Properties

Label 42.0.17660272080...0003.1
Degree $42$
Signature $[0, 21]$
Discriminant $-\,3^{21}\cdot 7^{76}$
Root discriminant $58.58$
Ramified primes $3, 7$
Class number $136619$ (GRH)
Class group $[136619]$ (GRH)
Galois group $C_{42}$ (as 42T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^42 + 21*x^40 + 252*x^38 + 2065*x^36 - x^35 + 12789*x^34 - 7*x^33 + 62181*x^32 + 7*x^31 + 244265*x^30 + 574*x^29 + 784101*x^28 + 5341*x^27 + 2075577*x^26 + 29988*x^25 + 4529364*x^24 + 118188*x^23 + 8142834*x^22 + 346087*x^21 + 11951541*x^20 + 767956*x^19 + 14210490*x^18 + 1288070*x^17 + 13430361*x^16 + 1624252*x^15 + 9960725*x^14 + 1486219*x^13 + 5587183*x^12 + 983626*x^11 + 2322670*x^10 + 429093*x^9 + 648396*x^8 + 121077*x^7 + 117649*x^6 + 14763*x^5 + 7399*x^4 + 56*x^3 + 245*x^2 + 14*x + 1)
 
gp: K = bnfinit(x^42 + 21*x^40 + 252*x^38 + 2065*x^36 - x^35 + 12789*x^34 - 7*x^33 + 62181*x^32 + 7*x^31 + 244265*x^30 + 574*x^29 + 784101*x^28 + 5341*x^27 + 2075577*x^26 + 29988*x^25 + 4529364*x^24 + 118188*x^23 + 8142834*x^22 + 346087*x^21 + 11951541*x^20 + 767956*x^19 + 14210490*x^18 + 1288070*x^17 + 13430361*x^16 + 1624252*x^15 + 9960725*x^14 + 1486219*x^13 + 5587183*x^12 + 983626*x^11 + 2322670*x^10 + 429093*x^9 + 648396*x^8 + 121077*x^7 + 117649*x^6 + 14763*x^5 + 7399*x^4 + 56*x^3 + 245*x^2 + 14*x + 1, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![1, 14, 245, 56, 7399, 14763, 117649, 121077, 648396, 429093, 2322670, 983626, 5587183, 1486219, 9960725, 1624252, 13430361, 1288070, 14210490, 767956, 11951541, 346087, 8142834, 118188, 4529364, 29988, 2075577, 5341, 784101, 574, 244265, 7, 62181, -7, 12789, -1, 2065, 0, 252, 0, 21, 0, 1]);
 

Normalized defining polynomial

\( x^{42} + 21 x^{40} + 252 x^{38} + 2065 x^{36} - x^{35} + 12789 x^{34} - 7 x^{33} + 62181 x^{32} + 7 x^{31} + 244265 x^{30} + 574 x^{29} + 784101 x^{28} + 5341 x^{27} + 2075577 x^{26} + 29988 x^{25} + 4529364 x^{24} + 118188 x^{23} + 8142834 x^{22} + 346087 x^{21} + 11951541 x^{20} + 767956 x^{19} + 14210490 x^{18} + 1288070 x^{17} + 13430361 x^{16} + 1624252 x^{15} + 9960725 x^{14} + 1486219 x^{13} + 5587183 x^{12} + 983626 x^{11} + 2322670 x^{10} + 429093 x^{9} + 648396 x^{8} + 121077 x^{7} + 117649 x^{6} + 14763 x^{5} + 7399 x^{4} + 56 x^{3} + 245 x^{2} + 14 x + 1 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $42$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[0, 21]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(-176602720807616761537805583365440112858555316650025456145851095351761290003=-\,3^{21}\cdot 7^{76}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $58.58$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $3, 7$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $42$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(147=3\cdot 7^{2}\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{147}(128,·)$, $\chi_{147}(1,·)$, $\chi_{147}(2,·)$, $\chi_{147}(4,·)$, $\chi_{147}(134,·)$, $\chi_{147}(8,·)$, $\chi_{147}(137,·)$, $\chi_{147}(11,·)$, $\chi_{147}(130,·)$, $\chi_{147}(142,·)$, $\chi_{147}(16,·)$, $\chi_{147}(22,·)$, $\chi_{147}(23,·)$, $\chi_{147}(25,·)$, $\chi_{147}(29,·)$, $\chi_{147}(32,·)$, $\chi_{147}(37,·)$, $\chi_{147}(43,·)$, $\chi_{147}(44,·)$, $\chi_{147}(46,·)$, $\chi_{147}(50,·)$, $\chi_{147}(53,·)$, $\chi_{147}(58,·)$, $\chi_{147}(64,·)$, $\chi_{147}(65,·)$, $\chi_{147}(67,·)$, $\chi_{147}(71,·)$, $\chi_{147}(74,·)$, $\chi_{147}(79,·)$, $\chi_{147}(85,·)$, $\chi_{147}(86,·)$, $\chi_{147}(88,·)$, $\chi_{147}(92,·)$, $\chi_{147}(95,·)$, $\chi_{147}(100,·)$, $\chi_{147}(106,·)$, $\chi_{147}(107,·)$, $\chi_{147}(109,·)$, $\chi_{147}(113,·)$, $\chi_{147}(116,·)$, $\chi_{147}(121,·)$, $\chi_{147}(127,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $a^{36}$, $a^{37}$, $a^{38}$, $\frac{1}{97} a^{39} - \frac{5}{97} a^{38} - \frac{39}{97} a^{37} - \frac{1}{97} a^{36} - \frac{16}{97} a^{35} + \frac{37}{97} a^{34} - \frac{19}{97} a^{33} - \frac{2}{97} a^{32} - \frac{27}{97} a^{31} - \frac{28}{97} a^{30} - \frac{5}{97} a^{29} - \frac{27}{97} a^{28} + \frac{22}{97} a^{27} + \frac{44}{97} a^{26} - \frac{17}{97} a^{25} - \frac{45}{97} a^{24} + \frac{22}{97} a^{23} + \frac{28}{97} a^{22} - \frac{15}{97} a^{21} - \frac{17}{97} a^{20} - \frac{48}{97} a^{19} + \frac{30}{97} a^{18} + \frac{11}{97} a^{17} - \frac{47}{97} a^{16} - \frac{37}{97} a^{15} - \frac{25}{97} a^{14} - \frac{6}{97} a^{13} - \frac{4}{97} a^{12} + \frac{39}{97} a^{11} - \frac{24}{97} a^{10} + \frac{48}{97} a^{9} + \frac{34}{97} a^{8} - \frac{11}{97} a^{7} + \frac{11}{97} a^{6} - \frac{10}{97} a^{5} - \frac{47}{97} a^{4} - \frac{35}{97} a^{3} + \frac{20}{97} a^{2} - \frac{18}{97} a + \frac{5}{97}$, $\frac{1}{97} a^{40} + \frac{33}{97} a^{38} - \frac{2}{97} a^{37} - \frac{21}{97} a^{36} - \frac{43}{97} a^{35} - \frac{28}{97} a^{34} - \frac{37}{97} a^{32} + \frac{31}{97} a^{31} - \frac{48}{97} a^{30} + \frac{45}{97} a^{29} - \frac{16}{97} a^{28} - \frac{40}{97} a^{27} + \frac{9}{97} a^{26} - \frac{33}{97} a^{25} - \frac{9}{97} a^{24} + \frac{41}{97} a^{23} + \frac{28}{97} a^{22} + \frac{5}{97} a^{21} - \frac{36}{97} a^{20} - \frac{16}{97} a^{19} - \frac{33}{97} a^{18} + \frac{8}{97} a^{17} + \frac{19}{97} a^{16} - \frac{16}{97} a^{15} - \frac{34}{97} a^{14} - \frac{34}{97} a^{13} + \frac{19}{97} a^{12} - \frac{23}{97} a^{11} + \frac{25}{97} a^{10} - \frac{17}{97} a^{9} - \frac{35}{97} a^{8} - \frac{44}{97} a^{7} + \frac{45}{97} a^{6} + \frac{21}{97} a^{4} + \frac{39}{97} a^{3} - \frac{15}{97} a^{2} + \frac{12}{97} a + \frac{25}{97}$, $\frac{1}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{41} - \frac{7439529223811365285034605628680078354230292793834074968862828859423224684478544070719194262}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{40} + \frac{34245823894121166865374946374867919223289042541529371860922845460559226531016236817281797122}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{39} + \frac{3848389401348520081236716620328426802092885486191213945484940527807461827044617449153070597348}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{38} - \frac{39185668266279933878107475463969273244708765569886618720020439259464852653100692763346451220}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{37} - \frac{1069583550465756005499075414905907905223668514297647484754571954394711725436216445786982375199}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{36} - \frac{3268689567715404585830512776754920284286444669479124350378523324580467929532020637531371706484}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{35} - \frac{2972456294203739558087401012019197237979250683408051914106197980956660521321128740245686441776}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{34} + \frac{3235975076016262215067051166865500810950742407320721286984130170050608675658385140697111941894}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{33} + \frac{4565928715375788031720488157996891024106384079106992289218467779081926846044204969531455091067}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{32} - \frac{3096609546399491512572945147128846728845666177307929495586486543394976093446554819915737587419}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{31} - \frac{3936145917091324753385013123462500139395507450951007490396366277493105032637630878460606483147}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{30} - \frac{2284079958873687706075207341939839035500352416870684619923844083101014857763190356692546883914}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{29} - \frac{4072790476801298641432730864989250506897002550321335007030683457294955786171322261787484891531}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{28} - \frac{164473438060129685189586212122150398940114383000442275691404409422305392165483764500275313466}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{27} - \frac{3689761884010730379724415484204221390874294415755399097437403448822188344867949758786534439944}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{26} + \frac{1369980361180605119160661873645137864986011135134871823788517096723379887380544066485796548835}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{25} + \frac{3887153419644174178225785926652643729165185397596704029173195586557676824320911073376736643853}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{24} + \frac{1045563857242848352323077286858636457184647626142728877790889866020391593684502312301375259880}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{23} - \frac{4808083090712179784245464294267939515753535063265434349590906665025314007034052103953028484159}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{22} - \frac{1343696378942148129315607631446341893745931923637813368796562055447715815481559261534114649084}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{21} - \frac{4358038650922428711069656832976821250141172272569298602082508837119991663742903475288114751152}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{20} - \frac{3591309856501097503714187339558375380964192429827879751396204822018418330887627515347216228589}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{19} - \frac{2548816600832034684335282639970213909262701306976920844551178299089625044861603148578145870229}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{18} - \frac{2594939892786506687940547723334506030012795228154243382482063164290936040659584119269864289}{10932464038796672300719003793316680274706230730146396611069497066171298097778416659670222763} a^{17} - \frac{214482316732339028719640590681314953509902343411711380130304942813337852626642388481634535578}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{16} + \frac{3017152770108022692152671411125131127088503183285348810886640614464226940378946191543717410880}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{15} - \frac{1471666125477444130690921424793929445285663994213188308002711469343062538988678623898246891088}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{14} + \frac{1976481598965895238911090438080832095408821378971478306317918929840738003263710478841174056918}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{13} - \frac{1186762472232902926630736973648755798743951425039144432059440094094520843071638491880867500606}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{12} - \frac{3549793566932363976209324506017643248212129539502354016431127157763875529382118572913439989349}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{11} + \frac{4352521502067280756971573114158529365642610701967914906972971740449766110864862532739203551567}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{10} - \frac{3640502068510367192612626484885197016430819843524830034301611268979365537514024765539008808617}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{9} - \frac{2164904700082153436326566128572720643375495431089004538571110599873816330150266364937800983823}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{8} - \frac{4658975088292350768715583773734683315093224855067408170395489351810162798915522104719915604928}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{7} + \frac{2885595928761131068653653711042429404962421839967014953506315123836252699051374002177912879458}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{6} - \frac{328700981872459407768497083503058790340036737236757446665798156649387927471710166231590091530}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{5} - \frac{2720938898624379242727943215749883844667200192362342302970757079721976718597770461275599749824}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{4} + \frac{825305662272187289881511698122926716797655835679076493261362385290457877661915604699131043169}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{3} - \frac{4425393446133554022552601239751786948977825898856577985933969350008196943583671979066311538230}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{2} - \frac{4139438728557737751639603424454530801671540124466992939107626009116869032988432675895468327239}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a - \frac{3024202600748516711768701530811006231359174889687034466008357874395733361730706019420968651632}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

$C_{136619}$, which has order $136619$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $20$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( \frac{685969400628183651258988320186527968343198667957256951884634139817140307522779303037174328699}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{41} - \frac{5880169249805454945373013797877255488674642537724416323340330116197397440172658022643084257}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{40} + \frac{14398780092158427601992097238687459647666591230765941790822765101065816930955764507270386194298}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{39} - \frac{125602132478556138485747425579984266794189471145476536483721492019026563979406962270052208777}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{38} + \frac{172726488255605352603602350839044610813171278974929674604842206498902504679009452251446933837749}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{37} - \frac{1526003098633461419092855494149422073666296251450528865995971552795924751072138760174383904421}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{36} + \frac{1414876112085313627887089271153316304028481811135486829611609120629848003447695859823016314956029}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{35} - \frac{13356423404411590176795355400691348112751058675680194115346629340557763960848951094245446378153}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{34} + \frac{8759367787896974861920619293474794576890256923224079802465388255903461109216597911541678505289357}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{33} - \frac{84300735924087620173900072309667712673510150050820573508572403358938298250126244061746216505904}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{32} + \frac{42570856252899923047796100241995212137985732888489280703379554708831764252867996049838315603880714}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{31} - \frac{387309328860570258885880144815841678085139376282900625903455295066007869705745554507694405723133}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{30} + \frac{167153434696494104896532413397732359504729367157549481672585463987910618993534396484895367165713204}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{29} - \frac{1170859109833061803934499331818471215806582733682231531406468921377327372573521038656094908262126}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{28} + \frac{536279365342132335408782664517228883544466833983554358404272391126762757013978027463401512323122792}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{27} - \frac{1451399710839414463922777447947068844352786340764670090646271450784876120750985037753491730203920}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{26} + \frac{1418671222117641202605896950669173582261170980053455234770962953161069400791348895507716421935612308}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{25} + \frac{6734728233192258449816202361089218286292992877016154154307390684550337082838252904140909885276013}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{24} + \frac{3093418707158237795640185381121586453419950144887593330415685607213538467633893536630874021425096737}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{23} + \frac{50051130532320578700177657366948637719562084743797108559226833394607839304403127097339852875005257}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{22} + \frac{5555855436251096149437983664053858105065890351638552235287747813213257336698410718340697374470513789}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{21} + \frac{179689026394284075993386312957090168883153876113234684143039611197020175488240500920081630306951682}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{20} + \frac{8144013041968817090859534627534631020896955806251960606954994540370985790745491437192777211480095616}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{19} + \frac{438152677323576106632520156967512351455750628792555670897700678543022126703648805379434790299098841}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{18} + \frac{10947620308379745706321402219996715037244172694981712052080503357188509955777312811000618702504979}{10932464038796672300719003793316680274706230730146396611069497066171298097778416659670222763} a^{17} + \frac{771719364224535613214652545437817612420404456890129542439338959780036744336581569801532802732078334}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{16} + \frac{9114063961451727996600294349081189399931171129525545026095364471897697185212468610067015211649473332}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{15} + \frac{999658230684425449790682151901003529169255752369078431131573845840472971444437176326624478965874952}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{14} + \frac{6736858733311071047512142283119197205651133750434987625649579476574173901772862755182678400641428745}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{13} + \frac{925357750597130931914295091457851267792288500756693541606765190764684643125707757859691310461442400}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{12} + \frac{3759503703966668302435433940530473675294585872608676839148580717597519231006620039750722757451289307}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{11} + \frac{614325092666088521903949197163216358753916780744046625514335723652464717278766998319100643576095108}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{10} + \frac{1551091133702599851855281470404664180492863797599652890364542328505207753979888880513497823131733334}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{9} + \frac{264773628651680896790140247595207591011869870433610373974432034678951172076877947264135689077628867}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{8} + \frac{426930994185196287134211137584708940887716395547500547263048164727845165932318081761248496113583144}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{7} + \frac{72764037930450447068402571102628848981270365890822064320465394191032315633147424815826349028155804}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{6} + \frac{75701839502210138872834848144510724758136364756148176638023390924563937210915516113836270100146423}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{5} + \frac{7737634912465473086945659711110991619658742361141631104991037470052885782085249055122785662713956}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{4} + \frac{4210531831274129623951801148779134729510708454620481821292221266956626290752225487799832115835863}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{3} - \frac{256885850282340229631230046072580509750029952183223820884227624001775988450798899222149113056973}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a^{2} + \frac{133335547044345204821731104760759114798465745928262020861577932211815722020696921966339078716496}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} a + \frac{7565595254984194867526519756076648049851875986524672727489746212964632137493258712455369889898}{9653365746257461641534880349498628682565601734719268207574365909429256220338341910488806699729} \) (order $6$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH)
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  \( 1776855897760068.5 \) (assuming GRH)
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Galois group

$C_{42}$ (as 42T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
A cyclic group of order 42
The 42 conjugacy class representatives for $C_{42}$
Character table for $C_{42}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-3}) \), \(\Q(\zeta_{7})^+\), 6.0.64827.1, 7.7.13841287201.1, 14.0.418988153029298748294987.1, \(\Q(\zeta_{49})^+\)

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $42$ R $42$ R $42$ ${\href{/LocalNumberField/13.7.0.1}{7} }^{6}$ $42$ ${\href{/LocalNumberField/19.3.0.1}{3} }^{14}$ $42$ ${\href{/LocalNumberField/29.14.0.1}{14} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/31.3.0.1}{3} }^{14}$ $21^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/41.14.0.1}{14} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/43.7.0.1}{7} }^{6}$ $42$ $42$ $42$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
7Data not computed