Normalized defining polynomial
\( x^{40} - x^{39} - x^{38} + 7 x^{37} - 12 x^{36} - 3 x^{35} + 58 x^{34} - 121 x^{33} + 29 x^{32} + \cdots + 59049 \)
Invariants
| Degree: | $40$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[0, 20]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(80991088329663621512136783946706428882352994235065987550082919086927689\)
\(\medspace = 11^{36}\cdot 13^{30}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(59.25\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $11^{9/10}13^{3/4}\approx 59.253080108324006$ | ||
| Ramified primes: |
\(11\), \(13\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $40$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
| Conductor: | \(143=11\cdot 13\) | ||
| Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{143}(1,·)$, $\chi_{143}(131,·)$, $\chi_{143}(5,·)$, $\chi_{143}(129,·)$, $\chi_{143}(8,·)$, $\chi_{143}(138,·)$, $\chi_{143}(12,·)$, $\chi_{143}(14,·)$, $\chi_{143}(18,·)$, $\chi_{143}(21,·)$, $\chi_{143}(25,·)$, $\chi_{143}(27,·)$, $\chi_{143}(31,·)$, $\chi_{143}(34,·)$, $\chi_{143}(38,·)$, $\chi_{143}(40,·)$, $\chi_{143}(135,·)$, $\chi_{143}(47,·)$, $\chi_{143}(51,·)$, $\chi_{143}(53,·)$, $\chi_{143}(57,·)$, $\chi_{143}(60,·)$, $\chi_{143}(64,·)$, $\chi_{143}(70,·)$, $\chi_{143}(73,·)$, $\chi_{143}(79,·)$, $\chi_{143}(83,·)$, $\chi_{143}(142,·)$, $\chi_{143}(86,·)$, $\chi_{143}(90,·)$, $\chi_{143}(92,·)$, $\chi_{143}(96,·)$, $\chi_{143}(103,·)$, $\chi_{143}(105,·)$, $\chi_{143}(109,·)$, $\chi_{143}(112,·)$, $\chi_{143}(116,·)$, $\chi_{143}(118,·)$, $\chi_{143}(122,·)$, $\chi_{143}(125,·)$$\rbrace$ | ||
| This is a CM field. | |||
| Reflex fields: | unavailable$^{524288}$ | ||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $\frac{1}{3}a^{21}+\frac{1}{3}a^{19}+\frac{1}{3}a^{17}+\frac{1}{3}a^{15}+\frac{1}{3}a^{13}+\frac{1}{3}a^{11}+\frac{1}{3}a^{9}+\frac{1}{3}a^{7}+\frac{1}{3}a^{5}+\frac{1}{3}a^{3}+\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{3}a^{22}+\frac{1}{3}a^{20}+\frac{1}{3}a^{18}+\frac{1}{3}a^{16}+\frac{1}{3}a^{14}+\frac{1}{3}a^{12}+\frac{1}{3}a^{10}+\frac{1}{3}a^{8}+\frac{1}{3}a^{6}+\frac{1}{3}a^{4}+\frac{1}{3}a^{2}$, $\frac{1}{3}a^{23}-\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{3}a^{24}-\frac{1}{3}a^{2}$, $\frac{1}{3}a^{25}-\frac{1}{3}a^{3}$, $\frac{1}{3}a^{26}-\frac{1}{3}a^{4}$, $\frac{1}{3}a^{27}-\frac{1}{3}a^{5}$, $\frac{1}{3}a^{28}-\frac{1}{3}a^{6}$, $\frac{1}{3}a^{29}-\frac{1}{3}a^{7}$, $\frac{1}{3}a^{30}-\frac{1}{3}a^{8}$, $\frac{1}{28\!\cdots\!11}a^{31}+\frac{430233146757965}{28\!\cdots\!11}a^{30}-\frac{94968514623833}{941054662112137}a^{29}+\frac{365493912467710}{28\!\cdots\!11}a^{28}+\frac{43140438082871}{28\!\cdots\!11}a^{27}-\frac{381285892441771}{28\!\cdots\!11}a^{26}-\frac{211466688575045}{28\!\cdots\!11}a^{25}+\frac{16706162795647}{941054662112137}a^{24}-\frac{340695333140411}{28\!\cdots\!11}a^{23}-\frac{402605382720475}{28\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{12253581349974}{941054662112137}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!55}{28\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{410205525836438}{941054662112137}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!28}{28\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{317366510645025}{941054662112137}a^{17}+\frac{616165475948339}{28\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{209545029881944}{941054662112137}a^{15}-\frac{288555006427561}{28\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{431360881979448}{941054662112137}a^{13}-\frac{285927396804634}{28\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{55344201988806}{941054662112137}a^{11}-\frac{749614178558596}{28\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!73}{28\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{309856538623986}{941054662112137}a^{8}-\frac{368938048779702}{941054662112137}a^{7}-\frac{972862107547289}{28\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{52047907539766}{28\!\cdots\!11}a^{5}+\frac{108012949085112}{941054662112137}a^{4}-\frac{999140653506706}{28\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{654676925460554}{28\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!44}{28\!\cdots\!11}a-\frac{411070585923916}{941054662112137}$, $\frac{1}{84\!\cdots\!33}a^{32}-\frac{1}{84\!\cdots\!33}a^{31}+\frac{752231988664247}{84\!\cdots\!33}a^{30}+\frac{187936101140107}{84\!\cdots\!33}a^{29}+\frac{376921302622601}{28\!\cdots\!11}a^{28}-\frac{440290713942479}{28\!\cdots\!11}a^{27}+\frac{377556750995929}{84\!\cdots\!33}a^{26}+\frac{577106888037014}{84\!\cdots\!33}a^{25}+\frac{12\!\cdots\!15}{84\!\cdots\!33}a^{24}+\frac{210810402651973}{84\!\cdots\!33}a^{23}+\frac{406266784679159}{28\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{296347971109042}{84\!\cdots\!33}a^{21}+\frac{908273032407428}{28\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!83}{84\!\cdots\!33}a^{19}-\frac{556635670875184}{28\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!63}{84\!\cdots\!33}a^{17}-\frac{564793644492793}{28\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{18\!\cdots\!71}{84\!\cdots\!33}a^{15}-\frac{762408491091343}{28\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{40\!\cdots\!34}{84\!\cdots\!33}a^{13}-\frac{770652887359696}{28\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{16\!\cdots\!80}{84\!\cdots\!33}a^{11}+\frac{27\!\cdots\!85}{84\!\cdots\!33}a^{10}+\frac{33\!\cdots\!25}{84\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{37\!\cdots\!02}{84\!\cdots\!33}a^{8}+\frac{780613516342441}{28\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{94591138384560}{941054662112137}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!58}{84\!\cdots\!33}a^{5}-\frac{314118841402330}{84\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{23\!\cdots\!73}{84\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!99}{84\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{243688504093354}{28\!\cdots\!11}a-\frac{57729995407016}{941054662112137}$, $\frac{1}{25\!\cdots\!99}a^{33}-\frac{1}{25\!\cdots\!99}a^{32}-\frac{1}{25\!\cdots\!99}a^{31}-\frac{34\!\cdots\!51}{25\!\cdots\!99}a^{30}+\frac{440976549571676}{84\!\cdots\!33}a^{29}-\frac{934268798305120}{84\!\cdots\!33}a^{28}+\frac{31\!\cdots\!69}{25\!\cdots\!99}a^{27}+\frac{13\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!99}a^{26}+\frac{26\!\cdots\!87}{25\!\cdots\!99}a^{25}-\frac{13\!\cdots\!97}{25\!\cdots\!99}a^{24}+\frac{52286695958761}{28\!\cdots\!11}a^{23}-\frac{943066189537343}{25\!\cdots\!99}a^{22}+\frac{125716636638506}{941054662112137}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!55}{25\!\cdots\!99}a^{20}-\frac{122315745650420}{941054662112137}a^{19}+\frac{43\!\cdots\!81}{25\!\cdots\!99}a^{18}-\frac{248811696598767}{941054662112137}a^{17}-\frac{33\!\cdots\!47}{25\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{255820082845807}{941054662112137}a^{15}-\frac{899883162319397}{25\!\cdots\!99}a^{14}-\frac{138860573481555}{941054662112137}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!36}{25\!\cdots\!99}a^{12}+\frac{85\!\cdots\!31}{25\!\cdots\!99}a^{11}+\frac{34\!\cdots\!92}{25\!\cdots\!99}a^{10}-\frac{72\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{734863140725407}{28\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{38\!\cdots\!85}{84\!\cdots\!33}a^{7}-\frac{73\!\cdots\!95}{25\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!28}{25\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{62\!\cdots\!17}{25\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{24\!\cdots\!11}{25\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{30\!\cdots\!93}{84\!\cdots\!33}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!88}{28\!\cdots\!11}a+\frac{455973498058521}{941054662112137}$, $\frac{1}{76\!\cdots\!97}a^{34}-\frac{1}{76\!\cdots\!97}a^{33}-\frac{1}{76\!\cdots\!97}a^{32}+\frac{7}{76\!\cdots\!97}a^{31}-\frac{15\!\cdots\!72}{25\!\cdots\!99}a^{30}+\frac{34\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!99}a^{29}-\frac{819909757285817}{76\!\cdots\!97}a^{28}+\frac{11\!\cdots\!70}{76\!\cdots\!97}a^{27}-\frac{54\!\cdots\!66}{76\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{18\!\cdots\!84}{76\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{13\!\cdots\!61}{84\!\cdots\!33}a^{24}-\frac{84\!\cdots\!77}{76\!\cdots\!97}a^{23}-\frac{254413877698817}{28\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{18\!\cdots\!64}{76\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{406853225327742}{941054662112137}a^{20}+\frac{32\!\cdots\!61}{76\!\cdots\!97}a^{19}-\frac{77389473169735}{941054662112137}a^{18}+\frac{31\!\cdots\!04}{76\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{636812522278625}{28\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!62}{76\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{376529733518418}{941054662112137}a^{14}-\frac{21\!\cdots\!33}{76\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{34\!\cdots\!72}{76\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!45}{76\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{44\!\cdots\!50}{76\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{24\!\cdots\!17}{84\!\cdots\!33}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!66}{76\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{839944406152322}{76\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!37}{76\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{33\!\cdots\!67}{76\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{62\!\cdots\!85}{25\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!56}{84\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!86}{28\!\cdots\!11}a-\frac{165207747839560}{941054662112137}$, $\frac{1}{22\!\cdots\!91}a^{35}-\frac{1}{22\!\cdots\!91}a^{34}-\frac{1}{22\!\cdots\!91}a^{33}+\frac{7}{22\!\cdots\!91}a^{32}-\frac{4}{76\!\cdots\!97}a^{31}+\frac{91\!\cdots\!22}{76\!\cdots\!97}a^{30}+\frac{11\!\cdots\!77}{22\!\cdots\!91}a^{29}+\frac{98\!\cdots\!19}{22\!\cdots\!91}a^{28}+\frac{18\!\cdots\!30}{22\!\cdots\!91}a^{27}+\frac{16\!\cdots\!39}{22\!\cdots\!91}a^{26}-\frac{16\!\cdots\!06}{25\!\cdots\!99}a^{25}-\frac{34\!\cdots\!81}{22\!\cdots\!91}a^{24}-\frac{10\!\cdots\!57}{84\!\cdots\!33}a^{23}-\frac{13\!\cdots\!32}{22\!\cdots\!91}a^{22}-\frac{100653903134264}{941054662112137}a^{21}+\frac{44\!\cdots\!03}{22\!\cdots\!91}a^{20}+\frac{202973476900999}{941054662112137}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!30}{22\!\cdots\!91}a^{18}-\frac{22\!\cdots\!41}{84\!\cdots\!33}a^{17}-\frac{72\!\cdots\!05}{22\!\cdots\!91}a^{16}-\frac{143059985347312}{28\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{46\!\cdots\!56}{22\!\cdots\!91}a^{14}+\frac{90\!\cdots\!41}{22\!\cdots\!91}a^{13}-\frac{55\!\cdots\!93}{22\!\cdots\!91}a^{12}-\frac{48\!\cdots\!06}{22\!\cdots\!91}a^{11}-\frac{28\!\cdots\!61}{25\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{29\!\cdots\!16}{76\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{75\!\cdots\!69}{22\!\cdots\!91}a^{8}-\frac{35\!\cdots\!66}{22\!\cdots\!91}a^{7}-\frac{84\!\cdots\!12}{22\!\cdots\!91}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!27}{22\!\cdots\!91}a^{5}-\frac{23\!\cdots\!39}{76\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{80\!\cdots\!68}{25\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{24\!\cdots\!14}{84\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{317549965035292}{28\!\cdots\!11}a-\frac{318416961125790}{941054662112137}$, $\frac{1}{68\!\cdots\!73}a^{36}-\frac{1}{68\!\cdots\!73}a^{35}-\frac{1}{68\!\cdots\!73}a^{34}+\frac{7}{68\!\cdots\!73}a^{33}-\frac{4}{22\!\cdots\!91}a^{32}-\frac{1}{22\!\cdots\!91}a^{31}+\frac{92\!\cdots\!16}{68\!\cdots\!73}a^{30}-\frac{94\!\cdots\!10}{68\!\cdots\!73}a^{29}-\frac{90\!\cdots\!98}{68\!\cdots\!73}a^{28}-\frac{34\!\cdots\!82}{68\!\cdots\!73}a^{27}+\frac{17\!\cdots\!08}{76\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{92\!\cdots\!87}{68\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!66}{25\!\cdots\!99}a^{24}-\frac{73\!\cdots\!92}{68\!\cdots\!73}a^{23}-\frac{593246134252957}{84\!\cdots\!33}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!43}{68\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{25\!\cdots\!51}{84\!\cdots\!33}a^{20}+\frac{32\!\cdots\!94}{68\!\cdots\!73}a^{19}-\frac{53\!\cdots\!77}{25\!\cdots\!99}a^{18}-\frac{28\!\cdots\!16}{68\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{30\!\cdots\!29}{84\!\cdots\!33}a^{16}-\frac{50\!\cdots\!44}{68\!\cdots\!73}a^{15}-\frac{26\!\cdots\!36}{68\!\cdots\!73}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!76}{68\!\cdots\!73}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!94}{68\!\cdots\!73}a^{12}-\frac{16\!\cdots\!68}{76\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{58\!\cdots\!30}{22\!\cdots\!91}a^{10}+\frac{58\!\cdots\!82}{68\!\cdots\!73}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!23}{68\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{28\!\cdots\!79}{68\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!64}{68\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{28\!\cdots\!02}{22\!\cdots\!91}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!67}{76\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!08}{25\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{26\!\cdots\!54}{84\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{341492664569656}{28\!\cdots\!11}a-\frac{275412672028124}{941054662112137}$, $\frac{1}{20\!\cdots\!19}a^{37}-\frac{1}{20\!\cdots\!19}a^{36}-\frac{1}{20\!\cdots\!19}a^{35}+\frac{7}{20\!\cdots\!19}a^{34}-\frac{4}{68\!\cdots\!73}a^{33}-\frac{1}{68\!\cdots\!73}a^{32}+\frac{58}{20\!\cdots\!19}a^{31}-\frac{15\!\cdots\!59}{20\!\cdots\!19}a^{30}-\frac{32\!\cdots\!91}{20\!\cdots\!19}a^{29}-\frac{51\!\cdots\!23}{20\!\cdots\!19}a^{28}+\frac{77\!\cdots\!55}{22\!\cdots\!91}a^{27}+\frac{28\!\cdots\!02}{20\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!07}{76\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{20\!\cdots\!29}{20\!\cdots\!19}a^{24}+\frac{830422676858036}{25\!\cdots\!99}a^{23}-\frac{624884658206024}{20\!\cdots\!19}a^{22}-\frac{39\!\cdots\!39}{25\!\cdots\!99}a^{21}+\frac{65\!\cdots\!57}{20\!\cdots\!19}a^{20}+\frac{33\!\cdots\!67}{76\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{23\!\cdots\!52}{20\!\cdots\!19}a^{18}-\frac{66\!\cdots\!64}{25\!\cdots\!99}a^{17}-\frac{32\!\cdots\!74}{20\!\cdots\!19}a^{16}+\frac{88\!\cdots\!18}{20\!\cdots\!19}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!76}{20\!\cdots\!19}a^{14}-\frac{43\!\cdots\!37}{20\!\cdots\!19}a^{13}+\frac{93\!\cdots\!40}{22\!\cdots\!91}a^{12}-\frac{19\!\cdots\!85}{68\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{25\!\cdots\!16}{20\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{60\!\cdots\!12}{20\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{43\!\cdots\!76}{20\!\cdots\!19}a^{8}+\frac{91\!\cdots\!54}{20\!\cdots\!19}a^{7}+\frac{21\!\cdots\!03}{68\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{73\!\cdots\!56}{22\!\cdots\!91}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!66}{76\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{40\!\cdots\!64}{25\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!09}{84\!\cdots\!33}a^{2}-\frac{276003515974591}{28\!\cdots\!11}a+\frac{365177554088002}{941054662112137}$, $\frac{1}{61\!\cdots\!57}a^{38}-\frac{1}{61\!\cdots\!57}a^{37}-\frac{1}{61\!\cdots\!57}a^{36}+\frac{7}{61\!\cdots\!57}a^{35}-\frac{4}{20\!\cdots\!19}a^{34}-\frac{1}{20\!\cdots\!19}a^{33}+\frac{58}{61\!\cdots\!57}a^{32}-\frac{121}{61\!\cdots\!57}a^{31}+\frac{95\!\cdots\!39}{61\!\cdots\!57}a^{30}+\frac{75\!\cdots\!70}{61\!\cdots\!57}a^{29}-\frac{10\!\cdots\!34}{68\!\cdots\!73}a^{28}-\frac{47\!\cdots\!23}{61\!\cdots\!57}a^{27}+\frac{36\!\cdots\!80}{22\!\cdots\!91}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!09}{61\!\cdots\!57}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!36}{76\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!37}{61\!\cdots\!57}a^{23}-\frac{48\!\cdots\!75}{76\!\cdots\!97}a^{22}-\frac{69\!\cdots\!00}{61\!\cdots\!57}a^{21}-\frac{24\!\cdots\!50}{22\!\cdots\!91}a^{20}-\frac{21\!\cdots\!25}{61\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{30\!\cdots\!10}{76\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{78\!\cdots\!03}{61\!\cdots\!57}a^{17}-\frac{24\!\cdots\!57}{61\!\cdots\!57}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!14}{61\!\cdots\!57}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!56}{61\!\cdots\!57}a^{14}+\frac{32\!\cdots\!61}{68\!\cdots\!73}a^{13}+\frac{80\!\cdots\!37}{20\!\cdots\!19}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!57}{61\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{46\!\cdots\!51}{61\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!91}{61\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{54\!\cdots\!80}{61\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{32\!\cdots\!05}{20\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{84\!\cdots\!08}{68\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{32\!\cdots\!07}{22\!\cdots\!91}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!76}{76\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{99\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{23\!\cdots\!14}{84\!\cdots\!33}a^{2}-\frac{468644220906539}{28\!\cdots\!11}a+\frac{72692268861993}{941054662112137}$, $\frac{1}{18\!\cdots\!71}a^{39}-\frac{1}{18\!\cdots\!71}a^{38}-\frac{1}{18\!\cdots\!71}a^{37}+\frac{7}{18\!\cdots\!71}a^{36}-\frac{4}{61\!\cdots\!57}a^{35}-\frac{1}{61\!\cdots\!57}a^{34}+\frac{58}{18\!\cdots\!71}a^{33}-\frac{121}{18\!\cdots\!71}a^{32}+\frac{29}{18\!\cdots\!71}a^{31}+\frac{27\!\cdots\!54}{18\!\cdots\!71}a^{30}+\frac{22\!\cdots\!38}{20\!\cdots\!19}a^{29}-\frac{78\!\cdots\!60}{18\!\cdots\!71}a^{28}-\frac{77\!\cdots\!85}{68\!\cdots\!73}a^{27}-\frac{15\!\cdots\!93}{18\!\cdots\!71}a^{26}+\frac{34\!\cdots\!54}{22\!\cdots\!91}a^{25}+\frac{47\!\cdots\!69}{18\!\cdots\!71}a^{24}+\frac{23\!\cdots\!13}{22\!\cdots\!91}a^{23}+\frac{23\!\cdots\!70}{18\!\cdots\!71}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!95}{68\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{22\!\cdots\!70}{18\!\cdots\!71}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!10}{22\!\cdots\!91}a^{19}+\frac{69\!\cdots\!64}{18\!\cdots\!71}a^{18}-\frac{41\!\cdots\!67}{18\!\cdots\!71}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!51}{18\!\cdots\!71}a^{16}+\frac{34\!\cdots\!56}{18\!\cdots\!71}a^{15}-\frac{82\!\cdots\!64}{20\!\cdots\!19}a^{14}+\frac{44\!\cdots\!66}{61\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{35\!\cdots\!54}{18\!\cdots\!71}a^{12}-\frac{90\!\cdots\!80}{18\!\cdots\!71}a^{11}-\frac{74\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!71}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!10}{18\!\cdots\!71}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!40}{61\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!02}{20\!\cdots\!19}a^{7}+\frac{21\!\cdots\!70}{68\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{79\!\cdots\!27}{22\!\cdots\!91}a^{5}+\frac{26\!\cdots\!34}{76\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!09}{25\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!19}{84\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!57}{28\!\cdots\!11}a+\frac{144441030578683}{941054662112137}$
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
$C_{1525}$, which has order $1525$ (assuming GRH)
Unit group
| Rank: | $19$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -\frac{6179798381201}{2058086546039243619} a^{39} - \frac{6179798381201}{2058086546039243619} a^{38} + \frac{43258588668407}{2058086546039243619} a^{37} - \frac{24719193524804}{686028848679747873} a^{36} - \frac{6179798381201}{686028848679747873} a^{35} + \frac{358428306109658}{2058086546039243619} a^{34} - \frac{747755604125321}{2058086546039243619} a^{33} + \frac{179214153054829}{2058086546039243619} a^{32} + \frac{2805628465065254}{2058086546039243619} a^{31} - \frac{803373789556130}{228676282893249291} a^{30} + \frac{1526289632852126}{686028848679747873} a^{29} + \frac{1025846531279366}{76225427631083097} a^{28} - \frac{59931684700887298}{2058086546039243619} a^{27} + \frac{197753548198432}{25408475877027699} a^{26} + \frac{222293527570181171}{2058086546039243619} a^{25} - \frac{7125307533524753}{25408475877027699} a^{24} + \frac{376430058794096513}{2058086546039243619} a^{23} + \frac{59962583692793303}{76225427631083097} a^{22} - \frac{5347330100866175692}{2058086546039243619} a^{21} + \frac{66006426509607881}{25408475877027699} a^{20} + \frac{10694808516893500208}{2058086546039243619} a^{19} - \frac{588070668286187429}{25408475877027699} a^{18} + \frac{5834230235522621281}{2058086546039243619} a^{17} + \frac{496991745412946822}{2058086546039243619} a^{16} - \frac{381441875281250524}{228676282893249291} a^{15} - \frac{1612253779469910091}{686028848679747873} a^{14} - \frac{3812008631443836850}{2058086546039243619} a^{13} - \frac{1737351438100561934}{2058086546039243619} a^{12} + \frac{313253979943078690}{2058086546039243619} a^{11} + \frac{2423698385711888597}{2058086546039243619} a^{10} + \frac{478804598777072279}{686028848679747873} a^{9} + \frac{20139962924334059}{228676282893249291} a^{8} + \frac{2327256198942633311}{2058086546039243619} a^{7} - \frac{13861287769033843}{25408475877027699} a^{6} - \frac{3831474996344620}{8469491959009233} a^{5} - \frac{587080846214095}{2823163986336411} a^{4} + \frac{43258588668407}{941054662112137} a^{3} + \frac{185393951436030}{941054662112137} a^{2} + \frac{222472741723236}{941054662112137} a + \frac{166854556292427}{941054662112137} \)
(order $22$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{6179798381201}{20\!\cdots\!19}a^{39}+\frac{6179798381201}{20\!\cdots\!19}a^{38}-\frac{43258588668407}{20\!\cdots\!19}a^{37}+\frac{23820439604081}{68\!\cdots\!73}a^{36}+\frac{6179798381201}{68\!\cdots\!73}a^{35}-\frac{358428306109658}{20\!\cdots\!19}a^{34}+\frac{747755604125321}{20\!\cdots\!19}a^{33}-\frac{179214153054829}{20\!\cdots\!19}a^{32}-\frac{28\!\cdots\!54}{20\!\cdots\!19}a^{31}+\frac{803373789556130}{22\!\cdots\!91}a^{30}-\frac{15\!\cdots\!26}{68\!\cdots\!73}a^{29}-\frac{10\!\cdots\!66}{76\!\cdots\!97}a^{28}+\frac{59\!\cdots\!98}{20\!\cdots\!19}a^{27}-\frac{197753548198432}{25\!\cdots\!99}a^{26}-\frac{21\!\cdots\!98}{20\!\cdots\!19}a^{25}+\frac{71\!\cdots\!53}{25\!\cdots\!99}a^{24}-\frac{37\!\cdots\!13}{20\!\cdots\!19}a^{23}-\frac{59\!\cdots\!03}{76\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{53\!\cdots\!92}{20\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{66\!\cdots\!81}{25\!\cdots\!99}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!08}{20\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{58\!\cdots\!29}{25\!\cdots\!99}a^{18}-\frac{58\!\cdots\!81}{20\!\cdots\!19}a^{17}-\frac{49\!\cdots\!22}{20\!\cdots\!19}a^{16}+\frac{38\!\cdots\!24}{22\!\cdots\!91}a^{15}-\frac{67\!\cdots\!46}{68\!\cdots\!73}a^{14}+\frac{38\!\cdots\!50}{20\!\cdots\!19}a^{13}+\frac{17\!\cdots\!34}{20\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{31\!\cdots\!90}{20\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{24\!\cdots\!97}{20\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{47\!\cdots\!79}{68\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!59}{22\!\cdots\!91}a^{8}-\frac{23\!\cdots\!11}{20\!\cdots\!19}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!43}{25\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{38\!\cdots\!20}{84\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{587080846214095}{28\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{30\!\cdots\!08}{25\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{185393951436030}{941054662112137}a^{2}-\frac{222472741723236}{941054662112137}a-\frac{166854556292427}{941054662112137}$, $\frac{10078349632}{84\!\cdots\!33}a^{35}-\frac{11630177382317}{84\!\cdots\!33}a^{24}+\frac{94\!\cdots\!18}{84\!\cdots\!33}a^{13}-\frac{79\!\cdots\!89}{84\!\cdots\!33}a^{2}-1$, $\frac{64907074448632}{61\!\cdots\!57}a^{39}-\frac{27924321258527}{20\!\cdots\!19}a^{38}-\frac{44515466905901}{61\!\cdots\!57}a^{37}+\frac{156721617911563}{20\!\cdots\!19}a^{36}-\frac{889592221543439}{61\!\cdots\!57}a^{35}-\frac{1645744071572}{20\!\cdots\!19}a^{34}+\frac{38\!\cdots\!51}{61\!\cdots\!57}a^{33}-\frac{29\!\cdots\!33}{20\!\cdots\!19}a^{32}+\frac{37\!\cdots\!62}{61\!\cdots\!57}a^{31}+\frac{96\!\cdots\!81}{20\!\cdots\!19}a^{30}-\frac{83\!\cdots\!50}{61\!\cdots\!57}a^{29}-\frac{83\!\cdots\!66}{61\!\cdots\!57}a^{28}+\frac{30\!\cdots\!78}{61\!\cdots\!57}a^{27}-\frac{70\!\cdots\!08}{61\!\cdots\!57}a^{26}+\frac{32\!\cdots\!14}{61\!\cdots\!57}a^{25}+\frac{22\!\cdots\!92}{61\!\cdots\!57}a^{24}-\frac{66\!\cdots\!91}{61\!\cdots\!57}a^{23}+\frac{54\!\cdots\!61}{61\!\cdots\!57}a^{22}+\frac{16\!\cdots\!60}{61\!\cdots\!57}a^{21}-\frac{60\!\cdots\!99}{61\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{69\!\cdots\!32}{61\!\cdots\!57}a^{19}+\frac{98\!\cdots\!91}{61\!\cdots\!57}a^{18}+\frac{26\!\cdots\!72}{20\!\cdots\!19}a^{17}+\frac{66\!\cdots\!50}{61\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!48}{20\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{37\!\cdots\!42}{61\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!32}{20\!\cdots\!19}a^{13}-\frac{27\!\cdots\!55}{61\!\cdots\!57}a^{12}-\frac{28\!\cdots\!46}{20\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!67}{61\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{29\!\cdots\!21}{20\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{88\!\cdots\!79}{61\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{59\!\cdots\!71}{20\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{94\!\cdots\!91}{68\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{26\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{30\!\cdots\!21}{84\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{86\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{28\!\cdots\!47}{84\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!05}{28\!\cdots\!11}a-\frac{320323094671203}{941054662112137}$, $\frac{33287182249}{25\!\cdots\!99}a^{36}+\frac{10078349632}{84\!\cdots\!33}a^{35}+\frac{1797934402}{28\!\cdots\!11}a^{34}-\frac{38409202487033}{25\!\cdots\!99}a^{25}-\frac{11630177382317}{84\!\cdots\!33}a^{24}-\frac{2075101567472}{28\!\cdots\!11}a^{23}+\frac{31\!\cdots\!31}{25\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{94\!\cdots\!18}{84\!\cdots\!33}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!79}{28\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!19}{25\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{79\!\cdots\!89}{84\!\cdots\!33}a^{2}-\frac{35\!\cdots\!45}{28\!\cdots\!11}a-1$, $\frac{10078349632}{25\!\cdots\!99}a^{36}-\frac{11630177382317}{25\!\cdots\!99}a^{25}+\frac{94\!\cdots\!18}{25\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{559133391875444}{25\!\cdots\!99}a^{3}$, $\frac{7836896475868}{18\!\cdots\!71}a^{39}-\frac{366558031322503}{18\!\cdots\!71}a^{38}+\frac{10\!\cdots\!38}{18\!\cdots\!71}a^{37}-\frac{495403345416740}{18\!\cdots\!71}a^{36}-\frac{10\!\cdots\!63}{61\!\cdots\!57}a^{35}+\frac{31\!\cdots\!74}{61\!\cdots\!57}a^{34}-\frac{84\!\cdots\!91}{18\!\cdots\!71}a^{33}-\frac{20\!\cdots\!24}{18\!\cdots\!71}a^{32}+\frac{84\!\cdots\!98}{18\!\cdots\!71}a^{31}-\frac{10\!\cdots\!01}{18\!\cdots\!71}a^{30}-\frac{40\!\cdots\!23}{61\!\cdots\!57}a^{29}+\frac{72\!\cdots\!90}{18\!\cdots\!71}a^{28}-\frac{24\!\cdots\!94}{61\!\cdots\!57}a^{27}-\frac{16\!\cdots\!31}{18\!\cdots\!71}a^{26}+\frac{22\!\cdots\!84}{61\!\cdots\!57}a^{25}-\frac{84\!\cdots\!26}{18\!\cdots\!71}a^{24}-\frac{31\!\cdots\!83}{61\!\cdots\!57}a^{23}+\frac{58\!\cdots\!64}{18\!\cdots\!71}a^{22}-\frac{31\!\cdots\!55}{61\!\cdots\!57}a^{21}-\frac{35\!\cdots\!53}{18\!\cdots\!71}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!76}{61\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{96\!\cdots\!95}{18\!\cdots\!71}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!29}{18\!\cdots\!71}a^{17}+\frac{40\!\cdots\!30}{18\!\cdots\!71}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!98}{18\!\cdots\!71}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!17}{61\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!36}{61\!\cdots\!57}a^{13}-\frac{34\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!71}a^{12}-\frac{87\!\cdots\!63}{18\!\cdots\!71}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!71}a^{10}+\frac{23\!\cdots\!11}{18\!\cdots\!71}a^{9}+\frac{88\!\cdots\!89}{20\!\cdots\!19}a^{8}+\frac{96\!\cdots\!40}{20\!\cdots\!19}a^{7}+\frac{25\!\cdots\!60}{68\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!96}{22\!\cdots\!91}a^{5}-\frac{89\!\cdots\!67}{76\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{22\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!79}{28\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{82\!\cdots\!88}{28\!\cdots\!11}a-\frac{499956023322030}{941054662112137}$, $\frac{67469795920537}{61\!\cdots\!57}a^{39}-\frac{7011847319672}{68\!\cdots\!73}a^{38}-\frac{177481940276477}{61\!\cdots\!57}a^{37}+\frac{231695544806167}{20\!\cdots\!19}a^{36}-\frac{824402207249525}{61\!\cdots\!57}a^{35}-\frac{361384744360288}{20\!\cdots\!19}a^{34}+\frac{60\!\cdots\!14}{61\!\cdots\!57}a^{33}-\frac{10\!\cdots\!54}{68\!\cdots\!73}a^{32}-\frac{46\!\cdots\!00}{61\!\cdots\!57}a^{31}+\frac{16\!\cdots\!51}{20\!\cdots\!19}a^{30}-\frac{96\!\cdots\!84}{61\!\cdots\!57}a^{29}-\frac{72\!\cdots\!92}{61\!\cdots\!57}a^{28}+\frac{47\!\cdots\!80}{61\!\cdots\!57}a^{27}-\frac{75\!\cdots\!27}{61\!\cdots\!57}a^{26}-\frac{830764876716970}{14\!\cdots\!03}a^{25}+\frac{40\!\cdots\!19}{61\!\cdots\!57}a^{24}-\frac{77\!\cdots\!66}{61\!\cdots\!57}a^{23}+\frac{57\!\cdots\!18}{61\!\cdots\!57}a^{22}+\frac{32\!\cdots\!36}{61\!\cdots\!57}a^{21}-\frac{76\!\cdots\!82}{61\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{37\!\cdots\!08}{61\!\cdots\!57}a^{19}+\frac{24\!\cdots\!38}{61\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{96\!\cdots\!82}{68\!\cdots\!73}a^{17}+\frac{25\!\cdots\!92}{61\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{45\!\cdots\!69}{20\!\cdots\!19}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!51}{61\!\cdots\!57}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!62}{20\!\cdots\!19}a^{13}-\frac{59\!\cdots\!26}{61\!\cdots\!57}a^{12}-\frac{34\!\cdots\!04}{22\!\cdots\!91}a^{11}-\frac{25\!\cdots\!58}{61\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{43\!\cdots\!58}{20\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{83\!\cdots\!86}{61\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{29\!\cdots\!82}{20\!\cdots\!19}a^{7}+\frac{19\!\cdots\!37}{68\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{25\!\cdots\!61}{76\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!12}{25\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{31\!\cdots\!55}{84\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{91\!\cdots\!33}{84\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{47\!\cdots\!42}{28\!\cdots\!11}a+\frac{453877011148507}{941054662112137}$, $\frac{29809319405144}{18\!\cdots\!71}a^{39}-\frac{239647867509149}{18\!\cdots\!71}a^{38}+\frac{346806140025022}{18\!\cdots\!71}a^{37}+\frac{257267676781496}{18\!\cdots\!71}a^{36}-\frac{228831012672884}{20\!\cdots\!19}a^{35}+\frac{12\!\cdots\!05}{61\!\cdots\!57}a^{34}+\frac{544287840160331}{18\!\cdots\!71}a^{33}-\frac{16\!\cdots\!29}{18\!\cdots\!71}a^{32}+\frac{36\!\cdots\!14}{18\!\cdots\!71}a^{31}-\frac{11\!\cdots\!42}{18\!\cdots\!71}a^{30}-\frac{43\!\cdots\!18}{61\!\cdots\!57}a^{29}+\frac{31\!\cdots\!22}{18\!\cdots\!71}a^{28}+\frac{11\!\cdots\!34}{61\!\cdots\!57}a^{27}-\frac{13\!\cdots\!29}{18\!\cdots\!71}a^{26}+\frac{96\!\cdots\!10}{61\!\cdots\!57}a^{25}-\frac{96\!\cdots\!66}{18\!\cdots\!71}a^{24}-\frac{34\!\cdots\!19}{61\!\cdots\!57}a^{23}+\frac{27\!\cdots\!26}{18\!\cdots\!71}a^{22}-\frac{66\!\cdots\!50}{61\!\cdots\!57}a^{21}-\frac{73\!\cdots\!34}{18\!\cdots\!71}a^{20}+\frac{85\!\cdots\!72}{61\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{27\!\cdots\!17}{18\!\cdots\!71}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!08}{18\!\cdots\!71}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!02}{18\!\cdots\!71}a^{16}+\frac{87\!\cdots\!59}{18\!\cdots\!71}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!93}{61\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!88}{61\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!62}{18\!\cdots\!71}a^{12}+\frac{65\!\cdots\!37}{18\!\cdots\!71}a^{11}+\frac{22\!\cdots\!58}{18\!\cdots\!71}a^{10}-\frac{72\!\cdots\!19}{18\!\cdots\!71}a^{9}+\frac{19\!\cdots\!01}{61\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{37\!\cdots\!01}{68\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{31\!\cdots\!17}{22\!\cdots\!91}a^{6}-\frac{28\!\cdots\!40}{22\!\cdots\!91}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!57}{76\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{963588042056491}{84\!\cdots\!33}a^{3}+\frac{695457699495067}{28\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{29\!\cdots\!95}{28\!\cdots\!11}a+\frac{164760532783959}{941054662112137}$, $\frac{57171730152074}{18\!\cdots\!71}a^{39}+\frac{46188960844714}{18\!\cdots\!71}a^{38}-\frac{75209910132797}{18\!\cdots\!71}a^{37}+\frac{27146821571897}{18\!\cdots\!71}a^{36}+\frac{107259992693876}{61\!\cdots\!57}a^{35}-\frac{252555619585742}{61\!\cdots\!57}a^{34}+\frac{350585514904268}{18\!\cdots\!71}a^{33}+\frac{24\!\cdots\!63}{18\!\cdots\!71}a^{32}-\frac{71\!\cdots\!84}{18\!\cdots\!71}a^{31}+\frac{59\!\cdots\!56}{18\!\cdots\!71}a^{30}+\frac{57\!\cdots\!12}{61\!\cdots\!57}a^{29}-\frac{13\!\cdots\!80}{18\!\cdots\!71}a^{28}+\frac{77\!\cdots\!48}{61\!\cdots\!57}a^{27}+\frac{19\!\cdots\!03}{18\!\cdots\!71}a^{26}-\frac{20\!\cdots\!43}{61\!\cdots\!57}a^{25}+\frac{49\!\cdots\!08}{18\!\cdots\!71}a^{24}+\frac{44\!\cdots\!44}{61\!\cdots\!57}a^{23}-\frac{52\!\cdots\!29}{18\!\cdots\!71}a^{22}+\frac{20\!\cdots\!59}{61\!\cdots\!57}a^{21}+\frac{81\!\cdots\!71}{18\!\cdots\!71}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!16}{61\!\cdots\!57}a^{19}+\frac{69\!\cdots\!64}{18\!\cdots\!71}a^{18}+\frac{57\!\cdots\!45}{18\!\cdots\!71}a^{17}+\frac{51\!\cdots\!88}{18\!\cdots\!71}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!04}{18\!\cdots\!71}a^{15}+\frac{75\!\cdots\!89}{61\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!28}{61\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{56\!\cdots\!87}{18\!\cdots\!71}a^{12}-\frac{40\!\cdots\!51}{18\!\cdots\!71}a^{11}-\frac{70\!\cdots\!16}{18\!\cdots\!71}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!44}{18\!\cdots\!71}a^{9}+\frac{97\!\cdots\!04}{68\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!48}{22\!\cdots\!91}a^{7}-\frac{25\!\cdots\!95}{68\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!65}{76\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{85\!\cdots\!28}{76\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!41}{25\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{210296905242200}{941054662112137}a^{2}-\frac{33\!\cdots\!49}{28\!\cdots\!11}a+\frac{527933595383812}{941054662112137}$, $\frac{131459892968836}{18\!\cdots\!71}a^{39}-\frac{122308222770784}{18\!\cdots\!71}a^{38}-\frac{131459892968836}{18\!\cdots\!71}a^{37}+\frac{929791372877917}{18\!\cdots\!71}a^{36}-\frac{525839571875344}{61\!\cdots\!57}a^{35}-\frac{131459892968836}{61\!\cdots\!57}a^{34}+\frac{76\!\cdots\!88}{18\!\cdots\!71}a^{33}-\frac{15\!\cdots\!27}{18\!\cdots\!71}a^{32}+\frac{38\!\cdots\!44}{18\!\cdots\!71}a^{31}+\frac{59\!\cdots\!44}{18\!\cdots\!71}a^{30}-\frac{17\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!19}a^{29}-\frac{54\!\cdots\!68}{18\!\cdots\!71}a^{28}+\frac{21\!\cdots\!75}{68\!\cdots\!73}a^{27}-\frac{12\!\cdots\!28}{18\!\cdots\!71}a^{26}+\frac{40\!\cdots\!61}{22\!\cdots\!91}a^{25}+\frac{47\!\cdots\!56}{18\!\cdots\!71}a^{24}-\frac{15\!\cdots\!08}{22\!\cdots\!91}a^{23}+\frac{80\!\cdots\!68}{18\!\cdots\!71}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!65}{68\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!12}{18\!\cdots\!71}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!16}{22\!\cdots\!91}a^{19}+\frac{22\!\cdots\!88}{18\!\cdots\!71}a^{18}+\frac{21\!\cdots\!28}{18\!\cdots\!71}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!57}{18\!\cdots\!71}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!92}{18\!\cdots\!71}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!31}{20\!\cdots\!19}a^{14}-\frac{34\!\cdots\!76}{61\!\cdots\!57}a^{13}-\frac{81\!\cdots\!00}{18\!\cdots\!71}a^{12}-\frac{36\!\cdots\!24}{18\!\cdots\!71}a^{11}-\frac{70\!\cdots\!31}{18\!\cdots\!71}a^{10}+\frac{51\!\cdots\!92}{18\!\cdots\!71}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!44}{61\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{42\!\cdots\!24}{20\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{60\!\cdots\!96}{68\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{90\!\cdots\!06}{22\!\cdots\!91}a^{5}-\frac{81\!\cdots\!20}{76\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{920219250781852}{84\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{41\!\cdots\!71}{28\!\cdots\!11}a+\frac{525839571875344}{941054662112137}$, 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oscar: regulator(K)
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Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{0}\cdot(2\pi)^{20}\cdot 44099133482673080 \cdot 1525}{22\cdot\sqrt{80991088329663621512136783946706428882352994235065987550082919086927689}}\cr\approx \mathstrut & 0.0987770310830574 \end{aligned}\] (assuming GRH)
Galois group
$C_2\times C_{20}$ (as 40T2):
| An abelian group of order 40 |
| The 40 conjugacy class representatives for $C_2\times C_{20}$ |
| Character table for $C_2\times C_{20}$ is not computed |
Intermediate fields
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | $20^{2}$ | ${\href{/padicField/3.5.0.1}{5} }^{8}$ | $20^{2}$ | $20^{2}$ | R | R | ${\href{/padicField/17.10.0.1}{10} }^{4}$ | $20^{2}$ | ${\href{/padicField/23.2.0.1}{2} }^{20}$ | ${\href{/padicField/29.10.0.1}{10} }^{4}$ | $20^{2}$ | $20^{2}$ | $20^{2}$ | ${\href{/padicField/43.2.0.1}{2} }^{20}$ | $20^{2}$ | ${\href{/padicField/53.5.0.1}{5} }^{8}$ | $20^{2}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(11\)
| Deg $40$ | $10$ | $4$ | $36$ | |||
|
\(13\)
| Deg $40$ | $4$ | $10$ | $30$ |