Properties

Label 42.0.23335380566...1507.1
Degree $42$
Signature $[0, 21]$
Discriminant $-\,7^{28}\cdot 43^{39}$
Root discriminant $120.28$
Ramified primes $7, 43$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{42}$ (as 42T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^42 - 11*x^41 + 31*x^40 + 15*x^39 + 149*x^38 - 2171*x^37 + 5622*x^36 - 5813*x^35 + 17703*x^34 - 77949*x^33 + 215171*x^32 - 500434*x^31 + 1078714*x^30 - 3010069*x^29 + 7913255*x^28 - 11776682*x^27 + 16679313*x^26 - 87643658*x^25 + 355007978*x^24 - 761687128*x^23 + 908129906*x^22 - 907038305*x^21 + 2012009714*x^20 - 6104907919*x^19 + 18723809190*x^18 - 48743446573*x^17 + 87856746678*x^16 - 105007899193*x^15 + 97597592982*x^14 - 99989052476*x^13 + 101465465536*x^12 - 67260548547*x^11 + 47339909902*x^10 - 82545626769*x^9 + 101683114718*x^8 - 83757841269*x^7 + 103258810875*x^6 - 130872100909*x^5 + 93586325459*x^4 - 47886183228*x^3 + 41077962943*x^2 - 30874848118*x + 9042834947)
 
gp: K = bnfinit(x^42 - 11*x^41 + 31*x^40 + 15*x^39 + 149*x^38 - 2171*x^37 + 5622*x^36 - 5813*x^35 + 17703*x^34 - 77949*x^33 + 215171*x^32 - 500434*x^31 + 1078714*x^30 - 3010069*x^29 + 7913255*x^28 - 11776682*x^27 + 16679313*x^26 - 87643658*x^25 + 355007978*x^24 - 761687128*x^23 + 908129906*x^22 - 907038305*x^21 + 2012009714*x^20 - 6104907919*x^19 + 18723809190*x^18 - 48743446573*x^17 + 87856746678*x^16 - 105007899193*x^15 + 97597592982*x^14 - 99989052476*x^13 + 101465465536*x^12 - 67260548547*x^11 + 47339909902*x^10 - 82545626769*x^9 + 101683114718*x^8 - 83757841269*x^7 + 103258810875*x^6 - 130872100909*x^5 + 93586325459*x^4 - 47886183228*x^3 + 41077962943*x^2 - 30874848118*x + 9042834947, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![9042834947, -30874848118, 41077962943, -47886183228, 93586325459, -130872100909, 103258810875, -83757841269, 101683114718, -82545626769, 47339909902, -67260548547, 101465465536, -99989052476, 97597592982, -105007899193, 87856746678, -48743446573, 18723809190, -6104907919, 2012009714, -907038305, 908129906, -761687128, 355007978, -87643658, 16679313, -11776682, 7913255, -3010069, 1078714, -500434, 215171, -77949, 17703, -5813, 5622, -2171, 149, 15, 31, -11, 1]);
 

Normalized defining polynomial

\( x^{42} - 11 x^{41} + 31 x^{40} + 15 x^{39} + 149 x^{38} - 2171 x^{37} + 5622 x^{36} - 5813 x^{35} + 17703 x^{34} - 77949 x^{33} + 215171 x^{32} - 500434 x^{31} + 1078714 x^{30} - 3010069 x^{29} + 7913255 x^{28} - 11776682 x^{27} + 16679313 x^{26} - 87643658 x^{25} + 355007978 x^{24} - 761687128 x^{23} + 908129906 x^{22} - 907038305 x^{21} + 2012009714 x^{20} - 6104907919 x^{19} + 18723809190 x^{18} - 48743446573 x^{17} + 87856746678 x^{16} - 105007899193 x^{15} + 97597592982 x^{14} - 99989052476 x^{13} + 101465465536 x^{12} - 67260548547 x^{11} + 47339909902 x^{10} - 82545626769 x^{9} + 101683114718 x^{8} - 83757841269 x^{7} + 103258810875 x^{6} - 130872100909 x^{5} + 93586325459 x^{4} - 47886183228 x^{3} + 41077962943 x^{2} - 30874848118 x + 9042834947 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $42$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[0, 21]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(-2333538056680443170216809877092138324063458978840788486681774071870758537049156298101507=-\,7^{28}\cdot 43^{39}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $120.28$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $7, 43$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $42$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(301=7\cdot 43\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{301}(128,·)$, $\chi_{301}(1,·)$, $\chi_{301}(2,·)$, $\chi_{301}(4,·)$, $\chi_{301}(65,·)$, $\chi_{301}(8,·)$, $\chi_{301}(137,·)$, $\chi_{301}(11,·)$, $\chi_{301}(130,·)$, $\chi_{301}(256,·)$, $\chi_{301}(16,·)$, $\chi_{301}(274,·)$, $\chi_{301}(22,·)$, $\chi_{301}(151,·)$, $\chi_{301}(260,·)$, $\chi_{301}(156,·)$, $\chi_{301}(32,·)$, $\chi_{301}(39,·)$, $\chi_{301}(170,·)$, $\chi_{301}(44,·)$, $\chi_{301}(176,·)$, $\chi_{301}(51,·)$, $\chi_{301}(183,·)$, $\chi_{301}(64,·)$, $\chi_{301}(193,·)$, $\chi_{301}(204,·)$, $\chi_{301}(78,·)$, $\chi_{301}(207,·)$, $\chi_{301}(211,·)$, $\chi_{301}(85,·)$, $\chi_{301}(214,·)$, $\chi_{301}(88,·)$, $\chi_{301}(219,·)$, $\chi_{301}(226,·)$, $\chi_{301}(102,·)$, $\chi_{301}(107,·)$, $\chi_{301}(113,·)$, $\chi_{301}(242,·)$, $\chi_{301}(247,·)$, $\chi_{301}(121,·)$, $\chi_{301}(254,·)$, $\chi_{301}(127,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $a^{36}$, $\frac{1}{337} a^{37} + \frac{83}{337} a^{36} + \frac{119}{337} a^{35} - \frac{44}{337} a^{34} - \frac{149}{337} a^{33} + \frac{41}{337} a^{32} - \frac{157}{337} a^{31} + \frac{73}{337} a^{30} + \frac{167}{337} a^{29} + \frac{106}{337} a^{28} - \frac{140}{337} a^{27} - \frac{167}{337} a^{26} + \frac{150}{337} a^{25} + \frac{137}{337} a^{24} + \frac{83}{337} a^{23} - \frac{35}{337} a^{22} + \frac{141}{337} a^{21} + \frac{47}{337} a^{20} + \frac{114}{337} a^{19} + \frac{113}{337} a^{18} + \frac{75}{337} a^{17} - \frac{91}{337} a^{16} + \frac{166}{337} a^{15} + \frac{41}{337} a^{14} - \frac{152}{337} a^{13} + \frac{117}{337} a^{12} - \frac{23}{337} a^{11} - \frac{46}{337} a^{10} - \frac{123}{337} a^{9} + \frac{96}{337} a^{8} + \frac{94}{337} a^{7} + \frac{117}{337} a^{6} - \frac{47}{337} a^{5} - \frac{145}{337} a^{4} - \frac{35}{337} a^{3} + \frac{110}{337} a^{2} - \frac{129}{337} a + \frac{71}{337}$, $\frac{1}{84587} a^{38} - \frac{22}{84587} a^{37} - \frac{10281}{84587} a^{36} + \frac{4985}{84587} a^{35} + \frac{32442}{84587} a^{34} + \frac{7598}{84587} a^{33} - \frac{22323}{84587} a^{32} - \frac{14446}{84587} a^{31} + \frac{24854}{84587} a^{30} - \frac{17092}{84587} a^{29} - \frac{42274}{84587} a^{28} + \frac{8467}{84587} a^{27} + \frac{5216}{84587} a^{26} + \frac{9325}{84587} a^{25} + \frac{5244}{84587} a^{24} - \frac{36721}{84587} a^{23} - \frac{22470}{84587} a^{22} + \frac{17257}{84587} a^{21} + \frac{34608}{84587} a^{20} - \frac{17923}{84587} a^{19} + \frac{20899}{84587} a^{18} + \frac{39214}{84587} a^{17} + \frac{14439}{84587} a^{16} + \frac{38890}{84587} a^{15} + \frac{28906}{84587} a^{14} + \frac{20121}{84587} a^{13} - \frac{5568}{84587} a^{12} + \frac{15512}{84587} a^{11} - \frac{31015}{84587} a^{10} + \frac{7956}{84587} a^{9} + \frac{13604}{84587} a^{8} + \frac{28328}{84587} a^{7} - \frac{22779}{84587} a^{6} + \frac{11193}{84587} a^{5} - \frac{33675}{84587} a^{4} - \frac{933}{84587} a^{3} - \frac{20778}{84587} a^{2} + \frac{22715}{84587} a + \frac{14787}{84587}$, $\frac{1}{1744091421023249} a^{39} + \frac{6002678012}{1744091421023249} a^{38} + \frac{1261619063676}{1744091421023249} a^{37} + \frac{407043669912976}{1744091421023249} a^{36} + \frac{2819756335677}{1744091421023249} a^{35} - \frac{355293810027673}{1744091421023249} a^{34} - \frac{87455754300957}{1744091421023249} a^{33} + \frac{808897253512992}{1744091421023249} a^{32} - \frac{258991936282850}{1744091421023249} a^{31} + \frac{426966805727161}{1744091421023249} a^{30} - \frac{237512242123769}{1744091421023249} a^{29} + \frac{557763975630923}{1744091421023249} a^{28} + \frac{320451456512828}{1744091421023249} a^{27} - \frac{618538654617230}{1744091421023249} a^{26} + \frac{5066411768737}{1744091421023249} a^{25} + \frac{366576915917628}{1744091421023249} a^{24} - \frac{187488780099930}{1744091421023249} a^{23} + \frac{804708238194396}{1744091421023249} a^{22} + \frac{354795532741723}{1744091421023249} a^{21} - \frac{869287891762369}{1744091421023249} a^{20} - \frac{225587811249473}{1744091421023249} a^{19} + \frac{128430945426788}{1744091421023249} a^{18} + \frac{395079880039544}{1744091421023249} a^{17} + \frac{504514888289626}{1744091421023249} a^{16} - \frac{821956349092599}{1744091421023249} a^{15} - \frac{738953494198687}{1744091421023249} a^{14} - \frac{755660907837977}{1744091421023249} a^{13} - \frac{854105875346853}{1744091421023249} a^{12} + \frac{555191232186713}{1744091421023249} a^{11} + \frac{675984304095620}{1744091421023249} a^{10} + \frac{252622714445955}{1744091421023249} a^{9} - \frac{854986080701802}{1744091421023249} a^{8} - \frac{558655499254597}{1744091421023249} a^{7} - \frac{681540335262451}{1744091421023249} a^{6} + \frac{335373309336563}{1744091421023249} a^{5} - \frac{692466245559277}{1744091421023249} a^{4} + \frac{14901982856660}{1744091421023249} a^{3} + \frac{138969006411012}{1744091421023249} a^{2} - \frac{831437809048532}{1744091421023249} a + \frac{161158348300817}{1744091421023249}$, $\frac{1}{9451231410524986331} a^{40} + \frac{384}{9451231410524986331} a^{39} + \frac{8315592999579}{9451231410524986331} a^{38} + \frac{13990287113421958}{9451231410524986331} a^{37} - \frac{3270543104462243488}{9451231410524986331} a^{36} + \frac{126575242068191584}{9451231410524986331} a^{35} + \frac{2153072240736464496}{9451231410524986331} a^{34} + \frac{2469003903114875402}{9451231410524986331} a^{33} + \frac{2310450090693531421}{9451231410524986331} a^{32} - \frac{1442873177625059661}{9451231410524986331} a^{31} + \frac{611827977559847376}{9451231410524986331} a^{30} + \frac{228347464149711109}{9451231410524986331} a^{29} - \frac{1698226152580556525}{9451231410524986331} a^{28} + \frac{4586788895623587650}{9451231410524986331} a^{27} + \frac{438845075380232496}{9451231410524986331} a^{26} - \frac{3479801468120646458}{9451231410524986331} a^{25} - \frac{3298490748319246990}{9451231410524986331} a^{24} - \frac{1144164314472898895}{9451231410524986331} a^{23} + \frac{221037749804037999}{9451231410524986331} a^{22} - \frac{2907271488582268348}{9451231410524986331} a^{21} - \frac{3921797180468012962}{9451231410524986331} a^{20} - \frac{3581477518031837830}{9451231410524986331} a^{19} + \frac{6959866050887030}{37654308408466081} a^{18} + \frac{1961084478323890022}{9451231410524986331} a^{17} + \frac{3978993429467930714}{9451231410524986331} a^{16} + \frac{2157436738014430792}{9451231410524986331} a^{15} + \frac{3581469965631202023}{9451231410524986331} a^{14} - \frac{2006204940874994824}{9451231410524986331} a^{13} + \frac{53590008107987381}{9451231410524986331} a^{12} + \frac{3846483098603956785}{9451231410524986331} a^{11} - \frac{2656274656058457546}{9451231410524986331} a^{10} + \frac{51533816166492212}{119635840639556789} a^{9} + \frac{3939141549855722797}{9451231410524986331} a^{8} - \frac{1876571385425550983}{9451231410524986331} a^{7} + \frac{1824756287153046227}{9451231410524986331} a^{6} - \frac{3479197262524536322}{9451231410524986331} a^{5} - \frac{1927188258367458837}{9451231410524986331} a^{4} + \frac{2976807453857945919}{9451231410524986331} a^{3} - \frac{4183064940494119745}{9451231410524986331} a^{2} + \frac{3285214322175730309}{9451231410524986331} a - \frac{4596095673836531832}{9451231410524986331}$, $\frac{1}{52283354437109696795967092029625976390559032938545235967807501948663986882079310269054797424460332752060052386555380773350095656980804926351657553678608854839971137935795863037274519282632252874845574285548016834950801469109261} a^{41} - \frac{611159688915586959680307334832698821375208085128946183778511592244335056335925603681471323826024633464543139361283721853972118383114118188133904417308767457085871730161471400261923615064036399906903598137778}{52283354437109696795967092029625976390559032938545235967807501948663986882079310269054797424460332752060052386555380773350095656980804926351657553678608854839971137935795863037274519282632252874845574285548016834950801469109261} a^{40} + \frac{4930226080803151913890857237225382134462588160369754097353724270348276480926447205171309573575646396940321757615873021573501621648672422091625147141469472097975026818000059444876219326869197263137871898025320818}{52283354437109696795967092029625976390559032938545235967807501948663986882079310269054797424460332752060052386555380773350095656980804926351657553678608854839971137935795863037274519282632252874845574285548016834950801469109261} a^{39} - \frac{220670404186177429333061949929356375899460038464206643461522660310194469098888895115795989479889530545335591856637000699201324831338547302860811883038250018274471199437237245334022843887363383507346253909873184363841436950}{52283354437109696795967092029625976390559032938545235967807501948663986882079310269054797424460332752060052386555380773350095656980804926351657553678608854839971137935795863037274519282632252874845574285548016834950801469109261} a^{38} + \frac{70829686446216398859311814080425852993155784215683976306870178823385784363455786884920273572292718204249866200508155864750684155298908529875014786130972972546719441461534999859158144039335852917782237169532093850686189947218}{52283354437109696795967092029625976390559032938545235967807501948663986882079310269054797424460332752060052386555380773350095656980804926351657553678608854839971137935795863037274519282632252874845574285548016834950801469109261} a^{37} - \frac{2237618491338428347313530164382664646142077200767936568100133298573973406804496081149585599880399098961650602845676316100260398220025772830220727100865070812342918948259004946967047849971560107973124603465156268096064019247841}{52283354437109696795967092029625976390559032938545235967807501948663986882079310269054797424460332752060052386555380773350095656980804926351657553678608854839971137935795863037274519282632252874845574285548016834950801469109261} a^{36} - \frac{5631366294185964911260756035172747980386501095101573464494098111710759034081474849227079712645174776190076240413357463738682832732306127201468562816554471478017542192900876486720114626679921371087946822106948823881627871044869}{52283354437109696795967092029625976390559032938545235967807501948663986882079310269054797424460332752060052386555380773350095656980804926351657553678608854839971137935795863037274519282632252874845574285548016834950801469109261} a^{35} + \frac{19354781157726085993247562887305045148680576190002402044990412535264565855548673977525155865871903415553296522349868687207756019491330213246087942788651947526296390559404363321914850864613627743041427886051352586897235203869770}{52283354437109696795967092029625976390559032938545235967807501948663986882079310269054797424460332752060052386555380773350095656980804926351657553678608854839971137935795863037274519282632252874845574285548016834950801469109261} a^{34} - \frac{10033091919540225043253118196973824274889790469342020792921351921954390428717993218059344193155669450534773316104443531332091378802529858419036538301243069547264597847756899901430885672777166769929010712926486706911755599288393}{52283354437109696795967092029625976390559032938545235967807501948663986882079310269054797424460332752060052386555380773350095656980804926351657553678608854839971137935795863037274519282632252874845574285548016834950801469109261} a^{33} - \frac{19460844223842339530735397758492102863995224265069338040770893666275301211007682956780017865287477129973383893660734485978772592225071926595534846115443860613977422854896679313276607973427412365417921558026827712130689022196071}{52283354437109696795967092029625976390559032938545235967807501948663986882079310269054797424460332752060052386555380773350095656980804926351657553678608854839971137935795863037274519282632252874845574285548016834950801469109261} a^{32} - \frac{977441414817421979003669983220797063524874941721981202056185967973253528695584661559926157540390590020869527217054011102957396082091223449820717536643189616513641511776931560394619346570857405256631303756085360435644862233973}{52283354437109696795967092029625976390559032938545235967807501948663986882079310269054797424460332752060052386555380773350095656980804926351657553678608854839971137935795863037274519282632252874845574285548016834950801469109261} a^{31} - \frac{12581757013025911653405195068760495327910494108640685729240388971709180694050119579161163263875736613608932167946161731745278181357593600212832126154056513577733972783070682082769761507800693515650191508917723486663136745566952}{52283354437109696795967092029625976390559032938545235967807501948663986882079310269054797424460332752060052386555380773350095656980804926351657553678608854839971137935795863037274519282632252874845574285548016834950801469109261} a^{30} + \frac{13565285230734300707263971044613173752557415991416069492755662796179684343762593853408636706761389016642708957030636420712155814601109244073917416426590002766291528739363986419240104957516166916480380172599957810185581742582275}{52283354437109696795967092029625976390559032938545235967807501948663986882079310269054797424460332752060052386555380773350095656980804926351657553678608854839971137935795863037274519282632252874845574285548016834950801469109261} a^{29} + \frac{22679395052705067223873265496771357634168463495594090924699328394854423894160739496393660336411379548233547279251024863717227569516139326763913800394419938255414257837624912490001125376797299786253950463708267778418653492415153}{52283354437109696795967092029625976390559032938545235967807501948663986882079310269054797424460332752060052386555380773350095656980804926351657553678608854839971137935795863037274519282632252874845574285548016834950801469109261} a^{28} - \frac{19407911408705417155223474599239323945018487518926892070440834554769473528093892020662174299010844784474049721444703167718415412224827878666301305495674171800361333861446585727015040323771468716635575198711050609666265299477}{661814613127970845518570785185138941652645986563863746427943062641316289646573547709554397777978895595696865652599756624684755151655758561413386755425428542278115670073365354902209104843446238922095877032253377657605081887459} a^{27} - \frac{2194605883222483319560059169658535784905196050157320677701785598847741859379591402346987695320715191887905536784596855257161958980532445728055022854105387789822797607142989783230973115604684965340928403178003686440731754490939}{52283354437109696795967092029625976390559032938545235967807501948663986882079310269054797424460332752060052386555380773350095656980804926351657553678608854839971137935795863037274519282632252874845574285548016834950801469109261} a^{26} - \frac{23437996120492685259240490998623946587390136117764016197233859194190439197473176848537658972561530365836447593617999547454645090466387046853103750464423788719700405249310992417230332427069059058406636009957171323922613815155164}{52283354437109696795967092029625976390559032938545235967807501948663986882079310269054797424460332752060052386555380773350095656980804926351657553678608854839971137935795863037274519282632252874845574285548016834950801469109261} a^{25} - \frac{24207498270511071124022647753408179088964597881699699162786696163654371909018884130499887337397791689767704456797683220066052409099634288605880740911725102316978021253607662338035643752845417433064754274916527157379480972535966}{52283354437109696795967092029625976390559032938545235967807501948663986882079310269054797424460332752060052386555380773350095656980804926351657553678608854839971137935795863037274519282632252874845574285548016834950801469109261} a^{24} - \frac{21479935827617408798221666613750945281461309293866803676029712305118663194399990589331072079362933014208288511595108608369625464508067685313986228968173680597968761728815055063050583127802070411581255905160927102165649320090709}{52283354437109696795967092029625976390559032938545235967807501948663986882079310269054797424460332752060052386555380773350095656980804926351657553678608854839971137935795863037274519282632252874845574285548016834950801469109261} a^{23} + \frac{12134384957417610793597805315456348830046091246772857388098671452279883078272691368528237999523766616176532421715599727384596327863310042165841198667278693451175551227592274854226876655951882081522814171311983945484853859036013}{52283354437109696795967092029625976390559032938545235967807501948663986882079310269054797424460332752060052386555380773350095656980804926351657553678608854839971137935795863037274519282632252874845574285548016834950801469109261} a^{22} - \frac{20872106740745070384460193708886175914022765372145909348441423111344970638358850972193333866130242834796519748977316714575664587248489892513212599911839676966194601232815656827548341342142205905636563239975821070082401147574918}{52283354437109696795967092029625976390559032938545235967807501948663986882079310269054797424460332752060052386555380773350095656980804926351657553678608854839971137935795863037274519282632252874845574285548016834950801469109261} a^{21} + \frac{8398457572500640272214461151383078312734538055943323185164923906578864830371567372004000319389214955611803367181138462421374549504666994276333183488264759281035850685344624846343112028920859318096615049603963255615929889765795}{52283354437109696795967092029625976390559032938545235967807501948663986882079310269054797424460332752060052386555380773350095656980804926351657553678608854839971137935795863037274519282632252874845574285548016834950801469109261} a^{20} + \frac{12772910124202524785243488785231910657695025036553834642353665996504217773560791641851642846487572366131434412893046717940298248041215864497246175466654557343390498492997262454101507493375354160106155075657085881699400077193546}{52283354437109696795967092029625976390559032938545235967807501948663986882079310269054797424460332752060052386555380773350095656980804926351657553678608854839971137935795863037274519282632252874845574285548016834950801469109261} a^{19} + \frac{2684570726113000739665098708457706035718250267262267925406142615983720557446072958305431505859903726799263486480866499456310915509420026733750070950964263854627990142382663337816297328409881565162085215131657491683162836416148}{52283354437109696795967092029625976390559032938545235967807501948663986882079310269054797424460332752060052386555380773350095656980804926351657553678608854839971137935795863037274519282632252874845574285548016834950801469109261} a^{18} - \frac{10078870426686986059497876283795594459859947564740677783347378818937717507437530962178496669018671774348594494085689596916507326282129044951247867851046458514989290222099112500218714403373329653089591321178517088980882323756674}{52283354437109696795967092029625976390559032938545235967807501948663986882079310269054797424460332752060052386555380773350095656980804926351657553678608854839971137935795863037274519282632252874845574285548016834950801469109261} a^{17} + \frac{8696976408557235603129889541190110491131616167026950988402120475117178257561317091623587564208016467433698726417498743326526444680872758468175228523357840689462712925572671768201671093446855245274296450888921100784114838313233}{52283354437109696795967092029625976390559032938545235967807501948663986882079310269054797424460332752060052386555380773350095656980804926351657553678608854839971137935795863037274519282632252874845574285548016834950801469109261} a^{16} + \frac{89047405550125635843318415812738518308841238399898153878218301396897380037140372828533512637306182641508365654434900533678312756109094320017554281975591532154753636528918587371146495679690488449054518081424804181571641543720}{208300216880915126677159729201697117093860688998188191106802796608223055307088885534082858264782202199442439787073230172709544450122728790245647624217565158724984613290023358714241112679809772409743323846804847948011161231511} a^{15} + \frac{23704787231363420150837711798845597316012109492149374820428935341209363690261266291308807007106426505080318023619932051537756502578164231125361777912208348878759042358256287973939232907614623698169528807685315489103157956609452}{52283354437109696795967092029625976390559032938545235967807501948663986882079310269054797424460332752060052386555380773350095656980804926351657553678608854839971137935795863037274519282632252874845574285548016834950801469109261} a^{14} + \frac{5261877656982649329193722010291327425881609374643081004591916229658967649855959496550883710296133020773252894302799568569931645779668396108449859502686238075710177864431365093236888262457760261824398226974516542818774342873762}{52283354437109696795967092029625976390559032938545235967807501948663986882079310269054797424460332752060052386555380773350095656980804926351657553678608854839971137935795863037274519282632252874845574285548016834950801469109261} a^{13} + \frac{24041680676886088028649258199231622976244230682432004053321109777247039236510128614781885833082149263527125395781338632046927558608850087150281929882457150877113626281761217298927744793730796183873914840547212872933443702053948}{52283354437109696795967092029625976390559032938545235967807501948663986882079310269054797424460332752060052386555380773350095656980804926351657553678608854839971137935795863037274519282632252874845574285548016834950801469109261} a^{12} + \frac{10509356443011001653354722428894299426346541829814659081919804936786515239131802734812507033889102468621374795622522465339230237421845557745549017813275621992166321580611167203012453498815246024431877868932195161465907416377956}{52283354437109696795967092029625976390559032938545235967807501948663986882079310269054797424460332752060052386555380773350095656980804926351657553678608854839971137935795863037274519282632252874845574285548016834950801469109261} a^{11} + \frac{17607806766055146112769874367451868651773657978757120876287943715251675186039266455507095710561507481440264512093465719325838956050371598607405355164597238112313229807554349831335425599763838082936911315934942235033627952909330}{52283354437109696795967092029625976390559032938545235967807501948663986882079310269054797424460332752060052386555380773350095656980804926351657553678608854839971137935795863037274519282632252874845574285548016834950801469109261} a^{10} - \frac{9639050280937281215831770174497221834607630660979893648669684436068006813763450852255120985403496505921536613631168487663735762095116147550321484440199560151291850665711840455624731420300220473251221157681285247734677467540220}{52283354437109696795967092029625976390559032938545235967807501948663986882079310269054797424460332752060052386555380773350095656980804926351657553678608854839971137935795863037274519282632252874845574285548016834950801469109261} a^{9} + \frac{19893817446664567426646330284894102589872681240166138080028059178354296089509972450542346363137937002183879911540701033066774798973960183404297559325965095559419488667273046998471399494671673339818786212890393313058235950391494}{52283354437109696795967092029625976390559032938545235967807501948663986882079310269054797424460332752060052386555380773350095656980804926351657553678608854839971137935795863037274519282632252874845574285548016834950801469109261} a^{8} - \frac{1435773175257769747088640014749875940702043819262075840816232908644587177072411287136289314655836712597810053931051146995889319769783452015368547160038356892613923030565557411902409746535674473413040601996053476149468236205554}{52283354437109696795967092029625976390559032938545235967807501948663986882079310269054797424460332752060052386555380773350095656980804926351657553678608854839971137935795863037274519282632252874845574285548016834950801469109261} a^{7} - \frac{4588151392909564412646344018315889904966732005396902378646454591078857260336144692357776682068531970805078583809733130771158040231789868112984242729776350154132801052767280926835970910188480474590150074614856703100424318124816}{52283354437109696795967092029625976390559032938545235967807501948663986882079310269054797424460332752060052386555380773350095656980804926351657553678608854839971137935795863037274519282632252874845574285548016834950801469109261} a^{6} - \frac{4173982384939026951571266778198608407205450221363192601209745852089021354205507878910975639365407057328611932690724758011940681875180307272978802635226721596686218657869802169895851618830956779105459495690764781425868411817889}{52283354437109696795967092029625976390559032938545235967807501948663986882079310269054797424460332752060052386555380773350095656980804926351657553678608854839971137935795863037274519282632252874845574285548016834950801469109261} a^{5} - \frac{3950235760730397194012787325648355470622166900666460706994755110202065917799378624645723338283054677588734623560880109142769623349241293304236274993309801838833947468108864225079068731185713132723506696555199162182642698331840}{52283354437109696795967092029625976390559032938545235967807501948663986882079310269054797424460332752060052386555380773350095656980804926351657553678608854839971137935795863037274519282632252874845574285548016834950801469109261} a^{4} - \frac{12407422704653038887568431679031718664647147813039433063459814190483429939020620649851616235749938322369860785463091525178913708523424620308191638240791664640037104384429036918019254893271846229374516575975780640136822157843025}{52283354437109696795967092029625976390559032938545235967807501948663986882079310269054797424460332752060052386555380773350095656980804926351657553678608854839971137935795863037274519282632252874845574285548016834950801469109261} a^{3} + \frac{25108855400806952007641857688685779500368704691559668349688897115181599266356956708471592423714645937578815042148177245322487748331358247514622051253638553296512614364638387208107450067790756685358844153379205497750509438064848}{52283354437109696795967092029625976390559032938545235967807501948663986882079310269054797424460332752060052386555380773350095656980804926351657553678608854839971137935795863037274519282632252874845574285548016834950801469109261} a^{2} + \frac{22209245904781804287975602557948266592845852300078865362601913192270036272812469173993230194964945198888393780654080022165830472163120170175431160073588376299783674594266503332587805777296302959021533295502312130158640678578929}{52283354437109696795967092029625976390559032938545235967807501948663986882079310269054797424460332752060052386555380773350095656980804926351657553678608854839971137935795863037274519282632252874845574285548016834950801469109261} a + \frac{25366914659459348067645865572225079002697795053630347744432444587616671414123925639179208716391449532909797723101285328438189383912433812500463057331627845578970833637375882461343590044062475346517959568601426470689905773301525}{52283354437109696795967092029625976390559032938545235967807501948663986882079310269054797424460332752060052386555380773350095656980804926351657553678608854839971137935795863037274519282632252874845574285548016834950801469109261}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

Not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $20$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  Not computed
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  Not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Galois group

$C_{42}$ (as 42T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
A cyclic group of order 42
The 42 conjugacy class representatives for $C_{42}$
Character table for $C_{42}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-43}) \), \(\Q(\zeta_{7})^+\), 6.0.190896307.1, 7.7.6321363049.1, 14.0.1718264124282290785243.1, 21.21.171318696215827426793735775028238670573001.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $42$ $42$ $42$ R $21^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/13.7.0.1}{7} }^{6}$ $21^{2}$ $42$ $21^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/29.14.0.1}{14} }^{3}$ $21^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/37.6.0.1}{6} }^{7}$ ${\href{/LocalNumberField/41.7.0.1}{7} }^{6}$ R $21^{2}$ $21^{2}$ $21^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
$7$7.6.4.3$x^{6} + 56 x^{3} + 1323$$3$$2$$4$$C_6$$[\ ]_{3}^{2}$
7.6.4.3$x^{6} + 56 x^{3} + 1323$$3$$2$$4$$C_6$$[\ ]_{3}^{2}$
7.6.4.3$x^{6} + 56 x^{3} + 1323$$3$$2$$4$$C_6$$[\ ]_{3}^{2}$
7.6.4.3$x^{6} + 56 x^{3} + 1323$$3$$2$$4$$C_6$$[\ ]_{3}^{2}$
7.6.4.3$x^{6} + 56 x^{3} + 1323$$3$$2$$4$$C_6$$[\ ]_{3}^{2}$
7.6.4.3$x^{6} + 56 x^{3} + 1323$$3$$2$$4$$C_6$$[\ ]_{3}^{2}$
7.6.4.3$x^{6} + 56 x^{3} + 1323$$3$$2$$4$$C_6$$[\ ]_{3}^{2}$
$43$43.14.13.11$x^{14} + 205667667$$14$$1$$13$$C_{14}$$[\ ]_{14}$
43.14.13.11$x^{14} + 205667667$$14$$1$$13$$C_{14}$$[\ ]_{14}$
43.14.13.11$x^{14} + 205667667$$14$$1$$13$$C_{14}$$[\ ]_{14}$