Properties

Label 27.27.321...889.1
Degree $27$
Signature $[27, 0]$
Discriminant $3.218\times 10^{54}$
Root discriminant \(104.42\)
Ramified primes $3,19$
Class number $1$ (GRH)
Class group trivial (GRH)
Galois group $C_3\times C_9$ (as 27T2)

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Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 9*x^26 - 45*x^25 + 636*x^24 + 27*x^23 - 17460*x^22 + 31872*x^21 + 229473*x^20 - 738450*x^19 - 1345159*x^18 + 7506369*x^17 + 647631*x^16 - 38801514*x^15 + 30109320*x^14 + 100880532*x^13 - 138866430*x^12 - 120638421*x^11 + 261338922*x^10 + 44503222*x^9 - 240759207*x^8 + 22047264*x^7 + 115889073*x^6 - 21421602*x^5 - 28758384*x^4 + 5399355*x^3 + 3255948*x^2 - 411264*x - 105461)
 
gp: K = bnfinit(y^27 - 9*y^26 - 45*y^25 + 636*y^24 + 27*y^23 - 17460*y^22 + 31872*y^21 + 229473*y^20 - 738450*y^19 - 1345159*y^18 + 7506369*y^17 + 647631*y^16 - 38801514*y^15 + 30109320*y^14 + 100880532*y^13 - 138866430*y^12 - 120638421*y^11 + 261338922*y^10 + 44503222*y^9 - 240759207*y^8 + 22047264*y^7 + 115889073*y^6 - 21421602*y^5 - 28758384*y^4 + 5399355*y^3 + 3255948*y^2 - 411264*y - 105461, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^27 - 9*x^26 - 45*x^25 + 636*x^24 + 27*x^23 - 17460*x^22 + 31872*x^21 + 229473*x^20 - 738450*x^19 - 1345159*x^18 + 7506369*x^17 + 647631*x^16 - 38801514*x^15 + 30109320*x^14 + 100880532*x^13 - 138866430*x^12 - 120638421*x^11 + 261338922*x^10 + 44503222*x^9 - 240759207*x^8 + 22047264*x^7 + 115889073*x^6 - 21421602*x^5 - 28758384*x^4 + 5399355*x^3 + 3255948*x^2 - 411264*x - 105461);
 
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^27 - 9*x^26 - 45*x^25 + 636*x^24 + 27*x^23 - 17460*x^22 + 31872*x^21 + 229473*x^20 - 738450*x^19 - 1345159*x^18 + 7506369*x^17 + 647631*x^16 - 38801514*x^15 + 30109320*x^14 + 100880532*x^13 - 138866430*x^12 - 120638421*x^11 + 261338922*x^10 + 44503222*x^9 - 240759207*x^8 + 22047264*x^7 + 115889073*x^6 - 21421602*x^5 - 28758384*x^4 + 5399355*x^3 + 3255948*x^2 - 411264*x - 105461)
 

\( x^{27} - 9 x^{26} - 45 x^{25} + 636 x^{24} + 27 x^{23} - 17460 x^{22} + 31872 x^{21} + 229473 x^{20} - 738450 x^{19} - 1345159 x^{18} + 7506369 x^{17} + 647631 x^{16} + \cdots - 105461 \) Copy content Toggle raw display

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 
oscar: defining_polynomial(K)
 

Invariants

Degree:  $27$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
oscar: degree(K)
 
Signature:  $[27, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
oscar: signature(K)
 
Discriminant:   \(3217863581710817038235175421508758764893959268723195889\) \(\medspace = 3^{66}\cdot 19^{18}\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
 
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
 
Root discriminant:  \(104.42\)
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
 
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
 
Galois root discriminant:  $3^{22/9}19^{2/3}\approx 104.4236335758831$
Ramified primes:   \(3\), \(19\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
 
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
 
Discriminant root field:  \(\Q\)
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:  $27$
sage: K.automorphisms()
 
magma: Automorphisms(K);
 
oscar: automorphisms(K)
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(513=3^{3}\cdot 19\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{513}(448,·)$, $\chi_{513}(1,·)$, $\chi_{513}(235,·)$, $\chi_{513}(7,·)$, $\chi_{513}(64,·)$, $\chi_{513}(457,·)$, $\chi_{513}(334,·)$, $\chi_{513}(463,·)$, $\chi_{513}(400,·)$, $\chi_{513}(277,·)$, $\chi_{513}(406,·)$, $\chi_{513}(343,·)$, $\chi_{513}(220,·)$, $\chi_{513}(349,·)$, $\chi_{513}(286,·)$, $\chi_{513}(163,·)$, $\chi_{513}(292,·)$, $\chi_{513}(229,·)$, $\chi_{513}(106,·)$, $\chi_{513}(391,·)$, $\chi_{513}(172,·)$, $\chi_{513}(49,·)$, $\chi_{513}(178,·)$, $\chi_{513}(115,·)$, $\chi_{513}(121,·)$, $\chi_{513}(505,·)$, $\chi_{513}(58,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $\frac{1}{17}a^{24}-\frac{8}{17}a^{23}-\frac{2}{17}a^{22}+\frac{1}{17}a^{21}-\frac{8}{17}a^{20}-\frac{1}{17}a^{19}-\frac{8}{17}a^{18}-\frac{3}{17}a^{17}-\frac{3}{17}a^{16}-\frac{5}{17}a^{15}-\frac{8}{17}a^{14}+\frac{3}{17}a^{13}+\frac{6}{17}a^{12}-\frac{5}{17}a^{11}-\frac{1}{17}a^{10}+\frac{8}{17}a^{8}+\frac{8}{17}a^{7}+\frac{1}{17}a^{6}-\frac{2}{17}a^{5}-\frac{2}{17}a^{4}-\frac{1}{17}a^{3}+\frac{3}{17}a^{2}+\frac{6}{17}$, $\frac{1}{2771}a^{25}+\frac{6}{2771}a^{24}+\frac{651}{2771}a^{23}-\frac{1285}{2771}a^{22}-\frac{946}{2771}a^{21}-\frac{1065}{2771}a^{20}+\frac{896}{2771}a^{19}-\frac{30}{2771}a^{18}-\frac{487}{2771}a^{17}-\frac{1118}{2771}a^{16}-\frac{180}{2771}a^{15}-\frac{466}{2771}a^{14}+\frac{133}{2771}a^{13}-\frac{244}{2771}a^{12}-\frac{3}{2771}a^{11}+\frac{700}{2771}a^{10}-\frac{774}{2771}a^{9}-\frac{1223}{2771}a^{8}+\frac{1269}{2771}a^{7}-\frac{396}{2771}a^{6}-\frac{1186}{2771}a^{5}-\frac{1219}{2771}a^{4}+\frac{1247}{2771}a^{3}-\frac{332}{2771}a^{2}-\frac{96}{2771}a+\frac{5}{17}$, $\frac{1}{18\!\cdots\!33}a^{26}-\frac{21\!\cdots\!31}{18\!\cdots\!33}a^{25}-\frac{15\!\cdots\!94}{18\!\cdots\!33}a^{24}+\frac{44\!\cdots\!73}{18\!\cdots\!33}a^{23}+\frac{27\!\cdots\!22}{10\!\cdots\!49}a^{22}+\frac{48\!\cdots\!27}{18\!\cdots\!33}a^{21}+\frac{16\!\cdots\!90}{18\!\cdots\!33}a^{20}-\frac{26\!\cdots\!78}{18\!\cdots\!33}a^{19}+\frac{19\!\cdots\!35}{18\!\cdots\!33}a^{18}+\frac{72\!\cdots\!04}{18\!\cdots\!33}a^{17}+\frac{31\!\cdots\!04}{18\!\cdots\!33}a^{16}-\frac{42\!\cdots\!29}{18\!\cdots\!33}a^{15}-\frac{41\!\cdots\!90}{10\!\cdots\!49}a^{14}+\frac{89\!\cdots\!03}{18\!\cdots\!33}a^{13}-\frac{63\!\cdots\!20}{18\!\cdots\!33}a^{12}-\frac{49\!\cdots\!89}{18\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{36\!\cdots\!95}{18\!\cdots\!33}a^{10}-\frac{73\!\cdots\!34}{18\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!93}{10\!\cdots\!49}a^{8}-\frac{63\!\cdots\!15}{18\!\cdots\!33}a^{7}-\frac{93\!\cdots\!45}{18\!\cdots\!33}a^{6}+\frac{26\!\cdots\!32}{18\!\cdots\!33}a^{5}-\frac{59\!\cdots\!46}{18\!\cdots\!33}a^{4}+\frac{65\!\cdots\!11}{16\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!15}{10\!\cdots\!49}a^{2}+\frac{63\!\cdots\!14}{18\!\cdots\!33}a-\frac{33\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!91}$ Copy content Toggle raw display

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 
oscar: basis(OK)
 

Monogenic:  Not computed
Index:  $1$
Inessential primes:  None

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 
oscar: class_group(K)
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
 
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
 
Rank:  $26$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
oscar: rank(UK)
 
Torsion generator:   \( -1 \)  (order $2$) Copy content Toggle raw display
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
oscar: torsion_units_generator(OK)
 
Fundamental units:   $\frac{39\!\cdots\!70}{19\!\cdots\!17}a^{26}-\frac{32\!\cdots\!14}{19\!\cdots\!17}a^{25}-\frac{19\!\cdots\!61}{19\!\cdots\!17}a^{24}+\frac{23\!\cdots\!54}{19\!\cdots\!17}a^{23}+\frac{16\!\cdots\!60}{19\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{67\!\cdots\!08}{19\!\cdots\!17}a^{21}+\frac{82\!\cdots\!04}{19\!\cdots\!17}a^{20}+\frac{95\!\cdots\!04}{19\!\cdots\!17}a^{19}-\frac{22\!\cdots\!76}{19\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{39\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{25\!\cdots\!50}{19\!\cdots\!17}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!56}{19\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!48}{19\!\cdots\!17}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!40}{19\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{41\!\cdots\!84}{19\!\cdots\!17}a^{12}-\frac{25\!\cdots\!66}{19\!\cdots\!17}a^{11}-\frac{66\!\cdots\!09}{19\!\cdots\!17}a^{10}+\frac{53\!\cdots\!76}{19\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{62\!\cdots\!65}{19\!\cdots\!17}a^{8}-\frac{49\!\cdots\!40}{19\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{37\!\cdots\!54}{19\!\cdots\!17}a^{6}+\frac{22\!\cdots\!12}{19\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!38}{19\!\cdots\!17}a^{4}-\frac{42\!\cdots\!97}{18\!\cdots\!31}a^{3}-\frac{23\!\cdots\!76}{19\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{21\!\cdots\!67}{19\!\cdots\!17}a+\frac{57\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!59}$, $\frac{11\!\cdots\!98}{19\!\cdots\!17}a^{26}-\frac{87\!\cdots\!96}{19\!\cdots\!17}a^{25}-\frac{60\!\cdots\!83}{19\!\cdots\!17}a^{24}+\frac{64\!\cdots\!95}{19\!\cdots\!17}a^{23}+\frac{76\!\cdots\!41}{19\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{19\!\cdots\!30}{19\!\cdots\!17}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!23}{19\!\cdots\!17}a^{20}+\frac{28\!\cdots\!09}{19\!\cdots\!17}a^{19}-\frac{53\!\cdots\!22}{19\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{64\!\cdots\!17}{19\!\cdots\!17}a^{16}+\frac{88\!\cdots\!27}{19\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{39\!\cdots\!06}{19\!\cdots\!17}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!52}{19\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{81\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{35\!\cdots\!69}{19\!\cdots\!17}a^{11}-\frac{25\!\cdots\!44}{19\!\cdots\!17}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!26}{19\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!73}{19\!\cdots\!17}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!23}{19\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!69}{19\!\cdots\!17}a^{6}+\frac{89\!\cdots\!02}{19\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{57\!\cdots\!82}{19\!\cdots\!17}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!95}{18\!\cdots\!31}a^{3}-\frac{92\!\cdots\!66}{19\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!16}{19\!\cdots\!17}a+\frac{23\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!59}$, $\frac{84\!\cdots\!81}{18\!\cdots\!33}a^{26}-\frac{71\!\cdots\!84}{18\!\cdots\!33}a^{25}-\frac{40\!\cdots\!49}{18\!\cdots\!33}a^{24}+\frac{51\!\cdots\!44}{18\!\cdots\!33}a^{23}+\frac{25\!\cdots\!91}{18\!\cdots\!33}a^{22}-\frac{14\!\cdots\!62}{18\!\cdots\!33}a^{21}+\frac{20\!\cdots\!15}{18\!\cdots\!33}a^{20}+\frac{19\!\cdots\!77}{18\!\cdots\!33}a^{19}-\frac{52\!\cdots\!36}{18\!\cdots\!33}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!09}{18\!\cdots\!33}a^{17}+\frac{55\!\cdots\!34}{18\!\cdots\!33}a^{16}+\frac{29\!\cdots\!91}{18\!\cdots\!33}a^{15}-\frac{30\!\cdots\!17}{18\!\cdots\!33}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!08}{18\!\cdots\!33}a^{13}+\frac{83\!\cdots\!10}{18\!\cdots\!33}a^{12}-\frac{71\!\cdots\!07}{18\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!28}{18\!\cdots\!33}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!60}{18\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{93\!\cdots\!56}{18\!\cdots\!33}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!13}{18\!\cdots\!33}a^{7}-\frac{45\!\cdots\!77}{18\!\cdots\!33}a^{6}+\frac{31\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!49}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!76}{18\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{95\!\cdots\!41}{16\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{31\!\cdots\!60}{18\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{61\!\cdots\!58}{18\!\cdots\!33}a+\frac{96\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!91}$, $\frac{12\!\cdots\!73}{18\!\cdots\!33}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!80}{18\!\cdots\!33}a^{25}-\frac{62\!\cdots\!05}{18\!\cdots\!33}a^{24}+\frac{76\!\cdots\!56}{18\!\cdots\!33}a^{23}+\frac{27\!\cdots\!83}{10\!\cdots\!49}a^{22}-\frac{21\!\cdots\!38}{18\!\cdots\!33}a^{21}+\frac{27\!\cdots\!99}{18\!\cdots\!33}a^{20}+\frac{30\!\cdots\!65}{18\!\cdots\!33}a^{19}-\frac{75\!\cdots\!72}{18\!\cdots\!33}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!53}{18\!\cdots\!33}a^{17}+\frac{81\!\cdots\!15}{18\!\cdots\!33}a^{16}+\frac{52\!\cdots\!23}{18\!\cdots\!33}a^{15}-\frac{44\!\cdots\!49}{18\!\cdots\!33}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!96}{18\!\cdots\!33}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!58}{18\!\cdots\!33}a^{12}-\frac{59\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!91}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!92}{18\!\cdots\!33}a^{10}+\frac{19\!\cdots\!94}{18\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!36}{18\!\cdots\!33}a^{8}-\frac{18\!\cdots\!49}{18\!\cdots\!33}a^{7}-\frac{74\!\cdots\!61}{18\!\cdots\!33}a^{6}+\frac{80\!\cdots\!64}{18\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{22\!\cdots\!96}{18\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{84\!\cdots\!61}{99\!\cdots\!07}a^{3}-\frac{38\!\cdots\!39}{18\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{87\!\cdots\!62}{18\!\cdots\!33}a+\frac{99\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!91}$, $\frac{20\!\cdots\!92}{18\!\cdots\!33}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!28}{18\!\cdots\!33}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!21}{18\!\cdots\!33}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!02}{18\!\cdots\!33}a^{23}+\frac{82\!\cdots\!20}{18\!\cdots\!33}a^{22}-\frac{35\!\cdots\!20}{18\!\cdots\!33}a^{21}+\frac{43\!\cdots\!70}{18\!\cdots\!33}a^{20}+\frac{49\!\cdots\!58}{18\!\cdots\!33}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!12}{18\!\cdots\!33}a^{18}-\frac{34\!\cdots\!45}{18\!\cdots\!33}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!69}{18\!\cdots\!33}a^{16}+\frac{95\!\cdots\!00}{18\!\cdots\!33}a^{15}-\frac{43\!\cdots\!70}{10\!\cdots\!49}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!86}{18\!\cdots\!33}a^{13}+\frac{21\!\cdots\!91}{18\!\cdots\!33}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!86}{18\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{33\!\cdots\!52}{18\!\cdots\!33}a^{10}+\frac{31\!\cdots\!23}{18\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{29\!\cdots\!43}{18\!\cdots\!33}a^{8}-\frac{30\!\cdots\!78}{18\!\cdots\!33}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!58}{18\!\cdots\!33}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!05}{18\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{46\!\cdots\!43}{18\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{27\!\cdots\!44}{16\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{76\!\cdots\!45}{18\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{20\!\cdots\!76}{18\!\cdots\!33}a+\frac{21\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!91}$, $\frac{50\!\cdots\!45}{18\!\cdots\!33}a^{26}-\frac{42\!\cdots\!30}{18\!\cdots\!33}a^{25}-\frac{15\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!91}a^{24}+\frac{30\!\cdots\!53}{18\!\cdots\!33}a^{23}+\frac{21\!\cdots\!36}{18\!\cdots\!33}a^{22}-\frac{86\!\cdots\!78}{18\!\cdots\!33}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!39}{18\!\cdots\!33}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!48}{18\!\cdots\!33}a^{19}-\frac{28\!\cdots\!29}{18\!\cdots\!33}a^{18}-\frac{86\!\cdots\!98}{18\!\cdots\!33}a^{17}+\frac{31\!\cdots\!19}{18\!\cdots\!33}a^{16}+\frac{24\!\cdots\!88}{18\!\cdots\!33}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!29}{18\!\cdots\!33}a^{14}+\frac{27\!\cdots\!92}{18\!\cdots\!33}a^{13}+\frac{50\!\cdots\!04}{18\!\cdots\!33}a^{12}-\frac{18\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!49}a^{11}-\frac{80\!\cdots\!44}{18\!\cdots\!33}a^{10}+\frac{37\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!49}a^{9}+\frac{73\!\cdots\!49}{18\!\cdots\!33}a^{8}-\frac{58\!\cdots\!22}{18\!\cdots\!33}a^{7}-\frac{44\!\cdots\!79}{18\!\cdots\!33}a^{6}+\frac{27\!\cdots\!27}{18\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!94}{18\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{59\!\cdots\!71}{16\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{27\!\cdots\!04}{18\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{46\!\cdots\!71}{18\!\cdots\!33}a+\frac{48\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!91}$, $\frac{36\!\cdots\!56}{18\!\cdots\!33}a^{26}-\frac{32\!\cdots\!26}{18\!\cdots\!33}a^{25}-\frac{16\!\cdots\!00}{18\!\cdots\!33}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!68}{10\!\cdots\!49}a^{23}+\frac{14\!\cdots\!98}{18\!\cdots\!33}a^{22}-\frac{63\!\cdots\!34}{18\!\cdots\!33}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!86}{18\!\cdots\!33}a^{20}+\frac{82\!\cdots\!18}{18\!\cdots\!33}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!74}{10\!\cdots\!49}a^{18}-\frac{47\!\cdots\!02}{18\!\cdots\!33}a^{17}+\frac{26\!\cdots\!74}{18\!\cdots\!33}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!74}{18\!\cdots\!33}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!08}{18\!\cdots\!33}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!33}a^{13}+\frac{32\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!33}a^{12}-\frac{47\!\cdots\!44}{18\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{33\!\cdots\!40}{18\!\cdots\!33}a^{10}+\frac{82\!\cdots\!38}{18\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{32\!\cdots\!53}{18\!\cdots\!33}a^{8}-\frac{64\!\cdots\!04}{18\!\cdots\!33}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!38}{18\!\cdots\!33}a^{6}+\frac{22\!\cdots\!64}{18\!\cdots\!33}a^{5}-\frac{82\!\cdots\!64}{18\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{27\!\cdots\!90}{16\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!20}{18\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{65\!\cdots\!15}{18\!\cdots\!33}a-\frac{22\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!91}$, $\frac{10\!\cdots\!46}{18\!\cdots\!33}a^{26}-\frac{92\!\cdots\!96}{18\!\cdots\!33}a^{25}-\frac{49\!\cdots\!73}{18\!\cdots\!33}a^{24}+\frac{65\!\cdots\!57}{18\!\cdots\!33}a^{23}+\frac{17\!\cdots\!39}{18\!\cdots\!33}a^{22}-\frac{18\!\cdots\!26}{18\!\cdots\!33}a^{21}+\frac{29\!\cdots\!68}{18\!\cdots\!33}a^{20}+\frac{24\!\cdots\!63}{18\!\cdots\!33}a^{19}-\frac{71\!\cdots\!99}{18\!\cdots\!33}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!60}{18\!\cdots\!33}a^{17}+\frac{73\!\cdots\!17}{18\!\cdots\!33}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!27}{18\!\cdots\!33}a^{15}-\frac{38\!\cdots\!68}{18\!\cdots\!33}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!04}{18\!\cdots\!33}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!79}{18\!\cdots\!33}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!83}{18\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!42}{18\!\cdots\!33}a^{10}+\frac{19\!\cdots\!86}{18\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{70\!\cdots\!12}{18\!\cdots\!33}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!91}{18\!\cdots\!33}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!49}a^{6}+\frac{63\!\cdots\!12}{18\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{50\!\cdots\!48}{18\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!56}{16\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!37}{18\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{56\!\cdots\!86}{18\!\cdots\!33}a+\frac{59\!\cdots\!68}{11\!\cdots\!91}$, $\frac{19\!\cdots\!23}{18\!\cdots\!33}a^{26}-\frac{16\!\cdots\!32}{18\!\cdots\!33}a^{25}-\frac{99\!\cdots\!39}{18\!\cdots\!33}a^{24}+\frac{69\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!49}a^{23}+\frac{87\!\cdots\!55}{18\!\cdots\!33}a^{22}-\frac{33\!\cdots\!40}{18\!\cdots\!33}a^{21}+\frac{39\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!33}a^{20}+\frac{47\!\cdots\!07}{18\!\cdots\!33}a^{19}-\frac{65\!\cdots\!74}{10\!\cdots\!49}a^{18}-\frac{34\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!33}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!01}{18\!\cdots\!33}a^{16}+\frac{98\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!33}a^{15}-\frac{69\!\cdots\!65}{18\!\cdots\!33}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!24}{18\!\cdots\!33}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!74}{18\!\cdots\!33}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!49}{18\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{33\!\cdots\!18}{18\!\cdots\!33}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!12}{18\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{28\!\cdots\!22}{18\!\cdots\!33}a^{8}-\frac{29\!\cdots\!67}{18\!\cdots\!33}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!77}{18\!\cdots\!33}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!32}{18\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{39\!\cdots\!62}{18\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{24\!\cdots\!31}{16\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{62\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!54}{18\!\cdots\!33}a+\frac{19\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!91}$, $\frac{24\!\cdots\!68}{18\!\cdots\!33}a^{26}-\frac{20\!\cdots\!62}{18\!\cdots\!33}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!40}{18\!\cdots\!33}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!51}{18\!\cdots\!33}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!91}{18\!\cdots\!33}a^{22}-\frac{42\!\cdots\!18}{18\!\cdots\!33}a^{21}+\frac{49\!\cdots\!64}{18\!\cdots\!33}a^{20}+\frac{59\!\cdots\!55}{18\!\cdots\!33}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!87}{18\!\cdots\!33}a^{18}-\frac{42\!\cdots\!23}{18\!\cdots\!33}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!20}{18\!\cdots\!33}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!13}{18\!\cdots\!33}a^{15}-\frac{87\!\cdots\!94}{18\!\cdots\!33}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!16}{18\!\cdots\!33}a^{13}+\frac{25\!\cdots\!78}{18\!\cdots\!33}a^{12}-\frac{16\!\cdots\!41}{18\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{41\!\cdots\!62}{18\!\cdots\!33}a^{10}+\frac{36\!\cdots\!89}{18\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{35\!\cdots\!71}{18\!\cdots\!33}a^{8}-\frac{35\!\cdots\!89}{18\!\cdots\!33}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!56}{18\!\cdots\!33}a^{6}+\frac{16\!\cdots\!59}{18\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{55\!\cdots\!56}{18\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{30\!\cdots\!02}{16\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{89\!\cdots\!54}{18\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!92}{18\!\cdots\!33}a+\frac{23\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!91}$, $\frac{41\!\cdots\!32}{18\!\cdots\!33}a^{26}-\frac{35\!\cdots\!22}{18\!\cdots\!33}a^{25}-\frac{20\!\cdots\!38}{18\!\cdots\!33}a^{24}+\frac{25\!\cdots\!00}{18\!\cdots\!33}a^{23}+\frac{16\!\cdots\!85}{18\!\cdots\!33}a^{22}-\frac{71\!\cdots\!52}{18\!\cdots\!33}a^{21}+\frac{89\!\cdots\!04}{18\!\cdots\!33}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!94}{18\!\cdots\!33}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!19}{18\!\cdots\!33}a^{18}-\frac{70\!\cdots\!45}{18\!\cdots\!33}a^{17}+\frac{26\!\cdots\!43}{18\!\cdots\!33}a^{16}+\frac{18\!\cdots\!29}{18\!\cdots\!33}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!35}{18\!\cdots\!33}a^{14}+\frac{34\!\cdots\!84}{18\!\cdots\!33}a^{13}+\frac{43\!\cdots\!09}{18\!\cdots\!33}a^{12}-\frac{30\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{67\!\cdots\!90}{18\!\cdots\!33}a^{10}+\frac{64\!\cdots\!68}{18\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{58\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!33}a^{8}-\frac{60\!\cdots\!83}{18\!\cdots\!33}a^{7}-\frac{17\!\cdots\!64}{10\!\cdots\!49}a^{6}+\frac{27\!\cdots\!13}{18\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{97\!\cdots\!21}{18\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{52\!\cdots\!00}{16\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!17}{18\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{34\!\cdots\!22}{18\!\cdots\!33}a+\frac{49\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!91}$, $\frac{61\!\cdots\!27}{18\!\cdots\!33}a^{26}-\frac{57\!\cdots\!71}{18\!\cdots\!33}a^{25}-\frac{15\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!91}a^{24}+\frac{39\!\cdots\!87}{18\!\cdots\!33}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!61}{18\!\cdots\!33}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!39}{18\!\cdots\!33}a^{21}+\frac{22\!\cdots\!76}{18\!\cdots\!33}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!34}{18\!\cdots\!33}a^{19}-\frac{48\!\cdots\!05}{18\!\cdots\!33}a^{18}-\frac{66\!\cdots\!83}{18\!\cdots\!33}a^{17}+\frac{47\!\cdots\!32}{18\!\cdots\!33}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!26}{18\!\cdots\!33}a^{15}-\frac{22\!\cdots\!28}{18\!\cdots\!33}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!39}{10\!\cdots\!49}a^{13}+\frac{50\!\cdots\!14}{18\!\cdots\!33}a^{12}-\frac{93\!\cdots\!40}{18\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{36\!\cdots\!96}{18\!\cdots\!33}a^{10}+\frac{86\!\cdots\!47}{10\!\cdots\!49}a^{9}-\frac{24\!\cdots\!79}{18\!\cdots\!33}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!34}{18\!\cdots\!33}a^{7}+\frac{42\!\cdots\!38}{18\!\cdots\!33}a^{6}+\frac{33\!\cdots\!00}{18\!\cdots\!33}a^{5}-\frac{18\!\cdots\!63}{18\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{32\!\cdots\!65}{16\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{17\!\cdots\!56}{10\!\cdots\!49}a^{2}-\frac{18\!\cdots\!32}{18\!\cdots\!33}a-\frac{55\!\cdots\!06}{11\!\cdots\!91}$, $\frac{12\!\cdots\!07}{18\!\cdots\!33}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!39}{18\!\cdots\!33}a^{25}-\frac{28\!\cdots\!30}{10\!\cdots\!49}a^{24}+\frac{78\!\cdots\!06}{18\!\cdots\!33}a^{23}-\frac{37\!\cdots\!28}{18\!\cdots\!33}a^{22}-\frac{20\!\cdots\!84}{18\!\cdots\!33}a^{21}+\frac{48\!\cdots\!43}{18\!\cdots\!33}a^{20}+\frac{24\!\cdots\!57}{18\!\cdots\!33}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!62}{18\!\cdots\!33}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!55}{18\!\cdots\!33}a^{17}+\frac{93\!\cdots\!53}{18\!\cdots\!33}a^{16}-\frac{44\!\cdots\!70}{18\!\cdots\!33}a^{15}-\frac{42\!\cdots\!34}{18\!\cdots\!33}a^{14}+\frac{59\!\cdots\!69}{18\!\cdots\!33}a^{13}+\frac{47\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!49}a^{12}-\frac{20\!\cdots\!28}{18\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!07}{18\!\cdots\!33}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!88}{18\!\cdots\!33}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!02}{18\!\cdots\!33}a^{8}-\frac{18\!\cdots\!68}{18\!\cdots\!33}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!28}{18\!\cdots\!33}a^{6}+\frac{22\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!49}a^{5}-\frac{55\!\cdots\!24}{18\!\cdots\!33}a^{4}+\frac{27\!\cdots\!09}{16\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{66\!\cdots\!47}{18\!\cdots\!33}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!82}{18\!\cdots\!33}a-\frac{18\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!91}$, $\frac{16\!\cdots\!40}{18\!\cdots\!33}a^{26}-\frac{67\!\cdots\!04}{10\!\cdots\!49}a^{25}-\frac{97\!\cdots\!96}{18\!\cdots\!33}a^{24}+\frac{87\!\cdots\!07}{18\!\cdots\!33}a^{23}+\frac{18\!\cdots\!38}{18\!\cdots\!33}a^{22}-\frac{27\!\cdots\!00}{18\!\cdots\!33}a^{21}+\frac{70\!\cdots\!20}{18\!\cdots\!33}a^{20}+\frac{44\!\cdots\!43}{18\!\cdots\!33}a^{19}-\frac{48\!\cdots\!61}{18\!\cdots\!33}a^{18}-\frac{40\!\cdots\!70}{18\!\cdots\!33}a^{17}+\frac{74\!\cdots\!54}{18\!\cdots\!33}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!11}{18\!\cdots\!33}a^{15}-\frac{53\!\cdots\!13}{18\!\cdots\!33}a^{14}-\frac{56\!\cdots\!20}{18\!\cdots\!33}a^{13}+\frac{21\!\cdots\!80}{18\!\cdots\!33}a^{12}+\frac{35\!\cdots\!12}{10\!\cdots\!49}a^{11}-\frac{46\!\cdots\!07}{18\!\cdots\!33}a^{10}+\frac{44\!\cdots\!48}{18\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{58\!\cdots\!53}{18\!\cdots\!33}a^{8}-\frac{91\!\cdots\!78}{10\!\cdots\!49}a^{7}-\frac{38\!\cdots\!69}{18\!\cdots\!33}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!39}{18\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!34}{18\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{31\!\cdots\!81}{16\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!44}{18\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{28\!\cdots\!69}{18\!\cdots\!33}a+\frac{43\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!91}$, $\frac{24\!\cdots\!23}{18\!\cdots\!33}a^{26}-\frac{20\!\cdots\!82}{18\!\cdots\!33}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!97}{18\!\cdots\!33}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!96}{18\!\cdots\!33}a^{23}+\frac{97\!\cdots\!41}{18\!\cdots\!33}a^{22}-\frac{42\!\cdots\!05}{18\!\cdots\!33}a^{21}+\frac{52\!\cdots\!17}{18\!\cdots\!33}a^{20}+\frac{59\!\cdots\!52}{18\!\cdots\!33}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!05}{18\!\cdots\!33}a^{18}-\frac{41\!\cdots\!00}{18\!\cdots\!33}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!64}{18\!\cdots\!33}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!41}{18\!\cdots\!33}a^{15}-\frac{86\!\cdots\!02}{18\!\cdots\!33}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!75}{10\!\cdots\!49}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!80}{18\!\cdots\!33}a^{12}-\frac{18\!\cdots\!80}{18\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{37\!\cdots\!95}{18\!\cdots\!33}a^{10}+\frac{37\!\cdots\!91}{18\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{29\!\cdots\!38}{18\!\cdots\!33}a^{8}-\frac{34\!\cdots\!02}{18\!\cdots\!33}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!84}{18\!\cdots\!33}a^{6}+\frac{87\!\cdots\!12}{10\!\cdots\!49}a^{5}+\frac{34\!\cdots\!10}{18\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{25\!\cdots\!01}{16\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{52\!\cdots\!48}{18\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!81}{18\!\cdots\!33}a+\frac{17\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!91}$, $\frac{61\!\cdots\!74}{18\!\cdots\!33}a^{26}-\frac{50\!\cdots\!18}{18\!\cdots\!33}a^{25}-\frac{32\!\cdots\!98}{18\!\cdots\!33}a^{24}+\frac{36\!\cdots\!02}{18\!\cdots\!33}a^{23}+\frac{33\!\cdots\!70}{18\!\cdots\!33}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!22}{18\!\cdots\!33}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!40}{18\!\cdots\!33}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!51}{18\!\cdots\!33}a^{19}-\frac{33\!\cdots\!86}{18\!\cdots\!33}a^{18}-\frac{67\!\cdots\!80}{10\!\cdots\!49}a^{17}+\frac{37\!\cdots\!24}{18\!\cdots\!33}a^{16}+\frac{22\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!49}a^{15}-\frac{21\!\cdots\!05}{18\!\cdots\!33}a^{14}-\frac{43\!\cdots\!18}{18\!\cdots\!33}a^{13}+\frac{68\!\cdots\!06}{18\!\cdots\!33}a^{12}-\frac{32\!\cdots\!63}{18\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!18}{18\!\cdots\!33}a^{10}+\frac{83\!\cdots\!93}{18\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!97}{18\!\cdots\!33}a^{8}-\frac{87\!\cdots\!64}{18\!\cdots\!33}a^{7}-\frac{63\!\cdots\!67}{18\!\cdots\!33}a^{6}+\frac{43\!\cdots\!05}{18\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{20\!\cdots\!66}{18\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{86\!\cdots\!06}{16\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{33\!\cdots\!23}{18\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{35\!\cdots\!96}{10\!\cdots\!49}a+\frac{98\!\cdots\!68}{11\!\cdots\!91}$, $\frac{62\!\cdots\!24}{18\!\cdots\!33}a^{26}-\frac{51\!\cdots\!88}{18\!\cdots\!33}a^{25}-\frac{32\!\cdots\!54}{18\!\cdots\!33}a^{24}+\frac{37\!\cdots\!95}{18\!\cdots\!33}a^{23}+\frac{18\!\cdots\!45}{10\!\cdots\!49}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!92}{18\!\cdots\!33}a^{21}+\frac{68\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!49}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!87}{18\!\cdots\!33}a^{19}-\frac{34\!\cdots\!37}{18\!\cdots\!33}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!45}{18\!\cdots\!33}a^{17}+\frac{22\!\cdots\!84}{10\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{35\!\cdots\!85}{18\!\cdots\!33}a^{15}-\frac{22\!\cdots\!76}{18\!\cdots\!33}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!66}{18\!\cdots\!33}a^{13}+\frac{67\!\cdots\!19}{18\!\cdots\!33}a^{12}-\frac{38\!\cdots\!77}{18\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!60}{18\!\cdots\!33}a^{10}+\frac{90\!\cdots\!27}{18\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{99\!\cdots\!63}{18\!\cdots\!33}a^{8}-\frac{90\!\cdots\!13}{18\!\cdots\!33}a^{7}-\frac{50\!\cdots\!76}{18\!\cdots\!33}a^{6}+\frac{42\!\cdots\!11}{18\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!39}{18\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{82\!\cdots\!42}{16\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{23\!\cdots\!80}{18\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{55\!\cdots\!32}{18\!\cdots\!33}a+\frac{62\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!91}$, $\frac{91\!\cdots\!61}{18\!\cdots\!33}a^{26}-\frac{76\!\cdots\!36}{18\!\cdots\!33}a^{25}-\frac{46\!\cdots\!95}{18\!\cdots\!33}a^{24}+\frac{55\!\cdots\!46}{18\!\cdots\!33}a^{23}+\frac{39\!\cdots\!88}{18\!\cdots\!33}a^{22}-\frac{15\!\cdots\!12}{18\!\cdots\!33}a^{21}+\frac{18\!\cdots\!40}{18\!\cdots\!33}a^{20}+\frac{22\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!33}a^{19}-\frac{52\!\cdots\!29}{18\!\cdots\!33}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!63}{18\!\cdots\!33}a^{17}+\frac{58\!\cdots\!74}{18\!\cdots\!33}a^{16}+\frac{44\!\cdots\!40}{18\!\cdots\!33}a^{15}-\frac{32\!\cdots\!71}{18\!\cdots\!33}a^{14}+\frac{58\!\cdots\!53}{18\!\cdots\!33}a^{13}+\frac{96\!\cdots\!12}{18\!\cdots\!33}a^{12}-\frac{63\!\cdots\!48}{18\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!24}{18\!\cdots\!33}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!64}{18\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!81}{18\!\cdots\!33}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!28}{18\!\cdots\!33}a^{7}-\frac{67\!\cdots\!01}{18\!\cdots\!33}a^{6}+\frac{61\!\cdots\!89}{18\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!61}{18\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!24}{16\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{33\!\cdots\!42}{18\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{78\!\cdots\!32}{18\!\cdots\!33}a+\frac{91\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!91}$, $\frac{25\!\cdots\!26}{18\!\cdots\!33}a^{26}-\frac{19\!\cdots\!78}{18\!\cdots\!33}a^{25}-\frac{13\!\cdots\!67}{18\!\cdots\!33}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!09}{18\!\cdots\!33}a^{23}+\frac{19\!\cdots\!78}{18\!\cdots\!33}a^{22}-\frac{40\!\cdots\!67}{18\!\cdots\!33}a^{21}+\frac{28\!\cdots\!42}{18\!\cdots\!33}a^{20}+\frac{59\!\cdots\!95}{18\!\cdots\!33}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!60}{18\!\cdots\!33}a^{18}-\frac{45\!\cdots\!71}{18\!\cdots\!33}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!81}{18\!\cdots\!33}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!67}{18\!\cdots\!33}a^{15}-\frac{82\!\cdots\!74}{18\!\cdots\!33}a^{14}+\frac{26\!\cdots\!35}{18\!\cdots\!33}a^{13}+\frac{26\!\cdots\!97}{18\!\cdots\!33}a^{12}-\frac{16\!\cdots\!47}{18\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{46\!\cdots\!08}{18\!\cdots\!33}a^{10}+\frac{46\!\cdots\!94}{18\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{42\!\cdots\!18}{18\!\cdots\!33}a^{8}-\frac{57\!\cdots\!14}{18\!\cdots\!33}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!70}{18\!\cdots\!33}a^{6}+\frac{35\!\cdots\!18}{18\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{42\!\cdots\!07}{18\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{99\!\cdots\!87}{16\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{83\!\cdots\!41}{18\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!23}{18\!\cdots\!33}a+\frac{11\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!91}$, $\frac{59\!\cdots\!54}{18\!\cdots\!33}a^{26}-\frac{44\!\cdots\!49}{18\!\cdots\!33}a^{25}-\frac{34\!\cdots\!24}{18\!\cdots\!33}a^{24}+\frac{33\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!33}a^{23}+\frac{54\!\cdots\!30}{18\!\cdots\!33}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!68}{18\!\cdots\!33}a^{21}+\frac{43\!\cdots\!89}{18\!\cdots\!33}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!85}{18\!\cdots\!33}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!22}{18\!\cdots\!33}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!73}{18\!\cdots\!33}a^{17}+\frac{32\!\cdots\!59}{18\!\cdots\!33}a^{16}+\frac{62\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!33}a^{15}-\frac{21\!\cdots\!12}{18\!\cdots\!33}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!78}{18\!\cdots\!33}a^{13}+\frac{79\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!33}a^{12}-\frac{50\!\cdots\!21}{18\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!78}{18\!\cdots\!33}a^{10}+\frac{62\!\cdots\!99}{18\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{18\!\cdots\!88}{18\!\cdots\!33}a^{8}-\frac{56\!\cdots\!80}{10\!\cdots\!49}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!58}{18\!\cdots\!33}a^{6}+\frac{34\!\cdots\!87}{10\!\cdots\!49}a^{5}+\frac{35\!\cdots\!67}{18\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!12}{16\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{53\!\cdots\!48}{18\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!29}{18\!\cdots\!33}a+\frac{13\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!91}$, $\frac{33\!\cdots\!08}{18\!\cdots\!33}a^{26}-\frac{28\!\cdots\!90}{18\!\cdots\!33}a^{25}-\frac{16\!\cdots\!23}{18\!\cdots\!33}a^{24}+\frac{20\!\cdots\!03}{18\!\cdots\!33}a^{23}+\frac{13\!\cdots\!91}{18\!\cdots\!33}a^{22}-\frac{58\!\cdots\!15}{18\!\cdots\!33}a^{21}+\frac{72\!\cdots\!09}{18\!\cdots\!33}a^{20}+\frac{81\!\cdots\!34}{18\!\cdots\!33}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!99}{18\!\cdots\!33}a^{18}-\frac{57\!\cdots\!30}{18\!\cdots\!33}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!81}{18\!\cdots\!33}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!45}{18\!\cdots\!33}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!48}{18\!\cdots\!33}a^{14}+\frac{29\!\cdots\!26}{18\!\cdots\!33}a^{13}+\frac{35\!\cdots\!67}{18\!\cdots\!33}a^{12}-\frac{25\!\cdots\!59}{18\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{54\!\cdots\!08}{18\!\cdots\!33}a^{10}+\frac{54\!\cdots\!45}{18\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{45\!\cdots\!10}{18\!\cdots\!33}a^{8}-\frac{29\!\cdots\!05}{10\!\cdots\!49}a^{7}-\frac{22\!\cdots\!59}{18\!\cdots\!33}a^{6}+\frac{22\!\cdots\!96}{18\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{69\!\cdots\!69}{18\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{41\!\cdots\!67}{16\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!00}{18\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{25\!\cdots\!06}{18\!\cdots\!33}a+\frac{42\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!91}$, $\frac{17\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!33}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!85}{18\!\cdots\!33}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!54}{18\!\cdots\!33}a^{24}+\frac{86\!\cdots\!62}{18\!\cdots\!33}a^{23}+\frac{33\!\cdots\!49}{18\!\cdots\!33}a^{22}-\frac{30\!\cdots\!06}{18\!\cdots\!33}a^{21}-\frac{36\!\cdots\!52}{18\!\cdots\!33}a^{20}+\frac{56\!\cdots\!13}{18\!\cdots\!33}a^{19}-\frac{82\!\cdots\!87}{18\!\cdots\!33}a^{18}-\frac{62\!\cdots\!07}{18\!\cdots\!33}a^{17}+\frac{60\!\cdots\!23}{18\!\cdots\!33}a^{16}+\frac{40\!\cdots\!70}{18\!\cdots\!33}a^{15}-\frac{64\!\cdots\!03}{18\!\cdots\!33}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!26}{18\!\cdots\!33}a^{13}+\frac{32\!\cdots\!32}{18\!\cdots\!33}a^{12}+\frac{27\!\cdots\!20}{18\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{87\!\cdots\!86}{18\!\cdots\!33}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!97}{18\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!87}{18\!\cdots\!33}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!74}{18\!\cdots\!33}a^{7}-\frac{52\!\cdots\!28}{10\!\cdots\!49}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!81}{18\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{31\!\cdots\!13}{18\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{66\!\cdots\!72}{16\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{47\!\cdots\!45}{18\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{71\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!33}a+\frac{97\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!91}$, $\frac{16\!\cdots\!49}{18\!\cdots\!33}a^{26}-\frac{85\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!49}a^{25}-\frac{73\!\cdots\!36}{18\!\cdots\!33}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!79}{18\!\cdots\!33}a^{23}+\frac{37\!\cdots\!96}{10\!\cdots\!49}a^{22}-\frac{27\!\cdots\!42}{18\!\cdots\!33}a^{21}+\frac{49\!\cdots\!23}{18\!\cdots\!33}a^{20}+\frac{35\!\cdots\!44}{18\!\cdots\!33}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!11}{18\!\cdots\!33}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!08}{18\!\cdots\!33}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!87}{18\!\cdots\!33}a^{16}-\frac{63\!\cdots\!86}{18\!\cdots\!33}a^{15}-\frac{54\!\cdots\!65}{18\!\cdots\!33}a^{14}+\frac{48\!\cdots\!92}{18\!\cdots\!33}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!04}{18\!\cdots\!33}a^{12}-\frac{19\!\cdots\!02}{18\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{96\!\cdots\!38}{18\!\cdots\!33}a^{10}+\frac{29\!\cdots\!71}{18\!\cdots\!33}a^{9}-\frac{37\!\cdots\!06}{18\!\cdots\!33}a^{8}-\frac{18\!\cdots\!14}{18\!\cdots\!33}a^{7}+\frac{77\!\cdots\!23}{18\!\cdots\!33}a^{6}+\frac{26\!\cdots\!19}{10\!\cdots\!49}a^{5}-\frac{31\!\cdots\!78}{18\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!83}{16\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{47\!\cdots\!84}{18\!\cdots\!33}a^{2}-\frac{51\!\cdots\!24}{18\!\cdots\!33}a-\frac{66\!\cdots\!45}{65\!\cdots\!23}$, $\frac{91\!\cdots\!07}{18\!\cdots\!33}a^{26}-\frac{24\!\cdots\!49}{18\!\cdots\!33}a^{25}-\frac{90\!\cdots\!88}{18\!\cdots\!33}a^{24}+\frac{29\!\cdots\!09}{18\!\cdots\!33}a^{23}+\frac{21\!\cdots\!32}{10\!\cdots\!49}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!92}{18\!\cdots\!33}a^{21}-\frac{70\!\cdots\!29}{18\!\cdots\!33}a^{20}+\frac{33\!\cdots\!26}{18\!\cdots\!33}a^{19}+\frac{71\!\cdots\!09}{18\!\cdots\!33}a^{18}-\frac{46\!\cdots\!35}{18\!\cdots\!33}a^{17}-\frac{26\!\cdots\!49}{18\!\cdots\!33}a^{16}+\frac{37\!\cdots\!95}{18\!\cdots\!33}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!94}{18\!\cdots\!33}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!47}{18\!\cdots\!33}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!80}{18\!\cdots\!33}a^{12}+\frac{42\!\cdots\!58}{18\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{53\!\cdots\!18}{18\!\cdots\!33}a^{10}-\frac{53\!\cdots\!23}{18\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{84\!\cdots\!39}{18\!\cdots\!33}a^{8}+\frac{33\!\cdots\!40}{18\!\cdots\!33}a^{7}-\frac{65\!\cdots\!07}{18\!\cdots\!33}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!70}{18\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{26\!\cdots\!41}{18\!\cdots\!33}a^{4}+\frac{30\!\cdots\!91}{16\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{50\!\cdots\!53}{18\!\cdots\!33}a^{2}-\frac{39\!\cdots\!74}{18\!\cdots\!33}a+\frac{20\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!91}$, $\frac{49\!\cdots\!41}{18\!\cdots\!33}a^{26}-\frac{44\!\cdots\!95}{18\!\cdots\!33}a^{25}-\frac{22\!\cdots\!87}{18\!\cdots\!33}a^{24}+\frac{31\!\cdots\!58}{18\!\cdots\!33}a^{23}+\frac{40\!\cdots\!82}{18\!\cdots\!33}a^{22}-\frac{85\!\cdots\!30}{18\!\cdots\!33}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!42}{18\!\cdots\!33}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!19}{18\!\cdots\!33}a^{19}-\frac{34\!\cdots\!96}{18\!\cdots\!33}a^{18}-\frac{65\!\cdots\!48}{18\!\cdots\!33}a^{17}+\frac{34\!\cdots\!76}{18\!\cdots\!33}a^{16}+\frac{44\!\cdots\!32}{18\!\cdots\!33}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!33}{18\!\cdots\!33}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!85}{18\!\cdots\!33}a^{13}+\frac{43\!\cdots\!67}{18\!\cdots\!33}a^{12}-\frac{57\!\cdots\!60}{18\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{28\!\cdots\!77}{10\!\cdots\!49}a^{10}+\frac{96\!\cdots\!03}{18\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!35}{18\!\cdots\!33}a^{8}-\frac{73\!\cdots\!06}{18\!\cdots\!33}a^{7}+\frac{39\!\cdots\!53}{18\!\cdots\!33}a^{6}+\frac{26\!\cdots\!71}{18\!\cdots\!33}a^{5}-\frac{22\!\cdots\!00}{18\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{39\!\cdots\!05}{16\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{94\!\cdots\!06}{18\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!27}{18\!\cdots\!33}a+\frac{82\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!91}$, $\frac{85\!\cdots\!29}{18\!\cdots\!33}a^{26}-\frac{85\!\cdots\!03}{18\!\cdots\!33}a^{25}-\frac{29\!\cdots\!13}{18\!\cdots\!33}a^{24}+\frac{57\!\cdots\!78}{18\!\cdots\!33}a^{23}-\frac{58\!\cdots\!89}{18\!\cdots\!33}a^{22}-\frac{14\!\cdots\!70}{18\!\cdots\!33}a^{21}+\frac{43\!\cdots\!22}{18\!\cdots\!33}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!99}{18\!\cdots\!33}a^{19}-\frac{82\!\cdots\!08}{18\!\cdots\!33}a^{18}-\frac{33\!\cdots\!33}{18\!\cdots\!33}a^{17}+\frac{72\!\cdots\!13}{18\!\cdots\!33}a^{16}-\frac{71\!\cdots\!01}{18\!\cdots\!33}a^{15}-\frac{29\!\cdots\!91}{18\!\cdots\!33}a^{14}+\frac{62\!\cdots\!85}{18\!\cdots\!33}a^{13}+\frac{39\!\cdots\!41}{18\!\cdots\!33}a^{12}-\frac{19\!\cdots\!57}{18\!\cdots\!33}a^{11}+\frac{68\!\cdots\!63}{18\!\cdots\!33}a^{10}+\frac{27\!\cdots\!93}{18\!\cdots\!33}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!91}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!11}{18\!\cdots\!33}a^{7}+\frac{22\!\cdots\!91}{18\!\cdots\!33}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!24}{18\!\cdots\!33}a^{5}-\frac{89\!\cdots\!57}{18\!\cdots\!33}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!87}{16\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!01}{18\!\cdots\!33}a^{2}-\frac{24\!\cdots\!28}{18\!\cdots\!33}a-\frac{32\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!91}$ 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sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
 
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
 
Regulator:  \( 4236617885729581600 \) (assuming GRH)
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 
oscar: regulator(K)
 

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{27}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 4236617885729581600 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{3217863581710817038235175421508758764893959268723195889}}\cr\approx \mathstrut & 0.158494927771724 \end{aligned}\] (assuming GRH)

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x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 9*x^26 - 45*x^25 + 636*x^24 + 27*x^23 - 17460*x^22 + 31872*x^21 + 229473*x^20 - 738450*x^19 - 1345159*x^18 + 7506369*x^17 + 647631*x^16 - 38801514*x^15 + 30109320*x^14 + 100880532*x^13 - 138866430*x^12 - 120638421*x^11 + 261338922*x^10 + 44503222*x^9 - 240759207*x^8 + 22047264*x^7 + 115889073*x^6 - 21421602*x^5 - 28758384*x^4 + 5399355*x^3 + 3255948*x^2 - 411264*x - 105461)
 
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
 
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
 
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
 
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
 
K = bnfinit(x^27 - 9*x^26 - 45*x^25 + 636*x^24 + 27*x^23 - 17460*x^22 + 31872*x^21 + 229473*x^20 - 738450*x^19 - 1345159*x^18 + 7506369*x^17 + 647631*x^16 - 38801514*x^15 + 30109320*x^14 + 100880532*x^13 - 138866430*x^12 - 120638421*x^11 + 261338922*x^10 + 44503222*x^9 - 240759207*x^8 + 22047264*x^7 + 115889073*x^6 - 21421602*x^5 - 28758384*x^4 + 5399355*x^3 + 3255948*x^2 - 411264*x - 105461, 1);
 
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
 
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
 
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^27 - 9*x^26 - 45*x^25 + 636*x^24 + 27*x^23 - 17460*x^22 + 31872*x^21 + 229473*x^20 - 738450*x^19 - 1345159*x^18 + 7506369*x^17 + 647631*x^16 - 38801514*x^15 + 30109320*x^14 + 100880532*x^13 - 138866430*x^12 - 120638421*x^11 + 261338922*x^10 + 44503222*x^9 - 240759207*x^8 + 22047264*x^7 + 115889073*x^6 - 21421602*x^5 - 28758384*x^4 + 5399355*x^3 + 3255948*x^2 - 411264*x - 105461);
 
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
 
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
 
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
 
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
 
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
 
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
 
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^27 - 9*x^26 - 45*x^25 + 636*x^24 + 27*x^23 - 17460*x^22 + 31872*x^21 + 229473*x^20 - 738450*x^19 - 1345159*x^18 + 7506369*x^17 + 647631*x^16 - 38801514*x^15 + 30109320*x^14 + 100880532*x^13 - 138866430*x^12 - 120638421*x^11 + 261338922*x^10 + 44503222*x^9 - 240759207*x^8 + 22047264*x^7 + 115889073*x^6 - 21421602*x^5 - 28758384*x^4 + 5399355*x^3 + 3255948*x^2 - 411264*x - 105461);
 
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
 
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
 
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
 
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
 
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
 

Galois group

$C_3\times C_9$ (as 27T2):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: G = GaloisGroup(K);
 
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
 
An abelian group of order 27
The 27 conjugacy class representatives for $C_3\times C_9$
Character table for $C_3\times C_9$ is not computed

Intermediate fields

3.3.29241.2, \(\Q(\zeta_{9})^+\), 3.3.361.1, 3.3.29241.1, 9.9.25002110044521.1, 9.9.1476349596018920529.1, \(\Q(\zeta_{27})^+\), 9.9.1476349596018920529.2

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

sage: K.subfields()[1:-1]
 
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
 
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
 
oscar: subfields(K)[2:end-1]
 

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type ${\href{/padicField/2.9.0.1}{9} }^{3}$ R ${\href{/padicField/5.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/padicField/7.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/padicField/11.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/padicField/13.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/padicField/17.3.0.1}{3} }^{9}$ R ${\href{/padicField/23.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/padicField/29.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/padicField/31.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }^{9}$ ${\href{/padicField/41.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/padicField/43.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/padicField/47.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/padicField/53.3.0.1}{3} }^{9}$ ${\href{/padicField/59.9.0.1}{9} }^{3}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
 
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
 
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
 
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
 
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
 
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
 
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
\(3\) Copy content Toggle raw display Deg $27$$9$$3$$66$
\(19\) Copy content Toggle raw display 19.9.6.2$x^{9} + 981 x^{7} + 108 x^{6} + 316911 x^{5} + 20529 x^{4} + 34115982 x^{3} + 10990188 x^{2} + 130942880 x + 566550143$$3$$3$$6$$C_3^2$$[\ ]_{3}^{3}$
19.9.6.2$x^{9} + 981 x^{7} + 108 x^{6} + 316911 x^{5} + 20529 x^{4} + 34115982 x^{3} + 10990188 x^{2} + 130942880 x + 566550143$$3$$3$$6$$C_3^2$$[\ ]_{3}^{3}$
19.9.6.2$x^{9} + 981 x^{7} + 108 x^{6} + 316911 x^{5} + 20529 x^{4} + 34115982 x^{3} + 10990188 x^{2} + 130942880 x + 566550143$$3$$3$$6$$C_3^2$$[\ ]_{3}^{3}$