Properties

Label 36.0.344...664.1
Degree $36$
Signature $[0, 18]$
Discriminant $3.449\times 10^{64}$
Root discriminant \(62.05\)
Ramified primes $2,7,13$
Class number $139968$ (GRH)
Class group [3, 6, 6, 36, 36] (GRH)
Galois group $C_6^2$ (as 36T4)

Related objects

Downloads

Learn more

Show commands: Magma / Oscar / PariGP / SageMath

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^36 + 55*x^34 + 1311*x^32 + 17888*x^30 + 155517*x^28 + 907822*x^26 + 3655689*x^24 + 10287051*x^22 + 20316834*x^20 + 28134360*x^18 + 27188388*x^16 + 18181863*x^14 + 8297859*x^12 + 2527930*x^10 + 496906*x^8 + 59787*x^6 + 4025*x^4 + 126*x^2 + 1)
 
gp: K = bnfinit(y^36 + 55*y^34 + 1311*y^32 + 17888*y^30 + 155517*y^28 + 907822*y^26 + 3655689*y^24 + 10287051*y^22 + 20316834*y^20 + 28134360*y^18 + 27188388*y^16 + 18181863*y^14 + 8297859*y^12 + 2527930*y^10 + 496906*y^8 + 59787*y^6 + 4025*y^4 + 126*y^2 + 1, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^36 + 55*x^34 + 1311*x^32 + 17888*x^30 + 155517*x^28 + 907822*x^26 + 3655689*x^24 + 10287051*x^22 + 20316834*x^20 + 28134360*x^18 + 27188388*x^16 + 18181863*x^14 + 8297859*x^12 + 2527930*x^10 + 496906*x^8 + 59787*x^6 + 4025*x^4 + 126*x^2 + 1);
 
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^36 + 55*x^34 + 1311*x^32 + 17888*x^30 + 155517*x^28 + 907822*x^26 + 3655689*x^24 + 10287051*x^22 + 20316834*x^20 + 28134360*x^18 + 27188388*x^16 + 18181863*x^14 + 8297859*x^12 + 2527930*x^10 + 496906*x^8 + 59787*x^6 + 4025*x^4 + 126*x^2 + 1)
 

\( x^{36} + 55 x^{34} + 1311 x^{32} + 17888 x^{30} + 155517 x^{28} + 907822 x^{26} + 3655689 x^{24} + 10287051 x^{22} + 20316834 x^{20} + 28134360 x^{18} + 27188388 x^{16} + \cdots + 1 \) Copy content Toggle raw display

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 
oscar: defining_polynomial(K)
 

Invariants

Degree:  $36$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
oscar: degree(K)
 
Signature:  $[0, 18]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
oscar: signature(K)
 
Discriminant:   \(34493191016101639909923950785592661673806077335330090596029169664\) \(\medspace = 2^{36}\cdot 7^{24}\cdot 13^{30}\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
 
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
 
Root discriminant:  \(62.05\)
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
 
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
 
Galois root discriminant:  $2\cdot 7^{2/3}13^{5/6}\approx 62.04614678346354$
Ramified primes:   \(2\), \(7\), \(13\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
 
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
 
Discriminant root field:  \(\Q\)
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:  $36$
sage: K.automorphisms()
 
magma: Automorphisms(K);
 
oscar: automorphisms(K)
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(364=2^{2}\cdot 7\cdot 13\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{364}(1,·)$, $\chi_{364}(107,·)$, $\chi_{364}(261,·)$, $\chi_{364}(51,·)$, $\chi_{364}(263,·)$, $\chi_{364}(9,·)$, $\chi_{364}(277,·)$, $\chi_{364}(23,·)$, $\chi_{364}(25,·)$, $\chi_{364}(155,·)$, $\chi_{364}(29,·)$, $\chi_{364}(289,·)$, $\chi_{364}(347,·)$, $\chi_{364}(165,·)$, $\chi_{364}(295,·)$, $\chi_{364}(43,·)$, $\chi_{364}(303,·)$, $\chi_{364}(179,·)$, $\chi_{364}(309,·)$, $\chi_{364}(183,·)$, $\chi_{364}(53,·)$, $\chi_{364}(205,·)$, $\chi_{364}(207,·)$, $\chi_{364}(337,·)$, $\chi_{364}(211,·)$, $\chi_{364}(79,·)$, $\chi_{364}(95,·)$, $\chi_{364}(225,·)$, $\chi_{364}(81,·)$, $\chi_{364}(361,·)$, $\chi_{364}(235,·)$, $\chi_{364}(113,·)$, $\chi_{364}(233,·)$, $\chi_{364}(121,·)$, $\chi_{364}(191,·)$, $\chi_{364}(127,·)$$\rbrace$
This is a CM field.
Reflex fields:  unavailable$^{131072}$

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $\frac{1}{3}a^{26}+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{3}a^{27}+\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{3}a^{28}+\frac{1}{3}a^{2}$, $\frac{1}{3}a^{29}+\frac{1}{3}a^{3}$, $\frac{1}{3}a^{30}+\frac{1}{3}a^{4}$, $\frac{1}{3}a^{31}+\frac{1}{3}a^{5}$, $\frac{1}{2811}a^{32}-\frac{41}{937}a^{30}+\frac{329}{2811}a^{28}-\frac{446}{2811}a^{26}+\frac{145}{937}a^{24}-\frac{29}{937}a^{22}-\frac{37}{937}a^{20}-\frac{368}{937}a^{18}-\frac{143}{937}a^{16}+\frac{202}{937}a^{14}-\frac{17}{937}a^{12}-\frac{285}{937}a^{10}+\frac{98}{937}a^{8}-\frac{851}{2811}a^{6}+\frac{74}{937}a^{4}-\frac{916}{2811}a^{2}+\frac{355}{2811}$, $\frac{1}{2811}a^{33}-\frac{41}{937}a^{31}+\frac{329}{2811}a^{29}-\frac{446}{2811}a^{27}+\frac{145}{937}a^{25}-\frac{29}{937}a^{23}-\frac{37}{937}a^{21}-\frac{368}{937}a^{19}-\frac{143}{937}a^{17}+\frac{202}{937}a^{15}-\frac{17}{937}a^{13}-\frac{285}{937}a^{11}+\frac{98}{937}a^{9}-\frac{851}{2811}a^{7}+\frac{74}{937}a^{5}-\frac{916}{2811}a^{3}+\frac{355}{2811}a$, $\frac{1}{42\!\cdots\!33}a^{34}-\frac{83\!\cdots\!46}{47\!\cdots\!37}a^{32}+\frac{47\!\cdots\!87}{47\!\cdots\!37}a^{30}+\frac{67\!\cdots\!49}{42\!\cdots\!33}a^{28}+\frac{48\!\cdots\!94}{42\!\cdots\!33}a^{26}+\frac{36\!\cdots\!34}{14\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{53\!\cdots\!12}{14\!\cdots\!11}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!25}{14\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{41\!\cdots\!87}{14\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{60\!\cdots\!84}{14\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{37\!\cdots\!39}{14\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{31\!\cdots\!22}{14\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!63}{47\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!31}{42\!\cdots\!33}a^{8}+\frac{45\!\cdots\!14}{14\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{69\!\cdots\!77}{14\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{81\!\cdots\!02}{42\!\cdots\!33}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!17}{42\!\cdots\!33}$, $\frac{1}{42\!\cdots\!33}a^{35}-\frac{83\!\cdots\!46}{47\!\cdots\!37}a^{33}+\frac{47\!\cdots\!87}{47\!\cdots\!37}a^{31}+\frac{67\!\cdots\!49}{42\!\cdots\!33}a^{29}+\frac{48\!\cdots\!94}{42\!\cdots\!33}a^{27}+\frac{36\!\cdots\!34}{14\!\cdots\!11}a^{25}+\frac{53\!\cdots\!12}{14\!\cdots\!11}a^{23}-\frac{13\!\cdots\!25}{14\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{41\!\cdots\!87}{14\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{60\!\cdots\!84}{14\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{37\!\cdots\!39}{14\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{31\!\cdots\!22}{14\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!63}{47\!\cdots\!37}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!31}{42\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{45\!\cdots\!14}{14\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{69\!\cdots\!77}{14\!\cdots\!11}a^{5}+\frac{81\!\cdots\!02}{42\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!17}{42\!\cdots\!33}a$ Copy content Toggle raw display

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 
oscar: basis(OK)
 

Monogenic:  Not computed
Index:  $1$
Inessential primes:  None

Class group and class number

$C_{3}\times C_{6}\times C_{6}\times C_{36}\times C_{36}$, which has order $139968$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 
oscar: class_group(K)
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
 
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
 
Rank:  $17$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
oscar: rank(UK)
 
Torsion generator:   \( -\frac{1589620738669101764}{5791131897569746179} a^{35} - \frac{87687161295932572615}{5791131897569746179} a^{33} - \frac{2097687417390278278025}{5791131897569746179} a^{31} - \frac{9582156977711942649889}{1930377299189915393} a^{29} - \frac{83732708101292303405887}{1930377299189915393} a^{27} - \frac{491606290485781757727428}{1930377299189915393} a^{25} - \frac{1991534650963886384946798}{1930377299189915393} a^{23} - \frac{5633094669063603638015342}{1930377299189915393} a^{21} - \frac{11146762736309379646807859}{1930377299189915393} a^{19} - \frac{15341727593986249765465804}{1930377299189915393} a^{17} - \frac{14486638799037617510862556}{1930377299189915393} a^{15} - \frac{9158350776663471144796391}{1930377299189915393} a^{13} - \frac{3713707091093352310483578}{1930377299189915393} a^{11} - \frac{2669349204981514843105781}{5791131897569746179} a^{9} - \frac{308997332142749953826581}{5791131897569746179} a^{7} - \frac{3727940945647470557936}{5791131897569746179} a^{5} + \frac{621409252376036385603}{1930377299189915393} a^{3} + \frac{25167805450447728655}{1930377299189915393} a \)  (order $4$) Copy content Toggle raw display
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
oscar: torsion_units_generator(OK)
 
Fundamental units:   $\frac{16\!\cdots\!51}{14\!\cdots\!11}a^{34}+\frac{91\!\cdots\!98}{14\!\cdots\!11}a^{32}+\frac{72\!\cdots\!71}{47\!\cdots\!37}a^{30}+\frac{29\!\cdots\!54}{14\!\cdots\!11}a^{28}+\frac{85\!\cdots\!01}{47\!\cdots\!37}a^{26}+\frac{49\!\cdots\!10}{47\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{20\!\cdots\!86}{47\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{56\!\cdots\!31}{47\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!22}{47\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!18}{47\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!98}{47\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{94\!\cdots\!58}{47\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{41\!\cdots\!93}{47\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{35\!\cdots\!68}{14\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{62\!\cdots\!93}{14\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!29}{47\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!38}{14\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{78\!\cdots\!86}{47\!\cdots\!37}$, $\frac{99\!\cdots\!95}{42\!\cdots\!33}a^{34}+\frac{60\!\cdots\!55}{47\!\cdots\!37}a^{32}+\frac{43\!\cdots\!55}{14\!\cdots\!11}a^{30}+\frac{17\!\cdots\!75}{42\!\cdots\!33}a^{28}+\frac{15\!\cdots\!75}{42\!\cdots\!33}a^{26}+\frac{29\!\cdots\!29}{14\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!05}{14\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{32\!\cdots\!50}{14\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{63\!\cdots\!00}{14\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{85\!\cdots\!65}{14\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{79\!\cdots\!15}{14\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{50\!\cdots\!75}{14\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{70\!\cdots\!15}{47\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!10}{42\!\cdots\!33}a^{8}+\frac{93\!\cdots\!40}{14\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{84\!\cdots\!60}{14\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!25}{42\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{94\!\cdots\!47}{42\!\cdots\!33}$, $\frac{27\!\cdots\!18}{42\!\cdots\!33}a^{34}+\frac{50\!\cdots\!48}{14\!\cdots\!11}a^{32}+\frac{12\!\cdots\!65}{14\!\cdots\!11}a^{30}+\frac{50\!\cdots\!64}{42\!\cdots\!33}a^{28}+\frac{43\!\cdots\!79}{42\!\cdots\!33}a^{26}+\frac{85\!\cdots\!13}{14\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{34\!\cdots\!05}{14\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{98\!\cdots\!81}{14\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{19\!\cdots\!66}{14\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{27\!\cdots\!47}{14\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{26\!\cdots\!90}{14\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!98}{14\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!30}{47\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{68\!\cdots\!51}{42\!\cdots\!33}a^{8}+\frac{40\!\cdots\!22}{14\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!34}{47\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{47\!\cdots\!02}{42\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{40\!\cdots\!77}{42\!\cdots\!33}$, $\frac{15\!\cdots\!49}{42\!\cdots\!33}a^{34}+\frac{93\!\cdots\!73}{47\!\cdots\!37}a^{32}+\frac{66\!\cdots\!99}{14\!\cdots\!11}a^{30}+\frac{27\!\cdots\!98}{42\!\cdots\!33}a^{28}+\frac{23\!\cdots\!81}{42\!\cdots\!33}a^{26}+\frac{45\!\cdots\!63}{14\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!03}{14\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{50\!\cdots\!42}{14\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{97\!\cdots\!51}{14\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!79}{14\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!15}{14\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{78\!\cdots\!20}{14\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!08}{47\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{27\!\cdots\!55}{42\!\cdots\!33}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!42}{14\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{44\!\cdots\!61}{47\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!50}{42\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!46}{42\!\cdots\!33}$, $\frac{24\!\cdots\!81}{42\!\cdots\!33}a^{34}+\frac{15\!\cdots\!56}{47\!\cdots\!37}a^{32}+\frac{10\!\cdots\!24}{14\!\cdots\!11}a^{30}+\frac{44\!\cdots\!72}{42\!\cdots\!33}a^{28}+\frac{38\!\cdots\!82}{42\!\cdots\!33}a^{26}+\frac{74\!\cdots\!41}{14\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{30\!\cdots\!38}{14\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{84\!\cdots\!88}{14\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!76}{14\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!04}{14\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{21\!\cdots\!79}{14\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!10}{14\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!74}{47\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{48\!\cdots\!39}{42\!\cdots\!33}a^{8}+\frac{26\!\cdots\!40}{14\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{79\!\cdots\!79}{47\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!17}{42\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{20\!\cdots\!10}{42\!\cdots\!33}$, $\frac{11\!\cdots\!70}{42\!\cdots\!33}a^{34}+\frac{20\!\cdots\!45}{14\!\cdots\!11}a^{32}+\frac{49\!\cdots\!60}{14\!\cdots\!11}a^{30}+\frac{20\!\cdots\!60}{42\!\cdots\!33}a^{28}+\frac{17\!\cdots\!58}{42\!\cdots\!33}a^{26}+\frac{33\!\cdots\!65}{14\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!50}{14\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{37\!\cdots\!85}{14\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{72\!\cdots\!87}{14\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{98\!\cdots\!10}{14\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{92\!\cdots\!65}{14\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{59\!\cdots\!80}{14\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{84\!\cdots\!32}{47\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{21\!\cdots\!85}{42\!\cdots\!33}a^{8}+\frac{39\!\cdots\!20}{47\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!20}{14\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!77}{42\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!47}{42\!\cdots\!33}$, $\frac{24\!\cdots\!81}{42\!\cdots\!33}a^{34}+\frac{15\!\cdots\!56}{47\!\cdots\!37}a^{32}+\frac{10\!\cdots\!24}{14\!\cdots\!11}a^{30}+\frac{44\!\cdots\!72}{42\!\cdots\!33}a^{28}+\frac{38\!\cdots\!82}{42\!\cdots\!33}a^{26}+\frac{74\!\cdots\!41}{14\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{30\!\cdots\!38}{14\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{84\!\cdots\!88}{14\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!76}{14\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!04}{14\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{21\!\cdots\!79}{14\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!10}{14\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!74}{47\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{48\!\cdots\!39}{42\!\cdots\!33}a^{8}+\frac{26\!\cdots\!40}{14\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{79\!\cdots\!79}{47\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!17}{42\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!77}{42\!\cdots\!33}$, $\frac{19\!\cdots\!74}{47\!\cdots\!37}a^{34}+\frac{32\!\cdots\!11}{14\!\cdots\!11}a^{32}+\frac{77\!\cdots\!33}{14\!\cdots\!11}a^{30}+\frac{34\!\cdots\!89}{47\!\cdots\!37}a^{28}+\frac{90\!\cdots\!21}{14\!\cdots\!11}a^{26}+\frac{17\!\cdots\!24}{47\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{70\!\cdots\!56}{47\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{19\!\cdots\!08}{47\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{38\!\cdots\!44}{47\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{52\!\cdots\!22}{47\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{49\!\cdots\!33}{47\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{32\!\cdots\!49}{47\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!38}{47\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{38\!\cdots\!85}{47\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!55}{14\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!49}{14\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{25\!\cdots\!49}{47\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{66\!\cdots\!55}{14\!\cdots\!11}$, $\frac{84\!\cdots\!48}{14\!\cdots\!11}a^{34}+\frac{15\!\cdots\!28}{47\!\cdots\!37}a^{32}+\frac{10\!\cdots\!54}{14\!\cdots\!11}a^{30}+\frac{14\!\cdots\!91}{14\!\cdots\!11}a^{28}+\frac{42\!\cdots\!84}{47\!\cdots\!37}a^{26}+\frac{24\!\cdots\!64}{47\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{99\!\cdots\!36}{47\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{27\!\cdots\!64}{47\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{53\!\cdots\!17}{47\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{72\!\cdots\!48}{47\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{67\!\cdots\!10}{47\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{42\!\cdots\!65}{47\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!23}{47\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!55}{14\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{80\!\cdots\!94}{47\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{21\!\cdots\!43}{14\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{87\!\cdots\!25}{14\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{25\!\cdots\!77}{47\!\cdots\!37}$, $\frac{16\!\cdots\!23}{42\!\cdots\!33}a^{34}+\frac{99\!\cdots\!81}{47\!\cdots\!37}a^{32}+\frac{70\!\cdots\!73}{14\!\cdots\!11}a^{30}+\frac{28\!\cdots\!22}{42\!\cdots\!33}a^{28}+\frac{25\!\cdots\!67}{42\!\cdots\!33}a^{26}+\frac{48\!\cdots\!95}{14\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{19\!\cdots\!08}{14\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{54\!\cdots\!78}{14\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!53}{14\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!64}{14\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!59}{14\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{87\!\cdots\!54}{14\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!25}{47\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{31\!\cdots\!89}{42\!\cdots\!33}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!53}{14\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!07}{14\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{21\!\cdots\!91}{42\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!88}{42\!\cdots\!33}$, $\frac{31\!\cdots\!42}{42\!\cdots\!33}a^{34}+\frac{19\!\cdots\!66}{47\!\cdots\!37}a^{32}+\frac{13\!\cdots\!02}{14\!\cdots\!11}a^{30}+\frac{55\!\cdots\!78}{42\!\cdots\!33}a^{28}+\frac{48\!\cdots\!32}{42\!\cdots\!33}a^{26}+\frac{92\!\cdots\!16}{14\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{37\!\cdots\!31}{14\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!72}{14\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{20\!\cdots\!11}{14\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{27\!\cdots\!71}{14\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{25\!\cdots\!68}{14\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!37}{14\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{23\!\cdots\!40}{47\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{57\!\cdots\!87}{42\!\cdots\!33}a^{8}+\frac{31\!\cdots\!45}{14\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{97\!\cdots\!37}{47\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{35\!\cdots\!06}{42\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{30\!\cdots\!31}{42\!\cdots\!33}$, $\frac{11\!\cdots\!41}{42\!\cdots\!33}a^{34}+\frac{20\!\cdots\!37}{14\!\cdots\!11}a^{32}+\frac{16\!\cdots\!07}{47\!\cdots\!37}a^{30}+\frac{20\!\cdots\!79}{42\!\cdots\!33}a^{28}+\frac{17\!\cdots\!39}{42\!\cdots\!33}a^{26}+\frac{33\!\cdots\!27}{14\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!10}{14\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{36\!\cdots\!36}{14\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{71\!\cdots\!79}{14\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{95\!\cdots\!98}{14\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{87\!\cdots\!65}{14\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{55\!\cdots\!14}{14\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{76\!\cdots\!39}{47\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!69}{42\!\cdots\!33}a^{8}+\frac{33\!\cdots\!73}{47\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{87\!\cdots\!77}{14\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!53}{42\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{79\!\cdots\!69}{42\!\cdots\!33}$, $\frac{70\!\cdots\!55}{14\!\cdots\!11}a^{34}+\frac{38\!\cdots\!10}{14\!\cdots\!11}a^{32}+\frac{30\!\cdots\!05}{47\!\cdots\!37}a^{30}+\frac{41\!\cdots\!15}{47\!\cdots\!37}a^{28}+\frac{36\!\cdots\!37}{47\!\cdots\!37}a^{26}+\frac{20\!\cdots\!98}{47\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{83\!\cdots\!85}{47\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{23\!\cdots\!45}{47\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{45\!\cdots\!29}{47\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{61\!\cdots\!25}{47\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{57\!\cdots\!60}{47\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{36\!\cdots\!85}{47\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!47}{47\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!65}{14\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!00}{14\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{64\!\cdots\!60}{47\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!78}{47\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!29}{47\!\cdots\!37}$, $\frac{12\!\cdots\!54}{14\!\cdots\!11}a^{34}+\frac{69\!\cdots\!50}{14\!\cdots\!11}a^{32}+\frac{16\!\cdots\!88}{14\!\cdots\!11}a^{30}+\frac{22\!\cdots\!68}{14\!\cdots\!11}a^{28}+\frac{65\!\cdots\!36}{47\!\cdots\!37}a^{26}+\frac{38\!\cdots\!57}{47\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{15\!\cdots\!12}{47\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{43\!\cdots\!12}{47\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{85\!\cdots\!34}{47\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!94}{47\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!46}{47\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{73\!\cdots\!50}{47\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{32\!\cdots\!38}{47\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{27\!\cdots\!22}{14\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{48\!\cdots\!02}{14\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{46\!\cdots\!64}{14\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!19}{14\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{41\!\cdots\!14}{47\!\cdots\!37}$, $\frac{38\!\cdots\!76}{42\!\cdots\!33}a^{34}+\frac{69\!\cdots\!70}{14\!\cdots\!11}a^{32}+\frac{55\!\cdots\!85}{47\!\cdots\!37}a^{30}+\frac{68\!\cdots\!46}{42\!\cdots\!33}a^{28}+\frac{59\!\cdots\!75}{42\!\cdots\!33}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!33}{14\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{47\!\cdots\!06}{14\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!69}{14\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{26\!\cdots\!08}{14\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{37\!\cdots\!58}{14\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{36\!\cdots\!32}{14\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{24\!\cdots\!33}{14\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{37\!\cdots\!88}{47\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!92}{42\!\cdots\!33}a^{8}+\frac{20\!\cdots\!02}{47\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{61\!\cdots\!52}{14\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{76\!\cdots\!70}{42\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{67\!\cdots\!13}{42\!\cdots\!33}$, $\frac{24\!\cdots\!36}{42\!\cdots\!33}a^{34}+\frac{15\!\cdots\!04}{47\!\cdots\!37}a^{32}+\frac{10\!\cdots\!52}{14\!\cdots\!11}a^{30}+\frac{44\!\cdots\!62}{42\!\cdots\!33}a^{28}+\frac{38\!\cdots\!78}{42\!\cdots\!33}a^{26}+\frac{73\!\cdots\!58}{14\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{29\!\cdots\!81}{14\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{81\!\cdots\!48}{14\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!69}{14\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{21\!\cdots\!13}{14\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!19}{14\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!73}{14\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!60}{47\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{44\!\cdots\!69}{42\!\cdots\!33}a^{8}+\frac{24\!\cdots\!41}{14\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{22\!\cdots\!21}{14\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{27\!\cdots\!14}{42\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!38}{42\!\cdots\!33}$, $\frac{94\!\cdots\!34}{47\!\cdots\!37}a^{34}+\frac{15\!\cdots\!94}{14\!\cdots\!11}a^{32}+\frac{37\!\cdots\!08}{14\!\cdots\!11}a^{30}+\frac{50\!\cdots\!46}{14\!\cdots\!11}a^{28}+\frac{43\!\cdots\!40}{14\!\cdots\!11}a^{26}+\frac{84\!\cdots\!30}{47\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{33\!\cdots\!99}{47\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{93\!\cdots\!89}{47\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!30}{47\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{24\!\cdots\!91}{47\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{23\!\cdots\!29}{47\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!15}{47\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{63\!\cdots\!72}{47\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!06}{47\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{87\!\cdots\!90}{14\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{81\!\cdots\!11}{14\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{33\!\cdots\!58}{14\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{28\!\cdots\!86}{14\!\cdots\!11}$ Copy content Toggle raw display (assuming GRH)
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
 
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
 
Regulator:  \( 4866030378143.887 \) (assuming GRH)
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 
oscar: regulator(K)
 

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{0}\cdot(2\pi)^{18}\cdot 4866030378143.887 \cdot 139968}{4\cdot\sqrt{34493191016101639909923950785592661673806077335330090596029169664}}\cr\approx \mathstrut & 0.213557351056425 \end{aligned}\] (assuming GRH)

# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
 
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^36 + 55*x^34 + 1311*x^32 + 17888*x^30 + 155517*x^28 + 907822*x^26 + 3655689*x^24 + 10287051*x^22 + 20316834*x^20 + 28134360*x^18 + 27188388*x^16 + 18181863*x^14 + 8297859*x^12 + 2527930*x^10 + 496906*x^8 + 59787*x^6 + 4025*x^4 + 126*x^2 + 1)
 
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
 
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
 
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
 
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
 
K = bnfinit(x^36 + 55*x^34 + 1311*x^32 + 17888*x^30 + 155517*x^28 + 907822*x^26 + 3655689*x^24 + 10287051*x^22 + 20316834*x^20 + 28134360*x^18 + 27188388*x^16 + 18181863*x^14 + 8297859*x^12 + 2527930*x^10 + 496906*x^8 + 59787*x^6 + 4025*x^4 + 126*x^2 + 1, 1);
 
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
 
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
 
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^36 + 55*x^34 + 1311*x^32 + 17888*x^30 + 155517*x^28 + 907822*x^26 + 3655689*x^24 + 10287051*x^22 + 20316834*x^20 + 28134360*x^18 + 27188388*x^16 + 18181863*x^14 + 8297859*x^12 + 2527930*x^10 + 496906*x^8 + 59787*x^6 + 4025*x^4 + 126*x^2 + 1);
 
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
 
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
 
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
 
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
 
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
 
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
 
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^36 + 55*x^34 + 1311*x^32 + 17888*x^30 + 155517*x^28 + 907822*x^26 + 3655689*x^24 + 10287051*x^22 + 20316834*x^20 + 28134360*x^18 + 27188388*x^16 + 18181863*x^14 + 8297859*x^12 + 2527930*x^10 + 496906*x^8 + 59787*x^6 + 4025*x^4 + 126*x^2 + 1);
 
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
 
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
 
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
 
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
 
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
 

Galois group

$C_6^2$ (as 36T4):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: G = GaloisGroup(K);
 
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
 
An abelian group of order 36
The 36 conjugacy class representatives for $C_6^2$
Character table for $C_6^2$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-1}) \), \(\Q(\sqrt{13}) \), \(\Q(\sqrt{-13}) \), 3.3.169.1, \(\Q(\zeta_{7})^+\), 3.3.8281.1, 3.3.8281.2, \(\Q(i, \sqrt{13})\), 6.0.1827904.1, 6.0.153664.1, 6.0.4388797504.2, 6.0.4388797504.1, \(\Q(\zeta_{13})^+\), 6.0.23762752.1, 6.6.5274997.1, 6.0.337599808.1, 6.6.891474493.1, 6.0.57054367552.1, 6.6.891474493.2, 6.0.57054367552.2, 9.9.567869252041.1, 12.0.564668382613504.1, 12.0.113973630361636864.1, 12.0.3255200856758710472704.1, 12.0.3255200856758710472704.2, 18.0.84535014172552012147112280064.1, 18.18.708478645847689707516501157.1, 18.0.185723426137096770687205679300608.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

sage: K.subfields()[1:-1]
 
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
 
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
 
oscar: subfields(K)[2:end-1]
 

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type R ${\href{/padicField/3.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/padicField/5.6.0.1}{6} }^{6}$ R ${\href{/padicField/11.6.0.1}{6} }^{6}$ R ${\href{/padicField/17.3.0.1}{3} }^{12}$ ${\href{/padicField/19.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/padicField/23.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/padicField/29.3.0.1}{3} }^{12}$ ${\href{/padicField/31.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/padicField/37.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/padicField/41.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/padicField/43.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/padicField/47.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/padicField/53.3.0.1}{3} }^{12}$ ${\href{/padicField/59.6.0.1}{6} }^{6}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
 
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
 
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
 
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
 
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
 
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
 
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
\(2\) Copy content Toggle raw display 2.12.12.26$x^{12} + 12 x^{11} + 98 x^{10} + 542 x^{9} + 2359 x^{8} + 7956 x^{7} + 21831 x^{6} + 47308 x^{5} + 82476 x^{4} + 109442 x^{3} + 112071 x^{2} + 76900 x + 33205$$2$$6$$12$$C_6\times C_2$$[2]^{6}$
2.12.12.26$x^{12} + 12 x^{11} + 98 x^{10} + 542 x^{9} + 2359 x^{8} + 7956 x^{7} + 21831 x^{6} + 47308 x^{5} + 82476 x^{4} + 109442 x^{3} + 112071 x^{2} + 76900 x + 33205$$2$$6$$12$$C_6\times C_2$$[2]^{6}$
2.12.12.26$x^{12} + 12 x^{11} + 98 x^{10} + 542 x^{9} + 2359 x^{8} + 7956 x^{7} + 21831 x^{6} + 47308 x^{5} + 82476 x^{4} + 109442 x^{3} + 112071 x^{2} + 76900 x + 33205$$2$$6$$12$$C_6\times C_2$$[2]^{6}$
\(7\) Copy content Toggle raw display 7.18.12.1$x^{18} + 3 x^{16} + 57 x^{15} + 15 x^{14} + 90 x^{13} + 424 x^{12} - 921 x^{11} - 3090 x^{10} - 6496 x^{9} - 10560 x^{8} + 6912 x^{7} + 28033 x^{6} + 33237 x^{5} + 188463 x^{4} - 139476 x^{3} + 351552 x^{2} - 514905 x + 582014$$3$$6$$12$$C_6 \times C_3$$[\ ]_{3}^{6}$
7.18.12.1$x^{18} + 3 x^{16} + 57 x^{15} + 15 x^{14} + 90 x^{13} + 424 x^{12} - 921 x^{11} - 3090 x^{10} - 6496 x^{9} - 10560 x^{8} + 6912 x^{7} + 28033 x^{6} + 33237 x^{5} + 188463 x^{4} - 139476 x^{3} + 351552 x^{2} - 514905 x + 582014$$3$$6$$12$$C_6 \times C_3$$[\ ]_{3}^{6}$
\(13\) Copy content Toggle raw display 13.6.5.2$x^{6} + 13$$6$$1$$5$$C_6$$[\ ]_{6}$
13.6.5.2$x^{6} + 13$$6$$1$$5$$C_6$$[\ ]_{6}$
13.6.5.2$x^{6} + 13$$6$$1$$5$$C_6$$[\ ]_{6}$
13.6.5.2$x^{6} + 13$$6$$1$$5$$C_6$$[\ ]_{6}$
13.6.5.2$x^{6} + 13$$6$$1$$5$$C_6$$[\ ]_{6}$
13.6.5.2$x^{6} + 13$$6$$1$$5$$C_6$$[\ ]_{6}$