Number field 27.27.735278035529026786878794063569162978753987707441.1

• Label: 27.27.735...441.1
• Degree: $27$
• Signature: $[27, 0]$
• Discriminant: $7.353\times 10^{47}$
• Root discriminant: \(59.27\)
• Ramified primes: $3,19$
• Class number: $1$ (GRH)
• Class group: trivial (GRH)
• Galois group: $C_3\times C_9$ (as 27T2)

Normalized defining polynomial

x^27 - 51*x^25 - 4*x^24 + 1080*x^23 + 156*x^22 - 12356*x^21 - 2448*x^20 + 83283*x^19 + 19984*x^18 - 339003*x^17 - 91596*x^16 + 825846*x^15 + 238428*x^14 - 1168977*x^13 - 344712*x^12 + 930681*x^11 + 259620*x^10 - 414755*x^9 - 102465*x^8 + 101628*x^7 + 20920*x^6 - 12933*x^5 - 2085*x^4 + 755*x^3 + 90*x^2 - 15*x - 1

Invariants

Degree:		$27$
Signature:		$[27, 0]$
Discriminant:		\(735278035529026786878794063569162978753987707441\) \(\medspace = 3^{36}\cdot 19^{24}\)
Root discriminant:		\(59.27\)
Galois root discriminant:		$3^{4/3}19^{8/9}\approx 59.269537795580746$
Ramified primes:		\(3\), \(19\)
Discriminant root field:		\(\Q\)
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:		$27$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:		\(171=3^{2}\cdot 19\)
Dirichlet character group:		$\lbrace$$\chi_{171}(64,·)$, $\chi_{171}(1,·)$, $\chi_{171}(130,·)$, $\chi_{171}(4,·)$, $\chi_{171}(7,·)$, $\chi_{171}(73,·)$, $\chi_{171}(139,·)$, $\chi_{171}(142,·)$, $\chi_{171}(16,·)$, $\chi_{171}(82,·)$, $\chi_{171}(85,·)$, $\chi_{171}(25,·)$, $\chi_{171}(28,·)$, $\chi_{171}(157,·)$, $\chi_{171}(163,·)$, $\chi_{171}(100,·)$, $\chi_{171}(169,·)$, $\chi_{171}(106,·)$, $\chi_{171}(43,·)$, $\chi_{171}(112,·)$, $\chi_{171}(49,·)$, $\chi_{171}(115,·)$, $\chi_{171}(118,·)$, $\chi_{171}(55,·)$, $\chi_{171}(121,·)$, $\chi_{171}(58,·)$, $\chi_{171}(61,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $\frac{1}{37}a^{22}+\frac{7}{37}a^{21}-\frac{18}{37}a^{19}-\frac{4}{37}a^{18}-\frac{11}{37}a^{17}+\frac{1}{37}a^{16}+\frac{6}{37}a^{15}-\frac{1}{37}a^{14}-\frac{18}{37}a^{13}+\frac{1}{37}a^{11}-\frac{6}{37}a^{10}+\frac{9}{37}a^{9}-\frac{6}{37}a^{8}-\frac{9}{37}a^{7}-\frac{13}{37}a^{6}-\frac{10}{37}a^{5}-\frac{15}{37}a^{4}+\frac{8}{37}a^{3}+\frac{11}{37}a^{2}+\frac{11}{37}a+\frac{8}{37}$, $\frac{1}{37}a^{23}-\frac{12}{37}a^{21}-\frac{18}{37}a^{20}+\frac{11}{37}a^{19}+\frac{17}{37}a^{18}+\frac{4}{37}a^{17}-\frac{1}{37}a^{16}-\frac{6}{37}a^{15}-\frac{11}{37}a^{14}+\frac{15}{37}a^{13}+\frac{1}{37}a^{12}-\frac{13}{37}a^{11}+\frac{14}{37}a^{10}+\frac{5}{37}a^{9}-\frac{4}{37}a^{8}+\frac{13}{37}a^{7}+\frac{7}{37}a^{6}+\frac{18}{37}a^{5}+\frac{2}{37}a^{4}-\frac{8}{37}a^{3}+\frac{8}{37}a^{2}+\frac{5}{37}a+\frac{18}{37}$, $\frac{1}{259}a^{24}+\frac{1}{259}a^{23}-\frac{1}{259}a^{22}+\frac{10}{259}a^{21}+\frac{104}{259}a^{20}+\frac{18}{37}a^{19}+\frac{51}{259}a^{18}-\frac{81}{259}a^{17}-\frac{10}{37}a^{16}-\frac{62}{259}a^{15}+\frac{67}{259}a^{14}+\frac{3}{259}a^{13}+\frac{25}{259}a^{12}+\frac{86}{259}a^{11}-\frac{12}{37}a^{10}+\frac{9}{37}a^{9}+\frac{54}{259}a^{8}-\frac{5}{259}a^{7}+\frac{67}{259}a^{6}-\frac{53}{259}a^{5}+\frac{2}{37}a^{4}-\frac{97}{259}a^{3}-\frac{2}{37}a^{2}-\frac{41}{259}a+\frac{106}{259}$, $\frac{1}{167573}a^{25}+\frac{207}{167573}a^{24}-\frac{1664}{167573}a^{23}+\frac{141}{23939}a^{22}-\frac{24625}{167573}a^{21}+\frac{34213}{167573}a^{20}-\frac{75675}{167573}a^{19}-\frac{40066}{167573}a^{18}-\frac{71951}{167573}a^{17}+\frac{80515}{167573}a^{16}-\frac{10225}{23939}a^{15}+\frac{82909}{167573}a^{14}+\frac{57504}{167573}a^{13}+\frac{178}{647}a^{12}-\frac{48574}{167573}a^{11}+\frac{314}{647}a^{10}-\frac{81496}{167573}a^{9}-\frac{1453}{167573}a^{8}+\frac{12526}{167573}a^{7}+\frac{15331}{167573}a^{6}+\frac{81671}{167573}a^{5}-\frac{27243}{167573}a^{4}-\frac{6717}{167573}a^{3}-\frac{32059}{167573}a^{2}-\frac{12183}{167573}a-\frac{35753}{167573}$, $\frac{1}{22\!\cdots\!03}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!43}{22\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{17\!\cdots\!01}{22\!\cdots\!03}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!03}{32\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{61\!\cdots\!85}{22\!\cdots\!03}a^{22}+\frac{49\!\cdots\!81}{22\!\cdots\!03}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!63}{22\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{92\!\cdots\!44}{22\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{65\!\cdots\!78}{22\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{39\!\cdots\!19}{22\!\cdots\!03}a^{17}-\frac{68\!\cdots\!63}{22\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{79\!\cdots\!09}{32\!\cdots\!29}a^{15}-\frac{35\!\cdots\!21}{22\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!65}{32\!\cdots\!29}a^{13}+\frac{96\!\cdots\!94}{34\!\cdots\!49}a^{12}-\frac{85\!\cdots\!14}{22\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{28\!\cdots\!14}{22\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!63}{22\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{76\!\cdots\!50}{22\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{79\!\cdots\!82}{22\!\cdots\!03}a^{7}-\frac{28\!\cdots\!22}{22\!\cdots\!03}a^{6}+\frac{54\!\cdots\!29}{22\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{52\!\cdots\!43}{32\!\cdots\!29}a^{4}-\frac{20\!\cdots\!78}{22\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!73}{22\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{51\!\cdots\!39}{22\!\cdots\!03}a-\frac{25\!\cdots\!12}{22\!\cdots\!03}$

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$26$
Torsion generator:		\( -1 \)  (order $2$)
Fundamental units:		$\frac{21\!\cdots\!41}{22\!\cdots\!03}a^{26}-\frac{25\!\cdots\!01}{22\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!42}{22\!\cdots\!03}a^{24}+\frac{41\!\cdots\!30}{22\!\cdots\!03}a^{23}+\frac{23\!\cdots\!55}{22\!\cdots\!03}a^{22}+\frac{78\!\cdots\!64}{22\!\cdots\!03}a^{21}-\frac{26\!\cdots\!87}{22\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{24\!\cdots\!40}{22\!\cdots\!03}a^{19}+\frac{17\!\cdots\!95}{22\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{25\!\cdots\!02}{22\!\cdots\!03}a^{17}-\frac{69\!\cdots\!73}{22\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!56}{32\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!98}{22\!\cdots\!03}a^{14}+\frac{39\!\cdots\!43}{22\!\cdots\!03}a^{13}-\frac{21\!\cdots\!19}{22\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{66\!\cdots\!37}{22\!\cdots\!03}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!26}{22\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{60\!\cdots\!87}{22\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{53\!\cdots\!19}{22\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{31\!\cdots\!83}{22\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!55}{32\!\cdots\!29}a^{6}+\frac{93\!\cdots\!51}{22\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!34}{22\!\cdots\!03}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!97}{22\!\cdots\!03}a^{3}-\frac{40\!\cdots\!51}{22\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{59\!\cdots\!47}{22\!\cdots\!03}a+\frac{81\!\cdots\!39}{22\!\cdots\!03}$, $\frac{17\!\cdots\!38}{22\!\cdots\!03}a^{26}-\frac{50\!\cdots\!55}{22\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{90\!\cdots\!94}{22\!\cdots\!03}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!70}{22\!\cdots\!03}a^{23}+\frac{27\!\cdots\!95}{32\!\cdots\!29}a^{22}-\frac{38\!\cdots\!80}{32\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{21\!\cdots\!84}{22\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{19\!\cdots\!71}{22\!\cdots\!03}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!24}{22\!\cdots\!03}a^{18}-\frac{68\!\cdots\!01}{22\!\cdots\!03}a^{17}-\frac{85\!\cdots\!96}{32\!\cdots\!29}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!15}{22\!\cdots\!03}a^{15}+\frac{14\!\cdots\!48}{22\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!02}{60\!\cdots\!19}a^{13}-\frac{20\!\cdots\!28}{22\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{97\!\cdots\!84}{22\!\cdots\!03}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!77}{22\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{51\!\cdots\!03}{22\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{69\!\cdots\!27}{22\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{53\!\cdots\!36}{22\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{16\!\cdots\!36}{22\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{20\!\cdots\!82}{22\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{18\!\cdots\!64}{22\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{29\!\cdots\!46}{22\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{79\!\cdots\!39}{22\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!20}{22\!\cdots\!03}a-\frac{81\!\cdots\!73}{22\!\cdots\!03}$, $\frac{18\!\cdots\!82}{22\!\cdots\!03}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!65}{22\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{95\!\cdots\!81}{22\!\cdots\!03}a^{24}+\frac{80\!\cdots\!27}{22\!\cdots\!03}a^{23}+\frac{20\!\cdots\!11}{22\!\cdots\!03}a^{22}-\frac{15\!\cdots\!20}{22\!\cdots\!03}a^{21}-\frac{23\!\cdots\!55}{22\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!93}{22\!\cdots\!03}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!39}{22\!\cdots\!03}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!47}{22\!\cdots\!03}a^{17}-\frac{66\!\cdots\!07}{22\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{57\!\cdots\!83}{32\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!85}{22\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{93\!\cdots\!47}{22\!\cdots\!03}a^{13}-\frac{25\!\cdots\!04}{22\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!46}{22\!\cdots\!03}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!47}{22\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{95\!\cdots\!94}{22\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!00}{22\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{40\!\cdots\!17}{22\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{45\!\cdots\!50}{32\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{91\!\cdots\!90}{22\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{43\!\cdots\!14}{22\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{93\!\cdots\!96}{22\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{21\!\cdots\!35}{22\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{29\!\cdots\!95}{22\!\cdots\!03}a+\frac{22\!\cdots\!70}{22\!\cdots\!03}$, $\frac{50\!\cdots\!18}{22\!\cdots\!03}a^{26}-\frac{21\!\cdots\!84}{32\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{25\!\cdots\!37}{22\!\cdots\!03}a^{24}+\frac{56\!\cdots\!21}{22\!\cdots\!03}a^{23}+\frac{54\!\cdots\!68}{22\!\cdots\!03}a^{22}-\frac{83\!\cdots\!07}{22\!\cdots\!03}a^{21}-\frac{62\!\cdots\!25}{22\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{61\!\cdots\!49}{22\!\cdots\!03}a^{19}+\frac{42\!\cdots\!37}{22\!\cdots\!03}a^{18}-\frac{23\!\cdots\!69}{22\!\cdots\!03}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!36}{22\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{43\!\cdots\!77}{22\!\cdots\!03}a^{15}+\frac{41\!\cdots\!71}{22\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{29\!\cdots\!72}{22\!\cdots\!03}a^{13}-\frac{59\!\cdots\!52}{22\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!13}{32\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{47\!\cdots\!10}{22\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{80\!\cdots\!62}{22\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{21\!\cdots\!43}{22\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{95\!\cdots\!86}{22\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{50\!\cdots\!92}{22\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{37\!\cdots\!44}{22\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{57\!\cdots\!17}{22\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{55\!\cdots\!05}{22\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{95\!\cdots\!83}{87\!\cdots\!17}a^{2}-\frac{21\!\cdots\!41}{22\!\cdots\!03}a-\frac{25\!\cdots\!99}{32\!\cdots\!29}$, $\frac{13\!\cdots\!26}{22\!\cdots\!03}a^{26}-\frac{89\!\cdots\!18}{22\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{70\!\cdots\!62}{22\!\cdots\!03}a^{24}+\frac{39\!\cdots\!92}{22\!\cdots\!03}a^{23}+\frac{21\!\cdots\!93}{32\!\cdots\!29}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!23}{32\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{17\!\cdots\!13}{22\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{75\!\cdots\!83}{22\!\cdots\!03}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!41}{22\!\cdots\!03}a^{18}-\frac{45\!\cdots\!25}{22\!\cdots\!03}a^{17}-\frac{69\!\cdots\!71}{32\!\cdots\!29}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!11}{22\!\cdots\!03}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!25}{22\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{38\!\cdots\!44}{22\!\cdots\!03}a^{13}-\frac{18\!\cdots\!93}{22\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{52\!\cdots\!56}{22\!\cdots\!03}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!64}{22\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{41\!\cdots\!08}{22\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{75\!\cdots\!59}{22\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!99}{22\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{19\!\cdots\!93}{22\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{44\!\cdots\!83}{22\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{25\!\cdots\!38}{22\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{48\!\cdots\!05}{22\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!30}{22\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!16}{22\!\cdots\!03}a-\frac{81\!\cdots\!29}{22\!\cdots\!03}$, $\frac{34\!\cdots\!51}{22\!\cdots\!03}a^{26}-\frac{59\!\cdots\!69}{22\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{17\!\cdots\!33}{22\!\cdots\!03}a^{24}+\frac{16\!\cdots\!99}{22\!\cdots\!03}a^{23}+\frac{37\!\cdots\!62}{22\!\cdots\!03}a^{22}-\frac{94\!\cdots\!10}{22\!\cdots\!03}a^{21}-\frac{42\!\cdots\!25}{22\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!94}{22\!\cdots\!03}a^{19}+\frac{28\!\cdots\!01}{22\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{19\!\cdots\!54}{22\!\cdots\!03}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!66}{22\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!06}{32\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{28\!\cdots\!48}{22\!\cdots\!03}a^{14}+\frac{32\!\cdots\!29}{22\!\cdots\!03}a^{13}-\frac{39\!\cdots\!40}{22\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{45\!\cdots\!28}{22\!\cdots\!03}a^{11}+\frac{30\!\cdots\!20}{22\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{27\!\cdots\!59}{22\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!65}{22\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{59\!\cdots\!30}{22\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{42\!\cdots\!02}{32\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!12}{22\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{32\!\cdots\!45}{22\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!97}{22\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!18}{22\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!72}{22\!\cdots\!03}a-\frac{80\!\cdots\!00}{22\!\cdots\!03}$, $\frac{14\!\cdots\!36}{22\!\cdots\!03}a^{26}-\frac{51\!\cdots\!30}{22\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{75\!\cdots\!23}{22\!\cdots\!03}a^{24}-\frac{56\!\cdots\!61}{22\!\cdots\!03}a^{23}+\frac{16\!\cdots\!87}{22\!\cdots\!03}a^{22}+\frac{22\!\cdots\!61}{22\!\cdots\!03}a^{21}-\frac{18\!\cdots\!88}{22\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{35\!\cdots\!43}{22\!\cdots\!03}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!24}{22\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{28\!\cdots\!01}{22\!\cdots\!03}a^{17}-\frac{49\!\cdots\!20}{22\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!11}{22\!\cdots\!03}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!95}{22\!\cdots\!03}a^{14}+\frac{33\!\cdots\!99}{22\!\cdots\!03}a^{13}-\frac{16\!\cdots\!07}{22\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{46\!\cdots\!80}{22\!\cdots\!03}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!74}{22\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{46\!\cdots\!23}{32\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{53\!\cdots\!68}{22\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!98}{22\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!73}{22\!\cdots\!03}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!11}{22\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!24}{22\!\cdots\!03}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!07}{22\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{40\!\cdots\!20}{22\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{29\!\cdots\!01}{22\!\cdots\!03}a-\frac{15\!\cdots\!97}{22\!\cdots\!03}$, $\frac{59\!\cdots\!90}{22\!\cdots\!03}a^{26}-\frac{38\!\cdots\!98}{22\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{30\!\cdots\!51}{22\!\cdots\!03}a^{24}+\frac{17\!\cdots\!05}{22\!\cdots\!03}a^{23}+\frac{64\!\cdots\!92}{22\!\cdots\!03}a^{22}-\frac{31\!\cdots\!03}{22\!\cdots\!03}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!15}{32\!\cdots\!29}a^{20}+\frac{32\!\cdots\!50}{22\!\cdots\!03}a^{19}+\frac{50\!\cdots\!31}{22\!\cdots\!03}a^{18}-\frac{28\!\cdots\!30}{32\!\cdots\!29}a^{17}-\frac{20\!\cdots\!83}{22\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{73\!\cdots\!18}{22\!\cdots\!03}a^{15}+\frac{51\!\cdots\!69}{22\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!33}{22\!\cdots\!03}a^{13}-\frac{75\!\cdots\!36}{22\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!00}{22\!\cdots\!03}a^{11}+\frac{63\!\cdots\!92}{22\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!83}{22\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!89}{87\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!10}{32\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{81\!\cdots\!18}{22\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{27\!\cdots\!68}{32\!\cdots\!29}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!94}{32\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!70}{22\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{51\!\cdots\!78}{22\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{69\!\cdots\!29}{22\!\cdots\!03}a-\frac{30\!\cdots\!88}{22\!\cdots\!03}$, $\frac{80\!\cdots\!33}{22\!\cdots\!03}a^{26}-\frac{41\!\cdots\!89}{22\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{58\!\cdots\!98}{32\!\cdots\!29}a^{24}-\frac{15\!\cdots\!43}{32\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{86\!\cdots\!48}{22\!\cdots\!03}a^{22}+\frac{80\!\cdots\!31}{22\!\cdots\!03}a^{21}-\frac{98\!\cdots\!54}{22\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{20\!\cdots\!08}{32\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{66\!\cdots\!42}{22\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!37}{22\!\cdots\!03}a^{17}-\frac{26\!\cdots\!03}{22\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{58\!\cdots\!84}{22\!\cdots\!03}a^{15}+\frac{64\!\cdots\!84}{22\!\cdots\!03}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!85}{32\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!47}{32\!\cdots\!29}a^{12}-\frac{21\!\cdots\!96}{22\!\cdots\!03}a^{11}+\frac{69\!\cdots\!75}{22\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!11}{22\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{29\!\cdots\!43}{22\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{53\!\cdots\!02}{22\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{64\!\cdots\!88}{22\!\cdots\!03}a^{6}+\frac{81\!\cdots\!59}{22\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{66\!\cdots\!60}{22\!\cdots\!03}a^{4}-\frac{54\!\cdots\!91}{32\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{23\!\cdots\!46}{22\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!92}{22\!\cdots\!03}a-\frac{23\!\cdots\!82}{22\!\cdots\!03}$, $\frac{10\!\cdots\!74}{22\!\cdots\!03}a^{26}-\frac{91\!\cdots\!01}{22\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{55\!\cdots\!34}{22\!\cdots\!03}a^{24}+\frac{42\!\cdots\!27}{22\!\cdots\!03}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!79}{22\!\cdots\!03}a^{22}-\frac{81\!\cdots\!79}{22\!\cdots\!03}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!20}{22\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{85\!\cdots\!53}{22\!\cdots\!03}a^{19}+\frac{92\!\cdots\!63}{22\!\cdots\!03}a^{18}-\frac{53\!\cdots\!13}{22\!\cdots\!03}a^{17}-\frac{38\!\cdots\!29}{22\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{29\!\cdots\!00}{32\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{96\!\cdots\!49}{22\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!22}{60\!\cdots\!19}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!79}{22\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{64\!\cdots\!76}{22\!\cdots\!03}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!08}{22\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{49\!\cdots\!69}{22\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{63\!\cdots\!04}{22\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!30}{22\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{24\!\cdots\!86}{32\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{48\!\cdots\!06}{22\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{23\!\cdots\!48}{22\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{50\!\cdots\!69}{22\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!04}{22\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!83}{22\!\cdots\!03}a-\frac{12\!\cdots\!29}{22\!\cdots\!03}$, $\frac{19\!\cdots\!52}{32\!\cdots\!29}a^{26}-\frac{35\!\cdots\!85}{22\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{69\!\cdots\!42}{22\!\cdots\!03}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!85}{22\!\cdots\!03}a^{23}+\frac{14\!\cdots\!10}{22\!\cdots\!03}a^{22}-\frac{17\!\cdots\!19}{22\!\cdots\!03}a^{21}-\frac{16\!\cdots\!91}{22\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!70}{22\!\cdots\!03}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!52}{32\!\cdots\!29}a^{18}-\frac{22\!\cdots\!40}{22\!\cdots\!03}a^{17}-\frac{45\!\cdots\!60}{22\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{49\!\cdots\!17}{22\!\cdots\!03}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!00}{22\!\cdots\!03}a^{14}+\frac{34\!\cdots\!38}{22\!\cdots\!03}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!00}{22\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{60\!\cdots\!50}{22\!\cdots\!03}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!24}{32\!\cdots\!29}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!91}{22\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{49\!\cdots\!27}{22\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!77}{22\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{28\!\cdots\!89}{60\!\cdots\!19}a^{6}-\frac{43\!\cdots\!61}{22\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{27\!\cdots\!84}{60\!\cdots\!19}a^{4}+\frac{91\!\cdots\!78}{22\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{28\!\cdots\!62}{22\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{46\!\cdots\!47}{22\!\cdots\!03}a+\frac{44\!\cdots\!86}{22\!\cdots\!03}$, $\frac{71\!\cdots\!87}{22\!\cdots\!03}a^{26}-\frac{14\!\cdots\!99}{32\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{36\!\cdots\!41}{22\!\cdots\!03}a^{24}+\frac{49\!\cdots\!94}{22\!\cdots\!03}a^{23}+\frac{76\!\cdots\!19}{22\!\cdots\!03}a^{22}-\frac{99\!\cdots\!22}{22\!\cdots\!03}a^{21}-\frac{88\!\cdots\!26}{22\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!74}{22\!\cdots\!03}a^{19}+\frac{60\!\cdots\!52}{22\!\cdots\!03}a^{18}-\frac{70\!\cdots\!89}{22\!\cdots\!03}a^{17}-\frac{25\!\cdots\!28}{22\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{27\!\cdots\!18}{22\!\cdots\!03}a^{15}+\frac{65\!\cdots\!37}{22\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{64\!\cdots\!15}{22\!\cdots\!03}a^{13}-\frac{99\!\cdots\!12}{22\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!55}{32\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{89\!\cdots\!39}{22\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{67\!\cdots\!39}{22\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{45\!\cdots\!95}{22\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{27\!\cdots\!68}{22\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!01}{22\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{59\!\cdots\!34}{22\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{16\!\cdots\!89}{22\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{57\!\cdots\!97}{22\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!31}{32\!\cdots\!29}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!65}{22\!\cdots\!03}a-\frac{33\!\cdots\!21}{87\!\cdots\!17}$, $\frac{32\!\cdots\!33}{22\!\cdots\!03}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!27}{22\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{16\!\cdots\!39}{22\!\cdots\!03}a^{24}+\frac{56\!\cdots\!23}{22\!\cdots\!03}a^{23}+\frac{34\!\cdots\!30}{22\!\cdots\!03}a^{22}-\frac{96\!\cdots\!38}{22\!\cdots\!03}a^{21}-\frac{39\!\cdots\!55}{22\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{88\!\cdots\!59}{22\!\cdots\!03}a^{19}+\frac{26\!\cdots\!30}{22\!\cdots\!03}a^{18}-\frac{47\!\cdots\!40}{22\!\cdots\!03}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!66}{22\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!02}{22\!\cdots\!03}a^{15}+\frac{38\!\cdots\!35}{32\!\cdots\!29}a^{14}-\frac{33\!\cdots\!61}{22\!\cdots\!03}a^{13}-\frac{39\!\cdots\!78}{22\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{43\!\cdots\!71}{22\!\cdots\!03}a^{11}+\frac{32\!\cdots\!90}{22\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{37\!\cdots\!97}{22\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{40\!\cdots\!43}{60\!\cdots\!19}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!22}{22\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{37\!\cdots\!64}{22\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{52\!\cdots\!25}{22\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{46\!\cdots\!59}{22\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{63\!\cdots\!93}{22\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{22\!\cdots\!96}{22\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{34\!\cdots\!26}{32\!\cdots\!29}a-\frac{18\!\cdots\!94}{22\!\cdots\!03}$, $\frac{11\!\cdots\!20}{22\!\cdots\!03}a^{26}-\frac{18\!\cdots\!73}{22\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{57\!\cdots\!21}{22\!\cdots\!03}a^{24}+\frac{88\!\cdots\!68}{22\!\cdots\!03}a^{23}+\frac{12\!\cdots\!65}{22\!\cdots\!03}a^{22}-\frac{27\!\cdots\!88}{34\!\cdots\!49}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!05}{22\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{30\!\cdots\!11}{34\!\cdots\!49}a^{19}+\frac{99\!\cdots\!54}{22\!\cdots\!03}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!09}{22\!\cdots\!03}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!36}{60\!\cdots\!19}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!60}{60\!\cdots\!19}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!10}{22\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!87}{22\!\cdots\!03}a^{13}-\frac{18\!\cdots\!35}{22\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!84}{22\!\cdots\!03}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!22}{22\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!14}{32\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{97\!\cdots\!53}{22\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{50\!\cdots\!26}{22\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{28\!\cdots\!84}{22\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!50}{22\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{42\!\cdots\!62}{22\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!07}{22\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{84\!\cdots\!88}{60\!\cdots\!19}a^{2}-\frac{87\!\cdots\!72}{60\!\cdots\!19}a-\frac{11\!\cdots\!78}{22\!\cdots\!03}$, $\frac{86\!\cdots\!81}{87\!\cdots\!17}a^{26}-\frac{62\!\cdots\!99}{22\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!26}{22\!\cdots\!03}a^{24}+\frac{23\!\cdots\!64}{22\!\cdots\!03}a^{23}+\frac{24\!\cdots\!16}{22\!\cdots\!03}a^{22}-\frac{32\!\cdots\!95}{22\!\cdots\!03}a^{21}-\frac{27\!\cdots\!40}{22\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{22\!\cdots\!23}{22\!\cdots\!03}a^{19}+\frac{26\!\cdots\!03}{32\!\cdots\!29}a^{18}-\frac{72\!\cdots\!36}{22\!\cdots\!03}a^{17}-\frac{76\!\cdots\!69}{22\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{66\!\cdots\!22}{22\!\cdots\!03}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!06}{22\!\cdots\!03}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!66}{22\!\cdots\!03}a^{13}-\frac{26\!\cdots\!34}{22\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{40\!\cdots\!21}{22\!\cdots\!03}a^{11}+\frac{30\!\cdots\!72}{32\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!26}{22\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{96\!\cdots\!40}{22\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{28\!\cdots\!18}{22\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{23\!\cdots\!46}{22\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!69}{22\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{27\!\cdots\!73}{22\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{24\!\cdots\!31}{22\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!48}{22\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!63}{22\!\cdots\!03}a-\frac{17\!\cdots\!43}{22\!\cdots\!03}$, $\frac{22\!\cdots\!08}{32\!\cdots\!29}a^{26}-\frac{71\!\cdots\!97}{22\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{80\!\cdots\!85}{22\!\cdots\!03}a^{24}+\frac{35\!\cdots\!08}{22\!\cdots\!03}a^{23}+\frac{17\!\cdots\!57}{22\!\cdots\!03}a^{22}-\frac{74\!\cdots\!72}{22\!\cdots\!03}a^{21}-\frac{20\!\cdots\!89}{22\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{83\!\cdots\!48}{22\!\cdots\!03}a^{19}+\frac{21\!\cdots\!90}{32\!\cdots\!29}a^{18}-\frac{55\!\cdots\!12}{22\!\cdots\!03}a^{17}-\frac{70\!\cdots\!71}{22\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{22\!\cdots\!51}{22\!\cdots\!03}a^{15}+\frac{20\!\cdots\!21}{22\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{52\!\cdots\!58}{22\!\cdots\!03}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!93}{60\!\cdots\!19}a^{12}+\frac{72\!\cdots\!39}{22\!\cdots\!03}a^{11}+\frac{58\!\cdots\!78}{32\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{54\!\cdots\!19}{22\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{25\!\cdots\!11}{22\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{22\!\cdots\!89}{22\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{83\!\cdots\!96}{22\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{47\!\cdots\!14}{22\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!41}{22\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{44\!\cdots\!82}{22\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{22\!\cdots\!73}{60\!\cdots\!19}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!10}{22\!\cdots\!03}a-\frac{13\!\cdots\!07}{22\!\cdots\!03}$, $\frac{65\!\cdots\!23}{22\!\cdots\!03}a^{26}-\frac{29\!\cdots\!09}{22\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{47\!\cdots\!59}{32\!\cdots\!29}a^{24}+\frac{17\!\cdots\!03}{32\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{71\!\cdots\!62}{22\!\cdots\!03}a^{22}-\frac{21\!\cdots\!55}{22\!\cdots\!03}a^{21}-\frac{82\!\cdots\!11}{22\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{28\!\cdots\!35}{32\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{56\!\cdots\!36}{22\!\cdots\!03}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!82}{22\!\cdots\!03}a^{17}-\frac{23\!\cdots\!04}{22\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{36\!\cdots\!88}{22\!\cdots\!03}a^{15}+\frac{59\!\cdots\!43}{22\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{99\!\cdots\!01}{32\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!30}{32\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{75\!\cdots\!41}{22\!\cdots\!03}a^{11}+\frac{77\!\cdots\!74}{22\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{46\!\cdots\!17}{22\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{38\!\cdots\!13}{22\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!99}{22\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!60}{22\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{34\!\cdots\!77}{22\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!23}{22\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{54\!\cdots\!83}{32\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{69\!\cdots\!44}{22\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!38}{22\!\cdots\!03}a-\frac{95\!\cdots\!03}{22\!\cdots\!03}$, $\frac{88\!\cdots\!46}{22\!\cdots\!03}a^{26}+\frac{23\!\cdots\!81}{22\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{64\!\cdots\!63}{32\!\cdots\!29}a^{24}-\frac{21\!\cdots\!90}{32\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{94\!\cdots\!97}{22\!\cdots\!03}a^{22}+\frac{38\!\cdots\!99}{22\!\cdots\!03}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!19}{22\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{70\!\cdots\!27}{32\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{71\!\cdots\!00}{22\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{36\!\cdots\!65}{22\!\cdots\!03}a^{17}-\frac{28\!\cdots\!50}{22\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!04}{22\!\cdots\!03}a^{15}+\frac{65\!\cdots\!84}{22\!\cdots\!03}a^{14}+\frac{53\!\cdots\!99}{32\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!79}{32\!\cdots\!29}a^{12}-\frac{50\!\cdots\!46}{22\!\cdots\!03}a^{11}+\frac{55\!\cdots\!16}{22\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{34\!\cdots\!72}{22\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!23}{22\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!77}{22\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{20\!\cdots\!84}{22\!\cdots\!03}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!34}{22\!\cdots\!03}a^{5}+\frac{91\!\cdots\!70}{22\!\cdots\!03}a^{4}-\frac{16\!\cdots\!61}{32\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{24\!\cdots\!30}{22\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{89\!\cdots\!68}{22\!\cdots\!03}a+\frac{83\!\cdots\!29}{22\!\cdots\!03}$, $\frac{23\!\cdots\!28}{22\!\cdots\!03}a^{26}-\frac{74\!\cdots\!66}{22\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!76}{22\!\cdots\!03}a^{24}+\frac{28\!\cdots\!39}{22\!\cdots\!03}a^{23}+\frac{69\!\cdots\!15}{60\!\cdots\!19}a^{22}-\frac{43\!\cdots\!98}{22\!\cdots\!03}a^{21}-\frac{42\!\cdots\!79}{32\!\cdots\!29}a^{20}+\frac{33\!\cdots\!17}{22\!\cdots\!03}a^{19}+\frac{19\!\cdots\!48}{22\!\cdots\!03}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!95}{32\!\cdots\!29}a^{17}-\frac{81\!\cdots\!42}{22\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{33\!\cdots\!08}{22\!\cdots\!03}a^{15}+\frac{19\!\cdots\!59}{22\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{46\!\cdots\!68}{22\!\cdots\!03}a^{13}-\frac{28\!\cdots\!82}{22\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{49\!\cdots\!50}{22\!\cdots\!03}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!35}{22\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{75\!\cdots\!14}{22\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!96}{32\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{88\!\cdots\!45}{32\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{25\!\cdots\!25}{22\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{31\!\cdots\!15}{32\!\cdots\!29}a^{5}-\frac{44\!\cdots\!94}{32\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{79\!\cdots\!18}{60\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!89}{22\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!87}{22\!\cdots\!03}a-\frac{15\!\cdots\!96}{22\!\cdots\!03}$, $\frac{39\!\cdots\!97}{22\!\cdots\!03}a^{26}-\frac{80\!\cdots\!94}{22\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{20\!\cdots\!30}{22\!\cdots\!03}a^{24}+\frac{25\!\cdots\!30}{22\!\cdots\!03}a^{23}+\frac{42\!\cdots\!14}{22\!\cdots\!03}a^{22}-\frac{25\!\cdots\!54}{22\!\cdots\!03}a^{21}-\frac{48\!\cdots\!83}{22\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{38\!\cdots\!73}{22\!\cdots\!03}a^{19}+\frac{32\!\cdots\!84}{22\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!18}{22\!\cdots\!03}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!96}{22\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{83\!\cdots\!08}{22\!\cdots\!03}a^{15}+\frac{32\!\cdots\!86}{22\!\cdots\!03}a^{14}+\frac{25\!\cdots\!18}{22\!\cdots\!03}a^{13}-\frac{45\!\cdots\!45}{22\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{37\!\cdots\!55}{22\!\cdots\!03}a^{11}+\frac{36\!\cdots\!25}{22\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{32\!\cdots\!63}{32\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{16\!\cdots\!08}{22\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{41\!\cdots\!63}{22\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{38\!\cdots\!69}{22\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{58\!\cdots\!48}{22\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{43\!\cdots\!11}{22\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{21\!\cdots\!20}{22\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!03}{22\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!57}{22\!\cdots\!03}a-\frac{16\!\cdots\!70}{22\!\cdots\!03}$, $\frac{32\!\cdots\!82}{22\!\cdots\!03}a^{26}-\frac{14\!\cdots\!42}{22\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{23\!\cdots\!99}{32\!\cdots\!29}a^{24}-\frac{76\!\cdots\!40}{32\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{34\!\cdots\!56}{22\!\cdots\!03}a^{22}+\frac{34\!\cdots\!94}{22\!\cdots\!03}a^{21}-\frac{39\!\cdots\!71}{22\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{86\!\cdots\!87}{32\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{26\!\cdots\!13}{22\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{51\!\cdots\!38}{22\!\cdots\!03}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!48}{22\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{24\!\cdots\!73}{22\!\cdots\!03}a^{15}+\frac{26\!\cdots\!27}{22\!\cdots\!03}a^{14}+\frac{89\!\cdots\!27}{32\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{51\!\cdots\!25}{32\!\cdots\!29}a^{12}-\frac{89\!\cdots\!17}{22\!\cdots\!03}a^{11}+\frac{27\!\cdots\!33}{22\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{62\!\cdots\!17}{22\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!74}{22\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{21\!\cdots\!44}{22\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{25\!\cdots\!22}{22\!\cdots\!03}a^{6}+\frac{33\!\cdots\!27}{22\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!34}{22\!\cdots\!03}a^{4}-\frac{23\!\cdots\!85}{32\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{94\!\cdots\!93}{22\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{32\!\cdots\!78}{22\!\cdots\!03}a-\frac{32\!\cdots\!04}{22\!\cdots\!03}$, $\frac{74\!\cdots\!48}{22\!\cdots\!03}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!50}{32\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{37\!\cdots\!68}{22\!\cdots\!03}a^{24}+\frac{33\!\cdots\!62}{22\!\cdots\!03}a^{23}+\frac{80\!\cdots\!30}{22\!\cdots\!03}a^{22}-\frac{65\!\cdots\!65}{22\!\cdots\!03}a^{21}-\frac{92\!\cdots\!54}{22\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{70\!\cdots\!81}{22\!\cdots\!03}a^{19}+\frac{63\!\cdots\!83}{22\!\cdots\!03}a^{18}-\frac{44\!\cdots\!38}{22\!\cdots\!03}a^{17}-\frac{26\!\cdots\!82}{22\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{46\!\cdots\!80}{60\!\cdots\!19}a^{15}+\frac{67\!\cdots\!91}{22\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{40\!\cdots\!84}{22\!\cdots\!03}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!26}{22\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{78\!\cdots\!91}{32\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{90\!\cdots\!08}{22\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{42\!\cdots\!82}{22\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{46\!\cdots\!02}{22\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!01}{22\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!18}{22\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{40\!\cdots\!29}{22\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{17\!\cdots\!06}{22\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{42\!\cdots\!76}{22\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!72}{32\!\cdots\!29}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!06}{22\!\cdots\!03}a-\frac{18\!\cdots\!49}{32\!\cdots\!29}$, $\frac{15\!\cdots\!44}{22\!\cdots\!03}a^{26}-\frac{18\!\cdots\!86}{22\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!55}{32\!\cdots\!29}a^{24}+\frac{49\!\cdots\!34}{32\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{16\!\cdots\!38}{22\!\cdots\!03}a^{22}+\frac{36\!\cdots\!06}{22\!\cdots\!03}a^{21}-\frac{18\!\cdots\!11}{22\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{20\!\cdots\!03}{32\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!41}{22\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!72}{22\!\cdots\!03}a^{17}-\frac{51\!\cdots\!40}{22\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{79\!\cdots\!41}{22\!\cdots\!03}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!73}{22\!\cdots\!03}a^{14}+\frac{31\!\cdots\!31}{32\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{24\!\cdots\!07}{32\!\cdots\!29}a^{12}-\frac{33\!\cdots\!07}{22\!\cdots\!03}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!53}{22\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{24\!\cdots\!07}{22\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{58\!\cdots\!02}{22\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{88\!\cdots\!88}{22\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!34}{22\!\cdots\!03}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!13}{22\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!28}{22\!\cdots\!03}a^{4}-\frac{16\!\cdots\!29}{32\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{48\!\cdots\!65}{22\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!18}{22\!\cdots\!03}a-\frac{10\!\cdots\!56}{22\!\cdots\!03}$, $\frac{13\!\cdots\!28}{22\!\cdots\!03}a^{26}-\frac{38\!\cdots\!27}{22\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{67\!\cdots\!12}{22\!\cdots\!03}a^{24}-\frac{32\!\cdots\!39}{22\!\cdots\!03}a^{23}+\frac{20\!\cdots\!72}{32\!\cdots\!29}a^{22}+\frac{23\!\cdots\!40}{32\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{16\!\cdots\!43}{22\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{27\!\cdots\!04}{22\!\cdots\!03}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!41}{22\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!81}{22\!\cdots\!03}a^{17}-\frac{63\!\cdots\!83}{32\!\cdots\!29}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!24}{22\!\cdots\!03}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!29}{22\!\cdots\!03}a^{14}+\frac{26\!\cdots\!43}{22\!\cdots\!03}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!44}{22\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{36\!\cdots\!68}{22\!\cdots\!03}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!64}{22\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{24\!\cdots\!68}{22\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{50\!\cdots\!17}{22\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{72\!\cdots\!95}{22\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!59}{22\!\cdots\!03}a^{6}+\frac{65\!\cdots\!06}{22\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!19}{22\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{56\!\cdots\!51}{22\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{48\!\cdots\!65}{22\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{66\!\cdots\!17}{22\!\cdots\!03}a-\frac{19\!\cdots\!13}{22\!\cdots\!03}$, $\frac{89\!\cdots\!92}{22\!\cdots\!03}a^{26}-\frac{73\!\cdots\!36}{22\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{45\!\cdots\!53}{22\!\cdots\!03}a^{24}+\frac{34\!\cdots\!00}{22\!\cdots\!03}a^{23}+\frac{96\!\cdots\!68}{22\!\cdots\!03}a^{22}-\frac{65\!\cdots\!59}{22\!\cdots\!03}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!65}{22\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{68\!\cdots\!60}{22\!\cdots\!03}a^{19}+\frac{76\!\cdots\!24}{22\!\cdots\!03}a^{18}-\frac{42\!\cdots\!66}{22\!\cdots\!03}a^{17}-\frac{31\!\cdots\!22}{22\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{23\!\cdots\!17}{32\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{79\!\cdots\!64}{22\!\cdots\!03}a^{14}-\frac{37\!\cdots\!67}{22\!\cdots\!03}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!75}{22\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{51\!\cdots\!30}{22\!\cdots\!03}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!61}{22\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{40\!\cdots\!75}{22\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{51\!\cdots\!04}{22\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{17\!\cdots\!13}{22\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{20\!\cdots\!36}{32\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{39\!\cdots\!16}{22\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!34}{22\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{40\!\cdots\!73}{22\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!69}{22\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!88}{22\!\cdots\!03}a-\frac{14\!\cdots\!99}{22\!\cdots\!03}$, $\frac{15\!\cdots\!69}{22\!\cdots\!03}a^{26}-\frac{64\!\cdots\!28}{22\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!22}{32\!\cdots\!29}a^{24}-\frac{40\!\cdots\!87}{32\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{16\!\cdots\!59}{22\!\cdots\!03}a^{22}+\frac{17\!\cdots\!44}{22\!\cdots\!03}a^{21}-\frac{18\!\cdots\!30}{22\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{42\!\cdots\!92}{32\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!36}{22\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{25\!\cdots\!83}{22\!\cdots\!03}a^{17}-\frac{51\!\cdots\!54}{22\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!16}{22\!\cdots\!03}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!27}{22\!\cdots\!03}a^{14}+\frac{43\!\cdots\!98}{32\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{24\!\cdots\!09}{32\!\cdots\!29}a^{12}-\frac{42\!\cdots\!05}{22\!\cdots\!03}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!90}{22\!\cdots\!03}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!55}{22\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{55\!\cdots\!36}{22\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!78}{22\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!44}{22\!\cdots\!03}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!57}{22\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!53}{22\!\cdots\!03}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!78}{32\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{44\!\cdots\!14}{22\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{75\!\cdots\!70}{22\!\cdots\!03}a-\frac{11\!\cdots\!74}{22\!\cdots\!03}$ (assuming GRH)
Regulator:		\( 3059088874781005.5 \) (assuming GRH)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{27}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 3059088874781005.5 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{735278035529026786878794063569162978753987707441}}\cr\approx \mathstrut & 0.239412149281721 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$C_3\times C_9$ (as 27T2):

An abelian group of order 27

The 27 conjugacy class representatives for $C_3\times C_9$

Character table for $C_3\times C_9$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\zeta_{9})^+\), 3.3.361.1, 3.3.29241.1, 3.3.29241.2, 9.9.25002110044521.1, 9.9.9025761726072081.1, 9.9.9025761726072081.2, \(\Q(\zeta_{19})^+\)

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	${\href{/padicField/2.9.0.1}{9} }^{3}$	R	${\href{/padicField/5.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/7.3.0.1}{3} }^{9}$	${\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }^{9}$	${\href{/padicField/13.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/17.9.0.1}{9} }^{3}$	R	${\href{/padicField/23.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/29.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }^{9}$	${\href{/padicField/37.1.0.1}{1} }^{27}$	${\href{/padicField/41.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/43.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/47.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/53.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/59.9.0.1}{9} }^{3}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(3\)		Deg $27$	$3$	$9$	$36$
\(19\)	19.9.8.8	$x^{9} + 19$	$9$	$1$	$8$	$C_9$	$[\ ]_{9}$
	19.9.8.8	$x^{9} + 19$	$9$	$1$	$8$	$C_9$	$[\ ]_{9}$
	19.9.8.8	$x^{9} + 19$	$9$	$1$	$8$	$C_9$	$[\ ]_{9}$