\) 15a^6 + 12a^5 + 3a^4 + 2a^3 + 18a^2 + 5a + 11 + (14a^6 + 12a^4 + 14a^3 + 5a^2 + 6a)19 + (6a^6 + 6a^5 + 12a^4 + 13a^3 + 3a^2 + 12a + 12)19^2 + (14a^5 + 3a^4 + 12a^3 + 15a^2 + 5a + 12)19^3 + (16a^5 + 4a^4 + 14a^3 + 18a^2 + 7a + 2)19^4 + (14a^6 + 10a^5 + a^4 + 15a^3 + 2a^2 + 12a + 15)19^5 + (16a^6 + 2a^5 + 14a^4 + 8a^3 + 12a^2 + 3a + 1)19^6+O(19^7)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 16 a^{6} + 13 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 8 + \left(a^{6} + 9 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 19 + \left(6 a^{6} + 6 a^{5} + 17 a^{4} + 4 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 19^{2} + \left(15 a^{6} + 9 a^{5} + 2 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 19^{3} + \left(9 a^{6} + 18 a^{4} + 17 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{6} + 17 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{5} + \left(15 a^{6} + 14 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 15 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})\) 16a^6 + 13a^5 + 11a^4 + 3a^3 + 7a^2 + 5a + 8 + (a^6 + 9a^5 + 4a^4 + 4a^3 + 6a^2 + 17a + 15)19 + (6a^6 + 6a^5 + 17a^4 + 4a^3 + 5a^2 + 4a + 5)19^2 + (15a^6 + 9a^5 + 2a^4 + 14a^3 + 3a^2 + 7a + 16)19^3 + (9a^6 + 18a^4 + 17a^3 + 15a^2 + 14a + 6)19^4 + (14a^6 + 17a^5 + 2a^4 + 4a^3 + 17a + 12)19^5 + (15a^6 + 14a^5 + 3a^4 + 8a^3 + 15a^2 + 18a + 7)*19^6+O(19^7)
$r_{ 13 }$	$=$	\( 17 a^{6} + 15 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 18 + \left(5 a^{6} + 15 a^{5} + 7 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 19 + \left(11 a^{6} + 15 a^{5} + 17 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 19^{2} + \left(2 a^{6} + 2 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 14 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{6} + 12 a^{5} + 17 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + a + 18\right)\cdot 19^{4} + \left(18 a^{6} + 17 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 19^{5} + \left(17 a^{6} + 11 a^{5} + 8 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 17 a\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})\) 17a^6 + 15a^5 + a^4 + 2a^3 + 11a^2 + 16a + 18 + (5a^6 + 15a^5 + 7a^4 + 17a^3 + 16a^2 + 5a + 18)19 + (11a^6 + 15a^5 + 17a^3 + 10a^2 + 5a + 4)19^2 + (2a^6 + 2a^5 + 7a^4 + a^3 + 14a^2 + 17a + 5)19^3 + (15a^6 + 12a^5 + 17a^4 + 9a^3 + 9a^2 + a + 18)19^4 + (18a^6 + 17a^5 + 2a^4 + 2a^3 + 8a^2 + 4a + 6)19^5 + (17a^6 + 11a^5 + 8a^4 + 12a^3 + a^2 + 17a)*19^6+O(19^7)
$r_{ 14 }$	$=$	\( 18 a^{6} + 3 a^{5} + 12 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 2 + \left(11 a^{6} + 5 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 19 + \left(5 a^{6} + 17 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + 16 a\right)\cdot 19^{2} + \left(3 a^{6} + a^{5} + a^{4} + 14 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 19^{3} + \left(3 a^{6} + 17 a^{5} + 10 a^{4} + 18 a^{3} + a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(7 a^{6} + 18 a^{5} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 19^{5} + \left(2 a^{6} + 10 a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 19^{6} +O(19^{7})\) 18a^6 + 3a^5 + 12a^4 + 9a^3 + 5a^2 + 3a + 2 + (11a^6 + 5a^5 + 3a^4 + 8a^3 + 16a^2 + 12a + 13)19 + (5a^6 + 17a^4 + 13a^3 + 4a^2 + 16a)19^2 + (3a^6 + a^5 + a^4 + 14a^3 + 6a^2 + 8a + 6)19^3 + (3a^6 + 17a^5 + 10a^4 + 18a^3 + a^2 + 15a + 5)19^4 + (7a^6 + 18a^5 + 11a^3 + 16a^2 + 16a + 15)19^5 + (2a^6 + 10a^5 + 17a^4 + 14a^3 + 8a^2 + 13a + 14)*19^6+O(19^7)