Number field 27.27.550892378962365588304561118053988796799287710804809.1

• Label: 27.27.550...809.1
• Degree: $27$
• Signature: $[27, 0]$
• Discriminant: $5.509\times 10^{50}$
• Root discriminant: \(75.74\)
• Ramified primes: $13,19$
• Class number: $1$ (GRH)
• Class group: trivial (GRH)
• Galois group: $C_3\times C_9$ (as 27T2)

Normalized defining polynomial

x^27 - 6*x^26 - 47*x^25 + 302*x^24 + 943*x^23 - 6448*x^22 - 10567*x^21 + 76481*x^20 + 71695*x^19 - 556066*x^18 - 291044*x^17 + 2587104*x^16 + 603975*x^15 - 7811439*x^14 - 35156*x^13 + 15161145*x^12 - 2848142*x^11 - 18230502*x^10 + 6439289*x^9 + 12558384*x^8 - 6282221*x^7 - 4210683*x^6 + 2778704*x^5 + 421825*x^4 - 457387*x^3 + 20126*x^2 + 21522*x - 2699

Invariants

Degree:		$27$
Signature:		$[27, 0]$
Discriminant:		\(550892378962365588304561118053988796799287710804809\) \(\medspace = 13^{18}\cdot 19^{24}\)
Root discriminant:		\(75.74\)
Galois root discriminant:		$13^{2/3}19^{8/9}\approx 75.73537306555289$
Ramified primes:		\(13\), \(19\)
Discriminant root field:		\(\Q\)
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:		$27$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:		\(247=13\cdot 19\)
Dirichlet character group:		$\lbrace$$\chi_{247}(1,·)$, $\chi_{247}(66,·)$, $\chi_{247}(131,·)$, $\chi_{247}(196,·)$, $\chi_{247}(9,·)$, $\chi_{247}(74,·)$, $\chi_{247}(139,·)$, $\chi_{247}(16,·)$, $\chi_{247}(81,·)$, $\chi_{247}(87,·)$, $\chi_{247}(68,·)$, $\chi_{247}(92,·)$, $\chi_{247}(157,·)$, $\chi_{247}(159,·)$, $\chi_{247}(144,·)$, $\chi_{247}(35,·)$, $\chi_{247}(100,·)$, $\chi_{247}(42,·)$, $\chi_{247}(235,·)$, $\chi_{247}(172,·)$, $\chi_{247}(237,·)$, $\chi_{247}(178,·)$, $\chi_{247}(118,·)$, $\chi_{247}(55,·)$, $\chi_{247}(120,·)$, $\chi_{247}(61,·)$, $\chi_{247}(191,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $\frac{1}{51\!\cdots\!61}a^{26}-\frac{23\!\cdots\!70}{51\!\cdots\!61}a^{25}-\frac{17\!\cdots\!04}{51\!\cdots\!61}a^{24}-\frac{18\!\cdots\!87}{51\!\cdots\!61}a^{23}+\frac{33\!\cdots\!96}{51\!\cdots\!61}a^{22}+\frac{46\!\cdots\!41}{51\!\cdots\!61}a^{21}+\frac{61\!\cdots\!83}{51\!\cdots\!61}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!17}{51\!\cdots\!61}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!29}{51\!\cdots\!61}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!25}{51\!\cdots\!61}a^{17}+\frac{52\!\cdots\!28}{51\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{18\!\cdots\!81}{51\!\cdots\!61}a^{15}-\frac{98\!\cdots\!33}{51\!\cdots\!61}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!78}{51\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{18\!\cdots\!64}{51\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{97\!\cdots\!44}{51\!\cdots\!61}a^{11}+\frac{18\!\cdots\!51}{51\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{24\!\cdots\!73}{51\!\cdots\!61}a^{9}-\frac{79\!\cdots\!59}{51\!\cdots\!61}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!59}{51\!\cdots\!61}a^{7}-\frac{21\!\cdots\!13}{51\!\cdots\!61}a^{6}-\frac{20\!\cdots\!96}{51\!\cdots\!61}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!77}{51\!\cdots\!61}a^{4}-\frac{23\!\cdots\!58}{51\!\cdots\!61}a^{3}-\frac{21\!\cdots\!11}{51\!\cdots\!61}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!88}{51\!\cdots\!61}a+\frac{20\!\cdots\!83}{51\!\cdots\!61}$

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$26$
Torsion generator:		\( -1 \)  (order $2$)
Fundamental units:		$\frac{21\!\cdots\!64}{51\!\cdots\!61}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!45}{51\!\cdots\!61}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!27}{51\!\cdots\!61}a^{24}+\frac{59\!\cdots\!04}{51\!\cdots\!61}a^{23}+\frac{22\!\cdots\!15}{51\!\cdots\!61}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!46}{51\!\cdots\!61}a^{21}-\frac{27\!\cdots\!89}{51\!\cdots\!61}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!73}{51\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{21\!\cdots\!13}{51\!\cdots\!61}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!26}{51\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!35}{51\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{50\!\cdots\!63}{51\!\cdots\!61}a^{15}+\frac{35\!\cdots\!35}{51\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!89}{51\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{69\!\cdots\!89}{51\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{29\!\cdots\!35}{51\!\cdots\!61}a^{11}+\frac{72\!\cdots\!29}{51\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{35\!\cdots\!58}{51\!\cdots\!61}a^{9}-\frac{24\!\cdots\!68}{51\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{24\!\cdots\!00}{51\!\cdots\!61}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!64}{51\!\cdots\!61}a^{6}-\frac{93\!\cdots\!32}{51\!\cdots\!61}a^{5}+\frac{17\!\cdots\!86}{51\!\cdots\!61}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!98}{51\!\cdots\!61}a^{3}-\frac{32\!\cdots\!86}{51\!\cdots\!61}a^{2}-\frac{70\!\cdots\!14}{51\!\cdots\!61}a+\frac{16\!\cdots\!88}{51\!\cdots\!61}$, $\frac{65\!\cdots\!40}{51\!\cdots\!61}a^{26}-\frac{44\!\cdots\!55}{51\!\cdots\!61}a^{25}-\frac{28\!\cdots\!54}{51\!\cdots\!61}a^{24}+\frac{22\!\cdots\!40}{51\!\cdots\!61}a^{23}+\frac{49\!\cdots\!59}{51\!\cdots\!61}a^{22}-\frac{49\!\cdots\!54}{51\!\cdots\!61}a^{21}-\frac{43\!\cdots\!42}{51\!\cdots\!61}a^{20}+\frac{59\!\cdots\!65}{51\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{17\!\cdots\!72}{51\!\cdots\!61}a^{18}-\frac{44\!\cdots\!42}{51\!\cdots\!61}a^{17}+\frac{85\!\cdots\!79}{51\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{21\!\cdots\!39}{51\!\cdots\!61}a^{15}-\frac{46\!\cdots\!01}{51\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{68\!\cdots\!67}{51\!\cdots\!61}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!00}{51\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!91}{51\!\cdots\!61}a^{11}-\frac{60\!\cdots\!03}{51\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!63}{51\!\cdots\!61}a^{9}+\frac{87\!\cdots\!77}{51\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!82}{51\!\cdots\!61}a^{7}-\frac{70\!\cdots\!37}{51\!\cdots\!61}a^{6}-\frac{51\!\cdots\!31}{51\!\cdots\!61}a^{5}+\frac{28\!\cdots\!06}{51\!\cdots\!61}a^{4}+\frac{85\!\cdots\!01}{51\!\cdots\!61}a^{3}-\frac{43\!\cdots\!26}{51\!\cdots\!61}a^{2}-\frac{48\!\cdots\!54}{51\!\cdots\!61}a+\frac{17\!\cdots\!54}{51\!\cdots\!61}$, $\frac{88\!\cdots\!42}{51\!\cdots\!61}a^{26}-\frac{51\!\cdots\!70}{51\!\cdots\!61}a^{25}-\frac{42\!\cdots\!76}{51\!\cdots\!61}a^{24}+\frac{26\!\cdots\!47}{51\!\cdots\!61}a^{23}+\frac{88\!\cdots\!70}{51\!\cdots\!61}a^{22}-\frac{55\!\cdots\!58}{51\!\cdots\!61}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!33}{51\!\cdots\!61}a^{20}+\frac{66\!\cdots\!64}{51\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{74\!\cdots\!29}{51\!\cdots\!61}a^{18}-\frac{48\!\cdots\!68}{51\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{33\!\cdots\!81}{51\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{22\!\cdots\!74}{51\!\cdots\!61}a^{15}+\frac{91\!\cdots\!50}{51\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{67\!\cdots\!97}{51\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!43}{51\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!70}{51\!\cdots\!61}a^{11}-\frac{20\!\cdots\!13}{51\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!24}{51\!\cdots\!61}a^{9}+\frac{28\!\cdots\!80}{51\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!45}{51\!\cdots\!61}a^{7}-\frac{34\!\cdots\!02}{51\!\cdots\!61}a^{6}-\frac{44\!\cdots\!27}{51\!\cdots\!61}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!42}{51\!\cdots\!61}a^{4}+\frac{70\!\cdots\!89}{51\!\cdots\!61}a^{3}-\frac{28\!\cdots\!78}{51\!\cdots\!61}a^{2}-\frac{38\!\cdots\!61}{51\!\cdots\!61}a+\frac{12\!\cdots\!39}{51\!\cdots\!61}$, $\frac{65\!\cdots\!40}{51\!\cdots\!61}a^{26}-\frac{44\!\cdots\!55}{51\!\cdots\!61}a^{25}-\frac{28\!\cdots\!54}{51\!\cdots\!61}a^{24}+\frac{22\!\cdots\!40}{51\!\cdots\!61}a^{23}+\frac{49\!\cdots\!59}{51\!\cdots\!61}a^{22}-\frac{49\!\cdots\!54}{51\!\cdots\!61}a^{21}-\frac{43\!\cdots\!42}{51\!\cdots\!61}a^{20}+\frac{59\!\cdots\!65}{51\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{17\!\cdots\!72}{51\!\cdots\!61}a^{18}-\frac{44\!\cdots\!42}{51\!\cdots\!61}a^{17}+\frac{85\!\cdots\!79}{51\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{21\!\cdots\!39}{51\!\cdots\!61}a^{15}-\frac{46\!\cdots\!01}{51\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{68\!\cdots\!67}{51\!\cdots\!61}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!00}{51\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!91}{51\!\cdots\!61}a^{11}-\frac{60\!\cdots\!03}{51\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!63}{51\!\cdots\!61}a^{9}+\frac{87\!\cdots\!77}{51\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!82}{51\!\cdots\!61}a^{7}-\frac{70\!\cdots\!37}{51\!\cdots\!61}a^{6}-\frac{51\!\cdots\!31}{51\!\cdots\!61}a^{5}+\frac{28\!\cdots\!06}{51\!\cdots\!61}a^{4}+\frac{85\!\cdots\!01}{51\!\cdots\!61}a^{3}-\frac{43\!\cdots\!26}{51\!\cdots\!61}a^{2}-\frac{48\!\cdots\!54}{51\!\cdots\!61}a+\frac{18\!\cdots\!15}{51\!\cdots\!61}$, $\frac{34\!\cdots\!40}{51\!\cdots\!61}a^{26}-\frac{18\!\cdots\!13}{51\!\cdots\!61}a^{25}-\frac{17\!\cdots\!79}{51\!\cdots\!61}a^{24}+\frac{93\!\cdots\!51}{51\!\cdots\!61}a^{23}+\frac{38\!\cdots\!75}{51\!\cdots\!61}a^{22}-\frac{19\!\cdots\!40}{51\!\cdots\!61}a^{21}-\frac{49\!\cdots\!72}{51\!\cdots\!61}a^{20}+\frac{23\!\cdots\!79}{51\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{39\!\cdots\!66}{51\!\cdots\!61}a^{18}-\frac{16\!\cdots\!94}{51\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{20\!\cdots\!08}{51\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{75\!\cdots\!63}{51\!\cdots\!61}a^{15}+\frac{66\!\cdots\!21}{51\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!06}{51\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!17}{51\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{42\!\cdots\!35}{51\!\cdots\!61}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!07}{51\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{50\!\cdots\!17}{51\!\cdots\!61}a^{9}-\frac{72\!\cdots\!23}{51\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{35\!\cdots\!13}{51\!\cdots\!61}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!74}{51\!\cdots\!61}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!34}{51\!\cdots\!61}a^{5}+\frac{22\!\cdots\!14}{51\!\cdots\!61}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!54}{51\!\cdots\!61}a^{3}-\frac{46\!\cdots\!47}{51\!\cdots\!61}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!24}{51\!\cdots\!61}a+\frac{24\!\cdots\!79}{51\!\cdots\!61}$, $\frac{20\!\cdots\!06}{51\!\cdots\!61}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!75}{51\!\cdots\!61}a^{25}-\frac{95\!\cdots\!53}{51\!\cdots\!61}a^{24}+\frac{63\!\cdots\!51}{51\!\cdots\!61}a^{23}+\frac{19\!\cdots\!05}{51\!\cdots\!61}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!04}{51\!\cdots\!61}a^{21}-\frac{21\!\cdots\!56}{51\!\cdots\!61}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!57}{51\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!72}{51\!\cdots\!61}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!94}{51\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{59\!\cdots\!40}{51\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{56\!\cdots\!37}{51\!\cdots\!61}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!45}{51\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!26}{51\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{63\!\cdots\!36}{51\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{34\!\cdots\!05}{51\!\cdots\!61}a^{11}-\frac{42\!\cdots\!54}{51\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{42\!\cdots\!42}{51\!\cdots\!61}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!53}{51\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{30\!\cdots\!05}{51\!\cdots\!61}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!86}{51\!\cdots\!61}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!69}{51\!\cdots\!61}a^{5}+\frac{48\!\cdots\!69}{51\!\cdots\!61}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!77}{51\!\cdots\!61}a^{3}-\frac{78\!\cdots\!69}{51\!\cdots\!61}a^{2}-\frac{97\!\cdots\!25}{51\!\cdots\!61}a+\frac{32\!\cdots\!51}{51\!\cdots\!61}$, $\frac{21\!\cdots\!02}{51\!\cdots\!61}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!79}{51\!\cdots\!61}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!85}{51\!\cdots\!61}a^{24}+\frac{57\!\cdots\!68}{51\!\cdots\!61}a^{23}+\frac{24\!\cdots\!65}{51\!\cdots\!61}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!68}{51\!\cdots\!61}a^{21}-\frac{31\!\cdots\!85}{51\!\cdots\!61}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!83}{51\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{26\!\cdots\!95}{51\!\cdots\!61}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!62}{51\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!69}{51\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{45\!\cdots\!87}{51\!\cdots\!61}a^{15}+\frac{46\!\cdots\!41}{51\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!23}{51\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{96\!\cdots\!55}{51\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{25\!\cdots\!65}{51\!\cdots\!61}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!29}{51\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{30\!\cdots\!26}{51\!\cdots\!61}a^{9}-\frac{71\!\cdots\!48}{51\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!88}{51\!\cdots\!61}a^{7}+\frac{97\!\cdots\!84}{51\!\cdots\!61}a^{6}-\frac{77\!\cdots\!20}{51\!\cdots\!61}a^{5}+\frac{73\!\cdots\!41}{51\!\cdots\!61}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!98}{51\!\cdots\!61}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!55}{51\!\cdots\!61}a^{2}-\frac{57\!\cdots\!35}{51\!\cdots\!61}a+\frac{11\!\cdots\!92}{51\!\cdots\!61}$, $\frac{14\!\cdots\!16}{51\!\cdots\!61}a^{26}-\frac{73\!\cdots\!60}{51\!\cdots\!61}a^{25}-\frac{75\!\cdots\!18}{51\!\cdots\!61}a^{24}+\frac{36\!\cdots\!08}{51\!\cdots\!61}a^{23}+\frac{17\!\cdots\!22}{51\!\cdots\!61}a^{22}-\frac{76\!\cdots\!56}{51\!\cdots\!61}a^{21}-\frac{22\!\cdots\!13}{51\!\cdots\!61}a^{20}+\frac{88\!\cdots\!50}{51\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{18\!\cdots\!85}{51\!\cdots\!61}a^{18}-\frac{62\!\cdots\!93}{51\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!11}{51\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{27\!\cdots\!30}{51\!\cdots\!61}a^{15}+\frac{35\!\cdots\!24}{51\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{79\!\cdots\!94}{51\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{76\!\cdots\!12}{51\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!08}{51\!\cdots\!61}a^{11}+\frac{99\!\cdots\!00}{51\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!50}{51\!\cdots\!61}a^{9}-\frac{70\!\cdots\!99}{51\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!52}{51\!\cdots\!61}a^{7}+\frac{22\!\cdots\!77}{51\!\cdots\!61}a^{6}-\frac{44\!\cdots\!94}{51\!\cdots\!61}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!02}{51\!\cdots\!61}a^{4}+\frac{69\!\cdots\!23}{51\!\cdots\!61}a^{3}-\frac{25\!\cdots\!12}{51\!\cdots\!61}a^{2}-\frac{34\!\cdots\!22}{51\!\cdots\!61}a+\frac{26\!\cdots\!86}{51\!\cdots\!61}$, $\frac{21\!\cdots\!64}{51\!\cdots\!61}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!45}{51\!\cdots\!61}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!27}{51\!\cdots\!61}a^{24}+\frac{59\!\cdots\!04}{51\!\cdots\!61}a^{23}+\frac{22\!\cdots\!15}{51\!\cdots\!61}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!46}{51\!\cdots\!61}a^{21}-\frac{27\!\cdots\!89}{51\!\cdots\!61}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!73}{51\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{21\!\cdots\!13}{51\!\cdots\!61}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!26}{51\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!35}{51\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{50\!\cdots\!63}{51\!\cdots\!61}a^{15}+\frac{35\!\cdots\!35}{51\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!89}{51\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{69\!\cdots\!89}{51\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{29\!\cdots\!35}{51\!\cdots\!61}a^{11}+\frac{72\!\cdots\!29}{51\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{35\!\cdots\!58}{51\!\cdots\!61}a^{9}-\frac{24\!\cdots\!68}{51\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{24\!\cdots\!00}{51\!\cdots\!61}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!64}{51\!\cdots\!61}a^{6}-\frac{93\!\cdots\!32}{51\!\cdots\!61}a^{5}+\frac{17\!\cdots\!86}{51\!\cdots\!61}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!98}{51\!\cdots\!61}a^{3}-\frac{32\!\cdots\!86}{51\!\cdots\!61}a^{2}-\frac{70\!\cdots\!75}{51\!\cdots\!61}a+\frac{16\!\cdots\!27}{51\!\cdots\!61}$, $\frac{97\!\cdots\!26}{51\!\cdots\!61}a^{26}-\frac{59\!\cdots\!62}{51\!\cdots\!61}a^{25}-\frac{45\!\cdots\!33}{51\!\cdots\!61}a^{24}+\frac{30\!\cdots\!18}{51\!\cdots\!61}a^{23}+\frac{88\!\cdots\!22}{51\!\cdots\!61}a^{22}-\frac{64\!\cdots\!98}{51\!\cdots\!61}a^{21}-\frac{94\!\cdots\!09}{51\!\cdots\!61}a^{20}+\frac{76\!\cdots\!72}{51\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{58\!\cdots\!89}{51\!\cdots\!61}a^{18}-\frac{56\!\cdots\!30}{51\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{19\!\cdots\!70}{51\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{26\!\cdots\!32}{51\!\cdots\!61}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!20}{51\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{81\!\cdots\!46}{51\!\cdots\!61}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!01}{51\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!92}{51\!\cdots\!61}a^{11}-\frac{54\!\cdots\!14}{51\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{20\!\cdots\!93}{51\!\cdots\!61}a^{9}+\frac{93\!\cdots\!61}{51\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!22}{51\!\cdots\!61}a^{7}-\frac{81\!\cdots\!61}{51\!\cdots\!61}a^{6}-\frac{61\!\cdots\!23}{51\!\cdots\!61}a^{5}+\frac{33\!\cdots\!96}{51\!\cdots\!61}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!35}{51\!\cdots\!61}a^{3}-\frac{53\!\cdots\!95}{51\!\cdots\!61}a^{2}-\frac{61\!\cdots\!89}{51\!\cdots\!61}a+\frac{22\!\cdots\!09}{51\!\cdots\!61}$, $\frac{13\!\cdots\!05}{51\!\cdots\!61}a^{26}-\frac{76\!\cdots\!94}{51\!\cdots\!61}a^{25}-\frac{63\!\cdots\!95}{51\!\cdots\!61}a^{24}+\frac{38\!\cdots\!66}{51\!\cdots\!61}a^{23}+\frac{13\!\cdots\!00}{51\!\cdots\!61}a^{22}-\frac{82\!\cdots\!70}{51\!\cdots\!61}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!14}{51\!\cdots\!61}a^{20}+\frac{98\!\cdots\!16}{51\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!78}{51\!\cdots\!61}a^{18}-\frac{71\!\cdots\!55}{51\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{53\!\cdots\!59}{51\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{33\!\cdots\!92}{51\!\cdots\!61}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!31}{51\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!91}{51\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!05}{51\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!07}{51\!\cdots\!61}a^{11}+\frac{48\!\cdots\!09}{51\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{24\!\cdots\!00}{51\!\cdots\!61}a^{9}+\frac{32\!\cdots\!25}{51\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{17\!\cdots\!16}{51\!\cdots\!61}a^{7}-\frac{45\!\cdots\!45}{51\!\cdots\!61}a^{6}-\frac{66\!\cdots\!63}{51\!\cdots\!61}a^{5}+\frac{22\!\cdots\!29}{51\!\cdots\!61}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!18}{51\!\cdots\!61}a^{3}-\frac{38\!\cdots\!33}{51\!\cdots\!61}a^{2}-\frac{55\!\cdots\!97}{51\!\cdots\!61}a+\frac{16\!\cdots\!79}{51\!\cdots\!61}$, $\frac{52\!\cdots\!73}{51\!\cdots\!61}a^{26}-\frac{28\!\cdots\!13}{51\!\cdots\!61}a^{25}-\frac{26\!\cdots\!56}{51\!\cdots\!61}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!67}{51\!\cdots\!61}a^{23}+\frac{58\!\cdots\!67}{51\!\cdots\!61}a^{22}-\frac{30\!\cdots\!04}{51\!\cdots\!61}a^{21}-\frac{74\!\cdots\!39}{51\!\cdots\!61}a^{20}+\frac{35\!\cdots\!71}{51\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{60\!\cdots\!17}{51\!\cdots\!61}a^{18}-\frac{25\!\cdots\!26}{51\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{31\!\cdots\!12}{51\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!80}{51\!\cdots\!61}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!81}{51\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{34\!\cdots\!51}{51\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!44}{51\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{65\!\cdots\!26}{51\!\cdots\!61}a^{11}+\frac{27\!\cdots\!55}{51\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{77\!\cdots\!30}{51\!\cdots\!61}a^{9}-\frac{16\!\cdots\!16}{51\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{54\!\cdots\!48}{51\!\cdots\!61}a^{7}+\frac{25\!\cdots\!54}{51\!\cdots\!61}a^{6}-\frac{19\!\cdots\!75}{51\!\cdots\!61}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!88}{51\!\cdots\!61}a^{4}+\frac{29\!\cdots\!25}{51\!\cdots\!61}a^{3}-\frac{42\!\cdots\!38}{51\!\cdots\!61}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!32}{51\!\cdots\!61}a+\frac{23\!\cdots\!29}{51\!\cdots\!61}$, $\frac{23\!\cdots\!96}{51\!\cdots\!61}a^{26}-\frac{14\!\cdots\!21}{51\!\cdots\!61}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!98}{51\!\cdots\!61}a^{24}+\frac{73\!\cdots\!70}{51\!\cdots\!61}a^{23}+\frac{20\!\cdots\!96}{51\!\cdots\!61}a^{22}-\frac{15\!\cdots\!10}{51\!\cdots\!61}a^{21}-\frac{22\!\cdots\!58}{51\!\cdots\!61}a^{20}+\frac{19\!\cdots\!06}{51\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!23}{51\!\cdots\!61}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!42}{51\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{54\!\cdots\!75}{51\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{67\!\cdots\!11}{51\!\cdots\!61}a^{15}+\frac{94\!\cdots\!04}{51\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{20\!\cdots\!22}{51\!\cdots\!61}a^{13}+\frac{75\!\cdots\!15}{51\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{41\!\cdots\!53}{51\!\cdots\!61}a^{11}-\frac{72\!\cdots\!48}{51\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{50\!\cdots\!46}{51\!\cdots\!61}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!16}{51\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{37\!\cdots\!36}{51\!\cdots\!61}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!71}{51\!\cdots\!61}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!79}{51\!\cdots\!61}a^{5}+\frac{59\!\cdots\!44}{51\!\cdots\!61}a^{4}+\frac{22\!\cdots\!94}{51\!\cdots\!61}a^{3}-\frac{96\!\cdots\!59}{51\!\cdots\!61}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!56}{51\!\cdots\!61}a+\frac{42\!\cdots\!08}{51\!\cdots\!61}$, $\frac{16\!\cdots\!18}{51\!\cdots\!61}a^{26}-\frac{92\!\cdots\!80}{51\!\cdots\!61}a^{25}-\frac{80\!\cdots\!02}{51\!\cdots\!61}a^{24}+\frac{46\!\cdots\!67}{51\!\cdots\!61}a^{23}+\frac{16\!\cdots\!12}{51\!\cdots\!61}a^{22}-\frac{98\!\cdots\!99}{51\!\cdots\!61}a^{21}-\frac{20\!\cdots\!86}{51\!\cdots\!61}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!96}{51\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!65}{51\!\cdots\!61}a^{18}-\frac{83\!\cdots\!24}{51\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{72\!\cdots\!64}{51\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{38\!\cdots\!80}{51\!\cdots\!61}a^{15}+\frac{20\!\cdots\!56}{51\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!17}{51\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{31\!\cdots\!06}{51\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!70}{51\!\cdots\!61}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!34}{51\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{27\!\cdots\!30}{51\!\cdots\!61}a^{9}+\frac{37\!\cdots\!76}{51\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!31}{51\!\cdots\!61}a^{7}-\frac{54\!\cdots\!54}{51\!\cdots\!61}a^{6}-\frac{74\!\cdots\!99}{51\!\cdots\!61}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!00}{51\!\cdots\!61}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!27}{51\!\cdots\!61}a^{3}-\frac{45\!\cdots\!09}{51\!\cdots\!61}a^{2}-\frac{61\!\cdots\!97}{51\!\cdots\!61}a+\frac{20\!\cdots\!79}{51\!\cdots\!61}$, $\frac{13\!\cdots\!49}{51\!\cdots\!61}a^{26}-\frac{78\!\cdots\!25}{51\!\cdots\!61}a^{25}-\frac{65\!\cdots\!01}{51\!\cdots\!61}a^{24}+\frac{39\!\cdots\!92}{51\!\cdots\!61}a^{23}+\frac{13\!\cdots\!87}{51\!\cdots\!61}a^{22}-\frac{85\!\cdots\!84}{51\!\cdots\!61}a^{21}-\frac{16\!\cdots\!69}{51\!\cdots\!61}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!93}{51\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!68}{51\!\cdots\!61}a^{18}-\frac{73\!\cdots\!71}{51\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{54\!\cdots\!38}{51\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{34\!\cdots\!74}{51\!\cdots\!61}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!40}{51\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!03}{51\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{21\!\cdots\!45}{51\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!09}{51\!\cdots\!61}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!50}{51\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{25\!\cdots\!34}{51\!\cdots\!61}a^{9}+\frac{36\!\cdots\!50}{51\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!99}{51\!\cdots\!61}a^{7}-\frac{48\!\cdots\!03}{51\!\cdots\!61}a^{6}-\frac{69\!\cdots\!09}{51\!\cdots\!61}a^{5}+\frac{23\!\cdots\!16}{51\!\cdots\!61}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!05}{51\!\cdots\!61}a^{3}-\frac{40\!\cdots\!41}{51\!\cdots\!61}a^{2}-\frac{61\!\cdots\!87}{51\!\cdots\!61}a+\frac{18\!\cdots\!82}{51\!\cdots\!61}$, $\frac{20\!\cdots\!81}{51\!\cdots\!61}a^{26}-\frac{96\!\cdots\!44}{51\!\cdots\!61}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!42}{51\!\cdots\!61}a^{24}+\frac{48\!\cdots\!33}{51\!\cdots\!61}a^{23}+\frac{27\!\cdots\!90}{51\!\cdots\!61}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!11}{51\!\cdots\!61}a^{21}-\frac{37\!\cdots\!35}{51\!\cdots\!61}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!68}{51\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{33\!\cdots\!68}{51\!\cdots\!61}a^{18}-\frac{78\!\cdots\!96}{51\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!30}{51\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{33\!\cdots\!61}{51\!\cdots\!61}a^{15}+\frac{69\!\cdots\!17}{51\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{92\!\cdots\!67}{51\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{16\!\cdots\!02}{51\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!25}{51\!\cdots\!61}a^{11}+\frac{24\!\cdots\!72}{51\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!70}{51\!\cdots\!61}a^{9}-\frac{22\!\cdots\!16}{51\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!85}{51\!\cdots\!61}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!97}{51\!\cdots\!61}a^{6}-\frac{39\!\cdots\!56}{51\!\cdots\!61}a^{5}-\frac{31\!\cdots\!63}{51\!\cdots\!61}a^{4}+\frac{55\!\cdots\!28}{51\!\cdots\!61}a^{3}+\frac{40\!\cdots\!22}{51\!\cdots\!61}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!53}{51\!\cdots\!61}a-\frac{13\!\cdots\!16}{51\!\cdots\!61}$, $\frac{11\!\cdots\!27}{51\!\cdots\!61}a^{26}-\frac{57\!\cdots\!78}{51\!\cdots\!61}a^{25}-\frac{57\!\cdots\!51}{51\!\cdots\!61}a^{24}+\frac{28\!\cdots\!32}{51\!\cdots\!61}a^{23}+\frac{13\!\cdots\!22}{51\!\cdots\!61}a^{22}-\frac{60\!\cdots\!73}{51\!\cdots\!61}a^{21}-\frac{17\!\cdots\!22}{51\!\cdots\!61}a^{20}+\frac{70\!\cdots\!61}{51\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!14}{51\!\cdots\!61}a^{18}-\frac{49\!\cdots\!10}{51\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{74\!\cdots\!84}{51\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{21\!\cdots\!67}{51\!\cdots\!61}a^{15}+\frac{25\!\cdots\!09}{51\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{62\!\cdots\!02}{51\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{55\!\cdots\!29}{51\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!58}{51\!\cdots\!61}a^{11}+\frac{71\!\cdots\!63}{51\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!62}{51\!\cdots\!61}a^{9}-\frac{49\!\cdots\!07}{51\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{89\!\cdots\!18}{51\!\cdots\!61}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!63}{51\!\cdots\!61}a^{6}-\frac{32\!\cdots\!34}{51\!\cdots\!61}a^{5}-\frac{58\!\cdots\!03}{51\!\cdots\!61}a^{4}+\frac{48\!\cdots\!23}{51\!\cdots\!61}a^{3}-\frac{24\!\cdots\!10}{51\!\cdots\!61}a^{2}-\frac{20\!\cdots\!46}{51\!\cdots\!61}a+\frac{22\!\cdots\!82}{51\!\cdots\!61}$, $\frac{13\!\cdots\!66}{51\!\cdots\!61}a^{26}-\frac{80\!\cdots\!81}{51\!\cdots\!61}a^{25}-\frac{63\!\cdots\!82}{51\!\cdots\!61}a^{24}+\frac{40\!\cdots\!70}{51\!\cdots\!61}a^{23}+\frac{12\!\cdots\!10}{51\!\cdots\!61}a^{22}-\frac{84\!\cdots\!62}{51\!\cdots\!61}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!34}{51\!\cdots\!61}a^{20}+\frac{99\!\cdots\!10}{51\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{88\!\cdots\!42}{51\!\cdots\!61}a^{18}-\frac{71\!\cdots\!97}{51\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{30\!\cdots\!73}{51\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!85}{51\!\cdots\!61}a^{15}+\frac{24\!\cdots\!95}{51\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{98\!\cdots\!05}{51\!\cdots\!61}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!81}{51\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!75}{51\!\cdots\!61}a^{11}-\frac{85\!\cdots\!51}{51\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{23\!\cdots\!38}{51\!\cdots\!61}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!68}{51\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{17\!\cdots\!32}{51\!\cdots\!61}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!42}{51\!\cdots\!61}a^{6}-\frac{63\!\cdots\!49}{51\!\cdots\!61}a^{5}+\frac{53\!\cdots\!50}{51\!\cdots\!61}a^{4}+\frac{95\!\cdots\!25}{51\!\cdots\!61}a^{3}-\frac{82\!\cdots\!92}{51\!\cdots\!61}a^{2}-\frac{53\!\cdots\!34}{51\!\cdots\!61}a+\frac{30\!\cdots\!11}{51\!\cdots\!61}$, $\frac{64\!\cdots\!91}{51\!\cdots\!61}a^{26}-\frac{32\!\cdots\!20}{51\!\cdots\!61}a^{25}-\frac{33\!\cdots\!28}{51\!\cdots\!61}a^{24}+\frac{16\!\cdots\!44}{51\!\cdots\!61}a^{23}+\frac{78\!\cdots\!69}{51\!\cdots\!61}a^{22}-\frac{33\!\cdots\!07}{51\!\cdots\!61}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!29}{51\!\cdots\!61}a^{20}+\frac{39\!\cdots\!40}{51\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{88\!\cdots\!02}{51\!\cdots\!61}a^{18}-\frac{27\!\cdots\!30}{51\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{48\!\cdots\!62}{51\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!85}{51\!\cdots\!61}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!80}{51\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{34\!\cdots\!95}{51\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{38\!\cdots\!12}{51\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{63\!\cdots\!30}{51\!\cdots\!61}a^{11}+\frac{53\!\cdots\!23}{51\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{72\!\cdots\!85}{51\!\cdots\!61}a^{9}-\frac{41\!\cdots\!10}{51\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{48\!\cdots\!39}{51\!\cdots\!61}a^{7}+\frac{16\!\cdots\!49}{51\!\cdots\!61}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!56}{51\!\cdots\!61}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!02}{51\!\cdots\!61}a^{4}+\frac{25\!\cdots\!88}{51\!\cdots\!61}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!63}{51\!\cdots\!61}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!62}{51\!\cdots\!61}a+\frac{44\!\cdots\!15}{51\!\cdots\!61}$, $\frac{44\!\cdots\!92}{51\!\cdots\!61}a^{26}-\frac{22\!\cdots\!96}{51\!\cdots\!61}a^{25}-\frac{23\!\cdots\!45}{51\!\cdots\!61}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!74}{51\!\cdots\!61}a^{23}+\frac{53\!\cdots\!13}{51\!\cdots\!61}a^{22}-\frac{24\!\cdots\!77}{51\!\cdots\!61}a^{21}-\frac{70\!\cdots\!33}{51\!\cdots\!61}a^{20}+\frac{28\!\cdots\!88}{51\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{59\!\cdots\!31}{51\!\cdots\!61}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!62}{51\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{32\!\cdots\!77}{51\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{92\!\cdots\!23}{51\!\cdots\!61}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!53}{51\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{27\!\cdots\!36}{51\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{25\!\cdots\!21}{51\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{51\!\cdots\!23}{51\!\cdots\!61}a^{11}+\frac{35\!\cdots\!30}{51\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{61\!\cdots\!77}{51\!\cdots\!61}a^{9}-\frac{27\!\cdots\!54}{51\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{43\!\cdots\!55}{51\!\cdots\!61}a^{7}+\frac{95\!\cdots\!41}{51\!\cdots\!61}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!84}{51\!\cdots\!61}a^{5}-\frac{63\!\cdots\!95}{51\!\cdots\!61}a^{4}+\frac{27\!\cdots\!67}{51\!\cdots\!61}a^{3}-\frac{21\!\cdots\!04}{51\!\cdots\!61}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!72}{51\!\cdots\!61}a+\frac{19\!\cdots\!81}{51\!\cdots\!61}$, $\frac{93\!\cdots\!55}{51\!\cdots\!61}a^{26}-\frac{53\!\cdots\!39}{51\!\cdots\!61}a^{25}-\frac{45\!\cdots\!54}{51\!\cdots\!61}a^{24}+\frac{26\!\cdots\!22}{51\!\cdots\!61}a^{23}+\frac{95\!\cdots\!16}{51\!\cdots\!61}a^{22}-\frac{57\!\cdots\!18}{51\!\cdots\!61}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!95}{51\!\cdots\!61}a^{20}+\frac{68\!\cdots\!89}{51\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{85\!\cdots\!10}{51\!\cdots\!61}a^{18}-\frac{49\!\cdots\!68}{51\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{40\!\cdots\!43}{51\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{23\!\cdots\!91}{51\!\cdots\!61}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!48}{51\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{69\!\cdots\!25}{51\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{18\!\cdots\!78}{51\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!04}{51\!\cdots\!61}a^{11}+\frac{92\!\cdots\!10}{51\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!93}{51\!\cdots\!61}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!10}{51\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!45}{51\!\cdots\!61}a^{7}-\frac{27\!\cdots\!21}{51\!\cdots\!61}a^{6}-\frac{45\!\cdots\!62}{51\!\cdots\!61}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!84}{51\!\cdots\!61}a^{4}+\frac{73\!\cdots\!86}{51\!\cdots\!61}a^{3}-\frac{24\!\cdots\!44}{51\!\cdots\!61}a^{2}-\frac{38\!\cdots\!36}{51\!\cdots\!61}a+\frac{11\!\cdots\!67}{51\!\cdots\!61}$, $\frac{18\!\cdots\!49}{51\!\cdots\!61}a^{26}-\frac{97\!\cdots\!75}{51\!\cdots\!61}a^{25}-\frac{94\!\cdots\!87}{51\!\cdots\!61}a^{24}+\frac{48\!\cdots\!14}{51\!\cdots\!61}a^{23}+\frac{21\!\cdots\!00}{51\!\cdots\!61}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!88}{51\!\cdots\!61}a^{21}-\frac{27\!\cdots\!24}{51\!\cdots\!61}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!64}{51\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{22\!\cdots\!33}{51\!\cdots\!61}a^{18}-\frac{85\!\cdots\!81}{51\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!45}{51\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{38\!\cdots\!05}{51\!\cdots\!61}a^{15}+\frac{40\!\cdots\!98}{51\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!82}{51\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{87\!\cdots\!86}{51\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{21\!\cdots\!79}{51\!\cdots\!61}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!59}{51\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{25\!\cdots\!14}{51\!\cdots\!61}a^{9}-\frac{77\!\cdots\!58}{51\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!28}{51\!\cdots\!61}a^{7}+\frac{21\!\cdots\!07}{51\!\cdots\!61}a^{6}-\frac{68\!\cdots\!48}{51\!\cdots\!61}a^{5}+\frac{83\!\cdots\!47}{51\!\cdots\!61}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!36}{51\!\cdots\!61}a^{3}-\frac{78\!\cdots\!90}{51\!\cdots\!61}a^{2}-\frac{48\!\cdots\!80}{51\!\cdots\!61}a+\frac{55\!\cdots\!64}{51\!\cdots\!61}$, $\frac{33\!\cdots\!97}{51\!\cdots\!61}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!32}{51\!\cdots\!61}a^{25}-\frac{17\!\cdots\!46}{51\!\cdots\!61}a^{24}+\frac{89\!\cdots\!72}{51\!\cdots\!61}a^{23}+\frac{38\!\cdots\!65}{51\!\cdots\!61}a^{22}-\frac{19\!\cdots\!00}{51\!\cdots\!61}a^{21}-\frac{49\!\cdots\!38}{51\!\cdots\!61}a^{20}+\frac{22\!\cdots\!21}{51\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{40\!\cdots\!33}{51\!\cdots\!61}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!85}{51\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{21\!\cdots\!64}{51\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{71\!\cdots\!16}{51\!\cdots\!61}a^{15}+\frac{71\!\cdots\!51}{51\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{21\!\cdots\!84}{51\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!34}{51\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{39\!\cdots\!39}{51\!\cdots\!61}a^{11}+\frac{18\!\cdots\!51}{51\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{47\!\cdots\!92}{51\!\cdots\!61}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!84}{51\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{32\!\cdots\!95}{51\!\cdots\!61}a^{7}+\frac{22\!\cdots\!30}{51\!\cdots\!61}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!95}{51\!\cdots\!61}a^{5}+\frac{73\!\cdots\!76}{51\!\cdots\!61}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!66}{51\!\cdots\!61}a^{3}-\frac{21\!\cdots\!16}{51\!\cdots\!61}a^{2}-\frac{80\!\cdots\!77}{51\!\cdots\!61}a+\frac{11\!\cdots\!15}{51\!\cdots\!61}$, $\frac{13\!\cdots\!67}{51\!\cdots\!61}a^{26}-\frac{98\!\cdots\!53}{51\!\cdots\!61}a^{25}-\frac{58\!\cdots\!17}{51\!\cdots\!61}a^{24}+\frac{49\!\cdots\!35}{51\!\cdots\!61}a^{23}+\frac{94\!\cdots\!14}{51\!\cdots\!61}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!05}{51\!\cdots\!61}a^{21}-\frac{67\!\cdots\!82}{51\!\cdots\!61}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!69}{51\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{57\!\cdots\!35}{51\!\cdots\!61}a^{18}-\frac{97\!\cdots\!95}{51\!\cdots\!61}a^{17}+\frac{27\!\cdots\!81}{51\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{47\!\cdots\!75}{51\!\cdots\!61}a^{15}-\frac{22\!\cdots\!89}{51\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!75}{51\!\cdots\!61}a^{13}+\frac{89\!\cdots\!46}{51\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{30\!\cdots\!57}{51\!\cdots\!61}a^{11}-\frac{20\!\cdots\!90}{51\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{40\!\cdots\!55}{51\!\cdots\!61}a^{9}+\frac{28\!\cdots\!91}{51\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{30\!\cdots\!06}{51\!\cdots\!61}a^{7}-\frac{21\!\cdots\!15}{51\!\cdots\!61}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!15}{51\!\cdots\!61}a^{5}+\frac{84\!\cdots\!10}{51\!\cdots\!61}a^{4}+\frac{21\!\cdots\!55}{51\!\cdots\!61}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!69}{51\!\cdots\!61}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!77}{51\!\cdots\!61}a+\frac{54\!\cdots\!25}{51\!\cdots\!61}$, $\frac{12\!\cdots\!55}{51\!\cdots\!61}a^{26}-\frac{51\!\cdots\!14}{51\!\cdots\!61}a^{25}-\frac{73\!\cdots\!37}{51\!\cdots\!61}a^{24}+\frac{25\!\cdots\!57}{51\!\cdots\!61}a^{23}+\frac{18\!\cdots\!69}{51\!\cdots\!61}a^{22}-\frac{51\!\cdots\!48}{51\!\cdots\!61}a^{21}-\frac{26\!\cdots\!62}{51\!\cdots\!61}a^{20}+\frac{56\!\cdots\!34}{51\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{24\!\cdots\!33}{51\!\cdots\!61}a^{18}-\frac{35\!\cdots\!62}{51\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!71}{51\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!61}{51\!\cdots\!61}a^{15}+\frac{53\!\cdots\!35}{51\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{32\!\cdots\!22}{51\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!63}{51\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{44\!\cdots\!80}{51\!\cdots\!61}a^{11}+\frac{19\!\cdots\!74}{51\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{32\!\cdots\!66}{51\!\cdots\!61}a^{9}-\frac{18\!\cdots\!03}{51\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{96\!\cdots\!69}{51\!\cdots\!61}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!18}{51\!\cdots\!61}a^{6}+\frac{16\!\cdots\!66}{51\!\cdots\!61}a^{5}-\frac{30\!\cdots\!91}{51\!\cdots\!61}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!83}{51\!\cdots\!61}a^{3}+\frac{41\!\cdots\!87}{51\!\cdots\!61}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!77}{51\!\cdots\!61}a-\frac{16\!\cdots\!66}{51\!\cdots\!61}$, $\frac{22\!\cdots\!48}{51\!\cdots\!61}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!84}{51\!\cdots\!61}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!44}{51\!\cdots\!61}a^{24}+\frac{61\!\cdots\!52}{51\!\cdots\!61}a^{23}+\frac{25\!\cdots\!89}{51\!\cdots\!61}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!58}{51\!\cdots\!61}a^{21}-\frac{32\!\cdots\!98}{51\!\cdots\!61}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!11}{51\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{26\!\cdots\!65}{51\!\cdots\!61}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!88}{51\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!01}{51\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{49\!\cdots\!97}{51\!\cdots\!61}a^{15}+\frac{44\!\cdots\!11}{51\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!35}{51\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{90\!\cdots\!83}{51\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{27\!\cdots\!02}{51\!\cdots\!61}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!64}{51\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{32\!\cdots\!72}{51\!\cdots\!61}a^{9}-\frac{49\!\cdots\!57}{51\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{22\!\cdots\!34}{51\!\cdots\!61}a^{7}-\frac{76\!\cdots\!91}{51\!\cdots\!61}a^{6}-\frac{80\!\cdots\!96}{51\!\cdots\!61}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!96}{51\!\cdots\!61}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!66}{51\!\cdots\!61}a^{3}-\frac{29\!\cdots\!95}{51\!\cdots\!61}a^{2}-\frac{58\!\cdots\!53}{51\!\cdots\!61}a+\frac{13\!\cdots\!44}{51\!\cdots\!61}$ (assuming GRH)
Regulator:		\( 43333147066107930 \) (assuming GRH)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{27}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 43333147066107930 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{550892378962365588304561118053988796799287710804809}}\cr\approx \mathstrut & 0.123898696079419 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$C_3\times C_9$ (as 27T2):

An abelian group of order 27

The 27 conjugacy class representatives for $C_3\times C_9$

Character table for $C_3\times C_9$

Intermediate fields

3.3.169.1, 3.3.361.1, 3.3.61009.2, 3.3.61009.1, 9.9.227081481823729.1, 9.9.81976414938366169.2, 9.9.81976414938366169.1, \(\Q(\zeta_{19})^+\)

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	${\href{/padicField/2.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/3.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/5.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/7.3.0.1}{3} }^{9}$	${\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }^{9}$	R	${\href{/padicField/17.9.0.1}{9} }^{3}$	R	${\href{/padicField/23.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/29.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }^{9}$	${\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }^{9}$	${\href{/padicField/41.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/43.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/47.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/53.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/59.9.0.1}{9} }^{3}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(13\)		Deg $27$	$3$	$9$	$18$
\(19\)		Deg $27$	$9$	$3$	$24$