Properties

Label 42.0.213...363.1
Degree $42$
Signature $[0, 21]$
Discriminant $-2.131\times 10^{86}$
Root discriminant $113.62$
Ramified primes $3, 7, 29$
Class number not computed
Class group not computed
Galois group $C_{42}$ (as 42T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^42 - 4*x^41 + 62*x^40 - 200*x^39 + 2132*x^38 - 6208*x^37 + 46584*x^36 - 115568*x^35 + 701352*x^34 - 1537594*x^33 + 7769821*x^32 - 14875116*x^31 + 64656220*x^30 - 109927490*x^29 + 414171141*x^28 - 618138014*x^27 + 2041345075*x^26 - 2683015728*x^25 + 7816607585*x^24 - 8902561137*x^23 + 22976431713*x^22 - 22760113866*x^21 + 52536783259*x^20 - 45434427911*x^19 + 92226880868*x^18 - 71336683352*x^17 + 125874997329*x^16 - 89801104142*x^15 + 131144820279*x^14 - 89289000509*x^13 + 106600416700*x^12 - 67935846970*x^11 + 65774842016*x^10 - 38731708226*x^9 + 30551737937*x^8 - 15767508635*x^7 + 9878705051*x^6 - 4297296085*x^5 + 2147704850*x^4 - 731044046*x^3 + 251922248*x^2 - 47762400*x + 8082649)
 
gp: K = bnfinit(x^42 - 4*x^41 + 62*x^40 - 200*x^39 + 2132*x^38 - 6208*x^37 + 46584*x^36 - 115568*x^35 + 701352*x^34 - 1537594*x^33 + 7769821*x^32 - 14875116*x^31 + 64656220*x^30 - 109927490*x^29 + 414171141*x^28 - 618138014*x^27 + 2041345075*x^26 - 2683015728*x^25 + 7816607585*x^24 - 8902561137*x^23 + 22976431713*x^22 - 22760113866*x^21 + 52536783259*x^20 - 45434427911*x^19 + 92226880868*x^18 - 71336683352*x^17 + 125874997329*x^16 - 89801104142*x^15 + 131144820279*x^14 - 89289000509*x^13 + 106600416700*x^12 - 67935846970*x^11 + 65774842016*x^10 - 38731708226*x^9 + 30551737937*x^8 - 15767508635*x^7 + 9878705051*x^6 - 4297296085*x^5 + 2147704850*x^4 - 731044046*x^3 + 251922248*x^2 - 47762400*x + 8082649, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![8082649, -47762400, 251922248, -731044046, 2147704850, -4297296085, 9878705051, -15767508635, 30551737937, -38731708226, 65774842016, -67935846970, 106600416700, -89289000509, 131144820279, -89801104142, 125874997329, -71336683352, 92226880868, -45434427911, 52536783259, -22760113866, 22976431713, -8902561137, 7816607585, -2683015728, 2041345075, -618138014, 414171141, -109927490, 64656220, -14875116, 7769821, -1537594, 701352, -115568, 46584, -6208, 2132, -200, 62, -4, 1]);
 

\( x^{42} - 4 x^{41} + 62 x^{40} - 200 x^{39} + 2132 x^{38} - 6208 x^{37} + 46584 x^{36} - 115568 x^{35} + 701352 x^{34} - 1537594 x^{33} + 7769821 x^{32} - 14875116 x^{31} + 64656220 x^{30} - 109927490 x^{29} + 414171141 x^{28} - 618138014 x^{27} + 2041345075 x^{26} - 2683015728 x^{25} + 7816607585 x^{24} - 8902561137 x^{23} + 22976431713 x^{22} - 22760113866 x^{21} + 52536783259 x^{20} - 45434427911 x^{19} + 92226880868 x^{18} - 71336683352 x^{17} + 125874997329 x^{16} - 89801104142 x^{15} + 131144820279 x^{14} - 89289000509 x^{13} + 106600416700 x^{12} - 67935846970 x^{11} + 65774842016 x^{10} - 38731708226 x^{9} + 30551737937 x^{8} - 15767508635 x^{7} + 9878705051 x^{6} - 4297296085 x^{5} + 2147704850 x^{4} - 731044046 x^{3} + 251922248 x^{2} - 47762400 x + 8082649 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $42$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[0, 21]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(-21\!\cdots\!363\)\(\medspace = -\,3^{21}\cdot 7^{28}\cdot 29^{36}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $113.62$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $3, 7, 29$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $42$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(609=3\cdot 7\cdot 29\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{609}(256,·)$, $\chi_{609}(1,·)$, $\chi_{609}(23,·)$, $\chi_{609}(268,·)$, $\chi_{609}(16,·)$, $\chi_{609}(529,·)$, $\chi_{609}(277,·)$, $\chi_{609}(407,·)$, $\chi_{609}(25,·)$, $\chi_{609}(284,·)$, $\chi_{609}(547,·)$, $\chi_{609}(422,·)$, $\chi_{609}(169,·)$, $\chi_{609}(170,·)$, $\chi_{609}(431,·)$, $\chi_{609}(436,·)$, $\chi_{609}(53,·)$, $\chi_{609}(310,·)$, $\chi_{609}(442,·)$, $\chi_{609}(571,·)$, $\chi_{609}(190,·)$, $\chi_{609}(575,·)$, $\chi_{609}(65,·)$, $\chi_{609}(197,·)$, $\chi_{609}(326,·)$, $\chi_{609}(74,·)$, $\chi_{609}(401,·)$, $\chi_{609}(596,·)$, $\chi_{609}(88,·)$, $\chi_{609}(604,·)$, $\chi_{609}(344,·)$, $\chi_{609}(400,·)$, $\chi_{609}(226,·)$, $\chi_{609}(484,·)$, $\chi_{609}(487,·)$, $\chi_{609}(233,·)$, $\chi_{609}(107,·)$, $\chi_{609}(494,·)$, $\chi_{609}(239,·)$, $\chi_{609}(368,·)$, $\chi_{609}(373,·)$$\chi_{609}(281,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $\frac{1}{17} a^{36} + \frac{5}{17} a^{35} - \frac{6}{17} a^{34} + \frac{7}{17} a^{33} - \frac{3}{17} a^{32} + \frac{1}{17} a^{31} - \frac{1}{17} a^{30} - \frac{7}{17} a^{29} - \frac{3}{17} a^{28} - \frac{8}{17} a^{27} + \frac{5}{17} a^{26} - \frac{6}{17} a^{25} - \frac{1}{17} a^{24} + \frac{8}{17} a^{23} + \frac{2}{17} a^{22} + \frac{4}{17} a^{21} + \frac{3}{17} a^{20} - \frac{3}{17} a^{19} + \frac{8}{17} a^{18} + \frac{6}{17} a^{16} + \frac{8}{17} a^{15} + \frac{7}{17} a^{14} + \frac{2}{17} a^{13} + \frac{5}{17} a^{12} + \frac{1}{17} a^{11} + \frac{6}{17} a^{10} + \frac{5}{17} a^{9} + \frac{1}{17} a^{7} - \frac{7}{17} a^{6} - \frac{7}{17} a^{5} - \frac{7}{17} a^{3} - \frac{7}{17} a^{2} + \frac{8}{17} a + \frac{1}{17}$, $\frac{1}{17} a^{37} + \frac{3}{17} a^{35} + \frac{3}{17} a^{34} - \frac{4}{17} a^{33} - \frac{1}{17} a^{32} - \frac{6}{17} a^{31} - \frac{2}{17} a^{30} - \frac{2}{17} a^{29} + \frac{7}{17} a^{28} - \frac{6}{17} a^{27} + \frac{3}{17} a^{26} - \frac{5}{17} a^{25} - \frac{4}{17} a^{24} - \frac{4}{17} a^{23} - \frac{6}{17} a^{22} - \frac{1}{17} a^{20} + \frac{6}{17} a^{19} - \frac{6}{17} a^{18} + \frac{6}{17} a^{17} - \frac{5}{17} a^{16} + \frac{1}{17} a^{15} + \frac{1}{17} a^{14} - \frac{5}{17} a^{13} - \frac{7}{17} a^{12} + \frac{1}{17} a^{11} - \frac{8}{17} a^{10} - \frac{8}{17} a^{9} + \frac{1}{17} a^{8} + \frac{5}{17} a^{7} - \frac{6}{17} a^{6} + \frac{1}{17} a^{5} - \frac{7}{17} a^{4} - \frac{6}{17} a^{3} - \frac{8}{17} a^{2} - \frac{5}{17} a - \frac{5}{17}$, $\frac{1}{697} a^{38} - \frac{20}{697} a^{37} - \frac{6}{697} a^{36} + \frac{3}{41} a^{35} + \frac{109}{697} a^{34} + \frac{322}{697} a^{33} + \frac{1}{17} a^{32} - \frac{282}{697} a^{31} + \frac{319}{697} a^{30} + \frac{195}{697} a^{29} + \frac{18}{41} a^{28} + \frac{42}{697} a^{27} + \frac{264}{697} a^{26} - \frac{258}{697} a^{25} + \frac{18}{41} a^{24} + \frac{19}{697} a^{23} - \frac{4}{41} a^{22} + \frac{48}{697} a^{21} + \frac{101}{697} a^{20} + \frac{20}{697} a^{19} + \frac{156}{697} a^{18} + \frac{300}{697} a^{17} + \frac{200}{697} a^{16} + \frac{4}{17} a^{15} - \frac{20}{697} a^{14} + \frac{58}{697} a^{13} + \frac{147}{697} a^{12} - \frac{173}{697} a^{11} - \frac{174}{697} a^{10} + \frac{269}{697} a^{9} + \frac{2}{697} a^{8} + \frac{242}{697} a^{7} + \frac{65}{697} a^{6} + \frac{274}{697} a^{5} - \frac{87}{697} a^{4} - \frac{335}{697} a^{3} - \frac{139}{697} a^{2} + \frac{40}{697} a + \frac{91}{697}$, $\frac{1}{697} a^{39} + \frac{4}{697} a^{37} + \frac{13}{697} a^{36} - \frac{19}{697} a^{35} - \frac{245}{697} a^{34} - \frac{161}{697} a^{33} - \frac{118}{697} a^{32} - \frac{32}{697} a^{31} + \frac{97}{697} a^{30} + \frac{24}{697} a^{29} - \frac{275}{697} a^{28} + \frac{79}{697} a^{27} - \frac{308}{697} a^{26} + \frac{271}{697} a^{25} + \frac{235}{697} a^{24} + \frac{25}{697} a^{23} - \frac{3}{17} a^{22} - \frac{5}{697} a^{21} - \frac{215}{697} a^{20} - \frac{18}{697} a^{19} + \frac{222}{697} a^{18} + \frac{296}{697} a^{17} - \frac{182}{697} a^{16} + \frac{144}{697} a^{15} - \frac{55}{697} a^{14} + \frac{118}{697} a^{13} + \frac{307}{697} a^{12} + \frac{343}{697} a^{11} + \frac{274}{697} a^{10} - \frac{276}{697} a^{9} - \frac{5}{697} a^{8} + \frac{67}{697} a^{7} - \frac{66}{697} a^{6} - \frac{347}{697} a^{5} - \frac{66}{697} a^{4} - \frac{115}{697} a^{3} - \frac{321}{697} a^{2} + \frac{194}{697} a - \frac{148}{697}$, $\frac{1}{10144443981945973593297896397682071263} a^{40} + \frac{4499360760837602513533701343792035}{10144443981945973593297896397682071263} a^{39} - \frac{3924697115699166416645833817135553}{10144443981945973593297896397682071263} a^{38} - \frac{233449326037136393758554642377495167}{10144443981945973593297896397682071263} a^{37} - \frac{151429299690888519945135677546766582}{10144443981945973593297896397682071263} a^{36} - \frac{4234703951077227187400758816165432932}{10144443981945973593297896397682071263} a^{35} + \frac{2019777030325322016818318449829934563}{10144443981945973593297896397682071263} a^{34} + \frac{699653150284507259962257202276482362}{10144443981945973593297896397682071263} a^{33} - \frac{1217431487928401516668638904035156050}{10144443981945973593297896397682071263} a^{32} - \frac{23411254268694765298162312340327370}{596731998937998446664582141040121839} a^{31} - \frac{2367312588692614832444469840851805379}{10144443981945973593297896397682071263} a^{30} + \frac{129898189666219014285531250877634942}{596731998937998446664582141040121839} a^{29} + \frac{3697598074013625568093365016361753694}{10144443981945973593297896397682071263} a^{28} + \frac{3253522331055750630243992461783441182}{10144443981945973593297896397682071263} a^{27} - \frac{1050069164008655739380584941315094413}{10144443981945973593297896397682071263} a^{26} + \frac{5061795848974634522486154421530965407}{10144443981945973593297896397682071263} a^{25} + \frac{4893479567622391456504450343714911648}{10144443981945973593297896397682071263} a^{24} + \frac{1403331907554706262649095775974860066}{10144443981945973593297896397682071263} a^{23} - \frac{4806141564787822655905701539300716418}{10144443981945973593297896397682071263} a^{22} - \frac{4045484751046378838031215179862996710}{10144443981945973593297896397682071263} a^{21} - \frac{4232062094818178264429876115822029841}{10144443981945973593297896397682071263} a^{20} - \frac{5055108126303247121407323258955644145}{10144443981945973593297896397682071263} a^{19} + \frac{90325173759612479332245876605191730}{247425462974292038860924302382489543} a^{18} + \frac{3904947470124405081893307834406461266}{10144443981945973593297896397682071263} a^{17} - \frac{90390860023894935325242622921356177}{10144443981945973593297896397682071263} a^{16} - \frac{50862708307903666280390927528344756}{10144443981945973593297896397682071263} a^{15} + \frac{513987359208015647212968116948913157}{10144443981945973593297896397682071263} a^{14} + \frac{859303911765867450097276483595847432}{10144443981945973593297896397682071263} a^{13} - \frac{2183347456751938491566375192284601219}{10144443981945973593297896397682071263} a^{12} + \frac{4754761446476683890505863863023881964}{10144443981945973593297896397682071263} a^{11} + \frac{1323373089501737061519126265801332332}{10144443981945973593297896397682071263} a^{10} + \frac{1608063064959702771608693321231146854}{10144443981945973593297896397682071263} a^{9} - \frac{3013634561728598075443734926212007054}{10144443981945973593297896397682071263} a^{8} - \frac{519774996107788604220395413777173484}{10144443981945973593297896397682071263} a^{7} - \frac{1630473232719923846978340160685357144}{10144443981945973593297896397682071263} a^{6} - \frac{524231281475057969846846691794045246}{10144443981945973593297896397682071263} a^{5} - \frac{4126830055078882854278526672622855600}{10144443981945973593297896397682071263} a^{4} + \frac{2498585260560627598160162165474452207}{10144443981945973593297896397682071263} a^{3} + \frac{2452843567096469131902235534628392466}{10144443981945973593297896397682071263} a^{2} + \frac{1080757855835472920347780729771635105}{10144443981945973593297896397682071263} a - \frac{357492167331881392068878514850781663}{10144443981945973593297896397682071263}$, $\frac{1}{136535977506612377661173423251143931942105749781631825476574776234318808657276411228550351089727218065910970775410034178885115631568925671564395017142144197528243198903321106825277807800246277077} a^{41} + \frac{2432475606125277356448870298485531227251802160191943396987900268853291402929307970553330647259843947459403640475138801447755653457777450660373980608454181192}{136535977506612377661173423251143931942105749781631825476574776234318808657276411228550351089727218065910970775410034178885115631568925671564395017142144197528243198903321106825277807800246277077} a^{40} - \frac{78502693678808974909217203664182518391548177163904674024115379912061564737011541845946231846310793852476927276042473468702412790757810568714121811375752745568660397718717304724134261457131311}{136535977506612377661173423251143931942105749781631825476574776234318808657276411228550351089727218065910970775410034178885115631568925671564395017142144197528243198903321106825277807800246277077} a^{39} + \frac{45769236619076132370392394936089213956568796621929333228534112335497616832189078191291448063040761391242606376164726430970510081158589692490153264349859487539683877938657723857769633249964922}{136535977506612377661173423251143931942105749781631825476574776234318808657276411228550351089727218065910970775410034178885115631568925671564395017142144197528243198903321106825277807800246277077} a^{38} + \frac{562096709143869054387370884067257396969669871777909852389755716955780497238792189936748266776034458859192553032421829750049565299988214521857284406399705820590309758612350707660225070456587076}{136535977506612377661173423251143931942105749781631825476574776234318808657276411228550351089727218065910970775410034178885115631568925671564395017142144197528243198903321106825277807800246277077} a^{37} - \frac{2348072099058548589659355961430986244074454927457679566285395154732001209775991196715443196043641573079835342915735461921067975703523170093996989257161128216970722653411924127453953452688451738}{136535977506612377661173423251143931942105749781631825476574776234318808657276411228550351089727218065910970775410034178885115631568925671564395017142144197528243198903321106825277807800246277077} a^{36} + \frac{44930144877590484037166760317158742969858908410386486993288806478537800880451129547617394241996959766336045017559656942466764114094827235202413111309848432896514394517395045312409859437297266840}{136535977506612377661173423251143931942105749781631825476574776234318808657276411228550351089727218065910970775410034178885115631568925671564395017142144197528243198903321106825277807800246277077} a^{35} + \frac{3517149691534321410197817963716334263608639625511979663896240941821438081779055099507433453988515451595713495413425628845614154434404673946293007659764270560769758246936860953996358830119527700}{136535977506612377661173423251143931942105749781631825476574776234318808657276411228550351089727218065910970775410034178885115631568925671564395017142144197528243198903321106825277807800246277077} a^{34} - \frac{27191688282526755222752355011041445777404780642938474613644794020961494334108522963940567733509595388844077133281569844706682924754164135341597803561495705746120025376881239540739019641502053492}{136535977506612377661173423251143931942105749781631825476574776234318808657276411228550351089727218065910970775410034178885115631568925671564395017142144197528243198903321106825277807800246277077} a^{33} + \frac{50597871316545773117117419742834198694925703984123872031923366375205542922467805081109619754400923226989167631210055900727779447420281888193335761916091546845107227170212588156887231490004335507}{136535977506612377661173423251143931942105749781631825476574776234318808657276411228550351089727218065910970775410034178885115631568925671564395017142144197528243198903321106825277807800246277077} a^{32} + \frac{14207628742544280482909715489115022471216843352300588962519973628253747094478194344413189648859060958725162846538310637171490638380535462176185093978119652852274830377173337189746276468546373873}{136535977506612377661173423251143931942105749781631825476574776234318808657276411228550351089727218065910970775410034178885115631568925671564395017142144197528243198903321106825277807800246277077} a^{31} + \frac{38311875852988579373858398986529257073097904456259397845149446860406584901970644008019489366356758460560406679925601670204774995832235007070835171445795852160825496879220385655429031314306289617}{136535977506612377661173423251143931942105749781631825476574776234318808657276411228550351089727218065910970775410034178885115631568925671564395017142144197528243198903321106825277807800246277077} a^{30} + \frac{3730629353444830438615218134226401078519527612265434476321268306220641489707899891670126263842853512152872470763671436864036169956324239541749414679822818648560732219106929572500060082782662006}{8031528088624257509480789603008466584829749987154813263327928013783459332780965366385314769983954003877115927965296128169712684209936804209670295126008482207543717582548300401486929870602722181} a^{29} - \frac{56049520965280875626447308958264053902400730581447597356317469432682266760176937004781074192183079684391138852812287274115503221555001950867242580129524757676449418821179479857623060451005665878}{136535977506612377661173423251143931942105749781631825476574776234318808657276411228550351089727218065910970775410034178885115631568925671564395017142144197528243198903321106825277807800246277077} a^{28} + \frac{35330765278106398426529575103339620303117606920883646829029162042098395374643266193738069236440417883395673726334484435570675372523480606154983060398304450015095746339903537492777761114573284489}{136535977506612377661173423251143931942105749781631825476574776234318808657276411228550351089727218065910970775410034178885115631568925671564395017142144197528243198903321106825277807800246277077} a^{27} + \frac{16727017463412392240487854724434433482323350277134399747985955172088073108235561108270462766558106056383810868769604246576703805057211212206071118833145532984769185154004040340698019375792554711}{136535977506612377661173423251143931942105749781631825476574776234318808657276411228550351089727218065910970775410034178885115631568925671564395017142144197528243198903321106825277807800246277077} a^{26} - \frac{3041048260583528405642690342539293191788662380064354298895535249883798689027181070307199577290022759906098981680235860781695182721677288822168188581904926450783148755975880792684505005947956}{48025317448685324537873170331039019325397731192976371957993238211156809235763774614333574073066204033032349903415418283111190865835007271039182207928999014255449595111966622168581712205503439} a^{25} + \frac{41133328894119255910431348416953619911367265659663523174492020754032872229474716444046655041481432820184979615153462655830335471561046011042800930037042910704630215167386499617033533142045780665}{136535977506612377661173423251143931942105749781631825476574776234318808657276411228550351089727218065910970775410034178885115631568925671564395017142144197528243198903321106825277807800246277077} a^{24} - \frac{36770885137692987215599091440709022506548271681815351661501516932556740078456680937245949402758606405334060886253634930369839912296345990483943160126694274207432983378352196670198454572254074590}{136535977506612377661173423251143931942105749781631825476574776234318808657276411228550351089727218065910970775410034178885115631568925671564395017142144197528243198903321106825277807800246277077} a^{23} - \frac{52671446441654838074708993965973995004042018411662125171345935423046952954285543245001853906087587608931788266983433826706791406439290098067251593080518912724531397972439602270436242730925522672}{136535977506612377661173423251143931942105749781631825476574776234318808657276411228550351089727218065910970775410034178885115631568925671564395017142144197528243198903321106825277807800246277077} a^{22} - \frac{51597467526325370089644443600290092260095752668056605748730181056725637604228804114508210889237539564258460261195747374656868546188359629438306172384533193523654020781876532262747783417848264914}{136535977506612377661173423251143931942105749781631825476574776234318808657276411228550351089727218065910970775410034178885115631568925671564395017142144197528243198903321106825277807800246277077} a^{21} - \frac{61919149820272896283424571377410629175036399037209212090810654550426401271209248825550667692056442537831703242759490096276676790174100380539933159944061811158468888140780363921081309510590809425}{136535977506612377661173423251143931942105749781631825476574776234318808657276411228550351089727218065910970775410034178885115631568925671564395017142144197528243198903321106825277807800246277077} a^{20} + \frac{52441465929658597933893167823603222972913364737168840078266779104404191627057168813361929110652707060655026396252183805118019056379869168676327910174393362729046889983935489357930795050729250423}{136535977506612377661173423251143931942105749781631825476574776234318808657276411228550351089727218065910970775410034178885115631568925671564395017142144197528243198903321106825277807800246277077} a^{19} - \frac{18492892951973244998339147562938389524050819141732204476241147771333136485820313528131251455613075204148890597351050838798894558936803481977571570938101329128787701935902961889290220373518189949}{136535977506612377661173423251143931942105749781631825476574776234318808657276411228550351089727218065910970775410034178885115631568925671564395017142144197528243198903321106825277807800246277077} a^{18} - \frac{57784218762378466203205511049015000635433770446447475431688565538294819625733701781834293699446177368429700840912167748989130196827223599525842907534433263018917440225935314783468847862929963407}{136535977506612377661173423251143931942105749781631825476574776234318808657276411228550351089727218065910970775410034178885115631568925671564395017142144197528243198903321106825277807800246277077} a^{17} + \frac{43366028800466215037857056718810431267094622795740659996554042798106608537469654912690212751071037033973346468692238697669464381957135393631265170411003203832378387031949106413738278527411648193}{136535977506612377661173423251143931942105749781631825476574776234318808657276411228550351089727218065910970775410034178885115631568925671564395017142144197528243198903321106825277807800246277077} a^{16} - \frac{29907332047140553318220831020772612348369904561778750901214441717658138712398513969825558041709518058109345878529847902235526316077259808386729183599397332339613732269670460029277114570048336700}{136535977506612377661173423251143931942105749781631825476574776234318808657276411228550351089727218065910970775410034178885115631568925671564395017142144197528243198903321106825277807800246277077} a^{15} - \frac{23493839838095720113343429509179160417688557972320193228506744893780367224920651170162836554667696689875939756271959877466477031610778552170522967622906550884540465482077713664829102550918994018}{136535977506612377661173423251143931942105749781631825476574776234318808657276411228550351089727218065910970775410034178885115631568925671564395017142144197528243198903321106825277807800246277077} a^{14} - \frac{13182297339244451813022580432825153153255379871874970141703520081407262103502267606662197427724112073581795248104492600942406682438942738561491579753012471038129169305624839106334363524032678397}{136535977506612377661173423251143931942105749781631825476574776234318808657276411228550351089727218065910970775410034178885115631568925671564395017142144197528243198903321106825277807800246277077} a^{13} - \frac{67706629133602263967755131684621616081726863087862224087525304520033008085026192630834213770376695665585733076152987417207658127785692980660521372850631574075529192210745508921154876383722509091}{136535977506612377661173423251143931942105749781631825476574776234318808657276411228550351089727218065910970775410034178885115631568925671564395017142144197528243198903321106825277807800246277077} a^{12} + \frac{2679768902050271610476736584659104297269619257561593232912613576505190409615538147821130903296114564798934782843495569606693718994589933466554558402355237887117628229609137320881823642456575256}{136535977506612377661173423251143931942105749781631825476574776234318808657276411228550351089727218065910970775410034178885115631568925671564395017142144197528243198903321106825277807800246277077} a^{11} + \frac{15254693327434495152888800777763374010784229103496572922052606480571094542355739782492598121249002366723690887833694415552740919029473076888553125884143197379673700577545141674572128933165166133}{136535977506612377661173423251143931942105749781631825476574776234318808657276411228550351089727218065910970775410034178885115631568925671564395017142144197528243198903321106825277807800246277077} a^{10} + \frac{39855004803209781786500938352687974739492366062184323815848645443674236075999554258270336347354279120506665449226356672828889506764178216489930688695149048989599734996395526464633212485729325519}{136535977506612377661173423251143931942105749781631825476574776234318808657276411228550351089727218065910970775410034178885115631568925671564395017142144197528243198903321106825277807800246277077} a^{9} - \frac{65571348505893152887282901789606002941514661929401696482590091548214650873073022582430332938805290069336128658744611109881347077918244262402622850167128099615036056151362503300330425158806144688}{136535977506612377661173423251143931942105749781631825476574776234318808657276411228550351089727218065910970775410034178885115631568925671564395017142144197528243198903321106825277807800246277077} a^{8} - \frac{7384291693760114126226423857791493020719428493909655650514431270296573686847469217344949151811325994987340563821561227754864316781622057465837844522698329131856680183614821473331304668837739501}{136535977506612377661173423251143931942105749781631825476574776234318808657276411228550351089727218065910970775410034178885115631568925671564395017142144197528243198903321106825277807800246277077} a^{7} + \frac{33758419264017351248143422170356907456549021322350710235831796124050209185512285488137564986688415500349028326494115576783318574694706792763170737672803618397003126856951034997376493061974312366}{136535977506612377661173423251143931942105749781631825476574776234318808657276411228550351089727218065910970775410034178885115631568925671564395017142144197528243198903321106825277807800246277077} a^{6} - \frac{42487362718754860239624827356376211021629572229244106445759460236665567794323184400181292111000826052567858207983352460621691590018456159243021034733480168071057747956628609059980389195420543518}{136535977506612377661173423251143931942105749781631825476574776234318808657276411228550351089727218065910970775410034178885115631568925671564395017142144197528243198903321106825277807800246277077} a^{5} - \frac{12202647356035072578362525889406055228740593719579143612144795496244680002310413825409015711941208712150326136480324070597096434806921114437875511768214544742536788454685665309742527347494314157}{136535977506612377661173423251143931942105749781631825476574776234318808657276411228550351089727218065910970775410034178885115631568925671564395017142144197528243198903321106825277807800246277077} a^{4} + \frac{61579239988684777101809308165338413961271151433395453504508442743940368007899668764079585536518985618023405481085773741066957637075719403337486304188301199078969852411920383534312237245530046040}{136535977506612377661173423251143931942105749781631825476574776234318808657276411228550351089727218065910970775410034178885115631568925671564395017142144197528243198903321106825277807800246277077} a^{3} + \frac{279865360075600607087393455261756587575240358383874131792787398520184638705250948759653250017208953269821382011501741555269244529854715423466009604423910845120125752571632535098658042021028484}{8031528088624257509480789603008466584829749987154813263327928013783459332780965366385314769983954003877115927965296128169712684209936804209670295126008482207543717582548300401486929870602722181} a^{2} + \frac{46236613025182581323552571286398534460046332767275061549884619984210803176490962449711290020019767660126114996534093614908940976108848315064823455525543460687253537966019137451738351146959347336}{136535977506612377661173423251143931942105749781631825476574776234318808657276411228550351089727218065910970775410034178885115631568925671564395017142144197528243198903321106825277807800246277077} a + \frac{23343498841582533002209162664959829993082120441681592850638938700986284142257576376518716564352177575371330096853517280243345951241607631969316788353805799937460138205713843465068457090222349}{48025317448685324537873170331039019325397731192976371957993238211156809235763774614333574073066204033032349903415418283111190865835007271039182207928999014255449595111966622168581712205503439}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $20$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( \frac{23244626942559013839518193205665855954922164033896175847293245683639459464666228708284477530067308823365968592800989502788514915808587179676905868958708833}{1442057767190189919584815813743106761124204555905304459346747042784764588676102030904331018506903720781737999277780111589636951877901144515336682728630439862659597} a^{41} - \frac{94352440396107911065946397662558284508733960876432027467182318607341956784392045490685629384023750505473911164027303198421941188249104306453437619193239608}{1442057767190189919584815813743106761124204555905304459346747042784764588676102030904331018506903720781737999277780111589636951877901144515336682728630439862659597} a^{40} + \frac{1453594829709800581572362139132869314550102564563439922880470963409419851414513191006206665741405093981524684106647881874739031684295466339368453619752270777}{1442057767190189919584815813743106761124204555905304459346747042784764588676102030904331018506903720781737999277780111589636951877901144515336682728630439862659597} a^{39} - \frac{4762023070726910992469064067551889259842369492885629713434011572797805061326028475377724667177169917230038394220225500076557323126439028184848600679499645127}{1442057767190189919584815813743106761124204555905304459346747042784764588676102030904331018506903720781737999277780111589636951877901144515336682728630439862659597} a^{38} + \frac{50261028051126330034518869467298910662818183526847469864642527562042258886572224813981728839304949485851949909632984474304520534128587069502961780487007102144}{1442057767190189919584815813743106761124204555905304459346747042784764588676102030904331018506903720781737999277780111589636951877901144515336682728630439862659597} a^{37} - \frac{148621418179674418312048878727187492518972884890186213707223904886058770148232316100824597484070814439033326055878304445785286222766591352538255889138396310724}{1442057767190189919584815813743106761124204555905304459346747042784764588676102030904331018506903720781737999277780111589636951877901144515336682728630439862659597} a^{36} + \frac{1106056080834321615847744271055463105229052896391418855575805916619854524233661379139374911859045646480023441089435174823981397475435276207317116778455631874014}{1442057767190189919584815813743106761124204555905304459346747042784764588676102030904331018506903720781737999277780111589636951877901144515336682728630439862659597} a^{35} - \frac{2793340984210869276603431567662313231034250240674064125846146762434163575278462430478496947129302088084174698201629744207644377007180279597423781690059499016918}{1442057767190189919584815813743106761124204555905304459346747042784764588676102030904331018506903720781737999277780111589636951877901144515336682728630439862659597} a^{34} + \frac{16781444709796823661064804808718929340877960603170980952402338469686615795034382760760458765602268097436541507079867972001735411390476430707063088149747612982781}{1442057767190189919584815813743106761124204555905304459346747042784764588676102030904331018506903720781737999277780111589636951877901144515336682728630439862659597} a^{33} - \frac{37500776463679319881982240317723207053449088156846048993664626283845171632639219240338753114135541393880908717868030338818984994808432657324517593517253016492621}{1442057767190189919584815813743106761124204555905304459346747042784764588676102030904331018506903720781737999277780111589636951877901144515336682728630439862659597} a^{32} + \frac{187511968030403224923540971187859649584688304698463765036779598146542289897982321653192106174282463644522687534891085212035073731862902862626969021354619903853722}{1442057767190189919584815813743106761124204555905304459346747042784764588676102030904331018506903720781737999277780111589636951877901144515336682728630439862659597} a^{31} - \frac{366976362762856421325325184104048129548023766932028160473276521583830122536789246499101395779836751666856978667549395887239366983804360717666611359826574341976096}{1442057767190189919584815813743106761124204555905304459346747042784764588676102030904331018506903720781737999277780111589636951877901144515336682728630439862659597} a^{30} + \frac{1576120375471169258745300677660117273880781671197486593907512287306083564185245306779238473099482446740114660582088294771545239828027808659326607978154899348683586}{1442057767190189919584815813743106761124204555905304459346747042784764588676102030904331018506903720781737999277780111589636951877901144515336682728630439862659597} a^{29} - \frac{2745181342922386465200045499381689421882518596810222271033500433412352314676316918337064744244346775425690040634952889635277164231025012885286398755380489112308024}{1442057767190189919584815813743106761124204555905304459346747042784764588676102030904331018506903720781737999277780111589636951877901144515336682728630439862659597} a^{28} + \frac{10213920653842296523860782238590356756297863975885564725309912350607833700307515668858375048955885248056849390972337173548629846408089881556938555659216573925057403}{1442057767190189919584815813743106761124204555905304459346747042784764588676102030904331018506903720781737999277780111589636951877901144515336682728630439862659597} a^{27} - \frac{15677666072465580694385953381919000655649055830103526897225279758481589504463608833225005821130064377574731397478932462293813069736144712734607821978252957217372645}{1442057767190189919584815813743106761124204555905304459346747042784764588676102030904331018506903720781737999277780111589636951877901144515336682728630439862659597} a^{26} + \frac{17960929359823005604739911517128436067443456798278388480518542208472387753379632121446139489422818340665748476678154292690279599751981838598464448113679477361410}{507231012026095645298915164876224678552305506825643496076942329505720924613472399192518824659480731896495954723102395916157914835702126104585537364977291545079} a^{25} - \frac{69278862961158478476706381110464339082640968604378208601265052459724176085275033162374357965641453757340823713837199148967566613246893696375931772119110847722222522}{1442057767190189919584815813743106761124204555905304459346747042784764588676102030904331018506903720781737999277780111589636951877901144515336682728630439862659597} a^{24} + \frac{198822193230577184359740676610298273459880570287275576647429209900752081488493137602532696622807371013764386551844199714157700149182139493751919893832456534467009852}{1442057767190189919584815813743106761124204555905304459346747042784764588676102030904331018506903720781737999277780111589636951877901144515336682728630439862659597} a^{23} - \frac{235205899684931804980514569678875705855005567360914654768825703006084047588533481273574505511660650168155003264799419219309153287182055502762441402366030471097358711}{1442057767190189919584815813743106761124204555905304459346747042784764588676102030904331018506903720781737999277780111589636951877901144515336682728630439862659597} a^{22} + \frac{596933422424965198688892976033895699150689721828596823003276581999882900833464950048125331059587597352711706346428454728464240709363580657420851444973239359445500183}{1442057767190189919584815813743106761124204555905304459346747042784764588676102030904331018506903720781737999277780111589636951877901144515336682728630439862659597} a^{21} - \frac{617406373829303564128988204563650539068748366309364296792930415448075719599882387983708069741672679914174677718511465790582274195059976779886312127504827179953419154}{1442057767190189919584815813743106761124204555905304459346747042784764588676102030904331018506903720781737999277780111589636951877901144515336682728630439862659597} a^{20} + \frac{1397896975101670867524163961255973219675686068232944453894975175515299724916921311213703646592675565076820285878129731328903637132477809134780375255826603948479433248}{1442057767190189919584815813743106761124204555905304459346747042784764588676102030904331018506903720781737999277780111589636951877901144515336682728630439862659597} a^{19} - \frac{1268824936992983435682643809882101849797010528539027664700480659287715660014723913237035632069922483519005158780979937331834490289582841405146460563920797771441006141}{1442057767190189919584815813743106761124204555905304459346747042784764588676102030904331018506903720781737999277780111589636951877901144515336682728630439862659597} a^{18} + \frac{2529489898937790207777285592459978108594748389685862097940710035921139700047293881004822711952026512963469506556703267992405191692977479178775696718181061774188859546}{1442057767190189919584815813743106761124204555905304459346747042784764588676102030904331018506903720781737999277780111589636951877901144515336682728630439862659597} a^{17} - \frac{2054011397941005008958961784400084076631957475412381773956725184082268874292396496537784601011545060778668488969063208490054556580867333069629323692142773401559437780}{1442057767190189919584815813743106761124204555905304459346747042784764588676102030904331018506903720781737999277780111589636951877901144515336682728630439862659597} a^{16} + \frac{3570089415207978889051503562789172137754167103106394185185746282950047878765446906648534383630500159607964865232070418086059248058078942362915628887445233378534064296}{1442057767190189919584815813743106761124204555905304459346747042784764588676102030904331018506903720781737999277780111589636951877901144515336682728630439862659597} a^{15} - \frac{2660149896499471261958721684877166958470043396603707697096883903406128324182625184496605136763584341872703320480760367593898472043496052236015735946032285766629527661}{1442057767190189919584815813743106761124204555905304459346747042784764588676102030904331018506903720781737999277780111589636951877901144515336682728630439862659597} a^{14} + \frac{3883084645457170033560115288541603103413489901307947204099972936189339212983473216416083284919253529381862019116163880444159964081910952640555249218931058184917807701}{1442057767190189919584815813743106761124204555905304459346747042784764588676102030904331018506903720781737999277780111589636951877901144515336682728630439862659597} a^{13} - \frac{2727722152546382693589829887976949759405544243493215031343112304706142240152454041221923912972166143807304962204576784634839673136722078858614173301392970717737181883}{1442057767190189919584815813743106761124204555905304459346747042784764588676102030904331018506903720781737999277780111589636951877901144515336682728630439862659597} a^{12} + \frac{3294181821811200744939537260934680510996212443091451429703383394114050264607400741090878453502737438916812446108249390970178271424195964974728483379239978749671387012}{1442057767190189919584815813743106761124204555905304459346747042784764588676102030904331018506903720781737999277780111589636951877901144515336682728630439862659597} a^{11} - \frac{2155767150839941447774712700437570204734966993972466463338280103434567413244840420535925474011143719212774620221587333585707021348470115929376088397127625994242099752}{1442057767190189919584815813743106761124204555905304459346747042784764588676102030904331018506903720781737999277780111589636951877901144515336682728630439862659597} a^{10} + \frac{2142468409592192104260950939129937838139766474939750089115539479017390563607195669109766643108039727946624777625504411515862774434703184546860534893355437921919757890}{1442057767190189919584815813743106761124204555905304459346747042784764588676102030904331018506903720781737999277780111589636951877901144515336682728630439862659597} a^{9} - \frac{1282074029010904832545011196153685692207694216825331193720731696890500155669433011950755730103329782976065005759872865578025602717941068711212795814278059242003220895}{1442057767190189919584815813743106761124204555905304459346747042784764588676102030904331018506903720781737999277780111589636951877901144515336682728630439862659597} a^{8} + \frac{1046223473585309315717939724793986950497038564144931851079847802960687288943965135508868005599509518696471738414322160653327761988820514498105614697960326076040823974}{1442057767190189919584815813743106761124204555905304459346747042784764588676102030904331018506903720781737999277780111589636951877901144515336682728630439862659597} a^{7} - \frac{547217370045546818082611988800516810418946358564238586620848482031673442359442513663305427284319261926577845847087491038374222043397274832182655054909937636518330459}{1442057767190189919584815813743106761124204555905304459346747042784764588676102030904331018506903720781737999277780111589636951877901144515336682728630439862659597} a^{6} + \frac{362148791375792996392488477934550881546678551816900526488911205228061431808255974748787037829430355024340755274558414687185809150577001138304487191859550478556680684}{1442057767190189919584815813743106761124204555905304459346747042784764588676102030904331018506903720781737999277780111589636951877901144515336682728630439862659597} a^{5} - \frac{155642864613956454797237088850514555782519383131476192460041066862154533214602002683855171066423943265218244584802529232945068627445760276359481006148688021494054868}{1442057767190189919584815813743106761124204555905304459346747042784764588676102030904331018506903720781737999277780111589636951877901144515336682728630439862659597} a^{4} + \frac{80912004914011140624450296416553973699450064333082917097357249883055563268055533066007467028238933697234975239580258840569658092632719002845215896997532504930431180}{1442057767190189919584815813743106761124204555905304459346747042784764588676102030904331018506903720781737999277780111589636951877901144515336682728630439862659597} a^{3} - \frac{24196630737225863278434433168045725064234202178169427789105499083617850921226267168302820505783526888410797895103123781568098546326180343745686371419845697024917276}{1442057767190189919584815813743106761124204555905304459346747042784764588676102030904331018506903720781737999277780111589636951877901144515336682728630439862659597} a^{2} + \frac{10164381964980591613888335314711966733949500773985232096878540191722038670524583016837281585774519679171372302950285644946784966891616403788746391422575782894822985}{1442057767190189919584815813743106761124204555905304459346747042784764588676102030904331018506903720781737999277780111589636951877901144515336682728630439862659597} a - \frac{187850124031816049415602078850936406750633485495841316881957874143079979868254263831695876420096437071627534865490724172823134865080973801150206213884987750849}{507231012026095645298915164876224678552305506825643496076942329505720924613472399192518824659480731896495954723102395916157914835702126104585537364977291545079} \) (order $6$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  not computed
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) $ not computed

Galois group

$C_{42}$ (as 42T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
A cyclic group of order 42
The 42 conjugacy class representatives for $C_{42}$
Character table for $C_{42}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-3}) \), \(\Q(\zeta_{7})^+\), 6.0.64827.1, 7.7.594823321.1, 14.0.773792930870360792667.1, 21.21.142736986105602839685204351151303673689.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $42$ R $42$ R $42$ ${\href{/LocalNumberField/13.7.0.1}{7} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/17.6.0.1}{6} }^{7}$ $21^{2}$ $42$ R $21^{2}$ $21^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/41.2.0.1}{2} }^{21}$ ${\href{/LocalNumberField/43.7.0.1}{7} }^{6}$ $42$ $42$ ${\href{/LocalNumberField/59.6.0.1}{6} }^{7}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
7Data not computed
$29$29.14.12.1$x^{14} + 2407 x^{7} + 1839267$$7$$2$$12$$C_{14}$$[\ ]_{7}^{2}$
29.14.12.1$x^{14} + 2407 x^{7} + 1839267$$7$$2$$12$$C_{14}$$[\ ]_{7}^{2}$
29.14.12.1$x^{14} + 2407 x^{7} + 1839267$$7$$2$$12$$C_{14}$$[\ ]_{7}^{2}$