LMFDB - Number field 39.39.118129027602237903625231846226768806470030318124152946028448455403348348206499160462586488797476753449.2

Show commands: Magma / Oscar / PariGP / SageMath

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^39 - x^38 - 354*x^37 + 511*x^36 + 56045*x^35 - 103251*x^34 - 5247131*x^33 + 11548919*x^32 + 323858271*x^31 - 818077472*x^30 - 13912915879*x^29 + 39305918508*x^28 + 428252335706*x^27 - 1330679343737*x^26 - 9579637340859*x^25 + 32404331102658*x^24 + 156314779697940*x^23 - 572661461636511*x^22 - 1851957964341868*x^21 + 7341898588148461*x^20 + 15740944592310945*x^19 - 67699689278718824*x^18 - 94298948980717131*x^17 + 441371170652289465*x^16 + 391057744594350035*x^15 - 1980375180524138330*x^14 - 1121115212503618422*x^13 + 5873379572582775725*x^12 + 2334047970653280778*x^11 - 10818653588566378140*x^10 - 3849139231012138630*x^9 + 11165439791508447499*x^8 + 4690051537532888413*x^7 - 5357278100940296591*x^6 - 2992545959704021257*x^5 + 706803441870504299*x^4 + 694897163472669662*x^3 + 124066763635805181*x^2 + 4291829198615412*x - 176560760826029)

gp: K = bnfinit(y^39 - y^38 - 354*y^37 + 511*y^36 + 56045*y^35 - 103251*y^34 - 5247131*y^33 + 11548919*y^32 + 323858271*y^31 - 818077472*y^30 - 13912915879*y^29 + 39305918508*y^28 + 428252335706*y^27 - 1330679343737*y^26 - 9579637340859*y^25 + 32404331102658*y^24 + 156314779697940*y^23 - 572661461636511*y^22 - 1851957964341868*y^21 + 7341898588148461*y^20 + 15740944592310945*y^19 - 67699689278718824*y^18 - 94298948980717131*y^17 + 441371170652289465*y^16 + 391057744594350035*y^15 - 1980375180524138330*y^14 - 1121115212503618422*y^13 + 5873379572582775725*y^12 + 2334047970653280778*y^11 - 10818653588566378140*y^10 - 3849139231012138630*y^9 + 11165439791508447499*y^8 + 4690051537532888413*y^7 - 5357278100940296591*y^6 - 2992545959704021257*y^5 + 706803441870504299*y^4 + 694897163472669662*y^3 + 124066763635805181*y^2 + 4291829198615412*y - 176560760826029, 1)

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^39 - x^38 - 354*x^37 + 511*x^36 + 56045*x^35 - 103251*x^34 - 5247131*x^33 + 11548919*x^32 + 323858271*x^31 - 818077472*x^30 - 13912915879*x^29 + 39305918508*x^28 + 428252335706*x^27 - 1330679343737*x^26 - 9579637340859*x^25 + 32404331102658*x^24 + 156314779697940*x^23 - 572661461636511*x^22 - 1851957964341868*x^21 + 7341898588148461*x^20 + 15740944592310945*x^19 - 67699689278718824*x^18 - 94298948980717131*x^17 + 441371170652289465*x^16 + 391057744594350035*x^15 - 1980375180524138330*x^14 - 1121115212503618422*x^13 + 5873379572582775725*x^12 + 2334047970653280778*x^11 - 10818653588566378140*x^10 - 3849139231012138630*x^9 + 11165439791508447499*x^8 + 4690051537532888413*x^7 - 5357278100940296591*x^6 - 2992545959704021257*x^5 + 706803441870504299*x^4 + 694897163472669662*x^3 + 124066763635805181*x^2 + 4291829198615412*x - 176560760826029);

oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^39 - x^38 - 354*x^37 + 511*x^36 + 56045*x^35 - 103251*x^34 - 5247131*x^33 + 11548919*x^32 + 323858271*x^31 - 818077472*x^30 - 13912915879*x^29 + 39305918508*x^28 + 428252335706*x^27 - 1330679343737*x^26 - 9579637340859*x^25 + 32404331102658*x^24 + 156314779697940*x^23 - 572661461636511*x^22 - 1851957964341868*x^21 + 7341898588148461*x^20 + 15740944592310945*x^19 - 67699689278718824*x^18 - 94298948980717131*x^17 + 441371170652289465*x^16 + 391057744594350035*x^15 - 1980375180524138330*x^14 - 1121115212503618422*x^13 + 5873379572582775725*x^12 + 2334047970653280778*x^11 - 10818653588566378140*x^10 - 3849139231012138630*x^9 + 11165439791508447499*x^8 + 4690051537532888413*x^7 - 5357278100940296591*x^6 - 2992545959704021257*x^5 + 706803441870504299*x^4 + 694897163472669662*x^3 + 124066763635805181*x^2 + 4291829198615412*x - 176560760826029)

$ x^{39} - x^{38} - 354 x^{37} + 511 x^{36} + 56045 x^{35} - 103251 x^{34} - 5247131 x^{33} + \cdots - 176560760826029 $ x^39 - x^38 - 354*x^37 + 511*x^36 + 56045*x^35 - 103251*x^34 - 5247131*x^33 + 11548919*x^32 + 323858271*x^31 - 818077472*x^30 - 13912915879*x^29 + 39305918508*x^28 + 428252335706*x^27 - 1330679343737*x^26 - 9579637340859*x^25 + 32404331102658*x^24 + 156314779697940*x^23 - 572661461636511*x^22 - 1851957964341868*x^21 + 7341898588148461*x^20 + 15740944592310945*x^19 - 67699689278718824*x^18 - 94298948980717131*x^17 + 441371170652289465*x^16 + 391057744594350035*x^15 - 1980375180524138330*x^14 - 1121115212503618422*x^13 + 5873379572582775725*x^12 + 2334047970653280778*x^11 - 10818653588566378140*x^10 - 3849139231012138630*x^9 + 11165439791508447499*x^8 + 4690051537532888413*x^7 - 5357278100940296591*x^6 - 2992545959704021257*x^5 + 706803441870504299*x^4 + 694897163472669662*x^3 + 124066763635805181*x^2 + 4291829198615412*x - 176560760826029

sage: K.defining_polynomial()

gp: K.pol

magma: DefiningPolynomial(K);

oscar: defining_polynomial(K)

Invariants

Degree:	$39$	sage: K.degree() gp: poldegree(K.pol) magma: Degree(K); oscar: degree(K)
Signature:	$[39, 0]$	sage: K.signature() gp: K.sign magma: Signature(K); oscar: signature(K)
Discriminant:	$118\!\cdots\!449$ 118129027602237903625231846226768806470030318124152946028448455403348348206499160462586488797476753449 $\medspace = 13^{26}\cdot 79^{38}$	sage: K.disc() gp: K.disc magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK); oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
Root discriminant:	$390.48$	sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree()) gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol)) magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K)); oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
Galois root discriminant:	$13^{2/3}79^{38/39}\approx 390.4800838648001$
Ramified primes:	$13$, $79$ 13, 79	sage: K.disc().support() gp: factor(abs(K.disc))[,1]~ magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK)); oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
Discriminant root field:	$\Q$
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:	$39$	sage: K.automorphisms() magma: Automorphisms(K); oscar: automorphisms(K)
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:	$1027=13\cdot 79$
Dirichlet character group:	$\lbrace$$\chi_{1027}(1,·)$, $\chi_{1027}(131,·)$, $\chi_{1027}(516,·)$, $\chi_{1027}(263,·)$, $\chi_{1027}(783,·)$, $\chi_{1027}(144,·)$, $\chi_{1027}(529,·)$, $\chi_{1027}(406,·)$, $\chi_{1027}(900,·)$, $\chi_{1027}(282,·)$, $\chi_{1027}(417,·)$, $\chi_{1027}(326,·)$, $\chi_{1027}(809,·)$, $\chi_{1027}(555,·)$, $\chi_{1027}(562,·)$, $\chi_{1027}(815,·)$, $\chi_{1027}(945,·)$, $\chi_{1027}(178,·)$, $\chi_{1027}(822,·)$, $\chi_{1027}(952,·)$, $\chi_{1027}(445,·)$, $\chi_{1027}(705,·)$, $\chi_{1027}(196,·)$, $\chi_{1027}(198,·)$, $\chi_{1027}(841,·)$, $\chi_{1027}(724,·)$, $\chi_{1027}(599,·)$, $\chi_{1027}(984,·)$, $\chi_{1027}(729,·)$, $\chi_{1027}(222,·)$, $\chi_{1027}(482,·)$, $\chi_{1027}(997,·)$, $\chi_{1027}(360,·)$, $\chi_{1027}(874,·)$, $\chi_{1027}(495,·)$, $\chi_{1027}(497,·)$, $\chi_{1027}(1015,·)$, $\chi_{1027}(378,·)$, $\chi_{1027}(490,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator $a$)

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $\frac{1}{23}a^{19}-\frac{1}{23}a^{18}-\frac{7}{23}a^{17}+\frac{2}{23}a^{16}+\frac{11}{23}a^{15}+\frac{5}{23}a^{14}-\frac{3}{23}a^{13}+\frac{7}{23}a^{12}+\frac{3}{23}a^{11}-\frac{1}{23}a^{10}+\frac{8}{23}a^{9}+\frac{6}{23}a^{8}+\frac{5}{23}a^{7}-\frac{9}{23}a^{6}-\frac{5}{23}a^{5}-\frac{2}{23}a^{4}-\frac{6}{23}a^{3}-\frac{7}{23}a^{2}-\frac{7}{23}a$, $\frac{1}{23}a^{20}-\frac{8}{23}a^{18}-\frac{5}{23}a^{17}-\frac{10}{23}a^{16}-\frac{7}{23}a^{15}+\frac{2}{23}a^{14}+\frac{4}{23}a^{13}+\frac{10}{23}a^{12}+\frac{2}{23}a^{11}+\frac{7}{23}a^{10}-\frac{9}{23}a^{9}+\frac{11}{23}a^{8}-\frac{4}{23}a^{7}+\frac{9}{23}a^{6}-\frac{7}{23}a^{5}-\frac{8}{23}a^{4}+\frac{10}{23}a^{3}+\frac{9}{23}a^{2}-\frac{7}{23}a$, $\frac{1}{23}a^{21}+\frac{10}{23}a^{18}+\frac{3}{23}a^{17}+\frac{9}{23}a^{16}-\frac{2}{23}a^{15}-\frac{2}{23}a^{14}+\frac{9}{23}a^{13}-\frac{11}{23}a^{12}+\frac{8}{23}a^{11}+\frac{6}{23}a^{10}+\frac{6}{23}a^{9}-\frac{2}{23}a^{8}+\frac{3}{23}a^{7}-\frac{10}{23}a^{6}-\frac{2}{23}a^{5}-\frac{6}{23}a^{4}+\frac{7}{23}a^{3}+\frac{6}{23}a^{2}-\frac{10}{23}a$, $\frac{1}{23}a^{22}-\frac{10}{23}a^{18}+\frac{10}{23}a^{17}+\frac{1}{23}a^{16}+\frac{3}{23}a^{15}+\frac{5}{23}a^{14}-\frac{4}{23}a^{13}+\frac{7}{23}a^{12}-\frac{1}{23}a^{11}-\frac{7}{23}a^{10}+\frac{10}{23}a^{9}-\frac{11}{23}a^{8}+\frac{9}{23}a^{7}-\frac{4}{23}a^{6}-\frac{2}{23}a^{5}+\frac{4}{23}a^{4}-\frac{3}{23}a^{3}-\frac{9}{23}a^{2}+\frac{1}{23}a$, $\frac{1}{23}a^{23}-\frac{1}{23}a$, $\frac{1}{23}a^{24}-\frac{1}{23}a^{2}$, $\frac{1}{23}a^{25}-\frac{1}{23}a^{3}$, $\frac{1}{23}a^{26}-\frac{1}{23}a^{4}$, $\frac{1}{23}a^{27}-\frac{1}{23}a^{5}$, $\frac{1}{23}a^{28}-\frac{1}{23}a^{6}$, $\frac{1}{23}a^{29}-\frac{1}{23}a^{7}$, $\frac{1}{23}a^{30}-\frac{1}{23}a^{8}$, $\frac{1}{23}a^{31}-\frac{1}{23}a^{9}$, $\frac{1}{23}a^{32}-\frac{1}{23}a^{10}$, $\frac{1}{83053}a^{33}+\frac{800}{83053}a^{32}+\frac{911}{83053}a^{31}-\frac{842}{83053}a^{30}-\frac{1209}{83053}a^{29}-\frac{501}{83053}a^{28}+\frac{1777}{83053}a^{27}-\frac{932}{83053}a^{26}+\frac{658}{83053}a^{25}-\frac{1475}{83053}a^{24}-\frac{1053}{83053}a^{23}+\frac{539}{83053}a^{22}-\frac{1429}{83053}a^{21}+\frac{1749}{83053}a^{20}+\frac{1442}{83053}a^{19}-\frac{13655}{83053}a^{18}-\frac{25901}{83053}a^{17}+\frac{35839}{83053}a^{16}-\frac{8167}{83053}a^{15}+\frac{395}{3611}a^{14}+\frac{16449}{83053}a^{13}-\frac{33884}{83053}a^{12}+\frac{16598}{83053}a^{11}+\frac{39}{157}a^{10}+\frac{3752}{83053}a^{9}+\frac{11540}{83053}a^{8}+\frac{38097}{83053}a^{7}+\frac{31682}{83053}a^{6}+\frac{1802}{83053}a^{5}-\frac{30905}{83053}a^{4}-\frac{24048}{83053}a^{3}-\frac{37767}{83053}a^{2}+\frac{1871}{83053}a-\frac{114}{3611}$, $\frac{1}{83053}a^{34}+\frac{58}{83053}a^{32}-\frac{220}{83053}a^{31}+\frac{745}{83053}a^{30}-\frac{1049}{83053}a^{29}+\frac{1756}{83053}a^{28}+\frac{202}{83053}a^{27}-\frac{53}{3611}a^{26}-\frac{669}{83053}a^{25}+\frac{1761}{83053}a^{24}+\frac{1576}{83053}a^{23}+\frac{691}{83053}a^{22}+\frac{262}{83053}a^{21}-\frac{301}{83053}a^{20}-\frac{902}{83053}a^{19}-\frac{36009}{83053}a^{18}+\frac{25888}{83053}a^{17}-\frac{1134}{3611}a^{16}-\frac{25724}{83053}a^{15}+\frac{17392}{83053}a^{14}+\frac{34009}{83053}a^{13}+\frac{23243}{83053}a^{12}-\frac{27065}{83053}a^{11}+\frac{12055}{83053}a^{10}-\frac{32651}{83053}a^{9}-\frac{7519}{83053}a^{8}-\frac{34076}{83053}a^{7}-\frac{27077}{83053}a^{6}+\frac{22449}{83053}a^{5}+\frac{22378}{83053}a^{4}-\frac{24331}{83053}a^{3}+\frac{38344}{83053}a^{2}+\frac{2754}{83053}a+\frac{925}{3611}$, $\frac{1}{83053}a^{35}+\frac{323}{83053}a^{32}-\frac{1539}{83053}a^{31}+\frac{844}{83053}a^{30}-\frac{342}{83053}a^{29}+\frac{372}{83053}a^{28}+\frac{434}{83053}a^{27}-\frac{778}{83053}a^{26}-\frac{293}{83053}a^{25}+\frac{462}{83053}a^{24}+\frac{378}{83053}a^{23}+\frac{1499}{83053}a^{22}-\frac{472}{83053}a^{21}-\frac{1236}{83053}a^{20}-\frac{482}{83053}a^{19}-\frac{19874}{83053}a^{18}-\frac{36833}{83053}a^{17}-\frac{20839}{83053}a^{16}+\frac{28870}{83053}a^{15}-\frac{30713}{83053}a^{14}-\frac{17216}{83053}a^{13}+\frac{24377}{83053}a^{12}-\frac{8158}{83053}a^{11}-\frac{1509}{83053}a^{10}+\frac{9580}{83053}a^{9}-\frac{17306}{83053}a^{8}-\frac{19549}{83053}a^{7}-\frac{2385}{83053}a^{6}+\frac{22581}{83053}a^{5}-\frac{8453}{83053}a^{4}+\frac{17616}{83053}a^{3}-\frac{13081}{83053}a^{2}-\frac{40300}{83053}a-\frac{610}{3611}$, $\frac{1}{83053}a^{36}+\frac{53}{83053}a^{32}-\frac{918}{83053}a^{31}+\frac{799}{83053}a^{30}+\frac{891}{83053}a^{29}-\frac{238}{83053}a^{28}-\frac{600}{83053}a^{27}+\frac{1030}{83053}a^{26}+\frac{977}{83053}a^{25}+\frac{151}{83053}a^{24}-\frac{1427}{83053}a^{23}-\frac{1241}{83053}a^{22}+\frac{1734}{83053}a^{21}+\frac{66}{3611}a^{20}-\frac{1766}{83053}a^{19}+\frac{11644}{83053}a^{18}-\frac{10670}{83053}a^{17}-\frac{905}{3611}a^{16}+\frac{86}{83053}a^{15}-\frac{23150}{83053}a^{14}+\frac{8687}{83053}a^{13}+\frac{5877}{83053}a^{12}+\frac{24949}{83053}a^{11}-\frac{2771}{83053}a^{10}-\frac{33961}{83053}a^{9}+\frac{22915}{83053}a^{8}-\frac{37538}{83053}a^{7}-\frac{9630}{83053}a^{6}-\frac{5517}{83053}a^{5}+\frac{19127}{83053}a^{4}+\frac{16050}{83053}a^{3}-\frac{10629}{83053}a^{2}+\frac{35228}{83053}a+\frac{712}{3611}$, $\frac{1}{26327801}a^{37}-\frac{78}{26327801}a^{36}-\frac{47}{26327801}a^{35}+\frac{97}{26327801}a^{34}+\frac{63}{26327801}a^{33}-\frac{320764}{26327801}a^{32}+\frac{291390}{26327801}a^{31}-\frac{221415}{26327801}a^{30}-\frac{250558}{26327801}a^{29}+\frac{274132}{26327801}a^{28}-\frac{83255}{26327801}a^{27}-\frac{498961}{26327801}a^{26}+\frac{157450}{26327801}a^{25}-\frac{539665}{26327801}a^{24}+\frac{25203}{26327801}a^{23}+\frac{519372}{26327801}a^{22}-\frac{367640}{26327801}a^{21}-\frac{420441}{26327801}a^{20}+\frac{348131}{26327801}a^{19}-\frac{891553}{26327801}a^{18}+\frac{114866}{26327801}a^{17}+\frac{7891851}{26327801}a^{16}-\frac{8964881}{26327801}a^{15}-\frac{10552915}{26327801}a^{14}-\frac{6517216}{26327801}a^{13}+\frac{7558555}{26327801}a^{12}+\frac{2774821}{26327801}a^{11}+\frac{197043}{1144687}a^{10}-\frac{6656726}{26327801}a^{9}+\frac{8943928}{26327801}a^{8}+\frac{9918569}{26327801}a^{7}+\frac{2711552}{26327801}a^{6}+\frac{5848310}{26327801}a^{5}+\frac{6665370}{26327801}a^{4}-\frac{6828780}{26327801}a^{3}+\frac{8283744}{26327801}a^{2}-\frac{10521431}{26327801}a+\frac{278379}{1144687}$, $\frac{1}{24\!\cdots\!13}a^{38}-\frac{32\!\cdots\!68}{24\!\cdots\!13}a^{37}+\frac{48\!\cdots\!46}{24\!\cdots\!13}a^{36}-\frac{10\!\cdots\!20}{24\!\cdots\!13}a^{35}+\frac{71\!\cdots\!98}{24\!\cdots\!13}a^{34}+\frac{78\!\cdots\!91}{24\!\cdots\!13}a^{33}+\frac{28\!\cdots\!75}{24\!\cdots\!13}a^{32}-\frac{47\!\cdots\!01}{24\!\cdots\!13}a^{31}-\frac{35\!\cdots\!92}{24\!\cdots\!13}a^{30}-\frac{15\!\cdots\!40}{24\!\cdots\!13}a^{29}-\frac{54\!\cdots\!21}{24\!\cdots\!13}a^{28}-\frac{10\!\cdots\!39}{24\!\cdots\!13}a^{27}-\frac{41\!\cdots\!18}{24\!\cdots\!13}a^{26}-\frac{31\!\cdots\!96}{24\!\cdots\!13}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!35}{24\!\cdots\!13}a^{24}-\frac{25\!\cdots\!42}{24\!\cdots\!13}a^{23}+\frac{22\!\cdots\!75}{24\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{28\!\cdots\!20}{24\!\cdots\!13}a^{21}-\frac{47\!\cdots\!14}{24\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{26\!\cdots\!63}{24\!\cdots\!13}a^{19}+\frac{37\!\cdots\!27}{24\!\cdots\!13}a^{18}+\frac{66\!\cdots\!69}{24\!\cdots\!13}a^{17}-\frac{85\!\cdots\!72}{24\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{92\!\cdots\!95}{24\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{81\!\cdots\!32}{24\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{88\!\cdots\!30}{24\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!53}{24\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{48\!\cdots\!94}{24\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{91\!\cdots\!62}{24\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{67\!\cdots\!95}{24\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{35\!\cdots\!97}{24\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{89\!\cdots\!32}{24\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!12}{24\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{28\!\cdots\!47}{24\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{68\!\cdots\!69}{24\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!47}{24\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!80}{24\!\cdots\!13}a^{2}-\frac{30\!\cdots\!52}{24\!\cdots\!13}a+\frac{30\!\cdots\!29}{10\!\cdots\!31}$ 1, a, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, a^8, a^9, a^10, a^11, a^12, a^13, a^14, a^15, a^16, a^17, a^18, 1/23*a^19 - 1/23*a^18 - 7/23*a^17 + 2/23*a^16 + 11/23*a^15 + 5/23*a^14 - 3/23*a^13 + 7/23*a^12 + 3/23*a^11 - 1/23*a^10 + 8/23*a^9 + 6/23*a^8 + 5/23*a^7 - 9/23*a^6 - 5/23*a^5 - 2/23*a^4 - 6/23*a^3 - 7/23*a^2 - 7/23*a, 1/23*a^20 - 8/23*a^18 - 5/23*a^17 - 10/23*a^16 - 7/23*a^15 + 2/23*a^14 + 4/23*a^13 + 10/23*a^12 + 2/23*a^11 + 7/23*a^10 - 9/23*a^9 + 11/23*a^8 - 4/23*a^7 + 9/23*a^6 - 7/23*a^5 - 8/23*a^4 + 10/23*a^3 + 9/23*a^2 - 7/23*a, 1/23*a^21 + 10/23*a^18 + 3/23*a^17 + 9/23*a^16 - 2/23*a^15 - 2/23*a^14 + 9/23*a^13 - 11/23*a^12 + 8/23*a^11 + 6/23*a^10 + 6/23*a^9 - 2/23*a^8 + 3/23*a^7 - 10/23*a^6 - 2/23*a^5 - 6/23*a^4 + 7/23*a^3 + 6/23*a^2 - 10/23*a, 1/23*a^22 - 10/23*a^18 + 10/23*a^17 + 1/23*a^16 + 3/23*a^15 + 5/23*a^14 - 4/23*a^13 + 7/23*a^12 - 1/23*a^11 - 7/23*a^10 + 10/23*a^9 - 11/23*a^8 + 9/23*a^7 - 4/23*a^6 - 2/23*a^5 + 4/23*a^4 - 3/23*a^3 - 9/23*a^2 + 1/23*a, 1/23*a^23 - 1/23*a, 1/23*a^24 - 1/23*a^2, 1/23*a^25 - 1/23*a^3, 1/23*a^26 - 1/23*a^4, 1/23*a^27 - 1/23*a^5, 1/23*a^28 - 1/23*a^6, 1/23*a^29 - 1/23*a^7, 1/23*a^30 - 1/23*a^8, 1/23*a^31 - 1/23*a^9, 1/23*a^32 - 1/23*a^10, 1/83053*a^33 + 800/83053*a^32 + 911/83053*a^31 - 842/83053*a^30 - 1209/83053*a^29 - 501/83053*a^28 + 1777/83053*a^27 - 932/83053*a^26 + 658/83053*a^25 - 1475/83053*a^24 - 1053/83053*a^23 + 539/83053*a^22 - 1429/83053*a^21 + 1749/83053*a^20 + 1442/83053*a^19 - 13655/83053*a^18 - 25901/83053*a^17 + 35839/83053*a^16 - 8167/83053*a^15 + 395/3611*a^14 + 16449/83053*a^13 - 33884/83053*a^12 + 16598/83053*a^11 + 39/157*a^10 + 3752/83053*a^9 + 11540/83053*a^8 + 38097/83053*a^7 + 31682/83053*a^6 + 1802/83053*a^5 - 30905/83053*a^4 - 24048/83053*a^3 - 37767/83053*a^2 + 1871/83053*a - 114/3611, 1/83053*a^34 + 58/83053*a^32 - 220/83053*a^31 + 745/83053*a^30 - 1049/83053*a^29 + 1756/83053*a^28 + 202/83053*a^27 - 53/3611*a^26 - 669/83053*a^25 + 1761/83053*a^24 + 1576/83053*a^23 + 691/83053*a^22 + 262/83053*a^21 - 301/83053*a^20 - 902/83053*a^19 - 36009/83053*a^18 + 25888/83053*a^17 - 1134/3611*a^16 - 25724/83053*a^15 + 17392/83053*a^14 + 34009/83053*a^13 + 23243/83053*a^12 - 27065/83053*a^11 + 12055/83053*a^10 - 32651/83053*a^9 - 7519/83053*a^8 - 34076/83053*a^7 - 27077/83053*a^6 + 22449/83053*a^5 + 22378/83053*a^4 - 24331/83053*a^3 + 38344/83053*a^2 + 2754/83053*a + 925/3611, 1/83053*a^35 + 323/83053*a^32 - 1539/83053*a^31 + 844/83053*a^30 - 342/83053*a^29 + 372/83053*a^28 + 434/83053*a^27 - 778/83053*a^26 - 293/83053*a^25 + 462/83053*a^24 + 378/83053*a^23 + 1499/83053*a^22 - 472/83053*a^21 - 1236/83053*a^20 - 482/83053*a^19 - 19874/83053*a^18 - 36833/83053*a^17 - 20839/83053*a^16 + 28870/83053*a^15 - 30713/83053*a^14 - 17216/83053*a^13 + 24377/83053*a^12 - 8158/83053*a^11 - 1509/83053*a^10 + 9580/83053*a^9 - 17306/83053*a^8 - 19549/83053*a^7 - 2385/83053*a^6 + 22581/83053*a^5 - 8453/83053*a^4 + 17616/83053*a^3 - 13081/83053*a^2 - 40300/83053*a - 610/3611, 1/83053*a^36 + 53/83053*a^32 - 918/83053*a^31 + 799/83053*a^30 + 891/83053*a^29 - 238/83053*a^28 - 600/83053*a^27 + 1030/83053*a^26 + 977/83053*a^25 + 151/83053*a^24 - 1427/83053*a^23 - 1241/83053*a^22 + 1734/83053*a^21 + 66/3611*a^20 - 1766/83053*a^19 + 11644/83053*a^18 - 10670/83053*a^17 - 905/3611*a^16 + 86/83053*a^15 - 23150/83053*a^14 + 8687/83053*a^13 + 5877/83053*a^12 + 24949/83053*a^11 - 2771/83053*a^10 - 33961/83053*a^9 + 22915/83053*a^8 - 37538/83053*a^7 - 9630/83053*a^6 - 5517/83053*a^5 + 19127/83053*a^4 + 16050/83053*a^3 - 10629/83053*a^2 + 35228/83053*a + 712/3611, 1/26327801*a^37 - 78/26327801*a^36 - 47/26327801*a^35 + 97/26327801*a^34 + 63/26327801*a^33 - 320764/26327801*a^32 + 291390/26327801*a^31 - 221415/26327801*a^30 - 250558/26327801*a^29 + 274132/26327801*a^28 - 83255/26327801*a^27 - 498961/26327801*a^26 + 157450/26327801*a^25 - 539665/26327801*a^24 + 25203/26327801*a^23 + 519372/26327801*a^22 - 367640/26327801*a^21 - 420441/26327801*a^20 + 348131/26327801*a^19 - 891553/26327801*a^18 + 114866/26327801*a^17 + 7891851/26327801*a^16 - 8964881/26327801*a^15 - 10552915/26327801*a^14 - 6517216/26327801*a^13 + 7558555/26327801*a^12 + 2774821/26327801*a^11 + 197043/1144687*a^10 - 6656726/26327801*a^9 + 8943928/26327801*a^8 + 9918569/26327801*a^7 + 2711552/26327801*a^6 + 5848310/26327801*a^5 + 6665370/26327801*a^4 - 6828780/26327801*a^3 + 8283744/26327801*a^2 - 10521431/26327801*a + 278379/1144687, 1/240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813*a^38 - 3201247771030866196992263284046598420346566995980046070591700722760526328668074485353607466726040994060444034206875437671796519166895451746556212720208455973336252000391454333568695392005930615586564570719698554966008461965865670992695093585066180234232531623121064853417075869025995561908462568/240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813*a^37 + 481702275945092702914540683958427553743165447268070692076253350886354849898443489524460064668589710325510590228918252582972562305783009149067084605577093870383013140357461616029022489571693884503131458027170020472704056547903159801624171502413580479374791193514877131969927161892095668061227100846/240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813*a^36 - 1075147677130629575960372253861391547215241205800710271492530348294493795309573610558789674101034401681788919639569343637587188272783534618025836127841464193092395907397775536997194003863864232666260964451934614309955124833286520082674923898921260251107301072492620100005877805945062222340786670520/240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813*a^35 + 718226150553271113419559988310444834951355350102899816984248533919427859413026901891774421423906890782330260791979499339864604360852595551854168304994886304791201739729442837446467889675440856022184064539289149347633053161491701660652243878573198295696676805298745452936066795717720196985882436498/240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813*a^34 + 780668044313162601548175060552285606678223471329705287856601436148721741834172469276116739425080343026735674057775867817431705675920232442319636734019288395061785025328745721311705531434852984409152420702650067593624253351316258082423555251247973523902850738638594853994755574051930806159592361191/240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813*a^33 + 2838646355637535839841906121478544850894275898995675672674014931958611881268293401500969511834735138845945697470001066544757222465936788256777714320409239476433306112347931722343832748130487814083430570527492815826126366759871585195021518906772618326709165677244562357537879304106430768864671164307375/240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813*a^32 - 4732599944305187527403420565514289570135206459699108406613147964219042843119160513724356322948401175932862007131156354925224390620049826161197842238895041211201828105317352257137672255325328744076042178398582469369966547490575631639615116115302540003296305274384576832866660494295686330358752129120501/240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813*a^31 - 3595331526996910180586655294872302667170640103144412868467951916225676068746875139580843885641583211580490254267549445996270187915742509157496068748378286702898084379296656956072766675120846612174050152601316378347820775420740890635303815055099736401433515193794515594660941407836938187873733931430892/240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813*a^30 - 1507669640882557030885613599691628358571238837525484450286067604885821246836374004020292770935985954327163622345076792084984907225781753884383476571216977133078512187790577409471378066885726546937816654511247611625265941081606862183162690260148357624551545235836052787510090870929422613353103885688340/240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813*a^29 - 540498812480613547779445627200058009073126086371638523476197665903091161952118292896233734176683846441571420602589820126384773245887098517497859742647332213066759218068106477365501448166648564457660755795063566851296998157219944469166032876186012247448041885100875097938178788323610489176675156922621/240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813*a^28 - 1042882705706632485916208533387097109252255927550754119299287755102000369833462457178566757152925865186739548067301047847917991723958487043758984247763231633199834137712932950195762717863433862613570968974245678507823617388430081821660082288695812472480966749666082507934170705130271392249895299214839/240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813*a^27 - 4154006286438870729494911636876094919420744955542910187997016014209893861062135160407613303197474763237669257185666068447702278495932080526707452821711053868748821542216403000571951709001665183003195003580079232459835930637246198075895956711457730152295431735491088943127314803868413829469883581181118/240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813*a^26 - 3195370277787371999741739045610666944401746228454023268003988170711207498261065980100317016701805463127036594661531255810306455131646514514820611241276343038134355998702257798900463901785100008669361377493518004765589084472728440574116281687007556267249584637764210283762404332098834402870657440111096/240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813*a^25 + 118813166758859100577780249626981984826404676466372776106998340614204139677237522190322090612612630316410732923496453791982365543863897630463746853438355887375291534426983035511749717846980718599773949525774989058186757046092501621971560298256772604294640535321358468979811503506382981956710986285035/240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813*a^24 - 253293950505827465308542817380571226946128348788071404402735721811112921908443395522160465121869222799619191906396152980410121548512961522327347593625465231609107717676778165587230954849339662856107309410024045689816876409849305175388489012107277895988824246385426438462531424667788000780730479448242/240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813*a^23 + 2274750259266516721944641446778890386781353812730971201741802009101959115883609665963119630397256502602040817367623381908702784395532260341889440429855946852753264678806687712014049747591627079768100128263823295306523515047215074009775407110890036040191465518443387578820220319311197412843901783598175/240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813*a^22 - 2822618340629974734110327226898827182133612693325953670725596992133880096003061347123990684013383574671521561651794001643200935277770232012628940725499599141072554384760773114392776800670357666232288448988977207509838199724702797468155484905108380425947111271164876661077032313088891085740325110167920/240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813*a^21 - 4722479906144147545130333406207156862018127691051517842170368173899939078955270024917936045677276063924062514813055536131464767690183735237813492354858157184515566811778358230978411484239548635415697559537614132132310066408739331065351540328404961500470791785815500367364133933210048158556478689898314/240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813*a^20 + 2659785068578370165168169952109143345452162174931741834855150459072354909413398277622998815118464611810635820285733227775221010677382564134889917914738947990993661692274935789469520693182659541015664515044494996952558218773840843861896036395710642171568240399623261591690874384806052149425589011074763/240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813*a^19 + 37570685624135545478720501116790209106008057457049449765075411007292639700261343119447528210309816343445653146719715763520323359277271989880902503811011202551287984978986804602504298390196801584872423173479438080463744750863504487913435190758315915342636853763898097800866091758375725774541704022427327/240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813*a^18 + 66908047426208333650191085247748822313902793821091290109174573390127819927709302144222987819749067251832441207059409080345026178638957696244203030694170632518404048009167547601010280706200849863431787778956906881601216877268837940567684113140344577556937177320220353029052231726902144771775970178603969/240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813*a^17 - 85113304145171370007253440365758916078052810287581460325099190376228289097130710231181799735382363108362092524255349600924366808403621088514917859526673894782591874795062181919182065227111893038852972981917630003668341196696858034308388635424656034484383659909630093201484506574287501585244691289922372/240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813*a^16 + 92283203261013648311759309598584516616312503169342443346688256187405965016808045758080296169548560526734509441752747585742765331834424143626091744249492486783738189188825038640107011305459889901035652220556018142674604946927348511459216230195716413089171351504046178077811167749428302880943117667478595/240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813*a^15 - 81720632578756507081108402258536016823491737335134771056111022895181835163132291254445059261072713718790886991612191860815486709862690339600585330691536566800301305397257171311784530452930278814583235091114418471565448982296969008992191347514550051726566441278150114785768808894216672961633044706952332/240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813*a^14 + 88804108652444353248301643995666773492809384226978746414982854885581259056301458076884029849349271512324223887143691614933463833912254269845610689779810721559199301593703615891372503852438144462251377137725502455936258255763867504489925014428357022504628050170666395098268135951179089295232309355938230/240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813*a^13 + 23330740599393094248658131456810511206150470975461251930638993259749317030799900943658551108276850929281967492644605972803084320441057878692330989175877266000964782578708232492427894062279682543603214971720835049709847856245180381475523822857265570895364308916088305883488872074037785265780142410835953/240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813*a^12 + 4838289540700464557118443685758515438521886584476746867176231243032138653762332780867561791750526962409155337188470422495199405447376033066536261455084316932927534605288832912910366654761645253116761789796243994413842409022239097333793102996626761165194391839898751772758003545780637841750725033466394/240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813*a^11 - 91996806753771560969485042772884221280925515798300384249377461063801577459897119511408953464305755994224873921213109033117509763510939154177177945831265882859125261329343793000084361733519166042278453787726182441913340183354680668225787500131827086216653528995664365941324716593961657910978262181517662/240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813*a^10 - 67687861013961419539174392299891262355741458100298387434810442072120294984902970620636732239150318106466571279564093189477704925598764536210903908546996774648861290834698459710353589524401734202965553925956765365467128632727598863460842755114733621743418116826382907117094771029659502235295263907118895/240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813*a^9 + 35809201448277082284585666887316384860170655314448565879518701210228174137799575444080725050168091952598331959590362246624736226320351476875567804322479184193793227073996477125534514069598158287301867585271031596109499617930589320475673679681193167807812570868324714672719262591156541357174101383884397/240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813*a^8 - 89171290725998027237477721368197442833560946309777105222231191294987284593688368798783249378989060330434169691253746054555901555659540565871595886323596998621321845686996236220030063576613799151499504281454214483851928054873358299426572942247034832324079302492392915947244056078232441438237261417382832/240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813*a^7 - 14856338857025738789819419721210270835344379894588741901744617631867685528652336175728987208482826325512220372427445296034406569682242597548356319815702093324577924272631727111072779945261674570258595029855811894597141038494741154659936019241060221196832959024833710650250764775413865579623865845006812/240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813*a^6 - 28890970774111223751732950793903459541685337476824869297376868421825743507232962272656009088842052011408243641963849913352726817600798453549956264320071913219233343006378189080559400881428819579312488761328252279321742645837594471562798599417755978948043745842541344447515343750713180639018112007601147/240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813*a^5 + 68375794344322554279286461757812131377175280881791458549473597679464280202146521888601864940585500647976893330234334104741138619009345017166465762121771257343537039056841397092400702474709971940542856456380198553325795503209795871324913891463007711328371212947687345592374002808258327424681581875967369/240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813*a^4 - 11239057533946551035905898008268506273406489104620598038555236927914599360898097392627969147122744339545789440229427133382079985953935369775828190616240412453227142889398765863678036757214736144081857553357420100411758632782462889330682160603271071808106019284482842037625095443609428079896522624862247/240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813*a^3 - 112450417352479297834236044588818739042454104676949120384566264848702587859453951335806517677990578461064175047238285250685183031746556933402299464116113994454413145302816218275163164978760056395658254334403476752114726202168144438909291151631887947803050862140783746657064116482133930510807975940859380/240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813*a^2 - 30118409989201342506008243524589835376117421628687827882760137111844849078167748202719977594748086747659723307710742778256956386067569692361028734590268593003505365364575475723586137094591000779133785100243402358188274049437518829880697657555940490320918104709769500145794139453274646628583894875514952/240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813*a + 3043181556475954426621349281949753622753787748703001754601748369036721836674327663314600496988595395538187037869417101055204147885818218507162234403076100529378008273978698157407699630603618807275939196011915144452978836388341103832054494258573984028431348604578789925192927819480034999911644931086629/10463057430708306105340896114510049196011994637097716029587895447395974192564100825350251952720649794716777090302919805380583725300580935490137674522455694364906711930597945409518399491283494932152794477089285917842902417712729497388808469850681945203573175254648457242144620408524795465846246310553731

sage: K.integral_basis()

gp: K.zk

magma: IntegralBasis(K);

oscar: basis(OK)

Monogenic:		No
Index:		Not computed
Inessential primes:		$23$

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()

gp: K.clgp

magma: ClassGroup(K);

oscar: class_group(K)

Unit group

sage: UK = K.unit_group()

magma: UK, fUK := UnitGroup(K);

oscar: UK, fUK = unit_group(OK)

Rank:	$38$	sage: UK.rank() gp: K.fu magma: UnitRank(K); oscar: rank(UK)
Torsion generator:	$ -1 $ -1 (order $2$)	sage: UK.torsion_generator() gp: K.tu[2] magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K); oscar: torsion_units_generator(OK)
Fundamental units:	not computed	sage: UK.fundamental_units() gp: K.fu magma: [K\|fUK(g): g in Generators(UK)]; oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
Regulator:	not computed	sage: K.regulator() gp: K.reg magma: Regulator(K); oscar: regulator(K)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr $ not computed \end{aligned}\]

# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula

x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^39 - x^38 - 354*x^37 + 511*x^36 + 56045*x^35 - 103251*x^34 - 5247131*x^33 + 11548919*x^32 + 323858271*x^31 - 818077472*x^30 - 13912915879*x^29 + 39305918508*x^28 + 428252335706*x^27 - 1330679343737*x^26 - 9579637340859*x^25 + 32404331102658*x^24 + 156314779697940*x^23 - 572661461636511*x^22 - 1851957964341868*x^21 + 7341898588148461*x^20 + 15740944592310945*x^19 - 67699689278718824*x^18 - 94298948980717131*x^17 + 441371170652289465*x^16 + 391057744594350035*x^15 - 1980375180524138330*x^14 - 1121115212503618422*x^13 + 5873379572582775725*x^12 + 2334047970653280778*x^11 - 10818653588566378140*x^10 - 3849139231012138630*x^9 + 11165439791508447499*x^8 + 4690051537532888413*x^7 - 5357278100940296591*x^6 - 2992545959704021257*x^5 + 706803441870504299*x^4 + 694897163472669662*x^3 + 124066763635805181*x^2 + 4291829198615412*x - 176560760826029)

DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()

hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();

2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))

# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula

K = bnfinit(x^39 - x^38 - 354*x^37 + 511*x^36 + 56045*x^35 - 103251*x^34 - 5247131*x^33 + 11548919*x^32 + 323858271*x^31 - 818077472*x^30 - 13912915879*x^29 + 39305918508*x^28 + 428252335706*x^27 - 1330679343737*x^26 - 9579637340859*x^25 + 32404331102658*x^24 + 156314779697940*x^23 - 572661461636511*x^22 - 1851957964341868*x^21 + 7341898588148461*x^20 + 15740944592310945*x^19 - 67699689278718824*x^18 - 94298948980717131*x^17 + 441371170652289465*x^16 + 391057744594350035*x^15 - 1980375180524138330*x^14 - 1121115212503618422*x^13 + 5873379572582775725*x^12 + 2334047970653280778*x^11 - 10818653588566378140*x^10 - 3849139231012138630*x^9 + 11165439791508447499*x^8 + 4690051537532888413*x^7 - 5357278100940296591*x^6 - 2992545959704021257*x^5 + 706803441870504299*x^4 + 694897163472669662*x^3 + 124066763635805181*x^2 + 4291829198615412*x - 176560760826029, 1);

[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]

/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */

Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^39 - x^38 - 354*x^37 + 511*x^36 + 56045*x^35 - 103251*x^34 - 5247131*x^33 + 11548919*x^32 + 323858271*x^31 - 818077472*x^30 - 13912915879*x^29 + 39305918508*x^28 + 428252335706*x^27 - 1330679343737*x^26 - 9579637340859*x^25 + 32404331102658*x^24 + 156314779697940*x^23 - 572661461636511*x^22 - 1851957964341868*x^21 + 7341898588148461*x^20 + 15740944592310945*x^19 - 67699689278718824*x^18 - 94298948980717131*x^17 + 441371170652289465*x^16 + 391057744594350035*x^15 - 1980375180524138330*x^14 - 1121115212503618422*x^13 + 5873379572582775725*x^12 + 2334047970653280778*x^11 - 10818653588566378140*x^10 - 3849139231012138630*x^9 + 11165439791508447499*x^8 + 4690051537532888413*x^7 - 5357278100940296591*x^6 - 2992545959704021257*x^5 + 706803441870504299*x^4 + 694897163472669662*x^3 + 124066763635805181*x^2 + 4291829198615412*x - 176560760826029);

OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);

UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);

r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);

hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);

2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));

# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula

Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^39 - x^38 - 354*x^37 + 511*x^36 + 56045*x^35 - 103251*x^34 - 5247131*x^33 + 11548919*x^32 + 323858271*x^31 - 818077472*x^30 - 13912915879*x^29 + 39305918508*x^28 + 428252335706*x^27 - 1330679343737*x^26 - 9579637340859*x^25 + 32404331102658*x^24 + 156314779697940*x^23 - 572661461636511*x^22 - 1851957964341868*x^21 + 7341898588148461*x^20 + 15740944592310945*x^19 - 67699689278718824*x^18 - 94298948980717131*x^17 + 441371170652289465*x^16 + 391057744594350035*x^15 - 1980375180524138330*x^14 - 1121115212503618422*x^13 + 5873379572582775725*x^12 + 2334047970653280778*x^11 - 10818653588566378140*x^10 - 3849139231012138630*x^9 + 11165439791508447499*x^8 + 4690051537532888413*x^7 - 5357278100940296591*x^6 - 2992545959704021257*x^5 + 706803441870504299*x^4 + 694897163472669662*x^3 + 124066763635805181*x^2 + 4291829198615412*x - 176560760826029);

OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);

UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);

r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);

hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);

2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))

Galois group

$C_{39}$ (as 39T1):

sage: K.galois_group(type='pari')

gp: polgalois(K.pol)

magma: G = GaloisGroup(K);

oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)

A cyclic group of order 39

The 39 conjugacy class representatives for $C_{39}$

Character table for $C_{39}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.1054729.2, 13.13.59091511031674153381441.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

sage: K.subfields()[1:-1]

gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]

magma: L := Subfields(K); L[2..#L];

oscar: subfields(K)[2:end-1]

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	$39$	$39$	$39$	$39$	${\href{/padicField/11.13.0.1}{13} }^{3}$	R	$39$	$39$	${\href{/padicField/23.1.0.1}{1} }^{39}$	${\href{/padicField/29.13.0.1}{13} }^{3}$	$39$	$39$	$39$	${\href{/padicField/43.13.0.1}{13} }^{3}$	$39$	$39$	${\href{/padicField/59.13.0.1}{13} }^{3}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:

p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]

\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:

p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])

// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:

p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:

p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
$13$ 13		Deg $39$	$3$	$13$	$26$
$79$ 79		Deg $39$	$39$	$1$	$38$

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more