Properties

Label 42.0.123...863.1
Degree $42$
Signature $[0, 21]$
Discriminant $-1.236\times 10^{87}$
Root discriminant $118.47$
Ramified primes $3, 29$
Class number not computed
Class group not computed
Galois group $C_{42}$ (as 42T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^42 + 6*x^40 - 4*x^39 - 207*x^38 - 72*x^37 - 857*x^36 + 225*x^35 + 13524*x^34 + 4498*x^33 + 47646*x^32 - 1779*x^31 - 319728*x^30 + 56511*x^29 - 873558*x^28 + 1268358*x^27 + 3182931*x^26 - 287550*x^25 + 12585242*x^24 - 25238916*x^23 + 37767705*x^22 + 35532417*x^21 + 14671665*x^20 + 387146580*x^19 - 33604015*x^18 + 83426931*x^17 + 893018691*x^16 - 978644267*x^15 + 2536898589*x^14 + 320653281*x^13 + 1627927205*x^12 + 1198131426*x^11 - 1595121042*x^10 - 2227675498*x^9 - 1701355491*x^8 - 2415610293*x^7 - 905477771*x^6 + 53305794*x^5 + 1490523864*x^4 + 2070850257*x^3 + 1799361396*x^2 + 662562267*x + 198529417)
 
gp: K = bnfinit(x^42 + 6*x^40 - 4*x^39 - 207*x^38 - 72*x^37 - 857*x^36 + 225*x^35 + 13524*x^34 + 4498*x^33 + 47646*x^32 - 1779*x^31 - 319728*x^30 + 56511*x^29 - 873558*x^28 + 1268358*x^27 + 3182931*x^26 - 287550*x^25 + 12585242*x^24 - 25238916*x^23 + 37767705*x^22 + 35532417*x^21 + 14671665*x^20 + 387146580*x^19 - 33604015*x^18 + 83426931*x^17 + 893018691*x^16 - 978644267*x^15 + 2536898589*x^14 + 320653281*x^13 + 1627927205*x^12 + 1198131426*x^11 - 1595121042*x^10 - 2227675498*x^9 - 1701355491*x^8 - 2415610293*x^7 - 905477771*x^6 + 53305794*x^5 + 1490523864*x^4 + 2070850257*x^3 + 1799361396*x^2 + 662562267*x + 198529417, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![198529417, 662562267, 1799361396, 2070850257, 1490523864, 53305794, -905477771, -2415610293, -1701355491, -2227675498, -1595121042, 1198131426, 1627927205, 320653281, 2536898589, -978644267, 893018691, 83426931, -33604015, 387146580, 14671665, 35532417, 37767705, -25238916, 12585242, -287550, 3182931, 1268358, -873558, 56511, -319728, -1779, 47646, 4498, 13524, 225, -857, -72, -207, -4, 6, 0, 1]);
 

\( x^{42} + 6 x^{40} - 4 x^{39} - 207 x^{38} - 72 x^{37} - 857 x^{36} + 225 x^{35} + 13524 x^{34} + 4498 x^{33} + 47646 x^{32} - 1779 x^{31} - 319728 x^{30} + 56511 x^{29} - 873558 x^{28} + 1268358 x^{27} + 3182931 x^{26} - 287550 x^{25} + 12585242 x^{24} - 25238916 x^{23} + 37767705 x^{22} + 35532417 x^{21} + 14671665 x^{20} + 387146580 x^{19} - 33604015 x^{18} + 83426931 x^{17} + 893018691 x^{16} - 978644267 x^{15} + 2536898589 x^{14} + 320653281 x^{13} + 1627927205 x^{12} + 1198131426 x^{11} - 1595121042 x^{10} - 2227675498 x^{9} - 1701355491 x^{8} - 2415610293 x^{7} - 905477771 x^{6} + 53305794 x^{5} + 1490523864 x^{4} + 2070850257 x^{3} + 1799361396 x^{2} + 662562267 x + 198529417 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $42$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[0, 21]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(-12\!\cdots\!863\)\(\medspace = -\,3^{63}\cdot 29^{39}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $118.47$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $3, 29$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $42$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(261=3^{2}\cdot 29\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{261}(256,·)$, $\chi_{261}(1,·)$, $\chi_{261}(260,·)$, $\chi_{261}(5,·)$, $\chi_{261}(7,·)$, $\chi_{261}(136,·)$, $\chi_{261}(139,·)$, $\chi_{261}(16,·)$, $\chi_{261}(149,·)$, $\chi_{261}(25,·)$, $\chi_{261}(158,·)$, $\chi_{261}(35,·)$, $\chi_{261}(38,·)$, $\chi_{261}(167,·)$, $\chi_{261}(169,·)$, $\chi_{261}(71,·)$, $\chi_{261}(173,·)$, $\chi_{261}(175,·)$, $\chi_{261}(49,·)$, $\chi_{261}(179,·)$, $\chi_{261}(52,·)$, $\chi_{261}(181,·)$, $\chi_{261}(62,·)$, $\chi_{261}(199,·)$, $\chi_{261}(190,·)$, $\chi_{261}(80,·)$, $\chi_{261}(209,·)$, $\chi_{261}(82,·)$, $\chi_{261}(212,·)$, $\chi_{261}(86,·)$, $\chi_{261}(88,·)$, $\chi_{261}(92,·)$, $\chi_{261}(94,·)$, $\chi_{261}(223,·)$, $\chi_{261}(226,·)$, $\chi_{261}(103,·)$, $\chi_{261}(236,·)$, $\chi_{261}(112,·)$, $\chi_{261}(245,·)$, $\chi_{261}(122,·)$, $\chi_{261}(125,·)$$\chi_{261}(254,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $\frac{1}{17} a^{16} + \frac{8}{17} a^{15} - \frac{4}{17} a^{14} + \frac{2}{17} a^{13} - \frac{1}{17} a^{12} - \frac{8}{17} a^{11} + \frac{4}{17} a^{10} - \frac{2}{17} a^{9} + \frac{1}{17} a^{8} + \frac{8}{17} a^{7} - \frac{4}{17} a^{6} + \frac{2}{17} a^{5} - \frac{1}{17} a^{4} - \frac{8}{17} a^{3} + \frac{4}{17} a^{2} - \frac{2}{17} a$, $\frac{1}{17} a^{17} - \frac{1}{17} a$, $\frac{1}{17} a^{18} - \frac{1}{17} a^{2}$, $\frac{1}{17} a^{19} - \frac{1}{17} a^{3}$, $\frac{1}{17} a^{20} - \frac{1}{17} a^{4}$, $\frac{1}{17} a^{21} - \frac{1}{17} a^{5}$, $\frac{1}{17} a^{22} - \frac{1}{17} a^{6}$, $\frac{1}{17} a^{23} - \frac{1}{17} a^{7}$, $\frac{1}{17} a^{24} - \frac{1}{17} a^{8}$, $\frac{1}{17} a^{25} - \frac{1}{17} a^{9}$, $\frac{1}{17} a^{26} - \frac{1}{17} a^{10}$, $\frac{1}{17} a^{27} - \frac{1}{17} a^{11}$, $\frac{1}{17} a^{28} - \frac{1}{17} a^{12}$, $\frac{1}{289} a^{29} - \frac{7}{289} a^{28} - \frac{4}{289} a^{27} + \frac{5}{289} a^{26} + \frac{1}{289} a^{25} + \frac{3}{289} a^{24} - \frac{6}{289} a^{23} - \frac{7}{289} a^{22} + \frac{4}{289} a^{21} - \frac{3}{289} a^{20} - \frac{7}{289} a^{19} - \frac{8}{289} a^{18} - \frac{3}{289} a^{17} - \frac{7}{289} a^{16} + \frac{12}{289} a^{15} - \frac{125}{289} a^{14} - \frac{83}{289} a^{13} - \frac{3}{289} a^{12} + \frac{43}{289} a^{11} + \frac{69}{289} a^{10} - \frac{21}{289} a^{9} + \frac{109}{289} a^{8} - \frac{135}{289} a^{7} + \frac{120}{289} a^{6} - \frac{103}{289} a^{5} - \frac{109}{289} a^{4} + \frac{12}{289} a^{3} - \frac{122}{289} a^{2} - \frac{5}{17} a$, $\frac{1}{289} a^{30} - \frac{2}{289} a^{28} - \frac{6}{289} a^{27} + \frac{2}{289} a^{26} - \frac{7}{289} a^{25} - \frac{2}{289} a^{24} + \frac{2}{289} a^{23} + \frac{6}{289} a^{22} + \frac{8}{289} a^{21} + \frac{6}{289} a^{20} - \frac{6}{289} a^{19} - \frac{8}{289} a^{18} + \frac{6}{289} a^{17} - \frac{3}{289} a^{16} - \frac{58}{289} a^{15} + \frac{62}{289} a^{14} + \frac{62}{289} a^{13} - \frac{63}{289} a^{12} + \frac{81}{289} a^{11} + \frac{54}{289} a^{10} - \frac{89}{289} a^{9} + \frac{101}{289} a^{8} - \frac{26}{289} a^{7} - \frac{28}{289} a^{6} + \frac{122}{289} a^{5} + \frac{48}{289} a^{4} - \frac{72}{289} a^{3} + \frac{13}{289} a^{2} - \frac{7}{17} a$, $\frac{1}{289} a^{31} - \frac{3}{289} a^{28} - \frac{6}{289} a^{27} + \frac{3}{289} a^{26} + \frac{8}{289} a^{24} - \frac{6}{289} a^{23} - \frac{6}{289} a^{22} - \frac{3}{289} a^{21} + \frac{5}{289} a^{20} - \frac{5}{289} a^{19} + \frac{7}{289} a^{18} + \frac{8}{289} a^{17} - \frac{4}{289} a^{16} + \frac{52}{289} a^{15} + \frac{118}{289} a^{14} - \frac{93}{289} a^{13} - \frac{10}{289} a^{12} - \frac{115}{289} a^{11} + \frac{32}{289} a^{10} - \frac{77}{289} a^{9} - \frac{29}{289} a^{8} - \frac{43}{289} a^{7} + \frac{90}{289} a^{6} - \frac{5}{289} a^{5} - \frac{86}{289} a^{4} + \frac{54}{289} a^{3} - \frac{108}{289} a^{2} - \frac{2}{17} a$, $\frac{1}{289} a^{32} + \frac{7}{289} a^{28} + \frac{8}{289} a^{27} - \frac{2}{289} a^{26} - \frac{6}{289} a^{25} + \frac{3}{289} a^{24} - \frac{7}{289} a^{23} - \frac{7}{289} a^{22} + \frac{3}{289} a^{20} + \frac{3}{289} a^{19} + \frac{1}{289} a^{18} + \frac{4}{289} a^{17} - \frac{3}{289} a^{16} - \frac{118}{289} a^{15} - \frac{43}{289} a^{14} - \frac{38}{289} a^{13} - \frac{124}{289} a^{12} + \frac{127}{289} a^{11} + \frac{11}{289} a^{10} - \frac{7}{289} a^{9} - \frac{39}{289} a^{8} - \frac{26}{289} a^{7} - \frac{104}{289} a^{6} + \frac{132}{289} a^{5} + \frac{33}{289} a^{4} - \frac{106}{289} a^{3} + \frac{25}{289} a^{2} + \frac{5}{17} a$, $\frac{1}{289} a^{33} + \frac{6}{289} a^{28} - \frac{8}{289} a^{27} - \frac{7}{289} a^{26} - \frac{4}{289} a^{25} + \frac{6}{289} a^{24} + \frac{1}{289} a^{23} - \frac{2}{289} a^{22} - \frac{8}{289} a^{21} + \frac{7}{289} a^{20} - \frac{1}{289} a^{19} - \frac{8}{289} a^{18} + \frac{1}{289} a^{17} - \frac{1}{289} a^{16} + \frac{128}{289} a^{15} - \frac{13}{289} a^{14} + \frac{15}{289} a^{13} + \frac{131}{289} a^{12} + \frac{67}{289} a^{11} + \frac{37}{289} a^{10} - \frac{28}{289} a^{9} + \frac{112}{289} a^{8} - \frac{26}{289} a^{7} - \frac{62}{289} a^{6} + \frac{6}{289} a^{5} + \frac{28}{289} a^{4} + \frac{26}{289} a^{3} + \frac{123}{289} a^{2} - \frac{6}{17} a$, $\frac{1}{4913} a^{34} - \frac{4}{4913} a^{33} + \frac{4}{4913} a^{31} + \frac{1}{4913} a^{30} - \frac{3}{4913} a^{29} + \frac{1}{289} a^{28} + \frac{82}{4913} a^{27} + \frac{129}{4913} a^{26} - \frac{96}{4913} a^{25} + \frac{116}{4913} a^{24} + \frac{26}{4913} a^{23} + \frac{45}{4913} a^{22} - \frac{35}{4913} a^{21} + \frac{58}{4913} a^{20} - \frac{120}{4913} a^{19} - \frac{62}{4913} a^{18} + \frac{128}{4913} a^{17} + \frac{23}{4913} a^{16} + \frac{1472}{4913} a^{15} - \frac{552}{4913} a^{14} - \frac{665}{4913} a^{13} + \frac{1065}{4913} a^{12} - \frac{1269}{4913} a^{11} - \frac{496}{4913} a^{10} + \frac{2447}{4913} a^{9} + \frac{2287}{4913} a^{8} + \frac{1280}{4913} a^{7} + \frac{696}{4913} a^{6} + \frac{761}{4913} a^{5} + \frac{718}{4913} a^{4} - \frac{13}{4913} a^{3} - \frac{139}{289} a^{2} - \frac{8}{17} a$, $\frac{1}{4913} a^{35} + \frac{1}{4913} a^{33} + \frac{4}{4913} a^{32} + \frac{1}{4913} a^{30} + \frac{5}{4913} a^{29} + \frac{14}{4913} a^{28} + \frac{134}{4913} a^{27} - \frac{39}{4913} a^{26} - \frac{47}{4913} a^{25} - \frac{122}{4913} a^{24} - \frac{21}{4913} a^{23} - \frac{76}{4913} a^{22} + \frac{122}{4913} a^{21} - \frac{143}{4913} a^{20} + \frac{104}{4913} a^{19} - \frac{86}{4913} a^{18} + \frac{127}{4913} a^{17} - \frac{7}{289} a^{16} - \frac{2331}{4913} a^{15} + \frac{108}{289} a^{14} + \frac{1686}{4913} a^{13} - \frac{2415}{4913} a^{12} + \frac{1857}{4913} a^{11} - \frac{1186}{4913} a^{10} + \frac{1348}{4913} a^{9} + \frac{1843}{4913} a^{8} + \frac{2348}{4913} a^{7} - \frac{1640}{4913} a^{6} + \frac{192}{4913} a^{5} + \frac{1907}{4913} a^{4} + \frac{577}{4913} a^{3} - \frac{19}{289} a^{2} - \frac{6}{17} a$, $\frac{1}{4913} a^{36} + \frac{8}{4913} a^{33} - \frac{3}{4913} a^{31} + \frac{4}{4913} a^{30} - \frac{53}{4913} a^{28} - \frac{53}{4913} a^{27} + \frac{28}{4913} a^{26} - \frac{43}{4913} a^{25} + \frac{101}{4913} a^{24} - \frac{93}{4913} a^{22} + \frac{113}{4913} a^{21} + \frac{97}{4913} a^{20} - \frac{8}{289} a^{19} + \frac{36}{4913} a^{18} + \frac{93}{4913} a^{17} + \frac{77}{4913} a^{16} - \frac{996}{4913} a^{15} + \frac{28}{4913} a^{14} - \frac{628}{4913} a^{13} - \frac{1180}{4913} a^{12} + \frac{508}{4913} a^{11} - \frac{196}{4913} a^{10} + \frac{42}{4913} a^{9} + \frac{231}{4913} a^{8} - \frac{1781}{4913} a^{7} - \frac{1677}{4913} a^{6} + \frac{2319}{4913} a^{5} - \frac{600}{4913} a^{4} + \frac{931}{4913} a^{3} + \frac{142}{289} a^{2} - \frac{4}{17} a$, $\frac{1}{4913} a^{37} - \frac{2}{4913} a^{33} - \frac{3}{4913} a^{32} + \frac{6}{4913} a^{31} - \frac{8}{4913} a^{30} + \frac{5}{4913} a^{29} + \frac{134}{4913} a^{28} - \frac{118}{4913} a^{27} + \frac{13}{4913} a^{26} - \frac{117}{4913} a^{25} + \frac{109}{4913} a^{24} + \frac{124}{4913} a^{23} - \frac{43}{4913} a^{22} + \frac{105}{4913} a^{21} + \frac{97}{4913} a^{20} + \frac{44}{4913} a^{19} - \frac{40}{4913} a^{18} + \frac{56}{4913} a^{17} - \frac{75}{4913} a^{16} - \frac{2364}{4913} a^{15} - \frac{1788}{4913} a^{14} + \frac{536}{4913} a^{13} - \frac{481}{4913} a^{12} - \frac{1995}{4913} a^{11} + \frac{1562}{4913} a^{10} + \frac{1106}{4913} a^{9} - \frac{55}{289} a^{8} - \frac{87}{289} a^{7} - \frac{359}{4913} a^{6} - \frac{2183}{4913} a^{5} + \frac{32}{4913} a^{4} - \frac{2191}{4913} a^{3} - \frac{138}{289} a^{2} - \frac{2}{17} a$, $\frac{1}{5212693} a^{38} - \frac{308}{5212693} a^{37} - \frac{139}{5212693} a^{36} - \frac{372}{5212693} a^{35} - \frac{208}{5212693} a^{34} - \frac{1866}{5212693} a^{33} - \frac{8667}{5212693} a^{32} - \frac{4371}{5212693} a^{31} + \frac{2202}{5212693} a^{30} + \frac{2741}{5212693} a^{29} - \frac{101060}{5212693} a^{28} + \frac{145199}{5212693} a^{27} - \frac{27440}{5212693} a^{26} - \frac{74604}{5212693} a^{25} + \frac{52507}{5212693} a^{24} + \frac{129818}{5212693} a^{23} + \frac{3730}{5212693} a^{22} + \frac{16420}{5212693} a^{21} + \frac{131264}{5212693} a^{20} + \frac{67368}{5212693} a^{19} + \frac{130472}{5212693} a^{18} - \frac{98609}{5212693} a^{17} + \frac{88034}{5212693} a^{16} + \frac{229828}{5212693} a^{15} + \frac{228563}{5212693} a^{14} - \frac{1079584}{5212693} a^{13} - \frac{1981247}{5212693} a^{12} + \frac{617282}{5212693} a^{11} - \frac{928477}{5212693} a^{10} - \frac{199356}{5212693} a^{9} + \frac{149824}{306629} a^{8} - \frac{2241674}{5212693} a^{7} - \frac{1941197}{5212693} a^{6} + \frac{2533077}{5212693} a^{5} - \frac{186981}{5212693} a^{4} - \frac{258606}{5212693} a^{3} - \frac{149592}{306629} a^{2} - \frac{4534}{18037} a + \frac{171}{1061}$, $\frac{1}{10065710183} a^{39} - \frac{693407}{10065710183} a^{37} + \frac{845934}{10065710183} a^{36} - \frac{108418}{10065710183} a^{35} - \frac{538075}{10065710183} a^{34} + \frac{823782}{592100599} a^{33} - \frac{8140079}{10065710183} a^{32} + \frac{6634654}{10065710183} a^{31} + \frac{13194391}{10065710183} a^{30} - \frac{9296014}{10065710183} a^{29} + \frac{116898777}{10065710183} a^{28} - \frac{216174218}{10065710183} a^{27} - \frac{292366966}{10065710183} a^{26} + \frac{223105521}{10065710183} a^{25} + \frac{285773693}{10065710183} a^{24} + \frac{157464777}{10065710183} a^{23} - \frac{3696445}{592100599} a^{22} + \frac{115014856}{10065710183} a^{21} - \frac{28121373}{10065710183} a^{20} - \frac{166955380}{10065710183} a^{19} - \frac{276404228}{10065710183} a^{18} + \frac{212777769}{10065710183} a^{17} + \frac{8750953}{592100599} a^{16} - \frac{3650346423}{10065710183} a^{15} - \frac{2093441556}{10065710183} a^{14} - \frac{73884553}{592100599} a^{13} - \frac{5008118102}{10065710183} a^{12} - \frac{3191682121}{10065710183} a^{11} - \frac{1865189729}{10065710183} a^{10} + \frac{3881528539}{10065710183} a^{9} + \frac{3088065650}{10065710183} a^{8} - \frac{2380044768}{10065710183} a^{7} - \frac{931304273}{10065710183} a^{6} - \frac{3593236492}{10065710183} a^{5} + \frac{1763766231}{10065710183} a^{4} + \frac{4867707625}{10065710183} a^{3} + \frac{21345162}{592100599} a^{2} + \frac{4863152}{34829447} a + \frac{320040}{2048791}$, $\frac{1}{138775946293021} a^{40} - \frac{4824}{138775946293021} a^{39} + \frac{7277761}{138775946293021} a^{38} - \frac{9879772729}{138775946293021} a^{37} + \frac{9193626434}{138775946293021} a^{36} - \frac{30741187}{480193585789} a^{35} - \frac{7440172786}{138775946293021} a^{34} + \frac{22774559191}{138775946293021} a^{33} + \frac{14976882745}{138775946293021} a^{32} + \frac{119886313534}{138775946293021} a^{31} - \frac{54021005895}{138775946293021} a^{30} + \frac{212046587000}{138775946293021} a^{29} + \frac{262733580434}{138775946293021} a^{28} - \frac{127275818638}{138775946293021} a^{27} + \frac{2275994354817}{138775946293021} a^{26} - \frac{2522945137919}{138775946293021} a^{25} - \frac{970876768540}{138775946293021} a^{24} - \frac{1875168137693}{138775946293021} a^{23} - \frac{3450232024695}{138775946293021} a^{22} + \frac{430768055506}{138775946293021} a^{21} - \frac{288177305430}{138775946293021} a^{20} - \frac{2128228689425}{138775946293021} a^{19} + \frac{1957374771750}{138775946293021} a^{18} - \frac{130769782467}{8163290958413} a^{17} + \frac{3239512708677}{138775946293021} a^{16} - \frac{39047292592520}{138775946293021} a^{15} - \frac{30828516016660}{138775946293021} a^{14} - \frac{29013732515668}{138775946293021} a^{13} - \frac{51009137132875}{138775946293021} a^{12} + \frac{22048106632077}{138775946293021} a^{11} + \frac{12320459194338}{138775946293021} a^{10} + \frac{31621193366341}{138775946293021} a^{9} + \frac{43016344133621}{138775946293021} a^{8} - \frac{4214504147242}{138775946293021} a^{7} + \frac{33505348223429}{138775946293021} a^{6} - \frac{57632701720672}{138775946293021} a^{5} + \frac{983379550071}{138775946293021} a^{4} - \frac{1750453137359}{8163290958413} a^{3} + \frac{175215609328}{480193585789} a^{2} + \frac{13273729004}{28246681517} a + \frac{87947518}{1661569501}$, $\frac{1}{78268186377932673701251905809087296447393686866805257165620961660428668431730299933206321094765667265894733582359975595634375397476744141910584712447186272921587187997999} a^{41} + \frac{207891200285289104986452999197962356986942380825143428446382786161553045273907190821223629636531823030324702175516333015999262003535609304887946433200476571}{78268186377932673701251905809087296447393686866805257165620961660428668431730299933206321094765667265894733582359975595634375397476744141910584712447186272921587187997999} a^{40} + \frac{177134546087297564813678841219707099479121167068014092341715251263629687432165756437287219595413325089864208128829076418623952686588785908155553169223981518865}{4604010963407804335367759165240429202787863933341485715624762450613451084219429407835665946750921603876160798962351505625551493969220243641799100732187427818916893411647} a^{39} - \frac{4180455984284486317213789786012961168699475414861618706218718608035772141922736068415459057809212197075581329815565782744604235178303093996431040154860528720523380}{78268186377932673701251905809087296447393686866805257165620961660428668431730299933206321094765667265894733582359975595634375397476744141910584712447186272921587187997999} a^{38} - \frac{6434576665787651036842180536993505872812930294415427598274311092389843795413767547706658497012735702903838449552332954150086515151012022677503507214553728895523550132}{78268186377932673701251905809087296447393686866805257165620961660428668431730299933206321094765667265894733582359975595634375397476744141910584712447186272921587187997999} a^{37} - \frac{5135919271371901643531584196405424824024663960011820018834465185652182337101231856620709684654807541344693569323243336019219025753604814108915404133560503232884349692}{78268186377932673701251905809087296447393686866805257165620961660428668431730299933206321094765667265894733582359975595634375397476744141910584712447186272921587187997999} a^{36} - \frac{5404227333361296120555548823048714341760463787024808619872967613493545694757514013737631132005315680009972596239997450571493784227306287657981941083712446463405362979}{78268186377932673701251905809087296447393686866805257165620961660428668431730299933206321094765667265894733582359975595634375397476744141910584712447186272921587187997999} a^{35} + \frac{5310786371777416024904225961132255795937329766277872093512190362602237864010762821804902545847093631550363301288915638482081176598788334965841326081352099921933521454}{78268186377932673701251905809087296447393686866805257165620961660428668431730299933206321094765667265894733582359975595634375397476744141910584712447186272921587187997999} a^{34} + \frac{99285175537591736956697043405516273824658825000964058493635754853061342278189642877311936109780562400555825189423810878955051803022400014221027790631851633224170992048}{78268186377932673701251905809087296447393686866805257165620961660428668431730299933206321094765667265894733582359975595634375397476744141910584712447186272921587187997999} a^{33} + \frac{3420117427615136855004337563160472302897056756516047782625512821939171367867574499164672954474891127845265294948470225712159869027037704061603848904197102442475998867}{78268186377932673701251905809087296447393686866805257165620961660428668431730299933206321094765667265894733582359975595634375397476744141910584712447186272921587187997999} a^{32} - \frac{27282286963385005188319764393770382039606263549611500581203160003063389340060450346317119827954352103090448357389611709281769068447513927338330487133471331396244310739}{78268186377932673701251905809087296447393686866805257165620961660428668431730299933206321094765667265894733582359975595634375397476744141910584712447186272921587187997999} a^{31} + \frac{115005658050971106926903178655606668345770167867326061103752999403650774058438343945167853248610348687401483220098627837594152190254111460001128381037853243220078791484}{78268186377932673701251905809087296447393686866805257165620961660428668431730299933206321094765667265894733582359975595634375397476744141910584712447186272921587187997999} a^{30} + \frac{11796625377188880085934539882791680339564796630893092030978232512586473446680329586463478948879378939465768384721820202275947193996218170766878813976615980091387623966}{78268186377932673701251905809087296447393686866805257165620961660428668431730299933206321094765667265894733582359975595634375397476744141910584712447186272921587187997999} a^{29} + \frac{705644444347293762558555883933193563002663138328638437518952911954786969413634909590800322633011231167879563268682327565199998695986986441077857878187888095651876744305}{78268186377932673701251905809087296447393686866805257165620961660428668431730299933206321094765667265894733582359975595634375397476744141910584712447186272921587187997999} a^{28} - \frac{226567616324437263208599308286579849121065930161609494228875987408904004555375270538432915650121913992462095624900800764058497129527245471554905266140664760230762978543}{78268186377932673701251905809087296447393686866805257165620961660428668431730299933206321094765667265894733582359975595634375397476744141910584712447186272921587187997999} a^{27} - \frac{1415203682736947633301353494210067847825354868094437110466590497145018311400551387871226001910504435336606421303708992236667015009403826357370314110652289472119673118559}{78268186377932673701251905809087296447393686866805257165620961660428668431730299933206321094765667265894733582359975595634375397476744141910584712447186272921587187997999} a^{26} + \frac{1734675340998706573812876639376042930433921763476699006861060011032390934433266897938968774167112353822450280198648034502078913403915087330424016749575548640548089478562}{78268186377932673701251905809087296447393686866805257165620961660428668431730299933206321094765667265894733582359975595634375397476744141910584712447186272921587187997999} a^{25} + \frac{512572917818725087729124685238911840169051110330096382678925258473789823253550092192514786365228787814572913027264139681470539596220086235016953255047847467137963861578}{78268186377932673701251905809087296447393686866805257165620961660428668431730299933206321094765667265894733582359975595634375397476744141910584712447186272921587187997999} a^{24} + \frac{1468581305802746187719850382307061559981322312485357559846693639434832199407316875087208530695081522412026265707414540388767118270096196756479955578181957451608019928116}{78268186377932673701251905809087296447393686866805257165620961660428668431730299933206321094765667265894733582359975595634375397476744141910584712447186272921587187997999} a^{23} + \frac{1598879003131728736630309615114419685639405158642016432668778231039793831681082995163138054199129424342533027520865695456364463008410860025014969577294932905484851568106}{78268186377932673701251905809087296447393686866805257165620961660428668431730299933206321094765667265894733582359975595634375397476744141910584712447186272921587187997999} a^{22} - \frac{192175882416850303019738075035262854104108216843134535157730761109836254483410140827525900031599043524690159304236253575010683615299340857377577656551668278761948920083}{78268186377932673701251905809087296447393686866805257165620961660428668431730299933206321094765667265894733582359975595634375397476744141910584712447186272921587187997999} a^{21} - \frac{1813718485187184281826688363127360701110572245125705283328748398167576333198929319049583443522534997147497159924277675958332331682434405628744246494633078517978917917787}{78268186377932673701251905809087296447393686866805257165620961660428668431730299933206321094765667265894733582359975595634375397476744141910584712447186272921587187997999} a^{20} + \frac{1621590767960458256881477192325096218518412372608196920703630760299613542567561089755153694309914859019358719911532527155185416596628035721617405056614571375459355959686}{78268186377932673701251905809087296447393686866805257165620961660428668431730299933206321094765667265894733582359975595634375397476744141910584712447186272921587187997999} a^{19} + \frac{1048809557446412428684956124131297647131419530638691598019571797415020755615119237379875520238740701404668547192410533741334501391189128639112050045299222104183718547926}{78268186377932673701251905809087296447393686866805257165620961660428668431730299933206321094765667265894733582359975595634375397476744141910584712447186272921587187997999} a^{18} + \frac{467317977126111110772701728029944225944703899502146311259130423364649077699682574471254624354411214876550621154573901114085708023829235901860181245503338407894300758297}{78268186377932673701251905809087296447393686866805257165620961660428668431730299933206321094765667265894733582359975595634375397476744141910584712447186272921587187997999} a^{17} + \frac{29575713292766928917032924903770348120212943206703682531674141720827446090425679522863594878057791882967890081702931682979562031301676132293720863765819965661989096580}{4604010963407804335367759165240429202787863933341485715624762450613451084219429407835665946750921603876160798962351505625551493969220243641799100732187427818916893411647} a^{16} - \frac{25999583069001647151423365149840168154035110932626607150462085399128336064383811158400363147960525229041593353904811922950907035223591447889934749935576014837382057683270}{78268186377932673701251905809087296447393686866805257165620961660428668431730299933206321094765667265894733582359975595634375397476744141910584712447186272921587187997999} a^{15} + \frac{16157764326148852558284018742793968125106670620528294198094070822381176392636205826414915760319981115997752768022255872703198417263572382765916710431601522276347347480920}{78268186377932673701251905809087296447393686866805257165620961660428668431730299933206321094765667265894733582359975595634375397476744141910584712447186272921587187997999} a^{14} - \frac{33189411203401643779848785809599357542872807944315110219022883258819196436879733920620504520535702927950592375775769480974710323016534081252181635939068483863050309636744}{78268186377932673701251905809087296447393686866805257165620961660428668431730299933206321094765667265894733582359975595634375397476744141910584712447186272921587187997999} a^{13} - \frac{3972104133480829612332034436119312206129078168037386707316596297468481441598026489488979198063613432159187926558415347123355915784355735891595383194679222606672760387915}{78268186377932673701251905809087296447393686866805257165620961660428668431730299933206321094765667265894733582359975595634375397476744141910584712447186272921587187997999} a^{12} + \frac{12600386337467740481547831410278786965806579933670240051681746448774767892991222939690158587940078642209542087000192381602178965820680638586850518763454982260563413235536}{78268186377932673701251905809087296447393686866805257165620961660428668431730299933206321094765667265894733582359975595634375397476744141910584712447186272921587187997999} a^{11} + \frac{14855217567864328587847135008336156275302950741145624792518621006514932060614129806903243251669665269337588052629568518908093485206394395188284107291176398160160791559105}{78268186377932673701251905809087296447393686866805257165620961660428668431730299933206321094765667265894733582359975595634375397476744141910584712447186272921587187997999} a^{10} - \frac{528368299007106449828970509883463890718769180081394574023907697564807276992403021687965285810093165665333486645907084434520669024938797228186232876773451318481210339583}{4604010963407804335367759165240429202787863933341485715624762450613451084219429407835665946750921603876160798962351505625551493969220243641799100732187427818916893411647} a^{9} - \frac{38009716406629711737523157001927507993464896579275314408027970942274672181674003607796101993340134475461429498128356015848913903209440916928644872613069400498434286742093}{78268186377932673701251905809087296447393686866805257165620961660428668431730299933206321094765667265894733582359975595634375397476744141910584712447186272921587187997999} a^{8} + \frac{35806066811988176327023900316901642943079908536289749770055480273379803344980426168474020180998271172084241088329024089250910441428220777500310823242056940259471683169243}{78268186377932673701251905809087296447393686866805257165620961660428668431730299933206321094765667265894733582359975595634375397476744141910584712447186272921587187997999} a^{7} - \frac{11694631401760160675934951625928602126144296695378195244660286100973274372316311542628219272885087576731823717378254498690679685318963529550181814807827880869853863152878}{78268186377932673701251905809087296447393686866805257165620961660428668431730299933206321094765667265894733582359975595634375397476744141910584712447186272921587187997999} a^{6} + \frac{10509548605925258773221437307706477919002309302932775533118037980595839408785274412086371613644354975885522797886547228434654025575529667546077082946849786482049059637727}{78268186377932673701251905809087296447393686866805257165620961660428668431730299933206321094765667265894733582359975595634375397476744141910584712447186272921587187997999} a^{5} - \frac{20208041118545334843528940456494593757025934083697208482731751887601858880686551607188407202360314530845775402959608778991073273977914503915539398932444110911731403959121}{78268186377932673701251905809087296447393686866805257165620961660428668431730299933206321094765667265894733582359975595634375397476744141910584712447186272921587187997999} a^{4} - \frac{2208055051394147632144311801895674962791233506943664606264910961815964029069884542209810697500351702140126967949970678557192216123836555185209032384165438040378805798550}{4604010963407804335367759165240429202787863933341485715624762450613451084219429407835665946750921603876160798962351505625551493969220243641799100732187427818916893411647} a^{3} + \frac{94389303514379082800201796440902600688434430065447605388819771767982660423609810324379185668941613099177826349893828592235616625163863749314648212525128686159665661711}{270824174318106137374574068543554658987521407843616806801456614741967710836437023990333290985348329639774164644844206213267734939365896684811711807775731048171581965391} a^{2} + \frac{2345197379661295294958254756847180702712252440611733282336250778686795191821135093783683895571646524069208548000784334606762033778780239023249049824148121262149241812}{15930833783418008080857298149620862293383612226095106282438624396586335931555119058254899469726372331751421449696718012545160878786229216753630106339748885186563645023} a + \frac{298533772230008161022221692640422587164469518490756698575640985809992275920339771123496428923980758393956985226385419605601111671053794411996288041900592600474068821}{937107869612824004756311655860050723140212483887947428378742611563902113620889356367935262925080725397142438217454000737950639928601718632566476843514640305091979119}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $20$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  not computed
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) $ not computed

Galois group

$C_{42}$ (as 42T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
A cyclic group of order 42
The 42 conjugacy class representatives for $C_{42}$
Character table for $C_{42}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-87}) \), \(\Q(\zeta_{9})^+\), 6.0.480048687.1, 7.7.594823321.1, 14.0.22439994995240462987343.1, 21.21.4814587615056751193058435502319478353721.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $21^{2}$ R $42$ $21^{2}$ $21^{2}$ $21^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/17.1.0.1}{1} }^{42}$ ${\href{/LocalNumberField/19.14.0.1}{14} }^{3}$ $42$ R $42$ ${\href{/LocalNumberField/37.14.0.1}{14} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/41.3.0.1}{3} }^{14}$ $42$ $21^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/53.14.0.1}{14} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/59.6.0.1}{6} }^{7}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
29Data not computed