Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^40 + 60*x^36 + 1450*x^32 + 18060*x^28 + 123375*x^24 + 457507*x^20 + 869360*x^16 + 747925*x^12 + 218435*x^8 + 4075*x^4 + 1)
gp: K = bnfinit(y^40 + 60*y^36 + 1450*y^32 + 18060*y^28 + 123375*y^24 + 457507*y^20 + 869360*y^16 + 747925*y^12 + 218435*y^8 + 4075*y^4 + 1, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^40 + 60*x^36 + 1450*x^32 + 18060*x^28 + 123375*x^24 + 457507*x^20 + 869360*x^16 + 747925*x^12 + 218435*x^8 + 4075*x^4 + 1);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^40 + 60*x^36 + 1450*x^32 + 18060*x^28 + 123375*x^24 + 457507*x^20 + 869360*x^16 + 747925*x^12 + 218435*x^8 + 4075*x^4 + 1)
\( x^{40} + 60 x^{36} + 1450 x^{32} + 18060 x^{28} + 123375 x^{24} + 457507 x^{20} + 869360 x^{16} + \cdots + 1 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $40$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[0, 20]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(409600000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\)
\(\medspace = 2^{80}\cdot 5^{68}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(61.70\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $2^{2}5^{17/10}\approx 61.70338627200096$ | ||
| Ramified primes: |
\(2\), \(5\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $40$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
| Conductor: | \(200=2^{3}\cdot 5^{2}\) | ||
| Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{200}(1,·)$, $\chi_{200}(131,·)$, $\chi_{200}(179,·)$, $\chi_{200}(129,·)$, $\chi_{200}(9,·)$, $\chi_{200}(11,·)$, $\chi_{200}(141,·)$, $\chi_{200}(19,·)$, $\chi_{200}(21,·)$, $\chi_{200}(151,·)$, $\chi_{200}(29,·)$, $\chi_{200}(159,·)$, $\chi_{200}(161,·)$, $\chi_{200}(39,·)$, $\chi_{200}(41,·)$, $\chi_{200}(171,·)$, $\chi_{200}(49,·)$, $\chi_{200}(51,·)$, $\chi_{200}(181,·)$, $\chi_{200}(31,·)$, $\chi_{200}(61,·)$, $\chi_{200}(191,·)$, $\chi_{200}(139,·)$, $\chi_{200}(69,·)$, $\chi_{200}(71,·)$, $\chi_{200}(119,·)$, $\chi_{200}(79,·)$, $\chi_{200}(81,·)$, $\chi_{200}(89,·)$, $\chi_{200}(91,·)$, $\chi_{200}(199,·)$, $\chi_{200}(99,·)$, $\chi_{200}(101,·)$, $\chi_{200}(109,·)$, $\chi_{200}(111,·)$, $\chi_{200}(59,·)$, $\chi_{200}(189,·)$, $\chi_{200}(169,·)$, $\chi_{200}(121,·)$, $\chi_{200}(149,·)$$\rbrace$ | ||
| This is a CM field. | |||
| Reflex fields: | unavailable$^{524288}$ | ||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $\frac{1}{7}a^{24}+\frac{2}{7}a^{20}+\frac{3}{7}a^{16}-\frac{2}{7}a^{12}-\frac{3}{7}a^{8}+\frac{2}{7}a^{4}-\frac{3}{7}$, $\frac{1}{7}a^{25}+\frac{2}{7}a^{21}+\frac{3}{7}a^{17}-\frac{2}{7}a^{13}-\frac{3}{7}a^{9}+\frac{2}{7}a^{5}-\frac{3}{7}a$, $\frac{1}{7}a^{26}+\frac{2}{7}a^{22}+\frac{3}{7}a^{18}-\frac{2}{7}a^{14}-\frac{3}{7}a^{10}+\frac{2}{7}a^{6}-\frac{3}{7}a^{2}$, $\frac{1}{7}a^{27}+\frac{2}{7}a^{23}+\frac{3}{7}a^{19}-\frac{2}{7}a^{15}-\frac{3}{7}a^{11}+\frac{2}{7}a^{7}-\frac{3}{7}a^{3}$, $\frac{1}{7}a^{28}-\frac{1}{7}a^{20}-\frac{1}{7}a^{16}+\frac{1}{7}a^{12}+\frac{1}{7}a^{8}-\frac{1}{7}$, $\frac{1}{7}a^{29}-\frac{1}{7}a^{21}-\frac{1}{7}a^{17}+\frac{1}{7}a^{13}+\frac{1}{7}a^{9}-\frac{1}{7}a$, $\frac{1}{7}a^{30}-\frac{1}{7}a^{22}-\frac{1}{7}a^{18}+\frac{1}{7}a^{14}+\frac{1}{7}a^{10}-\frac{1}{7}a^{2}$, $\frac{1}{7}a^{31}-\frac{1}{7}a^{23}-\frac{1}{7}a^{19}+\frac{1}{7}a^{15}+\frac{1}{7}a^{11}-\frac{1}{7}a^{3}$, $\frac{1}{7}a^{32}+\frac{1}{7}a^{20}-\frac{3}{7}a^{16}-\frac{1}{7}a^{12}-\frac{3}{7}a^{8}+\frac{1}{7}a^{4}-\frac{3}{7}$, $\frac{1}{7}a^{33}+\frac{1}{7}a^{21}-\frac{3}{7}a^{17}-\frac{1}{7}a^{13}-\frac{3}{7}a^{9}+\frac{1}{7}a^{5}-\frac{3}{7}a$, $\frac{1}{7}a^{34}+\frac{1}{7}a^{22}-\frac{3}{7}a^{18}-\frac{1}{7}a^{14}-\frac{3}{7}a^{10}+\frac{1}{7}a^{6}-\frac{3}{7}a^{2}$, $\frac{1}{7}a^{35}+\frac{1}{7}a^{23}-\frac{3}{7}a^{19}-\frac{1}{7}a^{15}-\frac{3}{7}a^{11}+\frac{1}{7}a^{7}-\frac{3}{7}a^{3}$, $\frac{1}{11\!\cdots\!01}a^{36}+\frac{56\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!01}a^{32}+\frac{55\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{28}+\frac{24\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{34\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{30\!\cdots\!49}{16\!\cdots\!43}a^{16}+\frac{43\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{39\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{55\!\cdots\!44}{11\!\cdots\!01}a^{4}+\frac{35\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!01}$, $\frac{1}{11\!\cdots\!01}a^{37}+\frac{56\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!01}a^{33}+\frac{55\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{29}+\frac{24\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!01}a^{25}+\frac{34\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!01}a^{21}+\frac{30\!\cdots\!49}{16\!\cdots\!43}a^{17}+\frac{43\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{39\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{55\!\cdots\!44}{11\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{35\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!01}a$, $\frac{1}{11\!\cdots\!01}a^{38}+\frac{56\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!01}a^{34}+\frac{55\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{30}+\frac{24\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!01}a^{26}+\frac{34\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!01}a^{22}+\frac{30\!\cdots\!49}{16\!\cdots\!43}a^{18}+\frac{43\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{39\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{55\!\cdots\!44}{11\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{35\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!01}a^{2}$, $\frac{1}{11\!\cdots\!01}a^{39}+\frac{56\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!01}a^{35}+\frac{55\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{31}+\frac{24\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!01}a^{27}+\frac{34\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{30\!\cdots\!49}{16\!\cdots\!43}a^{19}+\frac{43\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{39\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!01}a^{11}+\frac{55\!\cdots\!44}{11\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{35\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!01}a^{3}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
$C_{11}\times C_{2255}$, which has order $24805$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $19$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -\frac{155380917881805618250}{1173710522064219751801} a^{39} - \frac{9322745074008328324216}{1173710522064219751801} a^{35} - \frac{225295688002714930840740}{1173710522064219751801} a^{31} - \frac{2806017343545754208553400}{1173710522064219751801} a^{27} - \frac{19168074731518164940493765}{1173710522064219751801} a^{23} - \frac{10153369144579111620294350}{167672931723459964543} a^{19} - \frac{135027253103346561052117154}{1173710522064219751801} a^{15} - \frac{116103928625932626925593090}{1173710522064219751801} a^{11} - \frac{33839405690677968704638925}{1173710522064219751801} a^{7} - \frac{601046104243551107175290}{1173710522064219751801} a^{3} \)
(order $8$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{13\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{37}+\frac{82\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!01}a^{33}+\frac{19\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!01}a^{29}+\frac{24\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!01}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!01}a^{21}+\frac{90\!\cdots\!50}{16\!\cdots\!43}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{38\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{57\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!01}a$, $\frac{10\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!01}a^{36}+\frac{66\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!01}a^{32}+\frac{16\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{28}+\frac{20\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!54}{23\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{32\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!01}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!01}$, $\frac{93\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!01}a^{38}+\frac{56\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!01}a^{34}+\frac{13\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{30}+\frac{16\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!01}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!01}a^{22}+\frac{61\!\cdots\!47}{16\!\cdots\!43}a^{18}+\frac{81\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{69\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{20\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{28\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!01}a^{2}$, $\frac{32\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!01}a^{38}+\frac{19\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!01}a^{34}+\frac{47\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!01}a^{30}+\frac{58\!\cdots\!45}{11\!\cdots\!01}a^{26}+\frac{40\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!01}a^{22}+\frac{21\!\cdots\!33}{16\!\cdots\!43}a^{18}+\frac{28\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{24\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{71\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!01}a^{2}$, $\frac{44\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!01}a^{37}+\frac{26\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!01}a^{33}+\frac{64\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!01}a^{29}+\frac{80\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!01}a^{25}+\frac{54\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!01}a^{21}+\frac{28\!\cdots\!82}{16\!\cdots\!43}a^{17}+\frac{38\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{33\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{96\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{22\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!01}a$, $\frac{14\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!01}a^{37}+\frac{87\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!01}a^{33}+\frac{21\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!01}a^{29}+\frac{26\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!01}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!01}a^{21}+\frac{95\!\cdots\!23}{16\!\cdots\!43}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{35\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!44}{11\!\cdots\!01}a$, $\frac{38\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!01}a^{37}+\frac{22\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!01}a^{33}+\frac{55\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!01}a^{29}+\frac{69\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!01}a^{25}+\frac{47\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!01}a^{21}+\frac{25\!\cdots\!77}{16\!\cdots\!43}a^{17}+\frac{34\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{30\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{79\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!01}a$, $\frac{30\!\cdots\!43}{11\!\cdots\!01}a^{38}+\frac{18\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!01}a^{34}+\frac{43\!\cdots\!64}{11\!\cdots\!01}a^{30}+\frac{54\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!01}a^{26}+\frac{37\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!01}a^{22}+\frac{19\!\cdots\!17}{16\!\cdots\!43}a^{18}+\frac{26\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{65\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!01}a^{2}$, $\frac{10\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!01}a^{36}+\frac{60\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!01}a^{32}+\frac{14\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{28}+\frac{18\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!64}{11\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{65\!\cdots\!07}{16\!\cdots\!43}a^{16}+\frac{85\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{72\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!01}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!01}$, $\frac{15\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!01}a^{39}+\frac{16\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!01}a^{38}+\frac{93\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!01}a^{35}+\frac{99\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{34}+\frac{22\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!01}a^{31}+\frac{23\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!01}a^{30}+\frac{28\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{27}+\frac{29\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!01}a^{26}+\frac{19\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{20\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!50}{16\!\cdots\!43}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!55}{16\!\cdots\!43}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{14\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!01}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{33\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{36\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{60\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!01}a^{3}+\frac{75\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{2}-1$, $\frac{82\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!01}a^{39}+\frac{16\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!01}a^{38}+\frac{49\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!01}a^{35}+\frac{99\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{34}+\frac{11\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!01}a^{31}+\frac{23\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!01}a^{30}+\frac{14\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!01}a^{27}+\frac{29\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!01}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{20\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{22}+\frac{77\!\cdots\!75}{23\!\cdots\!49}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!55}{16\!\cdots\!43}a^{18}+\frac{71\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{14\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{61\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!01}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{36\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{37\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!01}a^{3}+\frac{75\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{2}-1$, $\frac{15\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!01}a^{39}+\frac{32\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!01}a^{38}+\frac{31\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{37}+\frac{93\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!01}a^{35}+\frac{19\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!01}a^{34}+\frac{18\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{33}+\frac{22\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!01}a^{31}+\frac{47\!\cdots\!44}{11\!\cdots\!01}a^{30}+\frac{45\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{29}+\frac{28\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{27}+\frac{59\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!01}a^{26}+\frac{56\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!01}a^{25}+\frac{19\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{40\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!01}a^{22}+\frac{38\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!01}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!50}{16\!\cdots\!43}a^{19}+\frac{30\!\cdots\!30}{23\!\cdots\!49}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!75}{16\!\cdots\!43}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{28\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{27\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!01}a^{11}+\frac{24\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{23\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{33\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{72\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{68\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{60\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!01}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{95\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!01}a$, $\frac{16\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!01}a^{38}-\frac{43\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!01}a^{37}+\frac{99\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{34}-\frac{25\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!01}a^{33}+\frac{23\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!01}a^{30}-\frac{62\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!01}a^{29}+\frac{29\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{77\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!01}a^{25}+\frac{20\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{53\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!01}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!55}{16\!\cdots\!43}a^{18}-\frac{28\!\cdots\!32}{16\!\cdots\!43}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{37\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{31\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{36\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!01}a^{6}-\frac{92\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{75\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!01}a+1$, $\frac{16\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!01}a^{38}-\frac{38\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!01}a^{37}+\frac{99\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{34}-\frac{22\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!01}a^{33}+\frac{23\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!01}a^{30}-\frac{55\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!01}a^{29}+\frac{29\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{69\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!01}a^{25}+\frac{20\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{47\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!01}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!55}{16\!\cdots\!43}a^{18}-\frac{25\!\cdots\!77}{16\!\cdots\!43}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{34\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{30\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{36\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!01}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{75\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{2}-\frac{79\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!01}a+1$, $\frac{16\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!01}a^{39}-\frac{16\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!01}a^{38}+\frac{99\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{35}-\frac{99\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{34}+\frac{23\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!01}a^{31}-\frac{23\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!01}a^{30}+\frac{29\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!01}a^{27}-\frac{29\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!01}a^{26}+\frac{20\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{23}-\frac{20\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!55}{16\!\cdots\!43}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!55}{16\!\cdots\!43}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{36\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{36\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{75\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{75\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{2}+1$, $\frac{16\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!01}a^{38}+\frac{14\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!01}a^{37}+\frac{99\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{34}+\frac{87\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!01}a^{33}+\frac{23\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!01}a^{30}+\frac{21\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!01}a^{29}+\frac{29\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!01}a^{26}+\frac{26\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!01}a^{25}+\frac{20\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{22}+\frac{17\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!01}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!55}{16\!\cdots\!43}a^{18}+\frac{95\!\cdots\!23}{16\!\cdots\!43}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{36\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{35\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{75\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!44}{11\!\cdots\!01}a+1$, $\frac{15\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!01}a^{39}-\frac{31\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{37}-\frac{27\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{36}+\frac{93\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!01}a^{35}-\frac{18\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{33}-\frac{16\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!01}a^{32}+\frac{22\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!01}a^{31}-\frac{45\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{29}-\frac{39\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!01}a^{28}+\frac{28\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{27}-\frac{56\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{49\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{19\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!01}a^{23}-\frac{38\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{34\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!50}{16\!\cdots\!43}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!75}{16\!\cdots\!43}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!50}{16\!\cdots\!43}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{27\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{13}-\frac{24\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{21\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{33\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{68\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!01}a^{5}-\frac{79\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!01}a^{4}+\frac{60\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{95\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!01}a-\frac{23\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!01}$, $\frac{15\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!01}a^{39}-\frac{93\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!01}a^{38}+\frac{31\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{37}+\frac{93\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!01}a^{35}-\frac{56\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!01}a^{34}+\frac{18\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{33}+\frac{22\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!01}a^{31}-\frac{13\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{30}+\frac{45\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{29}+\frac{28\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{27}-\frac{16\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!01}a^{26}+\frac{56\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!01}a^{25}+\frac{19\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!01}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!01}a^{22}+\frac{38\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!01}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!50}{16\!\cdots\!43}a^{19}-\frac{61\!\cdots\!47}{16\!\cdots\!43}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!75}{16\!\cdots\!43}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{81\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{27\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{69\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{23\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{33\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{68\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{60\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{28\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{95\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!01}a$, $\frac{15\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!01}a^{39}-\frac{33\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!01}a^{38}+\frac{31\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{37}+\frac{93\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!01}a^{35}-\frac{19\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!01}a^{34}+\frac{18\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{33}+\frac{22\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!01}a^{31}-\frac{47\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!01}a^{30}+\frac{45\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{29}+\frac{28\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{27}-\frac{59\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!01}a^{26}+\frac{56\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!01}a^{25}+\frac{19\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!01}a^{23}-\frac{40\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!01}a^{22}+\frac{38\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!01}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!50}{16\!\cdots\!43}a^{19}-\frac{21\!\cdots\!60}{16\!\cdots\!43}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!75}{16\!\cdots\!43}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{28\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{27\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{24\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{23\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{33\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{72\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{68\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{60\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!06}{11\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{95\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!01}a$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 3995169264157994.0 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{0}\cdot(2\pi)^{20}\cdot 3995169264157994.0 \cdot 24805}{8\cdot\sqrt{409600000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000}}\cr\approx \mathstrut & 0.177992548543249 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^40 + 60*x^36 + 1450*x^32 + 18060*x^28 + 123375*x^24 + 457507*x^20 + 869360*x^16 + 747925*x^12 + 218435*x^8 + 4075*x^4 + 1)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^40 + 60*x^36 + 1450*x^32 + 18060*x^28 + 123375*x^24 + 457507*x^20 + 869360*x^16 + 747925*x^12 + 218435*x^8 + 4075*x^4 + 1, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^40 + 60*x^36 + 1450*x^32 + 18060*x^28 + 123375*x^24 + 457507*x^20 + 869360*x^16 + 747925*x^12 + 218435*x^8 + 4075*x^4 + 1);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^40 + 60*x^36 + 1450*x^32 + 18060*x^28 + 123375*x^24 + 457507*x^20 + 869360*x^16 + 747925*x^12 + 218435*x^8 + 4075*x^4 + 1);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$C_2^2\times C_{10}$ (as 40T7):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| An abelian group of order 40 |
| The 40 conjugacy class representatives for $C_2^2\times C_{10}$ |
| Character table for $C_2^2\times C_{10}$ is not computed |
Intermediate fields
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | R | ${\href{/padicField/3.10.0.1}{10} }^{4}$ | R | ${\href{/padicField/7.2.0.1}{2} }^{20}$ | ${\href{/padicField/11.10.0.1}{10} }^{4}$ | ${\href{/padicField/13.10.0.1}{10} }^{4}$ | ${\href{/padicField/17.10.0.1}{10} }^{4}$ | ${\href{/padicField/19.10.0.1}{10} }^{4}$ | ${\href{/padicField/23.10.0.1}{10} }^{4}$ | ${\href{/padicField/29.10.0.1}{10} }^{4}$ | ${\href{/padicField/31.10.0.1}{10} }^{4}$ | ${\href{/padicField/37.10.0.1}{10} }^{4}$ | ${\href{/padicField/41.5.0.1}{5} }^{8}$ | ${\href{/padicField/43.2.0.1}{2} }^{20}$ | ${\href{/padicField/47.10.0.1}{10} }^{4}$ | ${\href{/padicField/53.10.0.1}{10} }^{4}$ | ${\href{/padicField/59.10.0.1}{10} }^{4}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(2\)
| Deg $40$ | $4$ | $10$ | $80$ | |||
|
\(5\)
| Deg $20$ | $10$ | $2$ | $34$ | |||
| Deg $20$ | $10$ | $2$ | $34$ |