Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^40 - 20*x^38 + 230*x^36 - 1800*x^34 + 10625*x^32 - 49003*x^30 + 181750*x^28 - 547185*x^26 + 1349050*x^24 - 2717025*x^22 + 4465008*x^20 - 5912800*x^18 + 6247290*x^16 - 5116175*x^14 + 3173350*x^12 - 1380878*x^10 + 400970*x^8 - 52915*x^6 + 4850*x^4 - 75*x^2 + 1)
gp: K = bnfinit(y^40 - 20*y^38 + 230*y^36 - 1800*y^34 + 10625*y^32 - 49003*y^30 + 181750*y^28 - 547185*y^26 + 1349050*y^24 - 2717025*y^22 + 4465008*y^20 - 5912800*y^18 + 6247290*y^16 - 5116175*y^14 + 3173350*y^12 - 1380878*y^10 + 400970*y^8 - 52915*y^6 + 4850*y^4 - 75*y^2 + 1, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^40 - 20*x^38 + 230*x^36 - 1800*x^34 + 10625*x^32 - 49003*x^30 + 181750*x^28 - 547185*x^26 + 1349050*x^24 - 2717025*x^22 + 4465008*x^20 - 5912800*x^18 + 6247290*x^16 - 5116175*x^14 + 3173350*x^12 - 1380878*x^10 + 400970*x^8 - 52915*x^6 + 4850*x^4 - 75*x^2 + 1);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^40 - 20*x^38 + 230*x^36 - 1800*x^34 + 10625*x^32 - 49003*x^30 + 181750*x^28 - 547185*x^26 + 1349050*x^24 - 2717025*x^22 + 4465008*x^20 - 5912800*x^18 + 6247290*x^16 - 5116175*x^14 + 3173350*x^12 - 1380878*x^10 + 400970*x^8 - 52915*x^6 + 4850*x^4 - 75*x^2 + 1)
\( x^{40} - 20 x^{38} + 230 x^{36} - 1800 x^{34} + 10625 x^{32} - 49003 x^{30} + 181750 x^{28} - 547185 x^{26} + \cdots + 1 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $40$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[0, 20]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(1298928410187363624572753906250000000000000000000000000000000000000000\)
\(\medspace = 2^{40}\cdot 3^{20}\cdot 5^{68}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(53.44\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $2\cdot 3^{1/2}5^{17/10}\approx 53.43670001107682$ | ||
| Ramified primes: |
\(2\), \(3\), \(5\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $40$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
| Conductor: | \(300=2^{2}\cdot 3\cdot 5^{2}\) | ||
| Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{300}(1,·)$, $\chi_{300}(131,·)$, $\chi_{300}(11,·)$, $\chi_{300}(109,·)$, $\chi_{300}(269,·)$, $\chi_{300}(271,·)$, $\chi_{300}(19,·)$, $\chi_{300}(149,·)$, $\chi_{300}(151,·)$, $\chi_{300}(281,·)$, $\chi_{300}(29,·)$, $\chi_{300}(31,·)$, $\chi_{300}(161,·)$, $\chi_{300}(41,·)$, $\chi_{300}(71,·)$, $\chi_{300}(49,·)$, $\chi_{300}(179,·)$, $\chi_{300}(181,·)$, $\chi_{300}(59,·)$, $\chi_{300}(61,·)$, $\chi_{300}(191,·)$, $\chi_{300}(139,·)$, $\chi_{300}(199,·)$, $\chi_{300}(119,·)$, $\chi_{300}(79,·)$, $\chi_{300}(209,·)$, $\chi_{300}(211,·)$, $\chi_{300}(89,·)$, $\chi_{300}(91,·)$, $\chi_{300}(221,·)$, $\chi_{300}(101,·)$, $\chi_{300}(229,·)$, $\chi_{300}(259,·)$, $\chi_{300}(289,·)$, $\chi_{300}(239,·)$, $\chi_{300}(241,·)$, $\chi_{300}(169,·)$, $\chi_{300}(121,·)$, $\chi_{300}(251,·)$, $\chi_{300}(299,·)$$\rbrace$ | ||
| This is a CM field. | |||
| Reflex fields: | unavailable$^{524288}$ | ||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $\frac{1}{7}a^{32}-\frac{2}{7}a^{30}+\frac{2}{7}a^{28}+\frac{3}{7}a^{24}+\frac{1}{7}a^{22}-\frac{2}{7}a^{18}-\frac{3}{7}a^{16}+\frac{3}{7}a^{14}+\frac{1}{7}a^{10}-\frac{1}{7}a^{8}+\frac{2}{7}a^{4}+\frac{3}{7}a^{2}-\frac{3}{7}$, $\frac{1}{7}a^{33}-\frac{2}{7}a^{31}+\frac{2}{7}a^{29}+\frac{3}{7}a^{25}+\frac{1}{7}a^{23}-\frac{2}{7}a^{19}-\frac{3}{7}a^{17}+\frac{3}{7}a^{15}+\frac{1}{7}a^{11}-\frac{1}{7}a^{9}+\frac{2}{7}a^{5}+\frac{3}{7}a^{3}-\frac{3}{7}a$, $\frac{1}{7}a^{34}-\frac{2}{7}a^{30}-\frac{3}{7}a^{28}+\frac{3}{7}a^{26}+\frac{2}{7}a^{22}-\frac{2}{7}a^{20}-\frac{3}{7}a^{16}-\frac{1}{7}a^{14}+\frac{1}{7}a^{12}+\frac{1}{7}a^{10}-\frac{2}{7}a^{8}+\frac{2}{7}a^{6}+\frac{3}{7}a^{2}+\frac{1}{7}$, $\frac{1}{7}a^{35}-\frac{2}{7}a^{31}-\frac{3}{7}a^{29}+\frac{3}{7}a^{27}+\frac{2}{7}a^{23}-\frac{2}{7}a^{21}-\frac{3}{7}a^{17}-\frac{1}{7}a^{15}+\frac{1}{7}a^{13}+\frac{1}{7}a^{11}-\frac{2}{7}a^{9}+\frac{2}{7}a^{7}+\frac{3}{7}a^{3}+\frac{1}{7}a$, $\frac{1}{1057}a^{36}-\frac{6}{151}a^{34}-\frac{3}{1057}a^{32}+\frac{503}{1057}a^{30}+\frac{463}{1057}a^{28}-\frac{2}{151}a^{26}+\frac{160}{1057}a^{24}-\frac{269}{1057}a^{22}+\frac{72}{151}a^{20}+\frac{328}{1057}a^{18}+\frac{457}{1057}a^{16}+\frac{390}{1057}a^{14}-\frac{104}{1057}a^{12}-\frac{465}{1057}a^{10}-\frac{123}{1057}a^{8}-\frac{22}{151}a^{6}+\frac{351}{1057}a^{4}+\frac{516}{1057}a^{2}-\frac{228}{1057}$, $\frac{1}{1057}a^{37}-\frac{6}{151}a^{35}-\frac{3}{1057}a^{33}+\frac{503}{1057}a^{31}+\frac{463}{1057}a^{29}-\frac{2}{151}a^{27}+\frac{160}{1057}a^{25}-\frac{269}{1057}a^{23}+\frac{72}{151}a^{21}+\frac{328}{1057}a^{19}+\frac{457}{1057}a^{17}+\frac{390}{1057}a^{15}-\frac{104}{1057}a^{13}-\frac{465}{1057}a^{11}-\frac{123}{1057}a^{9}-\frac{22}{151}a^{7}+\frac{351}{1057}a^{5}+\frac{516}{1057}a^{3}-\frac{228}{1057}a$, $\frac{1}{18\!\cdots\!51}a^{38}-\frac{15\!\cdots\!59}{26\!\cdots\!93}a^{36}-\frac{47\!\cdots\!58}{18\!\cdots\!51}a^{34}-\frac{10\!\cdots\!46}{18\!\cdots\!51}a^{32}+\frac{36\!\cdots\!63}{26\!\cdots\!93}a^{30}+\frac{90\!\cdots\!62}{18\!\cdots\!51}a^{28}-\frac{10\!\cdots\!80}{26\!\cdots\!93}a^{26}-\frac{80\!\cdots\!22}{18\!\cdots\!51}a^{24}-\frac{15\!\cdots\!15}{18\!\cdots\!51}a^{22}+\frac{74\!\cdots\!13}{18\!\cdots\!51}a^{20}+\frac{83\!\cdots\!02}{18\!\cdots\!51}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!33}{26\!\cdots\!93}a^{16}-\frac{82\!\cdots\!53}{26\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{71\!\cdots\!17}{18\!\cdots\!51}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!13}{26\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{74\!\cdots\!72}{18\!\cdots\!51}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!57}{18\!\cdots\!51}a^{6}-\frac{20\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!51}a^{4}-\frac{32\!\cdots\!82}{18\!\cdots\!51}a^{2}+\frac{54\!\cdots\!70}{18\!\cdots\!51}$, $\frac{1}{18\!\cdots\!51}a^{39}-\frac{15\!\cdots\!59}{26\!\cdots\!93}a^{37}-\frac{47\!\cdots\!58}{18\!\cdots\!51}a^{35}-\frac{10\!\cdots\!46}{18\!\cdots\!51}a^{33}+\frac{36\!\cdots\!63}{26\!\cdots\!93}a^{31}+\frac{90\!\cdots\!62}{18\!\cdots\!51}a^{29}-\frac{10\!\cdots\!80}{26\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{80\!\cdots\!22}{18\!\cdots\!51}a^{25}-\frac{15\!\cdots\!15}{18\!\cdots\!51}a^{23}+\frac{74\!\cdots\!13}{18\!\cdots\!51}a^{21}+\frac{83\!\cdots\!02}{18\!\cdots\!51}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!33}{26\!\cdots\!93}a^{17}-\frac{82\!\cdots\!53}{26\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{71\!\cdots\!17}{18\!\cdots\!51}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!13}{26\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{74\!\cdots\!72}{18\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!57}{18\!\cdots\!51}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!51}a^{5}-\frac{32\!\cdots\!82}{18\!\cdots\!51}a^{3}+\frac{54\!\cdots\!70}{18\!\cdots\!51}a$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
$C_{11}\times C_{55}$, which has order $605$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $19$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( \frac{60982801767390441554071367337047629250}{1882407816972786612108716536103085223451} a^{39} - \frac{1213794782372652920631719432053599379000}{1882407816972786612108716536103085223451} a^{37} + \frac{13908790224576361797650905026009808260985}{1882407816972786612108716536103085223451} a^{35} - \frac{108420547835145750095820544489227150733350}{1882407816972786612108716536103085223451} a^{33} + \frac{637388685179548060392678477680689857748000}{1882407816972786612108716536103085223451} a^{31} - \frac{2926049530117748539545923781139053315403625}{1882407816972786612108716536103085223451} a^{29} + \frac{1542339861080187372716350765320337278678875}{268915402424683801729816648014726460493} a^{27} - \frac{32303772672325487853334158331446881664055027}{1882407816972786612108716536103085223451} a^{25} + \frac{79063454558652641543575994694241142847422025}{1882407816972786612108716536103085223451} a^{23} - \frac{157793697230969287360314156678657208042636100}{1882407816972786612108716536103085223451} a^{21} + \frac{256394810026294995797732570712351494708372375}{1882407816972786612108716536103085223451} a^{19} - \frac{334490812535455175588602189457092734162481750}{1882407816972786612108716536103085223451} a^{17} + \frac{346486687276069007771254411843705604979062880}{1882407816972786612108716536103085223451} a^{15} - \frac{275642671629382105640711330056786688957004850}{1882407816972786612108716536103085223451} a^{13} + \frac{163845274629375733432108102813684197243671150}{1882407816972786612108716536103085223451} a^{11} - \frac{65896043620177710925924643221862793322828875}{1882407816972786612108716536103085223451} a^{9} + \frac{16546845794841566857231826268588526889049000}{1882407816972786612108716536103085223451} a^{7} - \frac{969383617920261423673130666850022214047330}{1882407816972786612108716536103085223451} a^{5} + \frac{15039422341862280240063950700811829009375}{1882407816972786612108716536103085223451} a^{3} + \frac{14813235805684446519030135164153967765650}{1882407816972786612108716536103085223451} a \)
(order $12$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{15\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!51}a^{39}-\frac{30\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!51}a^{37}+\frac{35\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!51}a^{35}-\frac{27\!\cdots\!70}{18\!\cdots\!51}a^{33}+\frac{16\!\cdots\!45}{18\!\cdots\!51}a^{31}-\frac{75\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!51}a^{29}+\frac{27\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!51}a^{27}-\frac{84\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!51}a^{25}+\frac{20\!\cdots\!95}{18\!\cdots\!51}a^{23}-\frac{41\!\cdots\!45}{18\!\cdots\!51}a^{21}+\frac{68\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!51}a^{19}-\frac{90\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!51}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!75}{26\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{77\!\cdots\!85}{18\!\cdots\!51}a^{13}+\frac{47\!\cdots\!10}{18\!\cdots\!51}a^{11}-\frac{20\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{58\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!51}a^{7}-\frac{73\!\cdots\!24}{18\!\cdots\!51}a^{5}+\frac{70\!\cdots\!85}{18\!\cdots\!51}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!15}{18\!\cdots\!51}a$, $\frac{94\!\cdots\!95}{18\!\cdots\!51}a^{39}-\frac{26\!\cdots\!95}{26\!\cdots\!93}a^{37}+\frac{21\!\cdots\!00}{18\!\cdots\!51}a^{35}-\frac{16\!\cdots\!84}{18\!\cdots\!51}a^{33}+\frac{99\!\cdots\!77}{18\!\cdots\!51}a^{31}-\frac{45\!\cdots\!15}{18\!\cdots\!51}a^{29}+\frac{17\!\cdots\!85}{18\!\cdots\!51}a^{27}-\frac{51\!\cdots\!00}{18\!\cdots\!51}a^{25}+\frac{12\!\cdots\!49}{18\!\cdots\!51}a^{23}-\frac{25\!\cdots\!67}{18\!\cdots\!51}a^{21}+\frac{41\!\cdots\!10}{18\!\cdots\!51}a^{19}-\frac{54\!\cdots\!15}{18\!\cdots\!51}a^{17}+\frac{57\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!51}a^{15}-\frac{47\!\cdots\!47}{18\!\cdots\!51}a^{13}+\frac{29\!\cdots\!46}{18\!\cdots\!51}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!35}{18\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{35\!\cdots\!00}{18\!\cdots\!51}a^{7}-\frac{44\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!51}a^{5}+\frac{42\!\cdots\!27}{18\!\cdots\!51}a^{3}-\frac{65\!\cdots\!79}{18\!\cdots\!51}a$, $\frac{13\!\cdots\!65}{26\!\cdots\!93}a^{39}-\frac{26\!\cdots\!25}{26\!\cdots\!93}a^{37}+\frac{30\!\cdots\!41}{26\!\cdots\!93}a^{35}-\frac{23\!\cdots\!07}{26\!\cdots\!93}a^{33}+\frac{13\!\cdots\!95}{26\!\cdots\!93}a^{31}-\frac{63\!\cdots\!10}{26\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{23\!\cdots\!75}{26\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{69\!\cdots\!76}{26\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!82}{26\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{33\!\cdots\!70}{26\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{54\!\cdots\!15}{26\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{71\!\cdots\!00}{26\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{73\!\cdots\!28}{26\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{58\!\cdots\!26}{26\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{34\!\cdots\!05}{26\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!25}{26\!\cdots\!93}a^{9}+\frac{35\!\cdots\!68}{26\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!48}{26\!\cdots\!93}a^{5}+\frac{31\!\cdots\!99}{26\!\cdots\!93}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!11}{26\!\cdots\!93}a$, $\frac{44\!\cdots\!35}{18\!\cdots\!51}a^{39}-\frac{88\!\cdots\!28}{18\!\cdots\!51}a^{37}+\frac{10\!\cdots\!64}{18\!\cdots\!51}a^{35}-\frac{80\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!51}a^{33}+\frac{47\!\cdots\!95}{18\!\cdots\!51}a^{31}-\frac{31\!\cdots\!61}{26\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{81\!\cdots\!83}{18\!\cdots\!51}a^{27}-\frac{24\!\cdots\!90}{18\!\cdots\!51}a^{25}+\frac{86\!\cdots\!05}{26\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{12\!\cdots\!20}{18\!\cdots\!51}a^{21}+\frac{19\!\cdots\!80}{18\!\cdots\!51}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!20}{18\!\cdots\!51}a^{17}+\frac{28\!\cdots\!60}{18\!\cdots\!51}a^{15}-\frac{23\!\cdots\!65}{18\!\cdots\!51}a^{13}+\frac{94\!\cdots\!30}{12\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{89\!\cdots\!90}{26\!\cdots\!93}a^{9}+\frac{18\!\cdots\!51}{18\!\cdots\!51}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!38}{18\!\cdots\!51}a^{5}+\frac{22\!\cdots\!60}{18\!\cdots\!51}a^{3}-\frac{34\!\cdots\!90}{18\!\cdots\!51}a$, $\frac{31\!\cdots\!55}{18\!\cdots\!51}a^{39}-\frac{63\!\cdots\!30}{18\!\cdots\!51}a^{37}+\frac{72\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!51}a^{35}-\frac{56\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!51}a^{33}+\frac{33\!\cdots\!84}{18\!\cdots\!51}a^{31}-\frac{15\!\cdots\!90}{18\!\cdots\!51}a^{29}+\frac{81\!\cdots\!85}{26\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{17\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!51}a^{25}+\frac{42\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!51}a^{23}-\frac{85\!\cdots\!49}{18\!\cdots\!51}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!60}{18\!\cdots\!51}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!30}{18\!\cdots\!51}a^{17}+\frac{19\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!51}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!51}a^{13}+\frac{97\!\cdots\!72}{18\!\cdots\!51}a^{11}-\frac{41\!\cdots\!20}{18\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!51}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!51}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!51}a^{3}-\frac{32\!\cdots\!27}{18\!\cdots\!51}a$, $\frac{26\!\cdots\!11}{18\!\cdots\!51}a^{39}-\frac{52\!\cdots\!64}{18\!\cdots\!51}a^{37}+\frac{86\!\cdots\!60}{26\!\cdots\!93}a^{35}-\frac{47\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!51}a^{33}+\frac{27\!\cdots\!31}{18\!\cdots\!51}a^{31}-\frac{12\!\cdots\!36}{18\!\cdots\!51}a^{29}+\frac{47\!\cdots\!69}{18\!\cdots\!51}a^{27}-\frac{14\!\cdots\!80}{18\!\cdots\!51}a^{25}+\frac{35\!\cdots\!10}{18\!\cdots\!51}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!38}{26\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!68}{18\!\cdots\!51}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!67}{18\!\cdots\!51}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!20}{18\!\cdots\!51}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!45}{18\!\cdots\!51}a^{13}+\frac{82\!\cdots\!98}{18\!\cdots\!51}a^{11}-\frac{35\!\cdots\!78}{18\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!79}{26\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!23}{18\!\cdots\!51}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!80}{18\!\cdots\!51}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!52}{18\!\cdots\!51}a$, $\frac{49\!\cdots\!90}{18\!\cdots\!51}a^{39}-\frac{98\!\cdots\!35}{18\!\cdots\!51}a^{37}+\frac{11\!\cdots\!64}{18\!\cdots\!51}a^{35}-\frac{88\!\cdots\!88}{18\!\cdots\!51}a^{33}+\frac{52\!\cdots\!97}{18\!\cdots\!51}a^{31}-\frac{24\!\cdots\!95}{18\!\cdots\!51}a^{29}+\frac{89\!\cdots\!37}{18\!\cdots\!51}a^{27}-\frac{26\!\cdots\!29}{18\!\cdots\!51}a^{25}+\frac{65\!\cdots\!20}{18\!\cdots\!51}a^{23}-\frac{87\!\cdots\!78}{12\!\cdots\!01}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!30}{18\!\cdots\!51}a^{19}-\frac{28\!\cdots\!00}{18\!\cdots\!51}a^{17}+\frac{30\!\cdots\!10}{18\!\cdots\!51}a^{15}-\frac{24\!\cdots\!80}{18\!\cdots\!51}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!21}{18\!\cdots\!51}a^{11}-\frac{65\!\cdots\!95}{18\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{18\!\cdots\!10}{18\!\cdots\!51}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!13}{18\!\cdots\!51}a^{5}+\frac{29\!\cdots\!45}{26\!\cdots\!93}a^{3}-\frac{50\!\cdots\!96}{18\!\cdots\!51}a$, $\frac{34\!\cdots\!20}{18\!\cdots\!51}a^{39}-\frac{69\!\cdots\!86}{18\!\cdots\!51}a^{37}+\frac{80\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!51}a^{35}-\frac{89\!\cdots\!23}{26\!\cdots\!93}a^{33}+\frac{37\!\cdots\!77}{18\!\cdots\!51}a^{31}-\frac{17\!\cdots\!80}{18\!\cdots\!51}a^{29}+\frac{63\!\cdots\!41}{18\!\cdots\!51}a^{27}-\frac{19\!\cdots\!80}{18\!\cdots\!51}a^{25}+\frac{47\!\cdots\!44}{18\!\cdots\!51}a^{23}-\frac{94\!\cdots\!02}{18\!\cdots\!51}a^{21}+\frac{22\!\cdots\!40}{26\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!08}{18\!\cdots\!51}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!45}{18\!\cdots\!51}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!18}{18\!\cdots\!51}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!84}{18\!\cdots\!51}a^{11}-\frac{47\!\cdots\!90}{18\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!07}{18\!\cdots\!51}a^{7}-\frac{25\!\cdots\!64}{26\!\cdots\!93}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!53}{18\!\cdots\!51}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!39}{12\!\cdots\!01}a$, $\frac{43\!\cdots\!95}{18\!\cdots\!51}a^{39}-\frac{86\!\cdots\!38}{18\!\cdots\!51}a^{37}+\frac{99\!\cdots\!39}{18\!\cdots\!51}a^{35}-\frac{77\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!51}a^{33}+\frac{45\!\cdots\!11}{18\!\cdots\!51}a^{31}-\frac{30\!\cdots\!61}{26\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{78\!\cdots\!03}{18\!\cdots\!51}a^{27}-\frac{23\!\cdots\!90}{18\!\cdots\!51}a^{25}+\frac{83\!\cdots\!55}{26\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!46}{18\!\cdots\!51}a^{21}+\frac{19\!\cdots\!40}{18\!\cdots\!51}a^{19}-\frac{25\!\cdots\!85}{18\!\cdots\!51}a^{17}+\frac{27\!\cdots\!10}{18\!\cdots\!51}a^{15}-\frac{22\!\cdots\!65}{18\!\cdots\!51}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!32}{18\!\cdots\!51}a^{11}-\frac{86\!\cdots\!40}{26\!\cdots\!93}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!81}{18\!\cdots\!51}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!38}{18\!\cdots\!51}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!10}{18\!\cdots\!51}a^{3}-\frac{33\!\cdots\!12}{18\!\cdots\!51}a$, $\frac{60\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!51}a^{39}-\frac{12\!\cdots\!00}{18\!\cdots\!51}a^{37}+\frac{13\!\cdots\!85}{18\!\cdots\!51}a^{35}-\frac{10\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!51}a^{33}+\frac{63\!\cdots\!00}{18\!\cdots\!51}a^{31}-\frac{29\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!51}a^{29}+\frac{15\!\cdots\!75}{26\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{32\!\cdots\!27}{18\!\cdots\!51}a^{25}+\frac{79\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!51}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!00}{18\!\cdots\!51}a^{21}+\frac{25\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!51}a^{19}-\frac{33\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!51}a^{17}+\frac{34\!\cdots\!80}{18\!\cdots\!51}a^{15}-\frac{27\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!51}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!51}a^{11}-\frac{65\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!00}{18\!\cdots\!51}a^{7}-\frac{96\!\cdots\!30}{18\!\cdots\!51}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!51}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!51}a+1$, $\frac{22\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!51}a^{39}+\frac{18\!\cdots\!20}{18\!\cdots\!51}a^{38}-\frac{45\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!51}a^{37}-\frac{37\!\cdots\!95}{18\!\cdots\!51}a^{36}+\frac{52\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!51}a^{35}+\frac{43\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!51}a^{34}-\frac{41\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!51}a^{33}-\frac{33\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!51}a^{32}+\frac{24\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!51}a^{31}+\frac{20\!\cdots\!87}{18\!\cdots\!51}a^{30}-\frac{11\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!51}a^{29}-\frac{92\!\cdots\!80}{18\!\cdots\!51}a^{28}+\frac{41\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!51}a^{27}+\frac{34\!\cdots\!45}{18\!\cdots\!51}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!51}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!50}{26\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{30\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!51}a^{23}+\frac{25\!\cdots\!00}{18\!\cdots\!51}a^{22}-\frac{62\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!51}a^{21}-\frac{51\!\cdots\!99}{18\!\cdots\!51}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!51}a^{19}+\frac{85\!\cdots\!85}{18\!\cdots\!51}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!51}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!05}{18\!\cdots\!51}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!51}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!75}{26\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!51}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!51}a^{12}+\frac{72\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!51}a^{11}+\frac{62\!\cdots\!97}{18\!\cdots\!51}a^{10}-\frac{31\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!51}a^{9}-\frac{28\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!51}a^{8}+\frac{91\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!51}a^{7}+\frac{84\!\cdots\!05}{18\!\cdots\!51}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!51}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!51}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!51}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!00}{18\!\cdots\!51}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!80}{15\!\cdots\!93}a-\frac{33\!\cdots\!63}{18\!\cdots\!51}$, $\frac{11\!\cdots\!75}{12\!\cdots\!01}a^{39}+\frac{12\!\cdots\!01}{26\!\cdots\!93}a^{38}-\frac{22\!\cdots\!75}{12\!\cdots\!01}a^{37}-\frac{16\!\cdots\!21}{18\!\cdots\!51}a^{36}+\frac{25\!\cdots\!12}{12\!\cdots\!01}a^{35}+\frac{19\!\cdots\!00}{18\!\cdots\!51}a^{34}-\frac{19\!\cdots\!30}{12\!\cdots\!01}a^{33}-\frac{15\!\cdots\!30}{18\!\cdots\!51}a^{32}+\frac{11\!\cdots\!35}{12\!\cdots\!01}a^{31}+\frac{88\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!51}a^{30}-\frac{54\!\cdots\!50}{12\!\cdots\!01}a^{29}-\frac{40\!\cdots\!77}{18\!\cdots\!51}a^{28}+\frac{20\!\cdots\!00}{12\!\cdots\!01}a^{27}+\frac{14\!\cdots\!35}{18\!\cdots\!51}a^{26}-\frac{61\!\cdots\!23}{12\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{44\!\cdots\!40}{18\!\cdots\!51}a^{24}+\frac{15\!\cdots\!35}{12\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!80}{18\!\cdots\!51}a^{22}-\frac{30\!\cdots\!85}{12\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{21\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!51}a^{20}+\frac{50\!\cdots\!25}{12\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{35\!\cdots\!55}{18\!\cdots\!51}a^{18}-\frac{67\!\cdots\!00}{12\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{45\!\cdots\!15}{18\!\cdots\!51}a^{16}+\frac{72\!\cdots\!45}{12\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{47\!\cdots\!10}{18\!\cdots\!51}a^{14}-\frac{59\!\cdots\!15}{12\!\cdots\!01}a^{13}-\frac{37\!\cdots\!45}{18\!\cdots\!51}a^{12}+\frac{37\!\cdots\!15}{12\!\cdots\!01}a^{11}+\frac{22\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!51}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!00}{12\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{89\!\cdots\!94}{18\!\cdots\!51}a^{8}+\frac{51\!\cdots\!00}{12\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{22\!\cdots\!07}{18\!\cdots\!51}a^{6}-\frac{78\!\cdots\!59}{12\!\cdots\!01}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!15}{18\!\cdots\!51}a^{4}+\frac{74\!\cdots\!40}{12\!\cdots\!01}a^{3}+\frac{20\!\cdots\!10}{18\!\cdots\!51}a^{2}-\frac{30\!\cdots\!85}{17\!\cdots\!43}a+\frac{68\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!51}$, $\frac{22\!\cdots\!35}{18\!\cdots\!51}a^{39}-\frac{63\!\cdots\!10}{18\!\cdots\!51}a^{38}-\frac{44\!\cdots\!76}{18\!\cdots\!51}a^{37}+\frac{12\!\cdots\!60}{18\!\cdots\!51}a^{36}+\frac{50\!\cdots\!37}{18\!\cdots\!51}a^{35}-\frac{14\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!51}a^{34}-\frac{39\!\cdots\!70}{18\!\cdots\!51}a^{33}+\frac{11\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!51}a^{32}+\frac{23\!\cdots\!28}{18\!\cdots\!51}a^{31}-\frac{67\!\cdots\!68}{18\!\cdots\!51}a^{30}-\frac{10\!\cdots\!55}{18\!\cdots\!51}a^{29}+\frac{30\!\cdots\!80}{18\!\cdots\!51}a^{28}+\frac{39\!\cdots\!91}{18\!\cdots\!51}a^{27}-\frac{16\!\cdots\!70}{26\!\cdots\!93}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!87}{18\!\cdots\!51}a^{25}+\frac{34\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!51}a^{24}+\frac{29\!\cdots\!70}{18\!\cdots\!51}a^{23}-\frac{84\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!51}a^{22}-\frac{59\!\cdots\!88}{18\!\cdots\!51}a^{21}+\frac{17\!\cdots\!98}{18\!\cdots\!51}a^{20}+\frac{97\!\cdots\!95}{18\!\cdots\!51}a^{19}-\frac{27\!\cdots\!20}{18\!\cdots\!51}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!38}{18\!\cdots\!51}a^{17}+\frac{36\!\cdots\!60}{18\!\cdots\!51}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!16}{18\!\cdots\!51}a^{15}-\frac{38\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!51}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!90}{26\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{31\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!51}a^{12}+\frac{67\!\cdots\!84}{18\!\cdots\!51}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!44}{18\!\cdots\!51}a^{10}-\frac{29\!\cdots\!40}{18\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{83\!\cdots\!40}{18\!\cdots\!51}a^{8}+\frac{83\!\cdots\!73}{18\!\cdots\!51}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!51}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!34}{18\!\cdots\!51}a^{5}+\frac{29\!\cdots\!00}{18\!\cdots\!51}a^{4}+\frac{97\!\cdots\!01}{18\!\cdots\!51}a^{3}-\frac{28\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!51}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!74}{18\!\cdots\!51}a+\frac{25\!\cdots\!05}{18\!\cdots\!51}$, $\frac{81\!\cdots\!60}{18\!\cdots\!51}a^{39}-\frac{31\!\cdots\!55}{18\!\cdots\!51}a^{38}-\frac{16\!\cdots\!73}{18\!\cdots\!51}a^{37}+\frac{63\!\cdots\!30}{18\!\cdots\!51}a^{36}+\frac{18\!\cdots\!15}{18\!\cdots\!51}a^{35}-\frac{72\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!51}a^{34}-\frac{14\!\cdots\!24}{18\!\cdots\!51}a^{33}+\frac{56\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!51}a^{32}+\frac{85\!\cdots\!39}{18\!\cdots\!51}a^{31}-\frac{33\!\cdots\!84}{18\!\cdots\!51}a^{30}-\frac{39\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!51}a^{29}+\frac{15\!\cdots\!90}{18\!\cdots\!51}a^{28}+\frac{20\!\cdots\!25}{26\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{81\!\cdots\!85}{26\!\cdots\!93}a^{26}-\frac{43\!\cdots\!69}{18\!\cdots\!51}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!51}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!89}{18\!\cdots\!51}a^{23}-\frac{42\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!51}a^{22}-\frac{21\!\cdots\!20}{18\!\cdots\!51}a^{21}+\frac{85\!\cdots\!49}{18\!\cdots\!51}a^{20}+\frac{34\!\cdots\!10}{18\!\cdots\!51}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!60}{18\!\cdots\!51}a^{18}-\frac{44\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!51}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!30}{18\!\cdots\!51}a^{16}+\frac{46\!\cdots\!20}{18\!\cdots\!51}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!51}a^{14}-\frac{37\!\cdots\!58}{18\!\cdots\!51}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!51}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!80}{18\!\cdots\!51}a^{11}-\frac{97\!\cdots\!72}{18\!\cdots\!51}a^{10}-\frac{88\!\cdots\!85}{18\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{41\!\cdots\!20}{18\!\cdots\!51}a^{8}+\frac{22\!\cdots\!26}{18\!\cdots\!51}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!51}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!70}{18\!\cdots\!51}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!51}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!33}{18\!\cdots\!51}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!51}a^{2}+\frac{26\!\cdots\!10}{18\!\cdots\!51}a-\frac{15\!\cdots\!24}{18\!\cdots\!51}$, $\frac{31\!\cdots\!55}{18\!\cdots\!51}a^{39}+\frac{63\!\cdots\!10}{18\!\cdots\!51}a^{38}-\frac{63\!\cdots\!30}{18\!\cdots\!51}a^{37}-\frac{12\!\cdots\!60}{18\!\cdots\!51}a^{36}+\frac{72\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!51}a^{35}+\frac{14\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!51}a^{34}-\frac{56\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!51}a^{33}-\frac{11\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!51}a^{32}+\frac{33\!\cdots\!84}{18\!\cdots\!51}a^{31}+\frac{67\!\cdots\!68}{18\!\cdots\!51}a^{30}-\frac{15\!\cdots\!90}{18\!\cdots\!51}a^{29}-\frac{30\!\cdots\!80}{18\!\cdots\!51}a^{28}+\frac{81\!\cdots\!85}{26\!\cdots\!93}a^{27}+\frac{16\!\cdots\!70}{26\!\cdots\!93}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!51}a^{25}-\frac{34\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!51}a^{24}+\frac{42\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!51}a^{23}+\frac{84\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!51}a^{22}-\frac{85\!\cdots\!49}{18\!\cdots\!51}a^{21}-\frac{17\!\cdots\!98}{18\!\cdots\!51}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!60}{18\!\cdots\!51}a^{19}+\frac{27\!\cdots\!20}{18\!\cdots\!51}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!30}{18\!\cdots\!51}a^{17}-\frac{36\!\cdots\!60}{18\!\cdots\!51}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!51}a^{15}+\frac{38\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!51}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!51}a^{13}-\frac{31\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!51}a^{12}+\frac{97\!\cdots\!72}{18\!\cdots\!51}a^{11}+\frac{19\!\cdots\!44}{18\!\cdots\!51}a^{10}-\frac{41\!\cdots\!20}{18\!\cdots\!51}a^{9}-\frac{83\!\cdots\!40}{18\!\cdots\!51}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!51}a^{7}+\frac{23\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!51}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!51}a^{5}-\frac{29\!\cdots\!00}{18\!\cdots\!51}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!51}a^{3}+\frac{28\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!51}a^{2}-\frac{32\!\cdots\!27}{18\!\cdots\!51}a-\frac{25\!\cdots\!05}{18\!\cdots\!51}$, $\frac{11\!\cdots\!68}{18\!\cdots\!51}a^{39}+\frac{31\!\cdots\!55}{18\!\cdots\!51}a^{38}-\frac{21\!\cdots\!32}{18\!\cdots\!51}a^{37}-\frac{63\!\cdots\!30}{18\!\cdots\!51}a^{36}+\frac{25\!\cdots\!90}{18\!\cdots\!51}a^{35}+\frac{72\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!51}a^{34}-\frac{28\!\cdots\!80}{26\!\cdots\!93}a^{33}-\frac{56\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!51}a^{32}+\frac{11\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!51}a^{31}+\frac{33\!\cdots\!84}{18\!\cdots\!51}a^{30}-\frac{53\!\cdots\!98}{18\!\cdots\!51}a^{29}-\frac{15\!\cdots\!90}{18\!\cdots\!51}a^{28}+\frac{19\!\cdots\!90}{18\!\cdots\!51}a^{27}+\frac{81\!\cdots\!85}{26\!\cdots\!93}a^{26}-\frac{58\!\cdots\!54}{18\!\cdots\!51}a^{25}-\frac{17\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!51}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!10}{18\!\cdots\!51}a^{23}+\frac{42\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!51}a^{22}-\frac{28\!\cdots\!00}{18\!\cdots\!51}a^{21}-\frac{85\!\cdots\!49}{18\!\cdots\!51}a^{20}+\frac{66\!\cdots\!35}{26\!\cdots\!93}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!60}{18\!\cdots\!51}a^{18}-\frac{60\!\cdots\!60}{18\!\cdots\!51}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!30}{18\!\cdots\!51}a^{16}+\frac{89\!\cdots\!80}{26\!\cdots\!93}a^{15}+\frac{19\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!51}a^{14}-\frac{50\!\cdots\!90}{18\!\cdots\!51}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!51}a^{12}+\frac{29\!\cdots\!00}{18\!\cdots\!51}a^{11}+\frac{97\!\cdots\!72}{18\!\cdots\!51}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!06}{18\!\cdots\!51}a^{9}-\frac{41\!\cdots\!20}{18\!\cdots\!51}a^{8}+\frac{30\!\cdots\!79}{18\!\cdots\!51}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!51}a^{6}-\frac{25\!\cdots\!40}{26\!\cdots\!93}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!51}a^{4}+\frac{27\!\cdots\!70}{18\!\cdots\!51}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!51}a^{2}+\frac{28\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!51}a+\frac{15\!\cdots\!24}{18\!\cdots\!51}$, $\frac{11\!\cdots\!75}{12\!\cdots\!01}a^{39}-\frac{58\!\cdots\!80}{18\!\cdots\!51}a^{38}-\frac{22\!\cdots\!75}{12\!\cdots\!01}a^{37}+\frac{11\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!51}a^{36}+\frac{25\!\cdots\!12}{12\!\cdots\!01}a^{35}-\frac{13\!\cdots\!21}{18\!\cdots\!51}a^{34}-\frac{19\!\cdots\!30}{12\!\cdots\!01}a^{33}+\frac{10\!\cdots\!69}{18\!\cdots\!51}a^{32}+\frac{11\!\cdots\!35}{12\!\cdots\!01}a^{31}-\frac{60\!\cdots\!45}{18\!\cdots\!51}a^{30}-\frac{54\!\cdots\!50}{12\!\cdots\!01}a^{29}+\frac{27\!\cdots\!95}{18\!\cdots\!51}a^{28}+\frac{20\!\cdots\!00}{12\!\cdots\!01}a^{27}-\frac{14\!\cdots\!50}{26\!\cdots\!93}a^{26}-\frac{61\!\cdots\!23}{12\!\cdots\!01}a^{25}+\frac{30\!\cdots\!81}{18\!\cdots\!51}a^{24}+\frac{15\!\cdots\!35}{12\!\cdots\!01}a^{23}-\frac{74\!\cdots\!14}{18\!\cdots\!51}a^{22}-\frac{30\!\cdots\!85}{12\!\cdots\!01}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!80}{18\!\cdots\!51}a^{20}+\frac{50\!\cdots\!25}{12\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!80}{18\!\cdots\!51}a^{18}-\frac{67\!\cdots\!00}{12\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{31\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!51}a^{16}+\frac{72\!\cdots\!45}{12\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{32\!\cdots\!18}{18\!\cdots\!51}a^{14}-\frac{59\!\cdots\!15}{12\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{25\!\cdots\!22}{18\!\cdots\!51}a^{12}+\frac{37\!\cdots\!15}{12\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!20}{18\!\cdots\!51}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!00}{12\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{61\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!51}a^{8}+\frac{51\!\cdots\!00}{12\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!76}{18\!\cdots\!51}a^{6}-\frac{78\!\cdots\!59}{12\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{89\!\cdots\!63}{18\!\cdots\!51}a^{4}+\frac{74\!\cdots\!40}{12\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!53}{18\!\cdots\!51}a^{2}-\frac{30\!\cdots\!85}{17\!\cdots\!43}a-\frac{34\!\cdots\!27}{18\!\cdots\!51}$, $\frac{51\!\cdots\!00}{18\!\cdots\!51}a^{39}+\frac{38\!\cdots\!90}{26\!\cdots\!93}a^{38}-\frac{10\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!51}a^{37}-\frac{53\!\cdots\!12}{18\!\cdots\!51}a^{36}+\frac{11\!\cdots\!79}{18\!\cdots\!51}a^{35}+\frac{61\!\cdots\!02}{18\!\cdots\!51}a^{34}-\frac{93\!\cdots\!10}{18\!\cdots\!51}a^{33}-\frac{48\!\cdots\!14}{18\!\cdots\!51}a^{32}+\frac{54\!\cdots\!70}{18\!\cdots\!51}a^{31}+\frac{28\!\cdots\!28}{18\!\cdots\!51}a^{30}-\frac{36\!\cdots\!25}{26\!\cdots\!93}a^{29}-\frac{18\!\cdots\!60}{26\!\cdots\!93}a^{28}+\frac{94\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!51}a^{27}+\frac{49\!\cdots\!62}{18\!\cdots\!51}a^{26}-\frac{28\!\cdots\!27}{18\!\cdots\!51}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!10}{18\!\cdots\!51}a^{24}+\frac{99\!\cdots\!35}{26\!\cdots\!93}a^{23}+\frac{52\!\cdots\!18}{26\!\cdots\!93}a^{22}-\frac{14\!\cdots\!70}{18\!\cdots\!51}a^{21}-\frac{74\!\cdots\!78}{18\!\cdots\!51}a^{20}+\frac{23\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!51}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!20}{18\!\cdots\!51}a^{18}-\frac{30\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!51}a^{17}-\frac{16\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!51}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!30}{18\!\cdots\!51}a^{15}+\frac{25\!\cdots\!70}{26\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{26\!\cdots\!80}{18\!\cdots\!51}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!22}{18\!\cdots\!51}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!80}{18\!\cdots\!51}a^{11}+\frac{92\!\cdots\!16}{18\!\cdots\!51}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!75}{26\!\cdots\!93}a^{9}-\frac{59\!\cdots\!80}{26\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{20\!\cdots\!00}{18\!\cdots\!51}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!34}{18\!\cdots\!51}a^{6}-\frac{26\!\cdots\!08}{18\!\cdots\!51}a^{5}-\frac{18\!\cdots\!80}{18\!\cdots\!51}a^{4}+\frac{33\!\cdots\!15}{26\!\cdots\!93}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!82}{18\!\cdots\!51}a^{2}-\frac{20\!\cdots\!40}{18\!\cdots\!51}a-\frac{24\!\cdots\!96}{18\!\cdots\!51}$, $\frac{67\!\cdots\!20}{26\!\cdots\!93}a^{39}+\frac{31\!\cdots\!55}{18\!\cdots\!51}a^{38}-\frac{94\!\cdots\!80}{18\!\cdots\!51}a^{37}-\frac{63\!\cdots\!30}{18\!\cdots\!51}a^{36}+\frac{10\!\cdots\!37}{18\!\cdots\!51}a^{35}+\frac{72\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!51}a^{34}-\frac{83\!\cdots\!06}{18\!\cdots\!51}a^{33}-\frac{56\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!51}a^{32}+\frac{49\!\cdots\!51}{18\!\cdots\!51}a^{31}+\frac{33\!\cdots\!84}{18\!\cdots\!51}a^{30}-\frac{32\!\cdots\!25}{26\!\cdots\!93}a^{29}-\frac{15\!\cdots\!90}{18\!\cdots\!51}a^{28}+\frac{83\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!51}a^{27}+\frac{81\!\cdots\!85}{26\!\cdots\!93}a^{26}-\frac{35\!\cdots\!26}{26\!\cdots\!93}a^{25}-\frac{17\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!51}a^{24}+\frac{87\!\cdots\!43}{26\!\cdots\!93}a^{23}+\frac{42\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!51}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!00}{18\!\cdots\!51}a^{21}-\frac{85\!\cdots\!49}{18\!\cdots\!51}a^{20}+\frac{19\!\cdots\!65}{18\!\cdots\!51}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!60}{18\!\cdots\!51}a^{18}-\frac{25\!\cdots\!00}{18\!\cdots\!51}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!30}{18\!\cdots\!51}a^{16}+\frac{38\!\cdots\!28}{26\!\cdots\!93}a^{15}+\frac{19\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!51}a^{14}-\frac{30\!\cdots\!91}{26\!\cdots\!93}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!51}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!00}{18\!\cdots\!51}a^{11}+\frac{97\!\cdots\!72}{18\!\cdots\!51}a^{10}-\frac{72\!\cdots\!45}{26\!\cdots\!93}a^{9}-\frac{41\!\cdots\!20}{18\!\cdots\!51}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!11}{18\!\cdots\!51}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!51}a^{6}-\frac{74\!\cdots\!36}{18\!\cdots\!51}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!51}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!87}{18\!\cdots\!51}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!51}a^{2}+\frac{21\!\cdots\!90}{18\!\cdots\!51}a+\frac{15\!\cdots\!24}{18\!\cdots\!51}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 12293887094064384 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{0}\cdot(2\pi)^{20}\cdot 12293887094064384 \cdot 605}{12\cdot\sqrt{1298928410187363624572753906250000000000000000000000000000000000000000}}\cr\approx \mathstrut & 0.158149603763559 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^40 - 20*x^38 + 230*x^36 - 1800*x^34 + 10625*x^32 - 49003*x^30 + 181750*x^28 - 547185*x^26 + 1349050*x^24 - 2717025*x^22 + 4465008*x^20 - 5912800*x^18 + 6247290*x^16 - 5116175*x^14 + 3173350*x^12 - 1380878*x^10 + 400970*x^8 - 52915*x^6 + 4850*x^4 - 75*x^2 + 1)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^40 - 20*x^38 + 230*x^36 - 1800*x^34 + 10625*x^32 - 49003*x^30 + 181750*x^28 - 547185*x^26 + 1349050*x^24 - 2717025*x^22 + 4465008*x^20 - 5912800*x^18 + 6247290*x^16 - 5116175*x^14 + 3173350*x^12 - 1380878*x^10 + 400970*x^8 - 52915*x^6 + 4850*x^4 - 75*x^2 + 1, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^40 - 20*x^38 + 230*x^36 - 1800*x^34 + 10625*x^32 - 49003*x^30 + 181750*x^28 - 547185*x^26 + 1349050*x^24 - 2717025*x^22 + 4465008*x^20 - 5912800*x^18 + 6247290*x^16 - 5116175*x^14 + 3173350*x^12 - 1380878*x^10 + 400970*x^8 - 52915*x^6 + 4850*x^4 - 75*x^2 + 1);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^40 - 20*x^38 + 230*x^36 - 1800*x^34 + 10625*x^32 - 49003*x^30 + 181750*x^28 - 547185*x^26 + 1349050*x^24 - 2717025*x^22 + 4465008*x^20 - 5912800*x^18 + 6247290*x^16 - 5116175*x^14 + 3173350*x^12 - 1380878*x^10 + 400970*x^8 - 52915*x^6 + 4850*x^4 - 75*x^2 + 1);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$C_2^2\times C_{10}$ (as 40T7):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| An abelian group of order 40 |
| The 40 conjugacy class representatives for $C_2^2\times C_{10}$ |
| Character table for $C_2^2\times C_{10}$ is not computed |
Intermediate fields
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | R | R | R | ${\href{/padicField/7.2.0.1}{2} }^{20}$ | ${\href{/padicField/11.10.0.1}{10} }^{4}$ | ${\href{/padicField/13.10.0.1}{10} }^{4}$ | ${\href{/padicField/17.10.0.1}{10} }^{4}$ | ${\href{/padicField/19.10.0.1}{10} }^{4}$ | ${\href{/padicField/23.10.0.1}{10} }^{4}$ | ${\href{/padicField/29.10.0.1}{10} }^{4}$ | ${\href{/padicField/31.10.0.1}{10} }^{4}$ | ${\href{/padicField/37.10.0.1}{10} }^{4}$ | ${\href{/padicField/41.10.0.1}{10} }^{4}$ | ${\href{/padicField/43.2.0.1}{2} }^{20}$ | ${\href{/padicField/47.10.0.1}{10} }^{4}$ | ${\href{/padicField/53.10.0.1}{10} }^{4}$ | ${\href{/padicField/59.10.0.1}{10} }^{4}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(2\)
| Deg $20$ | $2$ | $10$ | $20$ | |||
| Deg $20$ | $2$ | $10$ | $20$ | ||||
|
\(3\)
| 3.20.10.1 | $x^{20} + 30 x^{18} + 409 x^{16} + 4 x^{15} + 3244 x^{14} - 60 x^{13} + 16162 x^{12} - 1250 x^{11} + 53008 x^{10} - 7102 x^{9} + 121150 x^{8} - 12140 x^{7} + 219264 x^{6} + 5736 x^{5} + 257465 x^{4} + 35250 x^{3} + 250183 x^{2} + 51502 x + 77812$ | $2$ | $10$ | $10$ | 20T3 | $[\ ]_{2}^{10}$ |
| 3.20.10.1 | $x^{20} + 30 x^{18} + 409 x^{16} + 4 x^{15} + 3244 x^{14} - 60 x^{13} + 16162 x^{12} - 1250 x^{11} + 53008 x^{10} - 7102 x^{9} + 121150 x^{8} - 12140 x^{7} + 219264 x^{6} + 5736 x^{5} + 257465 x^{4} + 35250 x^{3} + 250183 x^{2} + 51502 x + 77812$ | $2$ | $10$ | $10$ | 20T3 | $[\ ]_{2}^{10}$ | |
|
\(5\)
| Deg $20$ | $10$ | $2$ | $34$ | |||
| Deg $20$ | $10$ | $2$ | $34$ |