Properties

Label 33.33.228...681.1
Degree $33$
Signature $[33, 0]$
Discriminant $2.283\times 10^{65}$
Root discriminant \(95.62\)
Ramified primes $13,23$
Class number $1$ (GRH)
Class group trivial (GRH)
Galois group $C_{33}$ (as 33T1)

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Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^33 - 8*x^32 - 48*x^31 + 488*x^30 + 889*x^29 - 13082*x^28 - 6681*x^27 + 203003*x^26 - 17780*x^25 - 2022483*x^24 + 832653*x^23 + 13572345*x^22 - 8326527*x^21 - 62657637*x^20 + 47704277*x^19 + 199663335*x^18 - 178099102*x^17 - 433344046*x^16 + 447058648*x^15 + 617907878*x^14 - 750473359*x^13 - 533823452*x^12 + 817138243*x^11 + 221279551*x^10 - 544192951*x^9 + 11597098*x^8 + 199867737*x^7 - 43176794*x^6 - 33036600*x^5 + 11713378*x^4 + 1505253*x^3 - 925381*x^2 + 72350*x + 1013)
 
gp: K = bnfinit(y^33 - 8*y^32 - 48*y^31 + 488*y^30 + 889*y^29 - 13082*y^28 - 6681*y^27 + 203003*y^26 - 17780*y^25 - 2022483*y^24 + 832653*y^23 + 13572345*y^22 - 8326527*y^21 - 62657637*y^20 + 47704277*y^19 + 199663335*y^18 - 178099102*y^17 - 433344046*y^16 + 447058648*y^15 + 617907878*y^14 - 750473359*y^13 - 533823452*y^12 + 817138243*y^11 + 221279551*y^10 - 544192951*y^9 + 11597098*y^8 + 199867737*y^7 - 43176794*y^6 - 33036600*y^5 + 11713378*y^4 + 1505253*y^3 - 925381*y^2 + 72350*y + 1013, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^33 - 8*x^32 - 48*x^31 + 488*x^30 + 889*x^29 - 13082*x^28 - 6681*x^27 + 203003*x^26 - 17780*x^25 - 2022483*x^24 + 832653*x^23 + 13572345*x^22 - 8326527*x^21 - 62657637*x^20 + 47704277*x^19 + 199663335*x^18 - 178099102*x^17 - 433344046*x^16 + 447058648*x^15 + 617907878*x^14 - 750473359*x^13 - 533823452*x^12 + 817138243*x^11 + 221279551*x^10 - 544192951*x^9 + 11597098*x^8 + 199867737*x^7 - 43176794*x^6 - 33036600*x^5 + 11713378*x^4 + 1505253*x^3 - 925381*x^2 + 72350*x + 1013);
 
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^33 - 8*x^32 - 48*x^31 + 488*x^30 + 889*x^29 - 13082*x^28 - 6681*x^27 + 203003*x^26 - 17780*x^25 - 2022483*x^24 + 832653*x^23 + 13572345*x^22 - 8326527*x^21 - 62657637*x^20 + 47704277*x^19 + 199663335*x^18 - 178099102*x^17 - 433344046*x^16 + 447058648*x^15 + 617907878*x^14 - 750473359*x^13 - 533823452*x^12 + 817138243*x^11 + 221279551*x^10 - 544192951*x^9 + 11597098*x^8 + 199867737*x^7 - 43176794*x^6 - 33036600*x^5 + 11713378*x^4 + 1505253*x^3 - 925381*x^2 + 72350*x + 1013)
 

\( x^{33} - 8 x^{32} - 48 x^{31} + 488 x^{30} + 889 x^{29} - 13082 x^{28} - 6681 x^{27} + 203003 x^{26} - 17780 x^{25} - 2022483 x^{24} + 832653 x^{23} + 13572345 x^{22} + \cdots + 1013 \) Copy content Toggle raw display

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 
oscar: defining_polynomial(K)
 

Invariants

Degree:  $33$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
oscar: degree(K)
 
Signature:  $[33, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
oscar: signature(K)
 
Discriminant:   \(228343593450302703244344174036290254973199912242460469577320120681\) \(\medspace = 13^{22}\cdot 23^{30}\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
 
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
 
Root discriminant:  \(95.62\)
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
 
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
 
Galois root discriminant:  $13^{2/3}23^{10/11}\approx 95.623205457779$
Ramified primes:   \(13\), \(23\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
 
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
 
Discriminant root field:  \(\Q\)
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:  $33$
sage: K.automorphisms()
 
magma: Automorphisms(K);
 
oscar: automorphisms(K)
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(299=13\cdot 23\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{299}(256,·)$, $\chi_{299}(1,·)$, $\chi_{299}(3,·)$, $\chi_{299}(261,·)$, $\chi_{299}(9,·)$, $\chi_{299}(139,·)$, $\chi_{299}(269,·)$, $\chi_{299}(16,·)$, $\chi_{299}(146,·)$, $\chi_{299}(131,·)$, $\chi_{299}(282,·)$, $\chi_{299}(27,·)$, $\chi_{299}(29,·)$, $\chi_{299}(133,·)$, $\chi_{299}(289,·)$, $\chi_{299}(35,·)$, $\chi_{299}(165,·)$, $\chi_{299}(170,·)$, $\chi_{299}(48,·)$, $\chi_{299}(55,·)$, $\chi_{299}(185,·)$, $\chi_{299}(196,·)$, $\chi_{299}(81,·)$, $\chi_{299}(211,·)$, $\chi_{299}(87,·)$, $\chi_{299}(94,·)$, $\chi_{299}(144,·)$, $\chi_{299}(100,·)$, $\chi_{299}(209,·)$, $\chi_{299}(105,·)$, $\chi_{299}(243,·)$, $\chi_{299}(118,·)$, $\chi_{299}(248,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $\frac{1}{47}a^{26}-\frac{6}{47}a^{24}+\frac{6}{47}a^{22}+\frac{14}{47}a^{21}-\frac{5}{47}a^{20}-\frac{20}{47}a^{19}-\frac{12}{47}a^{18}-\frac{12}{47}a^{17}+\frac{16}{47}a^{16}-\frac{16}{47}a^{15}-\frac{2}{47}a^{14}+\frac{21}{47}a^{13}+\frac{1}{47}a^{12}+\frac{5}{47}a^{11}-\frac{22}{47}a^{10}+\frac{18}{47}a^{9}+\frac{16}{47}a^{8}-\frac{12}{47}a^{7}+\frac{20}{47}a^{6}-\frac{5}{47}a^{5}+\frac{2}{47}a^{4}-\frac{15}{47}a^{3}-\frac{18}{47}a^{2}-\frac{21}{47}a-\frac{1}{47}$, $\frac{1}{47}a^{27}-\frac{6}{47}a^{25}+\frac{6}{47}a^{23}+\frac{14}{47}a^{22}-\frac{5}{47}a^{21}-\frac{20}{47}a^{20}-\frac{12}{47}a^{19}-\frac{12}{47}a^{18}+\frac{16}{47}a^{17}-\frac{16}{47}a^{16}-\frac{2}{47}a^{15}+\frac{21}{47}a^{14}+\frac{1}{47}a^{13}+\frac{5}{47}a^{12}-\frac{22}{47}a^{11}+\frac{18}{47}a^{10}+\frac{16}{47}a^{9}-\frac{12}{47}a^{8}+\frac{20}{47}a^{7}-\frac{5}{47}a^{6}+\frac{2}{47}a^{5}-\frac{15}{47}a^{4}-\frac{18}{47}a^{3}-\frac{21}{47}a^{2}-\frac{1}{47}a$, $\frac{1}{47}a^{28}+\frac{17}{47}a^{24}+\frac{14}{47}a^{23}-\frac{16}{47}a^{22}+\frac{17}{47}a^{21}+\frac{5}{47}a^{20}+\frac{9}{47}a^{19}-\frac{9}{47}a^{18}+\frac{6}{47}a^{17}+\frac{19}{47}a^{15}-\frac{11}{47}a^{14}-\frac{10}{47}a^{13}-\frac{16}{47}a^{12}+\frac{1}{47}a^{11}-\frac{22}{47}a^{10}+\frac{2}{47}a^{9}+\frac{22}{47}a^{8}+\frac{17}{47}a^{7}-\frac{19}{47}a^{6}+\frac{2}{47}a^{5}-\frac{6}{47}a^{4}-\frac{17}{47}a^{3}-\frac{15}{47}a^{2}+\frac{15}{47}a-\frac{6}{47}$, $\frac{1}{47}a^{29}+\frac{17}{47}a^{25}+\frac{14}{47}a^{24}-\frac{16}{47}a^{23}+\frac{17}{47}a^{22}+\frac{5}{47}a^{21}+\frac{9}{47}a^{20}-\frac{9}{47}a^{19}+\frac{6}{47}a^{18}+\frac{19}{47}a^{16}-\frac{11}{47}a^{15}-\frac{10}{47}a^{14}-\frac{16}{47}a^{13}+\frac{1}{47}a^{12}-\frac{22}{47}a^{11}+\frac{2}{47}a^{10}+\frac{22}{47}a^{9}+\frac{17}{47}a^{8}-\frac{19}{47}a^{7}+\frac{2}{47}a^{6}-\frac{6}{47}a^{5}-\frac{17}{47}a^{4}-\frac{15}{47}a^{3}+\frac{15}{47}a^{2}-\frac{6}{47}a$, $\frac{1}{47}a^{30}+\frac{14}{47}a^{25}-\frac{8}{47}a^{24}+\frac{17}{47}a^{23}-\frac{3}{47}a^{22}+\frac{6}{47}a^{21}-\frac{18}{47}a^{20}+\frac{17}{47}a^{19}+\frac{16}{47}a^{18}-\frac{12}{47}a^{17}-\frac{1}{47}a^{16}-\frac{20}{47}a^{15}+\frac{18}{47}a^{14}+\frac{20}{47}a^{13}+\frac{8}{47}a^{12}+\frac{11}{47}a^{11}+\frac{20}{47}a^{10}-\frac{7}{47}a^{9}-\frac{9}{47}a^{8}+\frac{18}{47}a^{7}-\frac{17}{47}a^{6}+\frac{21}{47}a^{5}-\frac{2}{47}a^{4}-\frac{12}{47}a^{3}+\frac{18}{47}a^{2}-\frac{19}{47}a+\frac{17}{47}$, $\frac{1}{10763}a^{31}-\frac{79}{10763}a^{30}-\frac{75}{10763}a^{29}-\frac{73}{10763}a^{28}+\frac{84}{10763}a^{27}+\frac{105}{10763}a^{26}+\frac{2042}{10763}a^{25}+\frac{2559}{10763}a^{24}+\frac{3566}{10763}a^{23}-\frac{3406}{10763}a^{22}-\frac{925}{10763}a^{21}+\frac{2964}{10763}a^{20}+\frac{1409}{10763}a^{19}-\frac{1383}{10763}a^{18}-\frac{226}{10763}a^{17}+\frac{1801}{10763}a^{16}+\frac{3078}{10763}a^{15}-\frac{1933}{10763}a^{14}+\frac{2917}{10763}a^{13}-\frac{3200}{10763}a^{12}-\frac{1699}{10763}a^{11}+\frac{1447}{10763}a^{10}+\frac{3281}{10763}a^{9}+\frac{3748}{10763}a^{8}-\frac{2594}{10763}a^{7}-\frac{3378}{10763}a^{6}+\frac{471}{10763}a^{5}-\frac{3167}{10763}a^{4}+\frac{5343}{10763}a^{3}+\frac{4057}{10763}a^{2}+\frac{194}{10763}a-\frac{1231}{10763}$, $\frac{1}{78\!\cdots\!89}a^{32}+\frac{30\!\cdots\!91}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{11\!\cdots\!99}{78\!\cdots\!89}a^{30}-\frac{34\!\cdots\!26}{78\!\cdots\!89}a^{29}-\frac{35\!\cdots\!55}{78\!\cdots\!89}a^{28}+\frac{74\!\cdots\!41}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{74\!\cdots\!44}{78\!\cdots\!89}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!79}{78\!\cdots\!89}a^{25}-\frac{38\!\cdots\!20}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{31\!\cdots\!48}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{21\!\cdots\!28}{78\!\cdots\!89}a^{22}-\frac{34\!\cdots\!49}{78\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{24\!\cdots\!19}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{20\!\cdots\!23}{78\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{87\!\cdots\!95}{78\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!75}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{29\!\cdots\!10}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{18\!\cdots\!16}{78\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{28\!\cdots\!54}{78\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{40\!\cdots\!03}{78\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!02}{78\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{80\!\cdots\!89}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{31\!\cdots\!04}{78\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{38\!\cdots\!95}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!93}{78\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{37\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{74\!\cdots\!91}{78\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{19\!\cdots\!28}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{31\!\cdots\!81}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{28\!\cdots\!59}{78\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{95\!\cdots\!24}{78\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!40}{78\!\cdots\!89}a+\frac{21\!\cdots\!03}{78\!\cdots\!89}$ Copy content Toggle raw display

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 
oscar: basis(OK)
 

Monogenic:  Not computed
Index:  $1$
Inessential primes:  None

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 
oscar: class_group(K)
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
 
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
 
Rank:  $32$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
oscar: rank(UK)
 
Torsion generator:   \( -1 \)  (order $2$) Copy content Toggle raw display
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
oscar: torsion_units_generator(OK)
 
Fundamental units:   $\frac{54\!\cdots\!25}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{41\!\cdots\!53}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{28\!\cdots\!39}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{25\!\cdots\!16}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{58\!\cdots\!16}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{70\!\cdots\!52}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{63\!\cdots\!03}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!94}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{33\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{11\!\cdots\!51}{78\!\cdots\!89}a^{23}+\frac{22\!\cdots\!13}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{75\!\cdots\!68}{78\!\cdots\!89}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!26}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{35\!\cdots\!08}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!25}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!07}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{50\!\cdots\!21}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{26\!\cdots\!30}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!94}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{41\!\cdots\!97}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{23\!\cdots\!49}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{42\!\cdots\!40}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{26\!\cdots\!21}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{25\!\cdots\!67}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{18\!\cdots\!73}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{85\!\cdots\!27}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{70\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!58}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!82}{78\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{47\!\cdots\!50}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{77\!\cdots\!54}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{79\!\cdots\!68}{78\!\cdots\!89}a-\frac{75\!\cdots\!86}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{31\!\cdots\!86}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{22\!\cdots\!35}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{16\!\cdots\!17}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{14\!\cdots\!98}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{36\!\cdots\!69}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{38\!\cdots\!44}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{45\!\cdots\!64}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{60\!\cdots\!01}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{33\!\cdots\!24}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{60\!\cdots\!01}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{13\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{41\!\cdots\!45}{78\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{78\!\cdots\!39}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{19\!\cdots\!13}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{23\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{63\!\cdots\!95}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!49}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!56}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{46\!\cdots\!19}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!81}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{91\!\cdots\!86}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!39}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!08}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!93}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{80\!\cdots\!55}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{46\!\cdots\!66}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{31\!\cdots\!22}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{66\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{59\!\cdots\!60}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{92\!\cdots\!06}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{40\!\cdots\!69}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{36\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!89}a-\frac{64\!\cdots\!95}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{24\!\cdots\!75}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{18\!\cdots\!36}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{12\!\cdots\!74}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{11\!\cdots\!54}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{28\!\cdots\!38}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{30\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{34\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{48\!\cdots\!55}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{24\!\cdots\!94}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{48\!\cdots\!09}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{82\!\cdots\!45}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{33\!\cdots\!96}{78\!\cdots\!89}a^{21}-\frac{88\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!45}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{24\!\cdots\!19}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{51\!\cdots\!06}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!04}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!98}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{40\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!36}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{77\!\cdots\!22}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{18\!\cdots\!33}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{92\!\cdots\!33}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!70}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{66\!\cdots\!58}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{38\!\cdots\!12}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{26\!\cdots\!13}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{54\!\cdots\!48}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{47\!\cdots\!76}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{76\!\cdots\!80}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{31\!\cdots\!92}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{29\!\cdots\!00}{78\!\cdots\!89}a-\frac{30\!\cdots\!95}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{48\!\cdots\!49}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{37\!\cdots\!42}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{23\!\cdots\!62}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{23\!\cdots\!74}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{46\!\cdots\!68}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{62\!\cdots\!33}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{43\!\cdots\!01}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{98\!\cdots\!07}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{96\!\cdots\!76}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{99\!\cdots\!93}{78\!\cdots\!89}a^{23}+\frac{21\!\cdots\!69}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{68\!\cdots\!24}{78\!\cdots\!89}a^{21}-\frac{56\!\cdots\!97}{16\!\cdots\!87}a^{20}-\frac{32\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{16\!\cdots\!23}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!20}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{62\!\cdots\!30}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{24\!\cdots\!48}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!93}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{37\!\cdots\!74}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{26\!\cdots\!77}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{38\!\cdots\!71}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{29\!\cdots\!34}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{23\!\cdots\!91}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{19\!\cdots\!02}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{76\!\cdots\!20}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{74\!\cdots\!05}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{96\!\cdots\!85}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!10}{78\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!15}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{17\!\cdots\!39}{16\!\cdots\!87}a^{2}-\frac{82\!\cdots\!62}{78\!\cdots\!89}a+\frac{91\!\cdots\!86}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{78\!\cdots\!85}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{50\!\cdots\!10}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{44\!\cdots\!92}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{31\!\cdots\!18}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{11\!\cdots\!84}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{83\!\cdots\!83}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{17\!\cdots\!41}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!59}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{18\!\cdots\!13}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{27\!\cdots\!19}{16\!\cdots\!87}a^{23}-\frac{12\!\cdots\!49}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{83\!\cdots\!70}{78\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{63\!\cdots\!43}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{36\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!29}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!83}{78\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{41\!\cdots\!50}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{23\!\cdots\!14}{78\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{36\!\cdots\!13}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{32\!\cdots\!18}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{29\!\cdots\!43}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{28\!\cdots\!71}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!59}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{31\!\cdots\!07}{16\!\cdots\!87}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!10}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{37\!\cdots\!88}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{53\!\cdots\!27}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!05}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!40}{78\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!02}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{68\!\cdots\!73}{78\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{20\!\cdots\!06}{78\!\cdots\!89}a-\frac{50\!\cdots\!60}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{38\!\cdots\!75}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{27\!\cdots\!29}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{20\!\cdots\!11}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{17\!\cdots\!56}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{44\!\cdots\!52}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{46\!\cdots\!74}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{55\!\cdots\!53}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{73\!\cdots\!96}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{40\!\cdots\!46}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{74\!\cdots\!01}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{16\!\cdots\!35}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{50\!\cdots\!94}{78\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{23\!\cdots\!00}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{27\!\cdots\!26}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{77\!\cdots\!29}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!81}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!62}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{56\!\cdots\!04}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{27\!\cdots\!39}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!83}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{27\!\cdots\!52}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!52}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!25}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{96\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{58\!\cdots\!73}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{38\!\cdots\!02}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{86\!\cdots\!82}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{71\!\cdots\!49}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!40}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{47\!\cdots\!98}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{42\!\cdots\!86}{78\!\cdots\!89}a-\frac{56\!\cdots\!95}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{31\!\cdots\!86}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{22\!\cdots\!35}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{16\!\cdots\!17}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{14\!\cdots\!98}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{36\!\cdots\!69}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{38\!\cdots\!44}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{45\!\cdots\!64}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{60\!\cdots\!01}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{33\!\cdots\!24}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{60\!\cdots\!01}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{13\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{41\!\cdots\!45}{78\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{78\!\cdots\!39}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{19\!\cdots\!13}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{23\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{63\!\cdots\!95}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!49}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!56}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{46\!\cdots\!19}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!81}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{91\!\cdots\!86}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!39}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!08}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!93}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{80\!\cdots\!55}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{46\!\cdots\!66}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{31\!\cdots\!22}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{66\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{59\!\cdots\!60}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{92\!\cdots\!06}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{40\!\cdots\!69}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{36\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!89}a-\frac{56\!\cdots\!06}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{10\!\cdots\!55}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{80\!\cdots\!03}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{24\!\cdots\!69}{34\!\cdots\!41}a^{30}+\frac{50\!\cdots\!30}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{12\!\cdots\!03}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{13\!\cdots\!66}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{15\!\cdots\!70}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{21\!\cdots\!05}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!45}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{22\!\cdots\!65}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{44\!\cdots\!29}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{32\!\cdots\!29}{16\!\cdots\!87}a^{21}+\frac{32\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{73\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{65\!\cdots\!53}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{24\!\cdots\!26}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{40\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{57\!\cdots\!42}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!05}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{92\!\cdots\!01}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{23\!\cdots\!84}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{99\!\cdots\!53}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{26\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{68\!\cdots\!49}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{38\!\cdots\!37}{16\!\cdots\!87}a^{8}-\frac{27\!\cdots\!96}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{65\!\cdots\!72}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{60\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{99\!\cdots\!78}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{54\!\cdots\!69}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{33\!\cdots\!20}{78\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!78}{78\!\cdots\!89}a+\frac{72\!\cdots\!89}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{18\!\cdots\!49}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{13\!\cdots\!35}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{94\!\cdots\!99}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{82\!\cdots\!76}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{21\!\cdots\!82}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{22\!\cdots\!46}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{54\!\cdots\!61}{16\!\cdots\!87}a^{26}+\frac{35\!\cdots\!48}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!28}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{35\!\cdots\!85}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{59\!\cdots\!21}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{24\!\cdots\!22}{78\!\cdots\!89}a^{21}-\frac{76\!\cdots\!25}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!86}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{19\!\cdots\!30}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{37\!\cdots\!43}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!07}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{84\!\cdots\!12}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{30\!\cdots\!66}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!77}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{58\!\cdots\!38}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!90}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{69\!\cdots\!53}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{82\!\cdots\!46}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{50\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{28\!\cdots\!81}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{19\!\cdots\!94}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{41\!\cdots\!19}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{36\!\cdots\!83}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{88\!\cdots\!45}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{24\!\cdots\!39}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{20\!\cdots\!48}{78\!\cdots\!89}a-\frac{33\!\cdots\!03}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{49\!\cdots\!09}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{36\!\cdots\!40}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{25\!\cdots\!10}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{22\!\cdots\!46}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{57\!\cdots\!02}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{60\!\cdots\!81}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{70\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{95\!\cdots\!63}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{50\!\cdots\!78}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{96\!\cdots\!15}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{39\!\cdots\!83}{16\!\cdots\!87}a^{22}+\frac{65\!\cdots\!72}{78\!\cdots\!89}a^{21}-\frac{45\!\cdots\!49}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{30\!\cdots\!41}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{44\!\cdots\!05}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!98}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{25\!\cdots\!56}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{22\!\cdots\!96}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{78\!\cdots\!21}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{35\!\cdots\!12}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{35\!\cdots\!73}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{18\!\cdots\!90}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{21\!\cdots\!71}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!10}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{74\!\cdots\!88}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{51\!\cdots\!11}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!93}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{94\!\cdots\!77}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{63\!\cdots\!50}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{58\!\cdots\!67}{78\!\cdots\!89}a-\frac{69\!\cdots\!02}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{24\!\cdots\!75}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{18\!\cdots\!36}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{12\!\cdots\!74}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{11\!\cdots\!54}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{28\!\cdots\!38}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{30\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{34\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{48\!\cdots\!55}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{24\!\cdots\!94}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{48\!\cdots\!09}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{82\!\cdots\!45}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{33\!\cdots\!96}{78\!\cdots\!89}a^{21}-\frac{88\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!45}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{24\!\cdots\!19}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{51\!\cdots\!06}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!04}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!98}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{40\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!36}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{77\!\cdots\!22}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{18\!\cdots\!33}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{92\!\cdots\!33}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!70}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{66\!\cdots\!58}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{38\!\cdots\!12}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{26\!\cdots\!13}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{54\!\cdots\!48}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{47\!\cdots\!76}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{76\!\cdots\!80}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{31\!\cdots\!92}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{30\!\cdots\!89}{78\!\cdots\!89}a-\frac{30\!\cdots\!95}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{17\!\cdots\!53}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{13\!\cdots\!05}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{92\!\cdots\!55}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{80\!\cdots\!74}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{20\!\cdots\!54}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{21\!\cdots\!76}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{25\!\cdots\!19}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{34\!\cdots\!74}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{18\!\cdots\!90}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{34\!\cdots\!23}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{68\!\cdots\!03}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{23\!\cdots\!78}{78\!\cdots\!89}a^{21}-\frac{26\!\cdots\!19}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{23\!\cdots\!26}{16\!\cdots\!87}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!50}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{36\!\cdots\!09}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{87\!\cdots\!69}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{83\!\cdots\!04}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{27\!\cdots\!14}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!73}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{53\!\cdots\!05}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{27\!\cdots\!10}{16\!\cdots\!87}a^{11}+\frac{64\!\cdots\!76}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{82\!\cdots\!19}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{46\!\cdots\!95}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{28\!\cdots\!73}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!72}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{44\!\cdots\!34}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{34\!\cdots\!57}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!46}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{23\!\cdots\!75}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{18\!\cdots\!98}{78\!\cdots\!89}a-\frac{54\!\cdots\!44}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{10\!\cdots\!99}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{77\!\cdots\!99}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{55\!\cdots\!41}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{47\!\cdots\!54}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{12\!\cdots\!48}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{12\!\cdots\!60}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{15\!\cdots\!40}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{20\!\cdots\!89}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!93}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{20\!\cdots\!29}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{47\!\cdots\!55}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!49}{78\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{44\!\cdots\!91}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{65\!\cdots\!71}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{69\!\cdots\!71}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{45\!\cdots\!79}{16\!\cdots\!87}a^{17}-\frac{45\!\cdots\!49}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{48\!\cdots\!16}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!57}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{74\!\cdots\!44}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{29\!\cdots\!85}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{75\!\cdots\!24}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{36\!\cdots\!17}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{47\!\cdots\!90}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{26\!\cdots\!70}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!48}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!71}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!74}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!23}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{43\!\cdots\!99}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!85}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!62}{78\!\cdots\!89}a-\frac{15\!\cdots\!90}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{27\!\cdots\!64}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{20\!\cdots\!67}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{14\!\cdots\!83}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{12\!\cdots\!65}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{32\!\cdots\!03}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{34\!\cdots\!25}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{40\!\cdots\!36}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{53\!\cdots\!35}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{29\!\cdots\!68}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{54\!\cdots\!12}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!69}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{37\!\cdots\!36}{78\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{49\!\cdots\!64}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{17\!\cdots\!11}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{21\!\cdots\!88}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{57\!\cdots\!69}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!25}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!33}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{41\!\cdots\!59}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!06}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{81\!\cdots\!94}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{20\!\cdots\!11}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{98\!\cdots\!64}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!22}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{71\!\cdots\!91}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{43\!\cdots\!23}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{28\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{65\!\cdots\!58}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{52\!\cdots\!03}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!43}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{35\!\cdots\!92}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{30\!\cdots\!42}{78\!\cdots\!89}a-\frac{43\!\cdots\!86}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{86\!\cdots\!64}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{63\!\cdots\!72}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{45\!\cdots\!77}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{39\!\cdots\!59}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{10\!\cdots\!38}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{10\!\cdots\!65}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{13\!\cdots\!02}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{16\!\cdots\!13}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!11}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{17\!\cdots\!73}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{46\!\cdots\!56}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{11\!\cdots\!44}{78\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{88\!\cdots\!81}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{55\!\cdots\!86}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{30\!\cdots\!33}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!20}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{27\!\cdots\!40}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{42\!\cdots\!83}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{98\!\cdots\!03}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{66\!\cdots\!59}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{20\!\cdots\!97}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{68\!\cdots\!46}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{25\!\cdots\!34}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{44\!\cdots\!16}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{18\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!25}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{77\!\cdots\!20}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{28\!\cdots\!50}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!39}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!40}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!24}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{57\!\cdots\!30}{78\!\cdots\!89}a-\frac{54\!\cdots\!54}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{69\!\cdots\!17}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{50\!\cdots\!39}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{36\!\cdots\!04}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{31\!\cdots\!35}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{82\!\cdots\!18}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{85\!\cdots\!72}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{10\!\cdots\!96}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!13}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{15\!\cdots\!59}{16\!\cdots\!87}a^{24}-\frac{13\!\cdots\!65}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{30\!\cdots\!99}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{92\!\cdots\!68}{78\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{24\!\cdots\!71}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{43\!\cdots\!82}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{47\!\cdots\!60}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!60}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{30\!\cdots\!36}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{32\!\cdots\!93}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{99\!\cdots\!22}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{49\!\cdots\!15}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{19\!\cdots\!54}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{50\!\cdots\!28}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!06}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{31\!\cdots\!57}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!07}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!27}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{68\!\cdots\!56}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!96}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{25\!\cdots\!12}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{84\!\cdots\!10}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{81\!\cdots\!60}{78\!\cdots\!89}a-\frac{36\!\cdots\!98}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{66\!\cdots\!53}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{48\!\cdots\!98}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{34\!\cdots\!37}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{29\!\cdots\!92}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{78\!\cdots\!56}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{81\!\cdots\!89}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{97\!\cdots\!20}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!22}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{72\!\cdots\!37}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{12\!\cdots\!38}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{30\!\cdots\!48}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{87\!\cdots\!19}{78\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!09}{34\!\cdots\!41}a^{20}-\frac{41\!\cdots\!39}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{42\!\cdots\!65}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!19}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{28\!\cdots\!30}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{30\!\cdots\!67}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{93\!\cdots\!04}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{46\!\cdots\!85}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{18\!\cdots\!60}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{47\!\cdots\!09}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{22\!\cdots\!84}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{29\!\cdots\!62}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{16\!\cdots\!43}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!90}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{64\!\cdots\!92}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!73}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!20}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{26\!\cdots\!91}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{80\!\cdots\!30}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{72\!\cdots\!00}{78\!\cdots\!89}a-\frac{10\!\cdots\!19}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{32\!\cdots\!38}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{23\!\cdots\!73}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{16\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{14\!\cdots\!93}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{37\!\cdots\!52}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{39\!\cdots\!29}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{45\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{62\!\cdots\!65}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{31\!\cdots\!52}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{63\!\cdots\!52}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!91}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{43\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!89}a^{21}-\frac{94\!\cdots\!26}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{20\!\cdots\!08}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{31\!\cdots\!94}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{66\!\cdots\!21}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!97}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{52\!\cdots\!52}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{23\!\cdots\!97}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{21\!\cdots\!52}{16\!\cdots\!87}a^{12}-\frac{23\!\cdots\!04}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!74}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!37}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{85\!\cdots\!91}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{50\!\cdots\!26}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{33\!\cdots\!90}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{75\!\cdots\!44}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{62\!\cdots\!06}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{16\!\cdots\!65}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{41\!\cdots\!45}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{36\!\cdots\!27}{78\!\cdots\!89}a-\frac{48\!\cdots\!26}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{39\!\cdots\!57}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{29\!\cdots\!58}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{21\!\cdots\!51}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{18\!\cdots\!05}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{47\!\cdots\!76}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{49\!\cdots\!73}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{58\!\cdots\!85}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{77\!\cdots\!76}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{42\!\cdots\!48}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{77\!\cdots\!94}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{17\!\cdots\!15}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{53\!\cdots\!53}{78\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!84}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{24\!\cdots\!57}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{29\!\cdots\!72}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{81\!\cdots\!01}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!69}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{18\!\cdots\!37}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{59\!\cdots\!01}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{28\!\cdots\!02}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!00}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{28\!\cdots\!68}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!70}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!82}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!85}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{62\!\cdots\!21}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{40\!\cdots\!23}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{93\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{75\!\cdots\!90}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{25\!\cdots\!72}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{50\!\cdots\!67}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{39\!\cdots\!73}{78\!\cdots\!89}a-\frac{63\!\cdots\!07}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{61\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{48\!\cdots\!82}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{30\!\cdots\!12}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{29\!\cdots\!21}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{58\!\cdots\!07}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{79\!\cdots\!14}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{23\!\cdots\!32}{34\!\cdots\!41}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!40}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{99\!\cdots\!68}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{12\!\cdots\!66}{78\!\cdots\!89}a^{23}+\frac{28\!\cdots\!77}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{83\!\cdots\!78}{78\!\cdots\!89}a^{21}-\frac{33\!\cdots\!92}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{38\!\cdots\!24}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{20\!\cdots\!99}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!52}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{76\!\cdots\!20}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{26\!\cdots\!41}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{19\!\cdots\!22}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{78\!\cdots\!07}{16\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{32\!\cdots\!57}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{30\!\cdots\!18}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{35\!\cdots\!99}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!88}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{23\!\cdots\!68}{78\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{34\!\cdots\!54}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{89\!\cdots\!02}{78\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{37\!\cdots\!66}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!82}{78\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{91\!\cdots\!63}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{66\!\cdots\!78}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{69\!\cdots\!49}{78\!\cdots\!89}a+\frac{43\!\cdots\!57}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{93\!\cdots\!80}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{62\!\cdots\!48}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{53\!\cdots\!90}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{38\!\cdots\!60}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{13\!\cdots\!51}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{10\!\cdots\!13}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{20\!\cdots\!89}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{16\!\cdots\!84}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{20\!\cdots\!68}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{16\!\cdots\!22}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!40}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{11\!\cdots\!73}{78\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{70\!\cdots\!49}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{50\!\cdots\!98}{78\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!97}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{16\!\cdots\!78}{78\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{54\!\cdots\!13}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{35\!\cdots\!13}{78\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{73\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{52\!\cdots\!32}{78\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{43\!\cdots\!79}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{51\!\cdots\!82}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{18\!\cdots\!77}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!89}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{94\!\cdots\!87}{16\!\cdots\!87}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!72}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{23\!\cdots\!90}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!78}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{44\!\cdots\!57}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{63\!\cdots\!93}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{26\!\cdots\!03}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{18\!\cdots\!53}{78\!\cdots\!89}a-\frac{11\!\cdots\!19}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{14\!\cdots\!94}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{10\!\cdots\!36}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{81\!\cdots\!15}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{64\!\cdots\!46}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{19\!\cdots\!09}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{17\!\cdots\!83}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{27\!\cdots\!73}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{27\!\cdots\!14}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{24\!\cdots\!45}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{27\!\cdots\!35}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!54}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{18\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{60\!\cdots\!56}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{18\!\cdots\!97}{16\!\cdots\!87}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!08}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{28\!\cdots\!86}{78\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!67}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{63\!\cdots\!48}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{46\!\cdots\!39}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{96\!\cdots\!28}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!34}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{96\!\cdots\!43}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{27\!\cdots\!70}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{60\!\cdots\!64}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{23\!\cdots\!04}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{20\!\cdots\!32}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!56}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{32\!\cdots\!69}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!18}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!99}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!14}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!44}{78\!\cdots\!89}a-\frac{19\!\cdots\!07}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{12\!\cdots\!39}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{91\!\cdots\!00}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{66\!\cdots\!11}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{56\!\cdots\!94}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{15\!\cdots\!24}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{15\!\cdots\!53}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{18\!\cdots\!26}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{24\!\cdots\!66}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{14\!\cdots\!88}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{24\!\cdots\!34}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{61\!\cdots\!82}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{16\!\cdots\!21}{78\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{87\!\cdots\!28}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{77\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{66\!\cdots\!26}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{25\!\cdots\!71}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{49\!\cdots\!92}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{57\!\cdots\!65}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!17}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{88\!\cdots\!06}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{33\!\cdots\!98}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{89\!\cdots\!27}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{41\!\cdots\!43}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{56\!\cdots\!19}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{30\!\cdots\!38}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{19\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!72}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{28\!\cdots\!84}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{22\!\cdots\!34}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{65\!\cdots\!19}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!69}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!39}{78\!\cdots\!89}a-\frac{23\!\cdots\!76}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{47\!\cdots\!09}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{31\!\cdots\!99}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{27\!\cdots\!64}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{19\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{69\!\cdots\!45}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{53\!\cdots\!79}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{10\!\cdots\!20}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{83\!\cdots\!92}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!08}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{84\!\cdots\!75}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{81\!\cdots\!66}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{57\!\cdots\!81}{78\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{42\!\cdots\!20}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{26\!\cdots\!38}{78\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!48}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{87\!\cdots\!97}{78\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{40\!\cdots\!60}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!50}{78\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{69\!\cdots\!64}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{30\!\cdots\!24}{78\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{75\!\cdots\!63}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{30\!\cdots\!64}{78\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{48\!\cdots\!09}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{19\!\cdots\!12}{78\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!30}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{73\!\cdots\!75}{78\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{21\!\cdots\!51}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!88}{78\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!16}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{93\!\cdots\!14}{78\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{30\!\cdots\!54}{78\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{84\!\cdots\!84}{78\!\cdots\!89}a+\frac{29\!\cdots\!21}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{14\!\cdots\!03}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{10\!\cdots\!99}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{72\!\cdots\!28}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{65\!\cdots\!81}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{15\!\cdots\!83}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{17\!\cdots\!06}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{17\!\cdots\!56}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{27\!\cdots\!81}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!65}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{28\!\cdots\!44}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!59}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{19\!\cdots\!03}{78\!\cdots\!89}a^{21}-\frac{29\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{90\!\cdots\!20}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{54\!\cdots\!09}{16\!\cdots\!87}a^{18}+\frac{29\!\cdots\!14}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!71}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{66\!\cdots\!62}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{31\!\cdots\!13}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!12}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{56\!\cdots\!03}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{64\!\cdots\!04}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{61\!\cdots\!33}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{45\!\cdots\!66}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{19\!\cdots\!41}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{17\!\cdots\!82}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{22\!\cdots\!92}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{30\!\cdots\!45}{78\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{85\!\cdots\!10}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!22}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{23\!\cdots\!94}{78\!\cdots\!89}a+\frac{30\!\cdots\!08}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{10\!\cdots\!88}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{77\!\cdots\!12}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{55\!\cdots\!74}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{47\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{12\!\cdots\!63}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{12\!\cdots\!62}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{15\!\cdots\!10}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{20\!\cdots\!50}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!75}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{20\!\cdots\!84}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{47\!\cdots\!95}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!86}{78\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{42\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{65\!\cdots\!64}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{70\!\cdots\!40}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{21\!\cdots\!24}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{46\!\cdots\!88}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{48\!\cdots\!59}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!58}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{74\!\cdots\!72}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{29\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{75\!\cdots\!25}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{36\!\cdots\!85}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{47\!\cdots\!75}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{26\!\cdots\!24}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!30}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!52}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!90}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{46\!\cdots\!38}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!15}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!60}{78\!\cdots\!89}a-\frac{16\!\cdots\!10}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{11\!\cdots\!56}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{76\!\cdots\!65}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{63\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{47\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{15\!\cdots\!10}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{12\!\cdots\!66}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{23\!\cdots\!71}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{20\!\cdots\!35}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{22\!\cdots\!14}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{20\!\cdots\!30}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!23}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{72\!\cdots\!26}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{62\!\cdots\!77}{78\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{23\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{19\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{45\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{43\!\cdots\!65}{78\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{39\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{64\!\cdots\!30}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{29\!\cdots\!99}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{62\!\cdots\!53}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!06}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{37\!\cdots\!05}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!20}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!80}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{56\!\cdots\!35}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!78}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!74}{78\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{70\!\cdots\!84}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{78\!\cdots\!59}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{96\!\cdots\!28}{78\!\cdots\!89}a+\frac{12\!\cdots\!96}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{47\!\cdots\!13}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{34\!\cdots\!56}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{25\!\cdots\!84}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{21\!\cdots\!12}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{56\!\cdots\!88}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{25\!\cdots\!40}{34\!\cdots\!41}a^{27}-\frac{70\!\cdots\!17}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{92\!\cdots\!30}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{51\!\cdots\!29}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{93\!\cdots\!68}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{21\!\cdots\!62}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{63\!\cdots\!12}{78\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{18\!\cdots\!42}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{29\!\cdots\!64}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{31\!\cdots\!99}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{98\!\cdots\!26}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{20\!\cdots\!59}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{22\!\cdots\!54}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{67\!\cdots\!98}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{34\!\cdots\!82}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!41}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{35\!\cdots\!40}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!90}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{22\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{80\!\cdots\!22}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{46\!\cdots\!42}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!23}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{86\!\cdots\!69}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{71\!\cdots\!64}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{57\!\cdots\!74}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{20\!\cdots\!27}{78\!\cdots\!89}a-\frac{36\!\cdots\!75}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{82\!\cdots\!71}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{60\!\cdots\!11}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{43\!\cdots\!60}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{37\!\cdots\!96}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{98\!\cdots\!95}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{10\!\cdots\!27}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{12\!\cdots\!32}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{34\!\cdots\!81}{16\!\cdots\!87}a^{25}+\frac{92\!\cdots\!50}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{16\!\cdots\!23}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{39\!\cdots\!11}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!00}{78\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{46\!\cdots\!95}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{51\!\cdots\!20}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{49\!\cdots\!09}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{16\!\cdots\!10}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{34\!\cdots\!78}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{38\!\cdots\!15}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!32}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{58\!\cdots\!51}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!55}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{59\!\cdots\!88}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{28\!\cdots\!69}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{36\!\cdots\!68}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!18}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!71}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{82\!\cdots\!16}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!37}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{35\!\cdots\!07}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!58}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{92\!\cdots\!98}{78\!\cdots\!89}a-\frac{11\!\cdots\!40}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{53\!\cdots\!85}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{40\!\cdots\!78}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{27\!\cdots\!79}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{24\!\cdots\!72}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{58\!\cdots\!58}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{66\!\cdots\!39}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{66\!\cdots\!04}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!00}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{39\!\cdots\!98}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{10\!\cdots\!84}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{50\!\cdots\!73}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{71\!\cdots\!40}{78\!\cdots\!89}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!86}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{33\!\cdots\!48}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{95\!\cdots\!25}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!01}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{43\!\cdots\!33}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{24\!\cdots\!73}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!90}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{36\!\cdots\!57}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{21\!\cdots\!96}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{36\!\cdots\!88}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{25\!\cdots\!96}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{21\!\cdots\!63}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!02}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{64\!\cdots\!29}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{66\!\cdots\!66}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{58\!\cdots\!26}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!48}{78\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{58\!\cdots\!65}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{78\!\cdots\!81}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{86\!\cdots\!07}{78\!\cdots\!89}a-\frac{13\!\cdots\!80}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{29\!\cdots\!71}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{21\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{15\!\cdots\!94}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{13\!\cdots\!75}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{34\!\cdots\!99}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{36\!\cdots\!05}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{42\!\cdots\!67}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{56\!\cdots\!30}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{30\!\cdots\!90}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{57\!\cdots\!72}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!14}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{39\!\cdots\!32}{78\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{32\!\cdots\!94}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{18\!\cdots\!21}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{23\!\cdots\!83}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{60\!\cdots\!64}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!68}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!65}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{45\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!84}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{88\!\cdots\!67}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{21\!\cdots\!90}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!36}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!10}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{77\!\cdots\!66}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{45\!\cdots\!67}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{30\!\cdots\!06}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{67\!\cdots\!30}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{57\!\cdots\!43}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{39\!\cdots\!98}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{31\!\cdots\!33}{78\!\cdots\!89}a-\frac{92\!\cdots\!81}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{46\!\cdots\!97}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{34\!\cdots\!79}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{24\!\cdots\!98}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{21\!\cdots\!59}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{53\!\cdots\!25}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{12\!\cdots\!60}{16\!\cdots\!87}a^{27}-\frac{64\!\cdots\!24}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{90\!\cdots\!17}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{44\!\cdots\!85}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{91\!\cdots\!76}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!05}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{62\!\cdots\!25}{78\!\cdots\!89}a^{21}-\frac{19\!\cdots\!79}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{29\!\cdots\!86}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{48\!\cdots\!65}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{96\!\cdots\!12}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{25\!\cdots\!79}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{21\!\cdots\!94}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{77\!\cdots\!37}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{33\!\cdots\!54}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!39}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{34\!\cdots\!59}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!04}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{21\!\cdots\!41}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!96}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{74\!\cdots\!37}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{48\!\cdots\!66}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!20}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{90\!\cdots\!71}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{22\!\cdots\!70}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{60\!\cdots\!70}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{52\!\cdots\!20}{78\!\cdots\!89}a-\frac{74\!\cdots\!14}{78\!\cdots\!89}$ Copy content Toggle raw display (assuming GRH)
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
 
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
 
Regulator:  \( 22765796489209540000000 \) (assuming GRH)
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 
oscar: regulator(K)
 

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{33}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 22765796489209540000000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{228343593450302703244344174036290254973199912242460469577320120681}}\cr\approx \mathstrut & 0.204620101068219 \end{aligned}\] (assuming GRH)

# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
 
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^33 - 8*x^32 - 48*x^31 + 488*x^30 + 889*x^29 - 13082*x^28 - 6681*x^27 + 203003*x^26 - 17780*x^25 - 2022483*x^24 + 832653*x^23 + 13572345*x^22 - 8326527*x^21 - 62657637*x^20 + 47704277*x^19 + 199663335*x^18 - 178099102*x^17 - 433344046*x^16 + 447058648*x^15 + 617907878*x^14 - 750473359*x^13 - 533823452*x^12 + 817138243*x^11 + 221279551*x^10 - 544192951*x^9 + 11597098*x^8 + 199867737*x^7 - 43176794*x^6 - 33036600*x^5 + 11713378*x^4 + 1505253*x^3 - 925381*x^2 + 72350*x + 1013)
 
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
 
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
 
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
 
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
 
K = bnfinit(x^33 - 8*x^32 - 48*x^31 + 488*x^30 + 889*x^29 - 13082*x^28 - 6681*x^27 + 203003*x^26 - 17780*x^25 - 2022483*x^24 + 832653*x^23 + 13572345*x^22 - 8326527*x^21 - 62657637*x^20 + 47704277*x^19 + 199663335*x^18 - 178099102*x^17 - 433344046*x^16 + 447058648*x^15 + 617907878*x^14 - 750473359*x^13 - 533823452*x^12 + 817138243*x^11 + 221279551*x^10 - 544192951*x^9 + 11597098*x^8 + 199867737*x^7 - 43176794*x^6 - 33036600*x^5 + 11713378*x^4 + 1505253*x^3 - 925381*x^2 + 72350*x + 1013, 1);
 
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
 
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
 
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^33 - 8*x^32 - 48*x^31 + 488*x^30 + 889*x^29 - 13082*x^28 - 6681*x^27 + 203003*x^26 - 17780*x^25 - 2022483*x^24 + 832653*x^23 + 13572345*x^22 - 8326527*x^21 - 62657637*x^20 + 47704277*x^19 + 199663335*x^18 - 178099102*x^17 - 433344046*x^16 + 447058648*x^15 + 617907878*x^14 - 750473359*x^13 - 533823452*x^12 + 817138243*x^11 + 221279551*x^10 - 544192951*x^9 + 11597098*x^8 + 199867737*x^7 - 43176794*x^6 - 33036600*x^5 + 11713378*x^4 + 1505253*x^3 - 925381*x^2 + 72350*x + 1013);
 
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
 
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
 
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
 
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
 
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
 
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
 
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^33 - 8*x^32 - 48*x^31 + 488*x^30 + 889*x^29 - 13082*x^28 - 6681*x^27 + 203003*x^26 - 17780*x^25 - 2022483*x^24 + 832653*x^23 + 13572345*x^22 - 8326527*x^21 - 62657637*x^20 + 47704277*x^19 + 199663335*x^18 - 178099102*x^17 - 433344046*x^16 + 447058648*x^15 + 617907878*x^14 - 750473359*x^13 - 533823452*x^12 + 817138243*x^11 + 221279551*x^10 - 544192951*x^9 + 11597098*x^8 + 199867737*x^7 - 43176794*x^6 - 33036600*x^5 + 11713378*x^4 + 1505253*x^3 - 925381*x^2 + 72350*x + 1013);
 
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
 
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
 
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
 
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
 
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
 

Galois group

$C_{33}$ (as 33T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: G = GaloisGroup(K);
 
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
 
A cyclic group of order 33
The 33 conjugacy class representatives for $C_{33}$
Character table for $C_{33}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.169.1, \(\Q(\zeta_{23})^+\)

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

sage: K.subfields()[1:-1]
 
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
 
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
 
oscar: subfields(K)[2:end-1]
 

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $33$ $33$ ${\href{/padicField/5.11.0.1}{11} }^{3}$ $33$ $33$ R $33$ $33$ R $33$ ${\href{/padicField/31.11.0.1}{11} }^{3}$ $33$ $33$ $33$ ${\href{/padicField/47.1.0.1}{1} }^{33}$ ${\href{/padicField/53.11.0.1}{11} }^{3}$ $33$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
 
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
 
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
 
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
 
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
 
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
 
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
\(13\) Copy content Toggle raw display Deg $33$$3$$11$$22$
\(23\) Copy content Toggle raw display Deg $33$$11$$3$$30$