LMFDB - Number field 36.0.9996080843172961874887314085754195764362313040335219282385815425609.1

Show commands: Magma / Oscar / PariGP / SageMath

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^36 - 18*x^35 + 213*x^34 - 1834*x^33 + 12864*x^32 - 75852*x^31 + 388741*x^30 - 1758153*x^29 + 7119996*x^28 - 26031435*x^27 + 86537859*x^26 - 262681356*x^25 + 730353369*x^24 - 1862961681*x^23 + 4363272450*x^22 - 9385700703*x^21 + 18553048287*x^20 - 33761779752*x^19 + 56822053891*x^18 - 89255367057*x^17 + 132728096550*x^16 - 189990042153*x^15 + 264621008625*x^14 - 357245583000*x^13 + 457679683451*x^12 - 539735803575*x^11 + 567877593576*x^10 - 518843066985*x^9 + 404506262502*x^8 - 268465079178*x^7 + 159238717534*x^6 - 93315446433*x^5 + 57261249099*x^4 - 31748050043*x^3 + 11317240791*x^2 - 1825389327*x + 225433657)

gp: K = bnfinit(y^36 - 18*y^35 + 213*y^34 - 1834*y^33 + 12864*y^32 - 75852*y^31 + 388741*y^30 - 1758153*y^29 + 7119996*y^28 - 26031435*y^27 + 86537859*y^26 - 262681356*y^25 + 730353369*y^24 - 1862961681*y^23 + 4363272450*y^22 - 9385700703*y^21 + 18553048287*y^20 - 33761779752*y^19 + 56822053891*y^18 - 89255367057*y^17 + 132728096550*y^16 - 189990042153*y^15 + 264621008625*y^14 - 357245583000*y^13 + 457679683451*y^12 - 539735803575*y^11 + 567877593576*y^10 - 518843066985*y^9 + 404506262502*y^8 - 268465079178*y^7 + 159238717534*y^6 - 93315446433*y^5 + 57261249099*y^4 - 31748050043*y^3 + 11317240791*y^2 - 1825389327*y + 225433657, 1)

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^36 - 18*x^35 + 213*x^34 - 1834*x^33 + 12864*x^32 - 75852*x^31 + 388741*x^30 - 1758153*x^29 + 7119996*x^28 - 26031435*x^27 + 86537859*x^26 - 262681356*x^25 + 730353369*x^24 - 1862961681*x^23 + 4363272450*x^22 - 9385700703*x^21 + 18553048287*x^20 - 33761779752*x^19 + 56822053891*x^18 - 89255367057*x^17 + 132728096550*x^16 - 189990042153*x^15 + 264621008625*x^14 - 357245583000*x^13 + 457679683451*x^12 - 539735803575*x^11 + 567877593576*x^10 - 518843066985*x^9 + 404506262502*x^8 - 268465079178*x^7 + 159238717534*x^6 - 93315446433*x^5 + 57261249099*x^4 - 31748050043*x^3 + 11317240791*x^2 - 1825389327*x + 225433657);

oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^36 - 18*x^35 + 213*x^34 - 1834*x^33 + 12864*x^32 - 75852*x^31 + 388741*x^30 - 1758153*x^29 + 7119996*x^28 - 26031435*x^27 + 86537859*x^26 - 262681356*x^25 + 730353369*x^24 - 1862961681*x^23 + 4363272450*x^22 - 9385700703*x^21 + 18553048287*x^20 - 33761779752*x^19 + 56822053891*x^18 - 89255367057*x^17 + 132728096550*x^16 - 189990042153*x^15 + 264621008625*x^14 - 357245583000*x^13 + 457679683451*x^12 - 539735803575*x^11 + 567877593576*x^10 - 518843066985*x^9 + 404506262502*x^8 - 268465079178*x^7 + 159238717534*x^6 - 93315446433*x^5 + 57261249099*x^4 - 31748050043*x^3 + 11317240791*x^2 - 1825389327*x + 225433657)

$ x^{36} - 18 x^{35} + 213 x^{34} - 1834 x^{33} + 12864 x^{32} - 75852 x^{31} + 388741 x^{30} + \cdots + 225433657 $ x^36 - 18*x^35 + 213*x^34 - 1834*x^33 + 12864*x^32 - 75852*x^31 + 388741*x^30 - 1758153*x^29 + 7119996*x^28 - 26031435*x^27 + 86537859*x^26 - 262681356*x^25 + 730353369*x^24 - 1862961681*x^23 + 4363272450*x^22 - 9385700703*x^21 + 18553048287*x^20 - 33761779752*x^19 + 56822053891*x^18 - 89255367057*x^17 + 132728096550*x^16 - 189990042153*x^15 + 264621008625*x^14 - 357245583000*x^13 + 457679683451*x^12 - 539735803575*x^11 + 567877593576*x^10 - 518843066985*x^9 + 404506262502*x^8 - 268465079178*x^7 + 159238717534*x^6 - 93315446433*x^5 + 57261249099*x^4 - 31748050043*x^3 + 11317240791*x^2 - 1825389327*x + 225433657

sage: K.defining_polynomial()

gp: K.pol

magma: DefiningPolynomial(K);

oscar: defining_polynomial(K)

Invariants

Degree:	$36$	sage: K.degree() gp: poldegree(K.pol) magma: Degree(K); oscar: degree(K)
Signature:	$[0, 18]$	sage: K.signature() gp: K.sign magma: Signature(K); oscar: signature(K)
Discriminant:	$9996080843172961874887314085754195764362313040335219282385815425609$ 9996080843172961874887314085754195764362313040335219282385815425609 $\medspace = 3^{48}\cdot 7^{30}\cdot 11^{18}$	sage: K.disc() gp: K.disc magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK); oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
Root discriminant:	$72.63$	sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree()) gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol)) magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K)); oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
Galois root discriminant:	$3^{4/3}7^{5/6}11^{1/2}\approx 72.62838418577843$
Ramified primes:	$3$, $7$, $11$ 3, 7, 11	sage: K.disc().support() gp: factor(abs(K.disc))[,1]~ magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK)); oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
Discriminant root field:	$\Q$
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:	$36$	sage: K.automorphisms() magma: Automorphisms(K); oscar: automorphisms(K)
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:	$693=3^{2}\cdot 7\cdot 11$
Dirichlet character group:	$\lbrace$$\chi_{693}(1,·)$, $\chi_{693}(265,·)$, $\chi_{693}(10,·)$, $\chi_{693}(397,·)$, $\chi_{693}(142,·)$, $\chi_{693}(529,·)$, $\chi_{693}(274,·)$, $\chi_{693}(661,·)$, $\chi_{693}(538,·)$, $\chi_{693}(670,·)$, $\chi_{693}(34,·)$, $\chi_{693}(166,·)$, $\chi_{693}(298,·)$, $\chi_{693}(43,·)$, $\chi_{693}(430,·)$, $\chi_{693}(562,·)$, $\chi_{693}(307,·)$, $\chi_{693}(439,·)$, $\chi_{693}(571,·)$, $\chi_{693}(67,·)$, $\chi_{693}(199,·)$, $\chi_{693}(331,·)$, $\chi_{693}(76,·)$, $\chi_{693}(463,·)$, $\chi_{693}(208,·)$, $\chi_{693}(340,·)$, $\chi_{693}(472,·)$, $\chi_{693}(604,·)$, $\chi_{693}(100,·)$, $\chi_{693}(232,·)$, $\chi_{693}(109,·)$, $\chi_{693}(496,·)$, $\chi_{693}(241,·)$, $\chi_{693}(628,·)$, $\chi_{693}(373,·)$, $\chi_{693}(505,·)$$\rbrace$
This is a CM field.
Reflex fields:	unavailable$^{131072}$

Integral basis (with respect to field generator $a$)

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}a^{9}-\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{2}a^{10}-\frac{1}{2}a^{3}-\frac{1}{2}a^{2}$, $\frac{1}{2}a^{11}-\frac{1}{2}a^{4}-\frac{1}{2}a^{3}$, $\frac{1}{2}a^{12}-\frac{1}{2}a^{5}-\frac{1}{2}a^{4}$, $\frac{1}{2}a^{13}-\frac{1}{2}a^{6}-\frac{1}{2}a^{5}$, $\frac{1}{2}a^{14}-\frac{1}{2}a^{7}-\frac{1}{2}a^{6}$, $\frac{1}{2}a^{15}-\frac{1}{2}a^{7}-\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}a^{16}-\frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{2}a-\frac{1}{4}$, $\frac{1}{4}a^{17}-\frac{1}{4}a^{3}-\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{4}a$, $\frac{1}{4}a^{18}-\frac{1}{4}a^{4}-\frac{1}{2}a^{3}-\frac{1}{4}a^{2}$, $\frac{1}{4}a^{19}-\frac{1}{4}a^{5}-\frac{1}{2}a^{4}-\frac{1}{4}a^{3}$, $\frac{1}{4}a^{20}-\frac{1}{4}a^{6}-\frac{1}{2}a^{5}-\frac{1}{4}a^{4}$, $\frac{1}{4}a^{21}-\frac{1}{4}a^{7}-\frac{1}{2}a^{6}-\frac{1}{4}a^{5}$, $\frac{1}{4}a^{22}-\frac{1}{4}a^{8}-\frac{1}{2}a^{7}-\frac{1}{4}a^{6}$, $\frac{1}{4}a^{23}-\frac{1}{4}a^{9}-\frac{1}{4}a^{7}-\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{8}a^{24}-\frac{1}{8}a^{17}-\frac{1}{8}a^{16}-\frac{1}{8}a^{10}-\frac{1}{4}a^{9}-\frac{1}{8}a^{8}+\frac{1}{8}a^{3}+\frac{3}{8}a^{2}+\frac{3}{8}a+\frac{1}{8}$, $\frac{1}{8}a^{25}-\frac{1}{8}a^{18}-\frac{1}{8}a^{17}-\frac{1}{8}a^{11}-\frac{1}{4}a^{10}-\frac{1}{8}a^{9}+\frac{1}{8}a^{4}+\frac{3}{8}a^{3}+\frac{3}{8}a^{2}+\frac{1}{8}a$, $\frac{1}{18712}a^{26}+\frac{97}{2339}a^{25}-\frac{357}{9356}a^{24}-\frac{235}{9356}a^{23}-\frac{71}{2339}a^{22}+\frac{225}{2339}a^{21}-\frac{11}{4678}a^{20}+\frac{407}{18712}a^{19}+\frac{597}{18712}a^{18}-\frac{1133}{9356}a^{17}-\frac{29}{4678}a^{16}-\frac{63}{4678}a^{15}-\frac{657}{4678}a^{14}+\frac{247}{4678}a^{13}+\frac{3519}{18712}a^{12}-\frac{1259}{9356}a^{11}+\frac{2041}{18712}a^{10}+\frac{959}{9356}a^{9}+\frac{975}{9356}a^{8}+\frac{503}{9356}a^{7}+\frac{1455}{4678}a^{6}-\frac{4731}{18712}a^{5}+\frac{2141}{18712}a^{4}-\frac{8611}{18712}a^{3}+\frac{4727}{18712}a^{2}-\frac{1199}{9356}a-\frac{416}{2339}$, $\frac{1}{18712}a^{27}+\frac{143}{4678}a^{25}-\frac{749}{18712}a^{24}-\frac{183}{4678}a^{23}-\frac{921}{9356}a^{22}+\frac{939}{9356}a^{21}+\frac{1805}{18712}a^{20}-\frac{1809}{18712}a^{19}+\frac{1131}{9356}a^{18}+\frac{1711}{18712}a^{17}-\frac{1457}{18712}a^{16}-\frac{444}{2339}a^{15}+\frac{177}{4678}a^{14}+\frac{4023}{18712}a^{13}-\frac{655}{9356}a^{12}-\frac{4073}{18712}a^{11}+\frac{1605}{18712}a^{10}+\frac{593}{9356}a^{9}+\frac{1139}{18712}a^{8}+\frac{3195}{9356}a^{7}+\frac{7253}{18712}a^{6}+\frac{5845}{18712}a^{5}-\frac{9337}{18712}a^{4}+\frac{4509}{9356}a^{3}-\frac{659}{18712}a^{2}-\frac{1985}{18712}a-\frac{2067}{18712}$, $\frac{1}{18712}a^{28}-\frac{211}{18712}a^{25}+\frac{345}{9356}a^{24}+\frac{44}{2339}a^{23}-\frac{343}{9356}a^{22}+\frac{1365}{18712}a^{21}-\frac{31}{18712}a^{20}-\frac{165}{2339}a^{19}+\frac{1721}{18712}a^{18}-\frac{1111}{18712}a^{17}+\frac{993}{9356}a^{16}+\frac{564}{2339}a^{15}+\frac{923}{18712}a^{14}+\frac{2135}{9356}a^{13}+\frac{3955}{18712}a^{12}-\frac{3601}{18712}a^{11}-\frac{361}{4678}a^{10}-\frac{1305}{18712}a^{9}-\frac{81}{4678}a^{8}-\frac{2141}{18712}a^{7}+\frac{2863}{18712}a^{6}-\frac{2411}{18712}a^{5}+\frac{323}{9356}a^{4}+\frac{3577}{18712}a^{3}+\frac{7411}{18712}a^{2}+\frac{8291}{18712}a-\frac{165}{9356}$, $\frac{1}{18712}a^{29}+\frac{87}{2339}a^{25}-\frac{303}{9356}a^{24}-\frac{809}{9356}a^{23}-\frac{1533}{18712}a^{22}+\frac{851}{18712}a^{21}-\frac{156}{2339}a^{20}-\frac{321}{4678}a^{19}-\frac{725}{9356}a^{18}+\frac{127}{2339}a^{17}-\frac{313}{4678}a^{16}+\frac{3887}{18712}a^{15}+\frac{883}{9356}a^{14}-\frac{2765}{18712}a^{13}-\frac{27}{2339}a^{12}-\frac{516}{2339}a^{11}-\frac{515}{9356}a^{10}+\frac{1033}{9356}a^{9}+\frac{2323}{18712}a^{8}+\frac{9297}{18712}a^{7}+\frac{4651}{18712}a^{6}-\frac{5859}{18712}a^{5}+\frac{781}{9356}a^{4}+\frac{219}{4678}a^{3}-\frac{41}{9356}a^{2}+\frac{1034}{2339}a+\frac{1106}{2339}$, $\frac{1}{37424}a^{30}-\frac{1}{37424}a^{29}-\frac{1}{37424}a^{27}-\frac{1}{37424}a^{26}-\frac{49}{18712}a^{25}+\frac{1527}{37424}a^{24}+\frac{947}{37424}a^{23}+\frac{623}{9356}a^{22}-\frac{195}{37424}a^{21}-\frac{3919}{37424}a^{20}+\frac{1661}{18712}a^{19}-\frac{4241}{37424}a^{18}+\frac{3615}{37424}a^{17}+\frac{811}{9356}a^{16}+\frac{8667}{37424}a^{15}+\frac{2057}{37424}a^{14}-\frac{3561}{18712}a^{13}-\frac{4073}{37424}a^{12}-\frac{6067}{37424}a^{11}+\frac{513}{18712}a^{10}+\frac{133}{37424}a^{9}+\frac{7983}{37424}a^{8}+\frac{879}{9356}a^{7}-\frac{4443}{37424}a^{6}-\frac{3585}{37424}a^{5}-\frac{1257}{4678}a^{4}-\frac{627}{37424}a^{3}+\frac{3803}{18712}a^{2}+\frac{8599}{37424}a-\frac{16809}{37424}$, $\frac{1}{37424}a^{31}-\frac{1}{37424}a^{29}-\frac{1}{37424}a^{28}-\frac{1}{37424}a^{26}-\frac{905}{37424}a^{25}+\frac{587}{18712}a^{24}+\frac{2695}{37424}a^{23}-\frac{915}{37424}a^{22}-\frac{861}{18712}a^{21}-\frac{1299}{37424}a^{20}-\frac{2075}{37424}a^{19}+\frac{795}{18712}a^{18}+\frac{3401}{37424}a^{17}+\frac{2307}{37424}a^{16}-\frac{591}{9356}a^{15}+\frac{775}{37424}a^{14}+\frac{115}{37424}a^{13}-\frac{2357}{18712}a^{12}+\frac{6695}{37424}a^{11}-\frac{6123}{37424}a^{10}-\frac{1351}{18712}a^{9}+\frac{3723}{37424}a^{8}-\frac{1831}{37424}a^{7}-\frac{1617}{18712}a^{6}-\frac{7145}{37424}a^{5}+\frac{16731}{37424}a^{4}-\frac{14247}{37424}a^{3}+\frac{10333}{37424}a^{2}-\frac{491}{4678}a-\frac{14949}{37424}$, $\frac{1}{37424}a^{32}+\frac{145}{18712}a^{25}+\frac{12}{2339}a^{24}-\frac{7}{2339}a^{23}+\frac{837}{9356}a^{22}-\frac{317}{4678}a^{21}+\frac{509}{9356}a^{20}+\frac{323}{4678}a^{19}+\frac{231}{2339}a^{18}+\frac{1333}{18712}a^{17}+\frac{1319}{18712}a^{16}+\frac{793}{4678}a^{15}+\frac{161}{2339}a^{14}+\frac{793}{4678}a^{13}+\frac{843}{4678}a^{12}+\frac{2855}{18712}a^{11}-\frac{967}{9356}a^{10}+\frac{1587}{18712}a^{9}-\frac{1805}{9356}a^{8}-\frac{233}{4678}a^{7}+\frac{1107}{2339}a^{6}+\frac{1485}{4678}a^{5}+\frac{14659}{37424}a^{4}+\frac{3721}{18712}a^{3}+\frac{561}{4678}a^{2}+\frac{9131}{18712}a-\frac{5783}{37424}$, $\frac{1}{2657104}a^{33}+\frac{23}{2657104}a^{32}-\frac{5}{664276}a^{31}-\frac{11}{2657104}a^{30}-\frac{49}{2657104}a^{29}+\frac{4}{166069}a^{28}+\frac{55}{2657104}a^{27}+\frac{1}{2657104}a^{26}-\frac{30461}{1328552}a^{25}-\frac{37611}{2657104}a^{24}+\frac{134083}{2657104}a^{23}+\frac{5417}{332138}a^{22}-\frac{118787}{2657104}a^{21}-\frac{213459}{2657104}a^{20}-\frac{95335}{1328552}a^{19}-\frac{1559}{37424}a^{18}+\frac{242815}{2657104}a^{17}+\frac{11156}{166069}a^{16}-\frac{31513}{2657104}a^{15}-\frac{454795}{2657104}a^{14}-\frac{96857}{1328552}a^{13}+\frac{486341}{2657104}a^{12}-\frac{16143}{2657104}a^{11}-\frac{201295}{1328552}a^{10}-\frac{343135}{2657104}a^{9}-\frac{294883}{2657104}a^{8}-\frac{287299}{664276}a^{7}-\frac{835547}{2657104}a^{6}-\frac{274501}{1328552}a^{5}+\frac{382969}{2657104}a^{4}-\frac{577937}{2657104}a^{3}-\frac{10097}{166069}a^{2}+\frac{119315}{1328552}a+\frac{36137}{332138}$, $\frac{1}{1007042416}a^{34}-\frac{63}{1007042416}a^{33}+\frac{5391}{503521208}a^{32}+\frac{4691}{1007042416}a^{31}+\frac{451}{62940151}a^{30}+\frac{20537}{1007042416}a^{29}-\frac{2893}{1007042416}a^{28}+\frac{6333}{503521208}a^{27}-\frac{19757}{1007042416}a^{26}+\frac{4922793}{1007042416}a^{25}-\frac{9492115}{503521208}a^{24}+\frac{32839273}{1007042416}a^{23}-\frac{64081373}{1007042416}a^{22}-\frac{3494463}{62940151}a^{21}-\frac{68276335}{1007042416}a^{20}+\frac{49489229}{1007042416}a^{19}-\frac{13672153}{503521208}a^{18}-\frac{1828599}{1007042416}a^{17}-\frac{64532487}{1007042416}a^{16}+\frac{14550989}{62940151}a^{15}-\frac{197872521}{1007042416}a^{14}-\frac{139071153}{1007042416}a^{13}+\frac{123737257}{503521208}a^{12}-\frac{7109357}{1007042416}a^{11}-\frac{205985815}{1007042416}a^{10}-\frac{63572405}{503521208}a^{9}+\frac{206878477}{1007042416}a^{8}+\frac{484550833}{1007042416}a^{7}+\frac{490227423}{1007042416}a^{6}-\frac{44330525}{125880302}a^{5}+\frac{22333199}{1007042416}a^{4}-\frac{236487795}{1007042416}a^{3}+\frac{217613711}{503521208}a^{2}+\frac{266446385}{1007042416}a-\frac{82066885}{1007042416}$, $\frac{1}{65\!\cdots\!32}a^{35}+\frac{99\!\cdots\!81}{65\!\cdots\!32}a^{34}-\frac{63\!\cdots\!05}{65\!\cdots\!32}a^{33}-\frac{29\!\cdots\!47}{32\!\cdots\!16}a^{32}+\frac{16\!\cdots\!61}{16\!\cdots\!08}a^{31}-\frac{16\!\cdots\!63}{16\!\cdots\!08}a^{30}-\frac{30\!\cdots\!93}{16\!\cdots\!08}a^{29}+\frac{83\!\cdots\!41}{32\!\cdots\!16}a^{28}-\frac{54\!\cdots\!07}{32\!\cdots\!16}a^{27}+\frac{85\!\cdots\!27}{81\!\cdots\!54}a^{26}-\frac{73\!\cdots\!21}{32\!\cdots\!16}a^{25}-\frac{30\!\cdots\!25}{16\!\cdots\!08}a^{24}-\frac{51\!\cdots\!41}{81\!\cdots\!54}a^{23}-\frac{70\!\cdots\!45}{16\!\cdots\!08}a^{22}-\frac{15\!\cdots\!13}{16\!\cdots\!08}a^{21}+\frac{39\!\cdots\!69}{32\!\cdots\!16}a^{20}-\frac{74\!\cdots\!99}{32\!\cdots\!16}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!75}{16\!\cdots\!08}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!33}{40\!\cdots\!77}a^{17}-\frac{77\!\cdots\!39}{81\!\cdots\!54}a^{16}+\frac{18\!\cdots\!65}{81\!\cdots\!54}a^{15}+\frac{25\!\cdots\!53}{32\!\cdots\!16}a^{14}-\frac{31\!\cdots\!45}{32\!\cdots\!16}a^{13}-\frac{61\!\cdots\!83}{32\!\cdots\!16}a^{12}-\frac{53\!\cdots\!15}{81\!\cdots\!54}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!12}{40\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{76\!\cdots\!65}{32\!\cdots\!16}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!61}{40\!\cdots\!77}a^{8}-\frac{68\!\cdots\!29}{65\!\cdots\!32}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!63}{65\!\cdots\!32}a^{6}-\frac{25\!\cdots\!15}{65\!\cdots\!32}a^{5}+\frac{34\!\cdots\!83}{32\!\cdots\!16}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!71}{65\!\cdots\!32}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!01}{65\!\cdots\!32}a^{2}+\frac{32\!\cdots\!29}{65\!\cdots\!32}a+\frac{11\!\cdots\!97}{32\!\cdots\!16}$ 1, a, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, 1/2*a^8 - 1/2*a - 1/2, 1/2*a^9 - 1/2*a^2 - 1/2*a, 1/2*a^10 - 1/2*a^3 - 1/2*a^2, 1/2*a^11 - 1/2*a^4 - 1/2*a^3, 1/2*a^12 - 1/2*a^5 - 1/2*a^4, 1/2*a^13 - 1/2*a^6 - 1/2*a^5, 1/2*a^14 - 1/2*a^7 - 1/2*a^6, 1/2*a^15 - 1/2*a^7 - 1/2*a - 1/2, 1/4*a^16 - 1/4*a^2 - 1/2*a - 1/4, 1/4*a^17 - 1/4*a^3 - 1/2*a^2 - 1/4*a, 1/4*a^18 - 1/4*a^4 - 1/2*a^3 - 1/4*a^2, 1/4*a^19 - 1/4*a^5 - 1/2*a^4 - 1/4*a^3, 1/4*a^20 - 1/4*a^6 - 1/2*a^5 - 1/4*a^4, 1/4*a^21 - 1/4*a^7 - 1/2*a^6 - 1/4*a^5, 1/4*a^22 - 1/4*a^8 - 1/2*a^7 - 1/4*a^6, 1/4*a^23 - 1/4*a^9 - 1/4*a^7 - 1/2*a - 1/2, 1/8*a^24 - 1/8*a^17 - 1/8*a^16 - 1/8*a^10 - 1/4*a^9 - 1/8*a^8 + 1/8*a^3 + 3/8*a^2 + 3/8*a + 1/8, 1/8*a^25 - 1/8*a^18 - 1/8*a^17 - 1/8*a^11 - 1/4*a^10 - 1/8*a^9 + 1/8*a^4 + 3/8*a^3 + 3/8*a^2 + 1/8*a, 1/18712*a^26 + 97/2339*a^25 - 357/9356*a^24 - 235/9356*a^23 - 71/2339*a^22 + 225/2339*a^21 - 11/4678*a^20 + 407/18712*a^19 + 597/18712*a^18 - 1133/9356*a^17 - 29/4678*a^16 - 63/4678*a^15 - 657/4678*a^14 + 247/4678*a^13 + 3519/18712*a^12 - 1259/9356*a^11 + 2041/18712*a^10 + 959/9356*a^9 + 975/9356*a^8 + 503/9356*a^7 + 1455/4678*a^6 - 4731/18712*a^5 + 2141/18712*a^4 - 8611/18712*a^3 + 4727/18712*a^2 - 1199/9356*a - 416/2339, 1/18712*a^27 + 143/4678*a^25 - 749/18712*a^24 - 183/4678*a^23 - 921/9356*a^22 + 939/9356*a^21 + 1805/18712*a^20 - 1809/18712*a^19 + 1131/9356*a^18 + 1711/18712*a^17 - 1457/18712*a^16 - 444/2339*a^15 + 177/4678*a^14 + 4023/18712*a^13 - 655/9356*a^12 - 4073/18712*a^11 + 1605/18712*a^10 + 593/9356*a^9 + 1139/18712*a^8 + 3195/9356*a^7 + 7253/18712*a^6 + 5845/18712*a^5 - 9337/18712*a^4 + 4509/9356*a^3 - 659/18712*a^2 - 1985/18712*a - 2067/18712, 1/18712*a^28 - 211/18712*a^25 + 345/9356*a^24 + 44/2339*a^23 - 343/9356*a^22 + 1365/18712*a^21 - 31/18712*a^20 - 165/2339*a^19 + 1721/18712*a^18 - 1111/18712*a^17 + 993/9356*a^16 + 564/2339*a^15 + 923/18712*a^14 + 2135/9356*a^13 + 3955/18712*a^12 - 3601/18712*a^11 - 361/4678*a^10 - 1305/18712*a^9 - 81/4678*a^8 - 2141/18712*a^7 + 2863/18712*a^6 - 2411/18712*a^5 + 323/9356*a^4 + 3577/18712*a^3 + 7411/18712*a^2 + 8291/18712*a - 165/9356, 1/18712*a^29 + 87/2339*a^25 - 303/9356*a^24 - 809/9356*a^23 - 1533/18712*a^22 + 851/18712*a^21 - 156/2339*a^20 - 321/4678*a^19 - 725/9356*a^18 + 127/2339*a^17 - 313/4678*a^16 + 3887/18712*a^15 + 883/9356*a^14 - 2765/18712*a^13 - 27/2339*a^12 - 516/2339*a^11 - 515/9356*a^10 + 1033/9356*a^9 + 2323/18712*a^8 + 9297/18712*a^7 + 4651/18712*a^6 - 5859/18712*a^5 + 781/9356*a^4 + 219/4678*a^3 - 41/9356*a^2 + 1034/2339*a + 1106/2339, 1/37424*a^30 - 1/37424*a^29 - 1/37424*a^27 - 1/37424*a^26 - 49/18712*a^25 + 1527/37424*a^24 + 947/37424*a^23 + 623/9356*a^22 - 195/37424*a^21 - 3919/37424*a^20 + 1661/18712*a^19 - 4241/37424*a^18 + 3615/37424*a^17 + 811/9356*a^16 + 8667/37424*a^15 + 2057/37424*a^14 - 3561/18712*a^13 - 4073/37424*a^12 - 6067/37424*a^11 + 513/18712*a^10 + 133/37424*a^9 + 7983/37424*a^8 + 879/9356*a^7 - 4443/37424*a^6 - 3585/37424*a^5 - 1257/4678*a^4 - 627/37424*a^3 + 3803/18712*a^2 + 8599/37424*a - 16809/37424, 1/37424*a^31 - 1/37424*a^29 - 1/37424*a^28 - 1/37424*a^26 - 905/37424*a^25 + 587/18712*a^24 + 2695/37424*a^23 - 915/37424*a^22 - 861/18712*a^21 - 1299/37424*a^20 - 2075/37424*a^19 + 795/18712*a^18 + 3401/37424*a^17 + 2307/37424*a^16 - 591/9356*a^15 + 775/37424*a^14 + 115/37424*a^13 - 2357/18712*a^12 + 6695/37424*a^11 - 6123/37424*a^10 - 1351/18712*a^9 + 3723/37424*a^8 - 1831/37424*a^7 - 1617/18712*a^6 - 7145/37424*a^5 + 16731/37424*a^4 - 14247/37424*a^3 + 10333/37424*a^2 - 491/4678*a - 14949/37424, 1/37424*a^32 + 145/18712*a^25 + 12/2339*a^24 - 7/2339*a^23 + 837/9356*a^22 - 317/4678*a^21 + 509/9356*a^20 + 323/4678*a^19 + 231/2339*a^18 + 1333/18712*a^17 + 1319/18712*a^16 + 793/4678*a^15 + 161/2339*a^14 + 793/4678*a^13 + 843/4678*a^12 + 2855/18712*a^11 - 967/9356*a^10 + 1587/18712*a^9 - 1805/9356*a^8 - 233/4678*a^7 + 1107/2339*a^6 + 1485/4678*a^5 + 14659/37424*a^4 + 3721/18712*a^3 + 561/4678*a^2 + 9131/18712*a - 5783/37424, 1/2657104*a^33 + 23/2657104*a^32 - 5/664276*a^31 - 11/2657104*a^30 - 49/2657104*a^29 + 4/166069*a^28 + 55/2657104*a^27 + 1/2657104*a^26 - 30461/1328552*a^25 - 37611/2657104*a^24 + 134083/2657104*a^23 + 5417/332138*a^22 - 118787/2657104*a^21 - 213459/2657104*a^20 - 95335/1328552*a^19 - 1559/37424*a^18 + 242815/2657104*a^17 + 11156/166069*a^16 - 31513/2657104*a^15 - 454795/2657104*a^14 - 96857/1328552*a^13 + 486341/2657104*a^12 - 16143/2657104*a^11 - 201295/1328552*a^10 - 343135/2657104*a^9 - 294883/2657104*a^8 - 287299/664276*a^7 - 835547/2657104*a^6 - 274501/1328552*a^5 + 382969/2657104*a^4 - 577937/2657104*a^3 - 10097/166069*a^2 + 119315/1328552*a + 36137/332138, 1/1007042416*a^34 - 63/1007042416*a^33 + 5391/503521208*a^32 + 4691/1007042416*a^31 + 451/62940151*a^30 + 20537/1007042416*a^29 - 2893/1007042416*a^28 + 6333/503521208*a^27 - 19757/1007042416*a^26 + 4922793/1007042416*a^25 - 9492115/503521208*a^24 + 32839273/1007042416*a^23 - 64081373/1007042416*a^22 - 3494463/62940151*a^21 - 68276335/1007042416*a^20 + 49489229/1007042416*a^19 - 13672153/503521208*a^18 - 1828599/1007042416*a^17 - 64532487/1007042416*a^16 + 14550989/62940151*a^15 - 197872521/1007042416*a^14 - 139071153/1007042416*a^13 + 123737257/503521208*a^12 - 7109357/1007042416*a^11 - 205985815/1007042416*a^10 - 63572405/503521208*a^9 + 206878477/1007042416*a^8 + 484550833/1007042416*a^7 + 490227423/1007042416*a^6 - 44330525/125880302*a^5 + 22333199/1007042416*a^4 - 236487795/1007042416*a^3 + 217613711/503521208*a^2 + 266446385/1007042416*a - 82066885/1007042416, 1/654806165769816717492290372874742951038014591515403581300565990148980567751950035379939270660944195839416062794795092601090819476764297943415632*a^35 + 99529903821029373495419164580036936828251897564510055223944805791134781518972119839895714732606888277200059338636181284448210864497381/654806165769816717492290372874742951038014591515403581300565990148980567751950035379939270660944195839416062794795092601090819476764297943415632*a^34 - 63533823143502871407552633738138994823294580539834609538941319139793349652577807070523208976379631880432666181989598423220345753655845105/654806165769816717492290372874742951038014591515403581300565990148980567751950035379939270660944195839416062794795092601090819476764297943415632*a^33 - 2978227568498832817886704254536389228174656670663528605633934599334049688989580970638154697237561443639638605065452558309944351581888309147/327403082884908358746145186437371475519007295757701790650282995074490283875975017689969635330472097919708031397397546300545409738382148971707816*a^32 + 1645979685465437024432858290072319301421399665497748131395525138486915642951863999725787830627997524976194940821884968362163827851360156961/163701541442454179373072593218685737759503647878850895325141497537245141937987508844984817665236048959854015698698773150272704869191074485853908*a^31 - 1626525935112215043603150708140195324059607202011725659275413865979995803628797264912594611779681767713160417974562557212373237897599268463/163701541442454179373072593218685737759503647878850895325141497537245141937987508844984817665236048959854015698698773150272704869191074485853908*a^30 - 3089995315642533498572926918763584564997102660871535536179803876220492512307058165549993758559943830694631839274688046676396432659568600193/163701541442454179373072593218685737759503647878850895325141497537245141937987508844984817665236048959854015698698773150272704869191074485853908*a^29 + 8395698614311022979288435720589619516089013623295639176978585792324768005162093186373915549794199175619601147703544221724938549104392677941/327403082884908358746145186437371475519007295757701790650282995074490283875975017689969635330472097919708031397397546300545409738382148971707816*a^28 - 5440322642020909166877438333920928931615330165119121699908311041643961016084970836073405588796586841831240002697560558960544103613720661607/327403082884908358746145186437371475519007295757701790650282995074490283875975017689969635330472097919708031397397546300545409738382148971707816*a^27 + 854528100677475972379332546737831496756218621864587245508977880668981706959450095790032988912794577135099179409605123131671278914139672527/81850770721227089686536296609342868879751823939425447662570748768622570968993754422492408832618024479927007849349386575136352434595537242926954*a^26 - 7367468922743277501688882292101620712372937409159315305355286774769434677732319115745974579689627270267636823453854173217830536045985432130821/327403082884908358746145186437371475519007295757701790650282995074490283875975017689969635330472097919708031397397546300545409738382148971707816*a^25 - 3010843379596188242134972390057098268216364340783447453974397459145224797914565461608856243030170143833098674680433338231895326804096595925325/163701541442454179373072593218685737759503647878850895325141497537245141937987508844984817665236048959854015698698773150272704869191074485853908*a^24 - 5174038796065012133140410649881711322581241441217675511100661697162951533392096008412051054577977967856265183708121716521429262001720940297941/81850770721227089686536296609342868879751823939425447662570748768622570968993754422492408832618024479927007849349386575136352434595537242926954*a^23 - 7000516804456571068455468556413931671289190410865303786458571352007340944812705204732820175239724357132729145774797428326318533029224273377245/163701541442454179373072593218685737759503647878850895325141497537245141937987508844984817665236048959854015698698773150272704869191074485853908*a^22 - 15037575194897760787547766803311634395635572345619904210262032111876884241805556884026542597418078584080224236157517410708485294795242006713813/163701541442454179373072593218685737759503647878850895325141497537245141937987508844984817665236048959854015698698773150272704869191074485853908*a^21 + 39068703037809835781729297403230982503973222925391592781469120336139456006618231868853471814289057575652731891885322127983222268897005829699069/327403082884908358746145186437371475519007295757701790650282995074490283875975017689969635330472097919708031397397546300545409738382148971707816*a^20 - 7417491922100697622019804535612423651267385545865888412250955317132572009132825289224316890365617467173382053316876755925098413383501670852499/327403082884908358746145186437371475519007295757701790650282995074490283875975017689969635330472097919708031397397546300545409738382148971707816*a^19 + 15130324457321727465148054199848017236448076584241274411145328901156801286680200246825681342368275682725858994502954392740181504898466356618675/163701541442454179373072593218685737759503647878850895325141497537245141937987508844984817665236048959854015698698773150272704869191074485853908*a^18 + 1481629190193598241427793905923984935522124929529080675846036213769342304544454543308154720994258957797214421817429381619668361372398440312733/40925385360613544843268148304671434439875911969712723831285374384311285484496877211246204416309012239963503924674693287568176217297768621463477*a^17 - 7746547431419288633978906852945654288170293661858290340095746310356998089509064047792900615733411362007004538696272029423822090384435399497939/81850770721227089686536296609342868879751823939425447662570748768622570968993754422492408832618024479927007849349386575136352434595537242926954*a^16 + 18896838253226531456253064861192552790067145571937173576164837628694012559521501466686831924222414313547621645001337096437281568299729849207665/81850770721227089686536296609342868879751823939425447662570748768622570968993754422492408832618024479927007849349386575136352434595537242926954*a^15 + 25211493053894643841221801710576453507521812158363753877592868118154089625075259438067944724511307401672870544873291182274777197700743067257953/327403082884908358746145186437371475519007295757701790650282995074490283875975017689969635330472097919708031397397546300545409738382148971707816*a^14 - 31432573819004534143832288146120516601778873211303394672211879068487725999832413861822253365440881503758805857405857534961140413002706572357145/327403082884908358746145186437371475519007295757701790650282995074490283875975017689969635330472097919708031397397546300545409738382148971707816*a^13 - 61733031536905053397238516265036232825092095566294386270178840554944328132088228977239601612169566253802628684610246213888302953964590737927483/327403082884908358746145186437371475519007295757701790650282995074490283875975017689969635330472097919708031397397546300545409738382148971707816*a^12 - 5329475158881709192205122624964629190766597198507151148290075178181867350427172587126803951072417414239404014203874782412420421732321819562015/81850770721227089686536296609342868879751823939425447662570748768622570968993754422492408832618024479927007849349386575136352434595537242926954*a^11 + 10048803284230951269991414030387355732666293210186454171011027689049317800886747964385223991411919731755691061759540897329934784315655415426212/40925385360613544843268148304671434439875911969712723831285374384311285484496877211246204416309012239963503924674693287568176217297768621463477*a^10 + 76639207465562811144680524866168768976645895552826421070979698702683039339018613519178510539841857854996678329824612661108435680974801994108865/327403082884908358746145186437371475519007295757701790650282995074490283875975017689969635330472097919708031397397546300545409738382148971707816*a^9 + 1515346918307160841499673179592975604755243958238339711486427197699426069940621636831354931910811286835947444048014268301378389213932334519661/40925385360613544843268148304671434439875911969712723831285374384311285484496877211246204416309012239963503924674693287568176217297768621463477*a^8 - 6878590378350091770708200092581807409008366298637346572176451349229795475561961240134332961187529190749951024777551189023173994139964723823429/654806165769816717492290372874742951038014591515403581300565990148980567751950035379939270660944195839416062794795092601090819476764297943415632*a^7 - 126754251859767982047574744101928464424277308251681492678332494824399275038362571060212471344884540156688730388574014851091178082948137156212063/654806165769816717492290372874742951038014591515403581300565990148980567751950035379939270660944195839416062794795092601090819476764297943415632*a^6 - 255020496483988972106054482114702989639962234617553074034747822700671164454919131178012463231796507401913334324800497595948692863761743695736515/654806165769816717492290372874742951038014591515403581300565990148980567751950035379939270660944195839416062794795092601090819476764297943415632*a^5 + 34731421960156704966072371833133332229796601110899083249827648973967185110579446536143680087258365730729491660466102289095815327486223211065183/327403082884908358746145186437371475519007295757701790650282995074490283875975017689969635330472097919708031397397546300545409738382148971707816*a^4 + 282843497516403350959882650706696149287005563260944206346289658049866245613725497541508099204687302027339591530919450651566431781700429246840771/654806165769816717492290372874742951038014591515403581300565990148980567751950035379939270660944195839416062794795092601090819476764297943415632*a^3 - 115433382301385833891607945110530383597137555690546920683730955798236484088386823125334135253487754787075361401566791395635658656288491466940301/654806165769816717492290372874742951038014591515403581300565990148980567751950035379939270660944195839416062794795092601090819476764297943415632*a^2 + 320422816089053399586966191874400813812703629718518630721566254388756282975224011103947369546853180712843029447558762818395456553922106604879629/654806165769816717492290372874742951038014591515403581300565990148980567751950035379939270660944195839416062794795092601090819476764297943415632*a + 115766567081871639120398127097677911577616994817782387180656576790149060465747547278133256416084364840953775434238962099863491894050374419114997/327403082884908358746145186437371475519007295757701790650282995074490283875975017689969635330472097919708031397397546300545409738382148971707816

sage: K.integral_basis()

gp: K.zk

magma: IntegralBasis(K);

oscar: basis(OK)

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()

gp: K.clgp

magma: ClassGroup(K);

oscar: class_group(K)

Unit group

sage: UK = K.unit_group()

magma: UK, fUK := UnitGroup(K);

oscar: UK, fUK = unit_group(OK)

Rank:	$17$	sage: UK.rank() gp: K.fu magma: UnitRank(K); oscar: rank(UK)
Torsion generator:	\( -\frac{1948472461975804732312066020614828935121747005675589780158523113119478060075474815890879327287795831013280565253563322811}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{35} + \frac{33327852642171438936807691549663752832576889134211193139682234383856717703057290272702012290664602091997435166172405059723}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{34} - \frac{192148926038207654800028850504017923276421134484716543186208016546123053219432162058035485273618315803221959558133350086137}{361289650656208997747418467325043438871792368301265960712545314149116246732279436606013543070175539725097046778322993221264325992} a^{33} + \frac{3215746340696662447685434521523310423704184987174685593840695814735881795482080950890898962846832337485223407712383902277707}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{32} - \frac{11018718947463280015611843550298598032293246780601310000379659747676513066817084166323919350938193671236184321728792896097177}{361289650656208997747418467325043438871792368301265960712545314149116246732279436606013543070175539725097046778322993221264325992} a^{31} + \frac{126906436131843769168372674472469742170823601033689342471456322501635247504098493605577870092432019017085957648489899838697531}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{30} - \frac{636371226252463813419755389633507041126119926539333859065907901379677184931062145976823850288839943776997386647494188532684137}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{29} + \frac{175989954562419847200625332214831056609185874143912361432323385547583281836075288489048672274542540855575499511347303854976978}{45161206332026124718427308415630429858974046037658245089068164268639530841534929575751692883771942465637130847290374152658040749} a^{28} - \frac{11164071357326387859490635070453717964611047771881445683160761017116282083042186058548194902432023703229663147030425180135559693}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{27} + \frac{39953140431095881023747759220311683213814676429883168786013206533425614545576190023908166395803360978954223644534823532055507907}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{26} - \frac{16250979434714252476865685638156174921564802240550183745263940643886430798260882589322333728240494075951791941026954937472888531}{90322412664052249436854616831260859717948092075316490178136328537279061683069859151503385767543884931274261694580748305316081498} a^{25} + \frac{386090818083715758282975727756818206610872012299773534596478386719039679551340715940465858172588636610924490125129204552218499661}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{24} - \frac{1049676389279908322807282405067564205043745495379749494013990668244125791659305989456401540757754130555806266676305241927239622673}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{23} + \frac{1307936008310086494812465258414094913606669560297604558545717765504548808411725893534344488736274674155387092364070749372232197631}{361289650656208997747418467325043438871792368301265960712545314149116246732279436606013543070175539725097046778322993221264325992} a^{22} - \frac{5980169579059578017411224954798451706622789315916708080083592382202314869693481700000690216173498179107176052294579510573389748953}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{21} + \frac{12543771277746893043697047728015362836596929135942007809275957465074276543791541525127007139148266250178042156119887635074405739539}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{20} - \frac{6040862690084644644290545933556656866903782901797405259231851353368045934134326369989774002490606396002348078099246352539903452463}{180644825328104498873709233662521719435896184150632980356272657074558123366139718303006771535087769862548523389161496610632162996} a^{19} + \frac{42854519305875079275938259668082979727904625995931846493429210740539154090310175402075522110278100777442867689831809143916825193385}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{18} - \frac{70411237510880247569929686397156289365800412568926144732736800164671932583703401117232231412936337778119323504155023288966318681613}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{17} + \frac{6773943401708452467416923712089571645930203919679670700287659824042857611679332353125398150767897762750853302876905084386013233141}{45161206332026124718427308415630429858974046037658245089068164268639530841534929575751692883771942465637130847290374152658040749} a^{16} - \frac{158847008892807797362312010906260978341442222519542961570251354830543431671604880913343037796982038605941511312288415799992292706135}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{15} + \frac{225317550622971936724207449690307917953526696754444166136572646108166970950732266580774320234681669900724472867944175222197858602039}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{14} - \frac{155646198825224909007381613989009567844286742744900075549039533656837634177721445947190079944094364028452691225103918485186032940083}{361289650656208997747418467325043438871792368301265960712545314149116246732279436606013543070175539725097046778322993221264325992} a^{13} + \frac{414586453863066565530691747587627767926293764599735720156929790445288445115931828017005712032907018506297070173269010950917324891907}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{12} - \frac{518368664658695095217240906285569767384076434694770513398832662512496106179390059577519050848319877382091223856170132916777651131961}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{11} + \frac{147429071848821161338420781390414087205363717606043875210810733378339647731634277306279825566991515304223794440382559751027659920203}{180644825328104498873709233662521719435896184150632980356272657074558123366139718303006771535087769862548523389161496610632162996} a^{10} - \frac{592558257179199226382611571822344031662504710539665672580161172205964687837451043448659082648486701756901388741720756930018977146541}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{9} + \frac{513220486551894737330457771310863188513901654747520284844157280381732507983599296621739371650492352887453484178541249063139604315359}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{8} - \frac{378778427281237831036118927507366611547423122702765401749735027420277415989169229713465116893867349634497471429740889295449765276099}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{7} + \frac{119392296907778012869690224775549662288789815555512582973275209804906437333380771423156398318367299748751597447072221751447092920847}{361289650656208997747418467325043438871792368301265960712545314149116246732279436606013543070175539725097046778322993221264325992} a^{6} - \frac{138257423738011933296444167963289353962381235391515403561754671399403194266986116726126132218077248948803912250066495969760996713633}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{5} + \frac{80136251635160187697676969526246248398247803822485764058830331418166021879111239379988541796546067046277932372048505651185241568855}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{4} - \frac{12107184678485166574006610577321432777445979470841392094567943726283127580742867750523182982250679537467373417355964315792541812999}{180644825328104498873709233662521719435896184150632980356272657074558123366139718303006771535087769862548523389161496610632162996} a^{3} + \frac{24693819569938966711261870915693027927652575858286628465399890467755504253322745806392245871239839836776152160144072482132690838369}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{2} - \frac{7300205954686389009540842370933926917418859311712121202152799540403718749799787928852066636572595237552223447620440205494577112161}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a + \frac{217615812908268322036849526221515324841901806395402810420920067848735205557287379956721562869002299638915642908095369149342093709}{361289650656208997747418467325043438871792368301265960712545314149116246732279436606013543070175539725097046778322993221264325992} \) -(1948472461975804732312066020614828935121747005675589780158523113119478060075474815890879327287795831013280565253563322811)/(722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984)a^(35) + (33327852642171438936807691549663752832576889134211193139682234383856717703057290272702012290664602091997435166172405059723)/(722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984)a^(34) - (192148926038207654800028850504017923276421134484716543186208016546123053219432162058035485273618315803221959558133350086137)/(361289650656208997747418467325043438871792368301265960712545314149116246732279436606013543070175539725097046778322993221264325992)a^(33) + (3215746340696662447685434521523310423704184987174685593840695814735881795482080950890898962846832337485223407712383902277707)/(722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984)a^(32) - (11018718947463280015611843550298598032293246780601310000379659747676513066817084166323919350938193671236184321728792896097177)/(361289650656208997747418467325043438871792368301265960712545314149116246732279436606013543070175539725097046778322993221264325992)a^(31) + (126906436131843769168372674472469742170823601033689342471456322501635247504098493605577870092432019017085957648489899838697531)/(722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984)a^(30) - (636371226252463813419755389633507041126119926539333859065907901379677184931062145976823850288839943776997386647494188532684137)/(722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984)a^(29) + (175989954562419847200625332214831056609185874143912361432323385547583281836075288489048672274542540855575499511347303854976978)/(45161206332026124718427308415630429858974046037658245089068164268639530841534929575751692883771942465637130847290374152658040749)a^(28) - (11164071357326387859490635070453717964611047771881445683160761017116282083042186058548194902432023703229663147030425180135559693)/(722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984)a^(27) + (39953140431095881023747759220311683213814676429883168786013206533425614545576190023908166395803360978954223644534823532055507907)/(722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984)a^(26) - (16250979434714252476865685638156174921564802240550183745263940643886430798260882589322333728240494075951791941026954937472888531)/(90322412664052249436854616831260859717948092075316490178136328537279061683069859151503385767543884931274261694580748305316081498)a^(25) + (386090818083715758282975727756818206610872012299773534596478386719039679551340715940465858172588636610924490125129204552218499661)/(722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984)a^(24) - (1049676389279908322807282405067564205043745495379749494013990668244125791659305989456401540757754130555806266676305241927239622673)/(722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984)a^(23) + (1307936008310086494812465258414094913606669560297604558545717765504548808411725893534344488736274674155387092364070749372232197631)/(361289650656208997747418467325043438871792368301265960712545314149116246732279436606013543070175539725097046778322993221264325992)a^(22) - (5980169579059578017411224954798451706622789315916708080083592382202314869693481700000690216173498179107176052294579510573389748953)/(722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984)a^(21) + (12543771277746893043697047728015362836596929135942007809275957465074276543791541525127007139148266250178042156119887635074405739539)/(722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984)a^(20) - (6040862690084644644290545933556656866903782901797405259231851353368045934134326369989774002490606396002348078099246352539903452463)/(180644825328104498873709233662521719435896184150632980356272657074558123366139718303006771535087769862548523389161496610632162996)a^(19) + (42854519305875079275938259668082979727904625995931846493429210740539154090310175402075522110278100777442867689831809143916825193385)/(722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984)a^(18) - (70411237510880247569929686397156289365800412568926144732736800164671932583703401117232231412936337778119323504155023288966318681613)/(722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984)a^(17) + (6773943401708452467416923712089571645930203919679670700287659824042857611679332353125398150767897762750853302876905084386013233141)/(45161206332026124718427308415630429858974046037658245089068164268639530841534929575751692883771942465637130847290374152658040749)a^(16) - (158847008892807797362312010906260978341442222519542961570251354830543431671604880913343037796982038605941511312288415799992292706135)/(722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984)a^(15) + (225317550622971936724207449690307917953526696754444166136572646108166970950732266580774320234681669900724472867944175222197858602039)/(722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984)a^(14) - (155646198825224909007381613989009567844286742744900075549039533656837634177721445947190079944094364028452691225103918485186032940083)/(361289650656208997747418467325043438871792368301265960712545314149116246732279436606013543070175539725097046778322993221264325992)a^(13) + (414586453863066565530691747587627767926293764599735720156929790445288445115931828017005712032907018506297070173269010950917324891907)/(722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984)a^(12) - (518368664658695095217240906285569767384076434694770513398832662512496106179390059577519050848319877382091223856170132916777651131961)/(722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984)a^(11) + (147429071848821161338420781390414087205363717606043875210810733378339647731634277306279825566991515304223794440382559751027659920203)/(180644825328104498873709233662521719435896184150632980356272657074558123366139718303006771535087769862548523389161496610632162996)a^(10) - (592558257179199226382611571822344031662504710539665672580161172205964687837451043448659082648486701756901388741720756930018977146541)/(722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984)a^(9) + (513220486551894737330457771310863188513901654747520284844157280381732507983599296621739371650492352887453484178541249063139604315359)/(722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984)a^(8) - (378778427281237831036118927507366611547423122702765401749735027420277415989169229713465116893867349634497471429740889295449765276099)/(722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984)a^(7) + (119392296907778012869690224775549662288789815555512582973275209804906437333380771423156398318367299748751597447072221751447092920847)/(361289650656208997747418467325043438871792368301265960712545314149116246732279436606013543070175539725097046778322993221264325992)a^(6) - (138257423738011933296444167963289353962381235391515403561754671399403194266986116726126132218077248948803912250066495969760996713633)/(722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984)a^(5) + (80136251635160187697676969526246248398247803822485764058830331418166021879111239379988541796546067046277932372048505651185241568855)/(722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984)a^(4) - (12107184678485166574006610577321432777445979470841392094567943726283127580742867750523182982250679537467373417355964315792541812999)/(180644825328104498873709233662521719435896184150632980356272657074558123366139718303006771535087769862548523389161496610632162996)a^(3) + (24693819569938966711261870915693027927652575858286628465399890467755504253322745806392245871239839836776152160144072482132690838369)/(722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984)a^(2) - (7300205954686389009540842370933926917418859311712121202152799540403718749799787928852066636572595237552223447620440205494577112161)/(722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984)*a + (217615812908268322036849526221515324841901806395402810420920067848735205557287379956721562869002299638915642908095369149342093709)/(361289650656208997747418467325043438871792368301265960712545314149116246732279436606013543070175539725097046778322993221264325992) (order $14$)	sage: UK.torsion_generator() gp: K.tu[2] magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K); oscar: torsion_units_generator(OK)
Fundamental units:	not computed	sage: UK.fundamental_units() gp: K.fu magma: [K\|fUK(g): g in Generators(UK)]; oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
Regulator:	not computed	sage: K.regulator() gp: K.reg magma: Regulator(K); oscar: regulator(K)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr $ not computed \end{aligned}\]

# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula

x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^36 - 18*x^35 + 213*x^34 - 1834*x^33 + 12864*x^32 - 75852*x^31 + 388741*x^30 - 1758153*x^29 + 7119996*x^28 - 26031435*x^27 + 86537859*x^26 - 262681356*x^25 + 730353369*x^24 - 1862961681*x^23 + 4363272450*x^22 - 9385700703*x^21 + 18553048287*x^20 - 33761779752*x^19 + 56822053891*x^18 - 89255367057*x^17 + 132728096550*x^16 - 189990042153*x^15 + 264621008625*x^14 - 357245583000*x^13 + 457679683451*x^12 - 539735803575*x^11 + 567877593576*x^10 - 518843066985*x^9 + 404506262502*x^8 - 268465079178*x^7 + 159238717534*x^6 - 93315446433*x^5 + 57261249099*x^4 - 31748050043*x^3 + 11317240791*x^2 - 1825389327*x + 225433657)

DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()

hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();

2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))

# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula

K = bnfinit(x^36 - 18*x^35 + 213*x^34 - 1834*x^33 + 12864*x^32 - 75852*x^31 + 388741*x^30 - 1758153*x^29 + 7119996*x^28 - 26031435*x^27 + 86537859*x^26 - 262681356*x^25 + 730353369*x^24 - 1862961681*x^23 + 4363272450*x^22 - 9385700703*x^21 + 18553048287*x^20 - 33761779752*x^19 + 56822053891*x^18 - 89255367057*x^17 + 132728096550*x^16 - 189990042153*x^15 + 264621008625*x^14 - 357245583000*x^13 + 457679683451*x^12 - 539735803575*x^11 + 567877593576*x^10 - 518843066985*x^9 + 404506262502*x^8 - 268465079178*x^7 + 159238717534*x^6 - 93315446433*x^5 + 57261249099*x^4 - 31748050043*x^3 + 11317240791*x^2 - 1825389327*x + 225433657, 1);

[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]

/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */

Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^36 - 18*x^35 + 213*x^34 - 1834*x^33 + 12864*x^32 - 75852*x^31 + 388741*x^30 - 1758153*x^29 + 7119996*x^28 - 26031435*x^27 + 86537859*x^26 - 262681356*x^25 + 730353369*x^24 - 1862961681*x^23 + 4363272450*x^22 - 9385700703*x^21 + 18553048287*x^20 - 33761779752*x^19 + 56822053891*x^18 - 89255367057*x^17 + 132728096550*x^16 - 189990042153*x^15 + 264621008625*x^14 - 357245583000*x^13 + 457679683451*x^12 - 539735803575*x^11 + 567877593576*x^10 - 518843066985*x^9 + 404506262502*x^8 - 268465079178*x^7 + 159238717534*x^6 - 93315446433*x^5 + 57261249099*x^4 - 31748050043*x^3 + 11317240791*x^2 - 1825389327*x + 225433657);

OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);

UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);

r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);

hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);

2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));

# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula

Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^36 - 18*x^35 + 213*x^34 - 1834*x^33 + 12864*x^32 - 75852*x^31 + 388741*x^30 - 1758153*x^29 + 7119996*x^28 - 26031435*x^27 + 86537859*x^26 - 262681356*x^25 + 730353369*x^24 - 1862961681*x^23 + 4363272450*x^22 - 9385700703*x^21 + 18553048287*x^20 - 33761779752*x^19 + 56822053891*x^18 - 89255367057*x^17 + 132728096550*x^16 - 189990042153*x^15 + 264621008625*x^14 - 357245583000*x^13 + 457679683451*x^12 - 539735803575*x^11 + 567877593576*x^10 - 518843066985*x^9 + 404506262502*x^8 - 268465079178*x^7 + 159238717534*x^6 - 93315446433*x^5 + 57261249099*x^4 - 31748050043*x^3 + 11317240791*x^2 - 1825389327*x + 225433657);

OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);

UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);

r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);

hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);

2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))

Galois group

$C_6^2$ (as 36T4):

sage: K.galois_group(type='pari')

gp: polgalois(K.pol)

magma: G = GaloisGroup(K);

oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)

An abelian group of order 36

The 36 conjugacy class representatives for $C_6^2$

Character table for $C_6^2$ is not computed

Intermediate fields

$\Q(\sqrt{77}) $, $\Q(\sqrt{-11}) $, $\Q(\sqrt{-7}) $, $\Q(\zeta_{9})^+$, 3.3.3969.2, $\Q(\zeta_{7})^+$, 3.3.3969.1, $\Q(\sqrt{-7}, \sqrt{-11})$, 6.6.2995313013.2, 6.6.146770337637.4, 6.6.22370117.1, 6.6.146770337637.3, 6.0.8732691.1, 6.0.2250423.1, 6.0.20967191091.5, 6.0.110270727.1, 6.0.3195731.1, $\Q(\zeta_{7})$, 6.0.20967191091.4, 6.0.110270727.2, 9.9.62523502209.1, 12.0.8971900045847138169.1, 12.0.21541532010078978743769.1, 12.0.500422134593689.1, 12.0.21541532010078978743769.2, 18.18.3161657926337534997259122239933853.2, 18.0.9217661592820801741280239766571.4, 18.0.1340851596668237962730583.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

sage: K.subfields()[1:-1]

gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]

magma: L := Subfields(K); L[2..#L];

oscar: subfields(K)[2:end-1]

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	${\href{/padicField/2.6.0.1}{6} }^{6}$	R	${\href{/padicField/5.6.0.1}{6} }^{6}$	R	R	${\href{/padicField/13.6.0.1}{6} }^{6}$	${\href{/padicField/17.6.0.1}{6} }^{6}$	${\href{/padicField/19.6.0.1}{6} }^{6}$	${\href{/padicField/23.3.0.1}{3} }^{12}$	${\href{/padicField/29.6.0.1}{6} }^{6}$	${\href{/padicField/31.6.0.1}{6} }^{6}$	${\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }^{12}$	${\href{/padicField/41.6.0.1}{6} }^{6}$	${\href{/padicField/43.6.0.1}{6} }^{6}$	${\href{/padicField/47.6.0.1}{6} }^{6}$	${\href{/padicField/53.3.0.1}{3} }^{12}$	${\href{/padicField/59.6.0.1}{6} }^{6}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:

p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]

\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:

p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])

// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:

p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:

p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
$3$ 3		Deg $18$	$3$	$6$	$24$
$3$ 3		Deg $18$	$3$	$6$	$24$
$7$ 7		Deg $36$	$6$	$6$	$30$
$11$ 11	11.6.3.2	$x^{6} + 37 x^{4} + 18 x^{3} + 367 x^{2} - 558 x + 972$	$2$	$3$	$3$	$C_6$	$[\ ]_{2}^{3}$
	11.6.3.2	$x^{6} + 37 x^{4} + 18 x^{3} + 367 x^{2} - 558 x + 972$	$2$	$3$	$3$	$C_6$	$[\ ]_{2}^{3}$
	11.6.3.2	$x^{6} + 37 x^{4} + 18 x^{3} + 367 x^{2} - 558 x + 972$	$2$	$3$	$3$	$C_6$	$[\ ]_{2}^{3}$
	11.6.3.2	$x^{6} + 37 x^{4} + 18 x^{3} + 367 x^{2} - 558 x + 972$	$2$	$3$	$3$	$C_6$	$[\ ]_{2}^{3}$
	11.6.3.2	$x^{6} + 37 x^{4} + 18 x^{3} + 367 x^{2} - 558 x + 972$	$2$	$3$	$3$	$C_6$	$[\ ]_{2}^{3}$
	11.6.3.2	$x^{6} + 37 x^{4} + 18 x^{3} + 367 x^{2} - 558 x + 972$	$2$	$3$	$3$	$C_6$	$[\ ]_{2}^{3}$

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more