LMFDB - Number field 28.0.71403665296191917297019015087709113341743884283129.1

Show commands: Magma / Oscar / PariGP / SageMath

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^28 - x^27 + 41*x^26 - 34*x^25 + 814*x^24 - 569*x^23 + 10073*x^22 - 5894*x^21 + 85446*x^20 - 41430*x^19 + 517766*x^18 - 204124*x^17 + 2278084*x^16 - 713493*x^15 + 7270037*x^14 - 1746022*x^13 + 16581844*x^12 - 2930752*x^11 + 26206720*x^10 - 3163168*x^9 + 27305280*x^8 - 2133504*x^7 + 17228288*x^6 - 594944*x^5 + 5748736*x^4 - 229376*x^3 + 745472*x^2 + 57344*x + 16384)

gp: K = bnfinit(y^28 - y^27 + 41*y^26 - 34*y^25 + 814*y^24 - 569*y^23 + 10073*y^22 - 5894*y^21 + 85446*y^20 - 41430*y^19 + 517766*y^18 - 204124*y^17 + 2278084*y^16 - 713493*y^15 + 7270037*y^14 - 1746022*y^13 + 16581844*y^12 - 2930752*y^11 + 26206720*y^10 - 3163168*y^9 + 27305280*y^8 - 2133504*y^7 + 17228288*y^6 - 594944*y^5 + 5748736*y^4 - 229376*y^3 + 745472*y^2 + 57344*y + 16384, 1)

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^28 - x^27 + 41*x^26 - 34*x^25 + 814*x^24 - 569*x^23 + 10073*x^22 - 5894*x^21 + 85446*x^20 - 41430*x^19 + 517766*x^18 - 204124*x^17 + 2278084*x^16 - 713493*x^15 + 7270037*x^14 - 1746022*x^13 + 16581844*x^12 - 2930752*x^11 + 26206720*x^10 - 3163168*x^9 + 27305280*x^8 - 2133504*x^7 + 17228288*x^6 - 594944*x^5 + 5748736*x^4 - 229376*x^3 + 745472*x^2 + 57344*x + 16384);

oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^28 - x^27 + 41*x^26 - 34*x^25 + 814*x^24 - 569*x^23 + 10073*x^22 - 5894*x^21 + 85446*x^20 - 41430*x^19 + 517766*x^18 - 204124*x^17 + 2278084*x^16 - 713493*x^15 + 7270037*x^14 - 1746022*x^13 + 16581844*x^12 - 2930752*x^11 + 26206720*x^10 - 3163168*x^9 + 27305280*x^8 - 2133504*x^7 + 17228288*x^6 - 594944*x^5 + 5748736*x^4 - 229376*x^3 + 745472*x^2 + 57344*x + 16384)

$ x^{28} - x^{27} + 41 x^{26} - 34 x^{25} + 814 x^{24} - 569 x^{23} + 10073 x^{22} - 5894 x^{21} + \cdots + 16384 $ x^28 - x^27 + 41*x^26 - 34*x^25 + 814*x^24 - 569*x^23 + 10073*x^22 - 5894*x^21 + 85446*x^20 - 41430*x^19 + 517766*x^18 - 204124*x^17 + 2278084*x^16 - 713493*x^15 + 7270037*x^14 - 1746022*x^13 + 16581844*x^12 - 2930752*x^11 + 26206720*x^10 - 3163168*x^9 + 27305280*x^8 - 2133504*x^7 + 17228288*x^6 - 594944*x^5 + 5748736*x^4 - 229376*x^3 + 745472*x^2 + 57344*x + 16384

sage: K.defining_polynomial()

gp: K.pol

magma: DefiningPolynomial(K);

oscar: defining_polynomial(K)

Invariants

Degree:	$28$	sage: K.degree() gp: poldegree(K.pol) magma: Degree(K); oscar: degree(K)
Signature:	$[0, 14]$	sage: K.signature() gp: K.sign magma: Signature(K); oscar: signature(K)
Discriminant:	$71403665296191917297019015087709113341743884283129$ 71403665296191917297019015087709113341743884283129 $\medspace = 7^{14}\cdot 29^{26}$	sage: K.disc() gp: K.disc magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK); oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
Root discriminant:	$60.32$	sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree()) gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol)) magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K)); oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
Galois root discriminant:	$7^{1/2}29^{13/14}\approx 60.32398427367838$
Ramified primes:	$7$, $29$ 7, 29	sage: K.disc().support() gp: factor(abs(K.disc))[,1]~ magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK)); oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
Discriminant root field:	$\Q$
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:	$28$	sage: K.automorphisms() magma: Automorphisms(K); oscar: automorphisms(K)
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:	$203=7\cdot 29$
Dirichlet character group:	$\lbrace$$\chi_{203}(64,·)$, $\chi_{203}(1,·)$, $\chi_{203}(132,·)$, $\chi_{203}(197,·)$, $\chi_{203}(6,·)$, $\chi_{203}(71,·)$, $\chi_{203}(202,·)$, $\chi_{203}(139,·)$, $\chi_{203}(13,·)$, $\chi_{203}(78,·)$, $\chi_{203}(141,·)$, $\chi_{203}(120,·)$, $\chi_{203}(146,·)$, $\chi_{203}(83,·)$, $\chi_{203}(20,·)$, $\chi_{203}(22,·)$, $\chi_{203}(92,·)$, $\chi_{203}(34,·)$, $\chi_{203}(36,·)$, $\chi_{203}(167,·)$, $\chi_{203}(169,·)$, $\chi_{203}(111,·)$, $\chi_{203}(181,·)$, $\chi_{203}(183,·)$, $\chi_{203}(62,·)$, $\chi_{203}(57,·)$, $\chi_{203}(125,·)$, $\chi_{203}(190,·)$$\rbrace$
This is a CM field.
Reflex fields:	unavailable$^{8192}$

Integral basis (with respect to field generator $a$)

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $\frac{1}{2}a^{15}-\frac{1}{2}a^{14}-\frac{1}{2}a^{13}-\frac{1}{2}a^{10}-\frac{1}{2}a^{9}-\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{4}a^{16}-\frac{1}{4}a^{15}+\frac{1}{4}a^{14}-\frac{1}{2}a^{13}-\frac{1}{2}a^{12}-\frac{1}{4}a^{11}+\frac{1}{4}a^{10}-\frac{1}{2}a^{9}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a^{7}-\frac{1}{2}a^{6}-\frac{1}{4}a^{3}+\frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{8}a^{17}-\frac{1}{8}a^{16}+\frac{1}{8}a^{15}-\frac{1}{4}a^{14}-\frac{1}{4}a^{13}-\frac{1}{8}a^{12}+\frac{1}{8}a^{11}+\frac{1}{4}a^{10}-\frac{1}{4}a^{9}+\frac{1}{4}a^{8}-\frac{1}{4}a^{7}-\frac{1}{2}a^{6}-\frac{1}{2}a^{5}+\frac{3}{8}a^{4}-\frac{3}{8}a^{3}+\frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{16}a^{18}-\frac{1}{16}a^{17}+\frac{1}{16}a^{16}-\frac{1}{8}a^{15}-\frac{1}{8}a^{14}-\frac{1}{16}a^{13}-\frac{7}{16}a^{12}+\frac{1}{8}a^{11}+\frac{3}{8}a^{10}+\frac{1}{8}a^{9}+\frac{3}{8}a^{8}+\frac{1}{4}a^{7}+\frac{1}{4}a^{6}-\frac{5}{16}a^{5}+\frac{5}{16}a^{4}+\frac{1}{8}a^{3}+\frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{32}a^{19}-\frac{1}{32}a^{18}+\frac{1}{32}a^{17}-\frac{1}{16}a^{16}-\frac{1}{16}a^{15}-\frac{1}{32}a^{14}+\frac{9}{32}a^{13}-\frac{7}{16}a^{12}+\frac{3}{16}a^{11}+\frac{1}{16}a^{10}-\frac{5}{16}a^{9}+\frac{1}{8}a^{8}+\frac{1}{8}a^{7}-\frac{5}{32}a^{6}-\frac{11}{32}a^{5}+\frac{1}{16}a^{4}-\frac{3}{8}a^{3}-\frac{1}{4}a^{2}$, $\frac{1}{64}a^{20}-\frac{1}{64}a^{19}+\frac{1}{64}a^{18}-\frac{1}{32}a^{17}-\frac{1}{32}a^{16}-\frac{1}{64}a^{15}+\frac{9}{64}a^{14}-\frac{7}{32}a^{13}+\frac{3}{32}a^{12}-\frac{15}{32}a^{11}+\frac{11}{32}a^{10}-\frac{7}{16}a^{9}-\frac{7}{16}a^{8}-\frac{5}{64}a^{7}-\frac{11}{64}a^{6}+\frac{1}{32}a^{5}-\frac{3}{16}a^{4}+\frac{3}{8}a^{3}-\frac{1}{2}a^{2}$, $\frac{1}{128}a^{21}-\frac{1}{128}a^{20}+\frac{1}{128}a^{19}-\frac{1}{64}a^{18}-\frac{1}{64}a^{17}-\frac{1}{128}a^{16}+\frac{9}{128}a^{15}-\frac{7}{64}a^{14}+\frac{3}{64}a^{13}-\frac{15}{64}a^{12}+\frac{11}{64}a^{11}+\frac{9}{32}a^{10}-\frac{7}{32}a^{9}+\frac{59}{128}a^{8}+\frac{53}{128}a^{7}-\frac{31}{64}a^{6}-\frac{3}{32}a^{5}+\frac{3}{16}a^{4}+\frac{1}{4}a^{3}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{256}a^{22}-\frac{1}{256}a^{21}+\frac{1}{256}a^{20}-\frac{1}{128}a^{19}-\frac{1}{128}a^{18}-\frac{1}{256}a^{17}+\frac{9}{256}a^{16}-\frac{7}{128}a^{15}+\frac{3}{128}a^{14}-\frac{15}{128}a^{13}+\frac{11}{128}a^{12}-\frac{23}{64}a^{11}-\frac{7}{64}a^{10}+\frac{59}{256}a^{9}-\frac{75}{256}a^{8}-\frac{31}{128}a^{7}+\frac{29}{64}a^{6}-\frac{13}{32}a^{5}+\frac{1}{8}a^{4}-\frac{1}{2}a^{3}+\frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{512}a^{23}-\frac{1}{512}a^{22}+\frac{1}{512}a^{21}-\frac{1}{256}a^{20}-\frac{1}{256}a^{19}-\frac{1}{512}a^{18}+\frac{9}{512}a^{17}-\frac{7}{256}a^{16}+\frac{3}{256}a^{15}-\frac{15}{256}a^{14}+\frac{11}{256}a^{13}-\frac{23}{128}a^{12}-\frac{7}{128}a^{11}-\frac{197}{512}a^{10}+\frac{181}{512}a^{9}+\frac{97}{256}a^{8}-\frac{35}{128}a^{7}-\frac{13}{64}a^{6}+\frac{1}{16}a^{5}-\frac{1}{4}a^{4}-\frac{3}{8}a^{3}+\frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{1024}a^{24}-\frac{1}{1024}a^{23}+\frac{1}{1024}a^{22}-\frac{1}{512}a^{21}-\frac{1}{512}a^{20}-\frac{1}{1024}a^{19}+\frac{9}{1024}a^{18}-\frac{7}{512}a^{17}+\frac{3}{512}a^{16}-\frac{15}{512}a^{15}+\frac{11}{512}a^{14}-\frac{23}{256}a^{13}-\frac{7}{256}a^{12}-\frac{197}{1024}a^{11}-\frac{331}{1024}a^{10}-\frac{159}{512}a^{9}-\frac{35}{256}a^{8}+\frac{51}{128}a^{7}+\frac{1}{32}a^{6}-\frac{1}{8}a^{5}+\frac{5}{16}a^{4}+\frac{1}{8}a^{3}+\frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{2048}a^{25}-\frac{1}{2048}a^{24}+\frac{1}{2048}a^{23}-\frac{1}{1024}a^{22}-\frac{1}{1024}a^{21}-\frac{1}{2048}a^{20}+\frac{9}{2048}a^{19}-\frac{7}{1024}a^{18}+\frac{3}{1024}a^{17}-\frac{15}{1024}a^{16}+\frac{11}{1024}a^{15}-\frac{23}{512}a^{14}-\frac{7}{512}a^{13}-\frac{197}{2048}a^{12}-\frac{331}{2048}a^{11}-\frac{159}{1024}a^{10}-\frac{35}{512}a^{9}+\frac{51}{256}a^{8}-\frac{31}{64}a^{7}+\frac{7}{16}a^{6}-\frac{11}{32}a^{5}+\frac{1}{16}a^{4}-\frac{3}{8}a^{3}-\frac{1}{4}a^{2}$, $\frac{1}{4096}a^{26}-\frac{1}{4096}a^{25}+\frac{1}{4096}a^{24}-\frac{1}{2048}a^{23}-\frac{1}{2048}a^{22}-\frac{1}{4096}a^{21}+\frac{9}{4096}a^{20}-\frac{7}{2048}a^{19}+\frac{3}{2048}a^{18}-\frac{15}{2048}a^{17}+\frac{11}{2048}a^{16}-\frac{23}{1024}a^{15}-\frac{7}{1024}a^{14}-\frac{197}{4096}a^{13}+\frac{1717}{4096}a^{12}+\frac{865}{2048}a^{11}-\frac{35}{1024}a^{10}+\frac{51}{512}a^{9}-\frac{31}{128}a^{8}-\frac{9}{32}a^{7}+\frac{21}{64}a^{6}+\frac{1}{32}a^{5}+\frac{5}{16}a^{4}-\frac{1}{8}a^{3}$, $\frac{1}{15\!\cdots\!92}a^{27}+\frac{51\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!92}a^{26}+\frac{18\!\cdots\!35}{15\!\cdots\!92}a^{25}-\frac{31\!\cdots\!39}{19\!\cdots\!24}a^{24}-\frac{14\!\cdots\!95}{77\!\cdots\!96}a^{23}-\frac{45\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!92}a^{22}-\frac{37\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!92}a^{21}-\frac{29\!\cdots\!53}{38\!\cdots\!48}a^{20}-\frac{67\!\cdots\!11}{77\!\cdots\!96}a^{19}-\frac{75\!\cdots\!49}{77\!\cdots\!96}a^{18}+\frac{60\!\cdots\!73}{77\!\cdots\!96}a^{17}-\frac{19\!\cdots\!53}{24\!\cdots\!28}a^{16}+\frac{87\!\cdots\!35}{38\!\cdots\!48}a^{15}-\frac{36\!\cdots\!13}{91\!\cdots\!76}a^{14}+\frac{77\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!92}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!03}{38\!\cdots\!48}a^{12}+\frac{41\!\cdots\!33}{56\!\cdots\!36}a^{11}-\frac{57\!\cdots\!13}{24\!\cdots\!28}a^{10}-\frac{69\!\cdots\!11}{96\!\cdots\!12}a^{9}-\frac{38\!\cdots\!59}{24\!\cdots\!28}a^{8}-\frac{27\!\cdots\!45}{12\!\cdots\!64}a^{7}-\frac{40\!\cdots\!55}{12\!\cdots\!64}a^{6}-\frac{46\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!08}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!17}{30\!\cdots\!16}a^{4}-\frac{75\!\cdots\!93}{15\!\cdots\!08}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!67}{75\!\cdots\!04}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!95}{37\!\cdots\!02}a+\frac{11\!\cdots\!88}{18\!\cdots\!51}$ 1, a, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, a^8, a^9, a^10, a^11, a^12, a^13, a^14, 1/2*a^15 - 1/2*a^14 - 1/2*a^13 - 1/2*a^10 - 1/2*a^9 - 1/2*a^2 - 1/2*a, 1/4*a^16 - 1/4*a^15 + 1/4*a^14 - 1/2*a^13 - 1/2*a^12 - 1/4*a^11 + 1/4*a^10 - 1/2*a^9 - 1/2*a^8 - 1/2*a^7 - 1/2*a^6 - 1/4*a^3 + 1/4*a^2 - 1/2*a, 1/8*a^17 - 1/8*a^16 + 1/8*a^15 - 1/4*a^14 - 1/4*a^13 - 1/8*a^12 + 1/8*a^11 + 1/4*a^10 - 1/4*a^9 + 1/4*a^8 - 1/4*a^7 - 1/2*a^6 - 1/2*a^5 + 3/8*a^4 - 3/8*a^3 + 1/4*a^2 - 1/2*a, 1/16*a^18 - 1/16*a^17 + 1/16*a^16 - 1/8*a^15 - 1/8*a^14 - 1/16*a^13 - 7/16*a^12 + 1/8*a^11 + 3/8*a^10 + 1/8*a^9 + 3/8*a^8 + 1/4*a^7 + 1/4*a^6 - 5/16*a^5 + 5/16*a^4 + 1/8*a^3 + 1/4*a^2 - 1/2*a, 1/32*a^19 - 1/32*a^18 + 1/32*a^17 - 1/16*a^16 - 1/16*a^15 - 1/32*a^14 + 9/32*a^13 - 7/16*a^12 + 3/16*a^11 + 1/16*a^10 - 5/16*a^9 + 1/8*a^8 + 1/8*a^7 - 5/32*a^6 - 11/32*a^5 + 1/16*a^4 - 3/8*a^3 - 1/4*a^2, 1/64*a^20 - 1/64*a^19 + 1/64*a^18 - 1/32*a^17 - 1/32*a^16 - 1/64*a^15 + 9/64*a^14 - 7/32*a^13 + 3/32*a^12 - 15/32*a^11 + 11/32*a^10 - 7/16*a^9 - 7/16*a^8 - 5/64*a^7 - 11/64*a^6 + 1/32*a^5 - 3/16*a^4 + 3/8*a^3 - 1/2*a^2, 1/128*a^21 - 1/128*a^20 + 1/128*a^19 - 1/64*a^18 - 1/64*a^17 - 1/128*a^16 + 9/128*a^15 - 7/64*a^14 + 3/64*a^13 - 15/64*a^12 + 11/64*a^11 + 9/32*a^10 - 7/32*a^9 + 59/128*a^8 + 53/128*a^7 - 31/64*a^6 - 3/32*a^5 + 3/16*a^4 + 1/4*a^3 - 1/2*a, 1/256*a^22 - 1/256*a^21 + 1/256*a^20 - 1/128*a^19 - 1/128*a^18 - 1/256*a^17 + 9/256*a^16 - 7/128*a^15 + 3/128*a^14 - 15/128*a^13 + 11/128*a^12 - 23/64*a^11 - 7/64*a^10 + 59/256*a^9 - 75/256*a^8 - 31/128*a^7 + 29/64*a^6 - 13/32*a^5 + 1/8*a^4 - 1/2*a^3 + 1/4*a^2 - 1/2*a, 1/512*a^23 - 1/512*a^22 + 1/512*a^21 - 1/256*a^20 - 1/256*a^19 - 1/512*a^18 + 9/512*a^17 - 7/256*a^16 + 3/256*a^15 - 15/256*a^14 + 11/256*a^13 - 23/128*a^12 - 7/128*a^11 - 197/512*a^10 + 181/512*a^9 + 97/256*a^8 - 35/128*a^7 - 13/64*a^6 + 1/16*a^5 - 1/4*a^4 - 3/8*a^3 + 1/4*a^2 - 1/2*a, 1/1024*a^24 - 1/1024*a^23 + 1/1024*a^22 - 1/512*a^21 - 1/512*a^20 - 1/1024*a^19 + 9/1024*a^18 - 7/512*a^17 + 3/512*a^16 - 15/512*a^15 + 11/512*a^14 - 23/256*a^13 - 7/256*a^12 - 197/1024*a^11 - 331/1024*a^10 - 159/512*a^9 - 35/256*a^8 + 51/128*a^7 + 1/32*a^6 - 1/8*a^5 + 5/16*a^4 + 1/8*a^3 + 1/4*a^2 - 1/2*a, 1/2048*a^25 - 1/2048*a^24 + 1/2048*a^23 - 1/1024*a^22 - 1/1024*a^21 - 1/2048*a^20 + 9/2048*a^19 - 7/1024*a^18 + 3/1024*a^17 - 15/1024*a^16 + 11/1024*a^15 - 23/512*a^14 - 7/512*a^13 - 197/2048*a^12 - 331/2048*a^11 - 159/1024*a^10 - 35/512*a^9 + 51/256*a^8 - 31/64*a^7 + 7/16*a^6 - 11/32*a^5 + 1/16*a^4 - 3/8*a^3 - 1/4*a^2, 1/4096*a^26 - 1/4096*a^25 + 1/4096*a^24 - 1/2048*a^23 - 1/2048*a^22 - 1/4096*a^21 + 9/4096*a^20 - 7/2048*a^19 + 3/2048*a^18 - 15/2048*a^17 + 11/2048*a^16 - 23/1024*a^15 - 7/1024*a^14 - 197/4096*a^13 + 1717/4096*a^12 + 865/2048*a^11 - 35/1024*a^10 + 51/512*a^9 - 31/128*a^8 - 9/32*a^7 + 21/64*a^6 + 1/32*a^5 + 5/16*a^4 - 1/8*a^3, 1/154775751925570245573958597181841542237250043793935653191765614592*a^27 + 5162156017537702077435326049760612207367162059729754419676353/154775751925570245573958597181841542237250043793935653191765614592*a^26 + 18656683733351289823085495363467723786329677160696553795874535/154775751925570245573958597181841542237250043793935653191765614592*a^25 - 312616077549038492401224942781122999041453407838210665471639/19346968990696280696744824647730192779656255474241956648970701824*a^24 - 14531844092603560289786965546375805353511075693511092536101895/77387875962785122786979298590920771118625021896967826595882807296*a^23 - 45389502053735659888696892935542232400810849982731104596036709/154775751925570245573958597181841542237250043793935653191765614592*a^22 - 375526012514034101600943074910150579024848777439816405842968425/154775751925570245573958597181841542237250043793935653191765614592*a^21 - 296370883385518533012628517494792781778465621945290886826006353/38693937981392561393489649295460385559312510948483913297941403648*a^20 - 678383559875014800881098380784271619544819169201631615338388111/77387875962785122786979298590920771118625021896967826595882807296*a^19 - 75417652553018589397441662347702182524765972257451658942231049/77387875962785122786979298590920771118625021896967826595882807296*a^18 + 607883488731163533169395699787034117422762499875488953771219573/77387875962785122786979298590920771118625021896967826595882807296*a^17 - 191550642535794307056949870417341961211404765689013330185542853/2418371123837035087093103080966274097457031934280244581121337728*a^16 + 8796044832763539001644356983729082980292766951408578682290826735/38693937981392561393489649295460385559312510948483913297941403648*a^15 - 3684559652302240976761110447309422285632194451091198988345717613/9104455995621779151409329245990678955132355517290332540692094976*a^14 + 77220887619141692918796874438319466420277633682715165847916316363/154775751925570245573958597181841542237250043793935653191765614592*a^13 - 15268638684844896203577132550108441727831798573854293774261392103/38693937981392561393489649295460385559312510948483913297941403648*a^12 + 41832292319915189562393665400255879933956229004384486495123533/569028499726361196963083077874417434695772219830645783793255936*a^11 - 577008272604624122135361607110899973753108911305224086884416213/2418371123837035087093103080966274097457031934280244581121337728*a^10 - 691388895604299065914527806319741484508932927067455024394737511/9673484495348140348372412323865096389828127737120978324485350912*a^9 - 383589786102558078933288694904273464893461071426249084773517759/2418371123837035087093103080966274097457031934280244581121337728*a^8 - 278280619192175100609111938067448987488552779616813196917803445/1209185561918517543546551540483137048728515967140122290560668864*a^7 - 40773786795272231845171416729866428584786063513657076343535455/1209185561918517543546551540483137048728515967140122290560668864*a^6 - 46866805316658691036107717675718650691504770866047904162595241/151148195239814692943318942560392131091064495892515286320083608*a^5 - 132033474021269783018197837332564523370420946162915324556114317/302296390479629385886637885120784262182128991785030572640167216*a^4 - 75236580563295033267179064801429563396391262192404212985861993/151148195239814692943318942560392131091064495892515286320083608*a^3 - 13247145502936068231133112101220515780412789544337767621115267/75574097619907346471659471280196065545532247946257643160041804*a^2 - 15946298763610656873966970533432879401827224861659141913031995/37787048809953673235829735640098032772766123973128821580020902*a + 1110748474108329495595811321531959134333241441007588272253588/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451

sage: K.integral_basis()

gp: K.zk

magma: IntegralBasis(K);

oscar: basis(OK)

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

$C_{2}\times C_{4}\times C_{4}\times C_{812}$, which has order $25984$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()

gp: K.clgp

magma: ClassGroup(K);

oscar: class_group(K)

Unit group

sage: UK = K.unit_group()

magma: UK, fUK := UnitGroup(K);

oscar: UK, fUK = unit_group(OK)

Rank:	$13$	sage: UK.rank() gp: K.fu magma: UnitRank(K); oscar: rank(UK)
Torsion generator:	$ -1 $ -1 (order $2$)	sage: UK.torsion_generator() gp: K.tu[2] magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K); oscar: torsion_units_generator(OK)
Fundamental units:	$\frac{64\!\cdots\!03}{12\!\cdots\!64}a^{27}-\frac{32\!\cdots\!35}{60\!\cdots\!32}a^{26}+\frac{26\!\cdots\!07}{12\!\cdots\!64}a^{25}-\frac{21\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!64}a^{24}+\frac{51\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!64}a^{23}-\frac{17\!\cdots\!17}{60\!\cdots\!32}a^{22}+\frac{63\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!64}a^{21}-\frac{36\!\cdots\!79}{12\!\cdots\!64}a^{20}+\frac{26\!\cdots\!25}{60\!\cdots\!32}a^{19}-\frac{25\!\cdots\!39}{12\!\cdots\!64}a^{18}+\frac{78\!\cdots\!09}{30\!\cdots\!16}a^{17}-\frac{15\!\cdots\!21}{15\!\cdots\!08}a^{16}+\frac{67\!\cdots\!75}{60\!\cdots\!32}a^{15}-\frac{59\!\cdots\!77}{17\!\cdots\!48}a^{14}+\frac{52\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!08}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!93}{18\!\cdots\!51}a^{12}+\frac{84\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{21\!\cdots\!03}{18\!\cdots\!51}a^{10}+\frac{21\!\cdots\!82}{18\!\cdots\!51}a^{9}-\frac{16\!\cdots\!60}{18\!\cdots\!51}a^{8}+\frac{20\!\cdots\!64}{18\!\cdots\!51}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!75}{12\!\cdots\!64}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!96}{18\!\cdots\!51}a^{5}+\frac{83\!\cdots\!21}{15\!\cdots\!08}a^{4}+\frac{25\!\cdots\!28}{18\!\cdots\!51}a^{3}+\frac{32\!\cdots\!09}{75\!\cdots\!04}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!84}{18\!\cdots\!51}a+\frac{37\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!51}$, $\frac{19\!\cdots\!39}{75\!\cdots\!04}a^{27}+\frac{26\!\cdots\!25}{60\!\cdots\!32}a^{26}+\frac{29\!\cdots\!07}{30\!\cdots\!16}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!17}{60\!\cdots\!32}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!35}{60\!\cdots\!32}a^{23}+\frac{24\!\cdots\!63}{60\!\cdots\!32}a^{22}+\frac{65\!\cdots\!51}{30\!\cdots\!16}a^{21}+\frac{31\!\cdots\!13}{60\!\cdots\!32}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!27}{60\!\cdots\!32}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!09}{30\!\cdots\!16}a^{18}+\frac{62\!\cdots\!35}{60\!\cdots\!32}a^{17}+\frac{42\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!08}a^{16}+\frac{66\!\cdots\!17}{15\!\cdots\!08}a^{15}+\frac{22\!\cdots\!85}{17\!\cdots\!48}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!08}a^{13}+\frac{30\!\cdots\!39}{75\!\cdots\!04}a^{12}+\frac{34\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!03}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!06}{18\!\cdots\!51}a^{10}+\frac{95\!\cdots\!70}{18\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{25\!\cdots\!40}{18\!\cdots\!51}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!12}{18\!\cdots\!51}a^{7}+\frac{23\!\cdots\!88}{18\!\cdots\!51}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!71}{60\!\cdots\!32}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!28}{18\!\cdots\!51}a^{4}+\frac{27\!\cdots\!37}{15\!\cdots\!08}a^{3}+\frac{29\!\cdots\!60}{18\!\cdots\!51}a^{2}+\frac{63\!\cdots\!83}{37\!\cdots\!02}a+\frac{34\!\cdots\!79}{18\!\cdots\!51}$, $\frac{12\!\cdots\!21}{15\!\cdots\!92}a^{27}-\frac{87\!\cdots\!39}{15\!\cdots\!92}a^{26}+\frac{51\!\cdots\!59}{15\!\cdots\!92}a^{25}-\frac{33\!\cdots\!89}{19\!\cdots\!24}a^{24}+\frac{50\!\cdots\!75}{77\!\cdots\!96}a^{23}-\frac{41\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!92}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!03}{15\!\cdots\!92}a^{21}-\frac{94\!\cdots\!45}{38\!\cdots\!48}a^{20}+\frac{50\!\cdots\!99}{77\!\cdots\!96}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!85}{77\!\cdots\!96}a^{18}+\frac{29\!\cdots\!41}{77\!\cdots\!96}a^{17}-\frac{28\!\cdots\!51}{48\!\cdots\!56}a^{16}+\frac{63\!\cdots\!21}{38\!\cdots\!48}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!49}{91\!\cdots\!76}a^{14}+\frac{77\!\cdots\!19}{15\!\cdots\!92}a^{13}-\frac{95\!\cdots\!11}{38\!\cdots\!48}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!87}{22\!\cdots\!44}a^{11}-\frac{52\!\cdots\!15}{19\!\cdots\!24}a^{10}+\frac{36\!\cdots\!33}{24\!\cdots\!28}a^{9}-\frac{94\!\cdots\!23}{30\!\cdots\!16}a^{8}+\frac{80\!\cdots\!75}{60\!\cdots\!32}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!42}{18\!\cdots\!51}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!83}{30\!\cdots\!16}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!15}{75\!\cdots\!04}a^{4}+\frac{93\!\cdots\!43}{75\!\cdots\!04}a^{3}+\frac{79\!\cdots\!93}{37\!\cdots\!02}a^{2}+\frac{73\!\cdots\!03}{18\!\cdots\!51}a+\frac{27\!\cdots\!83}{18\!\cdots\!51}$, $\frac{34\!\cdots\!19}{48\!\cdots\!56}a^{27}-\frac{16\!\cdots\!23}{24\!\cdots\!28}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!27}{48\!\cdots\!56}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!31}{48\!\cdots\!56}a^{24}+\frac{27\!\cdots\!55}{48\!\cdots\!56}a^{23}-\frac{88\!\cdots\!55}{24\!\cdots\!28}a^{22}+\frac{16\!\cdots\!21}{24\!\cdots\!28}a^{21}-\frac{17\!\cdots\!65}{48\!\cdots\!56}a^{20}+\frac{17\!\cdots\!33}{30\!\cdots\!16}a^{19}-\frac{60\!\cdots\!91}{24\!\cdots\!28}a^{18}+\frac{85\!\cdots\!41}{24\!\cdots\!28}a^{17}-\frac{57\!\cdots\!39}{48\!\cdots\!56}a^{16}+\frac{36\!\cdots\!07}{24\!\cdots\!28}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!09}{28\!\cdots\!68}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!87}{24\!\cdots\!28}a^{13}-\frac{99\!\cdots\!95}{12\!\cdots\!64}a^{12}+\frac{46\!\cdots\!17}{44\!\cdots\!12}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!08}a^{10}+\frac{23\!\cdots\!97}{15\!\cdots\!08}a^{9}-\frac{26\!\cdots\!77}{48\!\cdots\!56}a^{8}+\frac{28\!\cdots\!24}{18\!\cdots\!51}a^{7}+\frac{79\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!08}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!04}{18\!\cdots\!51}a^{5}+\frac{95\!\cdots\!75}{75\!\cdots\!04}a^{4}+\frac{39\!\cdots\!32}{18\!\cdots\!51}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!80}{18\!\cdots\!51}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!32}{18\!\cdots\!51}a+\frac{36\!\cdots\!06}{18\!\cdots\!51}$, $\frac{11\!\cdots\!03}{75\!\cdots\!04}a^{27}+\frac{60\!\cdots\!81}{18\!\cdots\!51}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!12}{18\!\cdots\!51}a^{25}+\frac{20\!\cdots\!37}{15\!\cdots\!08}a^{24}+\frac{84\!\cdots\!69}{75\!\cdots\!04}a^{23}+\frac{43\!\cdots\!49}{15\!\cdots\!08}a^{22}+\frac{19\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!08}a^{21}+\frac{55\!\cdots\!59}{15\!\cdots\!08}a^{20}+\frac{80\!\cdots\!37}{75\!\cdots\!04}a^{19}+\frac{47\!\cdots\!35}{15\!\cdots\!08}a^{18}+\frac{93\!\cdots\!29}{15\!\cdots\!08}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!17}{75\!\cdots\!04}a^{16}+\frac{39\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!08}a^{15}+\frac{37\!\cdots\!83}{44\!\cdots\!12}a^{14}+\frac{31\!\cdots\!21}{37\!\cdots\!02}a^{13}+\frac{50\!\cdots\!14}{18\!\cdots\!51}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!03}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!52}{18\!\cdots\!51}a^{10}+\frac{55\!\cdots\!28}{18\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!12}{18\!\cdots\!51}a^{8}+\frac{60\!\cdots\!60}{18\!\cdots\!51}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!68}{18\!\cdots\!51}a^{6}+\frac{42\!\cdots\!08}{18\!\cdots\!51}a^{5}+\frac{82\!\cdots\!16}{18\!\cdots\!51}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!29}{15\!\cdots\!08}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!00}{18\!\cdots\!51}a^{2}+\frac{39\!\cdots\!85}{37\!\cdots\!02}a+\frac{98\!\cdots\!24}{18\!\cdots\!51}$, $\frac{30\!\cdots\!85}{77\!\cdots\!96}a^{27}-\frac{38\!\cdots\!51}{38\!\cdots\!48}a^{26}+\frac{32\!\cdots\!81}{19\!\cdots\!24}a^{25}-\frac{29\!\cdots\!97}{77\!\cdots\!96}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!55}{38\!\cdots\!48}a^{23}-\frac{54\!\cdots\!35}{77\!\cdots\!96}a^{22}+\frac{16\!\cdots\!61}{38\!\cdots\!48}a^{21}-\frac{63\!\cdots\!57}{77\!\cdots\!96}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!29}{38\!\cdots\!48}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!49}{24\!\cdots\!28}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!87}{60\!\cdots\!32}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!31}{38\!\cdots\!48}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!05}{19\!\cdots\!24}a^{15}-\frac{69\!\cdots\!85}{45\!\cdots\!88}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!03}{38\!\cdots\!48}a^{13}-\frac{34\!\cdots\!37}{77\!\cdots\!96}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!65}{14\!\cdots\!84}a^{11}-\frac{45\!\cdots\!55}{48\!\cdots\!56}a^{10}+\frac{27\!\cdots\!01}{24\!\cdots\!28}a^{9}-\frac{31\!\cdots\!57}{24\!\cdots\!28}a^{8}+\frac{27\!\cdots\!47}{24\!\cdots\!28}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!95}{15\!\cdots\!08}a^{6}+\frac{35\!\cdots\!75}{60\!\cdots\!32}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!73}{30\!\cdots\!16}a^{4}+\frac{62\!\cdots\!49}{75\!\cdots\!04}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!15}{18\!\cdots\!51}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!97}{37\!\cdots\!02}a+\frac{13\!\cdots\!94}{18\!\cdots\!51}$, $\frac{18\!\cdots\!37}{15\!\cdots\!92}a^{27}+\frac{65\!\cdots\!79}{15\!\cdots\!92}a^{26}+\frac{72\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!92}a^{25}+\frac{19\!\cdots\!51}{77\!\cdots\!96}a^{24}+\frac{70\!\cdots\!51}{77\!\cdots\!96}a^{23}+\frac{94\!\cdots\!59}{15\!\cdots\!92}a^{22}+\frac{17\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!92}a^{21}+\frac{68\!\cdots\!01}{77\!\cdots\!96}a^{20}+\frac{72\!\cdots\!83}{77\!\cdots\!96}a^{19}+\frac{65\!\cdots\!61}{77\!\cdots\!96}a^{18}+\frac{44\!\cdots\!03}{77\!\cdots\!96}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!37}{38\!\cdots\!48}a^{16}+\frac{97\!\cdots\!89}{38\!\cdots\!48}a^{15}+\frac{24\!\cdots\!91}{91\!\cdots\!76}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!92}a^{13}+\frac{69\!\cdots\!37}{77\!\cdots\!96}a^{12}+\frac{43\!\cdots\!29}{22\!\cdots\!44}a^{11}+\frac{41\!\cdots\!99}{19\!\cdots\!24}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!13}{60\!\cdots\!32}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!69}{48\!\cdots\!56}a^{8}+\frac{82\!\cdots\!21}{24\!\cdots\!28}a^{7}+\frac{27\!\cdots\!11}{75\!\cdots\!04}a^{6}+\frac{69\!\cdots\!85}{30\!\cdots\!16}a^{5}+\frac{66\!\cdots\!95}{30\!\cdots\!16}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!73}{15\!\cdots\!08}a^{3}+\frac{44\!\cdots\!85}{75\!\cdots\!04}a^{2}+\frac{24\!\cdots\!53}{37\!\cdots\!02}a+\frac{27\!\cdots\!64}{18\!\cdots\!51}$, $\frac{44\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!08}a^{27}-\frac{46\!\cdots\!05}{15\!\cdots\!08}a^{26}+\frac{36\!\cdots\!03}{30\!\cdots\!16}a^{25}-\frac{15\!\cdots\!39}{15\!\cdots\!08}a^{24}+\frac{70\!\cdots\!49}{30\!\cdots\!16}a^{23}-\frac{51\!\cdots\!51}{30\!\cdots\!16}a^{22}+\frac{86\!\cdots\!29}{30\!\cdots\!16}a^{21}-\frac{26\!\cdots\!33}{15\!\cdots\!08}a^{20}+\frac{71\!\cdots\!05}{30\!\cdots\!16}a^{19}-\frac{36\!\cdots\!01}{30\!\cdots\!16}a^{18}+\frac{21\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!08}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!97}{30\!\cdots\!16}a^{16}+\frac{45\!\cdots\!65}{75\!\cdots\!04}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!01}{88\!\cdots\!24}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!93}{75\!\cdots\!04}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!91}{37\!\cdots\!02}a^{12}+\frac{44\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!48}{18\!\cdots\!51}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!72}{18\!\cdots\!51}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!20}{18\!\cdots\!51}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!64}{18\!\cdots\!51}a^{7}-\frac{47\!\cdots\!72}{18\!\cdots\!51}a^{6}+\frac{54\!\cdots\!76}{18\!\cdots\!51}a^{5}+\frac{54\!\cdots\!67}{30\!\cdots\!16}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!68}{18\!\cdots\!51}a^{3}+\frac{36\!\cdots\!41}{18\!\cdots\!51}a^{2}+\frac{53\!\cdots\!24}{18\!\cdots\!51}a+\frac{56\!\cdots\!41}{18\!\cdots\!51}$, $\frac{56\!\cdots\!37}{37\!\cdots\!02}a^{27}+\frac{14\!\cdots\!69}{60\!\cdots\!32}a^{26}+\frac{17\!\cdots\!51}{30\!\cdots\!16}a^{25}+\frac{64\!\cdots\!09}{60\!\cdots\!32}a^{24}+\frac{65\!\cdots\!51}{60\!\cdots\!32}a^{23}+\frac{13\!\cdots\!63}{60\!\cdots\!32}a^{22}+\frac{38\!\cdots\!61}{30\!\cdots\!16}a^{21}+\frac{17\!\cdots\!53}{60\!\cdots\!32}a^{20}+\frac{63\!\cdots\!83}{60\!\cdots\!32}a^{19}+\frac{76\!\cdots\!15}{30\!\cdots\!16}a^{18}+\frac{37\!\cdots\!43}{60\!\cdots\!32}a^{17}+\frac{23\!\cdots\!67}{15\!\cdots\!08}a^{16}+\frac{50\!\cdots\!20}{18\!\cdots\!51}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!61}{17\!\cdots\!48}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!17}{15\!\cdots\!08}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!43}{75\!\cdots\!04}a^{12}+\frac{21\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!03}a^{11}+\frac{94\!\cdots\!66}{18\!\cdots\!51}a^{10}+\frac{57\!\cdots\!74}{18\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!96}{18\!\cdots\!51}a^{8}+\frac{63\!\cdots\!80}{18\!\cdots\!51}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!64}{18\!\cdots\!51}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!35}{60\!\cdots\!32}a^{5}+\frac{73\!\cdots\!48}{18\!\cdots\!51}a^{4}+\frac{39\!\cdots\!25}{37\!\cdots\!02}a^{3}+\frac{17\!\cdots\!40}{18\!\cdots\!51}a^{2}+\frac{36\!\cdots\!81}{37\!\cdots\!02}a+\frac{94\!\cdots\!52}{18\!\cdots\!51}$, $\frac{81\!\cdots\!93}{24\!\cdots\!28}a^{27}+\frac{33\!\cdots\!19}{75\!\cdots\!04}a^{26}+\frac{31\!\cdots\!31}{24\!\cdots\!28}a^{25}+\frac{48\!\cdots\!15}{24\!\cdots\!28}a^{24}+\frac{59\!\cdots\!65}{24\!\cdots\!28}a^{23}+\frac{25\!\cdots\!55}{60\!\cdots\!32}a^{22}+\frac{71\!\cdots\!51}{24\!\cdots\!28}a^{21}+\frac{34\!\cdots\!03}{60\!\cdots\!32}a^{20}+\frac{58\!\cdots\!23}{24\!\cdots\!28}a^{19}+\frac{60\!\cdots\!37}{12\!\cdots\!64}a^{18}+\frac{43\!\cdots\!09}{30\!\cdots\!16}a^{17}+\frac{37\!\cdots\!77}{12\!\cdots\!64}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!63}{24\!\cdots\!28}a^{15}+\frac{19\!\cdots\!81}{14\!\cdots\!84}a^{14}+\frac{23\!\cdots\!45}{12\!\cdots\!64}a^{13}+\frac{27\!\cdots\!45}{60\!\cdots\!32}a^{12}+\frac{50\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!03}a^{11}+\frac{19\!\cdots\!59}{18\!\cdots\!51}a^{10}+\frac{54\!\cdots\!23}{75\!\cdots\!04}a^{9}+\frac{59\!\cdots\!33}{37\!\cdots\!02}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!65}{24\!\cdots\!28}a^{7}+\frac{28\!\cdots\!40}{18\!\cdots\!51}a^{6}+\frac{33\!\cdots\!53}{60\!\cdots\!32}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!20}{18\!\cdots\!51}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!71}{75\!\cdots\!04}a^{3}+\frac{37\!\cdots\!96}{18\!\cdots\!51}a^{2}+\frac{81\!\cdots\!53}{37\!\cdots\!02}a+\frac{21\!\cdots\!00}{18\!\cdots\!51}$, $\frac{56\!\cdots\!61}{77\!\cdots\!96}a^{27}-\frac{21\!\cdots\!23}{38\!\cdots\!48}a^{26}+\frac{57\!\cdots\!29}{19\!\cdots\!24}a^{25}-\frac{13\!\cdots\!17}{77\!\cdots\!96}a^{24}+\frac{22\!\cdots\!95}{38\!\cdots\!48}a^{23}-\frac{21\!\cdots\!95}{77\!\cdots\!96}a^{22}+\frac{28\!\cdots\!77}{38\!\cdots\!48}a^{21}-\frac{20\!\cdots\!73}{77\!\cdots\!96}a^{20}+\frac{23\!\cdots\!97}{38\!\cdots\!48}a^{19}-\frac{38\!\cdots\!75}{24\!\cdots\!28}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!05}{60\!\cdots\!32}a^{17}-\frac{23\!\cdots\!67}{38\!\cdots\!48}a^{16}+\frac{31\!\cdots\!09}{19\!\cdots\!24}a^{15}-\frac{58\!\cdots\!93}{45\!\cdots\!88}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!43}{38\!\cdots\!48}a^{13}+\frac{61\!\cdots\!23}{77\!\cdots\!96}a^{12}+\frac{17\!\cdots\!49}{14\!\cdots\!84}a^{11}+\frac{43\!\cdots\!49}{48\!\cdots\!56}a^{10}+\frac{45\!\cdots\!37}{24\!\cdots\!28}a^{9}+\frac{67\!\cdots\!55}{24\!\cdots\!28}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!41}{75\!\cdots\!04}a^{7}+\frac{64\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!08}a^{6}+\frac{86\!\cdots\!41}{75\!\cdots\!04}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!47}{30\!\cdots\!16}a^{4}+\frac{60\!\cdots\!80}{18\!\cdots\!51}a^{3}+\frac{27\!\cdots\!81}{18\!\cdots\!51}a^{2}+\frac{34\!\cdots\!78}{18\!\cdots\!51}a+\frac{35\!\cdots\!94}{18\!\cdots\!51}$, $\frac{18\!\cdots\!57}{38\!\cdots\!48}a^{27}+\frac{12\!\cdots\!07}{19\!\cdots\!24}a^{26}+\frac{74\!\cdots\!99}{38\!\cdots\!48}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!39}{19\!\cdots\!24}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!75}{38\!\cdots\!48}a^{23}+\frac{65\!\cdots\!01}{38\!\cdots\!48}a^{22}+\frac{22\!\cdots\!95}{48\!\cdots\!56}a^{21}+\frac{16\!\cdots\!09}{60\!\cdots\!32}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!83}{38\!\cdots\!48}a^{19}+\frac{64\!\cdots\!27}{24\!\cdots\!28}a^{18}+\frac{44\!\cdots\!93}{19\!\cdots\!24}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!83}{96\!\cdots\!12}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!13}{19\!\cdots\!24}a^{15}+\frac{20\!\cdots\!03}{22\!\cdots\!44}a^{14}+\frac{63\!\cdots\!67}{19\!\cdots\!24}a^{13}+\frac{30\!\cdots\!21}{96\!\cdots\!12}a^{12}+\frac{17\!\cdots\!41}{22\!\cdots\!44}a^{11}+\frac{93\!\cdots\!61}{12\!\cdots\!64}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!53}{96\!\cdots\!12}a^{9}+\frac{77\!\cdots\!61}{60\!\cdots\!32}a^{8}+\frac{81\!\cdots\!19}{60\!\cdots\!32}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!59}{75\!\cdots\!04}a^{6}+\frac{54\!\cdots\!35}{60\!\cdots\!32}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!43}{18\!\cdots\!51}a^{4}+\frac{49\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!08}a^{3}+\frac{42\!\cdots\!56}{18\!\cdots\!51}a^{2}+\frac{95\!\cdots\!65}{37\!\cdots\!02}a+\frac{29\!\cdots\!08}{18\!\cdots\!51}$, $\frac{44\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!08}a^{27}-\frac{46\!\cdots\!05}{15\!\cdots\!08}a^{26}+\frac{36\!\cdots\!03}{30\!\cdots\!16}a^{25}-\frac{15\!\cdots\!39}{15\!\cdots\!08}a^{24}+\frac{70\!\cdots\!49}{30\!\cdots\!16}a^{23}-\frac{51\!\cdots\!51}{30\!\cdots\!16}a^{22}+\frac{86\!\cdots\!29}{30\!\cdots\!16}a^{21}-\frac{26\!\cdots\!33}{15\!\cdots\!08}a^{20}+\frac{71\!\cdots\!05}{30\!\cdots\!16}a^{19}-\frac{36\!\cdots\!01}{30\!\cdots\!16}a^{18}+\frac{21\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!08}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!97}{30\!\cdots\!16}a^{16}+\frac{45\!\cdots\!65}{75\!\cdots\!04}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!01}{88\!\cdots\!24}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!93}{75\!\cdots\!04}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!91}{37\!\cdots\!02}a^{12}+\frac{44\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!48}{18\!\cdots\!51}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!72}{18\!\cdots\!51}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!20}{18\!\cdots\!51}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!64}{18\!\cdots\!51}a^{7}-\frac{47\!\cdots\!72}{18\!\cdots\!51}a^{6}+\frac{54\!\cdots\!76}{18\!\cdots\!51}a^{5}+\frac{54\!\cdots\!67}{30\!\cdots\!16}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!68}{18\!\cdots\!51}a^{3}+\frac{36\!\cdots\!41}{18\!\cdots\!51}a^{2}+\frac{53\!\cdots\!24}{18\!\cdots\!51}a+\frac{37\!\cdots\!90}{18\!\cdots\!51}$ 6497739146060395072374151766860276939504349931753684395003/1209185561918517543546551540483137048728515967140122290560668864a^27 - 3248501160311616598046731958166038699971901164196622550035/604592780959258771773275770241568524364257983570061145280334432a^26 + 263759721436697583786293859896679355660549958255950199727007/1209185561918517543546551540483137048728515967140122290560668864a^25 - 217968926931306555692540801150926637506256396732733642195987/1209185561918517543546551540483137048728515967140122290560668864a^24 + 5181975807099100073609527575959300538207549608892381437607041/1209185561918517543546551540483137048728515967140122290560668864a^23 - 1798412683018097354010178458519070245293333602021468071132017/604592780959258771773275770241568524364257983570061145280334432a^22 + 63354024036555143932653578221489436085146852027546849150235811/1209185561918517543546551540483137048728515967140122290560668864a^21 - 36611993349539403283661289511090678705514009798262758284583479/1209185561918517543546551540483137048728515967140122290560668864a^20 + 264846044038880658699212031158348982430369092151369548284576525/604592780959258771773275770241568524364257983570061145280334432a^19 - 251638129289193702611661063917941896069909333468168854783851739/1209185561918517543546551540483137048728515967140122290560668864a^18 + 788116725192067162098513810621297544222937749669154149270011809/302296390479629385886637885120784262182128991785030572640167216a^17 - 150228609262747992705783702317716282631989123151317920571701221/151148195239814692943318942560392131091064495892515286320083608a^16 + 6776673337737630998112848504311078962876452473795280989091365975/604592780959258771773275770241568524364257983570061145280334432a^15 - 59042417951526756349738396690278770298368085826731659905659777/17782140616448787405096346183575544834242881869707680743539248a^14 + 5242131783408293289314533981640641045961693569148783421262135741/151148195239814692943318942560392131091064495892515286320083608a^13 - 142701384048053144262692643620576376446412819743255399773115093/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^12 + 84219483305663683932616581240391835396859957657380122113477117/1111383788528049212818521636473471552140180116856730046471203a^11 - 210387787330778280063687892655445858402764652886069619491021103/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^10 + 2124588438615327601235854342841245047468120769415143097730297282/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^9 - 166938665147859342171760785824407156200745702488298492297834560/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^8 + 2006861000235157464519419890880195464382345360762003131784340464/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^7 - 1915584766598125023859827160845914693181220903490624706952837675/1209185561918517543546551540483137048728515967140122290560668864a^6 + 1068971792156496767266274657683279394656815179917072874545068096/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^5 + 838027234121802142835613676659326766661683961498256940864098921/151148195239814692943318942560392131091064495892515286320083608a^4 + 257175603902947142432787305520712659008383933113644435481545728/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^3 + 320806330021320590212544848111630064945213847167472342660178509/75574097619907346471659471280196065545532247946257643160041804a^2 + 11423096468649760076597701525072945227649595615052735404317184/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a + 37099889488052493770289776715467611649272495407850846408694950/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451, 191303807471838987901088993690687016406963348534601022339/75574097619907346471659471280196065545532247946257643160041804a^27 + 2683879784743227890464687683420657443891328519147563439025/604592780959258771773275770241568524364257983570061145280334432a^26 + 29215184891225835765018013610813273877840044945351110339807/302296390479629385886637885120784262182128991785030572640167216a^25 + 118759083645741606627861839791429165114400996381666887198217/604592780959258771773275770241568524364257983570061145280334432a^24 + 1100659422987007996491522527098040577191625484390555482804335/604592780959258771773275770241568524364257983570061145280334432a^23 + 2478756920485210802747319968915710883039426843500104996292863/604592780959258771773275770241568524364257983570061145280334432a^22 + 6507879144271302156615013595861574965214759070811592585568051/302296390479629385886637885120784262182128991785030572640167216a^21 + 31846979207381525434546322425508704150963784048639115894529213/604592780959258771773275770241568524364257983570061145280334432a^20 + 106258749592495308518511881056633517995907089433647123937699027/604592780959258771773275770241568524364257983570061145280334432a^19 + 138725285876369309744656221777697383369567072063499558798977209/302296390479629385886637885120784262182128991785030572640167216a^18 + 623197072495708668440161507211487637626443220350687982652717035/604592780959258771773275770241568524364257983570061145280334432a^17 + 427566880901328560407888894136377506646122891390400314071922981/151148195239814692943318942560392131091064495892515286320083608a^16 + 668275052630650971598615413149009232058626252266611624067055617/151148195239814692943318942560392131091064495892515286320083608a^15 + 222726787937365458841503010974933318160450606848451089931127185/17782140616448787405096346183575544834242881869707680743539248a^14 + 2095518618489667802727437409525478651431940949878344776055749545/151148195239814692943318942560392131091064495892515286320083608a^13 + 3002097848826772779502156701335124265645243393375521471786178639/75574097619907346471659471280196065545532247946257643160041804a^12 + 34977983392309745760959303264001620971892996553961840031154634/1111383788528049212818521636473471552140180116856730046471203a^11 + 1671579729731318200095544459539413033632163121483524507545094706/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^10 + 950871115120244370003222218851143626192471427124469378189283470/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^9 + 2516711568936222241781431112259420988459164969740165432762493740/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^8 + 1042006467911644369872308787325011608106675803288870468018838912/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^7 + 2392286857707515582024524715314361979294468438486725074274809888/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^6 + 23233799474183296284126139758227228122802464750465748177146243471/604592780959258771773275770241568524364257983570061145280334432a^5 + 1281051649564135070768146480569868525152813013574283350849081728/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^4 + 2703525815001916441544719499511904765135805314635450835349752637/151148195239814692943318942560392131091064495892515286320083608a^3 + 297671010189920476436265458654322794224595239182055702367144960/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^2 + 63159011703798253693176363565923563838082564718536726658741883/37787048809953673235829735640098032772766123973128821580020902a + 34828269346791844231091231746034181511679542724061081845930579/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451, 1283466321045418830241792399269991817763944879587814331693321/154775751925570245573958597181841542237250043793935653191765614592a^27 - 874494969881406228394445956260813051314656362359323982247139/154775751925570245573958597181841542237250043793935653191765614592a^26 + 51567780191485199965339200872902089965487332664098208670684959/154775751925570245573958597181841542237250043793935653191765614592a^25 - 3389205261306995248753406303044324343372065569209795815502389/19346968990696280696744824647730192779656255474241956648970701824a^24 + 502635919381675224438610318473677702135137185433482879244748975/77387875962785122786979298590920771118625021896967826595882807296a^23 - 410910035879858596535894099094731689602756875098610620126356781/154775751925570245573958597181841542237250043793935653191765614592a^22 + 12200242617663952657800712485820159757902798009200510460637162003/154775751925570245573958597181841542237250043793935653191765614592a^21 - 940524101673167371995812703911390415748424266905701469560747345/38693937981392561393489649295460385559312510948483913297941403648a^20 + 50625548652254140620379258696539211707139856165278467845238481599/77387875962785122786979298590920771118625021896967826595882807296a^19 - 11306033695121036142856147838880909521113186192170075660643860185/77387875962785122786979298590920771118625021896967826595882807296a^18 + 298775617203644180847234414672919459162162494021541290286034753741/77387875962785122786979298590920771118625021896967826595882807296a^17 - 2817832271567120898761758061562070178908264591583526732995994851/4836742247674070174186206161932548194914063868560489162242675456a^16 + 635572770327856968995379789519999458934509907977746722447675814321/38693937981392561393489649295460385559312510948483913297941403648a^15 - 13876508328691711333211067233550868777531893329060525934175862549/9104455995621779151409329245990678955132355517290332540692094976a^14 + 7750978194505256991959690803685365523512313224919364987585327757519/154775751925570245573958597181841542237250043793935653191765614592a^13 - 95601513992311548053359274725042512650586734560173725930230979311/38693937981392561393489649295460385559312510948483913297941403648a^12 + 243402608674682288457237072229674233426419191582650456668230543587/2276113998905444787852332311497669738783088879322583135173023744a^11 - 52291124354645897140761550447021471784561335744901566935171899615/19346968990696280696744824647730192779656255474241956648970701824a^10 + 368621424941207953670324684669079522393241178888615213155760224533/2418371123837035087093103080966274097457031934280244581121337728a^9 - 946644565260424491846456493589022503429361942991564918372587323/302296390479629385886637885120784262182128991785030572640167216a^8 + 80748156437476356274010294677285521967951919957725095302919192275/604592780959258771773275770241568524364257983570061145280334432a^7 - 111893138007473740139451130351611464768200281664305709568944142/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^6 + 18289904139602427600185216460805801648588674505875588502199595383/302296390479629385886637885120784262182128991785030572640167216a^5 - 155494548871690936342094380393397384328252524694628461255749315/75574097619907346471659471280196065545532247946257643160041804a^4 + 939683261667794256642409589157648007697653905604903224284876043/75574097619907346471659471280196065545532247946257643160041804a^3 + 79133073524966621545557463607590076091279898886046975278606193/37787048809953673235829735640098032772766123973128821580020902a^2 + 7307736576699156378643199876551366743775542581970396559272703/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a + 27670762906071521955621062235145854081977873973147936446082083/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451, 34308985905290995766935593880809759372530386782739744154719/4836742247674070174186206161932548194914063868560489162242675456a^27 - 16230268703234831623260436125997131556372317155302687953123/2418371123837035087093103080966274097457031934280244581121337728a^26 + 1397153601818628399184017888877660526206014487237131504464127/4836742247674070174186206161932548194914063868560489162242675456a^25 - 1083190712744751392041896537369902205829871394255545867883131/4836742247674070174186206161932548194914063868560489162242675456a^24 + 27547499243060343396186231664249414751581198418237961768058355/4836742247674070174186206161932548194914063868560489162242675456a^23 - 8877709945736372518802185476151362871805023352601246843903655/2418371123837035087093103080966274097457031934280244581121337728a^22 + 169100045610969474287122808170969813714487771186333765755668321/2418371123837035087093103080966274097457031934280244581121337728a^21 - 179121157881184738336853589788790433660465246017956693785261865/4836742247674070174186206161932548194914063868560489162242675456a^20 + 177606893586420062268929310140695546233368035893024130203543733/302296390479629385886637885120784262182128991785030572640167216a^19 - 607948505562916119711381749953557275938702696085691996804974291/2418371123837035087093103080966274097457031934280244581121337728a^18 + 8507364832067327601206002376283632864125818460293830327461572241/2418371123837035087093103080966274097457031934280244581121337728a^17 - 5701040637341768167692022638286391640832076185870238027775924439/4836742247674070174186206161932548194914063868560489162242675456a^16 + 36848740829448454818392447225544973213629207680870066304646163707/2418371123837035087093103080966274097457031934280244581121337728a^15 - 1087927934678967572655043022808774958305528965914605126252225809/284514249863180598481541538937208717347886109915322891896627968a^14 + 115090889599771638145641820072312380666476489509692720344993270087/2418371123837035087093103080966274097457031934280244581121337728a^13 - 9974007787430961822831054043097476000878976274955588324444323695/1209185561918517543546551540483137048728515967140122290560668864a^12 + 467839844312389278556721651386210216381451541053924627209576617/4445535154112196851274086545893886208560720467426920185884812a^11 - 1635291226952267776046352450717918493962906054709797574482773027/151148195239814692943318942560392131091064495892515286320083608a^10 + 23978565191761505117901886891166365515992220215403863072565702897/151148195239814692943318942560392131091064495892515286320083608a^9 - 26008809983828291516927999586841798522887535006379855227689936077/4836742247674070174186206161932548194914063868560489162242675456a^8 + 2891423960919015224553129458082083730968796719615334041593650624/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^7 + 790854931761536416686350200943877444381190282026869073328752581/151148195239814692943318942560392131091064495892515286320083608a^6 + 1585759046560272952755896142433266337352114519854274953362554404/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^5 + 959582130822294705523756915076189493676831251726042727916847375/75574097619907346471659471280196065545532247946257643160041804a^4 + 397359662798609654534904949115066831694113192363445931068672032/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^3 + 138523282424512134422252664583581710842926145379701801248328980/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^2 + 18937783951795972528011064455159291180696479871510489427942432/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a + 36604157846232280982475709527861885695147054659813105599711206/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451, 118846340040391727495496126284424233444840662469639433603/75574097619907346471659471280196065545532247946257643160041804a^27 + 60020277812163502136188653211373644831820961401332781681/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^26 + 1124240721096930793503111547595653712390855930391205157012/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^25 + 20960815157938356201613739323158659677465554825033833829937/151148195239814692943318942560392131091064495892515286320083608a^24 + 84100262309282029596514509068836691316854113801922676987669/75574097619907346471659471280196065545532247946257643160041804a^23 + 433280074152888054703634250260092576346183176561515020037349/151148195239814692943318942560392131091064495892515286320083608a^22 + 1975534263687513957675499443867719985444660686059726289249001/151148195239814692943318942560392131091064495892515286320083608a^21 + 5521050968411982713692356502723572572617081835358362604088859/151148195239814692943318942560392131091064495892515286320083608a^20 + 8012913198880110367308791566269840402853303436284814673486237/75574097619907346471659471280196065545532247946257643160041804a^19 + 47746350812996178336554250714464864544675710358184418810576035/151148195239814692943318942560392131091064495892515286320083608a^18 + 93415183352589327352293437755483767898721928811803522434058829/151148195239814692943318942560392131091064495892515286320083608a^17 + 146133920954725685203162298661066086464500663248591028482388917/75574097619907346471659471280196065545532247946257643160041804a^16 + 398387578139596532054560951126456622750593140467260050119187845/151148195239814692943318942560392131091064495892515286320083608a^15 + 37800284664102685001577234474355953526748149894578510500890683/4445535154112196851274086545893886208560720467426920185884812a^14 + 310582029745596279450896650932904148127501377429230047386480721/37787048809953673235829735640098032772766123973128821580020902a^13 + 505868410060380203694785987470728879891150799597681676898239514/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^12 + 20634545536349411784886579121043274278289268185066799969654748/1111383788528049212818521636473471552140180116856730046471203a^11 + 1118017127358161362026958706323461433821413944665059301060780252/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^10 + 558180996625740443211130162788179228275603721160234891552169128/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^9 + 1668454616708779201623845835435839094795859310432439531267812512/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^8 + 609803833829331036916840013199925814454687357325509765355824960/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^7 + 1569548613593353510790660502994268023390471743399667690064701568/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^6 + 422137195383039040666642020638487297154019043809324063516606208/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^5 + 829140929280257868125820895922058803773130909954731738166255616/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^4 + 1669857865096640313367110091597209507424941690741604265665338329/151148195239814692943318942560392131091064495892515286320083608a^3 + 189522346205437101059967676959317650892842330397869556311526400/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^2 + 39955611231321734762528739485684402955462413681000160767842685/37787048809953673235829735640098032772766123973128821580020902a + 9831338913735896860167066435634674213715956222798382092263424/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451, 303988781182048178075697485121494720872249251453020226428685/77387875962785122786979298590920771118625021896967826595882807296a^27 - 386324309877009535867284781860866551922612000629909861957151/38693937981392561393489649295460385559312510948483913297941403648a^26 + 3244185640167781189248325078192668027698321050796866925244981/19346968990696280696744824647730192779656255474241956648970701824a^25 - 29385555228053558020529088677911052387784765817613597137520497/77387875962785122786979298590920771118625021896967826595882807296a^24 + 132445576090044206506866174602583807223363021238800191277235455/38693937981392561393489649295460385559312510948483913297941403648a^23 - 547288946068499045710246508146276486615240497910192607761821735/77387875962785122786979298590920771118625021896967826595882807296a^22 + 1676664502439785171487026549875636736224844161543468626260553261/38693937981392561393489649295460385559312510948483913297941403648a^21 - 6364326611173844293381223392186687176942570350896526557258267957/77387875962785122786979298590920771118625021896967826595882807296a^20 + 14486860100782438395022228962666842686888646626123293560907441929/38693937981392561393489649295460385559312510948483913297941403648a^19 - 1585777299973848827267470486688363987813293708342632282431238649/2418371123837035087093103080966274097457031934280244581121337728a^18 + 1392311648269020093114662424370123392375282103860142998301732187/604592780959258771773275770241568524364257983570061145280334432a^17 - 144107588315943415286934950175667623587069961290136774703162023731/38693937981392561393489649295460385559312510948483913297941403648a^16 + 198143264555364757844163413167400710123710270874404772914110523005/19346968990696280696744824647730192779656255474241956648970701824a^15 - 69561969521049153044139874050864780174512722610756265485789229085/4552227997810889575704664622995339477566177758645166270346047488a^14 + 1271349045215511817227210291378287084320600460487443188199190703903/38693937981392561393489649295460385559312510948483913297941403648a^13 - 3483026134000174826423744643790466151832807957111584055726330549337/77387875962785122786979298590920771118625021896967826595882807296a^12 + 10610674950712426811023232913592530607071635831212073837802584265/142257124931590299240770769468604358673943054957661445948313984a^11 - 450174079692794498728733332105733966979680146758726219125356181955/4836742247674070174186206161932548194914063868560489162242675456a^10 + 278542104855955878257173197833093152016762997181198873646154869401/2418371123837035087093103080966274097457031934280244581121337728a^9 - 310803872908234280739187782768836143208563278137742322355330481757/2418371123837035087093103080966274097457031934280244581121337728a^8 + 270503998648938422409296723664840093266460430755692118455854601047/2418371123837035087093103080966274097457031934280244581121337728a^7 - 16442038946498261335995467952394020863629644771134527222726822495/151148195239814692943318942560392131091064495892515286320083608a^6 + 35290642774257967073799573341843662081290760354370336095163705375/604592780959258771773275770241568524364257983570061145280334432a^5 - 13690149381801599673544881017711109292578711614608652719006156173/302296390479629385886637885120784262182128991785030572640167216a^4 + 623535115651848465548830989183472594756225651859126739979361649/75574097619907346471659471280196065545532247946257643160041804a^3 - 100527140616777361111494249207959493081605705566108693079075015/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^2 - 11643762657079438951934103989505562235605453302738419358902997/37787048809953673235829735640098032772766123973128821580020902a + 13678663713419284224117759679683791145930120149512628277149594/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451, 1805054607831031017392893407762136542613275468399965620333937/154775751925570245573958597181841542237250043793935653191765614592a^27 + 651582169027803196387064317382418295697898072916720732275879/154775751925570245573958597181841542237250043793935653191765614592a^26 + 72127177481703646043285430004276403054963536042731997268728809/154775751925570245573958597181841542237250043793935653191765614592a^25 + 19303829507333173004456487541133008312247686157186864001777651/77387875962785122786979298590920771118625021896967826595882807296a^24 + 704647669760097823592367050276976347790666166779163259029797951/77387875962785122786979298590920771118625021896967826595882807296a^23 + 946345986571619396228681840507829054222632814517486652297238559/154775751925570245573958597181841542237250043793935653191765614592a^22 + 17247539382547121688060007196060898470691761160724890728027094113/154775751925570245573958597181841542237250043793935653191765614592a^21 + 6823387872491397697860502005024539089192671778883822091856887901/77387875962785122786979298590920771118625021896967826595882807296a^20 + 72712787212180493117480299421988771150115694948523009252171617683/77387875962785122786979298590920771118625021896967826595882807296a^19 + 65046047059987913471133520940285154058339311770722149626008390361/77387875962785122786979298590920771118625021896967826595882807296a^18 + 440120965430333604263748753758037617225088752089768569251641592403/77387875962785122786979298590920771118625021896967826595882807296a^17 + 216398397916018505260092066658864895052189450301901602547503811437/38693937981392561393489649295460385559312510948483913297941403648a^16 + 973119442162610894041692198482026518182379133293987873031663830489/38693937981392561393489649295460385559312510948483913297941403648a^15 + 241424384843569701103747389879526717042489823971697555260531506491/9104455995621779151409329245990678955132355517290332540692094976a^14 + 12577001584638009093055662210609211462739389365254905867327916693101/154775751925570245573958597181841542237250043793935653191765614592a^13 + 6952206640400150116829553246019981895102642260914994295413765424837/77387875962785122786979298590920771118625021896967826595882807296a^12 + 431536269285554738979277750045094763960343731487461035269346739629/2276113998905444787852332311497669738783088879322583135173023744a^11 + 4141741366834883986919079193047290552805214953292869352476900386899/19346968990696280696744824647730192779656255474241956648970701824a^10 + 187718284994508431764742380578776215750685030193103003179449152213/604592780959258771773275770241568524364257983570061145280334432a^9 + 1682201152858633435215475309933023000816735436664014415023847056169/4836742247674070174186206161932548194914063868560489162242675456a^8 + 826603623945812501680679778785687943818811708390629528215743665821/2418371123837035087093103080966274097457031934280244581121337728a^7 + 27362618495436569889924899798196070087346868961844364145930396811/75574097619907346471659471280196065545532247946257643160041804a^6 + 69875484088297799326873040950045990050113799523636971365612846985/302296390479629385886637885120784262182128991785030572640167216a^5 + 66139308113823063759061161430519761293576371098594218741754814395/302296390479629385886637885120784262182128991785030572640167216a^4 + 12793499018428551390982743011771786890979563544120289908412543173/151148195239814692943318942560392131091064495892515286320083608a^3 + 4426381769148468126888027687891796707015854011442309180620573485/75574097619907346471659471280196065545532247946257643160041804a^2 + 247721756844582587073248737096534610266222427473039906223576153/37787048809953673235829735640098032772766123973128821580020902a + 27937626518358372441752641609586452206129135246587887842270564/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451, 445849769164626424192429162593039156879720206403106876581/151148195239814692943318942560392131091064495892515286320083608a^27 - 461618079448912058379102079185192515503737563927317020405/151148195239814692943318942560392131091064495892515286320083608a^26 + 36106589862440345869267141332383315084763807987600311628103/302296390479629385886637885120784262182128991785030572640167216a^25 - 15521562720014406031540471221172184822173870876863905102839/151148195239814692943318942560392131091064495892515286320083608a^24 + 707465247082105585858044842991537674620871490320400639924349/302296390479629385886637885120784262182128991785030572640167216a^23 - 513787286641904395738261410614977345988135653822259469131151/302296390479629385886637885120784262182128991785030572640167216a^22 + 8622675746214187804577167927709918319343471196527452782947129/302296390479629385886637885120784262182128991785030572640167216a^21 - 2625470671080707626903640656114190378070420897396575593714833/151148195239814692943318942560392131091064495892515286320083608a^20 + 71832043359386790140752767181419009048806318349377961399982505/302296390479629385886637885120784262182128991785030572640167216a^19 - 36293438488786885803299106182671013056759606746118132528207101/302296390479629385886637885120784262182128991785030572640167216a^18 + 212827916557846935605838415188981689636988710367135487916567957/151148195239814692943318942560392131091064495892515286320083608a^17 - 174762724765935742931951344208593703639459422497922505145382397/302296390479629385886637885120784262182128991785030572640167216a^16 + 455084063405382522705823884418508006375964512476115476875677665/75574097619907346471659471280196065545532247946257643160041804a^15 - 17389900984545054319977899827476087946273058352595054894083601/8891070308224393702548173091787772417121440934853840371769624a^14 + 1398854521426091912840802230133932758997014112539575720567464493/75574097619907346471659471280196065545532247946257643160041804a^13 - 171783413371118744312153485455096793761208694631609991175741391/37787048809953673235829735640098032772766123973128821580020902a^12 + 44572001401221753283116957170737165955261676496725616341022002/1111383788528049212818521636473471552140180116856730046471203a^11 - 132097298437029742925846446108146784555607885036568420457068348/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^10 + 1112191190723450739165493499956014339935972306719389825078918972/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^9 - 117738432196212050497626267951797881689131199137767973712772920/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^8 + 1035433636155281990602876184254971246898665642133911202784948864/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^7 - 47023141276067671645272206809335261499093559029918447520311872/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^6 + 540550470180247476747048360255241487033215372656136815713301376/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^5 + 547842884546478186659821541121005882393323222750474828480722467/302296390479629385886637885120784262182128991785030572640167216a^4 + 126481091490416023199959837792990434431078800533705474416122368/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^3 + 36197457954190250710871873066992395098262572457484930320053541/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^2 + 5331396570727076692984474715300516536537909181407880558337024/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a + 56361958869033092889934183715260203485842269921345769660539641/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451, 56325294619568835765389619982655650122574282088437921837/37787048809953673235829735640098032772766123973128821580020902a^27 + 1451178055816489787390476687859060321307496037924488072769/604592780959258771773275770241568524364257983570061145280334432a^26 + 17286530856251289772275127642845856394385479865330668494551/302296390479629385886637885120784262182128991785030572640167216a^25 + 64799701065988098111080418282025495759860019540136981988709/604592780959258771773275770241568524364257983570061145280334432a^24 + 653754273355189951009952045517660240324553595490795597790951/604592780959258771773275770241568524364257983570061145280334432a^23 + 1361170637624616581228919946325563236901051588917005984872363/604592780959258771773275770241568524364257983570061145280334432a^22 + 3879293872109036703276809976011360045246251481041937266543961/302296390479629385886637885120784262182128991785030572640167216a^21 + 17582276556825515024522609848016700565607116100171855696741953/604592780959258771773275770241568524364257983570061145280334432a^20 + 63549179336409111069806193780601627529358920144747348342464283/604592780959258771773275770241568524364257983570061145280334432a^19 + 76951713019143426335777999501785238210048324667175597024211515/302296390479629385886637885120784262182128991785030572640167216a^18 + 373886533502343697315798643599567187492154655968218433059940343/604592780959258771773275770241568524364257983570061145280334432a^17 + 238231084299949148221937384445463697209199714420383741063190567/151148195239814692943318942560392131091064495892515286320083608a^16 + 50263605860351226833847461176141091758887831842364119598593320/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^15 + 124638446026936707617401613767717960391477574412494894492307661/17782140616448787405096346183575544834242881869707680743539248a^14 + 1264428915676577247769076601926480182339315864140888551227110317/151148195239814692943318942560392131091064495892515286320083608a^13 + 1687493503832823368335642751184519725333749609150618619169679343/75574097619907346471659471280196065545532247946257643160041804a^12 + 21157811120013772201283071731356772668610342699981226148392094/1111383788528049212818521636473471552140180116856730046471203a^11 + 944080623543621381434207154776520925229292528039837470776448566/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^10 + 576584194660268998731154549153715701351791874889816804934577174/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^9 + 1429058487742716022852958019791991964535741184968971456919540396/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^8 + 632781529749953868234472457886310009550407725668846833094287680/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^7 + 1366889782549993087569585278876459845187187473420716981015599264/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^6 + 14143917931573189394549880542935094041977651435547847207719029135/604592780959258771773275770241568524364257983570061145280334432a^5 + 737802963154092914218345124893429842235057455986932825152626048/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^4 + 399625885882076962622058913400486972479092891277671522608548825/37787048809953673235829735640098032772766123973128821580020902a^3 + 173053875448604761729632803324765895865545516624171481249239040/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^2 + 36850877705214320325431879116253130287128696662804132734080381/37787048809953673235829735640098032772766123973128821580020902a + 9423590663773434442581159822769504882565252122127718202391552/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451, 8107539841606559580344222219891687069944360401186797049193/2418371123837035087093103080966274097457031934280244581121337728a^27 + 332426873100749530186901207778916335825815545228163150419/75574097619907346471659471280196065545532247946257643160041804a^26 + 314035731465127413560779718623286996325371306586710228384231/2418371123837035087093103080966274097457031934280244581121337728a^25 + 486617402080193505437047050541237708615972838164822701918215/2418371123837035087093103080966274097457031934280244581121337728a^24 + 5983387377321908946271744624538175834665201597066640220933665/2418371123837035087093103080966274097457031934280244581121337728a^23 + 2597700058542532082512564163097823000223281711365078997136455/604592780959258771773275770241568524364257983570061145280334432a^22 + 71508246074552874810115154562916554874123332058695531125199951/2418371123837035087093103080966274097457031934280244581121337728a^21 + 34008248171611896275413846250063310628336287327616769077992003/604592780959258771773275770241568524364257983570061145280334432a^20 + 589474441361233571609132976961364220169456383926149515943215423/2418371123837035087093103080966274097457031934280244581121337728a^19 + 602319046091915785369939488861145094118325584628828963955551737/1209185561918517543546551540483137048728515967140122290560668864a^18 + 436152760607258588100309234503931974233324766631192921021685909/302296390479629385886637885120784262182128991785030572640167216a^17 + 3769500889741542182753146448453649625667500779569489835774313677/1209185561918517543546551540483137048728515967140122290560668864a^16 + 15094590968540208426283934752640871086209929553660789677199995663/2418371123837035087093103080966274097457031934280244581121337728a^15 + 1992500721809220523711705613601012396386753778234613485116337581/142257124931590299240770769468604358673943054957661445948313984a^14 + 23857781122897166524219954709874397352006534470571709086899317645/1209185561918517543546551540483137048728515967140122290560668864a^13 + 27259177180031725867146139725409435402449248020386648098672650645/604592780959258771773275770241568524364257983570061145280334432a^12 + 50131877479170583031965869856348217215999444398807102629746728/1111383788528049212818521636473471552140180116856730046471203a^11 + 1927345352814857364171040908245574096252149498852723737626134059/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^10 + 5488296442672265598556730746207544449249153856161371295354027423/75574097619907346471659471280196065545532247946257643160041804a^9 + 5907275926873358347109608317133329346140844260416487522816898933/37787048809953673235829735640098032772766123973128821580020902a^8 + 193068395474638694188548744590827988133351747017018053705295720265/2418371123837035087093103080966274097457031934280244581121337728a^7 + 2865601477686701485932985178161463530872708974764154188348477540/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^6 + 33656731260174891618644001943750857573945999030929763075042571753/604592780959258771773275770241568524364257983570061145280334432a^5 + 1575023899967050943230196511428522771753316737025101443723991920/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^4 + 1811849195702715978547726427377898247200920758007431214322450671/75574097619907346471659471280196065545532247946257643160041804a^3 + 377351445617984375890895444422762036894856174720792558119042496/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^2 + 81021455928195806297083841911149642406305082235855436411580153/37787048809953673235829735640098032772766123973128821580020902a + 21334447994368678889896115073964284073251087513402011046377600/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451, 563430056113458084646712596158028707110468784290997732002861/77387875962785122786979298590920771118625021896967826595882807296a^27 - 216121750849425776411591363478061387979794441473090328942623/38693937981392561393489649295460385559312510948483913297941403648a^26 + 5756471491888800497734562827178963998301291503490548752318829/19346968990696280696744824647730192779656255474241956648970701824a^25 - 13813798361487365846543583060591445712073634996339270676137617/77387875962785122786979298590920771118625021896967826595882807296a^24 + 228179774127194749647214088595194620578006246791866434812174095/38693937981392561393489649295460385559312510948483913297941403648a^23 - 214783338575054939148638295269755142586660438855462496128355495/77387875962785122786979298590920771118625021896967826595882807296a^22 + 2820796439632631168448869022882301614210817474482597124263752477/38693937981392561393489649295460385559312510948483913297941403648a^21 - 2011270845207521570128251072178583416515525572961580115275291573/77387875962785122786979298590920771118625021896967826595882807296a^20 + 23918451162562175540768356594048670209599948768941685815998888697/38693937981392561393489649295460385559312510948483913297941403648a^19 - 381139207790017256527591508966073799576642539084974354520135175/2418371123837035087093103080966274097457031934280244581121337728a^18 + 2264617169483537269315280893377987340841931637122528840345104005/604592780959258771773275770241568524364257983570061145280334432a^17 - 23483559844214065438834263825150835565709936343913099958383986067/38693937981392561393489649295460385559312510948483913297941403648a^16 + 318899992303686425254434891188527678813389707303691090331710488309/19346968990696280696744824647730192779656255474241956648970701824a^15 - 5801946423154096285365294415632383490136601707248633962066426493/4552227997810889575704664622995339477566177758645166270346047488a^14 + 2034798041148221146002248842094267799584809563545737878979968868543/38693937981392561393489649295460385559312510948483913297941403648a^13 + 6148545043886084570961241061941579680695789497906900903768733223/77387875962785122786979298590920771118625021896967826595882807296a^12 + 17027555268046261439114864255205102410719564714259382974410165449/142257124931590299240770769468604358673943054957661445948313984a^11 + 43226330627808986499053140405133001660870124947571057706934137149/4836742247674070174186206161932548194914063868560489162242675456a^10 + 454167591021468377410988581711734574392735920578362755097483746937/2418371123837035087093103080966274097457031934280244581121337728a^9 + 67261786411660653475827149527696934944450754528912879104951049955/2418371123837035087093103080966274097457031934280244581121337728a^8 + 14486637316361784893682670882989627543744130555397192880035947541/75574097619907346471659471280196065545532247946257643160041804a^7 + 6482772874995350551468413472897687383352027026978706284060997825/151148195239814692943318942560392131091064495892515286320083608a^6 + 8618421754304107336555446910699314956904594923162512396275784641/75574097619907346471659471280196065545532247946257643160041804a^5 + 11510233017671215418138263165145255055474356177792970380577714547/302296390479629385886637885120784262182128991785030572640167216a^4 + 608846077838641111024139354140342710489286602466639488575453080/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^3 + 276824305001207014779401195214802543813250469154683865039967481/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^2 + 34688846635558183672574868960822040085349814466558508526338578/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a + 35013111707787963114013874753648075219181207662914639323527194/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451, 184771873353459223817023119552693700769714566640411557266757/38693937981392561393489649295460385559312510948483913297941403648a^27 + 12360386492525991706276354376220765300390719747550275865007/19346968990696280696744824647730192779656255474241956648970701824a^26 + 7401981637258202827201595825488674713675280465806006939039499/38693937981392561393489649295460385559312510948483913297941403648a^25 + 1154997229109379025673467038020508926524880275349548944432939/19346968990696280696744824647730192779656255474241956648970701824a^24 + 144709785592371784522570304523015155891465951937052097325403175/38693937981392561393489649295460385559312510948483913297941403648a^23 + 65691481955339743784133565549436932508840913486179004545061901/38693937981392561393489649295460385559312510948483913297941403648a^22 + 221227314350106522914965050394499712367714300939968561052052595/4836742247674070174186206161932548194914063868560489162242675456a^21 + 16082222082899149747079371137711221491933281475831787563139409/604592780959258771773275770241568524364257983570061145280334432a^20 + 14892149783782369859366125426694154370809486174541850500071110583/38693937981392561393489649295460385559312510948483913297941403648a^19 + 647634089277073645324025166857987768367839800937034604459724227/2418371123837035087093103080966274097457031934280244581121337728a^18 + 44915053070678795521578403565007577794161406795878761639346411993/19346968990696280696744824647730192779656255474241956648970701824a^17 + 17950684392244110194309457391542249204803931363875910499847803183/9673484495348140348372412323865096389828127737120978324485350912a^16 + 197612284975402425674311265975043436921323986054928305768674259413/19346968990696280696744824647730192779656255474241956648970701824a^15 + 20683044552766080656798093631372470782062034980554689774757356003/2276113998905444787852332311497669738783088879322583135173023744a^14 + 634217152768448302784095733942202635685505138218695513076761543967/19346968990696280696744824647730192779656255474241956648970701824a^13 + 306059196137149729934041750371732121330294832322623304212689241621/9673484495348140348372412323865096389828127737120978324485350912a^12 + 172641274217425259698909243716904327579258366338795283015048676041/2276113998905444787852332311497669738783088879322583135173023744a^11 + 93350815432544881914896643528441346341674384812898649421682904661/1209185561918517543546551540483137048728515967140122290560668864a^10 + 1190809694684408079593153761166853302725702722601765496799574069853/9673484495348140348372412323865096389828127737120978324485350912a^9 + 77432116370981979095571647030879428278550860100150001036575650461/604592780959258771773275770241568524364257983570061145280334432a^8 + 81266231407646786112850726693623728280398841435997962575775094819/604592780959258771773275770241568524364257983570061145280334432a^7 + 10239820676182830388838639277576372828012470114566321891997504659/75574097619907346471659471280196065545532247946257643160041804a^6 + 54737953294881206576167310623979179154363094259439778321791170835/604592780959258771773275770241568524364257983570061145280334432a^5 + 1566167667438130503519914769177541828700354748995633267920830543/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^4 + 4948445544694589097267214449733781381734492873596408544847342943/151148195239814692943318942560392131091064495892515286320083608a^3 + 423180244933140701013503479525867458772760949964372757533385056/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^2 + 95009795422289822692512461672693508943371343555592244886701565/37787048809953673235829735640098032772766123973128821580020902a + 29268120232010748323058765024095032832990216937561387215448008/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451, 445849769164626424192429162593039156879720206403106876581/151148195239814692943318942560392131091064495892515286320083608a^27 - 461618079448912058379102079185192515503737563927317020405/151148195239814692943318942560392131091064495892515286320083608a^26 + 36106589862440345869267141332383315084763807987600311628103/302296390479629385886637885120784262182128991785030572640167216a^25 - 15521562720014406031540471221172184822173870876863905102839/151148195239814692943318942560392131091064495892515286320083608a^24 + 707465247082105585858044842991537674620871490320400639924349/302296390479629385886637885120784262182128991785030572640167216a^23 - 513787286641904395738261410614977345988135653822259469131151/302296390479629385886637885120784262182128991785030572640167216a^22 + 8622675746214187804577167927709918319343471196527452782947129/302296390479629385886637885120784262182128991785030572640167216a^21 - 2625470671080707626903640656114190378070420897396575593714833/151148195239814692943318942560392131091064495892515286320083608a^20 + 71832043359386790140752767181419009048806318349377961399982505/302296390479629385886637885120784262182128991785030572640167216a^19 - 36293438488786885803299106182671013056759606746118132528207101/302296390479629385886637885120784262182128991785030572640167216a^18 + 212827916557846935605838415188981689636988710367135487916567957/151148195239814692943318942560392131091064495892515286320083608a^17 - 174762724765935742931951344208593703639459422497922505145382397/302296390479629385886637885120784262182128991785030572640167216a^16 + 455084063405382522705823884418508006375964512476115476875677665/75574097619907346471659471280196065545532247946257643160041804a^15 - 17389900984545054319977899827476087946273058352595054894083601/8891070308224393702548173091787772417121440934853840371769624a^14 + 1398854521426091912840802230133932758997014112539575720567464493/75574097619907346471659471280196065545532247946257643160041804a^13 - 171783413371118744312153485455096793761208694631609991175741391/37787048809953673235829735640098032772766123973128821580020902a^12 + 44572001401221753283116957170737165955261676496725616341022002/1111383788528049212818521636473471552140180116856730046471203a^11 - 132097298437029742925846446108146784555607885036568420457068348/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^10 + 1112191190723450739165493499956014339935972306719389825078918972/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^9 - 117738432196212050497626267951797881689131199137767973712772920/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^8 + 1035433636155281990602876184254971246898665642133911202784948864/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^7 - 47023141276067671645272206809335261499093559029918447520311872/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^6 + 540550470180247476747048360255241487033215372656136815713301376/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^5 + 547842884546478186659821541121005882393323222750474828480722467/302296390479629385886637885120784262182128991785030572640167216a^4 + 126481091490416023199959837792990434431078800533705474416122368/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^3 + 36197457954190250710871873066992395098262572457484930320053541/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451a^2 + 5331396570727076692984474715300516536537909181407880558337024/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451*a + 37468434464056256272019315895211187099459207934781358870529190/18893524404976836617914867820049016386383061986564410790010451 (assuming GRH)	sage: UK.fundamental_units() gp: K.fu magma: [K\|fUK(g): g in Generators(UK)]; oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
Regulator:	$ 487075979.1876791 $ (assuming GRH)	sage: K.regulator() gp: K.reg magma: Regulator(K); oscar: regulator(K)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{0}\cdot(2\pi)^{14}\cdot 487075979.1876791 \cdot 25984}{2\cdot\sqrt{71403665296191917297019015087709113341743884283129}}\cr\approx \mathstrut & 0.111925908545134 \end{aligned}\] (assuming GRH)

# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula

x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^28 - x^27 + 41*x^26 - 34*x^25 + 814*x^24 - 569*x^23 + 10073*x^22 - 5894*x^21 + 85446*x^20 - 41430*x^19 + 517766*x^18 - 204124*x^17 + 2278084*x^16 - 713493*x^15 + 7270037*x^14 - 1746022*x^13 + 16581844*x^12 - 2930752*x^11 + 26206720*x^10 - 3163168*x^9 + 27305280*x^8 - 2133504*x^7 + 17228288*x^6 - 594944*x^5 + 5748736*x^4 - 229376*x^3 + 745472*x^2 + 57344*x + 16384)

DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()

hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();

2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))

# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula

K = bnfinit(x^28 - x^27 + 41*x^26 - 34*x^25 + 814*x^24 - 569*x^23 + 10073*x^22 - 5894*x^21 + 85446*x^20 - 41430*x^19 + 517766*x^18 - 204124*x^17 + 2278084*x^16 - 713493*x^15 + 7270037*x^14 - 1746022*x^13 + 16581844*x^12 - 2930752*x^11 + 26206720*x^10 - 3163168*x^9 + 27305280*x^8 - 2133504*x^7 + 17228288*x^6 - 594944*x^5 + 5748736*x^4 - 229376*x^3 + 745472*x^2 + 57344*x + 16384, 1);

[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]

/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */

Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^28 - x^27 + 41*x^26 - 34*x^25 + 814*x^24 - 569*x^23 + 10073*x^22 - 5894*x^21 + 85446*x^20 - 41430*x^19 + 517766*x^18 - 204124*x^17 + 2278084*x^16 - 713493*x^15 + 7270037*x^14 - 1746022*x^13 + 16581844*x^12 - 2930752*x^11 + 26206720*x^10 - 3163168*x^9 + 27305280*x^8 - 2133504*x^7 + 17228288*x^6 - 594944*x^5 + 5748736*x^4 - 229376*x^3 + 745472*x^2 + 57344*x + 16384);

OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);

UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);

r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);

hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);

2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));

# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula

Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^28 - x^27 + 41*x^26 - 34*x^25 + 814*x^24 - 569*x^23 + 10073*x^22 - 5894*x^21 + 85446*x^20 - 41430*x^19 + 517766*x^18 - 204124*x^17 + 2278084*x^16 - 713493*x^15 + 7270037*x^14 - 1746022*x^13 + 16581844*x^12 - 2930752*x^11 + 26206720*x^10 - 3163168*x^9 + 27305280*x^8 - 2133504*x^7 + 17228288*x^6 - 594944*x^5 + 5748736*x^4 - 229376*x^3 + 745472*x^2 + 57344*x + 16384);

OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);

UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);

r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);

hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);

2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))

Galois group

$C_2\times C_{14}$ (as 28T2):

sage: K.galois_group(type='pari')

gp: polgalois(K.pol)

magma: G = GaloisGroup(K);

oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)

An abelian group of order 28

The 28 conjugacy class representatives for $C_2\times C_{14}$

Character table for $C_2\times C_{14}$ is not computed

Intermediate fields

$\Q(\sqrt{-203}) $, $\Q(\sqrt{29}) $, $\Q(\sqrt{-7}) $, $\Q(\sqrt{-7}, \sqrt{29})$, 7.7.594823321.1, 14.0.8450068952156066122535627.1, $\Q(\zeta_{29})^+$, 14.0.291381688005381590432263.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

sage: K.subfields()[1:-1]

gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]

magma: L := Subfields(K); L[2..#L];

oscar: subfields(K)[2:end-1]

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	${\href{/padicField/2.14.0.1}{14} }^{2}$	${\href{/padicField/3.14.0.1}{14} }^{2}$	${\href{/padicField/5.14.0.1}{14} }^{2}$	R	${\href{/padicField/11.14.0.1}{14} }^{2}$	${\href{/padicField/13.14.0.1}{14} }^{2}$	${\href{/padicField/17.2.0.1}{2} }^{14}$	${\href{/padicField/19.14.0.1}{14} }^{2}$	${\href{/padicField/23.7.0.1}{7} }^{4}$	R	${\href{/padicField/31.14.0.1}{14} }^{2}$	${\href{/padicField/37.14.0.1}{14} }^{2}$	${\href{/padicField/41.2.0.1}{2} }^{14}$	${\href{/padicField/43.14.0.1}{14} }^{2}$	${\href{/padicField/47.14.0.1}{14} }^{2}$	${\href{/padicField/53.7.0.1}{7} }^{4}$	${\href{/padicField/59.2.0.1}{2} }^{14}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:

p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]

\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:

p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])

// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:

p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:

p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
$7$ 7	7.14.7.1	$x^{14} + 49 x^{12} + 1029 x^{10} + 12017 x^{8} + 8 x^{7} + 82859 x^{6} - 1176 x^{5} + 352947 x^{4} + 13720 x^{3} + 881203 x^{2} - 19160 x + 794999$	$2$	$7$	$7$	$C_{14}$	$[\ ]_{2}^{7}$
$7$ 7	7.14.7.1	$x^{14} + 49 x^{12} + 1029 x^{10} + 12017 x^{8} + 8 x^{7} + 82859 x^{6} - 1176 x^{5} + 352947 x^{4} + 13720 x^{3} + 881203 x^{2} - 19160 x + 794999$	$2$	$7$	$7$	$C_{14}$	$[\ ]_{2}^{7}$
$29$ 29	29.14.13.1	$x^{14} + 29$	$14$	$1$	$13$	$C_{14}$	$[\ ]_{14}$
$29$ 29	29.14.13.1	$x^{14} + 29$	$14$	$1$	$13$	$C_{14}$	$[\ ]_{14}$

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more