Number field 27.27.3475226802198116057554377769989579566636047832552241.1

• Label: 27.27.347...241.1
• Degree: $27$
• Signature: $[27, 0]$
• Discriminant: $3.475\times 10^{51}$
• Root discriminant: \(81.08\)
• Ramified primes: $3,13$
• Class number: $1$ (GRH)
• Class group: trivial (GRH)
• Galois group: $C_3\times C_9$ (as 27T2)

Normalized defining polynomial

x^27 - 9*x^26 - 27*x^25 + 420*x^24 + 9*x^23 - 8244*x^22 + 7758*x^21 + 88713*x^20 - 125694*x^19 - 570907*x^18 + 991197*x^17 + 2239173*x^16 - 4595436*x^15 - 5142816*x^14 + 13108698*x^13 + 5797086*x^12 - 22773501*x^11 - 112752*x^10 + 22776726*x^9 - 6585183*x^8 - 11690658*x^7 + 5812863*x^6 + 2561958*x^5 - 1837044*x^4 - 142095*x^3 + 213804*x^2 - 7074*x - 7019

Invariants

Degree:		$27$
Signature:		$[27, 0]$
Discriminant:		\(3475226802198116057554377769989579566636047832552241\) \(\medspace = 3^{66}\cdot 13^{18}\)
Root discriminant:		\(81.08\)
Galois root discriminant:		$3^{22/9}13^{2/3}\approx 81.0821585694425$
Ramified primes:		\(3\), \(13\)
Discriminant root field:		\(\Q\)
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:		$27$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:		\(351=3^{3}\cdot 13\)
Dirichlet character group:		$\lbrace$$\chi_{351}(256,·)$, $\chi_{351}(1,·)$, $\chi_{351}(196,·)$, $\chi_{351}(133,·)$, $\chi_{351}(328,·)$, $\chi_{351}(139,·)$, $\chi_{351}(334,·)$, $\chi_{351}(79,·)$, $\chi_{351}(16,·)$, $\chi_{351}(274,·)$, $\chi_{351}(211,·)$, $\chi_{351}(22,·)$, $\chi_{351}(217,·)$, $\chi_{351}(157,·)$, $\chi_{351}(94,·)$, $\chi_{351}(289,·)$, $\chi_{351}(100,·)$, $\chi_{351}(295,·)$, $\chi_{351}(40,·)$, $\chi_{351}(235,·)$, $\chi_{351}(172,·)$, $\chi_{351}(178,·)$, $\chi_{351}(118,·)$, $\chi_{351}(55,·)$, $\chi_{351}(313,·)$, $\chi_{351}(250,·)$, $\chi_{351}(61,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $\frac{1}{53}a^{22}+\frac{16}{53}a^{17}+\frac{5}{53}a^{16}-\frac{9}{53}a^{15}-\frac{19}{53}a^{14}+\frac{1}{53}a^{13}+\frac{20}{53}a^{12}-\frac{11}{53}a^{11}-\frac{19}{53}a^{10}+\frac{6}{53}a^{9}-\frac{6}{53}a^{8}+\frac{23}{53}a^{7}+\frac{26}{53}a^{6}+\frac{7}{53}a^{5}-\frac{9}{53}a^{4}+\frac{14}{53}a^{3}-\frac{1}{53}a^{2}-\frac{9}{53}a+\frac{17}{53}$, $\frac{1}{53}a^{23}+\frac{16}{53}a^{18}+\frac{5}{53}a^{17}-\frac{9}{53}a^{16}-\frac{19}{53}a^{15}+\frac{1}{53}a^{14}+\frac{20}{53}a^{13}-\frac{11}{53}a^{12}-\frac{19}{53}a^{11}+\frac{6}{53}a^{10}-\frac{6}{53}a^{9}+\frac{23}{53}a^{8}+\frac{26}{53}a^{7}+\frac{7}{53}a^{6}-\frac{9}{53}a^{5}+\frac{14}{53}a^{4}-\frac{1}{53}a^{3}-\frac{9}{53}a^{2}+\frac{17}{53}a$, $\frac{1}{53}a^{24}+\frac{16}{53}a^{19}+\frac{5}{53}a^{18}-\frac{9}{53}a^{17}-\frac{19}{53}a^{16}+\frac{1}{53}a^{15}+\frac{20}{53}a^{14}-\frac{11}{53}a^{13}-\frac{19}{53}a^{12}+\frac{6}{53}a^{11}-\frac{6}{53}a^{10}+\frac{23}{53}a^{9}+\frac{26}{53}a^{8}+\frac{7}{53}a^{7}-\frac{9}{53}a^{6}+\frac{14}{53}a^{5}-\frac{1}{53}a^{4}-\frac{9}{53}a^{3}+\frac{17}{53}a^{2}$, $\frac{1}{5777}a^{25}-\frac{15}{5777}a^{24}-\frac{21}{5777}a^{23}-\frac{47}{5777}a^{22}+\frac{47}{109}a^{21}+\frac{705}{5777}a^{20}+\frac{2256}{5777}a^{19}-\frac{1374}{5777}a^{18}-\frac{1536}{5777}a^{17}+\frac{2042}{5777}a^{16}+\frac{1728}{5777}a^{15}-\frac{1188}{5777}a^{14}-\frac{1116}{5777}a^{13}+\frac{1543}{5777}a^{12}+\frac{1350}{5777}a^{11}-\frac{233}{5777}a^{10}+\frac{1009}{5777}a^{9}-\frac{2333}{5777}a^{8}+\frac{1704}{5777}a^{7}-\frac{372}{5777}a^{6}+\frac{497}{5777}a^{5}+\frac{1672}{5777}a^{4}-\frac{2817}{5777}a^{3}-\frac{443}{5777}a^{2}-\frac{146}{5777}a+\frac{102}{5777}$, $\frac{1}{34\!\cdots\!31}a^{26}-\frac{19\!\cdots\!12}{34\!\cdots\!31}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!45}{34\!\cdots\!31}a^{24}+\frac{19\!\cdots\!36}{34\!\cdots\!31}a^{23}-\frac{21\!\cdots\!09}{34\!\cdots\!31}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!43}{34\!\cdots\!31}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!19}{34\!\cdots\!31}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!86}{34\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!60}{34\!\cdots\!31}a^{18}-\frac{59\!\cdots\!79}{34\!\cdots\!31}a^{17}-\frac{22\!\cdots\!43}{34\!\cdots\!31}a^{16}-\frac{73\!\cdots\!52}{34\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!82}{34\!\cdots\!31}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!22}{34\!\cdots\!31}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!48}{34\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!93}{34\!\cdots\!31}a^{11}-\frac{68\!\cdots\!20}{34\!\cdots\!31}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!71}{34\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!98}{34\!\cdots\!31}a^{8}-\frac{65\!\cdots\!45}{34\!\cdots\!31}a^{7}-\frac{63\!\cdots\!74}{34\!\cdots\!31}a^{6}+\frac{35\!\cdots\!66}{64\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!96}{34\!\cdots\!31}a^{4}-\frac{16\!\cdots\!05}{34\!\cdots\!31}a^{3}+\frac{63\!\cdots\!72}{31\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{94\!\cdots\!83}{34\!\cdots\!31}a+\frac{11\!\cdots\!27}{34\!\cdots\!31}$

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$26$
Torsion generator:		\( -1 \)  (order $2$)
Fundamental units:		$\frac{20\!\cdots\!16}{14\!\cdots\!53}a^{26}-\frac{16\!\cdots\!08}{14\!\cdots\!53}a^{25}-\frac{64\!\cdots\!27}{14\!\cdots\!53}a^{24}+\frac{80\!\cdots\!39}{14\!\cdots\!53}a^{23}+\frac{50\!\cdots\!91}{14\!\cdots\!53}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!02}{14\!\cdots\!53}a^{21}+\frac{57\!\cdots\!05}{14\!\cdots\!53}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!55}{14\!\cdots\!53}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!42}{14\!\cdots\!53}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!39}{14\!\cdots\!53}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!17}a^{16}+\frac{52\!\cdots\!85}{14\!\cdots\!53}a^{15}-\frac{60\!\cdots\!84}{14\!\cdots\!53}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!40}{14\!\cdots\!53}a^{13}+\frac{17\!\cdots\!59}{14\!\cdots\!53}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!47}{14\!\cdots\!53}a^{11}-\frac{32\!\cdots\!80}{14\!\cdots\!53}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!26}{14\!\cdots\!53}a^{9}+\frac{33\!\cdots\!91}{14\!\cdots\!53}a^{8}+\frac{70\!\cdots\!13}{14\!\cdots\!53}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!81}{14\!\cdots\!53}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!64}{14\!\cdots\!53}a^{5}+\frac{52\!\cdots\!80}{14\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{54\!\cdots\!85}{14\!\cdots\!53}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!22}{28\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{63\!\cdots\!66}{14\!\cdots\!53}a+\frac{23\!\cdots\!06}{14\!\cdots\!53}$, $\frac{31\!\cdots\!28}{14\!\cdots\!53}a^{26}-\frac{27\!\cdots\!46}{14\!\cdots\!53}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!01}{14\!\cdots\!53}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!92}{14\!\cdots\!53}a^{23}+\frac{71\!\cdots\!96}{14\!\cdots\!53}a^{22}-\frac{25\!\cdots\!32}{14\!\cdots\!53}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!56}{14\!\cdots\!53}a^{20}+\frac{28\!\cdots\!16}{14\!\cdots\!53}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!74}{14\!\cdots\!53}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!49}{14\!\cdots\!53}a^{17}+\frac{19\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!17}a^{16}+\frac{82\!\cdots\!12}{14\!\cdots\!53}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!46}{14\!\cdots\!53}a^{14}-\frac{21\!\cdots\!08}{14\!\cdots\!53}a^{13}+\frac{30\!\cdots\!80}{14\!\cdots\!53}a^{12}+\frac{34\!\cdots\!62}{14\!\cdots\!53}a^{11}-\frac{54\!\cdots\!51}{14\!\cdots\!53}a^{10}-\frac{29\!\cdots\!90}{14\!\cdots\!53}a^{9}+\frac{56\!\cdots\!85}{14\!\cdots\!53}a^{8}+\frac{96\!\cdots\!84}{14\!\cdots\!53}a^{7}-\frac{32\!\cdots\!58}{14\!\cdots\!53}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!14}{14\!\cdots\!53}a^{5}+\frac{88\!\cdots\!86}{14\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{20\!\cdots\!75}{28\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!82}{14\!\cdots\!53}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!29}{14\!\cdots\!53}a+\frac{40\!\cdots\!94}{14\!\cdots\!53}$, $\frac{99\!\cdots\!64}{34\!\cdots\!31}a^{26}-\frac{86\!\cdots\!08}{34\!\cdots\!31}a^{25}-\frac{30\!\cdots\!14}{34\!\cdots\!31}a^{24}+\frac{40\!\cdots\!85}{34\!\cdots\!31}a^{23}+\frac{15\!\cdots\!67}{34\!\cdots\!31}a^{22}-\frac{81\!\cdots\!14}{34\!\cdots\!31}a^{21}+\frac{47\!\cdots\!64}{34\!\cdots\!31}a^{20}+\frac{90\!\cdots\!49}{34\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{92\!\cdots\!65}{34\!\cdots\!31}a^{18}-\frac{60\!\cdots\!19}{34\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{77\!\cdots\!78}{34\!\cdots\!31}a^{16}+\frac{25\!\cdots\!15}{34\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{36\!\cdots\!36}{34\!\cdots\!31}a^{14}-\frac{66\!\cdots\!78}{34\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!02}{34\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!65}{34\!\cdots\!31}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!12}{34\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{79\!\cdots\!55}{34\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{20\!\cdots\!17}{34\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!73}{34\!\cdots\!31}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!00}{34\!\cdots\!31}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!39}{34\!\cdots\!31}a^{5}+\frac{30\!\cdots\!29}{34\!\cdots\!31}a^{4}-\frac{49\!\cdots\!98}{34\!\cdots\!31}a^{3}-\frac{36\!\cdots\!64}{34\!\cdots\!31}a^{2}+\frac{47\!\cdots\!74}{34\!\cdots\!31}a+\frac{14\!\cdots\!88}{34\!\cdots\!31}$, $\frac{10\!\cdots\!45}{34\!\cdots\!31}a^{26}-\frac{92\!\cdots\!40}{34\!\cdots\!31}a^{25}-\frac{33\!\cdots\!23}{34\!\cdots\!31}a^{24}+\frac{44\!\cdots\!97}{34\!\cdots\!31}a^{23}+\frac{21\!\cdots\!76}{34\!\cdots\!31}a^{22}-\frac{88\!\cdots\!52}{34\!\cdots\!31}a^{21}+\frac{42\!\cdots\!81}{34\!\cdots\!31}a^{20}+\frac{98\!\cdots\!06}{34\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{89\!\cdots\!83}{34\!\cdots\!31}a^{18}-\frac{66\!\cdots\!62}{34\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{76\!\cdots\!25}{34\!\cdots\!31}a^{16}+\frac{27\!\cdots\!78}{34\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{36\!\cdots\!71}{34\!\cdots\!31}a^{14}-\frac{72\!\cdots\!76}{34\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!20}{34\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!90}{34\!\cdots\!31}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!26}{34\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{90\!\cdots\!91}{34\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{20\!\cdots\!12}{34\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{22\!\cdots\!18}{34\!\cdots\!31}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!31}{34\!\cdots\!31}a^{6}+\frac{93\!\cdots\!07}{34\!\cdots\!31}a^{5}+\frac{31\!\cdots\!76}{34\!\cdots\!31}a^{4}-\frac{48\!\cdots\!99}{34\!\cdots\!31}a^{3}-\frac{37\!\cdots\!52}{34\!\cdots\!31}a^{2}+\frac{46\!\cdots\!88}{34\!\cdots\!31}a+\frac{14\!\cdots\!40}{31\!\cdots\!59}$, $\frac{64\!\cdots\!28}{34\!\cdots\!31}a^{26}-\frac{53\!\cdots\!30}{34\!\cdots\!31}a^{25}-\frac{20\!\cdots\!08}{34\!\cdots\!31}a^{24}+\frac{25\!\cdots\!10}{34\!\cdots\!31}a^{23}+\frac{16\!\cdots\!52}{34\!\cdots\!31}a^{22}-\frac{51\!\cdots\!34}{34\!\cdots\!31}a^{21}+\frac{18\!\cdots\!98}{34\!\cdots\!31}a^{20}+\frac{58\!\cdots\!84}{34\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{45\!\cdots\!68}{34\!\cdots\!31}a^{18}-\frac{39\!\cdots\!40}{34\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{39\!\cdots\!78}{34\!\cdots\!31}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!52}{34\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!56}{34\!\cdots\!31}a^{14}-\frac{44\!\cdots\!94}{34\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{56\!\cdots\!26}{34\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{71\!\cdots\!46}{34\!\cdots\!31}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!92}{34\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{61\!\cdots\!92}{34\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!95}{34\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{22\!\cdots\!06}{34\!\cdots\!31}a^{7}-\frac{60\!\cdots\!26}{34\!\cdots\!31}a^{6}+\frac{95\!\cdots\!94}{34\!\cdots\!31}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!68}{34\!\cdots\!31}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!66}{34\!\cdots\!31}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!24}{34\!\cdots\!31}a^{2}+\frac{20\!\cdots\!27}{34\!\cdots\!31}a+\frac{76\!\cdots\!06}{34\!\cdots\!31}$, $\frac{15\!\cdots\!16}{34\!\cdots\!31}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!80}{34\!\cdots\!31}a^{25}-\frac{51\!\cdots\!60}{34\!\cdots\!31}a^{24}+\frac{62\!\cdots\!16}{34\!\cdots\!31}a^{23}+\frac{86\!\cdots\!00}{64\!\cdots\!27}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!20}{34\!\cdots\!31}a^{21}+\frac{32\!\cdots\!80}{34\!\cdots\!31}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!72}{34\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{96\!\cdots\!48}{34\!\cdots\!31}a^{18}-\frac{96\!\cdots\!28}{34\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{87\!\cdots\!59}{34\!\cdots\!31}a^{16}+\frac{78\!\cdots\!12}{64\!\cdots\!27}a^{15}-\frac{42\!\cdots\!44}{34\!\cdots\!31}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!44}{34\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!40}{31\!\cdots\!59}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!00}{34\!\cdots\!31}a^{11}-\frac{22\!\cdots\!08}{34\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!14}{34\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{24\!\cdots\!68}{34\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{69\!\cdots\!24}{34\!\cdots\!31}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!00}{34\!\cdots\!31}a^{6}-\frac{62\!\cdots\!68}{34\!\cdots\!31}a^{5}+\frac{36\!\cdots\!00}{34\!\cdots\!31}a^{4}-\frac{23\!\cdots\!40}{34\!\cdots\!31}a^{3}-\frac{42\!\cdots\!13}{34\!\cdots\!31}a^{2}+\frac{31\!\cdots\!16}{34\!\cdots\!31}a+\frac{29\!\cdots\!90}{64\!\cdots\!27}$, $\frac{45\!\cdots\!63}{34\!\cdots\!31}a^{26}-\frac{38\!\cdots\!24}{34\!\cdots\!31}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!05}{34\!\cdots\!31}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!98}{34\!\cdots\!31}a^{23}+\frac{92\!\cdots\!61}{34\!\cdots\!31}a^{22}-\frac{37\!\cdots\!82}{34\!\cdots\!31}a^{21}+\frac{17\!\cdots\!57}{34\!\cdots\!31}a^{20}+\frac{41\!\cdots\!13}{34\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{37\!\cdots\!50}{34\!\cdots\!31}a^{18}-\frac{27\!\cdots\!63}{34\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{31\!\cdots\!93}{34\!\cdots\!31}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!99}{34\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!25}{34\!\cdots\!31}a^{14}-\frac{31\!\cdots\!58}{34\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{45\!\cdots\!06}{34\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{48\!\cdots\!41}{34\!\cdots\!31}a^{11}-\frac{81\!\cdots\!16}{34\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{40\!\cdots\!06}{34\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{85\!\cdots\!38}{34\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!53}{34\!\cdots\!31}a^{7}-\frac{48\!\cdots\!25}{34\!\cdots\!31}a^{6}+\frac{28\!\cdots\!52}{34\!\cdots\!31}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!62}{34\!\cdots\!31}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!77}{34\!\cdots\!31}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!27}{34\!\cdots\!31}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!28}{34\!\cdots\!31}a+\frac{64\!\cdots\!11}{34\!\cdots\!31}$, $\frac{17\!\cdots\!22}{34\!\cdots\!31}a^{26}-\frac{15\!\cdots\!68}{34\!\cdots\!31}a^{25}-\frac{56\!\cdots\!89}{34\!\cdots\!31}a^{24}+\frac{73\!\cdots\!33}{34\!\cdots\!31}a^{23}+\frac{40\!\cdots\!83}{34\!\cdots\!31}a^{22}-\frac{15\!\cdots\!26}{34\!\cdots\!31}a^{21}+\frac{62\!\cdots\!06}{34\!\cdots\!31}a^{20}+\frac{17\!\cdots\!47}{34\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!35}{34\!\cdots\!31}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!92}{34\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!81}{34\!\cdots\!31}a^{16}+\frac{52\!\cdots\!59}{34\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{59\!\cdots\!76}{34\!\cdots\!31}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!36}{34\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{17\!\cdots\!63}{34\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{25\!\cdots\!51}{34\!\cdots\!31}a^{11}-\frac{31\!\cdots\!88}{34\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{27\!\cdots\!46}{34\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{32\!\cdots\!20}{34\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!11}{34\!\cdots\!31}a^{7}-\frac{32\!\cdots\!60}{64\!\cdots\!27}a^{6}-\frac{50\!\cdots\!38}{34\!\cdots\!31}a^{5}+\frac{41\!\cdots\!26}{34\!\cdots\!31}a^{4}+\frac{89\!\cdots\!20}{34\!\cdots\!31}a^{3}-\frac{27\!\cdots\!31}{34\!\cdots\!31}a^{2}-\frac{81\!\cdots\!18}{34\!\cdots\!31}a-\frac{10\!\cdots\!84}{31\!\cdots\!59}$, $\frac{53\!\cdots\!83}{34\!\cdots\!31}a^{26}-\frac{44\!\cdots\!90}{34\!\cdots\!31}a^{25}-\frac{17\!\cdots\!85}{34\!\cdots\!31}a^{24}+\frac{21\!\cdots\!13}{34\!\cdots\!31}a^{23}+\frac{14\!\cdots\!76}{34\!\cdots\!31}a^{22}-\frac{43\!\cdots\!82}{34\!\cdots\!31}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!17}{34\!\cdots\!31}a^{20}+\frac{48\!\cdots\!78}{34\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{36\!\cdots\!85}{34\!\cdots\!31}a^{18}-\frac{32\!\cdots\!78}{34\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{31\!\cdots\!53}{34\!\cdots\!31}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!74}{34\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!85}{34\!\cdots\!31}a^{14}-\frac{37\!\cdots\!18}{34\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{46\!\cdots\!06}{34\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{59\!\cdots\!56}{34\!\cdots\!31}a^{11}-\frac{82\!\cdots\!66}{34\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{52\!\cdots\!01}{34\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{87\!\cdots\!83}{34\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!88}{34\!\cdots\!31}a^{7}-\frac{49\!\cdots\!95}{34\!\cdots\!31}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!87}{34\!\cdots\!31}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!92}{34\!\cdots\!31}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!67}{34\!\cdots\!31}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!72}{34\!\cdots\!31}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!08}{34\!\cdots\!31}a+\frac{61\!\cdots\!46}{34\!\cdots\!31}$, $\frac{53\!\cdots\!83}{34\!\cdots\!31}a^{26}-\frac{44\!\cdots\!90}{34\!\cdots\!31}a^{25}-\frac{17\!\cdots\!85}{34\!\cdots\!31}a^{24}+\frac{21\!\cdots\!13}{34\!\cdots\!31}a^{23}+\frac{14\!\cdots\!76}{34\!\cdots\!31}a^{22}-\frac{43\!\cdots\!82}{34\!\cdots\!31}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!17}{34\!\cdots\!31}a^{20}+\frac{48\!\cdots\!78}{34\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{36\!\cdots\!85}{34\!\cdots\!31}a^{18}-\frac{32\!\cdots\!78}{34\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{31\!\cdots\!53}{34\!\cdots\!31}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!74}{34\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!85}{34\!\cdots\!31}a^{14}-\frac{37\!\cdots\!18}{34\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{46\!\cdots\!06}{34\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{59\!\cdots\!56}{34\!\cdots\!31}a^{11}-\frac{82\!\cdots\!66}{34\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{52\!\cdots\!01}{34\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{87\!\cdots\!83}{34\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!88}{34\!\cdots\!31}a^{7}-\frac{49\!\cdots\!95}{34\!\cdots\!31}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!87}{34\!\cdots\!31}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!92}{34\!\cdots\!31}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!67}{34\!\cdots\!31}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!72}{34\!\cdots\!31}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!08}{34\!\cdots\!31}a+\frac{60\!\cdots\!15}{34\!\cdots\!31}$, $\frac{15\!\cdots\!15}{34\!\cdots\!31}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!52}{34\!\cdots\!31}a^{25}-\frac{51\!\cdots\!14}{34\!\cdots\!31}a^{24}+\frac{59\!\cdots\!86}{34\!\cdots\!31}a^{23}+\frac{48\!\cdots\!64}{34\!\cdots\!31}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!78}{34\!\cdots\!31}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!24}{34\!\cdots\!31}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!24}{34\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{83\!\cdots\!28}{34\!\cdots\!31}a^{18}-\frac{93\!\cdots\!76}{34\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{77\!\cdots\!03}{34\!\cdots\!31}a^{16}+\frac{40\!\cdots\!85}{34\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{38\!\cdots\!61}{34\!\cdots\!31}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!68}{34\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!98}{34\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{17\!\cdots\!49}{34\!\cdots\!31}a^{11}-\frac{20\!\cdots\!98}{34\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!20}{34\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{22\!\cdots\!35}{34\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{68\!\cdots\!90}{34\!\cdots\!31}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!99}{34\!\cdots\!31}a^{6}-\frac{58\!\cdots\!61}{34\!\cdots\!31}a^{5}+\frac{34\!\cdots\!95}{34\!\cdots\!31}a^{4}-\frac{25\!\cdots\!72}{34\!\cdots\!31}a^{3}-\frac{41\!\cdots\!40}{34\!\cdots\!31}a^{2}+\frac{35\!\cdots\!46}{34\!\cdots\!31}a+\frac{16\!\cdots\!15}{34\!\cdots\!31}$, $\frac{11\!\cdots\!85}{34\!\cdots\!31}a^{26}-\frac{98\!\cdots\!35}{34\!\cdots\!31}a^{25}-\frac{35\!\cdots\!73}{34\!\cdots\!31}a^{24}+\frac{46\!\cdots\!40}{34\!\cdots\!31}a^{23}+\frac{22\!\cdots\!56}{34\!\cdots\!31}a^{22}-\frac{94\!\cdots\!72}{34\!\cdots\!31}a^{21}+\frac{46\!\cdots\!10}{34\!\cdots\!31}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!41}{34\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{97\!\cdots\!09}{34\!\cdots\!31}a^{18}-\frac{70\!\cdots\!99}{34\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{82\!\cdots\!75}{34\!\cdots\!31}a^{16}+\frac{29\!\cdots\!00}{34\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{39\!\cdots\!90}{34\!\cdots\!31}a^{14}-\frac{78\!\cdots\!06}{34\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!24}{34\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!33}{34\!\cdots\!31}a^{11}-\frac{20\!\cdots\!79}{34\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!66}{34\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{21\!\cdots\!71}{34\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{28\!\cdots\!02}{34\!\cdots\!31}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!70}{34\!\cdots\!31}a^{6}+\frac{80\!\cdots\!36}{34\!\cdots\!31}a^{5}+\frac{34\!\cdots\!95}{34\!\cdots\!31}a^{4}-\frac{48\!\cdots\!21}{34\!\cdots\!31}a^{3}-\frac{40\!\cdots\!85}{34\!\cdots\!31}a^{2}+\frac{50\!\cdots\!41}{34\!\cdots\!31}a+\frac{16\!\cdots\!56}{34\!\cdots\!31}$, $\frac{40\!\cdots\!22}{34\!\cdots\!31}a^{26}-\frac{34\!\cdots\!31}{34\!\cdots\!31}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!56}{34\!\cdots\!31}a^{24}+\frac{16\!\cdots\!62}{34\!\cdots\!31}a^{23}+\frac{93\!\cdots\!38}{34\!\cdots\!31}a^{22}-\frac{32\!\cdots\!95}{34\!\cdots\!31}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!77}{34\!\cdots\!31}a^{20}+\frac{36\!\cdots\!46}{34\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{30\!\cdots\!45}{34\!\cdots\!31}a^{18}-\frac{24\!\cdots\!72}{34\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{26\!\cdots\!24}{34\!\cdots\!31}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!25}{34\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!94}{34\!\cdots\!31}a^{14}-\frac{27\!\cdots\!13}{34\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{37\!\cdots\!85}{34\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{43\!\cdots\!37}{34\!\cdots\!31}a^{11}-\frac{67\!\cdots\!12}{34\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{36\!\cdots\!46}{34\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{71\!\cdots\!22}{34\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!19}{34\!\cdots\!31}a^{7}-\frac{40\!\cdots\!23}{34\!\cdots\!31}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!48}{34\!\cdots\!31}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!38}{34\!\cdots\!31}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!82}{34\!\cdots\!31}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!79}{34\!\cdots\!31}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!52}{34\!\cdots\!31}a+\frac{56\!\cdots\!32}{34\!\cdots\!31}$, $\frac{13\!\cdots\!57}{34\!\cdots\!31}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!17}{34\!\cdots\!31}a^{25}-\frac{40\!\cdots\!85}{34\!\cdots\!31}a^{24}+\frac{53\!\cdots\!73}{34\!\cdots\!31}a^{23}+\frac{23\!\cdots\!66}{34\!\cdots\!31}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!00}{34\!\cdots\!31}a^{21}+\frac{56\!\cdots\!18}{34\!\cdots\!31}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!86}{34\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!07}{34\!\cdots\!31}a^{18}-\frac{79\!\cdots\!39}{34\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{96\!\cdots\!62}{34\!\cdots\!31}a^{16}+\frac{33\!\cdots\!02}{34\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{46\!\cdots\!85}{34\!\cdots\!31}a^{14}-\frac{86\!\cdots\!24}{34\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!41}{34\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!69}{34\!\cdots\!31}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!15}{34\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!71}{34\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{24\!\cdots\!10}{34\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!58}{34\!\cdots\!31}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!18}{34\!\cdots\!31}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!84}{34\!\cdots\!31}a^{5}+\frac{36\!\cdots\!30}{34\!\cdots\!31}a^{4}-\frac{68\!\cdots\!41}{34\!\cdots\!31}a^{3}-\frac{41\!\cdots\!00}{34\!\cdots\!31}a^{2}+\frac{64\!\cdots\!61}{34\!\cdots\!31}a+\frac{16\!\cdots\!77}{34\!\cdots\!31}$, $\frac{22\!\cdots\!80}{34\!\cdots\!31}a^{26}-\frac{19\!\cdots\!06}{34\!\cdots\!31}a^{25}-\frac{72\!\cdots\!05}{34\!\cdots\!31}a^{24}+\frac{91\!\cdots\!15}{34\!\cdots\!31}a^{23}+\frac{52\!\cdots\!18}{34\!\cdots\!31}a^{22}-\frac{18\!\cdots\!93}{34\!\cdots\!31}a^{21}+\frac{75\!\cdots\!07}{34\!\cdots\!31}a^{20}+\frac{20\!\cdots\!10}{34\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{17\!\cdots\!79}{34\!\cdots\!31}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!50}{34\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!61}{34\!\cdots\!31}a^{16}+\frac{59\!\cdots\!39}{34\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{72\!\cdots\!23}{34\!\cdots\!31}a^{14}-\frac{29\!\cdots\!34}{64\!\cdots\!27}a^{13}+\frac{21\!\cdots\!23}{34\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!53}{34\!\cdots\!31}a^{11}-\frac{38\!\cdots\!38}{34\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!05}{34\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{40\!\cdots\!07}{34\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{70\!\cdots\!71}{34\!\cdots\!31}a^{7}-\frac{22\!\cdots\!26}{34\!\cdots\!31}a^{6}+\frac{80\!\cdots\!15}{34\!\cdots\!31}a^{5}+\frac{62\!\cdots\!53}{34\!\cdots\!31}a^{4}-\frac{76\!\cdots\!10}{34\!\cdots\!31}a^{3}-\frac{74\!\cdots\!45}{34\!\cdots\!31}a^{2}+\frac{84\!\cdots\!63}{34\!\cdots\!31}a+\frac{29\!\cdots\!84}{34\!\cdots\!31}$, $\frac{98\!\cdots\!97}{34\!\cdots\!31}a^{26}-\frac{83\!\cdots\!34}{34\!\cdots\!31}a^{25}-\frac{30\!\cdots\!51}{34\!\cdots\!31}a^{24}+\frac{39\!\cdots\!21}{34\!\cdots\!31}a^{23}+\frac{19\!\cdots\!65}{34\!\cdots\!31}a^{22}-\frac{79\!\cdots\!29}{34\!\cdots\!31}a^{21}+\frac{37\!\cdots\!03}{34\!\cdots\!31}a^{20}+\frac{88\!\cdots\!37}{34\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{80\!\cdots\!90}{34\!\cdots\!31}a^{18}-\frac{59\!\cdots\!21}{34\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{68\!\cdots\!20}{34\!\cdots\!31}a^{16}+\frac{25\!\cdots\!48}{34\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{33\!\cdots\!64}{34\!\cdots\!31}a^{14}-\frac{66\!\cdots\!72}{34\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{96\!\cdots\!92}{34\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!76}{34\!\cdots\!31}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!39}{34\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{85\!\cdots\!86}{34\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{18\!\cdots\!56}{34\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{24\!\cdots\!36}{34\!\cdots\!31}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!14}{34\!\cdots\!31}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!14}{64\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{28\!\cdots\!07}{34\!\cdots\!31}a^{4}-\frac{40\!\cdots\!89}{34\!\cdots\!31}a^{3}-\frac{34\!\cdots\!08}{34\!\cdots\!31}a^{2}+\frac{42\!\cdots\!93}{34\!\cdots\!31}a+\frac{13\!\cdots\!60}{34\!\cdots\!31}$, $\frac{19\!\cdots\!74}{34\!\cdots\!31}a^{26}-\frac{14\!\cdots\!77}{34\!\cdots\!31}a^{25}-\frac{69\!\cdots\!16}{34\!\cdots\!31}a^{24}+\frac{72\!\cdots\!17}{34\!\cdots\!31}a^{23}+\frac{87\!\cdots\!47}{34\!\cdots\!31}a^{22}-\frac{14\!\cdots\!46}{34\!\cdots\!31}a^{21}-\frac{27\!\cdots\!35}{34\!\cdots\!31}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!47}{34\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{41\!\cdots\!61}{34\!\cdots\!31}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!21}{34\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{53\!\cdots\!87}{34\!\cdots\!31}a^{16}+\frac{51\!\cdots\!23}{34\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{26\!\cdots\!62}{31\!\cdots\!59}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!93}{34\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{89\!\cdots\!87}{34\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{23\!\cdots\!61}{34\!\cdots\!31}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!00}{34\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{23\!\cdots\!57}{34\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!55}{34\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!75}{34\!\cdots\!31}a^{7}-\frac{98\!\cdots\!80}{34\!\cdots\!31}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!33}{34\!\cdots\!31}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!81}{34\!\cdots\!31}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!93}{34\!\cdots\!31}a^{3}-\frac{25\!\cdots\!50}{34\!\cdots\!31}a^{2}-\frac{76\!\cdots\!08}{34\!\cdots\!31}a+\frac{54\!\cdots\!82}{34\!\cdots\!31}$, $\frac{20\!\cdots\!69}{34\!\cdots\!31}a^{26}-\frac{16\!\cdots\!50}{34\!\cdots\!31}a^{25}-\frac{70\!\cdots\!88}{34\!\cdots\!31}a^{24}+\frac{78\!\cdots\!91}{34\!\cdots\!31}a^{23}+\frac{79\!\cdots\!33}{34\!\cdots\!31}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!06}{34\!\cdots\!31}a^{21}-\frac{20\!\cdots\!20}{34\!\cdots\!31}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!16}{34\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{74\!\cdots\!73}{34\!\cdots\!31}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!59}{34\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!11}{64\!\cdots\!27}a^{16}+\frac{54\!\cdots\!55}{34\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{39\!\cdots\!27}{34\!\cdots\!31}a^{14}-\frac{28\!\cdots\!36}{64\!\cdots\!27}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!64}{34\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!55}{34\!\cdots\!31}a^{11}-\frac{21\!\cdots\!88}{34\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{26\!\cdots\!26}{34\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{22\!\cdots\!34}{34\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!73}{34\!\cdots\!31}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!86}{34\!\cdots\!31}a^{6}-\frac{34\!\cdots\!06}{34\!\cdots\!31}a^{5}+\frac{31\!\cdots\!41}{34\!\cdots\!31}a^{4}+\frac{33\!\cdots\!46}{34\!\cdots\!31}a^{3}-\frac{29\!\cdots\!65}{34\!\cdots\!31}a^{2}-\frac{87\!\cdots\!81}{34\!\cdots\!31}a+\frac{47\!\cdots\!84}{34\!\cdots\!31}$, $\frac{54\!\cdots\!34}{34\!\cdots\!31}a^{26}-\frac{46\!\cdots\!10}{34\!\cdots\!31}a^{25}-\frac{16\!\cdots\!22}{34\!\cdots\!31}a^{24}+\frac{22\!\cdots\!45}{34\!\cdots\!31}a^{23}+\frac{96\!\cdots\!37}{31\!\cdots\!59}a^{22}-\frac{44\!\cdots\!84}{34\!\cdots\!31}a^{21}+\frac{22\!\cdots\!53}{34\!\cdots\!31}a^{20}+\frac{49\!\cdots\!01}{34\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{46\!\cdots\!41}{34\!\cdots\!31}a^{18}-\frac{33\!\cdots\!89}{34\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{38\!\cdots\!36}{34\!\cdots\!31}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!23}{34\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!72}{34\!\cdots\!31}a^{14}-\frac{37\!\cdots\!58}{34\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{54\!\cdots\!21}{34\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{59\!\cdots\!91}{34\!\cdots\!31}a^{11}-\frac{98\!\cdots\!39}{34\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{50\!\cdots\!64}{34\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!79}{34\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!93}{34\!\cdots\!31}a^{7}-\frac{58\!\cdots\!95}{34\!\cdots\!31}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!52}{31\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!62}{34\!\cdots\!31}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!53}{34\!\cdots\!31}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!19}{34\!\cdots\!31}a^{2}+\frac{20\!\cdots\!39}{34\!\cdots\!31}a+\frac{74\!\cdots\!84}{34\!\cdots\!31}$, $\frac{84\!\cdots\!31}{34\!\cdots\!31}a^{26}-\frac{66\!\cdots\!14}{34\!\cdots\!31}a^{25}-\frac{30\!\cdots\!29}{34\!\cdots\!31}a^{24}+\frac{32\!\cdots\!52}{34\!\cdots\!31}a^{23}+\frac{35\!\cdots\!27}{34\!\cdots\!31}a^{22}-\frac{66\!\cdots\!76}{34\!\cdots\!31}a^{21}-\frac{65\!\cdots\!15}{34\!\cdots\!31}a^{20}+\frac{75\!\cdots\!25}{34\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!81}{34\!\cdots\!31}a^{18}-\frac{52\!\cdots\!87}{34\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{27\!\cdots\!31}{34\!\cdots\!31}a^{16}+\frac{22\!\cdots\!91}{34\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!43}{34\!\cdots\!31}a^{14}-\frac{63\!\cdots\!42}{34\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{44\!\cdots\!08}{34\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!51}{64\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{81\!\cdots\!86}{34\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!44}{34\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{87\!\cdots\!62}{34\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{62\!\cdots\!65}{34\!\cdots\!31}a^{7}-\frac{50\!\cdots\!75}{34\!\cdots\!31}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!22}{34\!\cdots\!31}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!76}{34\!\cdots\!31}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!61}{34\!\cdots\!31}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!60}{34\!\cdots\!31}a^{2}-\frac{89\!\cdots\!36}{34\!\cdots\!31}a+\frac{73\!\cdots\!67}{34\!\cdots\!31}$, $\frac{11\!\cdots\!51}{34\!\cdots\!31}a^{26}-\frac{98\!\cdots\!46}{34\!\cdots\!31}a^{25}-\frac{36\!\cdots\!00}{34\!\cdots\!31}a^{24}+\frac{46\!\cdots\!90}{34\!\cdots\!31}a^{23}+\frac{25\!\cdots\!87}{34\!\cdots\!31}a^{22}-\frac{94\!\cdots\!22}{34\!\cdots\!31}a^{21}+\frac{40\!\cdots\!78}{34\!\cdots\!31}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!79}{34\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{91\!\cdots\!33}{34\!\cdots\!31}a^{18}-\frac{70\!\cdots\!87}{34\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{77\!\cdots\!38}{34\!\cdots\!31}a^{16}+\frac{29\!\cdots\!61}{34\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{37\!\cdots\!17}{34\!\cdots\!31}a^{14}-\frac{78\!\cdots\!34}{34\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!97}{34\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!05}{34\!\cdots\!31}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!75}{34\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!92}{34\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{20\!\cdots\!00}{34\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{31\!\cdots\!69}{34\!\cdots\!31}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!90}{34\!\cdots\!31}a^{6}+\frac{60\!\cdots\!41}{34\!\cdots\!31}a^{5}+\frac{32\!\cdots\!78}{34\!\cdots\!31}a^{4}-\frac{43\!\cdots\!89}{34\!\cdots\!31}a^{3}-\frac{38\!\cdots\!14}{34\!\cdots\!31}a^{2}+\frac{46\!\cdots\!75}{34\!\cdots\!31}a+\frac{15\!\cdots\!25}{34\!\cdots\!31}$, $\frac{24\!\cdots\!28}{34\!\cdots\!31}a^{26}-\frac{20\!\cdots\!47}{34\!\cdots\!31}a^{25}-\frac{77\!\cdots\!59}{34\!\cdots\!31}a^{24}+\frac{98\!\cdots\!26}{34\!\cdots\!31}a^{23}+\frac{56\!\cdots\!87}{34\!\cdots\!31}a^{22}-\frac{19\!\cdots\!26}{34\!\cdots\!31}a^{21}+\frac{80\!\cdots\!96}{34\!\cdots\!31}a^{20}+\frac{22\!\cdots\!88}{34\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!55}{34\!\cdots\!31}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!81}{34\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!82}{34\!\cdots\!31}a^{16}+\frac{63\!\cdots\!93}{34\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{77\!\cdots\!76}{34\!\cdots\!31}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!61}{34\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!14}{34\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!28}{34\!\cdots\!31}a^{11}-\frac{41\!\cdots\!86}{34\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{22\!\cdots\!63}{34\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{43\!\cdots\!10}{34\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{75\!\cdots\!90}{34\!\cdots\!31}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!44}{34\!\cdots\!31}a^{6}+\frac{83\!\cdots\!87}{34\!\cdots\!31}a^{5}+\frac{67\!\cdots\!53}{34\!\cdots\!31}a^{4}-\frac{81\!\cdots\!67}{34\!\cdots\!31}a^{3}-\frac{79\!\cdots\!72}{34\!\cdots\!31}a^{2}+\frac{89\!\cdots\!57}{34\!\cdots\!31}a+\frac{31\!\cdots\!13}{34\!\cdots\!31}$, $\frac{64\!\cdots\!52}{34\!\cdots\!31}a^{26}-\frac{53\!\cdots\!92}{34\!\cdots\!31}a^{25}-\frac{20\!\cdots\!47}{34\!\cdots\!31}a^{24}+\frac{25\!\cdots\!46}{34\!\cdots\!31}a^{23}+\frac{17\!\cdots\!94}{34\!\cdots\!31}a^{22}-\frac{51\!\cdots\!67}{34\!\cdots\!31}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!53}{34\!\cdots\!31}a^{20}+\frac{57\!\cdots\!33}{34\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{41\!\cdots\!96}{34\!\cdots\!31}a^{18}-\frac{39\!\cdots\!84}{34\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{37\!\cdots\!27}{34\!\cdots\!31}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!38}{34\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!00}{34\!\cdots\!31}a^{14}-\frac{44\!\cdots\!58}{34\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{53\!\cdots\!19}{34\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{72\!\cdots\!98}{34\!\cdots\!31}a^{11}-\frac{96\!\cdots\!42}{34\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{64\!\cdots\!04}{34\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!14}{34\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{24\!\cdots\!66}{34\!\cdots\!31}a^{7}-\frac{57\!\cdots\!55}{34\!\cdots\!31}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!53}{34\!\cdots\!31}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!87}{34\!\cdots\!31}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!86}{34\!\cdots\!31}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!60}{34\!\cdots\!31}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!41}{34\!\cdots\!31}a+\frac{70\!\cdots\!64}{34\!\cdots\!31}$, $\frac{59\!\cdots\!93}{34\!\cdots\!31}a^{26}-\frac{49\!\cdots\!03}{34\!\cdots\!31}a^{25}-\frac{19\!\cdots\!26}{34\!\cdots\!31}a^{24}+\frac{23\!\cdots\!40}{34\!\cdots\!31}a^{23}+\frac{15\!\cdots\!45}{34\!\cdots\!31}a^{22}-\frac{48\!\cdots\!53}{34\!\cdots\!31}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!78}{34\!\cdots\!31}a^{20}+\frac{53\!\cdots\!14}{34\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{39\!\cdots\!98}{34\!\cdots\!31}a^{18}-\frac{36\!\cdots\!82}{34\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{35\!\cdots\!95}{34\!\cdots\!31}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!41}{34\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!27}{34\!\cdots\!31}a^{14}-\frac{41\!\cdots\!25}{34\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{50\!\cdots\!16}{34\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{67\!\cdots\!82}{34\!\cdots\!31}a^{11}-\frac{90\!\cdots\!33}{34\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{60\!\cdots\!47}{34\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{95\!\cdots\!20}{34\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{24\!\cdots\!40}{34\!\cdots\!31}a^{7}-\frac{54\!\cdots\!67}{34\!\cdots\!31}a^{6}-\frac{93\!\cdots\!28}{34\!\cdots\!31}a^{5}+\frac{28\!\cdots\!95}{64\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!87}{34\!\cdots\!31}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!20}{34\!\cdots\!31}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!28}{34\!\cdots\!31}a+\frac{77\!\cdots\!60}{34\!\cdots\!31}$, $\frac{58\!\cdots\!43}{34\!\cdots\!31}a^{26}-\frac{49\!\cdots\!12}{34\!\cdots\!31}a^{25}-\frac{18\!\cdots\!45}{34\!\cdots\!31}a^{24}+\frac{23\!\cdots\!58}{34\!\cdots\!31}a^{23}+\frac{12\!\cdots\!03}{34\!\cdots\!31}a^{22}-\frac{47\!\cdots\!09}{34\!\cdots\!31}a^{21}+\frac{20\!\cdots\!92}{34\!\cdots\!31}a^{20}+\frac{53\!\cdots\!95}{34\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{46\!\cdots\!91}{34\!\cdots\!31}a^{18}-\frac{36\!\cdots\!05}{34\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{39\!\cdots\!47}{34\!\cdots\!31}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!82}{34\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!42}{34\!\cdots\!31}a^{14}-\frac{40\!\cdots\!93}{34\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{56\!\cdots\!89}{34\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{65\!\cdots\!76}{34\!\cdots\!31}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!48}{34\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{56\!\cdots\!70}{34\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!30}{34\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!06}{34\!\cdots\!31}a^{7}-\frac{61\!\cdots\!24}{34\!\cdots\!31}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!46}{34\!\cdots\!31}a^{5}+\frac{17\!\cdots\!50}{34\!\cdots\!31}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!34}{34\!\cdots\!31}a^{3}-\frac{21\!\cdots\!40}{34\!\cdots\!31}a^{2}+\frac{22\!\cdots\!11}{34\!\cdots\!31}a+\frac{86\!\cdots\!60}{34\!\cdots\!31}$, $\frac{84\!\cdots\!12}{34\!\cdots\!31}a^{26}-\frac{70\!\cdots\!89}{34\!\cdots\!31}a^{25}-\frac{27\!\cdots\!07}{34\!\cdots\!31}a^{24}+\frac{33\!\cdots\!93}{34\!\cdots\!31}a^{23}+\frac{22\!\cdots\!04}{34\!\cdots\!31}a^{22}-\frac{68\!\cdots\!60}{34\!\cdots\!31}a^{21}+\frac{20\!\cdots\!74}{34\!\cdots\!31}a^{20}+\frac{76\!\cdots\!49}{34\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{56\!\cdots\!34}{34\!\cdots\!31}a^{18}-\frac{52\!\cdots\!76}{34\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{49\!\cdots\!29}{34\!\cdots\!31}a^{16}+\frac{22\!\cdots\!63}{34\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{24\!\cdots\!09}{34\!\cdots\!31}a^{14}-\frac{59\!\cdots\!25}{34\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{71\!\cdots\!17}{34\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{97\!\cdots\!92}{34\!\cdots\!31}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!46}{34\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{87\!\cdots\!62}{34\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!06}{34\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{35\!\cdots\!16}{34\!\cdots\!31}a^{7}-\frac{76\!\cdots\!40}{34\!\cdots\!31}a^{6}-\frac{20\!\cdots\!87}{34\!\cdots\!31}a^{5}+\frac{20\!\cdots\!68}{34\!\cdots\!31}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!76}{34\!\cdots\!31}a^{3}-\frac{23\!\cdots\!77}{34\!\cdots\!31}a^{2}+\frac{20\!\cdots\!65}{34\!\cdots\!31}a+\frac{89\!\cdots\!26}{34\!\cdots\!31}$ (assuming GRH)
Regulator:		\( 183824455555719360 \) (assuming GRH)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{27}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 183824455555719360 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{3475226802198116057554377769989579566636047832552241}}\cr\approx \mathstrut & 0.209262591412734 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$C_3\times C_9$ (as 27T2):

An abelian group of order 27

The 27 conjugacy class representatives for $C_3\times C_9$

Character table for $C_3\times C_9$ is not computed

Intermediate fields

3.3.13689.2, \(\Q(\zeta_{9})^+\), 3.3.13689.1, 3.3.169.1, 9.9.2565164201769.1, 9.9.151470380950257681.2, 9.9.151470380950257681.1, \(\Q(\zeta_{27})^+\)

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	${\href{/padicField/2.9.0.1}{9} }^{3}$	R	${\href{/padicField/5.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/7.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/11.9.0.1}{9} }^{3}$	R	${\href{/padicField/17.3.0.1}{3} }^{9}$	${\href{/padicField/19.3.0.1}{3} }^{9}$	${\href{/padicField/23.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/29.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/31.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }^{9}$	${\href{/padicField/41.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/43.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/47.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/53.1.0.1}{1} }^{27}$	${\href{/padicField/59.9.0.1}{9} }^{3}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(3\)		Deg $27$	$9$	$3$	$66$
\(13\)		Deg $27$	$3$	$9$	$18$