Normalized defining polynomial
\( x^{36} + 55 x^{34} + 1311 x^{32} + 17888 x^{30} + 155517 x^{28} + 907822 x^{26} + 3655689 x^{24} + 10287051 x^{22} + 20316834 x^{20} + 28134360 x^{18} + 27188388 x^{16} + \cdots + 1 \)
Invariants
Degree: | $36$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
Signature: | $[0, 18]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
Discriminant: | \(34493191016101639909923950785592661673806077335330090596029169664\) \(\medspace = 2^{36}\cdot 7^{24}\cdot 13^{30}\) | sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
Root discriminant: | \(62.05\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
Galois root discriminant: | $2\cdot 7^{2/3}13^{5/6}\approx 62.04614678346354$ | ||
Ramified primes: | \(2\), \(7\), \(13\) | sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
$\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $36$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
Conductor: | \(364=2^{2}\cdot 7\cdot 13\) | ||
Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{364}(1,·)$, $\chi_{364}(107,·)$, $\chi_{364}(261,·)$, $\chi_{364}(51,·)$, $\chi_{364}(263,·)$, $\chi_{364}(9,·)$, $\chi_{364}(277,·)$, $\chi_{364}(23,·)$, $\chi_{364}(25,·)$, $\chi_{364}(155,·)$, $\chi_{364}(29,·)$, $\chi_{364}(289,·)$, $\chi_{364}(347,·)$, $\chi_{364}(165,·)$, $\chi_{364}(295,·)$, $\chi_{364}(43,·)$, $\chi_{364}(303,·)$, $\chi_{364}(179,·)$, $\chi_{364}(309,·)$, $\chi_{364}(183,·)$, $\chi_{364}(53,·)$, $\chi_{364}(205,·)$, $\chi_{364}(207,·)$, $\chi_{364}(337,·)$, $\chi_{364}(211,·)$, $\chi_{364}(79,·)$, $\chi_{364}(95,·)$, $\chi_{364}(225,·)$, $\chi_{364}(81,·)$, $\chi_{364}(361,·)$, $\chi_{364}(235,·)$, $\chi_{364}(113,·)$, $\chi_{364}(233,·)$, $\chi_{364}(121,·)$, $\chi_{364}(191,·)$, $\chi_{364}(127,·)$$\rbrace$ | ||
This is a CM field. | |||
Reflex fields: | unavailable$^{131072}$ |
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $\frac{1}{3}a^{26}+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{3}a^{27}+\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{3}a^{28}+\frac{1}{3}a^{2}$, $\frac{1}{3}a^{29}+\frac{1}{3}a^{3}$, $\frac{1}{3}a^{30}+\frac{1}{3}a^{4}$, $\frac{1}{3}a^{31}+\frac{1}{3}a^{5}$, $\frac{1}{2811}a^{32}-\frac{41}{937}a^{30}+\frac{329}{2811}a^{28}-\frac{446}{2811}a^{26}+\frac{145}{937}a^{24}-\frac{29}{937}a^{22}-\frac{37}{937}a^{20}-\frac{368}{937}a^{18}-\frac{143}{937}a^{16}+\frac{202}{937}a^{14}-\frac{17}{937}a^{12}-\frac{285}{937}a^{10}+\frac{98}{937}a^{8}-\frac{851}{2811}a^{6}+\frac{74}{937}a^{4}-\frac{916}{2811}a^{2}+\frac{355}{2811}$, $\frac{1}{2811}a^{33}-\frac{41}{937}a^{31}+\frac{329}{2811}a^{29}-\frac{446}{2811}a^{27}+\frac{145}{937}a^{25}-\frac{29}{937}a^{23}-\frac{37}{937}a^{21}-\frac{368}{937}a^{19}-\frac{143}{937}a^{17}+\frac{202}{937}a^{15}-\frac{17}{937}a^{13}-\frac{285}{937}a^{11}+\frac{98}{937}a^{9}-\frac{851}{2811}a^{7}+\frac{74}{937}a^{5}-\frac{916}{2811}a^{3}+\frac{355}{2811}a$, $\frac{1}{42\!\cdots\!33}a^{34}-\frac{83\!\cdots\!46}{47\!\cdots\!37}a^{32}+\frac{47\!\cdots\!87}{47\!\cdots\!37}a^{30}+\frac{67\!\cdots\!49}{42\!\cdots\!33}a^{28}+\frac{48\!\cdots\!94}{42\!\cdots\!33}a^{26}+\frac{36\!\cdots\!34}{14\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{53\!\cdots\!12}{14\!\cdots\!11}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!25}{14\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{41\!\cdots\!87}{14\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{60\!\cdots\!84}{14\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{37\!\cdots\!39}{14\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{31\!\cdots\!22}{14\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!63}{47\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!31}{42\!\cdots\!33}a^{8}+\frac{45\!\cdots\!14}{14\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{69\!\cdots\!77}{14\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{81\!\cdots\!02}{42\!\cdots\!33}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!17}{42\!\cdots\!33}$, $\frac{1}{42\!\cdots\!33}a^{35}-\frac{83\!\cdots\!46}{47\!\cdots\!37}a^{33}+\frac{47\!\cdots\!87}{47\!\cdots\!37}a^{31}+\frac{67\!\cdots\!49}{42\!\cdots\!33}a^{29}+\frac{48\!\cdots\!94}{42\!\cdots\!33}a^{27}+\frac{36\!\cdots\!34}{14\!\cdots\!11}a^{25}+\frac{53\!\cdots\!12}{14\!\cdots\!11}a^{23}-\frac{13\!\cdots\!25}{14\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{41\!\cdots\!87}{14\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{60\!\cdots\!84}{14\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{37\!\cdots\!39}{14\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{31\!\cdots\!22}{14\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!63}{47\!\cdots\!37}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!31}{42\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{45\!\cdots\!14}{14\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{69\!\cdots\!77}{14\!\cdots\!11}a^{5}+\frac{81\!\cdots\!02}{42\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!17}{42\!\cdots\!33}a$
Monogenic: | Not computed | |
Index: | $1$ | |
Inessential primes: | None |
Class group and class number
$C_{3}\times C_{6}\times C_{6}\times C_{36}\times C_{36}$, which has order $139968$ (assuming GRH)
Unit group
Rank: | $17$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
Torsion generator: | \( -\frac{1589620738669101764}{5791131897569746179} a^{35} - \frac{87687161295932572615}{5791131897569746179} a^{33} - \frac{2097687417390278278025}{5791131897569746179} a^{31} - \frac{9582156977711942649889}{1930377299189915393} a^{29} - \frac{83732708101292303405887}{1930377299189915393} a^{27} - \frac{491606290485781757727428}{1930377299189915393} a^{25} - \frac{1991534650963886384946798}{1930377299189915393} a^{23} - \frac{5633094669063603638015342}{1930377299189915393} a^{21} - \frac{11146762736309379646807859}{1930377299189915393} a^{19} - \frac{15341727593986249765465804}{1930377299189915393} a^{17} - \frac{14486638799037617510862556}{1930377299189915393} a^{15} - \frac{9158350776663471144796391}{1930377299189915393} a^{13} - \frac{3713707091093352310483578}{1930377299189915393} a^{11} - \frac{2669349204981514843105781}{5791131897569746179} a^{9} - \frac{308997332142749953826581}{5791131897569746179} a^{7} - \frac{3727940945647470557936}{5791131897569746179} a^{5} + \frac{621409252376036385603}{1930377299189915393} a^{3} + \frac{25167805450447728655}{1930377299189915393} a \) (order $4$) | sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
Fundamental units: | $\frac{16\!\cdots\!51}{14\!\cdots\!11}a^{34}+\frac{91\!\cdots\!98}{14\!\cdots\!11}a^{32}+\frac{72\!\cdots\!71}{47\!\cdots\!37}a^{30}+\frac{29\!\cdots\!54}{14\!\cdots\!11}a^{28}+\frac{85\!\cdots\!01}{47\!\cdots\!37}a^{26}+\frac{49\!\cdots\!10}{47\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{20\!\cdots\!86}{47\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{56\!\cdots\!31}{47\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!22}{47\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!18}{47\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!98}{47\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{94\!\cdots\!58}{47\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{41\!\cdots\!93}{47\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{35\!\cdots\!68}{14\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{62\!\cdots\!93}{14\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!29}{47\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!38}{14\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{78\!\cdots\!86}{47\!\cdots\!37}$, $\frac{99\!\cdots\!95}{42\!\cdots\!33}a^{34}+\frac{60\!\cdots\!55}{47\!\cdots\!37}a^{32}+\frac{43\!\cdots\!55}{14\!\cdots\!11}a^{30}+\frac{17\!\cdots\!75}{42\!\cdots\!33}a^{28}+\frac{15\!\cdots\!75}{42\!\cdots\!33}a^{26}+\frac{29\!\cdots\!29}{14\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!05}{14\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{32\!\cdots\!50}{14\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{63\!\cdots\!00}{14\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{85\!\cdots\!65}{14\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{79\!\cdots\!15}{14\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{50\!\cdots\!75}{14\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{70\!\cdots\!15}{47\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!10}{42\!\cdots\!33}a^{8}+\frac{93\!\cdots\!40}{14\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{84\!\cdots\!60}{14\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!25}{42\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{94\!\cdots\!47}{42\!\cdots\!33}$, $\frac{27\!\cdots\!18}{42\!\cdots\!33}a^{34}+\frac{50\!\cdots\!48}{14\!\cdots\!11}a^{32}+\frac{12\!\cdots\!65}{14\!\cdots\!11}a^{30}+\frac{50\!\cdots\!64}{42\!\cdots\!33}a^{28}+\frac{43\!\cdots\!79}{42\!\cdots\!33}a^{26}+\frac{85\!\cdots\!13}{14\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{34\!\cdots\!05}{14\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{98\!\cdots\!81}{14\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{19\!\cdots\!66}{14\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{27\!\cdots\!47}{14\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{26\!\cdots\!90}{14\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!98}{14\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!30}{47\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{68\!\cdots\!51}{42\!\cdots\!33}a^{8}+\frac{40\!\cdots\!22}{14\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!34}{47\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{47\!\cdots\!02}{42\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{40\!\cdots\!77}{42\!\cdots\!33}$, $\frac{15\!\cdots\!49}{42\!\cdots\!33}a^{34}+\frac{93\!\cdots\!73}{47\!\cdots\!37}a^{32}+\frac{66\!\cdots\!99}{14\!\cdots\!11}a^{30}+\frac{27\!\cdots\!98}{42\!\cdots\!33}a^{28}+\frac{23\!\cdots\!81}{42\!\cdots\!33}a^{26}+\frac{45\!\cdots\!63}{14\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!03}{14\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{50\!\cdots\!42}{14\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{97\!\cdots\!51}{14\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!79}{14\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!15}{14\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{78\!\cdots\!20}{14\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!08}{47\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{27\!\cdots\!55}{42\!\cdots\!33}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!42}{14\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{44\!\cdots\!61}{47\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!50}{42\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!46}{42\!\cdots\!33}$, $\frac{24\!\cdots\!81}{42\!\cdots\!33}a^{34}+\frac{15\!\cdots\!56}{47\!\cdots\!37}a^{32}+\frac{10\!\cdots\!24}{14\!\cdots\!11}a^{30}+\frac{44\!\cdots\!72}{42\!\cdots\!33}a^{28}+\frac{38\!\cdots\!82}{42\!\cdots\!33}a^{26}+\frac{74\!\cdots\!41}{14\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{30\!\cdots\!38}{14\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{84\!\cdots\!88}{14\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!76}{14\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!04}{14\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{21\!\cdots\!79}{14\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!10}{14\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!74}{47\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{48\!\cdots\!39}{42\!\cdots\!33}a^{8}+\frac{26\!\cdots\!40}{14\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{79\!\cdots\!79}{47\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!17}{42\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{20\!\cdots\!10}{42\!\cdots\!33}$, $\frac{11\!\cdots\!70}{42\!\cdots\!33}a^{34}+\frac{20\!\cdots\!45}{14\!\cdots\!11}a^{32}+\frac{49\!\cdots\!60}{14\!\cdots\!11}a^{30}+\frac{20\!\cdots\!60}{42\!\cdots\!33}a^{28}+\frac{17\!\cdots\!58}{42\!\cdots\!33}a^{26}+\frac{33\!\cdots\!65}{14\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!50}{14\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{37\!\cdots\!85}{14\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{72\!\cdots\!87}{14\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{98\!\cdots\!10}{14\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{92\!\cdots\!65}{14\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{59\!\cdots\!80}{14\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{84\!\cdots\!32}{47\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{21\!\cdots\!85}{42\!\cdots\!33}a^{8}+\frac{39\!\cdots\!20}{47\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!20}{14\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!77}{42\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!47}{42\!\cdots\!33}$, $\frac{24\!\cdots\!81}{42\!\cdots\!33}a^{34}+\frac{15\!\cdots\!56}{47\!\cdots\!37}a^{32}+\frac{10\!\cdots\!24}{14\!\cdots\!11}a^{30}+\frac{44\!\cdots\!72}{42\!\cdots\!33}a^{28}+\frac{38\!\cdots\!82}{42\!\cdots\!33}a^{26}+\frac{74\!\cdots\!41}{14\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{30\!\cdots\!38}{14\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{84\!\cdots\!88}{14\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!76}{14\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!04}{14\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{21\!\cdots\!79}{14\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!10}{14\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!74}{47\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{48\!\cdots\!39}{42\!\cdots\!33}a^{8}+\frac{26\!\cdots\!40}{14\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{79\!\cdots\!79}{47\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!17}{42\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!77}{42\!\cdots\!33}$, $\frac{19\!\cdots\!74}{47\!\cdots\!37}a^{34}+\frac{32\!\cdots\!11}{14\!\cdots\!11}a^{32}+\frac{77\!\cdots\!33}{14\!\cdots\!11}a^{30}+\frac{34\!\cdots\!89}{47\!\cdots\!37}a^{28}+\frac{90\!\cdots\!21}{14\!\cdots\!11}a^{26}+\frac{17\!\cdots\!24}{47\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{70\!\cdots\!56}{47\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{19\!\cdots\!08}{47\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{38\!\cdots\!44}{47\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{52\!\cdots\!22}{47\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{49\!\cdots\!33}{47\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{32\!\cdots\!49}{47\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!38}{47\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{38\!\cdots\!85}{47\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!55}{14\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!49}{14\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{25\!\cdots\!49}{47\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{66\!\cdots\!55}{14\!\cdots\!11}$, $\frac{84\!\cdots\!48}{14\!\cdots\!11}a^{34}+\frac{15\!\cdots\!28}{47\!\cdots\!37}a^{32}+\frac{10\!\cdots\!54}{14\!\cdots\!11}a^{30}+\frac{14\!\cdots\!91}{14\!\cdots\!11}a^{28}+\frac{42\!\cdots\!84}{47\!\cdots\!37}a^{26}+\frac{24\!\cdots\!64}{47\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{99\!\cdots\!36}{47\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{27\!\cdots\!64}{47\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{53\!\cdots\!17}{47\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{72\!\cdots\!48}{47\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{67\!\cdots\!10}{47\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{42\!\cdots\!65}{47\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!23}{47\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!55}{14\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{80\!\cdots\!94}{47\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{21\!\cdots\!43}{14\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{87\!\cdots\!25}{14\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{25\!\cdots\!77}{47\!\cdots\!37}$, $\frac{16\!\cdots\!23}{42\!\cdots\!33}a^{34}+\frac{99\!\cdots\!81}{47\!\cdots\!37}a^{32}+\frac{70\!\cdots\!73}{14\!\cdots\!11}a^{30}+\frac{28\!\cdots\!22}{42\!\cdots\!33}a^{28}+\frac{25\!\cdots\!67}{42\!\cdots\!33}a^{26}+\frac{48\!\cdots\!95}{14\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{19\!\cdots\!08}{14\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{54\!\cdots\!78}{14\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!53}{14\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!64}{14\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!59}{14\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{87\!\cdots\!54}{14\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!25}{47\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{31\!\cdots\!89}{42\!\cdots\!33}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!53}{14\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!07}{14\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{21\!\cdots\!91}{42\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!88}{42\!\cdots\!33}$, $\frac{31\!\cdots\!42}{42\!\cdots\!33}a^{34}+\frac{19\!\cdots\!66}{47\!\cdots\!37}a^{32}+\frac{13\!\cdots\!02}{14\!\cdots\!11}a^{30}+\frac{55\!\cdots\!78}{42\!\cdots\!33}a^{28}+\frac{48\!\cdots\!32}{42\!\cdots\!33}a^{26}+\frac{92\!\cdots\!16}{14\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{37\!\cdots\!31}{14\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!72}{14\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{20\!\cdots\!11}{14\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{27\!\cdots\!71}{14\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{25\!\cdots\!68}{14\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!37}{14\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{23\!\cdots\!40}{47\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{57\!\cdots\!87}{42\!\cdots\!33}a^{8}+\frac{31\!\cdots\!45}{14\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{97\!\cdots\!37}{47\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{35\!\cdots\!06}{42\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{30\!\cdots\!31}{42\!\cdots\!33}$, $\frac{11\!\cdots\!41}{42\!\cdots\!33}a^{34}+\frac{20\!\cdots\!37}{14\!\cdots\!11}a^{32}+\frac{16\!\cdots\!07}{47\!\cdots\!37}a^{30}+\frac{20\!\cdots\!79}{42\!\cdots\!33}a^{28}+\frac{17\!\cdots\!39}{42\!\cdots\!33}a^{26}+\frac{33\!\cdots\!27}{14\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!10}{14\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{36\!\cdots\!36}{14\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{71\!\cdots\!79}{14\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{95\!\cdots\!98}{14\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{87\!\cdots\!65}{14\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{55\!\cdots\!14}{14\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{76\!\cdots\!39}{47\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!69}{42\!\cdots\!33}a^{8}+\frac{33\!\cdots\!73}{47\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{87\!\cdots\!77}{14\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!53}{42\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{79\!\cdots\!69}{42\!\cdots\!33}$, $\frac{70\!\cdots\!55}{14\!\cdots\!11}a^{34}+\frac{38\!\cdots\!10}{14\!\cdots\!11}a^{32}+\frac{30\!\cdots\!05}{47\!\cdots\!37}a^{30}+\frac{41\!\cdots\!15}{47\!\cdots\!37}a^{28}+\frac{36\!\cdots\!37}{47\!\cdots\!37}a^{26}+\frac{20\!\cdots\!98}{47\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{83\!\cdots\!85}{47\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{23\!\cdots\!45}{47\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{45\!\cdots\!29}{47\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{61\!\cdots\!25}{47\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{57\!\cdots\!60}{47\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{36\!\cdots\!85}{47\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!47}{47\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!65}{14\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!00}{14\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{64\!\cdots\!60}{47\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!78}{47\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!29}{47\!\cdots\!37}$, $\frac{12\!\cdots\!54}{14\!\cdots\!11}a^{34}+\frac{69\!\cdots\!50}{14\!\cdots\!11}a^{32}+\frac{16\!\cdots\!88}{14\!\cdots\!11}a^{30}+\frac{22\!\cdots\!68}{14\!\cdots\!11}a^{28}+\frac{65\!\cdots\!36}{47\!\cdots\!37}a^{26}+\frac{38\!\cdots\!57}{47\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{15\!\cdots\!12}{47\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{43\!\cdots\!12}{47\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{85\!\cdots\!34}{47\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!94}{47\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!46}{47\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{73\!\cdots\!50}{47\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{32\!\cdots\!38}{47\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{27\!\cdots\!22}{14\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{48\!\cdots\!02}{14\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{46\!\cdots\!64}{14\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!19}{14\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{41\!\cdots\!14}{47\!\cdots\!37}$, $\frac{38\!\cdots\!76}{42\!\cdots\!33}a^{34}+\frac{69\!\cdots\!70}{14\!\cdots\!11}a^{32}+\frac{55\!\cdots\!85}{47\!\cdots\!37}a^{30}+\frac{68\!\cdots\!46}{42\!\cdots\!33}a^{28}+\frac{59\!\cdots\!75}{42\!\cdots\!33}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!33}{14\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{47\!\cdots\!06}{14\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!69}{14\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{26\!\cdots\!08}{14\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{37\!\cdots\!58}{14\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{36\!\cdots\!32}{14\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{24\!\cdots\!33}{14\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{37\!\cdots\!88}{47\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!92}{42\!\cdots\!33}a^{8}+\frac{20\!\cdots\!02}{47\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{61\!\cdots\!52}{14\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{76\!\cdots\!70}{42\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{67\!\cdots\!13}{42\!\cdots\!33}$, $\frac{24\!\cdots\!36}{42\!\cdots\!33}a^{34}+\frac{15\!\cdots\!04}{47\!\cdots\!37}a^{32}+\frac{10\!\cdots\!52}{14\!\cdots\!11}a^{30}+\frac{44\!\cdots\!62}{42\!\cdots\!33}a^{28}+\frac{38\!\cdots\!78}{42\!\cdots\!33}a^{26}+\frac{73\!\cdots\!58}{14\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{29\!\cdots\!81}{14\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{81\!\cdots\!48}{14\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!69}{14\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{21\!\cdots\!13}{14\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!19}{14\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!73}{14\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!60}{47\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{44\!\cdots\!69}{42\!\cdots\!33}a^{8}+\frac{24\!\cdots\!41}{14\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{22\!\cdots\!21}{14\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{27\!\cdots\!14}{42\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!38}{42\!\cdots\!33}$, $\frac{94\!\cdots\!34}{47\!\cdots\!37}a^{34}+\frac{15\!\cdots\!94}{14\!\cdots\!11}a^{32}+\frac{37\!\cdots\!08}{14\!\cdots\!11}a^{30}+\frac{50\!\cdots\!46}{14\!\cdots\!11}a^{28}+\frac{43\!\cdots\!40}{14\!\cdots\!11}a^{26}+\frac{84\!\cdots\!30}{47\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{33\!\cdots\!99}{47\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{93\!\cdots\!89}{47\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!30}{47\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{24\!\cdots\!91}{47\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{23\!\cdots\!29}{47\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!15}{47\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{63\!\cdots\!72}{47\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!06}{47\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{87\!\cdots\!90}{14\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{81\!\cdots\!11}{14\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{33\!\cdots\!58}{14\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{28\!\cdots\!86}{14\!\cdots\!11}$ (assuming GRH) | sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
Regulator: | \( 4866030378143.887 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{0}\cdot(2\pi)^{18}\cdot 4866030378143.887 \cdot 139968}{4\cdot\sqrt{34493191016101639909923950785592661673806077335330090596029169664}}\cr\approx \mathstrut & 0.213557351056425 \end{aligned}\] (assuming GRH)
Galois group
An abelian group of order 36 |
The 36 conjugacy class representatives for $C_6^2$ |
Character table for $C_6^2$ is not computed |
Intermediate fields
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
Frobenius cycle types
$p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Cycle type | R | ${\href{/padicField/3.6.0.1}{6} }^{6}$ | ${\href{/padicField/5.6.0.1}{6} }^{6}$ | R | ${\href{/padicField/11.6.0.1}{6} }^{6}$ | R | ${\href{/padicField/17.3.0.1}{3} }^{12}$ | ${\href{/padicField/19.6.0.1}{6} }^{6}$ | ${\href{/padicField/23.6.0.1}{6} }^{6}$ | ${\href{/padicField/29.3.0.1}{3} }^{12}$ | ${\href{/padicField/31.6.0.1}{6} }^{6}$ | ${\href{/padicField/37.6.0.1}{6} }^{6}$ | ${\href{/padicField/41.6.0.1}{6} }^{6}$ | ${\href{/padicField/43.6.0.1}{6} }^{6}$ | ${\href{/padicField/47.6.0.1}{6} }^{6}$ | ${\href{/padicField/53.3.0.1}{3} }^{12}$ | ${\href{/padicField/59.6.0.1}{6} }^{6}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
$p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\(2\) | 2.12.12.26 | $x^{12} + 12 x^{11} + 98 x^{10} + 542 x^{9} + 2359 x^{8} + 7956 x^{7} + 21831 x^{6} + 47308 x^{5} + 82476 x^{4} + 109442 x^{3} + 112071 x^{2} + 76900 x + 33205$ | $2$ | $6$ | $12$ | $C_6\times C_2$ | $[2]^{6}$ |
2.12.12.26 | $x^{12} + 12 x^{11} + 98 x^{10} + 542 x^{9} + 2359 x^{8} + 7956 x^{7} + 21831 x^{6} + 47308 x^{5} + 82476 x^{4} + 109442 x^{3} + 112071 x^{2} + 76900 x + 33205$ | $2$ | $6$ | $12$ | $C_6\times C_2$ | $[2]^{6}$ | |
2.12.12.26 | $x^{12} + 12 x^{11} + 98 x^{10} + 542 x^{9} + 2359 x^{8} + 7956 x^{7} + 21831 x^{6} + 47308 x^{5} + 82476 x^{4} + 109442 x^{3} + 112071 x^{2} + 76900 x + 33205$ | $2$ | $6$ | $12$ | $C_6\times C_2$ | $[2]^{6}$ | |
\(7\) | 7.18.12.1 | $x^{18} + 3 x^{16} + 57 x^{15} + 15 x^{14} + 90 x^{13} + 424 x^{12} - 921 x^{11} - 3090 x^{10} - 6496 x^{9} - 10560 x^{8} + 6912 x^{7} + 28033 x^{6} + 33237 x^{5} + 188463 x^{4} - 139476 x^{3} + 351552 x^{2} - 514905 x + 582014$ | $3$ | $6$ | $12$ | $C_6 \times C_3$ | $[\ ]_{3}^{6}$ |
7.18.12.1 | $x^{18} + 3 x^{16} + 57 x^{15} + 15 x^{14} + 90 x^{13} + 424 x^{12} - 921 x^{11} - 3090 x^{10} - 6496 x^{9} - 10560 x^{8} + 6912 x^{7} + 28033 x^{6} + 33237 x^{5} + 188463 x^{4} - 139476 x^{3} + 351552 x^{2} - 514905 x + 582014$ | $3$ | $6$ | $12$ | $C_6 \times C_3$ | $[\ ]_{3}^{6}$ | |
\(13\) | 13.6.5.2 | $x^{6} + 13$ | $6$ | $1$ | $5$ | $C_6$ | $[\ ]_{6}$ |
13.6.5.2 | $x^{6} + 13$ | $6$ | $1$ | $5$ | $C_6$ | $[\ ]_{6}$ | |
13.6.5.2 | $x^{6} + 13$ | $6$ | $1$ | $5$ | $C_6$ | $[\ ]_{6}$ | |
13.6.5.2 | $x^{6} + 13$ | $6$ | $1$ | $5$ | $C_6$ | $[\ ]_{6}$ | |
13.6.5.2 | $x^{6} + 13$ | $6$ | $1$ | $5$ | $C_6$ | $[\ ]_{6}$ | |
13.6.5.2 | $x^{6} + 13$ | $6$ | $1$ | $5$ | $C_6$ | $[\ ]_{6}$ |