Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^40 - 9*x^38 + 53*x^36 - 260*x^34 + 1156*x^32 - 3971*x^30 + 11685*x^28 - 30590*x^26 + 70035*x^24 - 124361*x^22 + 193618*x^20 - 264514*x^18 + 292022*x^16 - 203056*x^14 + 128969*x^12 - 72116*x^10 + 29056*x^8 - 2353*x^6 + 190*x^4 - 15*x^2 + 1)
gp: K = bnfinit(y^40 - 9*y^38 + 53*y^36 - 260*y^34 + 1156*y^32 - 3971*y^30 + 11685*y^28 - 30590*y^26 + 70035*y^24 - 124361*y^22 + 193618*y^20 - 264514*y^18 + 292022*y^16 - 203056*y^14 + 128969*y^12 - 72116*y^10 + 29056*y^8 - 2353*y^6 + 190*y^4 - 15*y^2 + 1, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^40 - 9*x^38 + 53*x^36 - 260*x^34 + 1156*x^32 - 3971*x^30 + 11685*x^28 - 30590*x^26 + 70035*x^24 - 124361*x^22 + 193618*x^20 - 264514*x^18 + 292022*x^16 - 203056*x^14 + 128969*x^12 - 72116*x^10 + 29056*x^8 - 2353*x^6 + 190*x^4 - 15*x^2 + 1);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^40 - 9*x^38 + 53*x^36 - 260*x^34 + 1156*x^32 - 3971*x^30 + 11685*x^28 - 30590*x^26 + 70035*x^24 - 124361*x^22 + 193618*x^20 - 264514*x^18 + 292022*x^16 - 203056*x^14 + 128969*x^12 - 72116*x^10 + 29056*x^8 - 2353*x^6 + 190*x^4 - 15*x^2 + 1)
\( x^{40} - 9 x^{38} + 53 x^{36} - 260 x^{34} + 1156 x^{32} - 3971 x^{30} + 11685 x^{28} - 30590 x^{26} + \cdots + 1 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $40$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[0, 20]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(2162050738724101412398710020310959104000000000000000000000000000000\)
\(\medspace = 2^{40}\cdot 5^{30}\cdot 11^{32}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(45.54\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $2\cdot 5^{3/4}11^{4/5}\approx 45.53775823431064$ | ||
| Ramified primes: |
\(2\), \(5\), \(11\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $40$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
| Conductor: | \(220=2^{2}\cdot 5\cdot 11\) | ||
| Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{220}(1,·)$, $\chi_{220}(3,·)$, $\chi_{220}(133,·)$, $\chi_{220}(9,·)$, $\chi_{220}(141,·)$, $\chi_{220}(147,·)$, $\chi_{220}(23,·)$, $\chi_{220}(27,·)$, $\chi_{220}(157,·)$, $\chi_{220}(159,·)$, $\chi_{220}(163,·)$, $\chi_{220}(37,·)$, $\chi_{220}(177,·)$, $\chi_{220}(169,·)$, $\chi_{220}(71,·)$, $\chi_{220}(47,·)$, $\chi_{220}(49,·)$, $\chi_{220}(179,·)$, $\chi_{220}(181,·)$, $\chi_{220}(137,·)$, $\chi_{220}(31,·)$, $\chi_{220}(53,·)$, $\chi_{220}(67,·)$, $\chi_{220}(69,·)$, $\chi_{220}(199,·)$, $\chi_{220}(201,·)$, $\chi_{220}(203,·)$, $\chi_{220}(207,·)$, $\chi_{220}(81,·)$, $\chi_{220}(213,·)$, $\chi_{220}(89,·)$, $\chi_{220}(91,·)$, $\chi_{220}(93,·)$, $\chi_{220}(97,·)$, $\chi_{220}(59,·)$, $\chi_{220}(103,·)$, $\chi_{220}(111,·)$, $\chi_{220}(113,·)$, $\chi_{220}(119,·)$, $\chi_{220}(191,·)$$\rbrace$ | ||
| This is a CM field. | |||
| Reflex fields: | unavailable$^{524288}$ | ||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $\frac{1}{23\!\cdots\!21}a^{34}+\frac{13\!\cdots\!06}{23\!\cdots\!21}a^{32}-\frac{65\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!21}a^{30}-\frac{20\!\cdots\!23}{23\!\cdots\!21}a^{28}-\frac{86\!\cdots\!73}{23\!\cdots\!21}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!94}{23\!\cdots\!21}a^{24}-\frac{87\!\cdots\!13}{23\!\cdots\!21}a^{22}-\frac{41\!\cdots\!45}{23\!\cdots\!21}a^{20}+\frac{27\!\cdots\!76}{23\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{85\!\cdots\!68}{23\!\cdots\!21}a^{16}+\frac{42\!\cdots\!85}{23\!\cdots\!21}a^{14}-\frac{89\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{91\!\cdots\!35}{23\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{22\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{94\!\cdots\!01}{23\!\cdots\!21}a^{4}-\frac{39\!\cdots\!17}{23\!\cdots\!21}a^{2}+\frac{73\!\cdots\!85}{23\!\cdots\!21}$, $\frac{1}{23\!\cdots\!21}a^{35}+\frac{13\!\cdots\!06}{23\!\cdots\!21}a^{33}-\frac{65\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!21}a^{31}-\frac{20\!\cdots\!23}{23\!\cdots\!21}a^{29}-\frac{86\!\cdots\!73}{23\!\cdots\!21}a^{27}+\frac{10\!\cdots\!94}{23\!\cdots\!21}a^{25}-\frac{87\!\cdots\!13}{23\!\cdots\!21}a^{23}-\frac{41\!\cdots\!45}{23\!\cdots\!21}a^{21}+\frac{27\!\cdots\!76}{23\!\cdots\!21}a^{19}+\frac{85\!\cdots\!68}{23\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{42\!\cdots\!85}{23\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{89\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!21}a^{11}+\frac{91\!\cdots\!35}{23\!\cdots\!21}a^{9}+\frac{22\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{94\!\cdots\!01}{23\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{39\!\cdots\!17}{23\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{73\!\cdots\!85}{23\!\cdots\!21}a$, $\frac{1}{23\!\cdots\!21}a^{36}-\frac{68\!\cdots\!93}{23\!\cdots\!21}a^{32}+\frac{77\!\cdots\!57}{23\!\cdots\!21}a^{30}+\frac{58\!\cdots\!71}{23\!\cdots\!21}a^{28}+\frac{11\!\cdots\!24}{23\!\cdots\!21}a^{26}-\frac{67\!\cdots\!96}{23\!\cdots\!21}a^{24}+\frac{47\!\cdots\!67}{23\!\cdots\!21}a^{22}+\frac{51\!\cdots\!26}{23\!\cdots\!21}a^{20}-\frac{26\!\cdots\!76}{23\!\cdots\!21}a^{18}-\frac{73\!\cdots\!77}{23\!\cdots\!21}a^{16}-\frac{32\!\cdots\!62}{23\!\cdots\!21}a^{14}-\frac{53\!\cdots\!95}{23\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{38\!\cdots\!95}{23\!\cdots\!21}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!09}{23\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!94}{23\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{72\!\cdots\!75}{23\!\cdots\!21}a^{4}-\frac{48\!\cdots\!21}{23\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{75\!\cdots\!47}{23\!\cdots\!21}$, $\frac{1}{23\!\cdots\!21}a^{37}-\frac{68\!\cdots\!93}{23\!\cdots\!21}a^{33}+\frac{77\!\cdots\!57}{23\!\cdots\!21}a^{31}+\frac{58\!\cdots\!71}{23\!\cdots\!21}a^{29}+\frac{11\!\cdots\!24}{23\!\cdots\!21}a^{27}-\frac{67\!\cdots\!96}{23\!\cdots\!21}a^{25}+\frac{47\!\cdots\!67}{23\!\cdots\!21}a^{23}+\frac{51\!\cdots\!26}{23\!\cdots\!21}a^{21}-\frac{26\!\cdots\!76}{23\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{73\!\cdots\!77}{23\!\cdots\!21}a^{17}-\frac{32\!\cdots\!62}{23\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{53\!\cdots\!95}{23\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{38\!\cdots\!95}{23\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!09}{23\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!94}{23\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{72\!\cdots\!75}{23\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{48\!\cdots\!21}{23\!\cdots\!21}a^{3}-\frac{75\!\cdots\!47}{23\!\cdots\!21}a$, $\frac{1}{23\!\cdots\!21}a^{38}+\frac{90\!\cdots\!41}{23\!\cdots\!21}a^{32}+\frac{10\!\cdots\!21}{23\!\cdots\!21}a^{30}-\frac{52\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!21}a^{28}-\frac{23\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!21}a^{26}-\frac{67\!\cdots\!82}{23\!\cdots\!21}a^{24}+\frac{95\!\cdots\!12}{23\!\cdots\!21}a^{22}-\frac{45\!\cdots\!10}{23\!\cdots\!21}a^{20}+\frac{51\!\cdots\!05}{23\!\cdots\!21}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!28}{23\!\cdots\!21}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!21}a^{14}-\frac{75\!\cdots\!66}{23\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!12}{23\!\cdots\!21}a^{10}-\frac{41\!\cdots\!81}{23\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{86\!\cdots\!36}{23\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!66}{23\!\cdots\!21}a^{4}-\frac{69\!\cdots\!26}{23\!\cdots\!21}a^{2}+\frac{73\!\cdots\!98}{23\!\cdots\!21}$, $\frac{1}{23\!\cdots\!21}a^{39}+\frac{90\!\cdots\!41}{23\!\cdots\!21}a^{33}+\frac{10\!\cdots\!21}{23\!\cdots\!21}a^{31}-\frac{52\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!21}a^{29}-\frac{23\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!21}a^{27}-\frac{67\!\cdots\!82}{23\!\cdots\!21}a^{25}+\frac{95\!\cdots\!12}{23\!\cdots\!21}a^{23}-\frac{45\!\cdots\!10}{23\!\cdots\!21}a^{21}+\frac{51\!\cdots\!05}{23\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{21\!\cdots\!28}{23\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{75\!\cdots\!66}{23\!\cdots\!21}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!12}{23\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{41\!\cdots\!81}{23\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{86\!\cdots\!36}{23\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!66}{23\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{69\!\cdots\!26}{23\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{73\!\cdots\!98}{23\!\cdots\!21}a$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
$C_{155}$, which has order $155$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $19$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( \frac{1033956405789076}{234425411086737421} a^{39} - \frac{8013162144865339}{234425411086737421} a^{37} + \frac{43721585159080928}{234425411086737421} a^{35} - \frac{205277567524804009}{234425411086737421} a^{33} + \frac{888242406601801218}{234425411086737421} a^{31} - \frac{2753832105775726525}{234425411086737421} a^{29} + \frac{7580192899941163425}{234425411086737421} a^{27} - \frac{18683370690521648518}{234425411086737421} a^{25} + \frac{39202718867588571471}{234425411086737421} a^{23} - \frac{54579899916561864416}{234425411086737421} a^{21} + \frac{77125910177024546068}{234425411086737421} a^{19} - \frac{89553253780290405314}{234425411086737421} a^{17} + \frac{62721826560962435845}{234425411086737421} a^{15} + \frac{28066822999132149804}{234425411086737421} a^{13} + \frac{22894305861155630396}{234425411086737421} a^{11} - \frac{9569672732737315517}{234425411086737421} a^{9} + \frac{774987253153404929}{234425411086737421} a^{7} - \frac{62591289564731565}{234425411086737421} a^{5} + \frac{10171515181693540290}{234425411086737421} a^{3} - \frac{332343130432203}{234425411086737421} a \)
(order $20$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{18\!\cdots\!44}{23\!\cdots\!21}a^{38}-\frac{17\!\cdots\!76}{23\!\cdots\!21}a^{36}+\frac{10\!\cdots\!92}{23\!\cdots\!21}a^{34}-\frac{49\!\cdots\!40}{23\!\cdots\!21}a^{32}+\frac{21\!\cdots\!84}{23\!\cdots\!21}a^{30}-\frac{75\!\cdots\!59}{23\!\cdots\!21}a^{28}+\frac{22\!\cdots\!40}{23\!\cdots\!21}a^{26}-\frac{58\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!21}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!40}{23\!\cdots\!21}a^{22}-\frac{23\!\cdots\!04}{23\!\cdots\!21}a^{20}+\frac{36\!\cdots\!66}{23\!\cdots\!21}a^{18}-\frac{50\!\cdots\!96}{23\!\cdots\!21}a^{16}+\frac{55\!\cdots\!08}{23\!\cdots\!21}a^{14}-\frac{38\!\cdots\!84}{23\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!16}{23\!\cdots\!21}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!03}{23\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{55\!\cdots\!84}{23\!\cdots\!21}a^{6}-\frac{44\!\cdots\!92}{23\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{36\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{50\!\cdots\!39}{23\!\cdots\!21}$, $\frac{484994914024488}{23\!\cdots\!21}a^{38}-\frac{37\!\cdots\!82}{23\!\cdots\!21}a^{36}+\frac{20\!\cdots\!64}{23\!\cdots\!21}a^{34}-\frac{96\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!21}a^{32}+\frac{41\!\cdots\!84}{23\!\cdots\!21}a^{30}-\frac{12\!\cdots\!50}{23\!\cdots\!21}a^{28}+\frac{35\!\cdots\!50}{23\!\cdots\!21}a^{26}-\frac{87\!\cdots\!84}{23\!\cdots\!21}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!86}{23\!\cdots\!21}a^{22}-\frac{25\!\cdots\!08}{23\!\cdots\!21}a^{20}+\frac{36\!\cdots\!84}{23\!\cdots\!21}a^{18}-\frac{42\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!21}a^{16}+\frac{29\!\cdots\!10}{23\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!19}{23\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!48}{23\!\cdots\!21}a^{10}-\frac{44\!\cdots\!46}{23\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{36\!\cdots\!02}{23\!\cdots\!21}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!70}{23\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{48\!\cdots\!68}{23\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{155891222365014}{23\!\cdots\!21}$, $\frac{498677732588728}{23\!\cdots\!21}a^{38}-\frac{38\!\cdots\!42}{23\!\cdots\!21}a^{36}+\frac{21\!\cdots\!84}{23\!\cdots\!21}a^{34}-\frac{99\!\cdots\!44}{23\!\cdots\!21}a^{32}+\frac{42\!\cdots\!04}{23\!\cdots\!21}a^{30}-\frac{13\!\cdots\!50}{23\!\cdots\!21}a^{28}+\frac{36\!\cdots\!50}{23\!\cdots\!21}a^{26}-\frac{90\!\cdots\!04}{23\!\cdots\!21}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!21}a^{22}-\frac{26\!\cdots\!48}{23\!\cdots\!21}a^{20}+\frac{37\!\cdots\!04}{23\!\cdots\!21}a^{18}-\frac{43\!\cdots\!92}{23\!\cdots\!21}a^{16}+\frac{30\!\cdots\!10}{23\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!40}{23\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!88}{23\!\cdots\!21}a^{10}-\frac{46\!\cdots\!26}{23\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{37\!\cdots\!62}{23\!\cdots\!21}a^{6}-\frac{30\!\cdots\!70}{23\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{55\!\cdots\!87}{23\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{160289271189234}{23\!\cdots\!21}$, $\frac{299622625470224}{23\!\cdots\!21}a^{38}-\frac{23\!\cdots\!36}{23\!\cdots\!21}a^{36}+\frac{12\!\cdots\!72}{23\!\cdots\!21}a^{34}-\frac{59\!\cdots\!98}{23\!\cdots\!21}a^{32}+\frac{25\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!21}a^{30}-\frac{79\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!21}a^{28}+\frac{21\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!21}a^{26}-\frac{54\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!21}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!95}{23\!\cdots\!21}a^{22}-\frac{15\!\cdots\!84}{23\!\cdots\!21}a^{20}+\frac{22\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!21}a^{18}-\frac{25\!\cdots\!36}{23\!\cdots\!21}a^{16}+\frac{18\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{80\!\cdots\!65}{23\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{66\!\cdots\!04}{23\!\cdots\!21}a^{10}-\frac{27\!\cdots\!08}{23\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{22\!\cdots\!96}{23\!\cdots\!21}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{24\!\cdots\!18}{23\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{96307272472572}{23\!\cdots\!21}$, $\frac{24\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!21}a^{38}-\frac{20\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!21}a^{36}+\frac{12\!\cdots\!93}{23\!\cdots\!21}a^{34}-\frac{58\!\cdots\!72}{23\!\cdots\!21}a^{32}+\frac{25\!\cdots\!24}{23\!\cdots\!21}a^{30}-\frac{85\!\cdots\!40}{23\!\cdots\!21}a^{28}+\frac{24\!\cdots\!68}{23\!\cdots\!21}a^{26}-\frac{62\!\cdots\!38}{23\!\cdots\!21}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!21}a^{22}-\frac{23\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!21}a^{20}+\frac{34\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!21}a^{18}-\frac{34\!\cdots\!48}{17\!\cdots\!91}a^{16}+\frac{45\!\cdots\!20}{23\!\cdots\!21}a^{14}-\frac{20\!\cdots\!12}{23\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!56}{23\!\cdots\!21}a^{10}-\frac{55\!\cdots\!88}{23\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{44\!\cdots\!72}{23\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!28}{23\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{19\!\cdots\!44}{23\!\cdots\!21}$, $\frac{34902770396274}{23\!\cdots\!21}a^{39}-\frac{43\!\cdots\!10}{23\!\cdots\!21}a^{38}-\frac{205538536778058}{23\!\cdots\!21}a^{37}+\frac{36\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!21}a^{36}+\frac{10\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!21}a^{35}-\frac{21\!\cdots\!56}{23\!\cdots\!21}a^{34}-\frac{44\!\cdots\!16}{23\!\cdots\!21}a^{33}+\frac{10\!\cdots\!44}{23\!\cdots\!21}a^{32}+\frac{18\!\cdots\!73}{23\!\cdots\!21}a^{31}-\frac{45\!\cdots\!98}{23\!\cdots\!21}a^{30}-\frac{45\!\cdots\!10}{23\!\cdots\!21}a^{29}+\frac{14\!\cdots\!30}{23\!\cdots\!21}a^{28}+\frac{11\!\cdots\!40}{23\!\cdots\!21}a^{27}-\frac{43\!\cdots\!36}{23\!\cdots\!21}a^{26}-\frac{27\!\cdots\!10}{23\!\cdots\!21}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!21}a^{24}+\frac{48\!\cdots\!46}{23\!\cdots\!21}a^{23}-\frac{24\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!21}a^{22}-\frac{22\!\cdots\!74}{23\!\cdots\!21}a^{21}+\frac{40\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!21}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!04}{23\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{61\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!21}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!92}{23\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{60\!\cdots\!46}{17\!\cdots\!91}a^{16}+\frac{78\!\cdots\!16}{23\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{79\!\cdots\!83}{23\!\cdots\!21}a^{14}-\frac{50\!\cdots\!34}{23\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{36\!\cdots\!24}{23\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{74\!\cdots\!58}{23\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{21\!\cdots\!62}{23\!\cdots\!21}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!16}{23\!\cdots\!21}a^{9}+\frac{97\!\cdots\!26}{23\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{91\!\cdots\!58}{23\!\cdots\!21}a^{7}-\frac{78\!\cdots\!94}{23\!\cdots\!21}a^{6}-\frac{736836263921340}{23\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{35\!\cdots\!63}{23\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{58171283993790}{23\!\cdots\!21}a^{3}-\frac{50\!\cdots\!06}{23\!\cdots\!21}a^{2}+\frac{82\!\cdots\!50}{23\!\cdots\!21}a+\frac{34\!\cdots\!88}{23\!\cdots\!21}$, $\frac{34902770396274}{23\!\cdots\!21}a^{39}-\frac{205538536778058}{23\!\cdots\!21}a^{37}+\frac{10\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!21}a^{35}-\frac{44\!\cdots\!16}{23\!\cdots\!21}a^{33}+\frac{18\!\cdots\!73}{23\!\cdots\!21}a^{31}-\frac{45\!\cdots\!10}{23\!\cdots\!21}a^{29}+\frac{11\!\cdots\!40}{23\!\cdots\!21}a^{27}-\frac{27\!\cdots\!10}{23\!\cdots\!21}a^{25}+\frac{48\!\cdots\!46}{23\!\cdots\!21}a^{23}-\frac{22\!\cdots\!74}{23\!\cdots\!21}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!04}{23\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!92}{23\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{78\!\cdots\!16}{23\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{50\!\cdots\!34}{23\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{74\!\cdots\!58}{23\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!16}{23\!\cdots\!21}a^{9}+\frac{91\!\cdots\!58}{23\!\cdots\!21}a^{7}-\frac{736836263921340}{23\!\cdots\!21}a^{5}+\frac{58171283993790}{23\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{82\!\cdots\!50}{23\!\cdots\!21}a-1$, $\frac{27\!\cdots\!58}{23\!\cdots\!21}a^{38}-\frac{25\!\cdots\!31}{23\!\cdots\!21}a^{36}+\frac{14\!\cdots\!06}{23\!\cdots\!21}a^{34}-\frac{73\!\cdots\!78}{23\!\cdots\!21}a^{32}+\frac{32\!\cdots\!44}{23\!\cdots\!21}a^{30}-\frac{11\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!21}a^{28}+\frac{33\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!21}a^{26}-\frac{87\!\cdots\!70}{23\!\cdots\!21}a^{24}+\frac{20\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!21}a^{22}-\frac{35\!\cdots\!14}{23\!\cdots\!21}a^{20}+\frac{55\!\cdots\!71}{23\!\cdots\!21}a^{18}-\frac{76\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!21}a^{16}+\frac{85\!\cdots\!52}{23\!\cdots\!21}a^{14}-\frac{61\!\cdots\!96}{23\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{39\!\cdots\!92}{23\!\cdots\!21}a^{10}-\frac{22\!\cdots\!18}{23\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{92\!\cdots\!77}{23\!\cdots\!21}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!68}{23\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{89\!\cdots\!98}{23\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{47\!\cdots\!79}{23\!\cdots\!21}$, $\frac{11\!\cdots\!18}{23\!\cdots\!21}a^{38}-\frac{10\!\cdots\!93}{23\!\cdots\!21}a^{36}+\frac{63\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!21}a^{34}-\frac{31\!\cdots\!58}{23\!\cdots\!21}a^{32}+\frac{13\!\cdots\!52}{23\!\cdots\!21}a^{30}-\frac{48\!\cdots\!19}{23\!\cdots\!21}a^{28}+\frac{14\!\cdots\!19}{23\!\cdots\!21}a^{26}-\frac{37\!\cdots\!90}{23\!\cdots\!21}a^{24}+\frac{86\!\cdots\!10}{23\!\cdots\!21}a^{22}-\frac{15\!\cdots\!12}{23\!\cdots\!21}a^{20}+\frac{24\!\cdots\!08}{23\!\cdots\!21}a^{18}-\frac{34\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!21}a^{16}+\frac{38\!\cdots\!48}{23\!\cdots\!21}a^{14}-\frac{28\!\cdots\!04}{23\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!34}{23\!\cdots\!21}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!86}{23\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{45\!\cdots\!85}{23\!\cdots\!21}a^{6}-\frac{72\!\cdots\!22}{23\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{58\!\cdots\!18}{23\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{23\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!21}$, $\frac{28\!\cdots\!97}{23\!\cdots\!21}a^{38}-\frac{25\!\cdots\!72}{23\!\cdots\!21}a^{36}+\frac{15\!\cdots\!45}{23\!\cdots\!21}a^{34}-\frac{74\!\cdots\!42}{23\!\cdots\!21}a^{32}+\frac{33\!\cdots\!08}{23\!\cdots\!21}a^{30}-\frac{11\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!21}a^{28}+\frac{33\!\cdots\!06}{23\!\cdots\!21}a^{26}-\frac{86\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!21}a^{24}+\frac{19\!\cdots\!65}{23\!\cdots\!21}a^{22}-\frac{34\!\cdots\!73}{23\!\cdots\!21}a^{20}+\frac{54\!\cdots\!38}{23\!\cdots\!21}a^{18}-\frac{73\!\cdots\!58}{23\!\cdots\!21}a^{16}+\frac{80\!\cdots\!22}{23\!\cdots\!21}a^{14}-\frac{54\!\cdots\!56}{23\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{34\!\cdots\!31}{23\!\cdots\!21}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!63}{17\!\cdots\!91}a^{8}+\frac{73\!\cdots\!75}{23\!\cdots\!21}a^{6}-\frac{23\!\cdots\!83}{23\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{37\!\cdots\!26}{23\!\cdots\!21}$, $\frac{40\!\cdots\!79}{23\!\cdots\!21}a^{38}-\frac{36\!\cdots\!17}{23\!\cdots\!21}a^{36}+\frac{21\!\cdots\!10}{23\!\cdots\!21}a^{34}-\frac{10\!\cdots\!42}{23\!\cdots\!21}a^{32}+\frac{46\!\cdots\!88}{23\!\cdots\!21}a^{30}-\frac{15\!\cdots\!24}{23\!\cdots\!21}a^{28}+\frac{46\!\cdots\!31}{23\!\cdots\!21}a^{26}-\frac{93\!\cdots\!10}{17\!\cdots\!91}a^{24}+\frac{27\!\cdots\!40}{23\!\cdots\!21}a^{22}-\frac{49\!\cdots\!78}{23\!\cdots\!21}a^{20}+\frac{76\!\cdots\!96}{23\!\cdots\!21}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!28}{23\!\cdots\!21}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!21}a^{14}-\frac{77\!\cdots\!36}{23\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{49\!\cdots\!76}{23\!\cdots\!21}a^{10}-\frac{27\!\cdots\!76}{23\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!55}{23\!\cdots\!21}a^{6}-\frac{50\!\cdots\!48}{23\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{40\!\cdots\!82}{23\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{54\!\cdots\!01}{23\!\cdots\!21}$, $\frac{80\!\cdots\!69}{23\!\cdots\!21}a^{39}-\frac{22103682855804}{23\!\cdots\!21}a^{38}-\frac{71\!\cdots\!38}{23\!\cdots\!21}a^{37}+\frac{130166132373068}{23\!\cdots\!21}a^{36}+\frac{42\!\cdots\!30}{23\!\cdots\!21}a^{35}-\frac{638550838056560}{23\!\cdots\!21}a^{34}-\frac{20\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!21}a^{33}+\frac{28\!\cdots\!36}{23\!\cdots\!21}a^{32}+\frac{91\!\cdots\!22}{23\!\cdots\!21}a^{31}-\frac{11\!\cdots\!23}{23\!\cdots\!21}a^{30}-\frac{31\!\cdots\!02}{23\!\cdots\!21}a^{29}+\frac{28\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!21}a^{28}+\frac{91\!\cdots\!26}{23\!\cdots\!21}a^{27}-\frac{75\!\cdots\!40}{23\!\cdots\!21}a^{26}-\frac{23\!\cdots\!77}{23\!\cdots\!21}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!21}a^{24}+\frac{54\!\cdots\!34}{23\!\cdots\!21}a^{23}-\frac{30\!\cdots\!16}{23\!\cdots\!21}a^{22}-\frac{96\!\cdots\!24}{23\!\cdots\!21}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!23}{23\!\cdots\!21}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!59}{23\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{64\!\cdots\!84}{23\!\cdots\!21}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!13}{23\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{71\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!21}a^{16}+\frac{22\!\cdots\!03}{23\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{49\!\cdots\!36}{23\!\cdots\!21}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!58}{23\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{31\!\cdots\!64}{23\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{93\!\cdots\!41}{23\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{47\!\cdots\!16}{23\!\cdots\!21}a^{10}-\frac{51\!\cdots\!96}{23\!\cdots\!21}a^{9}+\frac{71\!\cdots\!36}{23\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!61}{23\!\cdots\!21}a^{7}-\frac{57\!\cdots\!68}{23\!\cdots\!21}a^{6}-\frac{33\!\cdots\!52}{23\!\cdots\!21}a^{5}+\frac{466633304733640}{23\!\cdots\!21}a^{4}-\frac{74\!\cdots\!99}{23\!\cdots\!21}a^{3}-\frac{36839471426340}{23\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{18\!\cdots\!02}{23\!\cdots\!21}a-\frac{30\!\cdots\!40}{23\!\cdots\!21}$, $\frac{61404502076298}{23\!\cdots\!21}a^{39}+\frac{249338866294364}{23\!\cdots\!21}a^{38}-\frac{361604290004866}{23\!\cdots\!21}a^{37}-\frac{19\!\cdots\!21}{23\!\cdots\!21}a^{36}+\frac{17\!\cdots\!20}{23\!\cdots\!21}a^{35}+\frac{10\!\cdots\!92}{23\!\cdots\!21}a^{34}-\frac{78\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!21}a^{33}-\frac{49\!\cdots\!22}{23\!\cdots\!21}a^{32}+\frac{33\!\cdots\!61}{23\!\cdots\!21}a^{31}+\frac{21\!\cdots\!02}{23\!\cdots\!21}a^{30}-\frac{79\!\cdots\!70}{23\!\cdots\!21}a^{29}-\frac{66\!\cdots\!75}{23\!\cdots\!21}a^{28}+\frac{20\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!21}a^{27}+\frac{18\!\cdots\!75}{23\!\cdots\!21}a^{26}-\frac{47\!\cdots\!70}{23\!\cdots\!21}a^{25}-\frac{45\!\cdots\!02}{23\!\cdots\!21}a^{24}+\frac{84\!\cdots\!42}{23\!\cdots\!21}a^{23}+\frac{94\!\cdots\!90}{23\!\cdots\!21}a^{22}-\frac{39\!\cdots\!23}{23\!\cdots\!21}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!24}{23\!\cdots\!21}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!08}{23\!\cdots\!21}a^{19}+\frac{18\!\cdots\!52}{23\!\cdots\!21}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!84}{23\!\cdots\!21}a^{17}-\frac{21\!\cdots\!46}{23\!\cdots\!21}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!21}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!55}{23\!\cdots\!21}a^{14}-\frac{87\!\cdots\!18}{23\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{67\!\cdots\!20}{23\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!75}{23\!\cdots\!21}a^{11}+\frac{55\!\cdots\!44}{23\!\cdots\!21}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{23\!\cdots\!63}{23\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!66}{23\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!31}{23\!\cdots\!21}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!35}{23\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{102340836793830}{23\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{28\!\cdots\!04}{23\!\cdots\!21}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!88}{23\!\cdots\!21}a+\frac{23\!\cdots\!04}{23\!\cdots\!21}$, $\frac{4398048824220}{23\!\cdots\!21}a^{39}+\frac{14\!\cdots\!34}{23\!\cdots\!21}a^{38}-\frac{25899620853740}{23\!\cdots\!21}a^{37}-\frac{13\!\cdots\!76}{23\!\cdots\!21}a^{36}+\frac{127054743810800}{23\!\cdots\!21}a^{35}+\frac{79\!\cdots\!36}{23\!\cdots\!21}a^{34}-\frac{564904937866480}{23\!\cdots\!21}a^{33}-\frac{39\!\cdots\!96}{23\!\cdots\!21}a^{32}+\frac{23\!\cdots\!65}{23\!\cdots\!21}a^{31}+\frac{17\!\cdots\!86}{23\!\cdots\!21}a^{30}-\frac{57\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!21}a^{29}-\frac{60\!\cdots\!29}{23\!\cdots\!21}a^{28}+\frac{14\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!21}a^{27}+\frac{17\!\cdots\!04}{23\!\cdots\!21}a^{26}-\frac{34\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!21}a^{25}-\frac{47\!\cdots\!28}{23\!\cdots\!21}a^{24}+\frac{60\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!21}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!21}a^{22}-\frac{28\!\cdots\!26}{23\!\cdots\!21}a^{21}-\frac{19\!\cdots\!04}{23\!\cdots\!21}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!20}{23\!\cdots\!21}a^{19}+\frac{30\!\cdots\!66}{23\!\cdots\!21}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!21}a^{17}-\frac{42\!\cdots\!70}{23\!\cdots\!21}a^{16}+\frac{99\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!21}a^{15}+\frac{47\!\cdots\!25}{23\!\cdots\!21}a^{14}-\frac{63\!\cdots\!20}{23\!\cdots\!21}a^{13}-\frac{34\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{95\!\cdots\!01}{23\!\cdots\!21}a^{11}+\frac{22\!\cdots\!54}{23\!\cdots\!21}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!77}{23\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!40}{23\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{54\!\cdots\!90}{23\!\cdots\!21}a^{6}-\frac{92847697400200}{23\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{79\!\cdots\!55}{23\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{7330081373700}{23\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{35\!\cdots\!54}{23\!\cdots\!21}a^{2}+\frac{68\!\cdots\!19}{23\!\cdots\!21}a-\frac{28\!\cdots\!72}{23\!\cdots\!21}$, $\frac{23\!\cdots\!90}{23\!\cdots\!21}a^{39}+\frac{42\!\cdots\!34}{23\!\cdots\!21}a^{38}-\frac{20\!\cdots\!55}{23\!\cdots\!21}a^{37}-\frac{37\!\cdots\!31}{23\!\cdots\!21}a^{36}+\frac{92\!\cdots\!76}{17\!\cdots\!91}a^{35}+\frac{22\!\cdots\!48}{23\!\cdots\!21}a^{34}-\frac{59\!\cdots\!62}{23\!\cdots\!21}a^{33}-\frac{10\!\cdots\!02}{23\!\cdots\!21}a^{32}+\frac{26\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!21}a^{31}+\frac{48\!\cdots\!64}{23\!\cdots\!21}a^{30}-\frac{89\!\cdots\!14}{23\!\cdots\!21}a^{29}-\frac{16\!\cdots\!73}{23\!\cdots\!21}a^{28}+\frac{26\!\cdots\!01}{23\!\cdots\!21}a^{27}+\frac{48\!\cdots\!41}{23\!\cdots\!21}a^{26}-\frac{68\!\cdots\!90}{23\!\cdots\!21}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!50}{23\!\cdots\!21}a^{24}+\frac{15\!\cdots\!10}{23\!\cdots\!21}a^{23}+\frac{28\!\cdots\!50}{23\!\cdots\!21}a^{22}-\frac{27\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!21}a^{21}-\frac{51\!\cdots\!84}{23\!\cdots\!21}a^{20}+\frac{42\!\cdots\!14}{23\!\cdots\!21}a^{19}+\frac{79\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!21}a^{18}-\frac{57\!\cdots\!76}{23\!\cdots\!21}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!72}{23\!\cdots\!21}a^{16}+\frac{63\!\cdots\!36}{23\!\cdots\!21}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!44}{23\!\cdots\!21}a^{14}-\frac{42\!\cdots\!28}{23\!\cdots\!21}a^{13}-\frac{80\!\cdots\!12}{23\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!34}{23\!\cdots\!21}a^{11}+\frac{51\!\cdots\!50}{23\!\cdots\!21}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!66}{23\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{28\!\cdots\!69}{23\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{55\!\cdots\!47}{23\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!31}{23\!\cdots\!21}a^{6}-\frac{95\!\cdots\!94}{23\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{54\!\cdots\!86}{23\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{76\!\cdots\!62}{23\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{43\!\cdots\!22}{23\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{53\!\cdots\!10}{23\!\cdots\!21}a-\frac{33\!\cdots\!70}{23\!\cdots\!21}$, $\frac{25\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!21}a^{39}-\frac{19\!\cdots\!08}{23\!\cdots\!21}a^{38}-\frac{22\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!21}a^{37}+\frac{17\!\cdots\!97}{23\!\cdots\!21}a^{36}+\frac{12\!\cdots\!85}{23\!\cdots\!21}a^{35}-\frac{10\!\cdots\!84}{23\!\cdots\!21}a^{34}-\frac{61\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!21}a^{33}+\frac{49\!\cdots\!62}{23\!\cdots\!21}a^{32}+\frac{26\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!21}a^{31}-\frac{22\!\cdots\!86}{23\!\cdots\!21}a^{30}-\frac{89\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!21}a^{29}+\frac{76\!\cdots\!34}{23\!\cdots\!21}a^{28}+\frac{25\!\cdots\!20}{23\!\cdots\!21}a^{27}-\frac{22\!\cdots\!15}{23\!\cdots\!21}a^{26}-\frac{66\!\cdots\!30}{23\!\cdots\!21}a^{25}+\frac{58\!\cdots\!62}{23\!\cdots\!21}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!21}a^{23}-\frac{13\!\cdots\!30}{23\!\cdots\!21}a^{22}-\frac{24\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!21}a^{21}+\frac{23\!\cdots\!28}{23\!\cdots\!21}a^{20}+\frac{36\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{36\!\cdots\!18}{23\!\cdots\!21}a^{18}-\frac{36\!\cdots\!20}{17\!\cdots\!91}a^{17}+\frac{50\!\cdots\!42}{23\!\cdots\!21}a^{16}+\frac{47\!\cdots\!86}{23\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{55\!\cdots\!63}{23\!\cdots\!21}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{38\!\cdots\!64}{23\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!40}{23\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{24\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!21}a^{10}-\frac{58\!\cdots\!20}{23\!\cdots\!21}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!66}{23\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{47\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!21}a^{7}-\frac{55\!\cdots\!15}{23\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!28}{23\!\cdots\!21}a^{5}+\frac{44\!\cdots\!27}{23\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{30\!\cdots\!20}{23\!\cdots\!21}a^{3}-\frac{65\!\cdots\!64}{23\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{20\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!21}a+\frac{28\!\cdots\!77}{23\!\cdots\!21}$, $\frac{49\!\cdots\!12}{23\!\cdots\!21}a^{39}-\frac{21\!\cdots\!03}{23\!\cdots\!21}a^{38}-\frac{44\!\cdots\!39}{23\!\cdots\!21}a^{37}+\frac{19\!\cdots\!70}{23\!\cdots\!21}a^{36}+\frac{26\!\cdots\!39}{23\!\cdots\!21}a^{35}-\frac{11\!\cdots\!22}{23\!\cdots\!21}a^{34}-\frac{12\!\cdots\!62}{23\!\cdots\!21}a^{33}+\frac{57\!\cdots\!53}{23\!\cdots\!21}a^{32}+\frac{56\!\cdots\!52}{23\!\cdots\!21}a^{31}-\frac{25\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!21}a^{30}-\frac{19\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!21}a^{29}+\frac{87\!\cdots\!64}{23\!\cdots\!21}a^{28}+\frac{57\!\cdots\!36}{23\!\cdots\!21}a^{27}-\frac{25\!\cdots\!45}{23\!\cdots\!21}a^{26}-\frac{14\!\cdots\!95}{23\!\cdots\!21}a^{25}+\frac{67\!\cdots\!18}{23\!\cdots\!21}a^{24}+\frac{34\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!21}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!75}{23\!\cdots\!21}a^{22}-\frac{59\!\cdots\!17}{23\!\cdots\!21}a^{21}+\frac{27\!\cdots\!48}{23\!\cdots\!21}a^{20}+\frac{92\!\cdots\!36}{23\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{43\!\cdots\!50}{23\!\cdots\!21}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!52}{23\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{59\!\cdots\!53}{23\!\cdots\!21}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!43}{23\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{66\!\cdots\!72}{23\!\cdots\!21}a^{14}-\frac{91\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{48\!\cdots\!06}{23\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{57\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{30\!\cdots\!16}{23\!\cdots\!21}a^{10}-\frac{31\!\cdots\!45}{23\!\cdots\!21}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!55}{23\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!99}{23\!\cdots\!21}a^{7}-\frac{71\!\cdots\!54}{23\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{27\!\cdots\!57}{23\!\cdots\!21}a^{5}+\frac{85\!\cdots\!94}{23\!\cdots\!21}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!98}{23\!\cdots\!21}a^{3}-\frac{52\!\cdots\!11}{23\!\cdots\!21}a^{2}+\frac{22\!\cdots\!75}{23\!\cdots\!21}a-\frac{27\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!21}$, $\frac{23\!\cdots\!90}{23\!\cdots\!21}a^{39}+\frac{43\!\cdots\!10}{23\!\cdots\!21}a^{38}-\frac{20\!\cdots\!55}{23\!\cdots\!21}a^{37}-\frac{36\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!21}a^{36}+\frac{92\!\cdots\!76}{17\!\cdots\!91}a^{35}+\frac{21\!\cdots\!56}{23\!\cdots\!21}a^{34}-\frac{59\!\cdots\!62}{23\!\cdots\!21}a^{33}-\frac{10\!\cdots\!44}{23\!\cdots\!21}a^{32}+\frac{26\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!21}a^{31}+\frac{45\!\cdots\!98}{23\!\cdots\!21}a^{30}-\frac{89\!\cdots\!14}{23\!\cdots\!21}a^{29}-\frac{14\!\cdots\!30}{23\!\cdots\!21}a^{28}+\frac{26\!\cdots\!01}{23\!\cdots\!21}a^{27}+\frac{43\!\cdots\!36}{23\!\cdots\!21}a^{26}-\frac{68\!\cdots\!90}{23\!\cdots\!21}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!21}a^{24}+\frac{15\!\cdots\!10}{23\!\cdots\!21}a^{23}+\frac{24\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!21}a^{22}-\frac{27\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!21}a^{21}-\frac{40\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!21}a^{20}+\frac{42\!\cdots\!14}{23\!\cdots\!21}a^{19}+\frac{61\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!21}a^{18}-\frac{57\!\cdots\!76}{23\!\cdots\!21}a^{17}-\frac{60\!\cdots\!46}{17\!\cdots\!91}a^{16}+\frac{63\!\cdots\!36}{23\!\cdots\!21}a^{15}+\frac{79\!\cdots\!83}{23\!\cdots\!21}a^{14}-\frac{42\!\cdots\!28}{23\!\cdots\!21}a^{13}-\frac{36\!\cdots\!24}{23\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!34}{23\!\cdots\!21}a^{11}+\frac{21\!\cdots\!62}{23\!\cdots\!21}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!66}{23\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{97\!\cdots\!26}{23\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{55\!\cdots\!47}{23\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{78\!\cdots\!94}{23\!\cdots\!21}a^{6}-\frac{95\!\cdots\!94}{23\!\cdots\!21}a^{5}+\frac{35\!\cdots\!63}{23\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{76\!\cdots\!62}{23\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{50\!\cdots\!06}{23\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{53\!\cdots\!10}{23\!\cdots\!21}a-\frac{23\!\cdots\!09}{23\!\cdots\!21}$, $\frac{16\!\cdots\!20}{23\!\cdots\!21}a^{39}+\frac{45\!\cdots\!74}{23\!\cdots\!21}a^{38}-\frac{12\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!21}a^{37}-\frac{38\!\cdots\!21}{23\!\cdots\!21}a^{36}+\frac{70\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!21}a^{35}+\frac{22\!\cdots\!48}{23\!\cdots\!21}a^{34}-\frac{32\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!21}a^{33}-\frac{10\!\cdots\!66}{23\!\cdots\!21}a^{32}+\frac{14\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!21}a^{31}+\frac{47\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!21}a^{30}-\frac{44\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!21}a^{29}-\frac{15\!\cdots\!05}{23\!\cdots\!21}a^{28}+\frac{12\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!21}a^{27}+\frac{44\!\cdots\!11}{23\!\cdots\!21}a^{26}-\frac{29\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!21}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!34}{23\!\cdots\!21}a^{24}+\frac{62\!\cdots\!07}{23\!\cdots\!21}a^{23}+\frac{25\!\cdots\!50}{23\!\cdots\!21}a^{22}-\frac{87\!\cdots\!20}{23\!\cdots\!21}a^{21}-\frac{42\!\cdots\!24}{23\!\cdots\!21}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!21}a^{19}+\frac{63\!\cdots\!52}{23\!\cdots\!21}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!21}a^{17}-\frac{81\!\cdots\!72}{23\!\cdots\!21}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!21}a^{15}+\frac{80\!\cdots\!38}{23\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{45\!\cdots\!91}{23\!\cdots\!21}a^{13}-\frac{36\!\cdots\!04}{23\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{36\!\cdots\!20}{23\!\cdots\!21}a^{11}+\frac{22\!\cdots\!06}{23\!\cdots\!21}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!40}{23\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{99\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{80\!\cdots\!25}{23\!\cdots\!21}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!21}a^{5}+\frac{35\!\cdots\!28}{23\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!02}{23\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{29\!\cdots\!10}{23\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{533476217995560}{23\!\cdots\!21}a-\frac{35\!\cdots\!05}{23\!\cdots\!21}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 2347083738648341.5 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{0}\cdot(2\pi)^{20}\cdot 2347083738648341.5 \cdot 155}{20\cdot\sqrt{2162050738724101412398710020310959104000000000000000000000000000000}}\cr\approx \mathstrut & 0.113761343758482 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^40 - 9*x^38 + 53*x^36 - 260*x^34 + 1156*x^32 - 3971*x^30 + 11685*x^28 - 30590*x^26 + 70035*x^24 - 124361*x^22 + 193618*x^20 - 264514*x^18 + 292022*x^16 - 203056*x^14 + 128969*x^12 - 72116*x^10 + 29056*x^8 - 2353*x^6 + 190*x^4 - 15*x^2 + 1)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^40 - 9*x^38 + 53*x^36 - 260*x^34 + 1156*x^32 - 3971*x^30 + 11685*x^28 - 30590*x^26 + 70035*x^24 - 124361*x^22 + 193618*x^20 - 264514*x^18 + 292022*x^16 - 203056*x^14 + 128969*x^12 - 72116*x^10 + 29056*x^8 - 2353*x^6 + 190*x^4 - 15*x^2 + 1, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^40 - 9*x^38 + 53*x^36 - 260*x^34 + 1156*x^32 - 3971*x^30 + 11685*x^28 - 30590*x^26 + 70035*x^24 - 124361*x^22 + 193618*x^20 - 264514*x^18 + 292022*x^16 - 203056*x^14 + 128969*x^12 - 72116*x^10 + 29056*x^8 - 2353*x^6 + 190*x^4 - 15*x^2 + 1);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^40 - 9*x^38 + 53*x^36 - 260*x^34 + 1156*x^32 - 3971*x^30 + 11685*x^28 - 30590*x^26 + 70035*x^24 - 124361*x^22 + 193618*x^20 - 264514*x^18 + 292022*x^16 - 203056*x^14 + 128969*x^12 - 72116*x^10 + 29056*x^8 - 2353*x^6 + 190*x^4 - 15*x^2 + 1);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$C_2\times C_{20}$ (as 40T2):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| An abelian group of order 40 |
| The 40 conjugacy class representatives for $C_2\times C_{20}$ |
| Character table for $C_2\times C_{20}$ |
Intermediate fields
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | R | $20^{2}$ | R | $20^{2}$ | R | $20^{2}$ | $20^{2}$ | ${\href{/padicField/19.10.0.1}{10} }^{4}$ | ${\href{/padicField/23.4.0.1}{4} }^{10}$ | ${\href{/padicField/29.10.0.1}{10} }^{4}$ | ${\href{/padicField/31.10.0.1}{10} }^{4}$ | $20^{2}$ | ${\href{/padicField/41.5.0.1}{5} }^{8}$ | ${\href{/padicField/43.4.0.1}{4} }^{10}$ | $20^{2}$ | $20^{2}$ | ${\href{/padicField/59.10.0.1}{10} }^{4}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(2\)
| Deg $40$ | $2$ | $20$ | $40$ | |||
|
\(5\)
| Deg $20$ | $4$ | $5$ | $15$ | |||
| Deg $20$ | $4$ | $5$ | $15$ | ||||
|
\(11\)
| 11.10.8.5 | $x^{10} + 35 x^{9} + 500 x^{8} + 3710 x^{7} + 14985 x^{6} + 31389 x^{5} + 30355 x^{4} + 19790 x^{3} + 37110 x^{2} + 111495 x + 148840$ | $5$ | $2$ | $8$ | $C_{10}$ | $[\ ]_{5}^{2}$ |
| 11.10.8.5 | $x^{10} + 35 x^{9} + 500 x^{8} + 3710 x^{7} + 14985 x^{6} + 31389 x^{5} + 30355 x^{4} + 19790 x^{3} + 37110 x^{2} + 111495 x + 148840$ | $5$ | $2$ | $8$ | $C_{10}$ | $[\ ]_{5}^{2}$ | |
| 11.10.8.5 | $x^{10} + 35 x^{9} + 500 x^{8} + 3710 x^{7} + 14985 x^{6} + 31389 x^{5} + 30355 x^{4} + 19790 x^{3} + 37110 x^{2} + 111495 x + 148840$ | $5$ | $2$ | $8$ | $C_{10}$ | $[\ ]_{5}^{2}$ | |
| 11.10.8.5 | $x^{10} + 35 x^{9} + 500 x^{8} + 3710 x^{7} + 14985 x^{6} + 31389 x^{5} + 30355 x^{4} + 19790 x^{3} + 37110 x^{2} + 111495 x + 148840$ | $5$ | $2$ | $8$ | $C_{10}$ | $[\ ]_{5}^{2}$ |