Normalized defining polynomial
\( x^{33} - 8 x^{32} - 48 x^{31} + 488 x^{30} + 889 x^{29} - 13082 x^{28} - 6681 x^{27} + 203003 x^{26} - 17780 x^{25} - 2022483 x^{24} + 832653 x^{23} + 13572345 x^{22} + \cdots + 1013 \)
Invariants
Degree: | $33$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
Signature: | $[33, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
Discriminant: | \(228343593450302703244344174036290254973199912242460469577320120681\) \(\medspace = 13^{22}\cdot 23^{30}\) | sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
Root discriminant: | \(95.62\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
Galois root discriminant: | $13^{2/3}23^{10/11}\approx 95.623205457779$ | ||
Ramified primes: | \(13\), \(23\) | sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
$\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $33$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
Conductor: | \(299=13\cdot 23\) | ||
Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{299}(256,·)$, $\chi_{299}(1,·)$, $\chi_{299}(3,·)$, $\chi_{299}(261,·)$, $\chi_{299}(9,·)$, $\chi_{299}(139,·)$, $\chi_{299}(269,·)$, $\chi_{299}(16,·)$, $\chi_{299}(146,·)$, $\chi_{299}(131,·)$, $\chi_{299}(282,·)$, $\chi_{299}(27,·)$, $\chi_{299}(29,·)$, $\chi_{299}(133,·)$, $\chi_{299}(289,·)$, $\chi_{299}(35,·)$, $\chi_{299}(165,·)$, $\chi_{299}(170,·)$, $\chi_{299}(48,·)$, $\chi_{299}(55,·)$, $\chi_{299}(185,·)$, $\chi_{299}(196,·)$, $\chi_{299}(81,·)$, $\chi_{299}(211,·)$, $\chi_{299}(87,·)$, $\chi_{299}(94,·)$, $\chi_{299}(144,·)$, $\chi_{299}(100,·)$, $\chi_{299}(209,·)$, $\chi_{299}(105,·)$, $\chi_{299}(243,·)$, $\chi_{299}(118,·)$, $\chi_{299}(248,·)$$\rbrace$ | ||
This is not a CM field. |
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $\frac{1}{47}a^{26}-\frac{6}{47}a^{24}+\frac{6}{47}a^{22}+\frac{14}{47}a^{21}-\frac{5}{47}a^{20}-\frac{20}{47}a^{19}-\frac{12}{47}a^{18}-\frac{12}{47}a^{17}+\frac{16}{47}a^{16}-\frac{16}{47}a^{15}-\frac{2}{47}a^{14}+\frac{21}{47}a^{13}+\frac{1}{47}a^{12}+\frac{5}{47}a^{11}-\frac{22}{47}a^{10}+\frac{18}{47}a^{9}+\frac{16}{47}a^{8}-\frac{12}{47}a^{7}+\frac{20}{47}a^{6}-\frac{5}{47}a^{5}+\frac{2}{47}a^{4}-\frac{15}{47}a^{3}-\frac{18}{47}a^{2}-\frac{21}{47}a-\frac{1}{47}$, $\frac{1}{47}a^{27}-\frac{6}{47}a^{25}+\frac{6}{47}a^{23}+\frac{14}{47}a^{22}-\frac{5}{47}a^{21}-\frac{20}{47}a^{20}-\frac{12}{47}a^{19}-\frac{12}{47}a^{18}+\frac{16}{47}a^{17}-\frac{16}{47}a^{16}-\frac{2}{47}a^{15}+\frac{21}{47}a^{14}+\frac{1}{47}a^{13}+\frac{5}{47}a^{12}-\frac{22}{47}a^{11}+\frac{18}{47}a^{10}+\frac{16}{47}a^{9}-\frac{12}{47}a^{8}+\frac{20}{47}a^{7}-\frac{5}{47}a^{6}+\frac{2}{47}a^{5}-\frac{15}{47}a^{4}-\frac{18}{47}a^{3}-\frac{21}{47}a^{2}-\frac{1}{47}a$, $\frac{1}{47}a^{28}+\frac{17}{47}a^{24}+\frac{14}{47}a^{23}-\frac{16}{47}a^{22}+\frac{17}{47}a^{21}+\frac{5}{47}a^{20}+\frac{9}{47}a^{19}-\frac{9}{47}a^{18}+\frac{6}{47}a^{17}+\frac{19}{47}a^{15}-\frac{11}{47}a^{14}-\frac{10}{47}a^{13}-\frac{16}{47}a^{12}+\frac{1}{47}a^{11}-\frac{22}{47}a^{10}+\frac{2}{47}a^{9}+\frac{22}{47}a^{8}+\frac{17}{47}a^{7}-\frac{19}{47}a^{6}+\frac{2}{47}a^{5}-\frac{6}{47}a^{4}-\frac{17}{47}a^{3}-\frac{15}{47}a^{2}+\frac{15}{47}a-\frac{6}{47}$, $\frac{1}{47}a^{29}+\frac{17}{47}a^{25}+\frac{14}{47}a^{24}-\frac{16}{47}a^{23}+\frac{17}{47}a^{22}+\frac{5}{47}a^{21}+\frac{9}{47}a^{20}-\frac{9}{47}a^{19}+\frac{6}{47}a^{18}+\frac{19}{47}a^{16}-\frac{11}{47}a^{15}-\frac{10}{47}a^{14}-\frac{16}{47}a^{13}+\frac{1}{47}a^{12}-\frac{22}{47}a^{11}+\frac{2}{47}a^{10}+\frac{22}{47}a^{9}+\frac{17}{47}a^{8}-\frac{19}{47}a^{7}+\frac{2}{47}a^{6}-\frac{6}{47}a^{5}-\frac{17}{47}a^{4}-\frac{15}{47}a^{3}+\frac{15}{47}a^{2}-\frac{6}{47}a$, $\frac{1}{47}a^{30}+\frac{14}{47}a^{25}-\frac{8}{47}a^{24}+\frac{17}{47}a^{23}-\frac{3}{47}a^{22}+\frac{6}{47}a^{21}-\frac{18}{47}a^{20}+\frac{17}{47}a^{19}+\frac{16}{47}a^{18}-\frac{12}{47}a^{17}-\frac{1}{47}a^{16}-\frac{20}{47}a^{15}+\frac{18}{47}a^{14}+\frac{20}{47}a^{13}+\frac{8}{47}a^{12}+\frac{11}{47}a^{11}+\frac{20}{47}a^{10}-\frac{7}{47}a^{9}-\frac{9}{47}a^{8}+\frac{18}{47}a^{7}-\frac{17}{47}a^{6}+\frac{21}{47}a^{5}-\frac{2}{47}a^{4}-\frac{12}{47}a^{3}+\frac{18}{47}a^{2}-\frac{19}{47}a+\frac{17}{47}$, $\frac{1}{10763}a^{31}-\frac{79}{10763}a^{30}-\frac{75}{10763}a^{29}-\frac{73}{10763}a^{28}+\frac{84}{10763}a^{27}+\frac{105}{10763}a^{26}+\frac{2042}{10763}a^{25}+\frac{2559}{10763}a^{24}+\frac{3566}{10763}a^{23}-\frac{3406}{10763}a^{22}-\frac{925}{10763}a^{21}+\frac{2964}{10763}a^{20}+\frac{1409}{10763}a^{19}-\frac{1383}{10763}a^{18}-\frac{226}{10763}a^{17}+\frac{1801}{10763}a^{16}+\frac{3078}{10763}a^{15}-\frac{1933}{10763}a^{14}+\frac{2917}{10763}a^{13}-\frac{3200}{10763}a^{12}-\frac{1699}{10763}a^{11}+\frac{1447}{10763}a^{10}+\frac{3281}{10763}a^{9}+\frac{3748}{10763}a^{8}-\frac{2594}{10763}a^{7}-\frac{3378}{10763}a^{6}+\frac{471}{10763}a^{5}-\frac{3167}{10763}a^{4}+\frac{5343}{10763}a^{3}+\frac{4057}{10763}a^{2}+\frac{194}{10763}a-\frac{1231}{10763}$, $\frac{1}{78\!\cdots\!89}a^{32}+\frac{30\!\cdots\!91}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{11\!\cdots\!99}{78\!\cdots\!89}a^{30}-\frac{34\!\cdots\!26}{78\!\cdots\!89}a^{29}-\frac{35\!\cdots\!55}{78\!\cdots\!89}a^{28}+\frac{74\!\cdots\!41}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{74\!\cdots\!44}{78\!\cdots\!89}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!79}{78\!\cdots\!89}a^{25}-\frac{38\!\cdots\!20}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{31\!\cdots\!48}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{21\!\cdots\!28}{78\!\cdots\!89}a^{22}-\frac{34\!\cdots\!49}{78\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{24\!\cdots\!19}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{20\!\cdots\!23}{78\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{87\!\cdots\!95}{78\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!75}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{29\!\cdots\!10}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{18\!\cdots\!16}{78\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{28\!\cdots\!54}{78\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{40\!\cdots\!03}{78\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!02}{78\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{80\!\cdots\!89}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{31\!\cdots\!04}{78\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{38\!\cdots\!95}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!93}{78\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{37\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{74\!\cdots\!91}{78\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{19\!\cdots\!28}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{31\!\cdots\!81}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{28\!\cdots\!59}{78\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{95\!\cdots\!24}{78\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!40}{78\!\cdots\!89}a+\frac{21\!\cdots\!03}{78\!\cdots\!89}$
Monogenic: | Not computed | |
Index: | $1$ | |
Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
Unit group
Rank: | $32$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
Torsion generator: | \( -1 \) (order $2$) | sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
Fundamental units: | $\frac{54\!\cdots\!25}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{41\!\cdots\!53}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{28\!\cdots\!39}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{25\!\cdots\!16}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{58\!\cdots\!16}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{70\!\cdots\!52}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{63\!\cdots\!03}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!94}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{33\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{11\!\cdots\!51}{78\!\cdots\!89}a^{23}+\frac{22\!\cdots\!13}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{75\!\cdots\!68}{78\!\cdots\!89}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!26}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{35\!\cdots\!08}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!25}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!07}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{50\!\cdots\!21}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{26\!\cdots\!30}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!94}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{41\!\cdots\!97}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{23\!\cdots\!49}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{42\!\cdots\!40}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{26\!\cdots\!21}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{25\!\cdots\!67}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{18\!\cdots\!73}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{85\!\cdots\!27}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{70\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!58}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!82}{78\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{47\!\cdots\!50}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{77\!\cdots\!54}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{79\!\cdots\!68}{78\!\cdots\!89}a-\frac{75\!\cdots\!86}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{31\!\cdots\!86}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{22\!\cdots\!35}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{16\!\cdots\!17}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{14\!\cdots\!98}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{36\!\cdots\!69}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{38\!\cdots\!44}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{45\!\cdots\!64}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{60\!\cdots\!01}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{33\!\cdots\!24}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{60\!\cdots\!01}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{13\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{41\!\cdots\!45}{78\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{78\!\cdots\!39}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{19\!\cdots\!13}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{23\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{63\!\cdots\!95}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!49}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!56}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{46\!\cdots\!19}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!81}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{91\!\cdots\!86}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!39}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!08}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!93}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{80\!\cdots\!55}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{46\!\cdots\!66}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{31\!\cdots\!22}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{66\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{59\!\cdots\!60}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{92\!\cdots\!06}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{40\!\cdots\!69}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{36\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!89}a-\frac{64\!\cdots\!95}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{24\!\cdots\!75}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{18\!\cdots\!36}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{12\!\cdots\!74}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{11\!\cdots\!54}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{28\!\cdots\!38}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{30\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{34\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{48\!\cdots\!55}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{24\!\cdots\!94}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{48\!\cdots\!09}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{82\!\cdots\!45}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{33\!\cdots\!96}{78\!\cdots\!89}a^{21}-\frac{88\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!45}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{24\!\cdots\!19}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{51\!\cdots\!06}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!04}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!98}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{40\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!36}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{77\!\cdots\!22}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{18\!\cdots\!33}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{92\!\cdots\!33}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!70}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{66\!\cdots\!58}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{38\!\cdots\!12}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{26\!\cdots\!13}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{54\!\cdots\!48}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{47\!\cdots\!76}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{76\!\cdots\!80}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{31\!\cdots\!92}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{29\!\cdots\!00}{78\!\cdots\!89}a-\frac{30\!\cdots\!95}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{48\!\cdots\!49}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{37\!\cdots\!42}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{23\!\cdots\!62}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{23\!\cdots\!74}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{46\!\cdots\!68}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{62\!\cdots\!33}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{43\!\cdots\!01}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{98\!\cdots\!07}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{96\!\cdots\!76}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{99\!\cdots\!93}{78\!\cdots\!89}a^{23}+\frac{21\!\cdots\!69}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{68\!\cdots\!24}{78\!\cdots\!89}a^{21}-\frac{56\!\cdots\!97}{16\!\cdots\!87}a^{20}-\frac{32\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{16\!\cdots\!23}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!20}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{62\!\cdots\!30}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{24\!\cdots\!48}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!93}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{37\!\cdots\!74}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{26\!\cdots\!77}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{38\!\cdots\!71}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{29\!\cdots\!34}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{23\!\cdots\!91}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{19\!\cdots\!02}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{76\!\cdots\!20}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{74\!\cdots\!05}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{96\!\cdots\!85}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!10}{78\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!15}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{17\!\cdots\!39}{16\!\cdots\!87}a^{2}-\frac{82\!\cdots\!62}{78\!\cdots\!89}a+\frac{91\!\cdots\!86}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{78\!\cdots\!85}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{50\!\cdots\!10}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{44\!\cdots\!92}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{31\!\cdots\!18}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{11\!\cdots\!84}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{83\!\cdots\!83}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{17\!\cdots\!41}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!59}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{18\!\cdots\!13}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{27\!\cdots\!19}{16\!\cdots\!87}a^{23}-\frac{12\!\cdots\!49}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{83\!\cdots\!70}{78\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{63\!\cdots\!43}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{36\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!29}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!83}{78\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{41\!\cdots\!50}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{23\!\cdots\!14}{78\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{36\!\cdots\!13}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{32\!\cdots\!18}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{29\!\cdots\!43}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{28\!\cdots\!71}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!59}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{31\!\cdots\!07}{16\!\cdots\!87}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!10}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{37\!\cdots\!88}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{53\!\cdots\!27}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!05}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!40}{78\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!02}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{68\!\cdots\!73}{78\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{20\!\cdots\!06}{78\!\cdots\!89}a-\frac{50\!\cdots\!60}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{38\!\cdots\!75}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{27\!\cdots\!29}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{20\!\cdots\!11}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{17\!\cdots\!56}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{44\!\cdots\!52}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{46\!\cdots\!74}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{55\!\cdots\!53}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{73\!\cdots\!96}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{40\!\cdots\!46}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{74\!\cdots\!01}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{16\!\cdots\!35}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{50\!\cdots\!94}{78\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{23\!\cdots\!00}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{27\!\cdots\!26}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{77\!\cdots\!29}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!81}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!62}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{56\!\cdots\!04}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{27\!\cdots\!39}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!83}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{27\!\cdots\!52}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!52}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!25}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{96\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{58\!\cdots\!73}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{38\!\cdots\!02}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{86\!\cdots\!82}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{71\!\cdots\!49}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!40}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{47\!\cdots\!98}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{42\!\cdots\!86}{78\!\cdots\!89}a-\frac{56\!\cdots\!95}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{31\!\cdots\!86}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{22\!\cdots\!35}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{16\!\cdots\!17}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{14\!\cdots\!98}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{36\!\cdots\!69}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{38\!\cdots\!44}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{45\!\cdots\!64}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{60\!\cdots\!01}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{33\!\cdots\!24}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{60\!\cdots\!01}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{13\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{41\!\cdots\!45}{78\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{78\!\cdots\!39}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{19\!\cdots\!13}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{23\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{63\!\cdots\!95}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!49}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!56}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{46\!\cdots\!19}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!81}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{91\!\cdots\!86}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!39}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!08}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!93}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{80\!\cdots\!55}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{46\!\cdots\!66}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{31\!\cdots\!22}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{66\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{59\!\cdots\!60}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{92\!\cdots\!06}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{40\!\cdots\!69}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{36\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!89}a-\frac{56\!\cdots\!06}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{10\!\cdots\!55}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{80\!\cdots\!03}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{24\!\cdots\!69}{34\!\cdots\!41}a^{30}+\frac{50\!\cdots\!30}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{12\!\cdots\!03}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{13\!\cdots\!66}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{15\!\cdots\!70}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{21\!\cdots\!05}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!45}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{22\!\cdots\!65}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{44\!\cdots\!29}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{32\!\cdots\!29}{16\!\cdots\!87}a^{21}+\frac{32\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{73\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{65\!\cdots\!53}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{24\!\cdots\!26}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{40\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{57\!\cdots\!42}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!05}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{92\!\cdots\!01}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{23\!\cdots\!84}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{99\!\cdots\!53}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{26\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{68\!\cdots\!49}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{38\!\cdots\!37}{16\!\cdots\!87}a^{8}-\frac{27\!\cdots\!96}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{65\!\cdots\!72}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{60\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{99\!\cdots\!78}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{54\!\cdots\!69}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{33\!\cdots\!20}{78\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!78}{78\!\cdots\!89}a+\frac{72\!\cdots\!89}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{18\!\cdots\!49}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{13\!\cdots\!35}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{94\!\cdots\!99}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{82\!\cdots\!76}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{21\!\cdots\!82}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{22\!\cdots\!46}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{54\!\cdots\!61}{16\!\cdots\!87}a^{26}+\frac{35\!\cdots\!48}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!28}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{35\!\cdots\!85}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{59\!\cdots\!21}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{24\!\cdots\!22}{78\!\cdots\!89}a^{21}-\frac{76\!\cdots\!25}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!86}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{19\!\cdots\!30}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{37\!\cdots\!43}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!07}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{84\!\cdots\!12}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{30\!\cdots\!66}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!77}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{58\!\cdots\!38}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!90}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{69\!\cdots\!53}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{82\!\cdots\!46}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{50\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{28\!\cdots\!81}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{19\!\cdots\!94}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{41\!\cdots\!19}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{36\!\cdots\!83}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{88\!\cdots\!45}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{24\!\cdots\!39}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{20\!\cdots\!48}{78\!\cdots\!89}a-\frac{33\!\cdots\!03}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{49\!\cdots\!09}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{36\!\cdots\!40}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{25\!\cdots\!10}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{22\!\cdots\!46}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{57\!\cdots\!02}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{60\!\cdots\!81}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{70\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{95\!\cdots\!63}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{50\!\cdots\!78}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{96\!\cdots\!15}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{39\!\cdots\!83}{16\!\cdots\!87}a^{22}+\frac{65\!\cdots\!72}{78\!\cdots\!89}a^{21}-\frac{45\!\cdots\!49}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{30\!\cdots\!41}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{44\!\cdots\!05}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!98}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{25\!\cdots\!56}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{22\!\cdots\!96}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{78\!\cdots\!21}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{35\!\cdots\!12}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{35\!\cdots\!73}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{18\!\cdots\!90}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{21\!\cdots\!71}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!10}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{74\!\cdots\!88}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{51\!\cdots\!11}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!93}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{94\!\cdots\!77}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{63\!\cdots\!50}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{58\!\cdots\!67}{78\!\cdots\!89}a-\frac{69\!\cdots\!02}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{24\!\cdots\!75}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{18\!\cdots\!36}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{12\!\cdots\!74}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{11\!\cdots\!54}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{28\!\cdots\!38}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{30\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{34\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{48\!\cdots\!55}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{24\!\cdots\!94}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{48\!\cdots\!09}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{82\!\cdots\!45}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{33\!\cdots\!96}{78\!\cdots\!89}a^{21}-\frac{88\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!45}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{24\!\cdots\!19}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{51\!\cdots\!06}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!04}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!98}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{40\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!36}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{77\!\cdots\!22}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{18\!\cdots\!33}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{92\!\cdots\!33}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!70}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{66\!\cdots\!58}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{38\!\cdots\!12}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{26\!\cdots\!13}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{54\!\cdots\!48}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{47\!\cdots\!76}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{76\!\cdots\!80}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{31\!\cdots\!92}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{30\!\cdots\!89}{78\!\cdots\!89}a-\frac{30\!\cdots\!95}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{17\!\cdots\!53}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{13\!\cdots\!05}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{92\!\cdots\!55}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{80\!\cdots\!74}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{20\!\cdots\!54}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{21\!\cdots\!76}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{25\!\cdots\!19}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{34\!\cdots\!74}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{18\!\cdots\!90}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{34\!\cdots\!23}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{68\!\cdots\!03}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{23\!\cdots\!78}{78\!\cdots\!89}a^{21}-\frac{26\!\cdots\!19}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{23\!\cdots\!26}{16\!\cdots\!87}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!50}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{36\!\cdots\!09}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{87\!\cdots\!69}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{83\!\cdots\!04}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{27\!\cdots\!14}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!73}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{53\!\cdots\!05}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{27\!\cdots\!10}{16\!\cdots\!87}a^{11}+\frac{64\!\cdots\!76}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{82\!\cdots\!19}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{46\!\cdots\!95}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{28\!\cdots\!73}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!72}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{44\!\cdots\!34}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{34\!\cdots\!57}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!46}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{23\!\cdots\!75}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{18\!\cdots\!98}{78\!\cdots\!89}a-\frac{54\!\cdots\!44}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{10\!\cdots\!99}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{77\!\cdots\!99}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{55\!\cdots\!41}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{47\!\cdots\!54}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{12\!\cdots\!48}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{12\!\cdots\!60}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{15\!\cdots\!40}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{20\!\cdots\!89}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!93}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{20\!\cdots\!29}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{47\!\cdots\!55}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!49}{78\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{44\!\cdots\!91}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{65\!\cdots\!71}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{69\!\cdots\!71}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{45\!\cdots\!79}{16\!\cdots\!87}a^{17}-\frac{45\!\cdots\!49}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{48\!\cdots\!16}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!57}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{74\!\cdots\!44}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{29\!\cdots\!85}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{75\!\cdots\!24}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{36\!\cdots\!17}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{47\!\cdots\!90}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{26\!\cdots\!70}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!48}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!71}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!74}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!23}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{43\!\cdots\!99}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!85}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!62}{78\!\cdots\!89}a-\frac{15\!\cdots\!90}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{27\!\cdots\!64}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{20\!\cdots\!67}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{14\!\cdots\!83}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{12\!\cdots\!65}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{32\!\cdots\!03}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{34\!\cdots\!25}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{40\!\cdots\!36}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{53\!\cdots\!35}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{29\!\cdots\!68}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{54\!\cdots\!12}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!69}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{37\!\cdots\!36}{78\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{49\!\cdots\!64}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{17\!\cdots\!11}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{21\!\cdots\!88}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{57\!\cdots\!69}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!25}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!33}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{41\!\cdots\!59}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!06}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{81\!\cdots\!94}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{20\!\cdots\!11}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{98\!\cdots\!64}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!22}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{71\!\cdots\!91}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{43\!\cdots\!23}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{28\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{65\!\cdots\!58}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{52\!\cdots\!03}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!43}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{35\!\cdots\!92}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{30\!\cdots\!42}{78\!\cdots\!89}a-\frac{43\!\cdots\!86}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{86\!\cdots\!64}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{63\!\cdots\!72}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{45\!\cdots\!77}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{39\!\cdots\!59}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{10\!\cdots\!38}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{10\!\cdots\!65}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{13\!\cdots\!02}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{16\!\cdots\!13}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!11}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{17\!\cdots\!73}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{46\!\cdots\!56}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{11\!\cdots\!44}{78\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{88\!\cdots\!81}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{55\!\cdots\!86}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{30\!\cdots\!33}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!20}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{27\!\cdots\!40}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{42\!\cdots\!83}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{98\!\cdots\!03}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{66\!\cdots\!59}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{20\!\cdots\!97}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{68\!\cdots\!46}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{25\!\cdots\!34}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{44\!\cdots\!16}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{18\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!25}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{77\!\cdots\!20}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{28\!\cdots\!50}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!39}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!40}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!24}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{57\!\cdots\!30}{78\!\cdots\!89}a-\frac{54\!\cdots\!54}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{69\!\cdots\!17}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{50\!\cdots\!39}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{36\!\cdots\!04}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{31\!\cdots\!35}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{82\!\cdots\!18}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{85\!\cdots\!72}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{10\!\cdots\!96}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!13}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{15\!\cdots\!59}{16\!\cdots\!87}a^{24}-\frac{13\!\cdots\!65}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{30\!\cdots\!99}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{92\!\cdots\!68}{78\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{24\!\cdots\!71}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{43\!\cdots\!82}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{47\!\cdots\!60}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!60}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{30\!\cdots\!36}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{32\!\cdots\!93}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{99\!\cdots\!22}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{49\!\cdots\!15}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{19\!\cdots\!54}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{50\!\cdots\!28}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!06}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{31\!\cdots\!57}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!07}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!27}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{68\!\cdots\!56}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!96}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{25\!\cdots\!12}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{84\!\cdots\!10}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{81\!\cdots\!60}{78\!\cdots\!89}a-\frac{36\!\cdots\!98}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{66\!\cdots\!53}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{48\!\cdots\!98}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{34\!\cdots\!37}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{29\!\cdots\!92}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{78\!\cdots\!56}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{81\!\cdots\!89}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{97\!\cdots\!20}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!22}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{72\!\cdots\!37}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{12\!\cdots\!38}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{30\!\cdots\!48}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{87\!\cdots\!19}{78\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!09}{34\!\cdots\!41}a^{20}-\frac{41\!\cdots\!39}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{42\!\cdots\!65}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!19}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{28\!\cdots\!30}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{30\!\cdots\!67}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{93\!\cdots\!04}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{46\!\cdots\!85}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{18\!\cdots\!60}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{47\!\cdots\!09}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{22\!\cdots\!84}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{29\!\cdots\!62}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{16\!\cdots\!43}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!90}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{64\!\cdots\!92}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!73}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!20}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{26\!\cdots\!91}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{80\!\cdots\!30}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{72\!\cdots\!00}{78\!\cdots\!89}a-\frac{10\!\cdots\!19}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{32\!\cdots\!38}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{23\!\cdots\!73}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{16\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{14\!\cdots\!93}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{37\!\cdots\!52}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{39\!\cdots\!29}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{45\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{62\!\cdots\!65}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{31\!\cdots\!52}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{63\!\cdots\!52}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!91}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{43\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!89}a^{21}-\frac{94\!\cdots\!26}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{20\!\cdots\!08}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{31\!\cdots\!94}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{66\!\cdots\!21}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!97}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{52\!\cdots\!52}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{23\!\cdots\!97}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{21\!\cdots\!52}{16\!\cdots\!87}a^{12}-\frac{23\!\cdots\!04}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!74}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!37}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{85\!\cdots\!91}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{50\!\cdots\!26}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{33\!\cdots\!90}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{75\!\cdots\!44}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{62\!\cdots\!06}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{16\!\cdots\!65}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{41\!\cdots\!45}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{36\!\cdots\!27}{78\!\cdots\!89}a-\frac{48\!\cdots\!26}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{39\!\cdots\!57}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{29\!\cdots\!58}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{21\!\cdots\!51}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{18\!\cdots\!05}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{47\!\cdots\!76}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{49\!\cdots\!73}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{58\!\cdots\!85}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{77\!\cdots\!76}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{42\!\cdots\!48}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{77\!\cdots\!94}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{17\!\cdots\!15}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{53\!\cdots\!53}{78\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!84}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{24\!\cdots\!57}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{29\!\cdots\!72}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{81\!\cdots\!01}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!69}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{18\!\cdots\!37}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{59\!\cdots\!01}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{28\!\cdots\!02}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!00}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{28\!\cdots\!68}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!70}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!82}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!85}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{62\!\cdots\!21}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{40\!\cdots\!23}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{93\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{75\!\cdots\!90}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{25\!\cdots\!72}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{50\!\cdots\!67}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{39\!\cdots\!73}{78\!\cdots\!89}a-\frac{63\!\cdots\!07}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{61\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{48\!\cdots\!82}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{30\!\cdots\!12}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{29\!\cdots\!21}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{58\!\cdots\!07}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{79\!\cdots\!14}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{23\!\cdots\!32}{34\!\cdots\!41}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!40}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{99\!\cdots\!68}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{12\!\cdots\!66}{78\!\cdots\!89}a^{23}+\frac{28\!\cdots\!77}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{83\!\cdots\!78}{78\!\cdots\!89}a^{21}-\frac{33\!\cdots\!92}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{38\!\cdots\!24}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{20\!\cdots\!99}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!52}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{76\!\cdots\!20}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{26\!\cdots\!41}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{19\!\cdots\!22}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{78\!\cdots\!07}{16\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{32\!\cdots\!57}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{30\!\cdots\!18}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{35\!\cdots\!99}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!88}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{23\!\cdots\!68}{78\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{34\!\cdots\!54}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{89\!\cdots\!02}{78\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{37\!\cdots\!66}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!82}{78\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{91\!\cdots\!63}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{66\!\cdots\!78}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{69\!\cdots\!49}{78\!\cdots\!89}a+\frac{43\!\cdots\!57}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{93\!\cdots\!80}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{62\!\cdots\!48}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{53\!\cdots\!90}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{38\!\cdots\!60}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{13\!\cdots\!51}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{10\!\cdots\!13}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{20\!\cdots\!89}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{16\!\cdots\!84}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{20\!\cdots\!68}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{16\!\cdots\!22}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!40}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{11\!\cdots\!73}{78\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{70\!\cdots\!49}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{50\!\cdots\!98}{78\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!97}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{16\!\cdots\!78}{78\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{54\!\cdots\!13}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{35\!\cdots\!13}{78\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{73\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{52\!\cdots\!32}{78\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{43\!\cdots\!79}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{51\!\cdots\!82}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{18\!\cdots\!77}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!89}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{94\!\cdots\!87}{16\!\cdots\!87}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!72}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{23\!\cdots\!90}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!78}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{44\!\cdots\!57}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{63\!\cdots\!93}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{26\!\cdots\!03}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{18\!\cdots\!53}{78\!\cdots\!89}a-\frac{11\!\cdots\!19}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{14\!\cdots\!94}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{10\!\cdots\!36}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{81\!\cdots\!15}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{64\!\cdots\!46}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{19\!\cdots\!09}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{17\!\cdots\!83}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{27\!\cdots\!73}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{27\!\cdots\!14}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{24\!\cdots\!45}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{27\!\cdots\!35}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!54}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{18\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{60\!\cdots\!56}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{18\!\cdots\!97}{16\!\cdots\!87}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!08}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{28\!\cdots\!86}{78\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!67}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{63\!\cdots\!48}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{46\!\cdots\!39}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{96\!\cdots\!28}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!34}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{96\!\cdots\!43}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{27\!\cdots\!70}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{60\!\cdots\!64}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{23\!\cdots\!04}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{20\!\cdots\!32}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!56}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{32\!\cdots\!69}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!18}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!99}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!14}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!44}{78\!\cdots\!89}a-\frac{19\!\cdots\!07}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{12\!\cdots\!39}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{91\!\cdots\!00}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{66\!\cdots\!11}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{56\!\cdots\!94}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{15\!\cdots\!24}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{15\!\cdots\!53}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{18\!\cdots\!26}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{24\!\cdots\!66}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{14\!\cdots\!88}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{24\!\cdots\!34}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{61\!\cdots\!82}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{16\!\cdots\!21}{78\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{87\!\cdots\!28}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{77\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{66\!\cdots\!26}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{25\!\cdots\!71}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{49\!\cdots\!92}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{57\!\cdots\!65}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!17}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{88\!\cdots\!06}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{33\!\cdots\!98}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{89\!\cdots\!27}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{41\!\cdots\!43}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{56\!\cdots\!19}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{30\!\cdots\!38}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{19\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!72}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{28\!\cdots\!84}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{22\!\cdots\!34}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{65\!\cdots\!19}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!69}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!39}{78\!\cdots\!89}a-\frac{23\!\cdots\!76}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{47\!\cdots\!09}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{31\!\cdots\!99}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{27\!\cdots\!64}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{19\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{69\!\cdots\!45}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{53\!\cdots\!79}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{10\!\cdots\!20}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{83\!\cdots\!92}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!08}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{84\!\cdots\!75}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{81\!\cdots\!66}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{57\!\cdots\!81}{78\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{42\!\cdots\!20}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{26\!\cdots\!38}{78\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!48}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{87\!\cdots\!97}{78\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{40\!\cdots\!60}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!50}{78\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{69\!\cdots\!64}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{30\!\cdots\!24}{78\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{75\!\cdots\!63}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{30\!\cdots\!64}{78\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{48\!\cdots\!09}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{19\!\cdots\!12}{78\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!30}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{73\!\cdots\!75}{78\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{21\!\cdots\!51}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!88}{78\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!16}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{93\!\cdots\!14}{78\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{30\!\cdots\!54}{78\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{84\!\cdots\!84}{78\!\cdots\!89}a+\frac{29\!\cdots\!21}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{14\!\cdots\!03}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{10\!\cdots\!99}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{72\!\cdots\!28}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{65\!\cdots\!81}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{15\!\cdots\!83}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{17\!\cdots\!06}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{17\!\cdots\!56}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{27\!\cdots\!81}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!65}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{28\!\cdots\!44}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!59}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{19\!\cdots\!03}{78\!\cdots\!89}a^{21}-\frac{29\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{90\!\cdots\!20}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{54\!\cdots\!09}{16\!\cdots\!87}a^{18}+\frac{29\!\cdots\!14}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!71}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{66\!\cdots\!62}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{31\!\cdots\!13}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!12}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{56\!\cdots\!03}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{64\!\cdots\!04}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{61\!\cdots\!33}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{45\!\cdots\!66}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{19\!\cdots\!41}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{17\!\cdots\!82}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{22\!\cdots\!92}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{30\!\cdots\!45}{78\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{85\!\cdots\!10}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!22}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{23\!\cdots\!94}{78\!\cdots\!89}a+\frac{30\!\cdots\!08}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{10\!\cdots\!88}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{77\!\cdots\!12}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{55\!\cdots\!74}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{47\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{12\!\cdots\!63}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{12\!\cdots\!62}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{15\!\cdots\!10}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{20\!\cdots\!50}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!75}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{20\!\cdots\!84}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{47\!\cdots\!95}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!86}{78\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{42\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{65\!\cdots\!64}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{70\!\cdots\!40}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{21\!\cdots\!24}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{46\!\cdots\!88}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{48\!\cdots\!59}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!58}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{74\!\cdots\!72}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{29\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{75\!\cdots\!25}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{36\!\cdots\!85}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{47\!\cdots\!75}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{26\!\cdots\!24}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!30}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!52}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!90}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{46\!\cdots\!38}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!15}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!60}{78\!\cdots\!89}a-\frac{16\!\cdots\!10}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{11\!\cdots\!56}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{76\!\cdots\!65}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{63\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{47\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{15\!\cdots\!10}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{12\!\cdots\!66}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{23\!\cdots\!71}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{20\!\cdots\!35}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{22\!\cdots\!14}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{20\!\cdots\!30}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!23}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{72\!\cdots\!26}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{62\!\cdots\!77}{78\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{23\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{19\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{45\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{43\!\cdots\!65}{78\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{39\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{64\!\cdots\!30}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{29\!\cdots\!99}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{62\!\cdots\!53}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!06}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{37\!\cdots\!05}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!20}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!80}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{56\!\cdots\!35}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!78}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!74}{78\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{70\!\cdots\!84}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{78\!\cdots\!59}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{96\!\cdots\!28}{78\!\cdots\!89}a+\frac{12\!\cdots\!96}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{47\!\cdots\!13}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{34\!\cdots\!56}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{25\!\cdots\!84}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{21\!\cdots\!12}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{56\!\cdots\!88}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{25\!\cdots\!40}{34\!\cdots\!41}a^{27}-\frac{70\!\cdots\!17}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{92\!\cdots\!30}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{51\!\cdots\!29}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{93\!\cdots\!68}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{21\!\cdots\!62}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{63\!\cdots\!12}{78\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{18\!\cdots\!42}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{29\!\cdots\!64}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{31\!\cdots\!99}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{98\!\cdots\!26}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{20\!\cdots\!59}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{22\!\cdots\!54}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{67\!\cdots\!98}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{34\!\cdots\!82}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!41}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{35\!\cdots\!40}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!90}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{22\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{80\!\cdots\!22}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{46\!\cdots\!42}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!23}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{86\!\cdots\!69}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{71\!\cdots\!64}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{57\!\cdots\!74}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{20\!\cdots\!27}{78\!\cdots\!89}a-\frac{36\!\cdots\!75}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{82\!\cdots\!71}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{60\!\cdots\!11}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{43\!\cdots\!60}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{37\!\cdots\!96}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{98\!\cdots\!95}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{10\!\cdots\!27}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{12\!\cdots\!32}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{34\!\cdots\!81}{16\!\cdots\!87}a^{25}+\frac{92\!\cdots\!50}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{16\!\cdots\!23}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{39\!\cdots\!11}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!00}{78\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{46\!\cdots\!95}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{51\!\cdots\!20}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{49\!\cdots\!09}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{16\!\cdots\!10}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{34\!\cdots\!78}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{38\!\cdots\!15}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!32}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{58\!\cdots\!51}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!55}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{59\!\cdots\!88}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{28\!\cdots\!69}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{36\!\cdots\!68}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!18}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!71}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{82\!\cdots\!16}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!37}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{35\!\cdots\!07}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!58}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{92\!\cdots\!98}{78\!\cdots\!89}a-\frac{11\!\cdots\!40}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{53\!\cdots\!85}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{40\!\cdots\!78}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{27\!\cdots\!79}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{24\!\cdots\!72}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{58\!\cdots\!58}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{66\!\cdots\!39}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{66\!\cdots\!04}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!00}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{39\!\cdots\!98}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{10\!\cdots\!84}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{50\!\cdots\!73}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{71\!\cdots\!40}{78\!\cdots\!89}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!86}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{33\!\cdots\!48}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{95\!\cdots\!25}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!01}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{43\!\cdots\!33}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{24\!\cdots\!73}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!90}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{36\!\cdots\!57}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{21\!\cdots\!96}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{36\!\cdots\!88}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{25\!\cdots\!96}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{21\!\cdots\!63}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!02}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{64\!\cdots\!29}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{66\!\cdots\!66}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{58\!\cdots\!26}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!48}{78\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{58\!\cdots\!65}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{78\!\cdots\!81}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{86\!\cdots\!07}{78\!\cdots\!89}a-\frac{13\!\cdots\!80}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{29\!\cdots\!71}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{21\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{15\!\cdots\!94}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{13\!\cdots\!75}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{34\!\cdots\!99}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{36\!\cdots\!05}{78\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{42\!\cdots\!67}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{56\!\cdots\!30}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{30\!\cdots\!90}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{57\!\cdots\!72}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!14}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{39\!\cdots\!32}{78\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{32\!\cdots\!94}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{18\!\cdots\!21}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{23\!\cdots\!83}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{60\!\cdots\!64}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!68}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!65}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{45\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!84}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{88\!\cdots\!67}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{21\!\cdots\!90}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!36}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!10}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{77\!\cdots\!66}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{45\!\cdots\!67}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{30\!\cdots\!06}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{67\!\cdots\!30}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{57\!\cdots\!43}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{39\!\cdots\!98}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{31\!\cdots\!33}{78\!\cdots\!89}a-\frac{92\!\cdots\!81}{78\!\cdots\!89}$, $\frac{46\!\cdots\!97}{78\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{34\!\cdots\!79}{78\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{24\!\cdots\!98}{78\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{21\!\cdots\!59}{78\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{53\!\cdots\!25}{78\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{12\!\cdots\!60}{16\!\cdots\!87}a^{27}-\frac{64\!\cdots\!24}{78\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{90\!\cdots\!17}{78\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{44\!\cdots\!85}{78\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{91\!\cdots\!76}{78\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!05}{78\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{62\!\cdots\!25}{78\!\cdots\!89}a^{21}-\frac{19\!\cdots\!79}{78\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{29\!\cdots\!86}{78\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{48\!\cdots\!65}{78\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{96\!\cdots\!12}{78\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{25\!\cdots\!79}{78\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{21\!\cdots\!94}{78\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{77\!\cdots\!37}{78\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{33\!\cdots\!54}{78\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!39}{78\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{34\!\cdots\!59}{78\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!04}{78\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{21\!\cdots\!41}{78\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!96}{78\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{74\!\cdots\!37}{78\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{48\!\cdots\!66}{78\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!20}{78\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{90\!\cdots\!71}{78\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{22\!\cdots\!70}{78\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{60\!\cdots\!70}{78\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{52\!\cdots\!20}{78\!\cdots\!89}a-\frac{74\!\cdots\!14}{78\!\cdots\!89}$ (assuming GRH) | sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
Regulator: | \( 22765796489209540000000 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{33}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 22765796489209540000000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{228343593450302703244344174036290254973199912242460469577320120681}}\cr\approx \mathstrut & 0.204620101068219 \end{aligned}\] (assuming GRH)
Galois group
A cyclic group of order 33 |
The 33 conjugacy class representatives for $C_{33}$ |
Character table for $C_{33}$ is not computed |
Intermediate fields
3.3.169.1, \(\Q(\zeta_{23})^+\) |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
Frobenius cycle types
$p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Cycle type | $33$ | $33$ | ${\href{/padicField/5.11.0.1}{11} }^{3}$ | $33$ | $33$ | R | $33$ | $33$ | R | $33$ | ${\href{/padicField/31.11.0.1}{11} }^{3}$ | $33$ | $33$ | $33$ | ${\href{/padicField/47.1.0.1}{1} }^{33}$ | ${\href{/padicField/53.11.0.1}{11} }^{3}$ | $33$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
$p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\(13\) | Deg $33$ | $3$ | $11$ | $22$ | |||
\(23\) | Deg $33$ | $11$ | $3$ | $30$ |