Normalized defining polynomial
\( x^{36} + 49 x^{32} + 932 x^{28} + 8695 x^{24} + 41461 x^{20} + 96055 x^{16} + 93536 x^{12} + 28314 x^{8} + 1365 x^{4} + 1 \)
Invariants
Degree: | $36$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
Signature: | $[0, 18]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
Discriminant: | \(392893567271872510941083606170645734076396278452324169894854656\) \(\medspace = 2^{72}\cdot 19^{32}\) | sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
Root discriminant: | \(54.79\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
Galois root discriminant: | $2^{2}19^{8/9}\approx 54.79360300815596$ | ||
Ramified primes: | \(2\), \(19\) | sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
$\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $36$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
Conductor: | \(152=2^{3}\cdot 19\) | ||
Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{152}(1,·)$, $\chi_{152}(131,·)$, $\chi_{152}(5,·)$, $\chi_{152}(7,·)$, $\chi_{152}(9,·)$, $\chi_{152}(11,·)$, $\chi_{152}(17,·)$, $\chi_{152}(149,·)$, $\chi_{152}(23,·)$, $\chi_{152}(25,·)$, $\chi_{152}(35,·)$, $\chi_{152}(39,·)$, $\chi_{152}(43,·)$, $\chi_{152}(45,·)$, $\chi_{152}(47,·)$, $\chi_{152}(49,·)$, $\chi_{152}(137,·)$, $\chi_{152}(61,·)$, $\chi_{152}(63,·)$, $\chi_{152}(139,·)$, $\chi_{152}(73,·)$, $\chi_{152}(55,·)$, $\chi_{152}(77,·)$, $\chi_{152}(81,·)$, $\chi_{152}(83,·)$, $\chi_{152}(85,·)$, $\chi_{152}(87,·)$, $\chi_{152}(93,·)$, $\chi_{152}(99,·)$, $\chi_{152}(101,·)$, $\chi_{152}(111,·)$, $\chi_{152}(115,·)$, $\chi_{152}(119,·)$, $\chi_{152}(121,·)$, $\chi_{152}(123,·)$, $\chi_{152}(125,·)$$\rbrace$ | ||
This is a CM field. | |||
Reflex fields: | unavailable$^{131072}$ |
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $\frac{1}{37}a^{28}+\frac{16}{37}a^{24}+\frac{11}{37}a^{16}-\frac{9}{37}a^{12}+\frac{10}{37}a^{4}+\frac{12}{37}$, $\frac{1}{37}a^{29}+\frac{16}{37}a^{25}+\frac{11}{37}a^{17}-\frac{9}{37}a^{13}+\frac{10}{37}a^{5}+\frac{12}{37}a$, $\frac{1}{37}a^{30}+\frac{16}{37}a^{26}+\frac{11}{37}a^{18}-\frac{9}{37}a^{14}+\frac{10}{37}a^{6}+\frac{12}{37}a^{2}$, $\frac{1}{37}a^{31}+\frac{16}{37}a^{27}+\frac{11}{37}a^{19}-\frac{9}{37}a^{15}+\frac{10}{37}a^{7}+\frac{12}{37}a^{3}$, $\frac{1}{27\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{11925490864898}{27\!\cdots\!89}a^{28}+\frac{64\!\cdots\!47}{27\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{55\!\cdots\!76}{27\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!87}{27\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{85\!\cdots\!15}{27\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!72}{27\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{50\!\cdots\!56}{27\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!05}{27\!\cdots\!89}$, $\frac{1}{27\!\cdots\!89}a^{33}-\frac{11925490864898}{27\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{64\!\cdots\!47}{27\!\cdots\!89}a^{25}-\frac{55\!\cdots\!76}{27\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!87}{27\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{85\!\cdots\!15}{27\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!72}{27\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{50\!\cdots\!56}{27\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!05}{27\!\cdots\!89}a$, $\frac{1}{27\!\cdots\!89}a^{34}-\frac{11925490864898}{27\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{64\!\cdots\!47}{27\!\cdots\!89}a^{26}-\frac{55\!\cdots\!76}{27\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{11\!\cdots\!87}{27\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{85\!\cdots\!15}{27\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!72}{27\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{50\!\cdots\!56}{27\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!05}{27\!\cdots\!89}a^{2}$, $\frac{1}{27\!\cdots\!89}a^{35}-\frac{11925490864898}{27\!\cdots\!89}a^{31}+\frac{64\!\cdots\!47}{27\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{55\!\cdots\!76}{27\!\cdots\!89}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!87}{27\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{85\!\cdots\!15}{27\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!72}{27\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{50\!\cdots\!56}{27\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!05}{27\!\cdots\!89}a^{3}$
Monogenic: | Not computed | |
Index: | $1$ | |
Inessential primes: | None |
Class group and class number
$C_{19}\times C_{171}$, which has order $3249$ (assuming GRH)
Unit group
Rank: | $17$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
Torsion generator: | \( \frac{4933715287540570}{27985118605791989} a^{35} + \frac{241728563142432074}{27985118605791989} a^{31} + \frac{4597078388635635768}{27985118605791989} a^{27} + \frac{42877073860924213654}{27985118605791989} a^{23} + \frac{204358106636401389981}{27985118605791989} a^{19} + \frac{472982025320174328996}{27985118605791989} a^{15} + \frac{459425171055352514653}{27985118605791989} a^{11} + \frac{137874115120972430578}{27985118605791989} a^{7} + \frac{6314209051969526189}{27985118605791989} a^{3} \) (order $8$) | sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
Fundamental units: | $\frac{13\!\cdots\!81}{27\!\cdots\!89}a^{34}+\frac{65\!\cdots\!05}{27\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{12\!\cdots\!59}{27\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!38}{27\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{55\!\cdots\!87}{27\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!58}{27\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!46}{27\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{38\!\cdots\!16}{27\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!39}{27\!\cdots\!89}a^{2}$, $\frac{81066156645912}{27\!\cdots\!89}a^{33}+\frac{39\!\cdots\!59}{27\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{75\!\cdots\!11}{27\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{71\!\cdots\!06}{27\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{34\!\cdots\!27}{27\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{80\!\cdots\!74}{27\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{81\!\cdots\!43}{27\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{28\!\cdots\!47}{27\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{23\!\cdots\!92}{27\!\cdots\!89}a$, $\frac{482482821130913}{27\!\cdots\!89}a^{34}+\frac{23\!\cdots\!58}{27\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{45\!\cdots\!91}{27\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{42\!\cdots\!42}{27\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{20\!\cdots\!22}{27\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{46\!\cdots\!31}{27\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{46\!\cdots\!39}{27\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!70}{27\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{86\!\cdots\!88}{27\!\cdots\!89}a^{2}$, $\frac{78992634535392}{27\!\cdots\!89}a^{32}+\frac{38\!\cdots\!96}{27\!\cdots\!89}a^{28}+\frac{73\!\cdots\!11}{27\!\cdots\!89}a^{24}+\frac{68\!\cdots\!92}{27\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{32\!\cdots\!78}{27\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{72\!\cdots\!04}{27\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{67\!\cdots\!83}{27\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!60}{27\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!46}{27\!\cdots\!89}$, $\frac{142805734603688}{27\!\cdots\!89}a^{33}+\frac{70\!\cdots\!96}{27\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{13\!\cdots\!97}{27\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{12\!\cdots\!11}{27\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{59\!\cdots\!01}{27\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!56}{27\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!75}{27\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{46\!\cdots\!68}{27\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!98}{27\!\cdots\!89}a$, $\frac{12\!\cdots\!94}{27\!\cdots\!89}a^{35}+\frac{59\!\cdots\!46}{27\!\cdots\!89}a^{31}+\frac{11\!\cdots\!83}{27\!\cdots\!89}a^{27}+\frac{10\!\cdots\!40}{27\!\cdots\!89}a^{23}+\frac{50\!\cdots\!64}{27\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!06}{27\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!74}{27\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{34\!\cdots\!72}{27\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{16\!\cdots\!75}{27\!\cdots\!89}a^{3}$, $\frac{230187034012076}{27\!\cdots\!89}a^{33}+\frac{11\!\cdots\!99}{27\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{21\!\cdots\!19}{27\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{19\!\cdots\!98}{27\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{94\!\cdots\!12}{27\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!53}{27\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{21\!\cdots\!41}{27\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{63\!\cdots\!45}{27\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{35\!\cdots\!39}{27\!\cdots\!89}a$, $a$, $\frac{674152244105365}{27\!\cdots\!89}a^{34}+\frac{191669422974452}{27\!\cdots\!89}a^{33}+\frac{33\!\cdots\!34}{27\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{93\!\cdots\!76}{27\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{62\!\cdots\!43}{27\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{17\!\cdots\!52}{27\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{58\!\cdots\!02}{27\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{16\!\cdots\!60}{27\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{27\!\cdots\!31}{27\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{78\!\cdots\!09}{27\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{64\!\cdots\!50}{27\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{18\!\cdots\!19}{27\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{63\!\cdots\!82}{27\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!43}{27\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{19\!\cdots\!28}{27\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{49\!\cdots\!58}{27\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!65}{27\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!77}{27\!\cdots\!89}a+1$, $\frac{49\!\cdots\!70}{27\!\cdots\!89}a^{35}-\frac{13\!\cdots\!30}{27\!\cdots\!89}a^{34}+\frac{191669422974452}{27\!\cdots\!89}a^{33}+\frac{24\!\cdots\!74}{27\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{66\!\cdots\!68}{27\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{93\!\cdots\!76}{27\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{45\!\cdots\!68}{27\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{12\!\cdots\!86}{27\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{17\!\cdots\!52}{27\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{42\!\cdots\!54}{27\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!04}{27\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{16\!\cdots\!60}{27\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{20\!\cdots\!81}{27\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{55\!\cdots\!62}{27\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{78\!\cdots\!09}{27\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{47\!\cdots\!96}{27\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!00}{27\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{18\!\cdots\!19}{27\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{45\!\cdots\!53}{27\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!64}{27\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!43}{27\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!78}{27\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{38\!\cdots\!56}{27\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{49\!\cdots\!58}{27\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{63\!\cdots\!89}{27\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!41}{27\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!77}{27\!\cdots\!89}a$, $\frac{246601049465924}{756354556913297}a^{35}-\frac{674152244105365}{27\!\cdots\!89}a^{34}+\frac{44\!\cdots\!16}{27\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{33\!\cdots\!34}{27\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{85\!\cdots\!24}{27\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{62\!\cdots\!43}{27\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{21\!\cdots\!61}{756354556913297}a^{23}-\frac{58\!\cdots\!02}{27\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{37\!\cdots\!80}{27\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{27\!\cdots\!31}{27\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{87\!\cdots\!83}{27\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{64\!\cdots\!50}{27\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{23\!\cdots\!28}{756354556913297}a^{11}-\frac{63\!\cdots\!82}{27\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{25\!\cdots\!85}{27\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!28}{27\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!40}{27\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!65}{27\!\cdots\!89}a^{2}+1$, $\frac{33\!\cdots\!76}{27\!\cdots\!89}a^{35}+\frac{674152244105365}{27\!\cdots\!89}a^{34}+\frac{16\!\cdots\!07}{27\!\cdots\!89}a^{31}+\frac{33\!\cdots\!34}{27\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{31\!\cdots\!88}{27\!\cdots\!89}a^{27}+\frac{62\!\cdots\!43}{27\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{29\!\cdots\!44}{27\!\cdots\!89}a^{23}+\frac{58\!\cdots\!02}{27\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!80}{27\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{27\!\cdots\!31}{27\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{32\!\cdots\!08}{27\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{64\!\cdots\!50}{27\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{31\!\cdots\!92}{27\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{63\!\cdots\!82}{27\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{96\!\cdots\!00}{27\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{19\!\cdots\!28}{27\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{50\!\cdots\!45}{27\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!65}{27\!\cdots\!89}a^{2}-1$, $\frac{82\!\cdots\!36}{27\!\cdots\!89}a^{35}-\frac{674152244105365}{27\!\cdots\!89}a^{34}+\frac{40\!\cdots\!84}{27\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{33\!\cdots\!34}{27\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{77\!\cdots\!64}{27\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{62\!\cdots\!43}{27\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{71\!\cdots\!39}{27\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{58\!\cdots\!02}{27\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{34\!\cdots\!64}{27\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{27\!\cdots\!31}{27\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{79\!\cdots\!94}{27\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{64\!\cdots\!50}{27\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{77\!\cdots\!61}{27\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{63\!\cdots\!82}{27\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{23\!\cdots\!97}{27\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!28}{27\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!53}{27\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!65}{27\!\cdots\!89}a^{2}+1$, $\frac{674152244105365}{27\!\cdots\!89}a^{35}-\frac{674152244105365}{27\!\cdots\!89}a^{34}+\frac{33\!\cdots\!34}{27\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{33\!\cdots\!34}{27\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{62\!\cdots\!43}{27\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{62\!\cdots\!43}{27\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{58\!\cdots\!02}{27\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{58\!\cdots\!02}{27\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{27\!\cdots\!31}{27\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{27\!\cdots\!31}{27\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{64\!\cdots\!50}{27\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{64\!\cdots\!50}{27\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{63\!\cdots\!82}{27\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{63\!\cdots\!82}{27\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{19\!\cdots\!28}{27\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!28}{27\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!65}{27\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!65}{27\!\cdots\!89}a^{2}+1$, $\frac{49\!\cdots\!70}{27\!\cdots\!89}a^{35}-\frac{191669422974452}{27\!\cdots\!89}a^{33}+\frac{76594519447472}{27\!\cdots\!89}a^{32}+\frac{24\!\cdots\!74}{27\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{93\!\cdots\!76}{27\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{37\!\cdots\!84}{27\!\cdots\!89}a^{28}+\frac{45\!\cdots\!68}{27\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{17\!\cdots\!52}{27\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{19\!\cdots\!16}{756354556913297}a^{24}+\frac{42\!\cdots\!54}{27\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{16\!\cdots\!60}{27\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{66\!\cdots\!24}{27\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{20\!\cdots\!81}{27\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{78\!\cdots\!09}{27\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{31\!\cdots\!64}{27\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{47\!\cdots\!96}{27\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!19}{27\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!47}{756354556913297}a^{12}+\frac{45\!\cdots\!53}{27\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!43}{27\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{69\!\cdots\!90}{27\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!78}{27\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{49\!\cdots\!58}{27\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{18\!\cdots\!47}{27\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{63\!\cdots\!89}{27\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!77}{27\!\cdots\!89}a+\frac{865082132153286}{756354556913297}$, $\frac{674152244105365}{27\!\cdots\!89}a^{35}-\frac{674152244105365}{27\!\cdots\!89}a^{34}+\frac{33\!\cdots\!34}{27\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{33\!\cdots\!34}{27\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{62\!\cdots\!43}{27\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{62\!\cdots\!43}{27\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{58\!\cdots\!02}{27\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{58\!\cdots\!02}{27\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{27\!\cdots\!31}{27\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{27\!\cdots\!31}{27\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{64\!\cdots\!50}{27\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{64\!\cdots\!50}{27\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{63\!\cdots\!82}{27\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{63\!\cdots\!82}{27\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{19\!\cdots\!28}{27\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!28}{27\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!65}{27\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!76}{27\!\cdots\!89}a^{2}+a$, $\frac{674152244105365}{27\!\cdots\!89}a^{34}-\frac{142805734603688}{27\!\cdots\!89}a^{33}+\frac{33\!\cdots\!34}{27\!\cdots\!89}a^{30}-\frac{70\!\cdots\!96}{27\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{62\!\cdots\!43}{27\!\cdots\!89}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!97}{27\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{58\!\cdots\!02}{27\!\cdots\!89}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!11}{27\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{27\!\cdots\!31}{27\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{59\!\cdots\!01}{27\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{64\!\cdots\!50}{27\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!56}{27\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{63\!\cdots\!82}{27\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!75}{27\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{19\!\cdots\!28}{27\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{46\!\cdots\!68}{27\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!65}{27\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{27\!\cdots\!98}{27\!\cdots\!89}a+1$ (assuming GRH) | sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
Regulator: | \( 28122649019657.055 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{0}\cdot(2\pi)^{18}\cdot 28122649019657.055 \cdot 3249}{8\cdot\sqrt{392893567271872510941083606170645734076396278452324169894854656}}\cr\approx \mathstrut & 0.134219656308053 \end{aligned}\] (assuming GRH)
Galois group
$C_2\times C_{18}$ (as 36T2):
An abelian group of order 36 |
The 36 conjugacy class representatives for $C_2\times C_{18}$ |
Character table for $C_2\times C_{18}$ is not computed |
Intermediate fields
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
Frobenius cycle types
$p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Cycle type | R | $18^{2}$ | $18^{2}$ | ${\href{/padicField/7.6.0.1}{6} }^{6}$ | ${\href{/padicField/11.6.0.1}{6} }^{6}$ | $18^{2}$ | ${\href{/padicField/17.9.0.1}{9} }^{4}$ | R | $18^{2}$ | $18^{2}$ | ${\href{/padicField/31.6.0.1}{6} }^{6}$ | ${\href{/padicField/37.2.0.1}{2} }^{18}$ | ${\href{/padicField/41.9.0.1}{9} }^{4}$ | $18^{2}$ | $18^{2}$ | $18^{2}$ | $18^{2}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
$p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\(2\) | Deg $36$ | $4$ | $9$ | $72$ | |||
\(19\) | 19.18.16.1 | $x^{18} + 162 x^{17} + 11682 x^{16} + 492480 x^{15} + 13390416 x^{14} + 243982368 x^{13} + 2990277024 x^{12} + 23974071552 x^{11} + 116854153056 x^{10} + 292311592166 x^{9} + 233708309190 x^{8} + 95896505088 x^{7} + 23931351696 x^{6} + 4148844336 x^{5} + 4813362864 x^{4} + 52323118080 x^{3} + 400888193472 x^{2} + 1792784840544 x + 3563298115785$ | $9$ | $2$ | $16$ | $C_{18}$ | $[\ ]_{9}^{2}$ |
19.18.16.1 | $x^{18} + 162 x^{17} + 11682 x^{16} + 492480 x^{15} + 13390416 x^{14} + 243982368 x^{13} + 2990277024 x^{12} + 23974071552 x^{11} + 116854153056 x^{10} + 292311592166 x^{9} + 233708309190 x^{8} + 95896505088 x^{7} + 23931351696 x^{6} + 4148844336 x^{5} + 4813362864 x^{4} + 52323118080 x^{3} + 400888193472 x^{2} + 1792784840544 x + 3563298115785$ | $9$ | $2$ | $16$ | $C_{18}$ | $[\ ]_{9}^{2}$ |