Properties

Label 42.0.161...211.1
Degree $42$
Signature $[0, 21]$
Discriminant $-1.614\times 10^{87}$
Root discriminant $119.23$
Ramified primes $11, 43$
Class number not computed
Class group not computed
Galois group $C_{42}$ (as 42T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^42 - 19*x^41 + 193*x^40 - 1368*x^39 + 7730*x^38 - 37504*x^37 + 163424*x^36 - 653089*x^35 + 2424227*x^34 - 8429227*x^33 + 27684879*x^32 - 86328882*x^31 + 256735509*x^30 - 730024655*x^29 + 1991090346*x^28 - 5216701163*x^27 + 13158377790*x^26 - 31970357867*x^25 + 74948907297*x^24 - 169511696295*x^23 + 370383530887*x^22 - 781186383780*x^21 + 1592472532020*x^20 - 3132457376500*x^19 + 5954059663605*x^18 - 10905928130092*x^17 + 19286342092183*x^16 - 32785066852903*x^15 + 53727191837034*x^14 - 84287557742257*x^13 + 127210697307990*x^12 - 182579457912758*x^11 + 251464793643596*x^10 - 325756069207898*x^9 + 403964380869043*x^8 - 462110196994188*x^7 + 505689982566923*x^6 - 491465579236069*x^5 + 459935510967285*x^4 - 350571727520514*x^3 + 266244504765895*x^2 - 126760076648507*x + 70799148954451)
 
gp: K = bnfinit(x^42 - 19*x^41 + 193*x^40 - 1368*x^39 + 7730*x^38 - 37504*x^37 + 163424*x^36 - 653089*x^35 + 2424227*x^34 - 8429227*x^33 + 27684879*x^32 - 86328882*x^31 + 256735509*x^30 - 730024655*x^29 + 1991090346*x^28 - 5216701163*x^27 + 13158377790*x^26 - 31970357867*x^25 + 74948907297*x^24 - 169511696295*x^23 + 370383530887*x^22 - 781186383780*x^21 + 1592472532020*x^20 - 3132457376500*x^19 + 5954059663605*x^18 - 10905928130092*x^17 + 19286342092183*x^16 - 32785066852903*x^15 + 53727191837034*x^14 - 84287557742257*x^13 + 127210697307990*x^12 - 182579457912758*x^11 + 251464793643596*x^10 - 325756069207898*x^9 + 403964380869043*x^8 - 462110196994188*x^7 + 505689982566923*x^6 - 491465579236069*x^5 + 459935510967285*x^4 - 350571727520514*x^3 + 266244504765895*x^2 - 126760076648507*x + 70799148954451, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![70799148954451, -126760076648507, 266244504765895, -350571727520514, 459935510967285, -491465579236069, 505689982566923, -462110196994188, 403964380869043, -325756069207898, 251464793643596, -182579457912758, 127210697307990, -84287557742257, 53727191837034, -32785066852903, 19286342092183, -10905928130092, 5954059663605, -3132457376500, 1592472532020, -781186383780, 370383530887, -169511696295, 74948907297, -31970357867, 13158377790, -5216701163, 1991090346, -730024655, 256735509, -86328882, 27684879, -8429227, 2424227, -653089, 163424, -37504, 7730, -1368, 193, -19, 1]);
 

\( x^{42} - 19 x^{41} + 193 x^{40} - 1368 x^{39} + 7730 x^{38} - 37504 x^{37} + 163424 x^{36} - 653089 x^{35} + 2424227 x^{34} - 8429227 x^{33} + 27684879 x^{32} - 86328882 x^{31} + 256735509 x^{30} - 730024655 x^{29} + 1991090346 x^{28} - 5216701163 x^{27} + 13158377790 x^{26} - 31970357867 x^{25} + 74948907297 x^{24} - 169511696295 x^{23} + 370383530887 x^{22} - 781186383780 x^{21} + 1592472532020 x^{20} - 3132457376500 x^{19} + 5954059663605 x^{18} - 10905928130092 x^{17} + 19286342092183 x^{16} - 32785066852903 x^{15} + 53727191837034 x^{14} - 84287557742257 x^{13} + 127210697307990 x^{12} - 182579457912758 x^{11} + 251464793643596 x^{10} - 325756069207898 x^{9} + 403964380869043 x^{8} - 462110196994188 x^{7} + 505689982566923 x^{6} - 491465579236069 x^{5} + 459935510967285 x^{4} - 350571727520514 x^{3} + 266244504765895 x^{2} - 126760076648507 x + 70799148954451 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $42$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[0, 21]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(-16\!\cdots\!211\)\(\medspace = -\,11^{21}\cdot 43^{40}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $119.23$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $11, 43$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $42$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(473=11\cdot 43\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{473}(384,·)$, $\chi_{473}(1,·)$, $\chi_{473}(133,·)$, $\chi_{473}(10,·)$, $\chi_{473}(397,·)$, $\chi_{473}(142,·)$, $\chi_{473}(144,·)$, $\chi_{473}(274,·)$, $\chi_{473}(21,·)$, $\chi_{473}(23,·)$, $\chi_{473}(408,·)$, $\chi_{473}(153,·)$, $\chi_{473}(164,·)$, $\chi_{473}(296,·)$, $\chi_{473}(298,·)$, $\chi_{473}(428,·)$, $\chi_{473}(307,·)$, $\chi_{473}(54,·)$, $\chi_{473}(439,·)$, $\chi_{473}(56,·)$, $\chi_{473}(441,·)$, $\chi_{473}(186,·)$, $\chi_{473}(188,·)$, $\chi_{473}(318,·)$, $\chi_{473}(67,·)$, $\chi_{473}(197,·)$, $\chi_{473}(461,·)$, $\chi_{473}(78,·)$, $\chi_{473}(208,·)$, $\chi_{473}(210,·)$, $\chi_{473}(342,·)$, $\chi_{473}(87,·)$, $\chi_{473}(219,·)$, $\chi_{473}(221,·)$, $\chi_{473}(353,·)$, $\chi_{473}(100,·)$, $\chi_{473}(230,·)$, $\chi_{473}(232,·)$, $\chi_{473}(109,·)$, $\chi_{473}(111,·)$, $\chi_{473}(375,·)$$\chi_{473}(122,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $a^{36}$, $a^{37}$, $a^{38}$, $a^{39}$, $a^{40}$, $\frac{1}{13675486286696984586061141331507159949901479672499120344160912113083012787409750184636757541941905442812823399338549150414936504511906312688073329218136347687179985766902656594741299929504039945261011107437903646778707508806112788192968071249659} a^{41} - \frac{557141488705887720870327466772228329566619750615229062167191006134439004100430531202670652855963030900787947793355223475375453600664239892899306135960779917636560676613788238364196856166550859322665532762312034437464977132332419089834353668841}{13675486286696984586061141331507159949901479672499120344160912113083012787409750184636757541941905442812823399338549150414936504511906312688073329218136347687179985766902656594741299929504039945261011107437903646778707508806112788192968071249659} a^{40} - \frac{1806468737060893702316486763388728448478693420619520758996596228442212050038534595398067098405014773174159632827387102170024210350803146426377364248804094452044093931571136271659424294996662085701030453797387786416404255037019293404240575500688}{13675486286696984586061141331507159949901479672499120344160912113083012787409750184636757541941905442812823399338549150414936504511906312688073329218136347687179985766902656594741299929504039945261011107437903646778707508806112788192968071249659} a^{39} + \frac{4509803733616448722613684609416949279896875691705389797142100164106687977349382080304481210217826445078912141846234251837990472143016631225537954209868802190759371901621466384229570062182665212481118004897451725265686377695008709551237748539996}{13675486286696984586061141331507159949901479672499120344160912113083012787409750184636757541941905442812823399338549150414936504511906312688073329218136347687179985766902656594741299929504039945261011107437903646778707508806112788192968071249659} a^{38} - \frac{1471385522487593314760774737834887892378583871188967187060189207141073489662987624292465517387395199574929233973026592963712459154346822329422896095460878995856588646339644181354054484461038238439732725631183078487049140208753636766827489458106}{13675486286696984586061141331507159949901479672499120344160912113083012787409750184636757541941905442812823399338549150414936504511906312688073329218136347687179985766902656594741299929504039945261011107437903646778707508806112788192968071249659} a^{37} + \frac{5032689191451519001356324558623932509923190584733997867142329378119411907534556876309660673542331418402203686502287023476961183061253327177801908095276880262690615011530089443315559719696521708203883210012619628571199828240960130420023157757969}{13675486286696984586061141331507159949901479672499120344160912113083012787409750184636757541941905442812823399338549150414936504511906312688073329218136347687179985766902656594741299929504039945261011107437903646778707508806112788192968071249659} a^{36} + \frac{3588496684110686834652518575285072707329716469464353233045973406380188243242506179291856339338304136811522495873232068918526649469911088812099957223773415934061374461536985927639615670169291994468643956158377147987256387307272728712024973831510}{13675486286696984586061141331507159949901479672499120344160912113083012787409750184636757541941905442812823399338549150414936504511906312688073329218136347687179985766902656594741299929504039945261011107437903646778707508806112788192968071249659} a^{35} - \frac{13441472632841075780553172086608868570486382066529339617803672600951156977952732034229348320988172214655096892247182085343857243272738091280229270942079164787878499044001025307891007013576022304918007698538785203140596712624688897783524507152}{53212008897653636521638682223763268287554395612837044140703938183202384386808366477185827011447102890322270036336767122237107021447106275050868985284577228354785936836197107372534240970832840253933895359680558936882130384459582833435673428987} a^{34} - \frac{5956854695392141954096568869223545113193455362983722856988907550064013660649041874783810252063522205768631894878645144744541187983930967743144120055367161514630712527550316183881230411807191285190459533362288903335516726920386939218732671961036}{13675486286696984586061141331507159949901479672499120344160912113083012787409750184636757541941905442812823399338549150414936504511906312688073329218136347687179985766902656594741299929504039945261011107437903646778707508806112788192968071249659} a^{33} - \frac{4226963530737506793493996479307863313647411507184181378983291363074339108279054204784396299511498728381739036582293038533365264262908431319678114562289152092459819788461094439371988321281723860821518690794906823773160980024690289264040500175071}{13675486286696984586061141331507159949901479672499120344160912113083012787409750184636757541941905442812823399338549150414936504511906312688073329218136347687179985766902656594741299929504039945261011107437903646778707508806112788192968071249659} a^{32} - \frac{4022511185081337130138053951855130162635260222890717725044657736744364019978645389532465594701076872366493883046024232085290678275428426936623984101729436402882095239190111384976085402224803973992846005089991166887983893098073855104606562959639}{13675486286696984586061141331507159949901479672499120344160912113083012787409750184636757541941905442812823399338549150414936504511906312688073329218136347687179985766902656594741299929504039945261011107437903646778707508806112788192968071249659} a^{31} + \frac{2312608952865714370217830116961087145139681127649732304721491459183278853930041243716218537086131442266237654117934056794534612914770403216346736685131662255958134929458797056726054337933375925860769890688599180517546770974666993239423971310578}{13675486286696984586061141331507159949901479672499120344160912113083012787409750184636757541941905442812823399338549150414936504511906312688073329218136347687179985766902656594741299929504039945261011107437903646778707508806112788192968071249659} a^{30} - \frac{6495364196016206291081742946537027344151628050331213829173692505478167740155373620189677804015143088553856003183016615827833762047326909302818236868550461972128802290468227114951343177130741803406001141151452556575542175416796839134428600426250}{13675486286696984586061141331507159949901479672499120344160912113083012787409750184636757541941905442812823399338549150414936504511906312688073329218136347687179985766902656594741299929504039945261011107437903646778707508806112788192968071249659} a^{29} + \frac{525138081939076529121743159667292230115980247700258172443323323559439598427919620044532610712181260946800244732031992153169878696054449501855761628308360468011626028607068112470729562359601564360610318283472965355581346478577598295657287395061}{13675486286696984586061141331507159949901479672499120344160912113083012787409750184636757541941905442812823399338549150414936504511906312688073329218136347687179985766902656594741299929504039945261011107437903646778707508806112788192968071249659} a^{28} - \frac{1094748476476491718029477973234211748503430162733617088560158393594747836628587418589441329350682782338170691987332609898210406048471568961402691160478156375132094404759521172649121122474209045476754084289772440662238967742173344882745250071049}{13675486286696984586061141331507159949901479672499120344160912113083012787409750184636757541941905442812823399338549150414936504511906312688073329218136347687179985766902656594741299929504039945261011107437903646778707508806112788192968071249659} a^{27} - \frac{5139963430704842005901055666506301927763085098993821657488158929579333764128713470037722927163494441043992085631587472815651493113226352904695125398284043791580148674112729010350680324780731087217700324176379298978788909966843387448900397741376}{13675486286696984586061141331507159949901479672499120344160912113083012787409750184636757541941905442812823399338549150414936504511906312688073329218136347687179985766902656594741299929504039945261011107437903646778707508806112788192968071249659} a^{26} - \frac{2343068117590199084918533941214665417802895520615417288766314026656004461710938881998679744954694836274523270190600303317945140705962551786141160342289864879426082598021076273736922246439499142106824551674076110725557189762685487526785764456071}{13675486286696984586061141331507159949901479672499120344160912113083012787409750184636757541941905442812823399338549150414936504511906312688073329218136347687179985766902656594741299929504039945261011107437903646778707508806112788192968071249659} a^{25} + \frac{6064171614967814588396918480501343619618732632002941850387107969267773422063177553686421777231458533952953981742236637719589060222228093048612754824551272603637637528000413501455527689295839194914584749545936545026537455958145220933631827023919}{13675486286696984586061141331507159949901479672499120344160912113083012787409750184636757541941905442812823399338549150414936504511906312688073329218136347687179985766902656594741299929504039945261011107437903646778707508806112788192968071249659} a^{24} + \frac{3564487748381583144255520265385641595230241414469626378292357767509155426640315691274433721995535925631676488900888610480742445610588678478300385383482149183829320290421695208373236907338913769468745218663472571996230650499395513771632016686676}{13675486286696984586061141331507159949901479672499120344160912113083012787409750184636757541941905442812823399338549150414936504511906312688073329218136347687179985766902656594741299929504039945261011107437903646778707508806112788192968071249659} a^{23} - \frac{475435206822484307866018337695380752241843642051266245525083971742182308458861189333325839814525476684168141020848970929839248392246205920086524141045081492072049261406916644903767751926784417587289042819746234998650766256691086469195456726415}{13675486286696984586061141331507159949901479672499120344160912113083012787409750184636757541941905442812823399338549150414936504511906312688073329218136347687179985766902656594741299929504039945261011107437903646778707508806112788192968071249659} a^{22} - \frac{3115271692558937683669335037219052053442647894662678081998031210715475456592621436524804366537172040642193744835685354641958035499365569161190510231727766732524094588928141547691285228543769990630523859009817464500277746276630298508280602976048}{13675486286696984586061141331507159949901479672499120344160912113083012787409750184636757541941905442812823399338549150414936504511906312688073329218136347687179985766902656594741299929504039945261011107437903646778707508806112788192968071249659} a^{21} + \frac{4548668805688998465539246584549631544444811695382747443245786527737696138286096206071605521263912901070009706574358970488732980828373317375944271384005808144520132573672799025947610621035885601045785117753251002585630593107797435111150226104175}{13675486286696984586061141331507159949901479672499120344160912113083012787409750184636757541941905442812823399338549150414936504511906312688073329218136347687179985766902656594741299929504039945261011107437903646778707508806112788192968071249659} a^{20} - \frac{4324344308869665102274339829634823697667173498316342498341271634036524288065251122947529705815354215758637713296785815197317308914248281894284851758283195551031871654370736847868307688706582059536552622095586619028990013116471072888643990570197}{13675486286696984586061141331507159949901479672499120344160912113083012787409750184636757541941905442812823399338549150414936504511906312688073329218136347687179985766902656594741299929504039945261011107437903646778707508806112788192968071249659} a^{19} + \frac{4232917094872860154321103859482211187611344168793901939241791382664043738559813162604964292239548252252438281272142566345184671250871197525404394442935008974865602559889656732735389989298120282691710026086925097426167562741050219748628341419203}{13675486286696984586061141331507159949901479672499120344160912113083012787409750184636757541941905442812823399338549150414936504511906312688073329218136347687179985766902656594741299929504039945261011107437903646778707508806112788192968071249659} a^{18} + \frac{3223165309761413137735072488048204605016857607066996452245900101941794687890357104382237529456098551430435278330036440480588708453363946283948459024053906661854945931077904614911616632316924954915507150250160370624992902103361673591438134869340}{13675486286696984586061141331507159949901479672499120344160912113083012787409750184636757541941905442812823399338549150414936504511906312688073329218136347687179985766902656594741299929504039945261011107437903646778707508806112788192968071249659} a^{17} + \frac{6563962477824945991175554610012297546056420434203980257293153163602462142893467894171715873497134496333291147664849699614377748107554211399385021544839898041284004455850619707202374644043532482340522521547508216317265048270431841966744167920122}{13675486286696984586061141331507159949901479672499120344160912113083012787409750184636757541941905442812823399338549150414936504511906312688073329218136347687179985766902656594741299929504039945261011107437903646778707508806112788192968071249659} a^{16} - \frac{6814825400895393790786594881870432217336943115867240320926168533288301095323167867007843263004638943911242354698455812240511497026459456964692947001772031450692240231417866325223988246203128892827404721131300079861852766955332935443101371809620}{13675486286696984586061141331507159949901479672499120344160912113083012787409750184636757541941905442812823399338549150414936504511906312688073329218136347687179985766902656594741299929504039945261011107437903646778707508806112788192968071249659} a^{15} - \frac{1063644038783318370271922195399911282996700565549844366638044643779372838552001490158933625847676181616170681783026632390766966138298325407409841453029525358582742679203473749951182118889266813099236314286332999235673368480298484039998798902434}{13675486286696984586061141331507159949901479672499120344160912113083012787409750184636757541941905442812823399338549150414936504511906312688073329218136347687179985766902656594741299929504039945261011107437903646778707508806112788192968071249659} a^{14} - \frac{1855250815259885628392410703581555855125959469093016596351177966552787121681401332101624006481281990385518477886803497801187174956734967036947615050612373459334312534661322885491625881650419579899656609651464313100785728301865301204907034396987}{13675486286696984586061141331507159949901479672499120344160912113083012787409750184636757541941905442812823399338549150414936504511906312688073329218136347687179985766902656594741299929504039945261011107437903646778707508806112788192968071249659} a^{13} + \frac{4036889306078977288992748649890130518780262096786827720832028626130942395587594354469454718977225565584915508256780037527049681016310327054767977398969503430385032041382991709987668981413207352238146914588687620679223163838689342762844162251237}{13675486286696984586061141331507159949901479672499120344160912113083012787409750184636757541941905442812823399338549150414936504511906312688073329218136347687179985766902656594741299929504039945261011107437903646778707508806112788192968071249659} a^{12} - \frac{2090621558985878885825014138123028671256022760920023209485171507213427796618795599075687788360346045058339631654305567444360253944919763566182964363350468618195694797016026979227711006198470773331380502017721241913459201109118032266136012191731}{13675486286696984586061141331507159949901479672499120344160912113083012787409750184636757541941905442812823399338549150414936504511906312688073329218136347687179985766902656594741299929504039945261011107437903646778707508806112788192968071249659} a^{11} - \frac{819696197685020060134822874515573498280380296517787086910766683145690329153670539069763191024885959133056853587555595502938583785861481965268717913888698091863419882752785837639245138518541395328963459734587099765330914792024051784364713464727}{13675486286696984586061141331507159949901479672499120344160912113083012787409750184636757541941905442812823399338549150414936504511906312688073329218136347687179985766902656594741299929504039945261011107437903646778707508806112788192968071249659} a^{10} - \frac{3873793055049356863072048460558681091599244852373636251736074906777980321499034986908824832448987823765660160565839719131715431528267142651800084479778389705282977220661988755760077838911558398067325660226614615080337376302519783527812546611932}{13675486286696984586061141331507159949901479672499120344160912113083012787409750184636757541941905442812823399338549150414936504511906312688073329218136347687179985766902656594741299929504039945261011107437903646778707508806112788192968071249659} a^{9} - \frac{5515898946226042856407772388861545152041249007922804330000352968360756777274703997322133079575444231611934309136151198828877359439478124186990913173519616406404887505261707990677630008298307489604686352828149110750295638700641334459906659363826}{13675486286696984586061141331507159949901479672499120344160912113083012787409750184636757541941905442812823399338549150414936504511906312688073329218136347687179985766902656594741299929504039945261011107437903646778707508806112788192968071249659} a^{8} - \frac{3501450113380579728513069372890665395844762648911000429588824656641968835891076833303657804478061429322920547871251363391818320671695269613360055269728295541255093028865716227529247552231716175482010265891226397830798076173776852639198109436114}{13675486286696984586061141331507159949901479672499120344160912113083012787409750184636757541941905442812823399338549150414936504511906312688073329218136347687179985766902656594741299929504039945261011107437903646778707508806112788192968071249659} a^{7} + \frac{1808566996925771745369244084635749984470652571661750423817030556608684650562945415622280215119909111605498845855654585277552365573366857101670156345223046026163218212813786433281392662934318230616681960356290813712313185885941449732355115847176}{13675486286696984586061141331507159949901479672499120344160912113083012787409750184636757541941905442812823399338549150414936504511906312688073329218136347687179985766902656594741299929504039945261011107437903646778707508806112788192968071249659} a^{6} - \frac{1915630268227659827023369096861357744502099907188933270352390819532797452270202501477392021500206104310964612886588698485485305894744166773258229899037499628266634711851070755223203182408070193140097611489411019519161871400026790803051621382659}{13675486286696984586061141331507159949901479672499120344160912113083012787409750184636757541941905442812823399338549150414936504511906312688073329218136347687179985766902656594741299929504039945261011107437903646778707508806112788192968071249659} a^{5} - \frac{2695358429017283952883738429565513701168207037286679697397606662336301060768600297802779600920599060368684549189608340352073574610102163088211377868636973014525807464098243830719744623023758863481301194145057236241614412889292678668605792157371}{13675486286696984586061141331507159949901479672499120344160912113083012787409750184636757541941905442812823399338549150414936504511906312688073329218136347687179985766902656594741299929504039945261011107437903646778707508806112788192968071249659} a^{4} - \frac{5964713153876527666615610202577630695463920762623668025830358681741501914242567280508773402699249465435058751564234717142072531781817320799209809025834606304146724003860343527731934606770306678256253394743172702277951845482557030529323581664850}{13675486286696984586061141331507159949901479672499120344160912113083012787409750184636757541941905442812823399338549150414936504511906312688073329218136347687179985766902656594741299929504039945261011107437903646778707508806112788192968071249659} a^{3} - \frac{6594096192880528723266748399864104457873321457854739821874375787880547379681990258802098443961605760273670508487074616106216416790879195176057330060804707245104098322250048440053518735333474042827057465827351105501391765005616444089788239131011}{13675486286696984586061141331507159949901479672499120344160912113083012787409750184636757541941905442812823399338549150414936504511906312688073329218136347687179985766902656594741299929504039945261011107437903646778707508806112788192968071249659} a^{2} + \frac{3800092594810497395962887418864847419075660209987750739433200146262595051045665093168079384028236371936541730657372125824136010792615483899010535599157924337088001002963273060068148048765591618464841109672362248133113032829135573311660166479908}{13675486286696984586061141331507159949901479672499120344160912113083012787409750184636757541941905442812823399338549150414936504511906312688073329218136347687179985766902656594741299929504039945261011107437903646778707508806112788192968071249659} a + \frac{2645315334050528549169255417179237708871731559853549914254332131872701527877156411555491780144005017810756340294049237935356831828257267323739762540569780012001699239046748113024981233613477211647763480965604021086208439127023813147917455471721}{13675486286696984586061141331507159949901479672499120344160912113083012787409750184636757541941905442812823399338549150414936504511906312688073329218136347687179985766902656594741299929504039945261011107437903646778707508806112788192968071249659}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $20$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  not computed
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) $ not computed

Galois group

$C_{42}$ (as 42T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
A cyclic group of order 42
The 42 conjugacy class representatives for $C_{42}$
Character table for $C_{42}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-11}) \), 3.3.1849.1, 6.0.4550424131.1, 7.7.6321363049.1, 14.0.778700158443122158226851571.1, \(\Q(\zeta_{43})^+\)

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.14.0.1}{14} }^{3}$ $21^{2}$ $21^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/7.6.0.1}{6} }^{7}$ R $42$ $42$ $42$ $21^{2}$ $42$ $21^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/37.3.0.1}{3} }^{14}$ ${\href{/LocalNumberField/41.14.0.1}{14} }^{3}$ R ${\href{/LocalNumberField/47.7.0.1}{7} }^{6}$ $21^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/59.7.0.1}{7} }^{6}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
$11$11.14.7.2$x^{14} - 1771561 x^{2} + 77948684$$2$$7$$7$$C_{14}$$[\ ]_{2}^{7}$
11.14.7.2$x^{14} - 1771561 x^{2} + 77948684$$2$$7$$7$$C_{14}$$[\ ]_{2}^{7}$
11.14.7.2$x^{14} - 1771561 x^{2} + 77948684$$2$$7$$7$$C_{14}$$[\ ]_{2}^{7}$
43Data not computed