Properties

Label 42.0.12493882849...2811.1
Degree $42$
Signature $[0, 21]$
Discriminant $-\,7^{76}\cdot 11^{21}$
Root discriminant $112.18$
Ramified primes $7, 11$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{42}$ (as 42T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^42 - 21*x^41 + 231*x^40 - 1750*x^39 + 10395*x^38 - 52269*x^37 + 233611*x^36 - 952918*x^35 + 3599785*x^34 - 12710201*x^33 + 42287014*x^32 - 133370664*x^31 + 400618099*x^30 - 1149584975*x^29 + 3160451592*x^28 - 8341179427*x^27 + 21174580693*x^26 - 51755274760*x^25 + 121953514697*x^24 - 277155797093*x^23 + 608007380806*x^22 - 1287295716241*x^21 + 2631847521996*x^20 - 5192066875520*x^19 + 9886990587068*x^18 - 18146977046303*x^17 + 32112635555588*x^16 - 54655115299659*x^15 + 89504829240548*x^14 - 140479267770793*x^13 + 211514505374151*x^12 - 303526580264439*x^11 + 416119886096880*x^10 - 538840804150264*x^9 + 662937764461147*x^8 - 758558920220686*x^7 + 819087800747125*x^6 - 798550011094073*x^5 + 729734808064227*x^4 - 562691756062212*x^3 + 407486767661645*x^2 - 201294019183845*x + 99519182315771)
 
gp: K = bnfinit(x^42 - 21*x^41 + 231*x^40 - 1750*x^39 + 10395*x^38 - 52269*x^37 + 233611*x^36 - 952918*x^35 + 3599785*x^34 - 12710201*x^33 + 42287014*x^32 - 133370664*x^31 + 400618099*x^30 - 1149584975*x^29 + 3160451592*x^28 - 8341179427*x^27 + 21174580693*x^26 - 51755274760*x^25 + 121953514697*x^24 - 277155797093*x^23 + 608007380806*x^22 - 1287295716241*x^21 + 2631847521996*x^20 - 5192066875520*x^19 + 9886990587068*x^18 - 18146977046303*x^17 + 32112635555588*x^16 - 54655115299659*x^15 + 89504829240548*x^14 - 140479267770793*x^13 + 211514505374151*x^12 - 303526580264439*x^11 + 416119886096880*x^10 - 538840804150264*x^9 + 662937764461147*x^8 - 758558920220686*x^7 + 819087800747125*x^6 - 798550011094073*x^5 + 729734808064227*x^4 - 562691756062212*x^3 + 407486767661645*x^2 - 201294019183845*x + 99519182315771, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![99519182315771, -201294019183845, 407486767661645, -562691756062212, 729734808064227, -798550011094073, 819087800747125, -758558920220686, 662937764461147, -538840804150264, 416119886096880, -303526580264439, 211514505374151, -140479267770793, 89504829240548, -54655115299659, 32112635555588, -18146977046303, 9886990587068, -5192066875520, 2631847521996, -1287295716241, 608007380806, -277155797093, 121953514697, -51755274760, 21174580693, -8341179427, 3160451592, -1149584975, 400618099, -133370664, 42287014, -12710201, 3599785, -952918, 233611, -52269, 10395, -1750, 231, -21, 1]);
 

Normalized defining polynomial

\( x^{42} - 21 x^{41} + 231 x^{40} - 1750 x^{39} + 10395 x^{38} - 52269 x^{37} + 233611 x^{36} - 952918 x^{35} + 3599785 x^{34} - 12710201 x^{33} + 42287014 x^{32} - 133370664 x^{31} + 400618099 x^{30} - 1149584975 x^{29} + 3160451592 x^{28} - 8341179427 x^{27} + 21174580693 x^{26} - 51755274760 x^{25} + 121953514697 x^{24} - 277155797093 x^{23} + 608007380806 x^{22} - 1287295716241 x^{21} + 2631847521996 x^{20} - 5192066875520 x^{19} + 9886990587068 x^{18} - 18146977046303 x^{17} + 32112635555588 x^{16} - 54655115299659 x^{15} + 89504829240548 x^{14} - 140479267770793 x^{13} + 211514505374151 x^{12} - 303526580264439 x^{11} + 416119886096880 x^{10} - 538840804150264 x^{9} + 662937764461147 x^{8} - 758558920220686 x^{7} + 819087800747125 x^{6} - 798550011094073 x^{5} + 729734808064227 x^{4} - 562691756062212 x^{3} + 407486767661645 x^{2} - 201294019183845 x + 99519182315771 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $42$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[0, 21]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(-124938828493629533000907736270182756286928467256210015044892719712262808512338377882811=-\,7^{76}\cdot 11^{21}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $112.18$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $7, 11$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $42$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(539=7^{2}\cdot 11\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{539}(1,·)$, $\chi_{539}(386,·)$, $\chi_{539}(263,·)$, $\chi_{539}(142,·)$, $\chi_{539}(527,·)$, $\chi_{539}(144,·)$, $\chi_{539}(529,·)$, $\chi_{539}(274,·)$, $\chi_{539}(23,·)$, $\chi_{539}(408,·)$, $\chi_{539}(155,·)$, $\chi_{539}(32,·)$, $\chi_{539}(417,·)$, $\chi_{539}(296,·)$, $\chi_{539}(298,·)$, $\chi_{539}(43,·)$, $\chi_{539}(428,·)$, $\chi_{539}(177,·)$, $\chi_{539}(309,·)$, $\chi_{539}(186,·)$, $\chi_{539}(65,·)$, $\chi_{539}(450,·)$, $\chi_{539}(67,·)$, $\chi_{539}(452,·)$, $\chi_{539}(197,·)$, $\chi_{539}(331,·)$, $\chi_{539}(78,·)$, $\chi_{539}(463,·)$, $\chi_{539}(340,·)$, $\chi_{539}(219,·)$, $\chi_{539}(221,·)$, $\chi_{539}(351,·)$, $\chi_{539}(100,·)$, $\chi_{539}(485,·)$, $\chi_{539}(232,·)$, $\chi_{539}(109,·)$, $\chi_{539}(494,·)$, $\chi_{539}(373,·)$, $\chi_{539}(375,·)$, $\chi_{539}(120,·)$, $\chi_{539}(505,·)$, $\chi_{539}(254,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $a^{36}$, $a^{37}$, $a^{38}$, $\frac{1}{97} a^{39} - \frac{29}{97} a^{38} - \frac{37}{97} a^{37} - \frac{8}{97} a^{36} + \frac{28}{97} a^{35} + \frac{42}{97} a^{34} + \frac{18}{97} a^{33} - \frac{4}{97} a^{32} + \frac{47}{97} a^{31} + \frac{34}{97} a^{30} - \frac{16}{97} a^{29} - \frac{36}{97} a^{28} + \frac{30}{97} a^{27} - \frac{16}{97} a^{26} - \frac{35}{97} a^{25} - \frac{43}{97} a^{24} - \frac{47}{97} a^{23} + \frac{12}{97} a^{22} - \frac{6}{97} a^{21} + \frac{8}{97} a^{20} + \frac{23}{97} a^{19} + \frac{17}{97} a^{18} - \frac{20}{97} a^{17} - \frac{47}{97} a^{16} + \frac{16}{97} a^{15} - \frac{25}{97} a^{14} - \frac{6}{97} a^{13} + \frac{41}{97} a^{12} + \frac{14}{97} a^{11} + \frac{26}{97} a^{10} - \frac{25}{97} a^{9} - \frac{21}{97} a^{8} + \frac{11}{97} a^{7} + \frac{11}{97} a^{6} - \frac{6}{97} a^{5} - \frac{6}{97} a^{4} - \frac{26}{97} a^{3} - \frac{46}{97} a^{2} + \frac{36}{97} a + \frac{45}{97}$, $\frac{1}{97} a^{40} - \frac{5}{97} a^{38} - \frac{14}{97} a^{37} - \frac{10}{97} a^{36} - \frac{19}{97} a^{35} - \frac{25}{97} a^{34} + \frac{33}{97} a^{33} + \frac{28}{97} a^{32} + \frac{39}{97} a^{31} - \frac{15}{97} a^{29} - \frac{44}{97} a^{28} - \frac{19}{97} a^{27} - \frac{14}{97} a^{26} + \frac{9}{97} a^{25} - \frac{33}{97} a^{24} + \frac{7}{97} a^{23} - \frac{46}{97} a^{22} + \frac{28}{97} a^{21} - \frac{36}{97} a^{20} + \frac{5}{97} a^{19} - \frac{12}{97} a^{18} - \frac{45}{97} a^{17} + \frac{11}{97} a^{16} - \frac{46}{97} a^{15} + \frac{45}{97} a^{14} - \frac{36}{97} a^{13} + \frac{39}{97} a^{12} + \frac{44}{97} a^{11} - \frac{47}{97} a^{10} + \frac{30}{97} a^{9} - \frac{16}{97} a^{8} + \frac{39}{97} a^{7} + \frac{22}{97} a^{6} + \frac{14}{97} a^{5} - \frac{6}{97} a^{4} - \frac{24}{97} a^{3} - \frac{37}{97} a^{2} + \frac{22}{97} a + \frac{44}{97}$, $\frac{1}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667} a^{41} - \frac{3143230332648095813451391625688262533517857716603313746645343323889850794906795276953370185204223444900048083582314201817178553098723571455906490162763874596879512849970486041191648806213088543828005132317401259958568070538415837188918260}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667} a^{40} - \frac{19102026733960307400430968516861917705638187030438491607308166090841618558666485697662063449828205360240952169755913708775935654582783321806538181638848240446589621096965995522786202466125505822782459351892587604922738573545614781712195510}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667} a^{39} - \frac{1130190502982989759116247870823791570782725070590138936750531446043189692954827769778856728855189650973106358632407107959936383951086373973844693557053192749776397799177062755930319075462243451123858053840807263388309359118865138248401548671}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667} a^{38} + \frac{2332611504624386427852786262081895308966456864723879850222463715405728982344407823276936805526911335877805359705518375757599787472153985426415306769482487360651670052284637090800917445467956457443045063004679898157967606512143421126111371121}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667} a^{37} - \frac{2261221685519527734868799377127348398102693295819703220673876502627753692613096754049936481209125509966890243890484646877291647604302616365511770947587532362916572948369292613354499631237001149419431383856882578609391145074574915673382333322}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667} a^{36} - \frac{2289464573119782236551605954413878220745801029763302642630612083436018267440089512665596094168289477493929979586873589945721288202772326416869026541403485908149078056864574030987299738278839652411267342623782587255305851289280082718126912029}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667} a^{35} + \frac{265348958250235387163073366024355980206671135282489596606981022916972496855307452832088233754385306564504156069250876133500136125271022990116345149790529625349491982284761580863953961992139308071871707302947339239432032081922180573180733094}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667} a^{34} - \frac{1186190015908078723409197335416177528524571053431881506789770628762365223287923015743899059309251732340786780875573435989446131213692259526486998027196698940275141964952872310373870758931539531941044227199459378161580227760398742466856596534}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667} a^{33} - \frac{708668454350403575381065237544403032506037460421085159569202484878386712619618956011062144147045066649352720722011184443583821884053381431860949892254387116019410535846616475998676924808584021399772128797402360961911541258972119406363056576}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667} a^{32} + \frac{999249344539868363654118738882212894333089441831571962364913936430021588984297914393566871430360085178145548652953120930497261146114304871670045015377212814429263879040471168099196538273759477304205040396023545996432481525459603246448827829}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667} a^{31} - \frac{705581235103024145557594793922772961853139300367444487935196655363898150263172096874936170527074288111346699518482776151487827816034113581270284034838480954649099793134402512759581108896177102522957832496330333755176552584230359811945861631}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667} a^{30} - \frac{180536979587935625872432645597097477843479461744897815273036400656503814472390233567703344208912794827261182488656356299590186013519455027094412032953459891989334059706159648168710865869488738573079083351950214361926504762906630515529715593}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667} a^{29} + \frac{381745237988516162153539637275578174041862913757179520586448608711721898053128819103636446457946516249703717914070318824258044789628330468746762637980116188283926846022358436922861802972277722174142589272764895342384663646754781295618668496}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667} a^{28} + \frac{434912586196384650238638706559814211516985881462297360458124577877405270779578705018587592302155929355122170202441996369887526092940994703838030782911623855990418075462755380168648004110143177539109558161355795618761092348907563768376591434}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667} a^{27} + \frac{454959811854454384126321572469188879680069717313095403914663758845341506576069099729980697765717456250518377274338501738305853183880598447189079547764513526611199056015107530631278081992563108407077470878503183441047366802639881220753009664}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667} a^{26} + \frac{2060910933765485926363968219654253381398776443666366850927408954638374131158798761114830073801890360120078128371700766040845355924627657886951358279183571041053017768191690999751050403234000826340668252195864477381461062138450419788434453124}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667} a^{25} - \frac{38744463202450429651105395110307383453704433856044291867921472765211196760859875159490615322233827647611380323537471139500319736151280039887001335579738521838345844275389586179619456160460259019943602919670736285755810517860495852153037957}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667} a^{24} + \frac{1167139004706772374953637624713344559683197563511462767782446712024802227535995156822531030925104588600539023486715383707273111795786687193483393571295469108442204364085234215980374196601934606281016754214862290503626761240255890226497869378}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667} a^{23} - \frac{342224826084964181266300751707948560127469874365020106548060442182263021470975789931286784386140037768769274094165924513481035312420230165005680973289128937086942781331221036160514424689220246178981789769059150445482998491435231786417788662}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667} a^{22} + \frac{208250415965713055951831619177204884407747819916080600681138902703096096686735488181635816770122298639845209980962045561139546013383024890895959153297990338044445278289073426546763575227718425874980273710089550341161912127290520934998697752}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667} a^{21} + \frac{56149600447616420512060759547059003421976629795333911034093620930411582687463119763879223100665875670447475478642169460352808246020061273826560367948381712751433744101917222629331861215191930707417926049995490921986097446138060113463744893}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667} a^{20} - \frac{754822354816843554626211554082431494704938017283242694894568901648268293335651762947292074777992503522304891290789205801501125850814941046589264655152180309206716107733241849234460870464576309127217112226488429581236555319925995139106034570}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667} a^{19} - \frac{146840204262134460264152595815514191685660226790558781396585189421982253974873747126574692515330604947546055257135392460870549896330755114629955262663097065390152864309618960132564069185079141009766523132831104933313775508684241219775291294}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667} a^{18} + \frac{1462420433798482243553429095307059293254124744136730344761573505106873004130462709576808377458818782256632283795273709427140196481958115386660937003251235857010125679688375287792880185701218773864425716997506672246764133992395399728923296583}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667} a^{17} + \frac{952984732074379171056478524196112865024206494599868446424746455384044698000341972526919270118017732862450282603569241264573531398755055526986822534993138106089683308420127561819392776015298575581750820859548736135474855564121631286661782937}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667} a^{16} + \frac{1079680412601356834365800760175063553777895704783983777360408451920336642181034317848745480322459247675801805189115654857800471576043667465075861584782215056980573324000573964206806809332060356673714774720924186547790524326732700923057019897}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667} a^{15} + \frac{312935092094778490927782620270241938624437295117614156251971763876418904035844884552089728422960072133642974739952477243933019645018646339979196045894119848097865354182054336688008111790340236593420857792842626396231288320196354443999044597}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667} a^{14} + \frac{608029941828343447205069906380478350002033759865978736663417925645560188829086540241862958414209312082936704724524928263277821504982042299588177953784012642020448454672158612139424994437226963218235880440607648478394765414977611147576917940}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667} a^{13} + \frac{866906395680740604965223734111560660496968740957235240882433171249720346757300475773503987710590609616816658894760213295235255260393330406474000515416767834844817548983483005929899920990935704377743590859431764657003836686830075859858136858}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667} a^{12} + \frac{539285964170979961051812013877053948005227699887857251584395047058713547877293407050290227995769924906223979128283759831943890022971977127059886966595965792112016706067968415336952135435019618551226677683212652498565633296753492129839701402}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667} a^{11} - \frac{963001294024786580915826988798716724939999803849820572072382600236247176912684419691664858049300438851636913190965405494865213281843306833379372204439673293243827571535688076762606863855873751705692511218772889158220100842395377523062769728}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667} a^{10} - \frac{248527891447221404949970109022481126106873208906476149465087141272664476402267296687529203750420436841700679172352723587269136226643307291607831990694657240037120363408217791882955069206680609072459495647657406908662781570613255819359656567}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667} a^{9} - \frac{787270889739483567961924165886537528454595460431087566258938673727243933095828202735367589984087753929038050060780047125724619345845134235840216301832451406975356013334352366736245946441790997537957384535368503654197409695915855995625045271}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667} a^{8} - \frac{164199516379083125185905521304122266518696392499105040362708196375329088059027198417627769077507491999196175820235165658389433741421287739260592551756480146580480285139666686813010207255559219390087857632642590900456790776119191720461877136}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667} a^{7} + \frac{2316201712383899255605711195366376664000746177583021215462965178108132287403683690906563803823318818322317522662206937738139196101506734946553455762455350445889934586228978985232569214101135232484415631983142987130350596305214973482813266216}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667} a^{6} + \frac{489900037663522405129190264954464747577086417535281906651106819723595044714894469009678523660023493144649341675978967691946537538614222449731310918736400712621107066932630529459208801335098982214884349135940792198213005363418565269635258816}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667} a^{5} + \frac{1762999699879962302343551000410470772055917541208130822227949941140921579786020086661125792277797596436321527433227952379430497185693400726122212350545217127066073483928953877459237905950388564893719127648750097373589053927508813375692044911}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667} a^{4} - \frac{1913655628033297820688987403471763727917530541105496330744714289723455302185024658387116480658220871797996830463930515294052260784287590966773277939837331268816547305143002061274017245404816432941040326987051328169502396379908642302468959122}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667} a^{3} + \frac{1000072820679215549887825651471344926588084389658389078286083196932145592159121436554260829202325235479687980197126099983312949223557388171316064816954258196223051459200302771295973799586487719912985877833018827382153090094486599799099969025}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667} a^{2} - \frac{1186462814804394009889771884233879033423434956506167176536476053324172882974027877126068638435703086481445819897044554519610297424478865805689407407743587144660308286009066063044935654955988910935784992625173579011692288376451875630955018146}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667} a - \frac{2040487356884308086468787248057096307050936062075951935740724574652100051979193267809272267391116800019401710942902954800329813065416013936893401183524383582285875434157229846079689520001016322726072345191256691943229193052738704429685521634}{4751106657981322737330322361782011560246445707158813170808985121306507646350120182276073185555473219334946259544170223982770246060498737417534525455438941547520277811987507262157328898565916524031835972360510549942799126003354225144606863667}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

Not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $20$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  Not computed
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  Not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Galois group

$C_{42}$ (as 42T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
A cyclic group of order 42
The 42 conjugacy class representatives for $C_{42}$
Character table for $C_{42}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-11}) \), \(\Q(\zeta_{7})^+\), 6.0.3195731.1, 7.7.13841287201.1, 14.0.3733376216303663794289149571.1, \(\Q(\zeta_{49})^+\)

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $42$ $21^{2}$ $21^{2}$ R R ${\href{/LocalNumberField/13.14.0.1}{14} }^{3}$ $42$ ${\href{/LocalNumberField/19.6.0.1}{6} }^{7}$ $21^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/29.14.0.1}{14} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/31.3.0.1}{3} }^{14}$ $21^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/41.14.0.1}{14} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/43.14.0.1}{14} }^{3}$ $21^{2}$ $21^{2}$ $21^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
7Data not computed
11Data not computed