Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^40 - 57*x^38 + 1425*x^36 - 20652*x^34 + 193556*x^32 - 1241646*x^30 + 5639500*x^28 - 18536622*x^26 + 44732012*x^24 - 79942830*x^22 + 106185927*x^20 - 104672040*x^18 + 76047611*x^16 - 40198503*x^14 + 15148783*x^12 - 3949296*x^10 + 681395*x^8 - 72774*x^6 + 4330*x^4 - 120*x^2 + 1)
gp: K = bnfinit(y^40 - 57*y^38 + 1425*y^36 - 20652*y^34 + 193556*y^32 - 1241646*y^30 + 5639500*y^28 - 18536622*y^26 + 44732012*y^24 - 79942830*y^22 + 106185927*y^20 - 104672040*y^18 + 76047611*y^16 - 40198503*y^14 + 15148783*y^12 - 3949296*y^10 + 681395*y^8 - 72774*y^6 + 4330*y^4 - 120*y^2 + 1, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^40 - 57*x^38 + 1425*x^36 - 20652*x^34 + 193556*x^32 - 1241646*x^30 + 5639500*x^28 - 18536622*x^26 + 44732012*x^24 - 79942830*x^22 + 106185927*x^20 - 104672040*x^18 + 76047611*x^16 - 40198503*x^14 + 15148783*x^12 - 3949296*x^10 + 681395*x^8 - 72774*x^6 + 4330*x^4 - 120*x^2 + 1);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^40 - 57*x^38 + 1425*x^36 - 20652*x^34 + 193556*x^32 - 1241646*x^30 + 5639500*x^28 - 18536622*x^26 + 44732012*x^24 - 79942830*x^22 + 106185927*x^20 - 104672040*x^18 + 76047611*x^16 - 40198503*x^14 + 15148783*x^12 - 3949296*x^10 + 681395*x^8 - 72774*x^6 + 4330*x^4 - 120*x^2 + 1)
\( x^{40} - 57 x^{38} + 1425 x^{36} - 20652 x^{34} + 193556 x^{32} - 1241646 x^{30} + 5639500 x^{28} + \cdots + 1 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $40$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[40, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(11302165783522556415463223790320401501047994110286233600000000000000000000\)
\(\medspace = 2^{40}\cdot 3^{20}\cdot 5^{20}\cdot 11^{36}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(67.04\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $2\cdot 3^{1/2}5^{1/2}11^{9/10}\approx 67.03923376773275$ | ||
| Ramified primes: |
\(2\), \(3\), \(5\), \(11\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $40$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
| Conductor: | \(660=2^{2}\cdot 3\cdot 5\cdot 11\) | ||
| Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{660}(1,·)$, $\chi_{660}(259,·)$, $\chi_{660}(391,·)$, $\chi_{660}(139,·)$, $\chi_{660}(271,·)$, $\chi_{660}(529,·)$, $\chi_{660}(19,·)$, $\chi_{660}(149,·)$, $\chi_{660}(151,·)$, $\chi_{660}(281,·)$, $\chi_{660}(29,·)$, $\chi_{660}(161,·)$, $\chi_{660}(419,·)$, $\chi_{660}(421,·)$, $\chi_{660}(551,·)$, $\chi_{660}(169,·)$, $\chi_{660}(71,·)$, $\chi_{660}(301,·)$, $\chi_{660}(49,·)$, $\chi_{660}(179,·)$, $\chi_{660}(181,·)$, $\chi_{660}(311,·)$, $\chi_{660}(569,·)$, $\chi_{660}(59,·)$, $\chi_{660}(191,·)$, $\chi_{660}(289,·)$, $\chi_{660}(329,·)$, $\chi_{660}(439,·)$, $\chi_{660}(461,·)$, $\chi_{660}(79,·)$, $\chi_{660}(211,·)$, $\chi_{660}(251,·)$, $\chi_{660}(599,·)$, $\chi_{660}(101,·)$, $\chi_{660}(571,·)$, $\chi_{660}(229,·)$, $\chi_{660}(361,·)$, $\chi_{660}(629,·)$, $\chi_{660}(41,·)$, $\chi_{660}(119,·)$$\rbrace$ | ||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $\frac{1}{43}a^{36}-\frac{1}{43}a^{34}+\frac{8}{43}a^{32}-\frac{9}{43}a^{30}+\frac{16}{43}a^{28}+\frac{9}{43}a^{26}+\frac{20}{43}a^{24}-\frac{2}{43}a^{22}-\frac{12}{43}a^{20}+\frac{4}{43}a^{18}+\frac{8}{43}a^{16}+\frac{14}{43}a^{14}+\frac{5}{43}a^{12}+\frac{21}{43}a^{10}+\frac{16}{43}a^{8}+\frac{3}{43}a^{6}-\frac{5}{43}a^{4}+\frac{5}{43}a^{2}+\frac{20}{43}$, $\frac{1}{43}a^{37}-\frac{1}{43}a^{35}+\frac{8}{43}a^{33}-\frac{9}{43}a^{31}+\frac{16}{43}a^{29}+\frac{9}{43}a^{27}+\frac{20}{43}a^{25}-\frac{2}{43}a^{23}-\frac{12}{43}a^{21}+\frac{4}{43}a^{19}+\frac{8}{43}a^{17}+\frac{14}{43}a^{15}+\frac{5}{43}a^{13}+\frac{21}{43}a^{11}+\frac{16}{43}a^{9}+\frac{3}{43}a^{7}-\frac{5}{43}a^{5}+\frac{5}{43}a^{3}+\frac{20}{43}a$, $\frac{1}{11\!\cdots\!81}a^{38}-\frac{10\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!81}a^{36}-\frac{53\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!81}a^{34}+\frac{46\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!81}a^{32}-\frac{36\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!81}a^{30}+\frac{50\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!81}a^{28}+\frac{19\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{33\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!81}a^{24}+\frac{52\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{21\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!55}{27\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{71\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!81}a^{14}+\frac{69\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!81}a^{12}-\frac{38\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!81}a^{10}+\frac{50\!\cdots\!58}{51\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{77\!\cdots\!44}{11\!\cdots\!81}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{25\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!81}a^{2}+\frac{56\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!81}$, $\frac{1}{11\!\cdots\!81}a^{39}-\frac{10\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!81}a^{37}-\frac{53\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!81}a^{35}+\frac{46\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!81}a^{33}-\frac{36\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!81}a^{31}+\frac{50\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!81}a^{29}+\frac{19\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!81}a^{27}-\frac{33\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!81}a^{25}+\frac{52\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!81}a^{23}-\frac{21\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!81}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!81}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!55}{27\!\cdots\!67}a^{17}-\frac{71\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!81}a^{15}+\frac{69\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!81}a^{13}-\frac{38\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{50\!\cdots\!58}{51\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{77\!\cdots\!44}{11\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{20\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{25\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{56\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!81}a$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $39$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{51\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!81}a^{38}-\frac{28\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!81}a^{36}+\frac{69\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!81}a^{34}-\frac{96\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!81}a^{32}+\frac{85\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!81}a^{30}-\frac{51\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!81}a^{28}+\frac{21\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{64\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!81}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{21\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{24\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!81}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!81}a^{14}-\frac{45\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!81}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!81}a^{10}-\frac{85\!\cdots\!69}{51\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{78\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!81}a^{2}-\frac{26\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!81}$, $\frac{82\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!29}a^{38}-\frac{45\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!29}a^{36}+\frac{11\!\cdots\!18}{11\!\cdots\!29}a^{34}-\frac{15\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!29}a^{32}+\frac{13\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!29}a^{30}-\frac{83\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!29}a^{28}+\frac{35\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!29}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!29}a^{24}+\frac{22\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!29}a^{22}-\frac{35\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!29}a^{20}+\frac{40\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!29}a^{18}-\frac{32\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!29}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!29}a^{14}-\frac{79\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{40\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{44\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{25\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{64\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!29}a^{2}-\frac{34\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!29}$, $\frac{15\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!29}a^{38}-\frac{87\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!29}a^{36}+\frac{21\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!29}a^{34}-\frac{29\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!29}a^{32}+\frac{26\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!29}a^{30}-\frac{15\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!29}a^{28}+\frac{65\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!29}a^{26}-\frac{19\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!29}a^{24}+\frac{41\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!29}a^{22}-\frac{64\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!29}a^{20}+\frac{72\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!29}a^{18}-\frac{58\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!29}a^{16}+\frac{33\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!29}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{35\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{56\!\cdots\!64}{11\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{42\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!29}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!29}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!29}$, $\frac{15\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!29}a^{38}-\frac{82\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!29}a^{36}+\frac{19\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!29}a^{34}-\frac{25\!\cdots\!68}{11\!\cdots\!29}a^{32}+\frac{21\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!29}a^{30}-\frac{11\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!29}a^{28}+\frac{43\!\cdots\!46}{11\!\cdots\!29}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!29}a^{24}+\frac{16\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!29}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!29}a^{20}-\frac{51\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!29}a^{18}+\frac{23\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!29}a^{16}-\frac{27\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!29}a^{14}+\frac{18\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!29}a^{12}-\frac{75\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!29}a^{10}+\frac{19\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!29}a^{8}-\frac{29\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!29}a^{6}+\frac{24\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!29}a^{4}-\frac{90\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{95\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!29}$, $\frac{15\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!29}a^{38}-\frac{82\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!29}a^{36}+\frac{19\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!29}a^{34}-\frac{25\!\cdots\!68}{11\!\cdots\!29}a^{32}+\frac{21\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!29}a^{30}-\frac{11\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!29}a^{28}+\frac{43\!\cdots\!46}{11\!\cdots\!29}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!29}a^{24}+\frac{16\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!29}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!29}a^{20}-\frac{51\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!29}a^{18}+\frac{23\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!29}a^{16}-\frac{27\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!29}a^{14}+\frac{18\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!29}a^{12}-\frac{75\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!29}a^{10}+\frac{19\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!29}a^{8}-\frac{29\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!29}a^{6}+\frac{24\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!29}a^{4}-\frac{90\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!29}$, $\frac{26\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!81}a^{39}-\frac{14\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!81}a^{37}+\frac{35\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!81}a^{35}-\frac{48\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!81}a^{33}+\frac{42\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!81}a^{31}-\frac{24\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!81}a^{29}+\frac{10\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!81}a^{27}-\frac{29\!\cdots\!44}{11\!\cdots\!81}a^{25}+\frac{59\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!81}a^{23}-\frac{85\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!81}a^{21}+\frac{87\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!81}a^{19}-\frac{62\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!81}a^{17}+\frac{30\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!81}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!81}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!81}a^{11}-\frac{20\!\cdots\!57}{51\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{99\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!81}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!81}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!81}a^{3}-\frac{36\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!81}a$, $\frac{45\!\cdots\!45}{11\!\cdots\!81}a^{39}-\frac{25\!\cdots\!45}{11\!\cdots\!81}a^{37}+\frac{60\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!81}a^{35}-\frac{83\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!81}a^{33}+\frac{73\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!81}a^{31}-\frac{44\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!81}a^{29}+\frac{18\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!81}a^{27}-\frac{53\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!81}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!81}a^{23}-\frac{16\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!81}a^{21}+\frac{17\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!81}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!81}a^{17}+\frac{58\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!81}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!81}a^{13}+\frac{76\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{37\!\cdots\!60}{51\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{26\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{30\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{23\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!81}a$, $\frac{29\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!81}a^{39}-\frac{39\!\cdots\!84}{27\!\cdots\!67}a^{37}+\frac{41\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!81}a^{35}-\frac{59\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!81}a^{33}+\frac{55\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!81}a^{31}-\frac{34\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!81}a^{29}+\frac{15\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!81}a^{27}-\frac{48\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!81}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!81}a^{23}-\frac{18\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!81}a^{21}+\frac{22\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!81}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!81}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!81}a^{15}-\frac{56\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!81}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!86}{11\!\cdots\!81}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!67}{51\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{19\!\cdots\!82}{11\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!93}{27\!\cdots\!67}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{33\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!81}a$, $\frac{21\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!81}a^{39}-\frac{12\!\cdots\!68}{11\!\cdots\!81}a^{37}+\frac{30\!\cdots\!44}{11\!\cdots\!81}a^{35}-\frac{44\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!81}a^{33}+\frac{41\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!81}a^{31}-\frac{26\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!81}a^{29}+\frac{12\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!81}a^{27}-\frac{39\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!81}a^{25}+\frac{94\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!81}a^{23}-\frac{16\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!81}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!81}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!81}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!81}a^{15}-\frac{71\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!81}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!81}a^{11}-\frac{24\!\cdots\!66}{51\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{81\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!81}a^{7}-\frac{67\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!81}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!81}a^{3}-\frac{34\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!81}a$, $\frac{66\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!81}a^{39}-\frac{36\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!81}a^{37}+\frac{89\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!81}a^{35}-\frac{12\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!81}a^{33}+\frac{11\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!81}a^{31}-\frac{66\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!81}a^{29}+\frac{27\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!81}a^{27}-\frac{83\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!81}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!81}a^{23}-\frac{27\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!81}a^{21}+\frac{31\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!81}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!81}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!81}a^{15}-\frac{67\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!81}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!81}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!03}{51\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{55\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!81}a^{7}-\frac{39\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!81}a^{5}+\frac{94\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!81}a$, $\frac{38\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!81}a^{38}-\frac{21\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!81}a^{36}+\frac{52\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!81}a^{34}-\frac{73\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!81}a^{32}+\frac{66\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!81}a^{30}-\frac{40\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!81}a^{28}+\frac{17\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{52\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!81}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{18\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{20\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!81}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!81}a^{14}-\frac{40\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!81}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!81}a^{10}-\frac{73\!\cdots\!96}{51\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{84\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!81}a^{2}+\frac{26\!\cdots\!18}{11\!\cdots\!81}$, $\frac{12\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!81}a^{38}-\frac{68\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!81}a^{36}+\frac{17\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!81}a^{34}-\frac{24\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!81}a^{32}+\frac{23\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!81}a^{30}-\frac{14\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!81}a^{28}+\frac{67\!\cdots\!44}{11\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{21\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!81}a^{24}+\frac{52\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{93\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!81}a^{16}+\frac{84\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!81}a^{14}-\frac{42\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!81}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!81}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!76}{51\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{55\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{46\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!81}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!81}$, $\frac{35\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!81}a^{38}-\frac{19\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!81}a^{36}+\frac{48\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!81}a^{34}-\frac{67\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!81}a^{32}+\frac{59\!\cdots\!86}{11\!\cdots\!81}a^{30}-\frac{36\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!81}a^{28}+\frac{15\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{45\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!81}a^{24}+\frac{98\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{15\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{17\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!81}a^{16}+\frac{80\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!81}a^{14}-\frac{31\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!81}a^{12}+\frac{84\!\cdots\!18}{11\!\cdots\!81}a^{10}-\frac{61\!\cdots\!17}{51\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{80\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!81}a^{2}-\frac{40\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!81}$, $\frac{66\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!81}a^{38}-\frac{36\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!81}a^{36}+\frac{88\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!81}a^{34}-\frac{12\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!81}a^{32}+\frac{10\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!81}a^{30}-\frac{63\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!81}a^{28}+\frac{26\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{75\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!81}a^{24}+\frac{15\!\cdots\!45}{11\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{22\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{23\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!81}a^{16}+\frac{86\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!81}a^{14}-\frac{27\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!81}a^{12}+\frac{45\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!81}a^{10}-\frac{30\!\cdots\!40}{51\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!81}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{76\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!81}a^{2}+\frac{79\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!81}$, $\frac{44\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!81}a^{39}-\frac{20\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!81}a^{37}+\frac{34\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!81}a^{35}-\frac{21\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!81}a^{33}-\frac{11\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!81}a^{31}+\frac{31\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!81}a^{29}-\frac{26\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!81}a^{27}+\frac{12\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!81}a^{25}-\frac{41\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!81}a^{23}+\frac{92\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!81}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!81}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!81}a^{17}-\frac{12\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!81}a^{15}+\frac{66\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!81}a^{13}-\frac{24\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{25\!\cdots\!74}{51\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{89\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{77\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{32\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{47\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!81}a$, $\frac{21\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!81}a^{39}-\frac{12\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!81}a^{37}+\frac{31\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!81}a^{35}-\frac{46\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!81}a^{33}+\frac{44\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!81}a^{31}-\frac{28\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!81}a^{29}+\frac{13\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!81}a^{27}-\frac{43\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!81}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!81}a^{23}-\frac{18\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!81}a^{21}+\frac{24\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!81}a^{19}-\frac{22\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!81}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!81}a^{15}-\frac{67\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!81}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!64}{11\!\cdots\!81}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!03}{51\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{30\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!81}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!46}{11\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{41\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!81}a$, $\frac{12\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!81}a^{39}-\frac{71\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!81}a^{37}+\frac{17\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!81}a^{35}-\frac{24\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!81}a^{33}+\frac{22\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!81}a^{31}-\frac{13\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!81}a^{29}+\frac{59\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!81}a^{27}-\frac{18\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!81}a^{25}+\frac{41\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!81}a^{23}-\frac{69\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!81}a^{21}+\frac{84\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!81}a^{19}-\frac{76\!\cdots\!43}{11\!\cdots\!81}a^{17}+\frac{50\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!81}a^{15}-\frac{24\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!81}a^{13}+\frac{81\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!81}a^{11}-\frac{81\!\cdots\!95}{51\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!81}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!81}a^{5}+\frac{93\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!81}a^{3}-\frac{97\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!81}a$, $\frac{64\!\cdots\!91}{51\!\cdots\!47}a^{39}-\frac{34\!\cdots\!60}{51\!\cdots\!47}a^{37}+\frac{78\!\cdots\!43}{51\!\cdots\!47}a^{35}-\frac{10\!\cdots\!31}{51\!\cdots\!47}a^{33}+\frac{78\!\cdots\!04}{51\!\cdots\!47}a^{31}-\frac{39\!\cdots\!52}{51\!\cdots\!47}a^{29}+\frac{11\!\cdots\!53}{51\!\cdots\!47}a^{27}-\frac{16\!\cdots\!16}{51\!\cdots\!47}a^{25}-\frac{18\!\cdots\!58}{51\!\cdots\!47}a^{23}+\frac{13\!\cdots\!86}{51\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{32\!\cdots\!98}{51\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{45\!\cdots\!89}{51\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{41\!\cdots\!71}{51\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{25\!\cdots\!30}{51\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!72}{51\!\cdots\!47}a^{11}+\frac{28\!\cdots\!49}{51\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{46\!\cdots\!73}{51\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{40\!\cdots\!39}{51\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!56}{51\!\cdots\!47}a^{3}+\frac{95\!\cdots\!35}{51\!\cdots\!47}a$, $\frac{77\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!81}a^{39}-\frac{43\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!81}a^{37}+\frac{10\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!81}a^{35}-\frac{14\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!81}a^{33}+\frac{12\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!81}a^{31}-\frac{72\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!81}a^{29}+\frac{29\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!81}a^{27}-\frac{84\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!81}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!81}a^{23}-\frac{24\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!81}a^{21}+\frac{23\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!81}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!81}a^{17}+\frac{61\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!81}a^{15}-\frac{77\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!81}a^{13}-\frac{46\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!82}{51\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{61\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{70\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{39\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{83\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!81}a$, $\frac{21\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!81}a^{39}-\frac{12\!\cdots\!68}{11\!\cdots\!81}a^{37}+\frac{30\!\cdots\!44}{11\!\cdots\!81}a^{35}-\frac{44\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!81}a^{33}+\frac{41\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!81}a^{31}-\frac{26\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!81}a^{29}+\frac{12\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!81}a^{27}-\frac{39\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!81}a^{25}+\frac{94\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!81}a^{23}-\frac{16\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!81}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!81}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!81}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!81}a^{15}-\frac{71\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!81}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!81}a^{11}-\frac{24\!\cdots\!66}{51\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{81\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!81}a^{7}-\frac{67\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!81}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!81}a^{3}-\frac{34\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!81}a+1$, $\frac{12\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!81}a^{39}-\frac{66\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!81}a^{37}+\frac{16\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!81}a^{35}-\frac{22\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!81}a^{33}+\frac{19\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!81}a^{31}-\frac{11\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!81}a^{29}+\frac{46\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!81}a^{27}-\frac{13\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!81}a^{25}+\frac{27\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!81}a^{23}-\frac{39\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!81}a^{21}+\frac{41\!\cdots\!45}{11\!\cdots\!81}a^{19}-\frac{30\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!81}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!81}a^{15}-\frac{56\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!81}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!81}a^{11}-\frac{76\!\cdots\!58}{51\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{54\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{66\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{92\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{31\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!81}a+1$, $\frac{20\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!81}a^{39}-\frac{73\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!81}a^{38}-\frac{11\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!81}a^{37}+\frac{41\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!81}a^{36}+\frac{26\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!81}a^{35}-\frac{99\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!81}a^{34}-\frac{36\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!81}a^{33}+\frac{13\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!81}a^{32}+\frac{30\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!81}a^{31}-\frac{12\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!81}a^{30}-\frac{17\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!81}a^{29}+\frac{76\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!81}a^{28}+\frac{69\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!81}a^{27}-\frac{32\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{18\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!81}a^{25}+\frac{97\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!81}a^{24}+\frac{33\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!81}a^{23}-\frac{21\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{40\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!81}a^{21}+\frac{33\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{27\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!81}a^{19}-\frac{39\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{28\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!81}a^{17}+\frac{33\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!81}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!81}a^{15}-\frac{20\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!81}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!81}a^{13}+\frac{86\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!81}a^{12}-\frac{73\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!81}a^{11}-\frac{25\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!81}a^{10}+\frac{96\!\cdots\!50}{51\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{22\!\cdots\!40}{51\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{39\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!81}a^{7}-\frac{63\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!81}a^{6}+\frac{39\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!81}a^{5}+\frac{44\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!81}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!81}a^{2}+\frac{30\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!81}a+\frac{13\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!81}$, $\frac{26\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!81}a^{39}-\frac{14\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!81}a^{37}+\frac{35\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!81}a^{35}-\frac{48\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!81}a^{33}+\frac{42\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!81}a^{31}-\frac{24\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!81}a^{29}+\frac{10\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!81}a^{27}-\frac{29\!\cdots\!44}{11\!\cdots\!81}a^{25}+\frac{59\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!81}a^{23}-\frac{85\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!81}a^{21}+\frac{87\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!81}a^{19}-\frac{62\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!81}a^{17}+\frac{30\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!81}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!81}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!81}a^{11}-\frac{20\!\cdots\!57}{51\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{99\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!81}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!81}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!81}a^{3}-\frac{36\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!81}a-1$, $\frac{21\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!81}a^{39}+\frac{29\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!81}a^{38}-\frac{12\!\cdots\!68}{11\!\cdots\!81}a^{37}-\frac{16\!\cdots\!44}{11\!\cdots\!81}a^{36}+\frac{30\!\cdots\!44}{11\!\cdots\!81}a^{35}+\frac{40\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!81}a^{34}-\frac{44\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!81}a^{33}-\frac{56\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!81}a^{32}+\frac{41\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!81}a^{31}+\frac{50\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!81}a^{30}-\frac{26\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!81}a^{29}-\frac{30\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!81}a^{28}+\frac{12\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!81}a^{27}+\frac{12\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{39\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!81}a^{25}-\frac{38\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!81}a^{24}+\frac{94\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!81}a^{23}+\frac{82\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!81}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{21\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!81}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!81}a^{17}-\frac{12\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!81}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!81}a^{15}+\frac{74\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!81}a^{14}-\frac{71\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!81}a^{13}-\frac{32\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!81}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{97\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!81}a^{10}-\frac{24\!\cdots\!66}{51\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{87\!\cdots\!19}{51\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{81\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{26\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{67\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{27\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{69\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!81}a^{2}-\frac{34\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!81}a-\frac{69\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!81}$, $\frac{51\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!81}a^{39}-\frac{28\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!81}a^{37}+\frac{69\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!81}a^{35}-\frac{96\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!81}a^{33}+\frac{85\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!81}a^{31}-\frac{51\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!81}a^{29}+\frac{21\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!81}a^{27}-\frac{64\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!81}a^{25}+\frac{13\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!81}a^{23}-\frac{21\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!81}a^{21}+\frac{24\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!81}a^{19}-\frac{19\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!81}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!81}a^{15}-\frac{45\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!81}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!81}a^{11}-\frac{85\!\cdots\!69}{51\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{18\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!81}a^{7}-\frac{78\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!81}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!81}a^{3}-\frac{26\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!81}a-1$, $\frac{12\!\cdots\!06}{11\!\cdots\!81}a^{39}-\frac{58\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!81}a^{38}-\frac{16\!\cdots\!37}{27\!\cdots\!67}a^{37}+\frac{32\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!81}a^{36}+\frac{17\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!81}a^{35}-\frac{80\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!81}a^{34}-\frac{25\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!81}a^{33}+\frac{11\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!81}a^{32}+\frac{23\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!81}a^{31}-\frac{10\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!81}a^{30}-\frac{14\!\cdots\!64}{11\!\cdots\!81}a^{29}+\frac{64\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!81}a^{28}+\frac{66\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!81}a^{27}-\frac{27\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{21\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!81}a^{25}+\frac{87\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!81}a^{24}+\frac{49\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!81}a^{23}-\frac{19\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{82\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!81}a^{21}+\frac{32\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!81}a^{19}-\frac{39\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{90\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!81}a^{17}+\frac{35\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!81}a^{16}+\frac{56\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!81}a^{15}-\frac{22\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!81}a^{14}-\frac{24\!\cdots\!44}{11\!\cdots\!81}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!81}a^{12}+\frac{68\!\cdots\!82}{11\!\cdots\!81}a^{11}-\frac{33\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!81}a^{10}-\frac{51\!\cdots\!32}{51\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{30\!\cdots\!69}{51\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!81}a^{7}-\frac{92\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{35\!\cdots\!62}{27\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{67\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!81}a^{3}-\frac{23\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!81}a^{2}-\frac{59\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!81}a+\frac{24\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!81}$, $\frac{66\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!81}a^{39}-\frac{36\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!81}a^{37}+\frac{89\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!81}a^{35}-\frac{12\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!81}a^{33}+\frac{11\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!81}a^{31}-\frac{66\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!81}a^{29}+\frac{27\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!81}a^{27}-\frac{83\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!81}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!81}a^{23}-\frac{27\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!81}a^{21}+\frac{31\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!81}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!81}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!81}a^{15}-\frac{67\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!81}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!81}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!03}{51\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{55\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!81}a^{7}-\frac{39\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!81}a^{5}+\frac{94\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!81}a-1$, $\frac{51\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!81}a^{39}-\frac{51\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!81}a^{38}-\frac{28\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!81}a^{37}+\frac{28\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!81}a^{36}+\frac{69\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!81}a^{35}-\frac{69\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!81}a^{34}-\frac{96\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!81}a^{33}+\frac{96\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!81}a^{32}+\frac{85\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!81}a^{31}-\frac{85\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!81}a^{30}-\frac{51\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!81}a^{29}+\frac{51\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!81}a^{28}+\frac{21\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!81}a^{27}-\frac{21\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{64\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!81}a^{25}+\frac{64\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!81}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!81}a^{23}-\frac{13\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{21\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!81}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{24\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!81}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!81}a^{17}+\frac{19\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!81}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!81}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!81}a^{14}-\frac{45\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!81}a^{13}+\frac{45\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!81}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!81}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!81}a^{10}-\frac{85\!\cdots\!69}{51\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{85\!\cdots\!69}{51\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!81}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{78\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!81}a^{5}+\frac{78\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!81}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!81}a^{2}-\frac{26\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!81}a+\frac{26\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!81}$, $\frac{13\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!81}a^{39}+\frac{10\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!81}a^{38}-\frac{74\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!81}a^{37}-\frac{61\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!81}a^{36}+\frac{18\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!81}a^{35}+\frac{15\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!81}a^{34}-\frac{26\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!81}a^{33}-\frac{21\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!81}a^{32}+\frac{24\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!81}a^{31}+\frac{19\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!81}a^{30}-\frac{15\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!81}a^{29}-\frac{12\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!81}a^{28}+\frac{69\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!81}a^{27}+\frac{52\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{22\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!81}a^{25}-\frac{38\!\cdots\!12}{27\!\cdots\!67}a^{24}+\frac{52\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!81}a^{23}+\frac{37\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{91\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!81}a^{21}-\frac{62\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!81}a^{19}+\frac{76\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{25\!\cdots\!89}{27\!\cdots\!67}a^{17}-\frac{67\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!81}a^{16}+\frac{72\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!81}a^{15}+\frac{43\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!81}a^{14}-\frac{34\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!81}a^{13}-\frac{46\!\cdots\!09}{27\!\cdots\!67}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{62\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!81}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!45}{51\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{55\!\cdots\!77}{51\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{32\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{16\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{23\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{82\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{34\!\cdots\!43}{11\!\cdots\!81}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!81}a-\frac{33\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!81}$, $\frac{68\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!81}a^{39}+\frac{11\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!81}a^{38}-\frac{38\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!81}a^{37}-\frac{62\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!81}a^{36}+\frac{96\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!81}a^{35}+\frac{15\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!81}a^{34}-\frac{14\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!81}a^{33}-\frac{21\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!81}a^{32}+\frac{13\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!81}a^{31}+\frac{20\!\cdots\!82}{11\!\cdots\!81}a^{30}-\frac{83\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!81}a^{29}-\frac{12\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!81}a^{28}+\frac{88\!\cdots\!90}{27\!\cdots\!67}a^{27}+\frac{54\!\cdots\!86}{11\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!06}{11\!\cdots\!81}a^{25}-\frac{17\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!81}a^{24}+\frac{29\!\cdots\!64}{11\!\cdots\!81}a^{23}+\frac{39\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{52\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!81}a^{21}-\frac{66\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{68\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!81}a^{19}+\frac{82\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{66\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!81}a^{17}-\frac{74\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!81}a^{16}+\frac{46\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!81}a^{15}+\frac{48\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!81}a^{14}-\frac{23\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!81}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!81}a^{12}+\frac{82\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{71\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!81}a^{10}-\frac{83\!\cdots\!32}{51\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{65\!\cdots\!94}{51\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{27\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{19\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{22\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{78\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{41\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!81}a^{2}-\frac{82\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!81}a-\frac{36\!\cdots\!68}{11\!\cdots\!81}$, $\frac{11\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!81}a^{39}+\frac{51\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!81}a^{38}-\frac{65\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!81}a^{37}-\frac{28\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!81}a^{36}+\frac{15\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!81}a^{35}+\frac{69\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!81}a^{34}-\frac{22\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!81}a^{33}-\frac{96\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!81}a^{32}+\frac{20\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!81}a^{31}+\frac{85\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!81}a^{30}-\frac{12\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!81}a^{29}-\frac{51\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!81}a^{28}+\frac{51\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!81}a^{27}+\frac{21\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{15\!\cdots\!86}{11\!\cdots\!81}a^{25}-\frac{64\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!81}a^{24}+\frac{33\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!81}a^{23}+\frac{13\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{51\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!81}a^{21}-\frac{21\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{55\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!81}a^{19}+\frac{24\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{41\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!81}a^{17}-\frac{19\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!81}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!81}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!81}a^{14}-\frac{42\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!81}a^{13}-\frac{45\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!81}a^{12}-\frac{66\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!81}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!43}{51\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{85\!\cdots\!69}{51\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{18\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!81}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{78\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{81\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!81}a^{2}+\frac{22\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!81}a-\frac{26\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!81}$, $\frac{26\!\cdots\!37}{51\!\cdots\!47}a^{39}+\frac{27\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!81}a^{38}-\frac{14\!\cdots\!35}{51\!\cdots\!47}a^{37}-\frac{15\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!81}a^{36}+\frac{36\!\cdots\!48}{51\!\cdots\!47}a^{35}+\frac{36\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!81}a^{34}-\frac{51\!\cdots\!61}{51\!\cdots\!47}a^{33}-\frac{49\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!81}a^{32}+\frac{47\!\cdots\!97}{51\!\cdots\!47}a^{31}+\frac{43\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!81}a^{30}-\frac{29\!\cdots\!61}{51\!\cdots\!47}a^{29}-\frac{25\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!81}a^{28}+\frac{12\!\cdots\!64}{51\!\cdots\!47}a^{27}+\frac{10\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{40\!\cdots\!37}{51\!\cdots\!47}a^{25}-\frac{30\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!81}a^{24}+\frac{94\!\cdots\!20}{51\!\cdots\!47}a^{23}+\frac{63\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{15\!\cdots\!22}{51\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{94\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{19\!\cdots\!56}{51\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{99\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!62}{51\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{74\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!81}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!07}{51\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{39\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!81}a^{14}-\frac{58\!\cdots\!81}{51\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!81}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!29}{51\!\cdots\!47}a^{11}+\frac{36\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!81}a^{10}-\frac{44\!\cdots\!95}{51\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{67\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{63\!\cdots\!82}{51\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{90\!\cdots\!82}{11\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{50\!\cdots\!99}{51\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{83\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!54}{51\!\cdots\!47}a^{3}+\frac{39\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!81}a^{2}-\frac{36\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!29}a-\frac{36\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!81}$, $\frac{18\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!81}a^{39}+\frac{51\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!81}a^{38}-\frac{10\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!81}a^{37}-\frac{28\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!81}a^{36}+\frac{23\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!81}a^{35}+\frac{69\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!81}a^{34}-\frac{31\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!81}a^{33}-\frac{96\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!81}a^{32}+\frac{25\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!81}a^{31}+\frac{85\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!81}a^{30}-\frac{14\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!81}a^{29}-\frac{51\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!81}a^{28}+\frac{51\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!81}a^{27}+\frac{21\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!86}{11\!\cdots\!81}a^{25}-\frac{64\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!81}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!81}a^{23}+\frac{13\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!81}a^{21}-\frac{21\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!81}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!81}a^{19}+\frac{24\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!81}a^{18}+\frac{33\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!81}a^{17}-\frac{19\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!81}a^{16}-\frac{37\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!81}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!81}a^{14}+\frac{24\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!81}a^{13}-\frac{45\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!81}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!81}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!80}{51\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{85\!\cdots\!69}{51\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{41\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!81}a^{6}+\frac{35\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{78\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!81}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!81}a-\frac{14\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!81}$, $\frac{27\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!81}a^{39}-\frac{72\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!81}a^{38}-\frac{16\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!81}a^{37}+\frac{40\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!81}a^{36}+\frac{40\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!81}a^{35}-\frac{98\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!81}a^{34}-\frac{60\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!81}a^{33}+\frac{32\!\cdots\!70}{27\!\cdots\!67}a^{32}+\frac{58\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!81}a^{31}-\frac{12\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!81}a^{30}-\frac{38\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!81}a^{29}+\frac{77\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!81}a^{28}+\frac{18\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!81}a^{27}-\frac{33\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{61\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!81}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!81}a^{24}+\frac{15\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!81}a^{23}-\frac{22\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{27\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!81}a^{21}+\frac{36\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{36\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!81}a^{19}-\frac{43\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{35\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!81}a^{17}+\frac{37\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!81}a^{16}+\frac{24\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!81}a^{15}-\frac{22\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!81}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!81}a^{13}+\frac{99\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!81}a^{12}+\frac{40\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!81}a^{11}-\frac{29\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!81}a^{10}-\frac{37\!\cdots\!46}{51\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{23\!\cdots\!24}{51\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!81}a^{7}-\frac{59\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{80\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!81}a^{5}+\frac{34\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!81}a^{3}-\frac{93\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!81}a^{2}-\frac{27\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!81}a+\frac{72\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!81}$, $\frac{29\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!81}a^{39}-\frac{63\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!29}a^{38}-\frac{39\!\cdots\!84}{27\!\cdots\!67}a^{37}+\frac{35\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!29}a^{36}+\frac{41\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!81}a^{35}-\frac{87\!\cdots\!45}{11\!\cdots\!29}a^{34}-\frac{59\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!81}a^{33}+\frac{12\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!29}a^{32}+\frac{55\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!81}a^{31}-\frac{11\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!29}a^{30}-\frac{34\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!81}a^{29}+\frac{67\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!29}a^{28}+\frac{15\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!81}a^{27}-\frac{28\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!29}a^{26}-\frac{48\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!81}a^{25}+\frac{87\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!29}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!81}a^{23}-\frac{19\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!29}a^{22}-\frac{18\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!81}a^{21}+\frac{31\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!29}a^{20}+\frac{22\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!81}a^{19}-\frac{37\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!29}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!81}a^{17}+\frac{31\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!29}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!81}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!29}a^{14}-\frac{56\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!81}a^{13}+\frac{89\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!86}{11\!\cdots\!81}a^{11}-\frac{27\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!67}{51\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{57\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!82}{11\!\cdots\!81}a^{7}-\frac{74\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!29}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!93}{27\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{54\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!29}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!81}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{33\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!81}a+\frac{19\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!29}$, $\frac{45\!\cdots\!45}{11\!\cdots\!81}a^{39}+\frac{51\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!81}a^{38}-\frac{25\!\cdots\!45}{11\!\cdots\!81}a^{37}-\frac{28\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!81}a^{36}+\frac{60\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!81}a^{35}+\frac{69\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!81}a^{34}-\frac{83\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!81}a^{33}-\frac{96\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!81}a^{32}+\frac{73\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!81}a^{31}+\frac{85\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!81}a^{30}-\frac{44\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!81}a^{29}-\frac{51\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!81}a^{28}+\frac{18\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!81}a^{27}+\frac{21\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{53\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!81}a^{25}-\frac{64\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!81}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!81}a^{23}+\frac{13\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!81}a^{21}-\frac{21\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{17\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!81}a^{19}+\frac{24\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!81}a^{17}-\frac{19\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!81}a^{16}+\frac{58\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!81}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!81}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!81}a^{13}-\frac{45\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!81}a^{12}+\frac{76\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!81}a^{10}+\frac{37\!\cdots\!60}{51\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{85\!\cdots\!69}{51\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{26\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!81}a^{6}+\frac{30\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{78\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!81}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!81}a-\frac{26\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!81}$, $\frac{43\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!81}a^{39}-\frac{33\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!81}a^{38}-\frac{24\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!81}a^{37}+\frac{18\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!81}a^{36}+\frac{61\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!81}a^{35}-\frac{44\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!81}a^{34}-\frac{88\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!81}a^{33}+\frac{60\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!81}a^{32}+\frac{82\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!81}a^{31}-\frac{52\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!81}a^{30}-\frac{52\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!81}a^{29}+\frac{30\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!81}a^{28}+\frac{23\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!81}a^{27}-\frac{12\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{74\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!81}a^{25}+\frac{35\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!81}a^{24}+\frac{17\!\cdots\!18}{11\!\cdots\!81}a^{23}-\frac{71\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{29\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!81}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{36\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!81}a^{19}-\frac{99\!\cdots\!82}{11\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{32\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!81}a^{17}+\frac{67\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!81}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!81}a^{15}-\frac{29\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!81}a^{14}-\frac{88\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!81}a^{13}+\frac{71\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!81}a^{12}+\frac{23\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!81}a^{11}-\frac{55\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!81}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!68}{51\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{66\!\cdots\!51}{51\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{34\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!81}a^{6}+\frac{26\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{27\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!81}a^{3}-\frac{95\!\cdots\!64}{11\!\cdots\!81}a^{2}+\frac{65\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!81}a+\frac{52\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!81}$, $\frac{21\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!81}a^{39}+\frac{58\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!81}a^{38}-\frac{11\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!81}a^{37}-\frac{32\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!81}a^{36}+\frac{27\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!81}a^{35}+\frac{80\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!81}a^{34}-\frac{36\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!81}a^{33}-\frac{11\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!81}a^{32}+\frac{30\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!81}a^{31}+\frac{10\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!81}a^{30}-\frac{17\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!81}a^{29}-\frac{64\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!81}a^{28}+\frac{65\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!81}a^{27}+\frac{27\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{16\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!81}a^{25}-\frac{87\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!81}a^{24}+\frac{28\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!81}a^{23}+\frac{19\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{30\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!81}a^{21}-\frac{32\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!81}a^{19}+\frac{39\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!81}a^{18}+\frac{68\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!81}a^{17}-\frac{35\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!81}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!81}a^{15}+\frac{22\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!81}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!81}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!81}a^{12}-\frac{42\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{33\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!81}a^{10}+\frac{32\!\cdots\!98}{51\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{30\!\cdots\!69}{51\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!82}{11\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{92\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{67\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{23\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!81}a^{2}-\frac{36\!\cdots\!82}{11\!\cdots\!81}a-\frac{23\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!81}$, $\frac{50\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!81}a^{39}-\frac{19\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!81}a^{38}-\frac{29\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!81}a^{37}+\frac{10\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!81}a^{36}+\frac{77\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!81}a^{35}-\frac{27\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!81}a^{34}-\frac{11\!\cdots\!86}{11\!\cdots\!81}a^{33}+\frac{40\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!81}a^{32}+\frac{11\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!81}a^{31}-\frac{37\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!81}a^{30}-\frac{80\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!81}a^{29}+\frac{24\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!81}a^{28}+\frac{39\!\cdots\!45}{11\!\cdots\!81}a^{27}-\frac{11\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{14\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!81}a^{25}+\frac{36\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!81}a^{24}+\frac{36\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!81}a^{23}-\frac{86\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{71\!\cdots\!45}{11\!\cdots\!81}a^{21}+\frac{15\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!81}a^{19}-\frac{19\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!81}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!81}a^{16}+\frac{88\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!81}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!81}a^{14}-\frac{51\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!81}a^{13}+\frac{63\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!81}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!81}a^{11}-\frac{21\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!81}a^{10}-\frac{25\!\cdots\!19}{51\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{20\!\cdots\!58}{51\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!81}a^{7}-\frac{64\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!81}a^{5}+\frac{49\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{55\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!81}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!81}a^{2}-\frac{86\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!81}a+\frac{20\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!81}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 1149329825881126000000000 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{40}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 1149329825881126000000000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{11302165783522556415463223790320401501047994110286233600000000000000000000}}\cr\approx \mathstrut & 0.187946252779787 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^40 - 57*x^38 + 1425*x^36 - 20652*x^34 + 193556*x^32 - 1241646*x^30 + 5639500*x^28 - 18536622*x^26 + 44732012*x^24 - 79942830*x^22 + 106185927*x^20 - 104672040*x^18 + 76047611*x^16 - 40198503*x^14 + 15148783*x^12 - 3949296*x^10 + 681395*x^8 - 72774*x^6 + 4330*x^4 - 120*x^2 + 1)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^40 - 57*x^38 + 1425*x^36 - 20652*x^34 + 193556*x^32 - 1241646*x^30 + 5639500*x^28 - 18536622*x^26 + 44732012*x^24 - 79942830*x^22 + 106185927*x^20 - 104672040*x^18 + 76047611*x^16 - 40198503*x^14 + 15148783*x^12 - 3949296*x^10 + 681395*x^8 - 72774*x^6 + 4330*x^4 - 120*x^2 + 1, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^40 - 57*x^38 + 1425*x^36 - 20652*x^34 + 193556*x^32 - 1241646*x^30 + 5639500*x^28 - 18536622*x^26 + 44732012*x^24 - 79942830*x^22 + 106185927*x^20 - 104672040*x^18 + 76047611*x^16 - 40198503*x^14 + 15148783*x^12 - 3949296*x^10 + 681395*x^8 - 72774*x^6 + 4330*x^4 - 120*x^2 + 1);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^40 - 57*x^38 + 1425*x^36 - 20652*x^34 + 193556*x^32 - 1241646*x^30 + 5639500*x^28 - 18536622*x^26 + 44732012*x^24 - 79942830*x^22 + 106185927*x^20 - 104672040*x^18 + 76047611*x^16 - 40198503*x^14 + 15148783*x^12 - 3949296*x^10 + 681395*x^8 - 72774*x^6 + 4330*x^4 - 120*x^2 + 1);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$C_2^2\times C_{10}$ (as 40T7):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| An abelian group of order 40 |
| The 40 conjugacy class representatives for $C_2^2\times C_{10}$ |
| Character table for $C_2^2\times C_{10}$ |
Intermediate fields
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | R | R | R | ${\href{/padicField/7.10.0.1}{10} }^{4}$ | R | ${\href{/padicField/13.10.0.1}{10} }^{4}$ | ${\href{/padicField/17.10.0.1}{10} }^{4}$ | ${\href{/padicField/19.10.0.1}{10} }^{4}$ | ${\href{/padicField/23.2.0.1}{2} }^{20}$ | ${\href{/padicField/29.10.0.1}{10} }^{4}$ | ${\href{/padicField/31.10.0.1}{10} }^{4}$ | ${\href{/padicField/37.10.0.1}{10} }^{4}$ | ${\href{/padicField/41.10.0.1}{10} }^{4}$ | ${\href{/padicField/43.2.0.1}{2} }^{20}$ | ${\href{/padicField/47.10.0.1}{10} }^{4}$ | ${\href{/padicField/53.10.0.1}{10} }^{4}$ | ${\href{/padicField/59.10.0.1}{10} }^{4}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(2\)
| Deg $20$ | $2$ | $10$ | $20$ | |||
| Deg $20$ | $2$ | $10$ | $20$ | ||||
|
\(3\)
| 3.20.10.1 | $x^{20} + 30 x^{18} + 409 x^{16} + 4 x^{15} + 3244 x^{14} - 60 x^{13} + 16162 x^{12} - 1250 x^{11} + 53008 x^{10} - 7102 x^{9} + 121150 x^{8} - 12140 x^{7} + 219264 x^{6} + 5736 x^{5} + 257465 x^{4} + 35250 x^{3} + 250183 x^{2} + 51502 x + 77812$ | $2$ | $10$ | $10$ | 20T3 | $[\ ]_{2}^{10}$ |
| 3.20.10.1 | $x^{20} + 30 x^{18} + 409 x^{16} + 4 x^{15} + 3244 x^{14} - 60 x^{13} + 16162 x^{12} - 1250 x^{11} + 53008 x^{10} - 7102 x^{9} + 121150 x^{8} - 12140 x^{7} + 219264 x^{6} + 5736 x^{5} + 257465 x^{4} + 35250 x^{3} + 250183 x^{2} + 51502 x + 77812$ | $2$ | $10$ | $10$ | 20T3 | $[\ ]_{2}^{10}$ | |
|
\(5\)
| Deg $20$ | $2$ | $10$ | $10$ | |||
| Deg $20$ | $2$ | $10$ | $10$ | ||||
|
\(11\)
| 11.10.9.1 | $x^{10} + 110$ | $10$ | $1$ | $9$ | $C_{10}$ | $[\ ]_{10}$ |
| 11.10.9.1 | $x^{10} + 110$ | $10$ | $1$ | $9$ | $C_{10}$ | $[\ ]_{10}$ | |
| 11.10.9.1 | $x^{10} + 110$ | $10$ | $1$ | $9$ | $C_{10}$ | $[\ ]_{10}$ | |
| 11.10.9.1 | $x^{10} + 110$ | $10$ | $1$ | $9$ | $C_{10}$ | $[\ ]_{10}$ |