Properties

Label 27.27.503...521.1
Degree $27$
Signature $[27, 0]$
Discriminant $5.032\times 10^{46}$
Root discriminant \(53.67\)
Ramified primes $3,7$
Class number $1$ (GRH)
Class group trivial (GRH)
Galois group $C_3\times C_9$ (as 27T2)

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Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 45*x^25 + 837*x^23 - 8430*x^21 + 50652*x^19 - 193*x^18 - 188811*x^17 + 2934*x^16 + 441720*x^15 - 15822*x^14 - 646731*x^13 + 37506*x^12 + 585063*x^11 - 42453*x^10 - 319331*x^9 + 24462*x^8 + 99963*x^7 - 7245*x^6 - 16119*x^5 + 1080*x^4 + 1059*x^3 - 81*x^2 - 18*x + 1)
 
gp: K = bnfinit(y^27 - 45*y^25 + 837*y^23 - 8430*y^21 + 50652*y^19 - 193*y^18 - 188811*y^17 + 2934*y^16 + 441720*y^15 - 15822*y^14 - 646731*y^13 + 37506*y^12 + 585063*y^11 - 42453*y^10 - 319331*y^9 + 24462*y^8 + 99963*y^7 - 7245*y^6 - 16119*y^5 + 1080*y^4 + 1059*y^3 - 81*y^2 - 18*y + 1, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^27 - 45*x^25 + 837*x^23 - 8430*x^21 + 50652*x^19 - 193*x^18 - 188811*x^17 + 2934*x^16 + 441720*x^15 - 15822*x^14 - 646731*x^13 + 37506*x^12 + 585063*x^11 - 42453*x^10 - 319331*x^9 + 24462*x^8 + 99963*x^7 - 7245*x^6 - 16119*x^5 + 1080*x^4 + 1059*x^3 - 81*x^2 - 18*x + 1);
 
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^27 - 45*x^25 + 837*x^23 - 8430*x^21 + 50652*x^19 - 193*x^18 - 188811*x^17 + 2934*x^16 + 441720*x^15 - 15822*x^14 - 646731*x^13 + 37506*x^12 + 585063*x^11 - 42453*x^10 - 319331*x^9 + 24462*x^8 + 99963*x^7 - 7245*x^6 - 16119*x^5 + 1080*x^4 + 1059*x^3 - 81*x^2 - 18*x + 1)
 

\( x^{27} - 45 x^{25} + 837 x^{23} - 8430 x^{21} + 50652 x^{19} - 193 x^{18} - 188811 x^{17} + 2934 x^{16} + 441720 x^{15} - 15822 x^{14} - 646731 x^{13} + 37506 x^{12} + 585063 x^{11} + \cdots + 1 \) Copy content Toggle raw display

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 
oscar: defining_polynomial(K)
 

Invariants

Degree:  $27$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
oscar: degree(K)
 
Signature:  $[27, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
oscar: signature(K)
 
Discriminant:   \(50323116815004832630295337440131512593194174521\) \(\medspace = 3^{66}\cdot 7^{18}\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
 
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
 
Root discriminant:  \(53.67\)
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
 
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
 
Galois root discriminant:  $3^{22/9}7^{2/3}\approx 53.665489341339345$
Ramified primes:   \(3\), \(7\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
 
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
 
Discriminant root field:  \(\Q\)
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:  $27$
sage: K.automorphisms()
 
magma: Automorphisms(K);
 
oscar: automorphisms(K)
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(189=3^{3}\cdot 7\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{189}(64,·)$, $\chi_{189}(1,·)$, $\chi_{189}(130,·)$, $\chi_{189}(67,·)$, $\chi_{189}(4,·)$, $\chi_{189}(142,·)$, $\chi_{189}(79,·)$, $\chi_{189}(16,·)$, $\chi_{189}(148,·)$, $\chi_{189}(85,·)$, $\chi_{189}(22,·)$, $\chi_{189}(151,·)$, $\chi_{189}(88,·)$, $\chi_{189}(25,·)$, $\chi_{189}(163,·)$, $\chi_{189}(100,·)$, $\chi_{189}(37,·)$, $\chi_{189}(169,·)$, $\chi_{189}(106,·)$, $\chi_{189}(43,·)$, $\chi_{189}(172,·)$, $\chi_{189}(109,·)$, $\chi_{189}(46,·)$, $\chi_{189}(184,·)$, $\chi_{189}(121,·)$, $\chi_{189}(58,·)$, $\chi_{189}(127,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $\frac{1}{65\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{31\!\cdots\!22}{65\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{25\!\cdots\!34}{65\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{27\!\cdots\!72}{65\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{14\!\cdots\!66}{65\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{16\!\cdots\!09}{65\!\cdots\!97}a^{21}+\frac{19\!\cdots\!54}{65\!\cdots\!97}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!75}{65\!\cdots\!97}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!49}{65\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{27\!\cdots\!50}{65\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!16}{65\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{59\!\cdots\!82}{65\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{23\!\cdots\!11}{65\!\cdots\!97}a^{14}-\frac{26\!\cdots\!88}{65\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!94}{65\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!32}{65\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{21\!\cdots\!73}{65\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{25\!\cdots\!16}{65\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{30\!\cdots\!72}{65\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!18}{65\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{23\!\cdots\!97}{65\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{32\!\cdots\!16}{65\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{30\!\cdots\!05}{65\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{30\!\cdots\!40}{65\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{17\!\cdots\!85}{65\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{63\!\cdots\!27}{65\!\cdots\!97}a+\frac{30\!\cdots\!11}{65\!\cdots\!97}$ Copy content Toggle raw display

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 
oscar: basis(OK)
 

Monogenic:  Not computed
Index:  $1$
Inessential primes:  None

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 
oscar: class_group(K)
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
 
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
 
Rank:  $26$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
oscar: rank(UK)
 
Torsion generator:   \( -1 \)  (order $2$) Copy content Toggle raw display
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
oscar: torsion_units_generator(OK)
 
Fundamental units:   $\frac{13\!\cdots\!77}{65\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{33\!\cdots\!00}{65\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{58\!\cdots\!66}{65\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{14\!\cdots\!11}{65\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!83}{65\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{27\!\cdots\!81}{65\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!09}{65\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{27\!\cdots\!00}{65\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{63\!\cdots\!40}{65\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!46}{65\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{23\!\cdots\!17}{65\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{54\!\cdots\!29}{65\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{52\!\cdots\!30}{65\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!23}{65\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{73\!\cdots\!08}{65\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!81}{65\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{63\!\cdots\!50}{65\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!86}{65\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{32\!\cdots\!80}{65\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{62\!\cdots\!75}{65\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{92\!\cdots\!63}{65\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!40}{65\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!81}{65\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{31\!\cdots\!27}{65\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{65\!\cdots\!79}{65\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!52}{65\!\cdots\!97}a-\frac{53\!\cdots\!85}{65\!\cdots\!97}$, $\frac{13\!\cdots\!77}{65\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{33\!\cdots\!00}{65\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{58\!\cdots\!66}{65\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{14\!\cdots\!11}{65\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!83}{65\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{27\!\cdots\!81}{65\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!09}{65\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{27\!\cdots\!00}{65\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{63\!\cdots\!40}{65\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!46}{65\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{23\!\cdots\!17}{65\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{54\!\cdots\!29}{65\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{52\!\cdots\!30}{65\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!23}{65\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{73\!\cdots\!08}{65\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!81}{65\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{63\!\cdots\!50}{65\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!86}{65\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{32\!\cdots\!80}{65\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{62\!\cdots\!75}{65\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{92\!\cdots\!63}{65\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!40}{65\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!81}{65\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{31\!\cdots\!27}{65\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{65\!\cdots\!79}{65\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!52}{65\!\cdots\!97}a-\frac{11\!\cdots\!82}{65\!\cdots\!97}$, $\frac{13\!\cdots\!28}{52\!\cdots\!71}a^{26}-\frac{58\!\cdots\!68}{52\!\cdots\!71}a^{25}-\frac{60\!\cdots\!99}{52\!\cdots\!71}a^{24}+\frac{24\!\cdots\!98}{52\!\cdots\!71}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!97}{52\!\cdots\!71}a^{22}-\frac{41\!\cdots\!84}{52\!\cdots\!71}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!38}{52\!\cdots\!71}a^{20}+\frac{36\!\cdots\!48}{52\!\cdots\!71}a^{19}+\frac{68\!\cdots\!02}{52\!\cdots\!71}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!70}{52\!\cdots\!71}a^{17}-\frac{25\!\cdots\!96}{52\!\cdots\!71}a^{16}+\frac{76\!\cdots\!47}{52\!\cdots\!71}a^{15}+\frac{58\!\cdots\!48}{52\!\cdots\!71}a^{14}-\frac{21\!\cdots\!00}{52\!\cdots\!71}a^{13}-\frac{85\!\cdots\!20}{52\!\cdots\!71}a^{12}+\frac{32\!\cdots\!12}{52\!\cdots\!71}a^{11}+\frac{75\!\cdots\!27}{52\!\cdots\!71}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!90}{52\!\cdots\!71}a^{9}-\frac{40\!\cdots\!23}{52\!\cdots\!71}a^{8}-\frac{85\!\cdots\!50}{52\!\cdots\!71}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!33}{52\!\cdots\!71}a^{6}+\frac{46\!\cdots\!00}{52\!\cdots\!71}a^{5}-\frac{16\!\cdots\!68}{52\!\cdots\!71}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!25}{52\!\cdots\!71}a^{3}+\frac{62\!\cdots\!99}{52\!\cdots\!71}a^{2}+\frac{44\!\cdots\!80}{52\!\cdots\!71}a+\frac{62\!\cdots\!16}{52\!\cdots\!71}$, $\frac{69\!\cdots\!17}{52\!\cdots\!71}a^{26}-\frac{23\!\cdots\!34}{52\!\cdots\!71}a^{25}-\frac{31\!\cdots\!20}{52\!\cdots\!71}a^{24}+\frac{91\!\cdots\!40}{52\!\cdots\!71}a^{23}+\frac{57\!\cdots\!93}{52\!\cdots\!71}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!73}{52\!\cdots\!71}a^{21}-\frac{57\!\cdots\!15}{52\!\cdots\!71}a^{20}+\frac{87\!\cdots\!97}{52\!\cdots\!71}a^{19}+\frac{34\!\cdots\!49}{52\!\cdots\!71}a^{18}-\frac{25\!\cdots\!62}{52\!\cdots\!71}a^{17}-\frac{12\!\cdots\!06}{52\!\cdots\!71}a^{16}+\frac{42\!\cdots\!51}{52\!\cdots\!71}a^{15}+\frac{29\!\cdots\!62}{52\!\cdots\!71}a^{14}-\frac{46\!\cdots\!97}{52\!\cdots\!71}a^{13}-\frac{41\!\cdots\!91}{52\!\cdots\!71}a^{12}-\frac{28\!\cdots\!49}{52\!\cdots\!71}a^{11}+\frac{35\!\cdots\!74}{52\!\cdots\!71}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!30}{52\!\cdots\!71}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!54}{52\!\cdots\!71}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!97}{52\!\cdots\!71}a^{7}+\frac{50\!\cdots\!91}{52\!\cdots\!71}a^{6}+\frac{77\!\cdots\!10}{52\!\cdots\!71}a^{5}-\frac{71\!\cdots\!56}{52\!\cdots\!71}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!52}{52\!\cdots\!71}a^{3}+\frac{34\!\cdots\!97}{52\!\cdots\!71}a^{2}+\frac{39\!\cdots\!75}{52\!\cdots\!71}a-\frac{45\!\cdots\!94}{52\!\cdots\!71}$, $\frac{93\!\cdots\!05}{65\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{36\!\cdots\!86}{65\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{41\!\cdots\!73}{65\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{16\!\cdots\!07}{65\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{77\!\cdots\!70}{65\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{30\!\cdots\!16}{65\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{77\!\cdots\!18}{65\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{31\!\cdots\!35}{65\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{46\!\cdots\!93}{65\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!30}{65\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!11}{65\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{68\!\cdots\!71}{65\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{39\!\cdots\!45}{65\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!54}{65\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{56\!\cdots\!12}{65\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{21\!\cdots\!34}{65\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{49\!\cdots\!57}{65\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!38}{65\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{26\!\cdots\!77}{65\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{92\!\cdots\!47}{65\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{78\!\cdots\!81}{65\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{25\!\cdots\!05}{65\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!45}{65\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{29\!\cdots\!22}{65\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{55\!\cdots\!19}{65\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{70\!\cdots\!94}{65\!\cdots\!97}a+\frac{31\!\cdots\!71}{65\!\cdots\!97}$, $\frac{32\!\cdots\!06}{65\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{70\!\cdots\!72}{65\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!10}{65\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{31\!\cdots\!87}{65\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{26\!\cdots\!26}{65\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{58\!\cdots\!59}{65\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{26\!\cdots\!08}{65\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{57\!\cdots\!24}{65\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!42}{65\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{33\!\cdots\!32}{65\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{58\!\cdots\!01}{65\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!09}{65\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!48}{65\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!20}{65\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{19\!\cdots\!75}{65\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{26\!\cdots\!03}{65\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!46}{65\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{19\!\cdots\!98}{65\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{85\!\cdots\!28}{65\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{88\!\cdots\!59}{65\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{24\!\cdots\!82}{65\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{24\!\cdots\!59}{65\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{32\!\cdots\!18}{65\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{34\!\cdots\!77}{65\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!35}{65\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!71}{65\!\cdots\!97}a+\frac{38\!\cdots\!61}{65\!\cdots\!97}$, $\frac{34\!\cdots\!14}{65\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{28\!\cdots\!75}{65\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{15\!\cdots\!61}{65\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!22}{65\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{28\!\cdots\!97}{65\!\cdots\!97}a^{22}-\frac{22\!\cdots\!73}{65\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{28\!\cdots\!92}{65\!\cdots\!97}a^{20}+\frac{21\!\cdots\!06}{65\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{17\!\cdots\!11}{65\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!27}{65\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{64\!\cdots\!25}{65\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{42\!\cdots\!80}{65\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{14\!\cdots\!63}{65\!\cdots\!97}a^{14}-\frac{90\!\cdots\!31}{65\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{21\!\cdots\!87}{65\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!59}{65\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!98}{65\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{76\!\cdots\!11}{65\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{88\!\cdots\!83}{65\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{25\!\cdots\!92}{65\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{23\!\cdots\!71}{65\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{25\!\cdots\!02}{65\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{31\!\cdots\!43}{65\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{25\!\cdots\!77}{65\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!71}{65\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!23}{65\!\cdots\!97}a-\frac{16\!\cdots\!27}{65\!\cdots\!97}$, $\frac{10\!\cdots\!35}{65\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{47\!\cdots\!12}{65\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{47\!\cdots\!38}{65\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{21\!\cdots\!56}{65\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{88\!\cdots\!31}{65\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{39\!\cdots\!28}{65\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{89\!\cdots\!46}{65\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{40\!\cdots\!51}{65\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{54\!\cdots\!41}{65\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{23\!\cdots\!54}{65\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{20\!\cdots\!80}{65\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{87\!\cdots\!39}{65\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{50\!\cdots\!59}{65\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!24}{65\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{76\!\cdots\!59}{65\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{26\!\cdots\!07}{65\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{72\!\cdots\!78}{65\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{22\!\cdots\!30}{65\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{41\!\cdots\!32}{65\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!84}{65\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!94}{65\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{33\!\cdots\!24}{65\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{20\!\cdots\!97}{65\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{43\!\cdots\!18}{65\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{97\!\cdots\!59}{65\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!53}{65\!\cdots\!97}a+\frac{13\!\cdots\!12}{65\!\cdots\!97}$, $\frac{32\!\cdots\!01}{65\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!42}{65\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!38}{65\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{44\!\cdots\!48}{65\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{28\!\cdots\!57}{65\!\cdots\!97}a^{22}-\frac{74\!\cdots\!28}{65\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{29\!\cdots\!03}{65\!\cdots\!97}a^{20}+\frac{62\!\cdots\!43}{65\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{19\!\cdots\!57}{65\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{27\!\cdots\!28}{65\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{76\!\cdots\!66}{65\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{57\!\cdots\!91}{65\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{19\!\cdots\!05}{65\!\cdots\!97}a^{14}-\frac{46\!\cdots\!65}{65\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{31\!\cdots\!13}{65\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!29}{65\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{31\!\cdots\!08}{65\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{45\!\cdots\!06}{65\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{18\!\cdots\!12}{65\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{39\!\cdots\!00}{65\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{61\!\cdots\!65}{65\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!04}{65\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{97\!\cdots\!74}{65\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{25\!\cdots\!10}{65\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{51\!\cdots\!17}{65\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{65\!\cdots\!63}{65\!\cdots\!97}a-\frac{81\!\cdots\!74}{65\!\cdots\!97}$, $\frac{23\!\cdots\!51}{65\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{87\!\cdots\!27}{65\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!78}{65\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{39\!\cdots\!61}{65\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{18\!\cdots\!45}{65\!\cdots\!97}a^{22}-\frac{74\!\cdots\!56}{65\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{17\!\cdots\!48}{65\!\cdots\!97}a^{20}+\frac{75\!\cdots\!27}{65\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{96\!\cdots\!20}{65\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{46\!\cdots\!11}{65\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{31\!\cdots\!98}{65\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{18\!\cdots\!17}{65\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{58\!\cdots\!67}{65\!\cdots\!97}a^{14}-\frac{44\!\cdots\!51}{65\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{56\!\cdots\!49}{65\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{65\!\cdots\!01}{65\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!31}{65\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{54\!\cdots\!53}{65\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!40}{65\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{24\!\cdots\!17}{65\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!38}{65\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{56\!\cdots\!59}{65\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{23\!\cdots\!58}{65\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{57\!\cdots\!21}{65\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!18}{65\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!73}{65\!\cdots\!97}a-\frac{12\!\cdots\!66}{65\!\cdots\!97}$, $\frac{17\!\cdots\!59}{65\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!30}{65\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{80\!\cdots\!29}{65\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{52\!\cdots\!65}{65\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{14\!\cdots\!34}{65\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!61}{65\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!58}{65\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!28}{65\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{90\!\cdots\!52}{65\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{81\!\cdots\!61}{65\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{33\!\cdots\!25}{65\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{32\!\cdots\!63}{65\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{77\!\cdots\!12}{65\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{80\!\cdots\!16}{65\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!59}{65\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!93}{65\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{99\!\cdots\!44}{65\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!94}{65\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{52\!\cdots\!37}{65\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!97}{65\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!80}{65\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{43\!\cdots\!58}{65\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{21\!\cdots\!02}{65\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{74\!\cdots\!32}{65\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{50\!\cdots\!85}{65\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{27\!\cdots\!61}{65\!\cdots\!97}a+\frac{18\!\cdots\!00}{65\!\cdots\!97}$, $\frac{79\!\cdots\!95}{65\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{35\!\cdots\!08}{65\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{36\!\cdots\!55}{65\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{15\!\cdots\!06}{65\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{68\!\cdots\!15}{65\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{30\!\cdots\!83}{65\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{70\!\cdots\!54}{65\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{30\!\cdots\!89}{65\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{43\!\cdots\!45}{65\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!50}{65\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{16\!\cdots\!62}{65\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{69\!\cdots\!60}{65\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{41\!\cdots\!74}{65\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!72}{65\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{65\!\cdots\!30}{65\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!81}{65\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{63\!\cdots\!07}{65\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{19\!\cdots\!88}{65\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{37\!\cdots\!20}{65\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!95}{65\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!01}{65\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{29\!\cdots\!04}{65\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!11}{65\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{40\!\cdots\!93}{65\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{90\!\cdots\!02}{65\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!60}{65\!\cdots\!97}a-\frac{56\!\cdots\!73}{65\!\cdots\!97}$, $\frac{38\!\cdots\!92}{65\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{23\!\cdots\!86}{65\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{17\!\cdots\!99}{65\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{10\!\cdots\!45}{65\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{31\!\cdots\!13}{65\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{20\!\cdots\!82}{65\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{31\!\cdots\!80}{65\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{21\!\cdots\!85}{65\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{19\!\cdots\!97}{65\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!22}{65\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{70\!\cdots\!31}{65\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{44\!\cdots\!43}{65\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!00}{65\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{86\!\cdots\!44}{65\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{23\!\cdots\!85}{65\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!40}{65\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{20\!\cdots\!57}{65\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!66}{65\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!19}{65\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{82\!\cdots\!04}{65\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{30\!\cdots\!31}{65\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{35\!\cdots\!10}{65\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{42\!\cdots\!49}{65\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{64\!\cdots\!66}{65\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!51}{65\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{24\!\cdots\!37}{65\!\cdots\!97}a-\frac{32\!\cdots\!31}{65\!\cdots\!97}$, $\frac{37\!\cdots\!19}{65\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{40\!\cdots\!76}{65\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{17\!\cdots\!27}{65\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{17\!\cdots\!97}{65\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{32\!\cdots\!96}{65\!\cdots\!97}a^{22}-\frac{32\!\cdots\!69}{65\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{33\!\cdots\!57}{65\!\cdots\!97}a^{20}+\frac{31\!\cdots\!36}{65\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{21\!\cdots\!74}{65\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!36}{65\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{82\!\cdots\!55}{65\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{64\!\cdots\!58}{65\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{20\!\cdots\!06}{65\!\cdots\!97}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!23}{65\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{31\!\cdots\!32}{65\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!65}{65\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{30\!\cdots\!39}{65\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!16}{65\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!81}{65\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{61\!\cdots\!25}{65\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{55\!\cdots\!68}{65\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!40}{65\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{77\!\cdots\!95}{65\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!52}{65\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!14}{65\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{81\!\cdots\!92}{65\!\cdots\!97}a+\frac{13\!\cdots\!97}{65\!\cdots\!97}$, $\frac{41\!\cdots\!60}{65\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{95\!\cdots\!73}{65\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{18\!\cdots\!07}{65\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{42\!\cdots\!18}{65\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{34\!\cdots\!19}{65\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{79\!\cdots\!38}{65\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{34\!\cdots\!58}{65\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{79\!\cdots\!00}{65\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{20\!\cdots\!63}{65\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{47\!\cdots\!65}{65\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{75\!\cdots\!50}{65\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!90}{65\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!62}{65\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{34\!\cdots\!95}{65\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{25\!\cdots\!37}{65\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{44\!\cdots\!39}{65\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{22\!\cdots\!98}{65\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{35\!\cdots\!38}{65\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!65}{65\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!14}{65\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{35\!\cdots\!99}{65\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{51\!\cdots\!42}{65\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{51\!\cdots\!83}{65\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{68\!\cdots\!11}{65\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{25\!\cdots\!96}{65\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!57}{65\!\cdots\!97}a-\frac{32\!\cdots\!43}{65\!\cdots\!97}$, $\frac{45\!\cdots\!83}{65\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!72}{65\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{20\!\cdots\!76}{65\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{46\!\cdots\!98}{65\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{37\!\cdots\!09}{65\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{85\!\cdots\!40}{65\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{37\!\cdots\!17}{65\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{84\!\cdots\!24}{65\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{22\!\cdots\!82}{65\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{49\!\cdots\!78}{65\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{81\!\cdots\!18}{65\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!38}{65\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!78}{65\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{33\!\cdots\!43}{65\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{26\!\cdots\!83}{65\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{40\!\cdots\!84}{65\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{22\!\cdots\!96}{65\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!84}{65\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!08}{65\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!34}{65\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{33\!\cdots\!45}{65\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{44\!\cdots\!99}{65\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{45\!\cdots\!99}{65\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{65\!\cdots\!04}{65\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!14}{65\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!23}{65\!\cdots\!97}a-\frac{15\!\cdots\!24}{65\!\cdots\!97}$, $\frac{48\!\cdots\!33}{65\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!86}{65\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{21\!\cdots\!00}{65\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{47\!\cdots\!48}{65\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{40\!\cdots\!47}{65\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{86\!\cdots\!56}{65\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{40\!\cdots\!91}{65\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{86\!\cdots\!16}{65\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{24\!\cdots\!52}{65\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{50\!\cdots\!32}{65\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{90\!\cdots\!25}{65\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!16}{65\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{21\!\cdots\!68}{65\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{34\!\cdots\!89}{65\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{30\!\cdots\!43}{65\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{41\!\cdots\!28}{65\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{27\!\cdots\!06}{65\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!65}{65\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!76}{65\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!68}{65\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{43\!\cdots\!75}{65\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{36\!\cdots\!15}{65\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{61\!\cdots\!33}{65\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{47\!\cdots\!60}{65\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{27\!\cdots\!51}{65\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!55}{65\!\cdots\!97}a-\frac{79\!\cdots\!05}{65\!\cdots\!97}$, $\frac{13\!\cdots\!21}{65\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{56\!\cdots\!41}{65\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{61\!\cdots\!15}{65\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{23\!\cdots\!65}{65\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!68}{65\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{40\!\cdots\!21}{65\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!43}{65\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{36\!\cdots\!92}{65\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{72\!\cdots\!27}{65\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{17\!\cdots\!27}{65\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{28\!\cdots\!08}{65\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{43\!\cdots\!75}{65\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{69\!\cdots\!18}{65\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{37\!\cdots\!20}{65\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!47}{65\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{45\!\cdots\!52}{65\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!62}{65\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!99}{65\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{71\!\cdots\!43}{65\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{53\!\cdots\!55}{65\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{24\!\cdots\!20}{65\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{42\!\cdots\!94}{65\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{40\!\cdots\!94}{65\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{73\!\cdots\!26}{65\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{20\!\cdots\!78}{65\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{79\!\cdots\!31}{65\!\cdots\!97}a+\frac{35\!\cdots\!10}{65\!\cdots\!97}$, $\frac{19\!\cdots\!41}{65\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{62\!\cdots\!39}{65\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{89\!\cdots\!51}{65\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{30\!\cdots\!39}{65\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{16\!\cdots\!18}{65\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{63\!\cdots\!24}{65\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{16\!\cdots\!75}{65\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{73\!\cdots\!86}{65\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!21}{65\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{47\!\cdots\!73}{65\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{38\!\cdots\!49}{65\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!27}{65\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{91\!\cdots\!83}{65\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{32\!\cdots\!38}{65\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!55}{65\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{37\!\cdots\!66}{65\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!58}{65\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{32\!\cdots\!56}{65\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{68\!\cdots\!31}{65\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!17}{65\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{21\!\cdots\!64}{65\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{93\!\cdots\!54}{65\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{32\!\cdots\!58}{65\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{16\!\cdots\!60}{65\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!87}{65\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!07}{65\!\cdots\!97}a-\frac{13\!\cdots\!93}{65\!\cdots\!97}$, $\frac{64\!\cdots\!24}{65\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!11}{65\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{29\!\cdots\!27}{65\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{49\!\cdots\!37}{65\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{54\!\cdots\!27}{65\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{91\!\cdots\!64}{65\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{54\!\cdots\!92}{65\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{92\!\cdots\!10}{65\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{32\!\cdots\!03}{65\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{53\!\cdots\!51}{65\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{12\!\cdots\!67}{65\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{18\!\cdots\!65}{65\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{27\!\cdots\!61}{65\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{37\!\cdots\!81}{65\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{40\!\cdots\!38}{65\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{44\!\cdots\!50}{65\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{35\!\cdots\!54}{65\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{34\!\cdots\!40}{65\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{18\!\cdots\!39}{65\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!51}{65\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{54\!\cdots\!09}{65\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{54\!\cdots\!53}{65\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{77\!\cdots\!57}{65\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{81\!\cdots\!64}{65\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{35\!\cdots\!01}{65\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{24\!\cdots\!30}{65\!\cdots\!97}a-\frac{21\!\cdots\!14}{65\!\cdots\!97}$, $\frac{22\!\cdots\!82}{65\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{69\!\cdots\!86}{65\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!39}{65\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{31\!\cdots\!18}{65\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{18\!\cdots\!53}{65\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{58\!\cdots\!97}{65\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{18\!\cdots\!27}{65\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{58\!\cdots\!35}{65\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!33}{65\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{34\!\cdots\!76}{65\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{40\!\cdots\!28}{65\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!00}{65\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{91\!\cdots\!75}{65\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{26\!\cdots\!77}{65\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!20}{65\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{35\!\cdots\!15}{65\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!07}{65\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!24}{65\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{58\!\cdots\!57}{65\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!22}{65\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{17\!\cdots\!44}{65\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{45\!\cdots\!45}{65\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{24\!\cdots\!26}{65\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{60\!\cdots\!49}{65\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!98}{65\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{20\!\cdots\!46}{65\!\cdots\!97}a-\frac{21\!\cdots\!14}{65\!\cdots\!97}$, $\frac{12\!\cdots\!49}{65\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{26\!\cdots\!81}{65\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{57\!\cdots\!67}{65\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{11\!\cdots\!99}{65\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!11}{65\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{22\!\cdots\!10}{65\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!81}{65\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{22\!\cdots\!04}{65\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{64\!\cdots\!51}{65\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!63}{65\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{23\!\cdots\!06}{65\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{45\!\cdots\!74}{65\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{55\!\cdots\!81}{65\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{94\!\cdots\!36}{65\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{81\!\cdots\!11}{65\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!56}{65\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{74\!\cdots\!69}{65\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{85\!\cdots\!38}{65\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{42\!\cdots\!95}{65\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{33\!\cdots\!03}{65\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!17}{65\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{42\!\cdots\!30}{65\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{23\!\cdots\!78}{65\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{90\!\cdots\!38}{65\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!04}{65\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!30}{65\!\cdots\!97}a+\frac{32\!\cdots\!38}{65\!\cdots\!97}$, $\frac{19\!\cdots\!41}{65\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!39}{65\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{87\!\cdots\!16}{65\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{48\!\cdots\!66}{65\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{15\!\cdots\!58}{65\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{87\!\cdots\!15}{65\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!22}{65\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{86\!\cdots\!52}{65\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{92\!\cdots\!19}{65\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{49\!\cdots\!10}{65\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{32\!\cdots\!68}{65\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!35}{65\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{72\!\cdots\!95}{65\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{34\!\cdots\!34}{65\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{97\!\cdots\!84}{65\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{41\!\cdots\!82}{65\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{78\!\cdots\!24}{65\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{29\!\cdots\!16}{65\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{36\!\cdots\!99}{65\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!61}{65\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{88\!\cdots\!14}{65\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{22\!\cdots\!42}{65\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{96\!\cdots\!35}{65\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!28}{65\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{42\!\cdots\!24}{65\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{36\!\cdots\!40}{65\!\cdots\!97}a-\frac{83\!\cdots\!09}{65\!\cdots\!97}$, $\frac{39\!\cdots\!39}{65\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!26}{65\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{17\!\cdots\!94}{65\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{51\!\cdots\!28}{65\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{33\!\cdots\!35}{65\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{95\!\cdots\!06}{65\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{33\!\cdots\!38}{65\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{96\!\cdots\!43}{65\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{20\!\cdots\!91}{65\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{56\!\cdots\!00}{65\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{76\!\cdots\!21}{65\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!75}{65\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!09}{65\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{43\!\cdots\!16}{65\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{26\!\cdots\!35}{65\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{56\!\cdots\!13}{65\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{24\!\cdots\!88}{65\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{45\!\cdots\!83}{65\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!60}{65\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!68}{65\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{41\!\cdots\!50}{65\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{65\!\cdots\!20}{65\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{62\!\cdots\!93}{65\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{88\!\cdots\!28}{65\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{31\!\cdots\!54}{65\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{24\!\cdots\!89}{65\!\cdots\!97}a-\frac{22\!\cdots\!36}{65\!\cdots\!97}$, $\frac{21\!\cdots\!81}{65\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{15\!\cdots\!94}{65\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{95\!\cdots\!63}{65\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{67\!\cdots\!22}{65\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{17\!\cdots\!75}{65\!\cdots\!97}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!98}{65\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{17\!\cdots\!37}{65\!\cdots\!97}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!47}{65\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!90}{65\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{72\!\cdots\!81}{65\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{36\!\cdots\!15}{65\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{26\!\cdots\!66}{65\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{79\!\cdots\!00}{65\!\cdots\!97}a^{14}-\frac{60\!\cdots\!37}{65\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!25}{65\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{84\!\cdots\!04}{65\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{77\!\cdots\!00}{65\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{68\!\cdots\!57}{65\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{30\!\cdots\!33}{65\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{31\!\cdots\!60}{65\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{56\!\cdots\!51}{65\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{74\!\cdots\!63}{65\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{27\!\cdots\!89}{65\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{86\!\cdots\!75}{65\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{32\!\cdots\!65}{65\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{37\!\cdots\!71}{65\!\cdots\!97}a+\frac{36\!\cdots\!03}{65\!\cdots\!97}$, $\frac{60\!\cdots\!92}{65\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!98}{65\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{27\!\cdots\!52}{65\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{57\!\cdots\!95}{65\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{50\!\cdots\!90}{65\!\cdots\!97}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!31}{65\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{50\!\cdots\!37}{65\!\cdots\!97}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!59}{65\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{30\!\cdots\!69}{65\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{68\!\cdots\!54}{65\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!44}{65\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{27\!\cdots\!32}{65\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{26\!\cdots\!61}{65\!\cdots\!97}a^{14}-\frac{72\!\cdots\!55}{65\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{38\!\cdots\!09}{65\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!82}{65\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{34\!\cdots\!82}{65\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!63}{65\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{18\!\cdots\!16}{65\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{67\!\cdots\!75}{65\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{55\!\cdots\!99}{65\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{21\!\cdots\!68}{65\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{82\!\cdots\!18}{65\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{29\!\cdots\!35}{65\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{51\!\cdots\!57}{65\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!69}{65\!\cdots\!97}a-\frac{13\!\cdots\!78}{65\!\cdots\!97}$ Copy content Toggle raw display (assuming GRH)
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
 
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
 
Regulator:  \( 347763474421246.5 \) (assuming GRH)
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 
oscar: regulator(K)
 

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{27}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 347763474421246.5 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{50323116815004832630295337440131512593194174521}}\cr\approx \mathstrut & 0.104035147566184 \end{aligned}\] (assuming GRH)

# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
 
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 45*x^25 + 837*x^23 - 8430*x^21 + 50652*x^19 - 193*x^18 - 188811*x^17 + 2934*x^16 + 441720*x^15 - 15822*x^14 - 646731*x^13 + 37506*x^12 + 585063*x^11 - 42453*x^10 - 319331*x^9 + 24462*x^8 + 99963*x^7 - 7245*x^6 - 16119*x^5 + 1080*x^4 + 1059*x^3 - 81*x^2 - 18*x + 1)
 
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
 
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
 
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
 
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
 
K = bnfinit(x^27 - 45*x^25 + 837*x^23 - 8430*x^21 + 50652*x^19 - 193*x^18 - 188811*x^17 + 2934*x^16 + 441720*x^15 - 15822*x^14 - 646731*x^13 + 37506*x^12 + 585063*x^11 - 42453*x^10 - 319331*x^9 + 24462*x^8 + 99963*x^7 - 7245*x^6 - 16119*x^5 + 1080*x^4 + 1059*x^3 - 81*x^2 - 18*x + 1, 1);
 
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
 
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
 
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^27 - 45*x^25 + 837*x^23 - 8430*x^21 + 50652*x^19 - 193*x^18 - 188811*x^17 + 2934*x^16 + 441720*x^15 - 15822*x^14 - 646731*x^13 + 37506*x^12 + 585063*x^11 - 42453*x^10 - 319331*x^9 + 24462*x^8 + 99963*x^7 - 7245*x^6 - 16119*x^5 + 1080*x^4 + 1059*x^3 - 81*x^2 - 18*x + 1);
 
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
 
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
 
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
 
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
 
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
 
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
 
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^27 - 45*x^25 + 837*x^23 - 8430*x^21 + 50652*x^19 - 193*x^18 - 188811*x^17 + 2934*x^16 + 441720*x^15 - 15822*x^14 - 646731*x^13 + 37506*x^12 + 585063*x^11 - 42453*x^10 - 319331*x^9 + 24462*x^8 + 99963*x^7 - 7245*x^6 - 16119*x^5 + 1080*x^4 + 1059*x^3 - 81*x^2 - 18*x + 1);
 
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
 
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
 
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
 
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
 
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
 

Galois group

$C_3\times C_9$ (as 27T2):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: G = GaloisGroup(K);
 
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
 
An abelian group of order 27
The 27 conjugacy class representatives for $C_3\times C_9$
Character table for $C_3\times C_9$ is not computed

Intermediate fields

3.3.3969.1, \(\Q(\zeta_{9})^+\), 3.3.3969.2, \(\Q(\zeta_{7})^+\), 9.9.62523502209.1, \(\Q(\zeta_{27})^+\), 9.9.3691950281939241.2, 9.9.3691950281939241.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

sage: K.subfields()[1:-1]
 
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
 
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
 
oscar: subfields(K)[2:end-1]
 

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type ${\href{/padicField/2.9.0.1}{9} }^{3}$ R ${\href{/padicField/5.9.0.1}{9} }^{3}$ R ${\href{/padicField/11.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/padicField/13.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/padicField/17.3.0.1}{3} }^{9}$ ${\href{/padicField/19.3.0.1}{3} }^{9}$ ${\href{/padicField/23.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/padicField/29.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/padicField/31.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }^{9}$ ${\href{/padicField/41.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/padicField/43.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/padicField/47.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/padicField/53.3.0.1}{3} }^{9}$ ${\href{/padicField/59.9.0.1}{9} }^{3}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
 
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
 
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
 
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
 
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
 
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
 
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
\(3\) Copy content Toggle raw display Deg $27$$9$$3$$66$
\(7\) Copy content Toggle raw display Deg $27$$3$$9$$18$