LMFDB - Number field 36.0.6858379380370190025774854438611053598470472411685943603515625.1

Show commands: Magma / Oscar / PariGP / SageMath

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^36 + 9*x^34 - 4*x^33 + 72*x^32 - 69*x^31 + 584*x^30 + 981*x^29 + 4881*x^28 + 7326*x^27 + 34614*x^26 + 39264*x^25 + 241820*x^24 + 164610*x^23 + 347325*x^22 + 272002*x^21 + 443511*x^20 + 341952*x^19 + 513316*x^18 + 62091*x^17 + 423768*x^16 + 53105*x^15 + 415071*x^14 + 105954*x^13 + 408896*x^12 + 148752*x^11 + 103692*x^10 + 47916*x^9 + 30861*x^8 + 10350*x^7 + 8009*x^6 - 1710*x^5 + 372*x^4 - 77*x^3 + 18*x^2 - 3*x + 1)

gp: K = bnfinit(y^36 + 9*y^34 - 4*y^33 + 72*y^32 - 69*y^31 + 584*y^30 + 981*y^29 + 4881*y^28 + 7326*y^27 + 34614*y^26 + 39264*y^25 + 241820*y^24 + 164610*y^23 + 347325*y^22 + 272002*y^21 + 443511*y^20 + 341952*y^19 + 513316*y^18 + 62091*y^17 + 423768*y^16 + 53105*y^15 + 415071*y^14 + 105954*y^13 + 408896*y^12 + 148752*y^11 + 103692*y^10 + 47916*y^9 + 30861*y^8 + 10350*y^7 + 8009*y^6 - 1710*y^5 + 372*y^4 - 77*y^3 + 18*y^2 - 3*y + 1, 1)

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^36 + 9*x^34 - 4*x^33 + 72*x^32 - 69*x^31 + 584*x^30 + 981*x^29 + 4881*x^28 + 7326*x^27 + 34614*x^26 + 39264*x^25 + 241820*x^24 + 164610*x^23 + 347325*x^22 + 272002*x^21 + 443511*x^20 + 341952*x^19 + 513316*x^18 + 62091*x^17 + 423768*x^16 + 53105*x^15 + 415071*x^14 + 105954*x^13 + 408896*x^12 + 148752*x^11 + 103692*x^10 + 47916*x^9 + 30861*x^8 + 10350*x^7 + 8009*x^6 - 1710*x^5 + 372*x^4 - 77*x^3 + 18*x^2 - 3*x + 1);

oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^36 + 9*x^34 - 4*x^33 + 72*x^32 - 69*x^31 + 584*x^30 + 981*x^29 + 4881*x^28 + 7326*x^27 + 34614*x^26 + 39264*x^25 + 241820*x^24 + 164610*x^23 + 347325*x^22 + 272002*x^21 + 443511*x^20 + 341952*x^19 + 513316*x^18 + 62091*x^17 + 423768*x^16 + 53105*x^15 + 415071*x^14 + 105954*x^13 + 408896*x^12 + 148752*x^11 + 103692*x^10 + 47916*x^9 + 30861*x^8 + 10350*x^7 + 8009*x^6 - 1710*x^5 + 372*x^4 - 77*x^3 + 18*x^2 - 3*x + 1)

$ x^{36} + 9 x^{34} - 4 x^{33} + 72 x^{32} - 69 x^{31} + 584 x^{30} + 981 x^{29} + 4881 x^{28} + 7326 x^{27} + \cdots + 1 $ x^36 + 9*x^34 - 4*x^33 + 72*x^32 - 69*x^31 + 584*x^30 + 981*x^29 + 4881*x^28 + 7326*x^27 + 34614*x^26 + 39264*x^25 + 241820*x^24 + 164610*x^23 + 347325*x^22 + 272002*x^21 + 443511*x^20 + 341952*x^19 + 513316*x^18 + 62091*x^17 + 423768*x^16 + 53105*x^15 + 415071*x^14 + 105954*x^13 + 408896*x^12 + 148752*x^11 + 103692*x^10 + 47916*x^9 + 30861*x^8 + 10350*x^7 + 8009*x^6 - 1710*x^5 + 372*x^4 - 77*x^3 + 18*x^2 - 3*x + 1

sage: K.defining_polynomial()

gp: K.pol

magma: DefiningPolynomial(K);

oscar: defining_polynomial(K)

Invariants

Degree:	$36$	sage: K.degree() gp: poldegree(K.pol) magma: Degree(K); oscar: degree(K)
Signature:	$[0, 18]$	sage: K.signature() gp: K.sign magma: Signature(K); oscar: signature(K)
Discriminant:	$6858379380370190025774854438611053598470472411685943603515625$ 6858379380370190025774854438611053598470472411685943603515625 $\medspace = 3^{48}\cdot 5^{18}\cdot 7^{30}$	sage: K.disc() gp: K.disc magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK); oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
Root discriminant:	$48.97$	sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree()) gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol)) magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K)); oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
Galois root discriminant:	$3^{4/3}5^{1/2}7^{5/6}\approx 48.96604662897932$
Ramified primes:	$3$, $5$, $7$ 3, 5, 7	sage: K.disc().support() gp: factor(abs(K.disc))[,1]~ magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK)); oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
Discriminant root field:	$\Q$
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:	$36$	sage: K.automorphisms() magma: Automorphisms(K); oscar: automorphisms(K)
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:	$315=3^{2}\cdot 5\cdot 7$
Dirichlet character group:	$\lbrace$$\chi_{315}(256,·)$, $\chi_{315}(1,·)$, $\chi_{315}(4,·)$, $\chi_{315}(136,·)$, $\chi_{315}(139,·)$, $\chi_{315}(271,·)$, $\chi_{315}(16,·)$, $\chi_{315}(274,·)$, $\chi_{315}(19,·)$, $\chi_{315}(151,·)$, $\chi_{315}(286,·)$, $\chi_{315}(31,·)$, $\chi_{315}(289,·)$, $\chi_{315}(34,·)$, $\chi_{315}(166,·)$, $\chi_{315}(169,·)$, $\chi_{315}(46,·)$, $\chi_{315}(304,·)$, $\chi_{315}(181,·)$, $\chi_{315}(184,·)$, $\chi_{315}(61,·)$, $\chi_{315}(64,·)$, $\chi_{315}(199,·)$, $\chi_{315}(76,·)$, $\chi_{315}(79,·)$, $\chi_{315}(211,·)$, $\chi_{315}(214,·)$, $\chi_{315}(94,·)$, $\chi_{315}(226,·)$, $\chi_{315}(229,·)$, $\chi_{315}(106,·)$, $\chi_{315}(109,·)$, $\chi_{315}(241,·)$, $\chi_{315}(244,·)$, $\chi_{315}(121,·)$, $\chi_{315}(124,·)$$\rbrace$
This is a CM field.
Reflex fields:	unavailable$^{131072}$

Integral basis (with respect to field generator $a$)

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $\frac{1}{2}a^{14}-\frac{1}{2}a^{7}-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}a^{15}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{2}a^{16}-\frac{1}{2}a^{9}-\frac{1}{2}a^{2}$, $\frac{1}{2}a^{17}-\frac{1}{2}a^{10}-\frac{1}{2}a^{3}$, $\frac{1}{2}a^{18}-\frac{1}{2}a^{11}-\frac{1}{2}a^{4}$, $\frac{1}{2}a^{19}-\frac{1}{2}a^{12}-\frac{1}{2}a^{5}$, $\frac{1}{2}a^{20}-\frac{1}{2}a^{13}-\frac{1}{2}a^{6}$, $\frac{1}{26}a^{21}-\frac{3}{26}a^{14}+\frac{3}{26}a^{7}-\frac{4}{13}$, $\frac{1}{26}a^{22}-\frac{3}{26}a^{15}+\frac{3}{26}a^{8}-\frac{4}{13}a$, $\frac{1}{26}a^{23}-\frac{3}{26}a^{16}+\frac{3}{26}a^{9}-\frac{4}{13}a^{2}$, $\frac{1}{26}a^{24}-\frac{3}{26}a^{17}+\frac{3}{26}a^{10}-\frac{4}{13}a^{3}$, $\frac{1}{26}a^{25}-\frac{3}{26}a^{18}+\frac{3}{26}a^{11}-\frac{4}{13}a^{4}$, $\frac{1}{60814}a^{26}+\frac{775}{60814}a^{25}-\frac{498}{30407}a^{24}-\frac{45}{60814}a^{23}+\frac{175}{30407}a^{22}-\frac{527}{30407}a^{21}+\frac{225}{4678}a^{20}+\frac{4646}{30407}a^{19}-\frac{2273}{60814}a^{18}+\frac{5835}{60814}a^{17}-\frac{4320}{30407}a^{16}-\frac{9591}{60814}a^{15}+\frac{3955}{60814}a^{14}+\frac{1885}{4678}a^{13}-\frac{9300}{30407}a^{12}-\frac{12365}{60814}a^{11}-\frac{25361}{60814}a^{10}+\frac{5360}{30407}a^{9}-\frac{26679}{60814}a^{8}-\frac{19139}{60814}a^{7}+\frac{501}{4678}a^{6}+\frac{30399}{60814}a^{5}-\frac{13266}{30407}a^{4}-\frac{28913}{60814}a^{3}+\frac{30377}{60814}a^{2}+\frac{30337}{60814}a-\frac{22937}{60814}$, $\frac{1}{60814}a^{27}-\frac{249}{30407}a^{25}-\frac{15}{60814}a^{24}+\frac{70}{30407}a^{23}-\frac{490}{30407}a^{22}+\frac{1125}{60814}a^{21}-\frac{7465}{60814}a^{20}+\frac{111}{2339}a^{19}-\frac{2776}{30407}a^{18}+\frac{2278}{30407}a^{17}+\frac{10903}{60814}a^{16}-\frac{2859}{30407}a^{15}-\frac{6937}{60814}a^{14}+\frac{24807}{60814}a^{13}+\frac{774}{2339}a^{12}+\frac{9536}{30407}a^{11}-\frac{6256}{30407}a^{10}-\frac{17195}{60814}a^{9}+\frac{1858}{30407}a^{8}+\frac{7639}{60814}a^{7}+\frac{15193}{30407}a^{6}-\frac{782}{2339}a^{5}+\frac{1992}{30407}a^{4}-\frac{75}{60814}a^{3}+\frac{30197}{60814}a^{2}+\frac{9809}{30407}a+\frac{15091}{30407}$, $\frac{1}{121628}a^{28}-\frac{27}{2339}a^{21}+\frac{6247}{121628}a^{14}+\frac{14125}{60814}a^{7}-\frac{10645}{121628}$, $\frac{1}{121628}a^{29}-\frac{27}{2339}a^{22}+\frac{6247}{121628}a^{15}+\frac{14125}{60814}a^{8}-\frac{10645}{121628}a$, $\frac{1}{2310932}a^{30}-\frac{7}{2310932}a^{29}+\frac{9}{2310932}a^{28}-\frac{5}{1155466}a^{27}-\frac{7}{1155466}a^{26}-\frac{2637}{577733}a^{25}+\frac{15}{577733}a^{24}+\frac{12947}{1155466}a^{23}-\frac{3335}{577733}a^{22}-\frac{13921}{1155466}a^{21}-\frac{256813}{1155466}a^{20}-\frac{70144}{577733}a^{19}+\frac{25344}{577733}a^{18}+\frac{109461}{1155466}a^{17}+\frac{4277}{177764}a^{16}+\frac{110301}{2310932}a^{15}-\frac{420967}{2310932}a^{14}-\frac{143535}{1155466}a^{13}-\frac{15617}{577733}a^{12}-\frac{68725}{577733}a^{11}-\frac{358697}{1155466}a^{10}+\frac{216023}{577733}a^{9}+\frac{17419}{44441}a^{8}-\frac{282670}{577733}a^{7}-\frac{53150}{577733}a^{6}+\frac{253751}{1155466}a^{5}+\frac{183479}{577733}a^{4}+\frac{410937}{1155466}a^{3}+\frac{132215}{2310932}a^{2}-\frac{1051607}{2310932}a-\frac{1082277}{2310932}$, $\frac{1}{45\!\cdots\!08}a^{31}+\frac{23105260015}{11\!\cdots\!77}a^{30}-\frac{1111292257065}{45\!\cdots\!08}a^{29}+\frac{207947340134}{11\!\cdots\!77}a^{28}-\frac{703862467853}{11\!\cdots\!77}a^{27}-\frac{117156495543}{22\!\cdots\!54}a^{26}-\frac{42927993103091}{88\!\cdots\!29}a^{25}+\frac{31\!\cdots\!57}{22\!\cdots\!54}a^{24}+\frac{175977625160275}{22\!\cdots\!54}a^{23}+\frac{168219920864031}{11\!\cdots\!77}a^{22}-\frac{481231921091797}{11\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{27\!\cdots\!63}{22\!\cdots\!54}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!21}{17\!\cdots\!58}a^{18}-\frac{58\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!08}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!79}{22\!\cdots\!54}a^{16}+\frac{46\!\cdots\!03}{45\!\cdots\!08}a^{15}-\frac{21\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!66}a^{14}-\frac{71\!\cdots\!79}{22\!\cdots\!54}a^{13}+\frac{58\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{25\!\cdots\!99}{17\!\cdots\!58}a^{11}-\frac{203517809502569}{60\!\cdots\!83}a^{10}+\frac{54\!\cdots\!75}{22\!\cdots\!54}a^{9}-\frac{29\!\cdots\!90}{88\!\cdots\!29}a^{8}-\frac{34\!\cdots\!55}{22\!\cdots\!54}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!45}{22\!\cdots\!54}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!55}{22\!\cdots\!54}a^{5}-\frac{51\!\cdots\!85}{17\!\cdots\!58}a^{4}-\frac{22\!\cdots\!17}{45\!\cdots\!08}a^{3}-\frac{27\!\cdots\!17}{88\!\cdots\!29}a^{2}-\frac{41\!\cdots\!61}{45\!\cdots\!08}a+\frac{10\!\cdots\!37}{22\!\cdots\!54}$, $\frac{1}{45\!\cdots\!08}a^{32}-\frac{23764359469}{45\!\cdots\!08}a^{30}-\frac{15135525266}{88\!\cdots\!29}a^{29}-\frac{106939617615}{22\!\cdots\!54}a^{28}-\frac{1605218042699}{22\!\cdots\!54}a^{27}+\frac{359288843370}{11\!\cdots\!77}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!77}a^{25}-\frac{43\!\cdots\!35}{22\!\cdots\!54}a^{24}+\frac{33\!\cdots\!93}{22\!\cdots\!54}a^{23}+\frac{13\!\cdots\!17}{22\!\cdots\!54}a^{22}-\frac{169629107282369}{88\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{50\!\cdots\!27}{22\!\cdots\!54}a^{20}+\frac{25\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{44\!\cdots\!43}{45\!\cdots\!08}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{22\!\cdots\!05}{45\!\cdots\!08}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!95}{22\!\cdots\!54}a^{15}+\frac{25\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!77}a^{14}-\frac{68\!\cdots\!17}{22\!\cdots\!54}a^{13}-\frac{24\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!77}a^{12}-\frac{20\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!77}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{42\!\cdots\!17}{22\!\cdots\!54}a^{9}+\frac{58\!\cdots\!25}{22\!\cdots\!54}a^{8}-\frac{41\!\cdots\!05}{22\!\cdots\!54}a^{7}+\frac{79\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!77}a^{6}+\frac{34\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{54\!\cdots\!69}{45\!\cdots\!08}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!47}{22\!\cdots\!54}a^{3}-\frac{35\!\cdots\!33}{45\!\cdots\!08}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!77}a+\frac{45\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!77}$, $\frac{1}{45\!\cdots\!08}a^{33}-\frac{18297050831}{11\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{58351001975}{17\!\cdots\!58}a^{29}-\frac{658693829913}{45\!\cdots\!08}a^{28}+\frac{100503475839}{17\!\cdots\!58}a^{27}-\frac{707998243103}{22\!\cdots\!54}a^{26}+\frac{186753388451783}{17\!\cdots\!58}a^{25}-\frac{21\!\cdots\!49}{22\!\cdots\!54}a^{24}-\frac{23\!\cdots\!07}{22\!\cdots\!54}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{667686234541668}{11\!\cdots\!77}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!23}{88\!\cdots\!29}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!65}{45\!\cdots\!08}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!61}{88\!\cdots\!29}a^{18}+\frac{29\!\cdots\!91}{22\!\cdots\!54}a^{17}-\frac{44\!\cdots\!79}{22\!\cdots\!54}a^{16}-\frac{73\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{70\!\cdots\!45}{45\!\cdots\!08}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!52}{88\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{47\!\cdots\!45}{22\!\cdots\!54}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!99}{88\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!09}{22\!\cdots\!54}a^{10}+\frac{40\!\cdots\!63}{22\!\cdots\!54}a^{9}-\frac{45\!\cdots\!63}{22\!\cdots\!54}a^{8}-\frac{95\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{536371961634459}{17\!\cdots\!58}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!81}{35\!\cdots\!16}a^{5}-\frac{56\!\cdots\!13}{17\!\cdots\!58}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!46}{11\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!77}a+\frac{33\!\cdots\!47}{45\!\cdots\!08}$, $\frac{1}{45\!\cdots\!08}a^{34}+\frac{4514409845}{45\!\cdots\!08}a^{30}-\frac{204492063713}{11\!\cdots\!77}a^{29}+\frac{1562680331}{17\!\cdots\!58}a^{28}-\frac{308911468941}{11\!\cdots\!77}a^{27}-\frac{90510886477}{22\!\cdots\!54}a^{26}-\frac{790221906980721}{11\!\cdots\!77}a^{25}-\frac{15\!\cdots\!05}{22\!\cdots\!54}a^{24}+\frac{24\!\cdots\!43}{22\!\cdots\!54}a^{23}+\frac{27\!\cdots\!07}{22\!\cdots\!54}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!73}{22\!\cdots\!54}a^{21}+\frac{79\!\cdots\!39}{45\!\cdots\!08}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!91}{22\!\cdots\!54}a^{19}+\frac{36\!\cdots\!27}{22\!\cdots\!54}a^{18}-\frac{37\!\cdots\!43}{22\!\cdots\!54}a^{17}+\frac{97\!\cdots\!31}{45\!\cdots\!08}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!77}a^{15}+\frac{45\!\cdots\!19}{22\!\cdots\!54}a^{14}-\frac{95\!\cdots\!53}{22\!\cdots\!54}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!57}{22\!\cdots\!54}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!89}{22\!\cdots\!54}a^{11}-\frac{26\!\cdots\!39}{22\!\cdots\!54}a^{10}+\frac{52\!\cdots\!59}{22\!\cdots\!54}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{27\!\cdots\!98}{60\!\cdots\!83}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!67}{45\!\cdots\!08}a^{6}-\frac{51\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{24\!\cdots\!57}{22\!\cdots\!54}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!61}{35\!\cdots\!16}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!87}{22\!\cdots\!54}a-\frac{28\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!77}$, $\frac{1}{45\!\cdots\!08}a^{35}-\frac{705869272569}{22\!\cdots\!54}a^{28}+\frac{74\!\cdots\!45}{45\!\cdots\!08}a^{21}-\frac{49\!\cdots\!77}{22\!\cdots\!54}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!67}{45\!\cdots\!08}a^{7}+\frac{25\!\cdots\!85}{22\!\cdots\!54}$ 1, a, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, a^8, a^9, a^10, a^11, a^12, a^13, 1/2*a^14 - 1/2*a^7 - 1/2, 1/2*a^15 - 1/2*a^8 - 1/2*a, 1/2*a^16 - 1/2*a^9 - 1/2*a^2, 1/2*a^17 - 1/2*a^10 - 1/2*a^3, 1/2*a^18 - 1/2*a^11 - 1/2*a^4, 1/2*a^19 - 1/2*a^12 - 1/2*a^5, 1/2*a^20 - 1/2*a^13 - 1/2*a^6, 1/26*a^21 - 3/26*a^14 + 3/26*a^7 - 4/13, 1/26*a^22 - 3/26*a^15 + 3/26*a^8 - 4/13*a, 1/26*a^23 - 3/26*a^16 + 3/26*a^9 - 4/13*a^2, 1/26*a^24 - 3/26*a^17 + 3/26*a^10 - 4/13*a^3, 1/26*a^25 - 3/26*a^18 + 3/26*a^11 - 4/13*a^4, 1/60814*a^26 + 775/60814*a^25 - 498/30407*a^24 - 45/60814*a^23 + 175/30407*a^22 - 527/30407*a^21 + 225/4678*a^20 + 4646/30407*a^19 - 2273/60814*a^18 + 5835/60814*a^17 - 4320/30407*a^16 - 9591/60814*a^15 + 3955/60814*a^14 + 1885/4678*a^13 - 9300/30407*a^12 - 12365/60814*a^11 - 25361/60814*a^10 + 5360/30407*a^9 - 26679/60814*a^8 - 19139/60814*a^7 + 501/4678*a^6 + 30399/60814*a^5 - 13266/30407*a^4 - 28913/60814*a^3 + 30377/60814*a^2 + 30337/60814*a - 22937/60814, 1/60814*a^27 - 249/30407*a^25 - 15/60814*a^24 + 70/30407*a^23 - 490/30407*a^22 + 1125/60814*a^21 - 7465/60814*a^20 + 111/2339*a^19 - 2776/30407*a^18 + 2278/30407*a^17 + 10903/60814*a^16 - 2859/30407*a^15 - 6937/60814*a^14 + 24807/60814*a^13 + 774/2339*a^12 + 9536/30407*a^11 - 6256/30407*a^10 - 17195/60814*a^9 + 1858/30407*a^8 + 7639/60814*a^7 + 15193/30407*a^6 - 782/2339*a^5 + 1992/30407*a^4 - 75/60814*a^3 + 30197/60814*a^2 + 9809/30407*a + 15091/30407, 1/121628*a^28 - 27/2339*a^21 + 6247/121628*a^14 + 14125/60814*a^7 - 10645/121628, 1/121628*a^29 - 27/2339*a^22 + 6247/121628*a^15 + 14125/60814*a^8 - 10645/121628*a, 1/2310932*a^30 - 7/2310932*a^29 + 9/2310932*a^28 - 5/1155466*a^27 - 7/1155466*a^26 - 2637/577733*a^25 + 15/577733*a^24 + 12947/1155466*a^23 - 3335/577733*a^22 - 13921/1155466*a^21 - 256813/1155466*a^20 - 70144/577733*a^19 + 25344/577733*a^18 + 109461/1155466*a^17 + 4277/177764*a^16 + 110301/2310932*a^15 - 420967/2310932*a^14 - 143535/1155466*a^13 - 15617/577733*a^12 - 68725/577733*a^11 - 358697/1155466*a^10 + 216023/577733*a^9 + 17419/44441*a^8 - 282670/577733*a^7 - 53150/577733*a^6 + 253751/1155466*a^5 + 183479/577733*a^4 + 410937/1155466*a^3 + 132215/2310932*a^2 - 1051607/2310932*a - 1082277/2310932, 1/459502349931691508*a^31 + 23105260015/114875587482922877*a^30 - 1111292257065/459502349931691508*a^29 + 207947340134/114875587482922877*a^28 - 703862467853/114875587482922877*a^27 - 117156495543/229751174965845754*a^26 - 42927993103091/8836583652532529*a^25 + 3147413415081757/229751174965845754*a^24 + 175977625160275/229751174965845754*a^23 + 168219920864031/114875587482922877*a^22 - 481231921091797/114875587482922877*a^21 + 27200695337466463/229751174965845754*a^20 + 11181936291486630/114875587482922877*a^19 - 2659256307080921/17673167305065058*a^18 - 58579352787510683/459502349931691508*a^17 - 11492804326892879/229751174965845754*a^16 + 46070785904281803/459502349931691508*a^15 - 2123872751781687/12092167103465566*a^14 - 71044558038831579/229751174965845754*a^13 + 5814693138203683/114875587482922877*a^12 + 2505639853705799/17673167305065058*a^11 - 203517809502569/6046083551732783*a^10 + 54856969399265275/229751174965845754*a^9 - 2985812364346790/8836583652532529*a^8 - 34420005421255755/229751174965845754*a^7 - 102233932772235345/229751174965845754*a^6 - 16288441611747155/229751174965845754*a^5 - 5116460069069085/17673167305065058*a^4 - 220772918270385917/459502349931691508*a^3 - 2774257102949717/8836583652532529*a^2 - 41439766729129861/459502349931691508*a + 10145069958298437/229751174965845754, 1/459502349931691508*a^32 - 23764359469/459502349931691508*a^30 - 15135525266/8836583652532529*a^29 - 106939617615/229751174965845754*a^28 - 1605218042699/229751174965845754*a^27 + 359288843370/114875587482922877*a^26 - 1036040538561980/114875587482922877*a^25 - 4364076496193435/229751174965845754*a^24 + 3352969581890193/229751174965845754*a^23 + 1311132126040017/229751174965845754*a^22 - 169629107282369/8836583652532529*a^21 - 50731886729387727/229751174965845754*a^20 + 25553281014785024/114875587482922877*a^19 - 44262898417200043/459502349931691508*a^18 - 1193697249771950/114875587482922877*a^17 + 22726752930241405/459502349931691508*a^16 - 11454686829293095/229751174965845754*a^15 + 25645439333575422/114875587482922877*a^14 - 6834379746167617/229751174965845754*a^13 - 24141690446674730/114875587482922877*a^12 - 2011344273427917/114875587482922877*a^11 + 17469369312965688/114875587482922877*a^10 - 42006522080644317/229751174965845754*a^9 + 58093365258248825/229751174965845754*a^8 - 41242874014358405/229751174965845754*a^7 + 7983114566410781/114875587482922877*a^6 + 34848869625115920/114875587482922877*a^5 + 54177157081791569/459502349931691508*a^4 + 102413395232574347/229751174965845754*a^3 - 35589419847258733/459502349931691508*a^2 + 23782168148075253/114875587482922877*a + 45936605508749034/114875587482922877, 1/459502349931691508*a^33 - 18297050831/114875587482922877*a^30 + 58351001975/17673167305065058*a^29 - 658693829913/459502349931691508*a^28 + 100503475839/17673167305065058*a^27 - 707998243103/229751174965845754*a^26 + 186753388451783/17673167305065058*a^25 - 2159130434410549/229751174965845754*a^24 - 2310724442254107/229751174965845754*a^23 - 1512500267865529/114875587482922877*a^22 + 667686234541668/114875587482922877*a^21 - 1057455839530923/8836583652532529*a^20 - 103488695567283465/459502349931691508*a^19 + 1590895333088961/8836583652532529*a^18 + 29700342546820991/229751174965845754*a^17 - 44906078963075479/229751174965845754*a^16 - 7316709780696113/114875587482922877*a^15 - 70471225955341845/459502349931691508*a^14 - 1918708260185752/8836583652532529*a^13 - 47420508877578945/229751174965845754*a^12 + 1068197436601199/8836583652532529*a^11 + 11045006387640609/229751174965845754*a^10 + 40125056471527363/229751174965845754*a^9 - 45481389679474063/229751174965845754*a^8 - 9560827519336387/114875587482922877*a^7 - 536371961634459/17673167305065058*a^6 + 15376415952699381/35346334610130116*a^5 - 5692438482431513/17673167305065058*a^4 + 20130486705499750/114875587482922877*a^3 - 14907190834978446/114875587482922877*a^2 - 15466056885849033/114875587482922877*a + 33974795000760547/459502349931691508, 1/459502349931691508*a^34 + 4514409845/459502349931691508*a^30 - 204492063713/114875587482922877*a^29 + 1562680331/17673167305065058*a^28 - 308911468941/114875587482922877*a^27 - 90510886477/229751174965845754*a^26 - 790221906980721/114875587482922877*a^25 - 1576083115547505/229751174965845754*a^24 + 2484635217579643/229751174965845754*a^23 + 2700659675777107/229751174965845754*a^22 - 1293763872200173/229751174965845754*a^21 + 79784419458856239/459502349931691508*a^20 - 13118480586150491/229751174965845754*a^19 + 36729832056917327/229751174965845754*a^18 - 37252655867562143/229751174965845754*a^17 + 97504498546131031/459502349931691508*a^16 - 1358484038407810/114875587482922877*a^15 + 45671138725778219/229751174965845754*a^14 - 95860099268741653/229751174965845754*a^13 + 20021541428530557/229751174965845754*a^12 - 107046380783247389/229751174965845754*a^11 - 26199770755753639/229751174965845754*a^10 + 52155585062049559/229751174965845754*a^9 + 27725372212495619/114875587482922877*a^8 + 2780028514405198/6046083551732783*a^7 + 152145393730595067/459502349931691508*a^6 - 51577324636201177/114875587482922877*a^5 + 24583825859839657/229751174965845754*a^4 - 11267363501960789/114875587482922877*a^3 + 16894092421857561/35346334610130116*a^2 - 106263534103355287/229751174965845754*a - 28309655120558772/114875587482922877, 1/459502349931691508*a^35 - 705869272569/229751174965845754*a^28 + 7425074152862345/459502349931691508*a^21 - 49573374082423977/229751174965845754*a^14 - 158073826101113367/459502349931691508*a^7 + 25303216547920385/229751174965845754

sage: K.integral_basis()

gp: K.zk

magma: IntegralBasis(K);

oscar: basis(OK)

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

$C_{18}\times C_{126}$, which has order $2268$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()

gp: K.clgp

magma: ClassGroup(K);

oscar: class_group(K)

Unit group

sage: UK = K.unit_group()

magma: UK, fUK := UnitGroup(K);

oscar: UK, fUK = unit_group(OK)

Rank:	$17$	sage: UK.rank() gp: K.fu magma: UnitRank(K); oscar: rank(UK)
Torsion generator:	\( -\frac{54061831489131}{6046083551732783} a^{35} - \frac{486556483402179}{24184334206931132} a^{34} - \frac{1784040439141323}{24184334206931132} a^{33} - \frac{864989303826096}{6046083551732783} a^{32} - \frac{233922457508511}{465083350133291} a^{31} - \frac{20273186808424125}{24184334206931132} a^{30} - \frac{81254932728163893}{24184334206931132} a^{29} - \frac{503585960321255265}{24184334206931132} a^{28} - \frac{720914522907561885}{12092167103465566} a^{27} - \frac{144939770222360211}{930166700266582} a^{26} - \frac{5102517841438651173}{12092167103465566} a^{25} - \frac{11940228078317456977}{12092167103465566} a^{24} - \frac{16346784111031518732}{6046083551732783} a^{23} - \frac{72508106826042921117}{12092167103465566} a^{22} - \frac{56928892598494084323}{12092167103465566} a^{21} - \frac{188042349417509042073}{24184334206931132} a^{20} - \frac{163022209433350280487}{24184334206931132} a^{19} - \frac{56711888406896712489}{6046083551732783} a^{18} - \frac{47667225350402219025}{6046083551732783} a^{17} - \frac{183747569400349497171}{24184334206931132} a^{16} - \frac{20110514757473329821}{24184334206931132} a^{15} - \frac{179849819473646130333}{24184334206931132} a^{14} - \frac{21755400042361629627}{12092167103465566} a^{13} - \frac{48336305101611603183}{6046083551732783} a^{12} - \frac{17446455825351932403}{6046083551732783} a^{11} - \frac{47918490775391271702}{6046083551732783} a^{10} - \frac{11377150251393151557}{12092167103465566} a^{9} - \frac{3645659606469548985}{6046083551732783} a^{8} - \frac{1282076333764741665}{6046083551732783} a^{7} - \frac{3876719874254094879}{24184334206931132} a^{6} + \frac{827848825593063003}{24184334206931132} a^{5} - \frac{90012949429403115}{12092167103465566} a^{4} + \frac{1239982659569615589}{12092167103465566} a^{3} - \frac{8703954869750091}{24184334206931132} a^{2} + \frac{1459669450206537}{24184334206931132} a - \frac{486556483402179}{24184334206931132} \) -(54061831489131)/(6046083551732783)a^(35) - (486556483402179)/(24184334206931132)a^(34) - (1784040439141323)/(24184334206931132)a^(33) - (864989303826096)/(6046083551732783)a^(32) - (233922457508511)/(465083350133291)a^(31) - (20273186808424125)/(24184334206931132)a^(30) - (81254932728163893)/(24184334206931132)a^(29) - (503585960321255265)/(24184334206931132)a^(28) - (720914522907561885)/(12092167103465566)a^(27) - (144939770222360211)/(930166700266582)a^(26) - (5102517841438651173)/(12092167103465566)a^(25) - (11940228078317456977)/(12092167103465566)a^(24) - (16346784111031518732)/(6046083551732783)a^(23) - (72508106826042921117)/(12092167103465566)a^(22) - (56928892598494084323)/(12092167103465566)a^(21) - (188042349417509042073)/(24184334206931132)a^(20) - (163022209433350280487)/(24184334206931132)a^(19) - (56711888406896712489)/(6046083551732783)a^(18) - (47667225350402219025)/(6046083551732783)a^(17) - (183747569400349497171)/(24184334206931132)a^(16) - (20110514757473329821)/(24184334206931132)a^(15) - (179849819473646130333)/(24184334206931132)a^(14) - (21755400042361629627)/(12092167103465566)a^(13) - (48336305101611603183)/(6046083551732783)a^(12) - (17446455825351932403)/(6046083551732783)a^(11) - (47918490775391271702)/(6046083551732783)a^(10) - (11377150251393151557)/(12092167103465566)a^(9) - (3645659606469548985)/(6046083551732783)a^(8) - (1282076333764741665)/(6046083551732783)a^(7) - (3876719874254094879)/(24184334206931132)a^(6) + (827848825593063003)/(24184334206931132)a^(5) - (90012949429403115)/(12092167103465566)a^(4) + (1239982659569615589)/(12092167103465566)a^(3) - (8703954869750091)/(24184334206931132)a^(2) + (1459669450206537)/(24184334206931132)*a - (486556483402179)/(24184334206931132) (order $14$)	sage: UK.torsion_generator() gp: K.tu[2] magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K); oscar: torsion_units_generator(OK)
Fundamental units:	$\frac{68839269651}{88\!\cdots\!29}a^{34}-\frac{30595230956}{88\!\cdots\!29}a^{33}+\frac{550714157208}{88\!\cdots\!29}a^{32}-\frac{527767733991}{88\!\cdots\!29}a^{31}+\frac{4466903719576}{88\!\cdots\!29}a^{30}-\frac{6462965900214}{88\!\cdots\!29}a^{29}+\frac{37333830574059}{88\!\cdots\!29}a^{28}+\frac{56035165495914}{88\!\cdots\!29}a^{27}+\frac{264755831077746}{88\!\cdots\!29}a^{26}+\frac{300322787064096}{88\!\cdots\!29}a^{25}+\frac{18\!\cdots\!80}{88\!\cdots\!29}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!90}{88\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{26\!\cdots\!07}{17\!\cdots\!58}a^{22}+\frac{20\!\cdots\!78}{88\!\cdots\!29}a^{21}+\frac{33\!\cdots\!29}{88\!\cdots\!29}a^{20}+\frac{26\!\cdots\!28}{88\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{39\!\cdots\!24}{88\!\cdots\!29}a^{18}+\frac{474922121322249}{88\!\cdots\!29}a^{17}+\frac{32\!\cdots\!52}{88\!\cdots\!29}a^{16}-\frac{33\!\cdots\!26}{88\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{31\!\cdots\!69}{88\!\cdots\!29}a^{14}+\frac{810421775178006}{88\!\cdots\!29}a^{13}+\frac{31\!\cdots\!44}{88\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!28}{88\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{793120172072388}{88\!\cdots\!29}a^{10}+\frac{366500271621924}{88\!\cdots\!29}a^{9}+\frac{835541913276333}{88\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{79165160098650}{88\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{61259301181651}{88\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{688392696510}{465083350133291}a^{5}+\frac{2845356478908}{88\!\cdots\!29}a^{4}-\frac{588958195903}{88\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{137678539302}{88\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{50\!\cdots\!45}{17\!\cdots\!58}a+\frac{7648807739}{88\!\cdots\!29}$, $\frac{20\!\cdots\!55}{24\!\cdots\!32}a^{35}-\frac{331971733820331}{12\!\cdots\!66}a^{34}+\frac{45\!\cdots\!46}{60\!\cdots\!83}a^{33}-\frac{270849689702874}{465083350133291}a^{32}+\frac{73\!\cdots\!93}{12\!\cdots\!66}a^{31}-\frac{71\!\cdots\!09}{930166700266582}a^{30}+\frac{12\!\cdots\!75}{24\!\cdots\!32}a^{29}+\frac{80\!\cdots\!65}{12\!\cdots\!66}a^{28}+\frac{45\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!66}a^{27}+\frac{28\!\cdots\!77}{60\!\cdots\!83}a^{26}+\frac{16\!\cdots\!69}{60\!\cdots\!83}a^{25}+\frac{27\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!66}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!86}{60\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{82\!\cdots\!71}{12\!\cdots\!66}a^{22}+\frac{55\!\cdots\!97}{24\!\cdots\!32}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!23}{930166700266582}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!39}{60\!\cdots\!83}a^{19}+\frac{86\!\cdots\!10}{60\!\cdots\!83}a^{18}+\frac{36\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!66}a^{17}-\frac{70\!\cdots\!45}{60\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{72\!\cdots\!81}{24\!\cdots\!32}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!21}{12\!\cdots\!66}a^{14}+\frac{18\!\cdots\!50}{60\!\cdots\!83}a^{13}-\frac{20\!\cdots\!18}{60\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{17\!\cdots\!25}{60\!\cdots\!83}a^{11}+\frac{24\!\cdots\!00}{60\!\cdots\!83}a^{10}+\frac{21\!\cdots\!71}{12\!\cdots\!66}a^{9}-\frac{33\!\cdots\!81}{12\!\cdots\!66}a^{8}+\frac{70\!\cdots\!55}{24\!\cdots\!32}a^{7}-\frac{27\!\cdots\!63}{60\!\cdots\!83}a^{6}+\frac{59\!\cdots\!76}{60\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{29\!\cdots\!22}{60\!\cdots\!83}a^{4}+\frac{27\!\cdots\!32}{60\!\cdots\!83}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!76}{60\!\cdots\!83}a^{2}+\frac{49\!\cdots\!55}{24\!\cdots\!32}a-\frac{17990260074686}{465083350133291}$, $\frac{841317784766217}{60\!\cdots\!83}a^{35}+\frac{575438856238797}{12\!\cdots\!66}a^{34}+\frac{15\!\cdots\!65}{12\!\cdots\!66}a^{33}-\frac{783076452520941}{60\!\cdots\!83}a^{32}+\frac{11\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!66}a^{31}-\frac{28\!\cdots\!61}{465083350133291}a^{30}+\frac{94\!\cdots\!17}{12\!\cdots\!66}a^{29}+\frac{15\!\cdots\!29}{930166700266582}a^{28}+\frac{43\!\cdots\!69}{60\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{75\!\cdots\!63}{60\!\cdots\!83}a^{26}+\frac{31\!\cdots\!64}{60\!\cdots\!83}a^{25}+\frac{42\!\cdots\!44}{60\!\cdots\!83}a^{24}+\frac{21\!\cdots\!91}{60\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{41\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!66}a^{22}+\frac{33\!\cdots\!06}{60\!\cdots\!83}a^{21}+\frac{65\!\cdots\!19}{12\!\cdots\!66}a^{20}+\frac{44\!\cdots\!05}{60\!\cdots\!83}a^{19}+\frac{31\!\cdots\!07}{465083350133291}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!81}{12\!\cdots\!66}a^{17}+\frac{19\!\cdots\!15}{60\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{37\!\cdots\!43}{60\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{32\!\cdots\!35}{12\!\cdots\!66}a^{14}+\frac{36\!\cdots\!09}{60\!\cdots\!83}a^{13}+\frac{41\!\cdots\!25}{12\!\cdots\!66}a^{12}+\frac{37\!\cdots\!54}{60\!\cdots\!83}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!14}{60\!\cdots\!83}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!70}{60\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!93}{12\!\cdots\!66}a^{8}+\frac{39\!\cdots\!86}{60\!\cdots\!83}a^{7}+\frac{26\!\cdots\!29}{930166700266582}a^{6}+\frac{95\!\cdots\!71}{60\!\cdots\!83}a^{5}+\frac{80\!\cdots\!07}{60\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{33\!\cdots\!39}{12\!\cdots\!66}a^{3}+\frac{39\!\cdots\!18}{60\!\cdots\!83}a^{2}+\frac{43\!\cdots\!95}{12\!\cdots\!66}a+\frac{50\!\cdots\!93}{12\!\cdots\!66}$, $\frac{15\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!77}a^{35}+\frac{14\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!08}a^{34}+\frac{51\!\cdots\!71}{45\!\cdots\!08}a^{33}+\frac{25\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!77}a^{32}+\frac{68\!\cdots\!48}{88\!\cdots\!29}a^{31}+\frac{59\!\cdots\!25}{45\!\cdots\!08}a^{30}+\frac{23\!\cdots\!61}{45\!\cdots\!08}a^{29}+\frac{14\!\cdots\!05}{45\!\cdots\!08}a^{28}+\frac{20\!\cdots\!45}{22\!\cdots\!54}a^{27}+\frac{42\!\cdots\!47}{17\!\cdots\!58}a^{26}+\frac{14\!\cdots\!21}{22\!\cdots\!54}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!77}a^{24}+\frac{47\!\cdots\!64}{11\!\cdots\!77}a^{23}+\frac{21\!\cdots\!09}{22\!\cdots\!54}a^{22}+\frac{16\!\cdots\!71}{22\!\cdots\!54}a^{21}+\frac{54\!\cdots\!21}{45\!\cdots\!08}a^{20}+\frac{47\!\cdots\!99}{45\!\cdots\!08}a^{19}+\frac{16\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{53\!\cdots\!67}{45\!\cdots\!08}a^{16}+\frac{58\!\cdots\!17}{45\!\cdots\!08}a^{15}+\frac{52\!\cdots\!41}{45\!\cdots\!08}a^{14}+\frac{63\!\cdots\!79}{22\!\cdots\!54}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{50\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!77}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!82}{11\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{33\!\cdots\!89}{22\!\cdots\!54}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!45}{11\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{37\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!77}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!08}a^{6}-\frac{24\!\cdots\!31}{45\!\cdots\!08}a^{5}+\frac{26\!\cdots\!55}{22\!\cdots\!54}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{25\!\cdots\!07}{45\!\cdots\!08}a^{2}-\frac{42\!\cdots\!49}{45\!\cdots\!08}a+\frac{14\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!08}$, $\frac{278436149175987}{22\!\cdots\!54}a^{35}-\frac{61874699816886}{11\!\cdots\!77}a^{34}+\frac{11\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!77}a^{33}-\frac{21\!\cdots\!67}{22\!\cdots\!54}a^{32}+\frac{90\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!77}a^{31}-\frac{20\!\cdots\!19}{17\!\cdots\!58}a^{30}+\frac{15\!\cdots\!83}{22\!\cdots\!54}a^{29}+\frac{11\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!77}a^{28}+\frac{53\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!77}a^{27}+\frac{60\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{37\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{25\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!77}a^{24}+\frac{26\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!77}a^{23}+\frac{42\!\cdots\!43}{11\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!73}{22\!\cdots\!54}a^{21}+\frac{40\!\cdots\!36}{88\!\cdots\!29}a^{20}+\frac{79\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!77}a^{19}+\frac{19\!\cdots\!13}{22\!\cdots\!54}a^{18}+\frac{65\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!77}a^{17}-\frac{45\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!77}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!53}{22\!\cdots\!54}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!77}a^{14}+\frac{63\!\cdots\!64}{11\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!68}{11\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!77}a^{11}+\frac{74\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{80\!\cdots\!55}{22\!\cdots\!54}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{24\!\cdots\!87}{22\!\cdots\!54}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!35}{60\!\cdots\!83}a^{6}+\frac{57\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{23\!\cdots\!11}{22\!\cdots\!54}a^{4}+\frac{278436149175987}{11\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{86\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{30937349908443}{22\!\cdots\!54}a$, $\frac{32\!\cdots\!49}{45\!\cdots\!08}a^{35}-\frac{10\!\cdots\!69}{17\!\cdots\!58}a^{34}+\frac{56\!\cdots\!52}{88\!\cdots\!29}a^{33}-\frac{91\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!77}a^{32}+\frac{24\!\cdots\!49}{45\!\cdots\!08}a^{31}-\frac{20\!\cdots\!23}{22\!\cdots\!54}a^{30}+\frac{20\!\cdots\!53}{45\!\cdots\!08}a^{29}+\frac{61\!\cdots\!35}{17\!\cdots\!58}a^{28}+\frac{66\!\cdots\!43}{22\!\cdots\!54}a^{27}+\frac{27\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{23\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{91\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!77}a^{24}+\frac{17\!\cdots\!06}{11\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{50\!\cdots\!19}{22\!\cdots\!54}a^{22}+\frac{72\!\cdots\!59}{45\!\cdots\!08}a^{21}+\frac{44\!\cdots\!85}{22\!\cdots\!54}a^{20}+\frac{19\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!77}a^{19}+\frac{17\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{84\!\cdots\!43}{45\!\cdots\!08}a^{17}-\frac{26\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!77}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!55}{45\!\cdots\!08}a^{15}-\frac{34\!\cdots\!55}{17\!\cdots\!58}a^{14}+\frac{31\!\cdots\!46}{11\!\cdots\!77}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{27\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{27\!\cdots\!21}{22\!\cdots\!54}a^{10}+\frac{81\!\cdots\!21}{22\!\cdots\!54}a^{9}-\frac{27\!\cdots\!19}{22\!\cdots\!54}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!95}{45\!\cdots\!08}a^{7}-\frac{80\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!77}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{57\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{78\!\cdots\!99}{45\!\cdots\!08}a^{3}-\frac{26\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!93}{45\!\cdots\!08}a-\frac{79\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!77}$, $\frac{62\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!08}a^{35}+\frac{289858430406762}{60\!\cdots\!83}a^{34}+\frac{14\!\cdots\!01}{12\!\cdots\!66}a^{33}-\frac{27\!\cdots\!81}{24\!\cdots\!32}a^{32}+\frac{58\!\cdots\!10}{60\!\cdots\!83}a^{31}-\frac{35\!\cdots\!50}{60\!\cdots\!83}a^{30}+\frac{18\!\cdots\!85}{24\!\cdots\!32}a^{29}+\frac{36\!\cdots\!21}{22\!\cdots\!54}a^{28}+\frac{86\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!66}a^{27}+\frac{74\!\cdots\!58}{60\!\cdots\!83}a^{26}+\frac{30\!\cdots\!87}{60\!\cdots\!83}a^{25}+\frac{65\!\cdots\!81}{930166700266582}a^{24}+\frac{21\!\cdots\!89}{60\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{41\!\cdots\!77}{12\!\cdots\!66}a^{22}+\frac{25\!\cdots\!89}{45\!\cdots\!08}a^{21}+\frac{25\!\cdots\!45}{465083350133291}a^{20}+\frac{44\!\cdots\!22}{60\!\cdots\!83}a^{19}+\frac{16\!\cdots\!59}{24\!\cdots\!32}a^{18}+\frac{52\!\cdots\!34}{60\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{40\!\cdots\!31}{12\!\cdots\!66}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!87}{24\!\cdots\!32}a^{15}+\frac{61\!\cdots\!49}{22\!\cdots\!54}a^{14}+\frac{36\!\cdots\!50}{60\!\cdots\!83}a^{13}+\frac{41\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!66}a^{12}+\frac{37\!\cdots\!09}{60\!\cdots\!83}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!11}{60\!\cdots\!83}a^{10}+\frac{27\!\cdots\!71}{12\!\cdots\!66}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!95}{12\!\cdots\!66}a^{8}+\frac{29\!\cdots\!59}{45\!\cdots\!08}a^{7}+\frac{34\!\cdots\!23}{12\!\cdots\!66}a^{6}+\frac{95\!\cdots\!37}{60\!\cdots\!83}a^{5}+\frac{32\!\cdots\!95}{24\!\cdots\!32}a^{4}-\frac{33\!\cdots\!39}{12\!\cdots\!66}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!13}{12\!\cdots\!66}a^{2}-\frac{25\!\cdots\!11}{24\!\cdots\!32}a+\frac{11\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!77}$, $\frac{36\!\cdots\!63}{24\!\cdots\!32}a^{35}+\frac{37\!\cdots\!35}{45\!\cdots\!08}a^{34}+\frac{62\!\cdots\!77}{45\!\cdots\!08}a^{33}-\frac{12\!\cdots\!27}{22\!\cdots\!54}a^{32}+\frac{12\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!77}a^{31}-\frac{45\!\cdots\!97}{45\!\cdots\!08}a^{30}+\frac{10\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!77}a^{29}+\frac{71\!\cdots\!17}{45\!\cdots\!08}a^{28}+\frac{17\!\cdots\!81}{22\!\cdots\!54}a^{27}+\frac{26\!\cdots\!07}{22\!\cdots\!54}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!11}{22\!\cdots\!54}a^{25}+\frac{71\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!77}a^{24}+\frac{42\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!77}a^{23}+\frac{61\!\cdots\!37}{22\!\cdots\!54}a^{22}+\frac{23\!\cdots\!27}{45\!\cdots\!08}a^{21}+\frac{19\!\cdots\!69}{45\!\cdots\!08}a^{20}+\frac{30\!\cdots\!47}{45\!\cdots\!08}a^{19}+\frac{95\!\cdots\!95}{17\!\cdots\!58}a^{18}+\frac{88\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{52\!\cdots\!99}{45\!\cdots\!08}a^{16}+\frac{69\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!77}a^{15}+\frac{56\!\cdots\!41}{45\!\cdots\!08}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!35}{22\!\cdots\!54}a^{13}+\frac{45\!\cdots\!15}{22\!\cdots\!54}a^{12}+\frac{67\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!77}a^{11}+\frac{29\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{46\!\cdots\!49}{60\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{20\!\cdots\!85}{45\!\cdots\!08}a^{7}+\frac{72\!\cdots\!15}{45\!\cdots\!08}a^{6}+\frac{50\!\cdots\!85}{45\!\cdots\!08}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!01}{88\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{73\!\cdots\!41}{24\!\cdots\!32}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!17}{22\!\cdots\!54}a+\frac{35\!\cdots\!61}{24\!\cdots\!32}$, $\frac{20\!\cdots\!49}{17\!\cdots\!58}a^{35}-\frac{33\!\cdots\!79}{45\!\cdots\!08}a^{34}+\frac{47\!\cdots\!41}{45\!\cdots\!08}a^{33}-\frac{51\!\cdots\!21}{45\!\cdots\!08}a^{32}+\frac{76\!\cdots\!14}{88\!\cdots\!29}a^{31}-\frac{60\!\cdots\!09}{45\!\cdots\!08}a^{30}+\frac{33\!\cdots\!41}{45\!\cdots\!08}a^{29}+\frac{33\!\cdots\!69}{45\!\cdots\!08}a^{28}+\frac{56\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!77}a^{27}+\frac{11\!\cdots\!17}{22\!\cdots\!54}a^{26}+\frac{42\!\cdots\!47}{12\!\cdots\!66}a^{25}+\frac{47\!\cdots\!93}{22\!\cdots\!54}a^{24}+\frac{28\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!77}a^{23}+\frac{19\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{32\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{29\!\cdots\!99}{45\!\cdots\!08}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!29}{45\!\cdots\!08}a^{19}+\frac{34\!\cdots\!23}{45\!\cdots\!08}a^{18}+\frac{39\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!77}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!73}{45\!\cdots\!08}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!39}{35\!\cdots\!16}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!55}{45\!\cdots\!08}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!25}{22\!\cdots\!54}a^{13}-\frac{19\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{45\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{84\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!77}a^{9}-\frac{43\!\cdots\!33}{22\!\cdots\!54}a^{8}+\frac{28\!\cdots\!07}{22\!\cdots\!54}a^{7}-\frac{33\!\cdots\!81}{35\!\cdots\!16}a^{6}+\frac{93\!\cdots\!27}{45\!\cdots\!08}a^{5}-\frac{35\!\cdots\!15}{45\!\cdots\!08}a^{4}+\frac{37\!\cdots\!39}{22\!\cdots\!54}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!81}{45\!\cdots\!08}a^{2}+\frac{34\!\cdots\!07}{45\!\cdots\!08}a-\frac{74\!\cdots\!97}{45\!\cdots\!08}$, $\frac{49\!\cdots\!69}{22\!\cdots\!54}a^{35}-\frac{28742904687885}{24\!\cdots\!32}a^{34}+\frac{46\!\cdots\!19}{24\!\cdots\!32}a^{33}-\frac{52\!\cdots\!75}{60\!\cdots\!83}a^{32}+\frac{18\!\cdots\!43}{12\!\cdots\!66}a^{31}-\frac{35\!\cdots\!19}{24\!\cdots\!32}a^{30}+\frac{15\!\cdots\!65}{12\!\cdots\!66}a^{29}+\frac{96\!\cdots\!75}{45\!\cdots\!08}a^{28}+\frac{63\!\cdots\!22}{60\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{18\!\cdots\!63}{12\!\cdots\!66}a^{26}+\frac{89\!\cdots\!69}{12\!\cdots\!66}a^{25}+\frac{50\!\cdots\!74}{60\!\cdots\!83}a^{24}+\frac{31\!\cdots\!90}{60\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{21\!\cdots\!77}{60\!\cdots\!83}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!05}{17\!\cdots\!58}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!61}{24\!\cdots\!32}a^{20}+\frac{22\!\cdots\!25}{24\!\cdots\!32}a^{19}+\frac{44\!\cdots\!34}{60\!\cdots\!83}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!61}{12\!\cdots\!66}a^{17}+\frac{31\!\cdots\!33}{24\!\cdots\!32}a^{16}+\frac{55\!\cdots\!20}{60\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{51\!\cdots\!91}{45\!\cdots\!08}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!77}{12\!\cdots\!66}a^{13}+\frac{27\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!66}a^{12}+\frac{52\!\cdots\!60}{60\!\cdots\!83}a^{11}+\frac{19\!\cdots\!26}{60\!\cdots\!83}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!99}{60\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!69}{12\!\cdots\!66}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!25}{22\!\cdots\!54}a^{7}+\frac{41\!\cdots\!45}{18\!\cdots\!64}a^{6}+\frac{41\!\cdots\!11}{24\!\cdots\!32}a^{5}-\frac{44\!\cdots\!97}{12\!\cdots\!66}a^{4}+\frac{96\!\cdots\!21}{12\!\cdots\!66}a^{3}-\frac{39\!\cdots\!99}{24\!\cdots\!32}a^{2}-\frac{48\!\cdots\!49}{60\!\cdots\!83}a-\frac{34\!\cdots\!97}{35\!\cdots\!16}$, $\frac{17\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!77}a^{35}+\frac{27\!\cdots\!13}{35\!\cdots\!16}a^{34}+\frac{62\!\cdots\!41}{45\!\cdots\!08}a^{33}+\frac{10\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!77}a^{32}+\frac{24\!\cdots\!31}{22\!\cdots\!54}a^{31}-\frac{22\!\cdots\!43}{45\!\cdots\!08}a^{30}+\frac{38\!\cdots\!07}{45\!\cdots\!08}a^{29}+\frac{90\!\cdots\!31}{45\!\cdots\!08}a^{28}+\frac{18\!\cdots\!67}{22\!\cdots\!54}a^{27}+\frac{34\!\cdots\!05}{22\!\cdots\!54}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!53}{22\!\cdots\!54}a^{25}+\frac{98\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!77}a^{24}+\frac{45\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!77}a^{23}+\frac{50\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{14\!\cdots\!99}{22\!\cdots\!54}a^{21}+\frac{30\!\cdots\!43}{45\!\cdots\!08}a^{20}+\frac{38\!\cdots\!79}{45\!\cdots\!08}a^{19}+\frac{94\!\cdots\!82}{11\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!73}{22\!\cdots\!54}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!07}{45\!\cdots\!08}a^{16}+\frac{22\!\cdots\!45}{35\!\cdots\!16}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!71}{45\!\cdots\!08}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!21}{22\!\cdots\!54}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!57}{22\!\cdots\!54}a^{12}+\frac{76\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!77}a^{11}+\frac{59\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{52\!\cdots\!49}{22\!\cdots\!54}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!57}{22\!\cdots\!54}a^{8}+\frac{78\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!77}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!09}{45\!\cdots\!08}a^{6}+\frac{70\!\cdots\!65}{45\!\cdots\!08}a^{5}+\frac{33\!\cdots\!21}{22\!\cdots\!54}a^{4}-\frac{42\!\cdots\!17}{22\!\cdots\!54}a^{3}+\frac{32\!\cdots\!75}{45\!\cdots\!08}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!61}{45\!\cdots\!08}a+\frac{20\!\cdots\!17}{45\!\cdots\!08}$, $\frac{373508643476079}{22\!\cdots\!54}a^{34}-\frac{83001920772462}{11\!\cdots\!77}a^{33}+\frac{14\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!77}a^{32}-\frac{28\!\cdots\!39}{22\!\cdots\!54}a^{31}+\frac{12\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!77}a^{30}-\frac{35\!\cdots\!81}{22\!\cdots\!54}a^{29}+\frac{20\!\cdots\!11}{22\!\cdots\!54}a^{28}+\frac{15\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!77}a^{27}+\frac{71\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{81\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{50\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!77}a^{24}+\frac{34\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!77}a^{23}+\frac{35\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{56\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{18\!\cdots\!41}{22\!\cdots\!54}a^{20}+\frac{54\!\cdots\!12}{88\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{25\!\cdots\!21}{22\!\cdots\!54}a^{17}+\frac{87\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{47\!\cdots\!00}{88\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!01}{22\!\cdots\!54}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{84\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{30\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!77}a^{11}+\frac{21\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{99\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!77}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!59}{22\!\cdots\!54}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!77}a^{7}+\frac{33\!\cdots\!79}{22\!\cdots\!54}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!95}{60\!\cdots\!83}a^{5}+\frac{77\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{31\!\cdots\!87}{22\!\cdots\!54}a^{3}+\frac{373508643476079}{11\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!77}a+\frac{41500960386231}{22\!\cdots\!54}$, $\frac{705522253076829}{22\!\cdots\!54}a^{34}-\frac{156782722905962}{11\!\cdots\!77}a^{33}+\frac{28\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!77}a^{32}-\frac{54\!\cdots\!89}{22\!\cdots\!54}a^{31}+\frac{22\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!77}a^{30}-\frac{13\!\cdots\!11}{45\!\cdots\!08}a^{29}+\frac{38\!\cdots\!61}{22\!\cdots\!54}a^{28}+\frac{28\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!77}a^{27}+\frac{13\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{15\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{94\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!77}a^{24}+\frac{64\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!77}a^{23}+\frac{67\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{34\!\cdots\!91}{22\!\cdots\!54}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!12}{88\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{20\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{48\!\cdots\!71}{22\!\cdots\!54}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{46\!\cdots\!61}{45\!\cdots\!08}a^{15}+\frac{32\!\cdots\!51}{22\!\cdots\!54}a^{14}+\frac{41\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{58\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!77}a^{11}+\frac{40\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!77}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!87}{17\!\cdots\!58}a^{8}+\frac{40\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!77}a^{7}+\frac{62\!\cdots\!29}{22\!\cdots\!54}a^{6}-\frac{35\!\cdots\!45}{60\!\cdots\!83}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{60\!\cdots\!37}{22\!\cdots\!54}a^{3}+\frac{705522253076829}{11\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{67\!\cdots\!51}{45\!\cdots\!08}a+\frac{78391361452981}{22\!\cdots\!54}$, $\frac{26\!\cdots\!53}{22\!\cdots\!54}a^{35}-\frac{5052798119743}{35\!\cdots\!16}a^{34}+\frac{46\!\cdots\!61}{45\!\cdots\!08}a^{33}-\frac{21\!\cdots\!57}{45\!\cdots\!08}a^{32}+\frac{93\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!77}a^{31}-\frac{18\!\cdots\!11}{22\!\cdots\!54}a^{30}+\frac{15\!\cdots\!95}{22\!\cdots\!54}a^{29}+\frac{51\!\cdots\!09}{45\!\cdots\!08}a^{28}+\frac{12\!\cdots\!81}{22\!\cdots\!54}a^{27}+\frac{94\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{89\!\cdots\!75}{22\!\cdots\!54}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!55}{22\!\cdots\!54}a^{24}+\frac{62\!\cdots\!51}{22\!\cdots\!54}a^{23}+\frac{42\!\cdots\!75}{22\!\cdots\!54}a^{22}+\frac{87\!\cdots\!97}{22\!\cdots\!54}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!31}{45\!\cdots\!08}a^{20}+\frac{21\!\cdots\!03}{45\!\cdots\!08}a^{19}+\frac{16\!\cdots\!05}{45\!\cdots\!08}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!91}{22\!\cdots\!54}a^{17}+\frac{73\!\cdots\!29}{22\!\cdots\!54}a^{16}+\frac{50\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!77}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!01}{45\!\cdots\!08}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!55}{22\!\cdots\!54}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!47}{22\!\cdots\!54}a^{12}+\frac{76\!\cdots\!79}{17\!\cdots\!58}a^{11}+\frac{34\!\cdots\!61}{22\!\cdots\!54}a^{10}+\frac{75\!\cdots\!50}{88\!\cdots\!29}a^{9}+\frac{71\!\cdots\!07}{22\!\cdots\!54}a^{8}+\frac{46\!\cdots\!05}{22\!\cdots\!54}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!33}{45\!\cdots\!08}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!47}{35\!\cdots\!16}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!93}{45\!\cdots\!08}a^{4}-\frac{21\!\cdots\!70}{60\!\cdots\!83}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{26\!\cdots\!71}{22\!\cdots\!54}a+\frac{37\!\cdots\!93}{45\!\cdots\!08}$, $\frac{27\!\cdots\!51}{24\!\cdots\!32}a^{35}+\frac{997922446367715}{35\!\cdots\!16}a^{34}+\frac{11\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!77}a^{33}-\frac{23\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!77}a^{32}+\frac{18\!\cdots\!35}{22\!\cdots\!54}a^{31}-\frac{20\!\cdots\!97}{35\!\cdots\!16}a^{30}+\frac{14\!\cdots\!53}{22\!\cdots\!54}a^{29}+\frac{29\!\cdots\!29}{22\!\cdots\!54}a^{28}+\frac{67\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!77}a^{27}+\frac{22\!\cdots\!55}{22\!\cdots\!54}a^{26}+\frac{47\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{62\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!77}a^{24}+\frac{50\!\cdots\!63}{17\!\cdots\!58}a^{23}+\frac{29\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{20\!\cdots\!17}{45\!\cdots\!08}a^{21}+\frac{18\!\cdots\!53}{45\!\cdots\!08}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!51}{22\!\cdots\!54}a^{19}+\frac{60\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!99}{22\!\cdots\!54}a^{17}+\frac{80\!\cdots\!77}{35\!\cdots\!16}a^{16}+\frac{59\!\cdots\!06}{11\!\cdots\!77}a^{15}+\frac{41\!\cdots\!67}{22\!\cdots\!54}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!57}{22\!\cdots\!54}a^{13}+\frac{42\!\cdots\!81}{17\!\cdots\!58}a^{12}+\frac{58\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!77}a^{11}+\frac{33\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!53}{17\!\cdots\!58}a^{9}+\frac{20\!\cdots\!65}{22\!\cdots\!54}a^{8}+\frac{23\!\cdots\!65}{45\!\cdots\!08}a^{7}+\frac{99\!\cdots\!09}{45\!\cdots\!08}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{91\!\cdots\!41}{22\!\cdots\!54}a^{3}-\frac{42\!\cdots\!57}{35\!\cdots\!16}a^{2}-\frac{71\!\cdots\!23}{88\!\cdots\!29}a-\frac{16\!\cdots\!89}{22\!\cdots\!54}$, $\frac{87\!\cdots\!05}{45\!\cdots\!08}a^{35}-\frac{69\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!77}a^{34}+\frac{19\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!77}a^{33}-\frac{60\!\cdots\!01}{45\!\cdots\!08}a^{32}+\frac{64\!\cdots\!59}{45\!\cdots\!08}a^{31}-\frac{40\!\cdots\!91}{22\!\cdots\!54}a^{30}+\frac{26\!\cdots\!91}{22\!\cdots\!54}a^{29}+\frac{69\!\cdots\!35}{45\!\cdots\!08}a^{28}+\frac{10\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!77}a^{27}+\frac{12\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{14\!\cdots\!99}{22\!\cdots\!54}a^{25}+\frac{12\!\cdots\!63}{22\!\cdots\!54}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!05}{22\!\cdots\!54}a^{23}+\frac{19\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{26\!\cdots\!87}{45\!\cdots\!08}a^{21}+\frac{38\!\cdots\!85}{12\!\cdots\!66}a^{20}+\frac{79\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!77}a^{19}+\frac{18\!\cdots\!61}{45\!\cdots\!08}a^{18}+\frac{36\!\cdots\!77}{45\!\cdots\!08}a^{17}-\frac{20\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!77}a^{16}+\frac{18\!\cdots\!37}{22\!\cdots\!54}a^{15}-\frac{67\!\cdots\!55}{45\!\cdots\!08}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!59}{22\!\cdots\!54}a^{13}-\frac{19\!\cdots\!90}{465083350133291}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!05}{22\!\cdots\!54}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!19}{22\!\cdots\!54}a^{10}+\frac{28\!\cdots\!39}{22\!\cdots\!54}a^{9}+\frac{46\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!95}{45\!\cdots\!08}a^{7}+\frac{85\!\cdots\!93}{22\!\cdots\!54}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{34\!\cdots\!57}{45\!\cdots\!08}a^{4}+\frac{74\!\cdots\!19}{35\!\cdots\!16}a^{3}-\frac{78\!\cdots\!73}{22\!\cdots\!54}a^{2}+\frac{53\!\cdots\!55}{22\!\cdots\!54}a+\frac{49\!\cdots\!43}{45\!\cdots\!08}$, $\frac{15\!\cdots\!11}{45\!\cdots\!08}a^{35}+\frac{32\!\cdots\!82}{11\!\cdots\!77}a^{34}+\frac{35\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!77}a^{33}-\frac{52\!\cdots\!11}{45\!\cdots\!08}a^{32}+\frac{56\!\cdots\!95}{22\!\cdots\!54}a^{31}-\frac{25\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{91\!\cdots\!07}{45\!\cdots\!08}a^{29}+\frac{16\!\cdots\!93}{45\!\cdots\!08}a^{28}+\frac{39\!\cdots\!23}{22\!\cdots\!54}a^{27}+\frac{30\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{33\!\cdots\!89}{22\!\cdots\!54}a^{24}+\frac{19\!\cdots\!89}{22\!\cdots\!54}a^{23}+\frac{14\!\cdots\!19}{22\!\cdots\!54}a^{22}+\frac{55\!\cdots\!93}{45\!\cdots\!08}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!77}a^{20}+\frac{35\!\cdots\!55}{22\!\cdots\!54}a^{19}+\frac{58\!\cdots\!61}{45\!\cdots\!08}a^{18}+\frac{41\!\cdots\!39}{22\!\cdots\!54}a^{17}+\frac{68\!\cdots\!57}{22\!\cdots\!54}a^{16}+\frac{64\!\cdots\!71}{45\!\cdots\!08}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!71}{45\!\cdots\!08}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!83}{22\!\cdots\!54}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!77}a^{11}+\frac{69\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{77\!\cdots\!23}{22\!\cdots\!54}a^{9}+\frac{19\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{47\!\cdots\!69}{45\!\cdots\!08}a^{7}+\frac{84\!\cdots\!27}{22\!\cdots\!54}a^{6}+\frac{59\!\cdots\!25}{22\!\cdots\!54}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!29}{18\!\cdots\!64}a^{4}-\frac{31\!\cdots\!48}{88\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{40\!\cdots\!85}{45\!\cdots\!08}a+\frac{80\!\cdots\!25}{45\!\cdots\!08}$ 68839269651/8836583652532529a^34 - 30595230956/8836583652532529a^33 + 550714157208/8836583652532529a^32 - 527767733991/8836583652532529a^31 + 4466903719576/8836583652532529a^30 - 6462965900214/8836583652532529a^29 + 37333830574059/8836583652532529a^28 + 56035165495914/8836583652532529a^27 + 264755831077746/8836583652532529a^26 + 300322787064096/8836583652532529a^25 + 1849634687444980/8836583652532529a^24 + 1259070241916790/8836583652532529a^23 + 26565079935291507/17673167305065058a^22 + 2080491002623478/8836583652532529a^21 + 3392330369131629/8836583652532529a^20 + 2615525103966528/8836583652532529a^19 + 3926255393352524/8836583652532529a^18 + 474922121322249/8836583652532529a^17 + 3241319957940552/8836583652532529a^16 - 33704004153621526/8836583652532529a^15 + 3174798277034469/8836583652532529a^14 + 810421775178006/8836583652532529a^13 + 3127566889246144/8836583652532529a^12 + 1137775448791728/8836583652532529a^11 + 793120172072388/8836583652532529a^10 + 366500271621924/8836583652532529a^9 + 835541913276333/8836583652532529a^8 + 79165160098650/8836583652532529a^7 + 61259301181651/8836583652532529a^6 - 688392696510/465083350133291a^5 + 2845356478908/8836583652532529a^4 - 588958195903/8836583652532529a^3 + 137678539302/8836583652532529a^2 + 50887836412506945/17673167305065058a + 7648807739/8836583652532529, 2020087909376055/24184334206931132a^35 - 331971733820331/12092167103465566a^34 + 4507922580693946/6046083551732783a^33 - 270849689702874/465083350133291a^32 + 73375388211171093/12092167103465566a^31 - 7186458786672409/930166700266582a^30 + 1214836433813448675/24184334206931132a^29 + 801127174828671765/12092167103465566a^28 + 4561458614259990457/12092167103465566a^27 + 2849083888044007377/6046083551732783a^26 + 16074534439090044669/6046083551732783a^25 + 27547757239534670457/12092167103465566a^24 + 114253645168793254986/6046083551732783a^23 + 82535227514080559571/12092167103465566a^22 + 554844190718610823697/24184334206931132a^21 + 11042970359354194023/930166700266582a^20 + 164155397347716003939/6046083551732783a^19 + 86125489748798799110/6046083551732783a^18 + 366410582664719428611/12092167103465566a^17 - 70359290303140528845/6046083551732783a^16 + 724447625625026633881/24184334206931132a^15 - 100532491182258306021/12092167103465566a^14 + 183361867491784758450/6046083551732783a^13 - 20506189642221265318/6046083551732783a^12 + 172008267510038077125/6046083551732783a^11 + 245344859685863400/6046083551732783a^10 + 21389747846447485971/12092167103465566a^9 - 3391262559469629081/12092167103465566a^8 + 7013030180784007455/24184334206931132a^7 - 2764390984228294263/6046083551732783a^6 + 593747088418482876/6046083551732783a^5 - 2972474334311292522/6046083551732783a^4 + 27379267659159032/6046083551732783a^3 - 136885908157460676/6046083551732783a^2 + 4901921831571255/24184334206931132a - 17990260074686/465083350133291, 841317784766217/6046083551732783a^35 + 575438856238797/12092167103465566a^34 + 15137177809362565/12092167103465566a^33 - 783076452520941/6046083551732783a^32 + 118794617693488557/12092167103465566a^31 - 2875915261336861/465083350133291a^30 + 942589872422802117/12092167103465566a^29 + 152778085016196429/930166700266582a^28 + 4387509078618414969/6046083551732783a^27 + 7560252738131510763/6046083551732783a^26 + 31207632772148027664/6046083551732783a^25 + 42936236087298253844/6046083551732783a^24 + 214591788125032605291/6046083551732783a^23 + 415416619631040821241/12092167103465566a^22 + 338593830872567806906/6046083551732783a^21 + 653204891899507398219/12092167103465566a^20 + 449739632298316137405/6046083551732783a^19 + 31729493968449555007/465083350133291a^18 + 1055617744505485887981/12092167103465566a^17 + 196535011643422607715/6046083551732783a^16 + 371541756386553872843/6046083551732783a^15 + 327710239930348375635/12092167103465566a^14 + 364185048201211718409/6046083551732783a^13 + 411529021209721742825/12092167103465566a^12 + 373845465034559058654/6046083551732783a^11 + 239902072651455238314/6046083551732783a^10 + 128992584384435908070/6046083551732783a^9 + 134524160419689958293/12092167103465566a^8 + 39409808005466499186/6046083551732783a^7 + 2672115948234663829/930166700266582a^6 + 9549144651527639271/6046083551732783a^5 + 807685547663913507/6046083551732783a^4 - 333286414505835439/12092167103465566a^3 + 39556496217073518/6046083551732783a^2 + 43341209861470695/12092167103465566a + 5049524523381893/12092167103465566, 1574521521554087/114875587482922877a^35 + 14170693693986783/459502349931691508a^34 + 51959210211284871/459502349931691508a^33 + 25192344344865392/114875587482922877a^32 + 6812854811603848/8836583652532529a^31 + 590445570582782625/459502349931691508a^30 + 2366505846895792761/459502349931691508a^29 + 14666667973276320405/459502349931691508a^28 + 20996244489923750145/229751174965845754a^27 + 4221292199286507247/17673167305065058a^26 + 148608064768839393321/229751174965845754a^25 + 173876098580311421893/114875587482922877a^24 + 476091221515352394364/114875587482922877a^23 + 2111759286358992363009/229751174965845754a^22 + 1658023121406664895871/229751174965845754a^21 + 5476631441555714392621/459502349931691508a^20 + 4747933434251353604499/459502349931691508a^19 + 1651702992019146790653/114875587482922877a^18 + 1388460744510184477467/114875587482922877a^17 + 5351548302840414613167/459502349931691508a^16 + 585707835324426377217/459502349931691508a^15 + 5238028450179408048641/459502349931691508a^14 + 633614227139231028279/229751174965845754a^13 + 1407768670770858308091/114875587482922877a^12 + 508118563785284078031/114875587482922877a^11 + 1395058747020520794982/114875587482922877a^10 + 331353330646492946889/229751174965845754a^9 + 106177858805999856845/114875587482922877a^8 + 37339777883655173205/114875587482922877a^7 + 112907363789122024683/459502349931691508a^6 - 24110648059557734231/459502349931691508a^5 + 2621578333387554855/229751174965845754a^4 - 18047892710075428338/114875587482922877a^3 + 253497964970208007/459502349931691508a^2 - 42512081081960349/459502349931691508a + 14170693693986783/459502349931691508, 278436149175987/229751174965845754a^35 - 61874699816886/114875587482922877a^34 + 1113744596703948/114875587482922877a^33 - 2134677143682567/229751174965845754a^32 + 9033706173265356/114875587482922877a^31 - 2013307440490719/17673167305065058a^30 + 151005204903110283/229751174965845754a^29 + 113323512714626709/114875587482922877a^28 + 535432714865423001/114875587482922877a^27 + 607362053402552976/114875587482922877a^26 + 3740634977429843130/114875587482922877a^25 + 2546298584214401115/114875587482922877a^24 + 26832846547106134935/114875587482922877a^23 + 4207510524898156443/114875587482922877a^22 + 13721054995243463373/229751174965845754a^21 + 406888025995842336/8836583652532529a^20 + 7940318352801163494/114875587482922877a^19 + 1920930993165134313/229751174965845754a^18 + 6555129448000536612/114875587482922877a^17 - 45934655625689635016/114875587482922877a^16 + 12841196763847344453/229751174965845754a^15 + 1638967986099584811/114875587482922877a^14 + 6325079314081354464/114875587482922877a^13 + 2300996336790356568/114875587482922877a^12 + 1603977843353135778/114875587482922877a^11 + 741197029106477394/114875587482922877a^10 - 80911081661813577855/229751174965845754a^9 + 160100785776192525/114875587482922877a^8 + 247777235416719987/229751174965845754a^7 - 1392180745879935/6046083551732783a^6 + 5754347082970398/114875587482922877a^5 - 2382175942950111/229751174965845754a^4 + 278436149175987/114875587482922877a^3 + 865064387679545688/114875587482922877a^2 + 30937349908443/229751174965845754a, 32209909478284149/459502349931691508a^35 - 1019284141725369/17673167305065058a^34 + 5609328644882452/8836583652532529a^33 - 91586916556053462/114875587482922877a^32 + 2441103601158464949/459502349931691508a^31 - 2064356607801564523/229751174965845754a^30 + 20762853121907793153/459502349931691508a^29 + 618090180031287135/17673167305065058a^28 + 66092606104403556643/229751174965845754a^27 + 27244546478142164127/114875587482922877a^26 + 232602491896051980315/114875587482922877a^25 + 91315830376071058650/114875587482922877a^24 + 1704277344063187133406/114875587482922877a^23 - 501232874007227553519/229751174965845754a^22 + 7292505728473646201459/459502349931691508a^21 + 44222344982666308485/229751174965845754a^20 + 1955777378263970631879/114875587482922877a^19 + 17810719599857867834/114875587482922877a^18 + 8479104595492271460543/459502349931691508a^17 - 2647878618807170524401/114875587482922877a^16 + 13190545018950242402755/459502349931691508a^15 - 344353852868412492855/17673167305065058a^14 + 3173422799119207637346/114875587482922877a^13 - 1769149635409711062874/114875587482922877a^12 + 2770230221939346132663/114875587482922877a^11 - 2722931557497520596021/229751174965845754a^10 + 81698072820420738321/229751174965845754a^9 - 272530333399232713419/229751174965845754a^8 - 13115733933805006995/459502349931691508a^7 - 80184103400164152951/114875587482922877a^6 + 17187955500468043422/114875587482922877a^5 - 57761510068385606898/114875587482922877a^4 + 78246095075010151999/459502349931691508a^3 - 2662935598040353110/114875587482922877a^2 + 134795900198914893/459502349931691508a - 7915209688369196/114875587482922877, 62308346553394983/459502349931691508a^35 + 289858430406762/6046083551732783a^34 + 14804558991052101/12092167103465566a^33 - 2715348490621281/24184334206931132a^32 + 58077924809381310/6046083551732783a^31 - 35867150840656750/6046083551732783a^30 + 1841942146014620685/24184334206931132a^29 + 36911306678212740321/229751174965845754a^28 + 8600148491391392211/12092167103465566a^27 + 7439794656536880558/6046083551732783a^26 + 30606435981403356687/6046083551732783a^25 + 6515846731832256081/930166700266582a^24 + 210373868453671900989/6046083551732783a^23 + 411329269197091744677/12092167103465566a^22 + 25666346481826993954489/459502349931691508a^21 + 25033727747644167645/465083350133291a^20 + 448254272282457833022/6046083551732783a^19 + 1647687940320362766759/24184334206931132a^18 + 526760760800928931434/6046083551732783a^17 + 406382577929119178031/12092167103465566a^16 + 1491835613004000930987/24184334206931132a^15 + 6172584827539526797149/229751174965845754a^14 + 363136476114114857850/6046083551732783a^13 + 410166943115552342641/12092167103465566a^12 + 373480965328870708209/6046083551732783a^11 + 239705363202862235811/6046083551732783a^10 + 270167448355758142871/12092167103465566a^9 + 138735037576401887295/12092167103465566a^8 + 2936184038274731183559/459502349931691508a^7 + 34732603637780250123/12092167103465566a^6 + 9549651900468388437/6046083551732783a^5 + 3230263812454906095/24184334206931132a^4 - 333246615286784139/12092167103465566a^3 - 183111212188836513/12092167103465566a^2 - 25809831234982011/24184334206931132a + 118653615474541053/114875587482922877, 3674631752673163/24184334206931132a^35 + 3777515391655835/459502349931691508a^34 + 623729610257986577/459502349931691508a^33 - 122031847681281027/229751174965845754a^32 + 1242535524748750189/114875587482922877a^31 - 4516090993194192497/459502349931691508a^30 + 10043774959986845757/114875587482922877a^29 + 71103631826275825917/459502349931691508a^28 + 170851023570322418881/229751174965845754a^27 + 263040022411417455207/229751174965845754a^26 + 1211480890804467597111/229751174965845754a^25 + 711018970446489497662/114875587482922877a^24 + 4220100430782940237721/114875587482922877a^23 + 6133146247851348351137/229751174965845754a^22 + 23799825181940995127227/459502349931691508a^21 + 19832647997152189742769/459502349931691508a^20 + 30591546258615278793147/459502349931691508a^19 + 950137350826147814795/17673167305065058a^18 + 8852001327554985205776/114875587482922877a^17 + 5215112502219160218699/459502349931691508a^16 + 6964108994800409942192/114875587482922877a^15 + 5627151538893619667641/459502349931691508a^14 + 13644751217386932669035/229751174965845754a^13 + 4599623748726723419215/229751174965845754a^12 + 6774395107402722233580/114875587482922877a^11 + 2979617366421717902458/114875587482922877a^10 + 1512255487253498000101/114875587482922877a^9 + 46362076584159980049/6046083551732783a^8 + 2043622944934316371185/459502349931691508a^7 + 723070970417028960115/459502349931691508a^6 + 503441122925194352085/459502349931691508a^5 - 26862226512419177454/114875587482922877a^4 - 132584714682906401/8836583652532529a^3 + 731326424471590841/24184334206931132a^2 - 1198003773203283317/229751174965845754a + 35642308342771961/24184334206931132, 2052736979825049/17673167305065058a^35 - 33027087623972379/459502349931691508a^34 + 479480347232157441/459502349931691508a^33 - 510545373489011721/459502349931691508a^32 + 76292338135487414/8836583652532529a^31 - 6055352702524281209/459502349931691508a^30 + 33385959563740583841/459502349931691508a^29 + 33142424788147126169/459502349931691508a^28 + 56899396758640609480/114875587482922877a^27 + 114527905828724600717/229751174965845754a^26 + 42143961653708194647/12092167103465566a^25 + 473567325179786364393/229751174965845754a^24 + 2895416354499025055939/114875587482922877a^23 + 193189293516167134835/114875587482922877a^22 + 3226101831953265665475/114875587482922877a^21 + 2956942656768259089899/459502349931691508a^20 + 14449788174480444409929/459502349931691508a^19 + 3478202287942635605223/459502349931691508a^18 + 3956800642331456758221/114875587482922877a^17 - 13788004316440587425973/459502349931691508a^16 + 1558711945209185251839/35346334610130116a^15 - 11039517218970387396855/459502349931691508a^14 + 10067398555258112185125/229751174965845754a^13 - 1991525584184502264931/114875587482922877a^12 + 4505035459512480580776/114875587482922877a^11 - 1384314569654991467863/114875587482922877a^10 + 84829443123517474130/114875587482922877a^9 - 434553897482841816633/229751174965845754a^8 + 28255519736735543307/229751174965845754a^7 - 33402419256966909281/35346334610130116a^6 + 93127354516243952627/459502349931691508a^5 - 351328195930101248815/459502349931691508a^4 + 37687186178722686339/229751174965845754a^3 - 10889274768857901181/459502349931691508a^2 + 3459657184336201807/459502349931691508a - 745310446931159397/459502349931691508, 49106431969763769/229751174965845754a^35 - 28742904687885/24184334206931132a^34 + 46534948020636319/24184334206931132a^33 - 5227353054729675/6046083551732783a^32 + 186199651229575143/12092167103465566a^31 - 358558316519825819/24184334206931132a^30 + 1510749305050337865/12092167103465566a^29 + 96046531624469617075/459502349931691508a^28 + 6301855068738672422/6046083551732783a^27 + 18878457198506520663/12092167103465566a^26 + 89398294701335312469/12092167103465566a^25 + 50544390682301962774/6046083551732783a^24 + 312365494936948579290/6046083551732783a^23 + 211318703131774664577/6046083551732783a^22 + 1311365775910061292805/17673167305065058a^21 + 1404049626418857320961/24184334206931132a^20 + 2291451479148337361625/24184334206931132a^19 + 441481797824762744834/6046083551732783a^18 + 1326593424731610838761/12092167103465566a^17 + 319584159689505700533/24184334206931132a^16 + 550020586923004964920/6046083551732783a^15 + 5189190162387151839291/459502349931691508a^14 + 1073167017395944769277/12092167103465566a^13 + 273182513727895884287/12092167103465566a^12 + 528286950126826463160/6046083551732783a^11 + 192145049510427925026/6046083551732783a^10 + 133960123575353844099/6046083551732783a^9 + 128101200002626429269/12092167103465566a^8 + 1515167347140197633625/229751174965845754a^7 + 4193447437362646845/1860333400533164a^6 + 41404948711940852811/24184334206931132a^5 - 4420192349824028997/12092167103465566a^4 + 961579352120511721/12092167103465566a^3 - 398079843963543999/24184334206931132a^2 - 4859705196096549/6046083551732783a - 34944923424200197/35346334610130116, 17559559432112210/114875587482922877a^35 + 2772105402389313/35346334610130116a^34 + 627171966967062341/459502349931691508a^33 + 10313891746967513/114875587482922877a^32 + 2434231961277982631/229751174965845754a^31 - 2250958707618036043/459502349931691508a^30 + 38184920998962273207/459502349931691508a^29 + 90139041971277356331/459502349931691508a^28 + 187721589477423518967/229751174965845754a^27 + 342166402639722003205/229751174965845754a^26 + 1334498110110464444553/229751174965845754a^25 + 989664584238978244929/114875587482922877a^24 + 4553335195890971894893/114875587482922877a^23 + 5002337529674383983294/114875587482922877a^22 + 14524588694564241558299/229751174965845754a^21 + 30298417333736995524943/459502349931691508a^20 + 38928145488923380047279/459502349931691508a^19 + 9488888002226186877382/114875587482922877a^18 + 22833658634624600826573/229751174965845754a^17 + 20288209187740532799507/459502349931691508a^16 + 2217144716977116977945/35346334610130116a^15 + 17691017567532646322771/459502349931691508a^14 + 14472646058785276327821/229751174965845754a^13 + 10634588744526429729857/229751174965845754a^12 + 7611182399441906192457/114875587482922877a^11 + 5953198127398170322948/114875587482922877a^10 + 5233071537255057453549/229751174965845754a^9 + 2768314765586108921257/229751174965845754a^8 + 786126129987518657739/114875587482922877a^7 + 1432932642217045956209/459502349931691508a^6 + 701624345456542850365/459502349931691508a^5 + 33313629144616268121/229751174965845754a^4 - 42428227295761730017/229751174965845754a^3 + 3259791677467795375/459502349931691508a^2 + 1604453893653926061/459502349931691508a + 206052625582498717/459502349931691508, 373508643476079/229751174965845754a^34 - 83001920772462/114875587482922877a^33 + 1494034573904316/114875587482922877a^32 - 2863566266649939/229751174965845754a^31 + 12118280432779452/114875587482922877a^30 - 35109998099315481/229751174965845754a^29 + 202566187645193511/229751174965845754a^28 + 152018017894764153/114875587482922877a^27 + 718257121404499917/114875587482922877a^26 + 814746854302486992/114875587482922877a^25 + 5017881120299190210/114875587482922877a^24 + 3415736544588742455/114875587482922877a^23 + 35994796234367646199/114875587482922877a^22 + 5644172113487802231/114875587482922877a^21 + 18406132441857697041/229751174965845754a^20 + 545820630999710112/8836583652532529a^19 + 10651553490809275998/114875587482922877a^18 + 2576836131341469021/229751174965845754a^17 + 8793389490476169204/114875587482922877a^16 - 4729939347016482500/8836583652532529a^15 + 17225845128473287401/229751174965845754a^14 + 2198596378381359687/114875587482922877a^13 + 8484788349044155488/114875587482922877a^12 + 3086675429686316856/114875587482922877a^11 + 2151658792184532426/114875587482922877a^10 + 994280008933322298/114875587482922877a^9 - 109030957702726430559/229751174965845754a^8 + 214767469998745425/114875587482922877a^7 + 332381191733324079/229751174965845754a^6 - 1867543217380395/6046083551732783a^5 + 7719178631838966/114875587482922877a^4 - 3195573949739787/229751174965845754a^3 + 373508643476079/114875587482922877a^2 + 1050622631489618567/114875587482922877a + 41500960386231/229751174965845754, 705522253076829/229751174965845754a^34 - 156782722905962/114875587482922877a^33 + 2822089012307316/114875587482922877a^32 - 5409003940255689/229751174965845754a^31 + 22890277544270452/114875587482922877a^30 - 132638359220526411/459502349931691508a^29 + 382628235252000261/229751174965845754a^28 + 287147557002269403/114875587482922877a^27 + 1356719292666742167/114875587482922877a^26 + 1538979208044922992/114875587482922877a^25 + 9478299513279932710/114875587482922877a^24 + 6452001004387601205/114875587482922877a^23 + 67990981750201677539/114875587482922877a^22 + 10661303548966868981/114875587482922877a^21 + 34767431109373056291/229751174965845754a^20 + 1031003185829606112/8836583652532529a^19 + 20119770047799197498/114875587482922877a^18 + 4867398023977043271/229751174965845754a^17 + 16609875230103426204/114875587482922877a^16 - 465318932482355458261/459502349931691508a^15 + 32537980789650276651/229751174965845754a^14 + 4152939155694574437/114875587482922877a^13 + 16026957066339059488/114875587482922877a^12 + 5830435899426914856/114875587482922877a^11 + 4064278525891252926/114875587482922877a^10 + 1878100237690518798/114875587482922877a^9 - 15759357133790483687/17673167305065058a^8 + 405675295519176675/114875587482922877a^7 + 627836413876924829/229751174965845754a^6 - 3527611265384145/6046083551732783a^5 + 14580793230254466/114875587482922877a^4 - 6036134831879537/229751174965845754a^3 + 705522253076829/114875587482922877a^2 + 6734596657404267451/459502349931691508a + 78391361452981/229751174965845754, 26178454573337953/229751174965845754a^35 - 5052798119743/35346334610130116a^34 + 468345221653777261/459502349931691508a^33 - 211444835306825157/459502349931691508a^32 + 935928243069382347/114875587482922877a^31 - 1809399613779490311/229751174965845754a^30 + 15188145600355849695/229751174965845754a^29 + 51420063610008789109/459502349931691508a^28 + 126941212188580528781/229751174965845754a^27 + 94906590089580565799/114875587482922877a^26 + 898078455686210847975/229751174965845754a^25 + 1012512391702214313055/229751174965845754a^24 + 6273230619827065171951/229751174965845754a^23 + 4218551348101794300975/229751174965845754a^22 + 8704549597368642113697/229751174965845754a^21 + 13382121814316719574131/459502349931691508a^20 + 21863993242196593199403/459502349931691508a^19 + 16511535895564968960705/459502349931691508a^18 + 12520052847928423293391/229751174965845754a^17 + 739798948703006213329/229751174965845754a^16 + 5008928141477000882491/114875587482922877a^15 + 1693273896990583888301/459502349931691508a^14 + 10106009694789082662155/229751174965845754a^13 + 2371372074689476617547/229751174965845754a^12 + 768927553777171585979/17673167305065058a^11 + 3424177672846535383561/229751174965845754a^10 + 75693709847993916750/8836583652532529a^9 + 719714101855890327607/229751174965845754a^8 + 468825581540041054605/229751174965845754a^7 + 186188255880631107133/459502349931691508a^6 + 17945893717758203647/35346334610130116a^5 - 159788436687452504693/459502349931691508a^4 - 214550088595769970/6046083551732783a^3 - 1824572448796503678/114875587482922877a^2 + 262583449886220771/229751174965845754a + 37844522165467093/459502349931691508, 2755822729607151/24184334206931132a^35 + 997922446367715/35346334610130116a^34 + 118177499265157500/114875587482922877a^33 - 23163549250831287/114875587482922877a^32 + 1865649210406362135/229751174965845754a^31 - 206493431821686397/35346334610130116a^30 + 14894571799662421353/229751174965845754a^29 + 29421449824669157929/229751174965845754a^28 + 67288665026809819173/114875587482922877a^27 + 224182898056041310755/229751174965845754a^26 + 478663371430576807767/114875587482922877a^25 + 628963668102144152396/114875587482922877a^24 + 508550864988404662863/17673167305065058a^23 + 2953751003561355535971/114875587482922877a^22 + 20678200619015480912417/459502349931691508a^21 + 18997518390198123874653/459502349931691508a^20 + 13636815665850766392351/229751174965845754a^19 + 6017272825384970871100/114875587482922877a^18 + 15986091220340570742099/229751174965845754a^17 + 801202803632666676177/35346334610130116a^16 + 5937197313043961582406/114875587482922877a^15 + 4184435866185091634667/229751174965845754a^14 + 11515698349001904019757/229751174965845754a^13 + 422578576528679206381/17673167305065058a^12 + 5843537784700083198633/114875587482922877a^11 + 3309299385750403113060/114875587482922877a^10 + 306040856115955115453/17673167305065058a^9 + 2035136233462096840365/229751174965845754a^8 + 2388708761513128082865/459502349931691508a^7 + 999089614345501661409/459502349931691508a^6 + 144503150433263333742/114875587482922877a^5 + 2568236523028865487/114875587482922877a^4 - 910938052109947741/229751174965845754a^3 - 426653011248401757/35346334610130116a^2 - 7106220155161723/8836583652532529a - 168748480776719989/229751174965845754, 87618294793342405/459502349931691508a^35 - 6998210602414519/114875587482922877a^34 + 197587223097399513/114875587482922877a^33 - 601584914846484401/459502349931691508a^32 + 6436201049172956059/459502349931691508a^31 - 4030426506408670791/229751174965845754a^30 + 26611333236644386091/229751174965845754a^29 + 69543464660904637135/459502349931691508a^28 + 100291068965868608587/114875587482922877a^27 + 126878754593413205400/114875587482922877a^26 + 1418529720269803778199/229751174965845754a^25 + 1244031218207877334563/229751174965845754a^24 + 10077439645213958092105/229751174965845754a^23 + 1937439377039007079577/114875587482922877a^22 + 26276180142887978091787/459502349931691508a^21 + 383942238212045584885/12092167103465566a^20 + 7979648895848848281149/114875587482922877a^19 + 18265470639638192160861/459502349931691508a^18 + 36306272934048724579577/459502349931691508a^17 - 2009436746815270964722/114875587482922877a^16 + 18224167806197648862537/229751174965845754a^15 - 6779491491155251117355/459502349931691508a^14 + 17764211393638813132259/229751174965845754a^13 - 1917334789448740890/465083350133291a^12 + 16756801596509184831405/229751174965845754a^11 + 1056312792665379751419/229751174965845754a^10 + 2803717849456793472039/229751174965845754a^9 + 468193124659878184455/114875587482922877a^8 + 1541229969191749829895/459502349931691508a^7 + 85827804334783127493/229751174965845754a^6 + 120335449413283734769/114875587482922877a^5 - 341710469965990785557/459502349931691508a^4 + 7492926209909162219/35346334610130116a^3 - 7828781435825053373/229751174965845754a^2 + 530514918964598755/229751174965845754a + 49064142797683043/459502349931691508, 159495124849497811/459502349931691508a^35 + 3212288706043182/114875587482922877a^34 + 357081205446882242/114875587482922877a^33 - 523125534361005211/459502349931691508a^32 + 5684042965563138895/229751174965845754a^31 - 2514598134401489871/114875587482922877a^30 + 91748383295045511807/459502349931691508a^29 + 164405666771216077993/459502349931691508a^28 + 393495305230550807723/229751174965845754a^27 + 305933808429746861900/114875587482922877a^26 + 1394827913676226929883/114875587482922877a^25 + 3325609167256652065089/229751174965845754a^24 + 19410633755447492452789/229751174965845754a^23 + 14527728964231900887419/229751174965845754a^22 + 55758229300279660500993/459502349931691508a^21 + 11622182754626717644479/114875587482922877a^20 + 35818627435437564925255/229751174965845754a^19 + 58073987216499302363461/459502349931691508a^18 + 41461379157221291798139/229751174965845754a^17 + 6889935610980415577557/229751174965845754a^16 + 64513839370301843506371/459502349931691508a^15 + 13154116198166883795971/459502349931691508a^14 + 15970820325350277590438/114875587482922877a^13 + 10807463516673967368583/229751174965845754a^12 + 15897487308666531811800/114875587482922877a^11 + 6994180383968907278497/114875587482922877a^10 + 7732479660083172657123/229751174965845754a^9 + 1916941733372808800037/114875587482922877a^8 + 4708340554533670711269/459502349931691508a^7 + 849958579429943289027/229751174965845754a^6 + 590577623930153113925/229751174965845754a^5 - 1020616454029584529/1860333400533164a^4 - 311721039492773648/8836583652532529a^3 - 15956193808987958/114875587482922877a^2 + 4053947044782193685/459502349931691508a + 80922399358345725/459502349931691508 (assuming GRH)	sage: UK.fundamental_units() gp: K.fu magma: [K\|fUK(g): g in Generators(UK)]; oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
Regulator:	$ 13624539961495.691 $ (assuming GRH)	sage: K.regulator() gp: K.reg magma: Regulator(K); oscar: regulator(K)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{0}\cdot(2\pi)^{18}\cdot 13624539961495.691 \cdot 2268}{14\cdot\sqrt{6858379380370190025774854438611053598470472411685943603515625}}\cr\approx \mathstrut & 0.196319635721282 \end{aligned}\] (assuming GRH)

# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula

x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^36 + 9*x^34 - 4*x^33 + 72*x^32 - 69*x^31 + 584*x^30 + 981*x^29 + 4881*x^28 + 7326*x^27 + 34614*x^26 + 39264*x^25 + 241820*x^24 + 164610*x^23 + 347325*x^22 + 272002*x^21 + 443511*x^20 + 341952*x^19 + 513316*x^18 + 62091*x^17 + 423768*x^16 + 53105*x^15 + 415071*x^14 + 105954*x^13 + 408896*x^12 + 148752*x^11 + 103692*x^10 + 47916*x^9 + 30861*x^8 + 10350*x^7 + 8009*x^6 - 1710*x^5 + 372*x^4 - 77*x^3 + 18*x^2 - 3*x + 1)

DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()

hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();

2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))

# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula

K = bnfinit(x^36 + 9*x^34 - 4*x^33 + 72*x^32 - 69*x^31 + 584*x^30 + 981*x^29 + 4881*x^28 + 7326*x^27 + 34614*x^26 + 39264*x^25 + 241820*x^24 + 164610*x^23 + 347325*x^22 + 272002*x^21 + 443511*x^20 + 341952*x^19 + 513316*x^18 + 62091*x^17 + 423768*x^16 + 53105*x^15 + 415071*x^14 + 105954*x^13 + 408896*x^12 + 148752*x^11 + 103692*x^10 + 47916*x^9 + 30861*x^8 + 10350*x^7 + 8009*x^6 - 1710*x^5 + 372*x^4 - 77*x^3 + 18*x^2 - 3*x + 1, 1);

[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]

/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */

Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^36 + 9*x^34 - 4*x^33 + 72*x^32 - 69*x^31 + 584*x^30 + 981*x^29 + 4881*x^28 + 7326*x^27 + 34614*x^26 + 39264*x^25 + 241820*x^24 + 164610*x^23 + 347325*x^22 + 272002*x^21 + 443511*x^20 + 341952*x^19 + 513316*x^18 + 62091*x^17 + 423768*x^16 + 53105*x^15 + 415071*x^14 + 105954*x^13 + 408896*x^12 + 148752*x^11 + 103692*x^10 + 47916*x^9 + 30861*x^8 + 10350*x^7 + 8009*x^6 - 1710*x^5 + 372*x^4 - 77*x^3 + 18*x^2 - 3*x + 1);

OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);

UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);

r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);

hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);

2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));

# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula

Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^36 + 9*x^34 - 4*x^33 + 72*x^32 - 69*x^31 + 584*x^30 + 981*x^29 + 4881*x^28 + 7326*x^27 + 34614*x^26 + 39264*x^25 + 241820*x^24 + 164610*x^23 + 347325*x^22 + 272002*x^21 + 443511*x^20 + 341952*x^19 + 513316*x^18 + 62091*x^17 + 423768*x^16 + 53105*x^15 + 415071*x^14 + 105954*x^13 + 408896*x^12 + 148752*x^11 + 103692*x^10 + 47916*x^9 + 30861*x^8 + 10350*x^7 + 8009*x^6 - 1710*x^5 + 372*x^4 - 77*x^3 + 18*x^2 - 3*x + 1);

OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);

UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);

r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);

hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);

2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))

Galois group

$C_6^2$ (as 36T4):

sage: K.galois_group(type='pari')

gp: polgalois(K.pol)

magma: G = GaloisGroup(K);

oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)

An abelian group of order 36

The 36 conjugacy class representatives for $C_6^2$

Character table for $C_6^2$ is not computed

Intermediate fields

$\Q(\sqrt{-35}) $, $\Q(\sqrt{5}) $, $\Q(\sqrt{-7}) $, $\Q(\zeta_{9})^+$, 3.3.3969.2, $\Q(\zeta_{7})^+$, 3.3.3969.1, $\Q(\sqrt{5}, \sqrt{-7})$, 6.0.281302875.3, 6.0.13783840875.2, 6.0.2100875.1, 6.0.13783840875.1, 6.6.820125.1, 6.0.2250423.1, 6.6.1969120125.2, 6.0.110270727.1, 6.6.300125.1, $\Q(\zeta_{7})$, 6.6.1969120125.1, 6.0.110270727.2, 9.9.62523502209.1, 12.0.79131307483265625.1, 12.0.189994269267320765625.2, 12.0.4413675765625.1, 12.0.189994269267320765625.1, 18.0.2618850774742652270958169921875.4, 18.18.7635133454060210702501953125.1, 18.0.1340851596668237962730583.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

sage: K.subfields()[1:-1]

gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]

magma: L := Subfields(K); L[2..#L];

oscar: subfields(K)[2:end-1]

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	${\href{/padicField/2.6.0.1}{6} }^{6}$	R	R	R	${\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }^{12}$	${\href{/padicField/13.6.0.1}{6} }^{6}$	${\href{/padicField/17.6.0.1}{6} }^{6}$	${\href{/padicField/19.6.0.1}{6} }^{6}$	${\href{/padicField/23.6.0.1}{6} }^{6}$	${\href{/padicField/29.3.0.1}{3} }^{12}$	${\href{/padicField/31.6.0.1}{6} }^{6}$	${\href{/padicField/37.6.0.1}{6} }^{6}$	${\href{/padicField/41.6.0.1}{6} }^{6}$	${\href{/padicField/43.6.0.1}{6} }^{6}$	${\href{/padicField/47.6.0.1}{6} }^{6}$	${\href{/padicField/53.6.0.1}{6} }^{6}$	${\href{/padicField/59.6.0.1}{6} }^{6}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:

p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]

\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:

p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])

// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:

p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:

p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
$3$ 3		Deg $18$	$3$	$6$	$24$
$3$ 3		Deg $18$	$3$	$6$	$24$
$5$ 5	5.12.6.1	$x^{12} + 120 x^{11} + 6032 x^{10} + 163208 x^{9} + 2529528 x^{8} + 21853448 x^{7} + 92223962 x^{6} + 138649448 x^{5} + 223472880 x^{4} + 401794296 x^{3} + 295909124 x^{2} + 118616440 x + 126881009$	$2$	$6$	$6$	$C_6\times C_2$	$[\ ]_{2}^{6}$
	5.12.6.1	$x^{12} + 120 x^{11} + 6032 x^{10} + 163208 x^{9} + 2529528 x^{8} + 21853448 x^{7} + 92223962 x^{6} + 138649448 x^{5} + 223472880 x^{4} + 401794296 x^{3} + 295909124 x^{2} + 118616440 x + 126881009$	$2$	$6$	$6$	$C_6\times C_2$	$[\ ]_{2}^{6}$
	5.12.6.1	$x^{12} + 120 x^{11} + 6032 x^{10} + 163208 x^{9} + 2529528 x^{8} + 21853448 x^{7} + 92223962 x^{6} + 138649448 x^{5} + 223472880 x^{4} + 401794296 x^{3} + 295909124 x^{2} + 118616440 x + 126881009$	$2$	$6$	$6$	$C_6\times C_2$	$[\ ]_{2}^{6}$
$7$ 7		Deg $36$	$6$	$6$	$30$

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more