Properties

Label 27.27.274...441.1
Degree $27$
Signature $[27, 0]$
Discriminant $2.749\times 10^{52}$
Root discriminant \(87.54\)
Ramified primes $3,7,13$
Class number $1$ (GRH)
Class group trivial (GRH)
Galois group $C_3^3$ (as 27T4)

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Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 9*x^26 - 45*x^25 + 558*x^24 + 564*x^23 - 14325*x^22 + 3278*x^21 + 200187*x^20 - 152250*x^19 - 1689790*x^18 + 1662003*x^17 + 9058716*x^16 - 9244050*x^15 - 31587348*x^14 + 28970679*x^13 + 71864499*x^12 - 50585529*x^11 - 103930188*x^10 + 44676536*x^9 + 88142967*x^8 - 15697422*x^7 - 37059379*x^6 + 2104236*x^5 + 7157724*x^4 - 134797*x^3 - 528300*x^2 + 16716*x + 7064)
 
gp: K = bnfinit(y^27 - 9*y^26 - 45*y^25 + 558*y^24 + 564*y^23 - 14325*y^22 + 3278*y^21 + 200187*y^20 - 152250*y^19 - 1689790*y^18 + 1662003*y^17 + 9058716*y^16 - 9244050*y^15 - 31587348*y^14 + 28970679*y^13 + 71864499*y^12 - 50585529*y^11 - 103930188*y^10 + 44676536*y^9 + 88142967*y^8 - 15697422*y^7 - 37059379*y^6 + 2104236*y^5 + 7157724*y^4 - 134797*y^3 - 528300*y^2 + 16716*y + 7064, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^27 - 9*x^26 - 45*x^25 + 558*x^24 + 564*x^23 - 14325*x^22 + 3278*x^21 + 200187*x^20 - 152250*x^19 - 1689790*x^18 + 1662003*x^17 + 9058716*x^16 - 9244050*x^15 - 31587348*x^14 + 28970679*x^13 + 71864499*x^12 - 50585529*x^11 - 103930188*x^10 + 44676536*x^9 + 88142967*x^8 - 15697422*x^7 - 37059379*x^6 + 2104236*x^5 + 7157724*x^4 - 134797*x^3 - 528300*x^2 + 16716*x + 7064);
 
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^27 - 9*x^26 - 45*x^25 + 558*x^24 + 564*x^23 - 14325*x^22 + 3278*x^21 + 200187*x^20 - 152250*x^19 - 1689790*x^18 + 1662003*x^17 + 9058716*x^16 - 9244050*x^15 - 31587348*x^14 + 28970679*x^13 + 71864499*x^12 - 50585529*x^11 - 103930188*x^10 + 44676536*x^9 + 88142967*x^8 - 15697422*x^7 - 37059379*x^6 + 2104236*x^5 + 7157724*x^4 - 134797*x^3 - 528300*x^2 + 16716*x + 7064)
 

\( x^{27} - 9 x^{26} - 45 x^{25} + 558 x^{24} + 564 x^{23} - 14325 x^{22} + 3278 x^{21} + 200187 x^{20} - 152250 x^{19} - 1689790 x^{18} + 1662003 x^{17} + 9058716 x^{16} + \cdots + 7064 \) Copy content Toggle raw display

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 
oscar: defining_polynomial(K)
 

Invariants

Degree:  $27$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
oscar: degree(K)
 
Signature:  $[27, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
oscar: signature(K)
 
Discriminant:   \(27485917061841905258715957728464424188465393850574441\) \(\medspace = 3^{36}\cdot 7^{18}\cdot 13^{18}\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
 
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
 
Root discriminant:  \(87.54\)
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
 
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
 
Galois root discriminant:  $3^{4/3}7^{2/3}13^{2/3}\approx 87.5365180904025$
Ramified primes:   \(3\), \(7\), \(13\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
 
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
 
Discriminant root field:  \(\Q\)
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:  $27$
sage: K.automorphisms()
 
magma: Automorphisms(K);
 
oscar: automorphisms(K)
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(819=3^{2}\cdot 7\cdot 13\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{819}(256,·)$, $\chi_{819}(1,·)$, $\chi_{819}(646,·)$, $\chi_{819}(781,·)$, $\chi_{819}(718,·)$, $\chi_{819}(79,·)$, $\chi_{819}(16,·)$, $\chi_{819}(529,·)$, $\chi_{819}(274,·)$, $\chi_{819}(211,·)$, $\chi_{819}(22,·)$, $\chi_{819}(100,·)$, $\chi_{819}(352,·)$, $\chi_{819}(289,·)$, $\chi_{819}(802,·)$, $\chi_{819}(547,·)$, $\chi_{819}(484,·)$, $\chi_{819}(295,·)$, $\chi_{819}(235,·)$, $\chi_{819}(172,·)$, $\chi_{819}(625,·)$, $\chi_{819}(562,·)$, $\chi_{819}(757,·)$, $\chi_{819}(568,·)$, $\chi_{819}(508,·)$, $\chi_{819}(445,·)$, $\chi_{819}(373,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{2}a^{9}-\frac{1}{2}a^{2}$, $\frac{1}{2}a^{10}-\frac{1}{2}a^{3}$, $\frac{1}{2}a^{11}-\frac{1}{2}a^{4}$, $\frac{1}{2}a^{12}-\frac{1}{2}a^{5}$, $\frac{1}{4}a^{13}-\frac{1}{4}a^{12}-\frac{1}{4}a^{11}-\frac{1}{4}a^{9}-\frac{1}{2}a^{7}+\frac{1}{4}a^{6}+\frac{1}{4}a^{5}-\frac{1}{4}a^{4}+\frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{4}a^{14}-\frac{1}{4}a^{11}-\frac{1}{4}a^{10}-\frac{1}{4}a^{9}-\frac{1}{4}a^{7}-\frac{1}{2}a^{6}-\frac{1}{2}a^{5}-\frac{1}{4}a^{4}+\frac{1}{4}a^{3}-\frac{1}{4}a^{2}$, $\frac{1}{4}a^{15}-\frac{1}{4}a^{12}-\frac{1}{4}a^{11}-\frac{1}{4}a^{10}-\frac{1}{4}a^{8}-\frac{1}{2}a^{7}-\frac{1}{2}a^{6}-\frac{1}{4}a^{5}+\frac{1}{4}a^{4}-\frac{1}{4}a^{3}$, $\frac{1}{4}a^{16}-\frac{1}{4}a^{2}$, $\frac{1}{4}a^{17}-\frac{1}{4}a^{3}$, $\frac{1}{24}a^{18}-\frac{1}{8}a^{16}+\frac{1}{12}a^{15}-\frac{1}{8}a^{14}+\frac{1}{12}a^{12}+\frac{1}{8}a^{11}-\frac{1}{8}a^{10}+\frac{5}{24}a^{9}-\frac{1}{4}a^{8}-\frac{3}{8}a^{7}-\frac{1}{12}a^{6}-\frac{1}{2}a^{5}-\frac{1}{4}a^{4}+\frac{11}{24}a^{3}-\frac{1}{2}a-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{24}a^{19}-\frac{1}{8}a^{17}+\frac{1}{12}a^{16}-\frac{1}{8}a^{15}+\frac{1}{12}a^{13}+\frac{1}{8}a^{12}-\frac{1}{8}a^{11}+\frac{5}{24}a^{10}-\frac{1}{4}a^{9}+\frac{1}{8}a^{8}-\frac{1}{12}a^{7}-\frac{1}{2}a^{6}-\frac{1}{4}a^{5}+\frac{11}{24}a^{4}-\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{6}a$, $\frac{1}{24}a^{20}+\frac{1}{12}a^{17}-\frac{1}{24}a^{14}-\frac{1}{8}a^{13}+\frac{1}{8}a^{12}-\frac{1}{6}a^{11}-\frac{1}{8}a^{10}-\frac{1}{4}a^{9}-\frac{1}{12}a^{8}+\frac{1}{8}a^{7}+\frac{1}{4}a^{6}-\frac{1}{24}a^{5}-\frac{1}{8}a^{3}+\frac{1}{6}a^{2}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{24}a^{21}+\frac{1}{24}a^{15}-\frac{1}{8}a^{14}-\frac{1}{8}a^{13}+\frac{1}{6}a^{12}-\frac{1}{8}a^{11}-\frac{1}{8}a^{8}+\frac{1}{4}a^{7}-\frac{1}{8}a^{6}-\frac{1}{2}a^{5}+\frac{1}{8}a^{4}-\frac{1}{4}a^{3}-\frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{24}a^{22}+\frac{1}{24}a^{16}-\frac{1}{8}a^{15}-\frac{1}{8}a^{14}-\frac{1}{12}a^{13}+\frac{1}{8}a^{12}-\frac{1}{4}a^{11}+\frac{1}{8}a^{9}-\frac{1}{4}a^{8}+\frac{3}{8}a^{7}+\frac{1}{4}a^{6}-\frac{1}{8}a^{5}-\frac{1}{2}a^{4}-\frac{1}{4}a^{3}-\frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{24}a^{23}+\frac{1}{24}a^{17}-\frac{1}{8}a^{16}-\frac{1}{8}a^{15}-\frac{1}{12}a^{14}-\frac{1}{8}a^{13}-\frac{1}{4}a^{11}+\frac{1}{8}a^{10}-\frac{1}{8}a^{8}-\frac{1}{4}a^{7}-\frac{3}{8}a^{6}+\frac{1}{4}a^{5}-\frac{1}{2}a^{4}-\frac{1}{4}a^{3}+\frac{5}{12}a^{2}$, $\frac{1}{6096}a^{24}+\frac{13}{2032}a^{23}-\frac{61}{3048}a^{22}+\frac{2}{127}a^{21}-\frac{79}{6096}a^{20}+\frac{1}{6096}a^{19}-\frac{121}{6096}a^{18}+\frac{691}{6096}a^{17}+\frac{45}{508}a^{16}-\frac{15}{254}a^{15}-\frac{25}{3048}a^{14}-\frac{89}{1016}a^{13}-\frac{167}{3048}a^{12}+\frac{34}{381}a^{11}-\frac{595}{6096}a^{10}+\frac{521}{6096}a^{9}-\frac{239}{3048}a^{8}+\frac{17}{3048}a^{7}-\frac{5}{48}a^{6}-\frac{1415}{6096}a^{5}+\frac{2021}{6096}a^{4}-\frac{87}{2032}a^{3}+\frac{71}{1524}a^{2}+\frac{761}{1524}a+\frac{251}{762}$, $\frac{1}{1871472}a^{25}+\frac{13}{935736}a^{24}+\frac{4451}{1871472}a^{23}+\frac{611}{467868}a^{22}+\frac{14929}{1871472}a^{21}-\frac{4253}{233934}a^{20}+\frac{2473}{935736}a^{19}+\frac{19039}{935736}a^{18}+\frac{36979}{623824}a^{17}+\frac{13223}{116967}a^{16}-\frac{13055}{155956}a^{15}+\frac{3061}{38989}a^{14}+\frac{57913}{467868}a^{13}-\frac{3965}{116967}a^{12}+\frac{273511}{1871472}a^{11}-\frac{98615}{935736}a^{10}+\frac{44319}{623824}a^{9}+\frac{2486}{116967}a^{8}+\frac{150307}{1871472}a^{7}+\frac{71055}{155956}a^{6}+\frac{150797}{935736}a^{5}-\frac{36765}{311912}a^{4}-\frac{621925}{1871472}a^{3}-\frac{35849}{467868}a^{2}-\frac{36235}{155956}a+\frac{54395}{233934}$, $\frac{1}{21\!\cdots\!84}a^{26}+\frac{16\!\cdots\!45}{71\!\cdots\!28}a^{25}+\frac{19\!\cdots\!65}{71\!\cdots\!28}a^{24}-\frac{49\!\cdots\!15}{71\!\cdots\!28}a^{23}+\frac{24\!\cdots\!61}{21\!\cdots\!84}a^{22}+\frac{44\!\cdots\!59}{21\!\cdots\!84}a^{21}-\frac{24\!\cdots\!05}{17\!\cdots\!32}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!92}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!53}{71\!\cdots\!28}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!67}{21\!\cdots\!84}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!31}{10\!\cdots\!92}a^{16}+\frac{48\!\cdots\!81}{26\!\cdots\!98}a^{15}+\frac{38\!\cdots\!27}{10\!\cdots\!92}a^{14}+\frac{26\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!49}a^{13}-\frac{21\!\cdots\!93}{21\!\cdots\!84}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!31}{21\!\cdots\!84}a^{11}+\frac{49\!\cdots\!19}{21\!\cdots\!84}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!93}{71\!\cdots\!28}a^{9}-\frac{32\!\cdots\!69}{21\!\cdots\!84}a^{8}-\frac{18\!\cdots\!29}{21\!\cdots\!84}a^{7}-\frac{72\!\cdots\!59}{17\!\cdots\!32}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!73}{10\!\cdots\!92}a^{5}+\frac{32\!\cdots\!77}{21\!\cdots\!84}a^{4}+\frac{66\!\cdots\!11}{71\!\cdots\!28}a^{3}+\frac{84\!\cdots\!17}{53\!\cdots\!96}a^{2}+\frac{36\!\cdots\!69}{17\!\cdots\!32}a-\frac{12\!\cdots\!85}{26\!\cdots\!98}$ Copy content Toggle raw display

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 
oscar: basis(OK)
 

Monogenic:  No
Index:  Not computed
Inessential primes:  $2$

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 
oscar: class_group(K)
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
 
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
 
Rank:  $26$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
oscar: rank(UK)
 
Torsion generator:   \( -1 \)  (order $2$) Copy content Toggle raw display
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
oscar: torsion_units_generator(OK)
 
Fundamental units:   $\frac{57\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!76}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!23}{34\!\cdots\!28}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!23}{85\!\cdots\!82}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!47}{34\!\cdots\!28}a^{23}-\frac{47\!\cdots\!55}{17\!\cdots\!64}a^{22}-\frac{24\!\cdots\!45}{34\!\cdots\!28}a^{21}+\frac{31\!\cdots\!95}{34\!\cdots\!28}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!21}{17\!\cdots\!64}a^{19}-\frac{49\!\cdots\!29}{28\!\cdots\!94}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!95}{17\!\cdots\!64}a^{17}+\frac{89\!\cdots\!33}{56\!\cdots\!88}a^{16}+\frac{34\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!76}a^{15}-\frac{27\!\cdots\!21}{34\!\cdots\!28}a^{14}-\frac{27\!\cdots\!23}{34\!\cdots\!28}a^{13}+\frac{81\!\cdots\!85}{34\!\cdots\!28}a^{12}+\frac{21\!\cdots\!33}{17\!\cdots\!64}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!67}{56\!\cdots\!88}a^{10}-\frac{39\!\cdots\!49}{34\!\cdots\!28}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!07}{34\!\cdots\!28}a^{8}+\frac{37\!\cdots\!55}{56\!\cdots\!88}a^{7}-\frac{32\!\cdots\!31}{17\!\cdots\!64}a^{6}-\frac{26\!\cdots\!43}{17\!\cdots\!64}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!09}{34\!\cdots\!28}a^{4}+\frac{72\!\cdots\!69}{17\!\cdots\!64}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!35}{56\!\cdots\!88}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!49}{85\!\cdots\!82}a+\frac{55\!\cdots\!05}{14\!\cdots\!47}$, $\frac{91\!\cdots\!81}{68\!\cdots\!56}a^{26}-\frac{93\!\cdots\!11}{68\!\cdots\!56}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!57}{22\!\cdots\!52}a^{24}+\frac{55\!\cdots\!25}{68\!\cdots\!56}a^{23}-\frac{13\!\cdots\!15}{68\!\cdots\!56}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!15}{68\!\cdots\!56}a^{21}+\frac{23\!\cdots\!39}{85\!\cdots\!82}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!97}{56\!\cdots\!88}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!79}{22\!\cdots\!52}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!05}{68\!\cdots\!56}a^{17}+\frac{64\!\cdots\!89}{14\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{26\!\cdots\!17}{34\!\cdots\!28}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!77}{56\!\cdots\!88}a^{14}-\frac{88\!\cdots\!29}{42\!\cdots\!41}a^{13}+\frac{46\!\cdots\!93}{68\!\cdots\!56}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!13}{68\!\cdots\!56}a^{11}-\frac{82\!\cdots\!63}{68\!\cdots\!56}a^{10}-\frac{73\!\cdots\!47}{22\!\cdots\!52}a^{9}+\frac{79\!\cdots\!61}{68\!\cdots\!56}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!43}{68\!\cdots\!56}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!39}{28\!\cdots\!94}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!76}a^{5}+\frac{89\!\cdots\!35}{68\!\cdots\!56}a^{4}+\frac{36\!\cdots\!57}{22\!\cdots\!52}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!45}{85\!\cdots\!82}a^{2}-\frac{30\!\cdots\!31}{56\!\cdots\!88}a+\frac{17\!\cdots\!85}{85\!\cdots\!82}$, $\frac{28\!\cdots\!57}{43\!\cdots\!84}a^{26}-\frac{56\!\cdots\!21}{86\!\cdots\!68}a^{25}-\frac{20\!\cdots\!35}{86\!\cdots\!68}a^{24}+\frac{55\!\cdots\!45}{14\!\cdots\!28}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!23}{14\!\cdots\!28}a^{22}-\frac{80\!\cdots\!25}{86\!\cdots\!68}a^{21}+\frac{93\!\cdots\!77}{86\!\cdots\!68}a^{20}+\frac{34\!\cdots\!27}{28\!\cdots\!56}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!51}{86\!\cdots\!68}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!47}{14\!\cdots\!28}a^{17}+\frac{82\!\cdots\!45}{43\!\cdots\!84}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!89}{43\!\cdots\!84}a^{15}-\frac{42\!\cdots\!55}{43\!\cdots\!84}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!46}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!09}{72\!\cdots\!64}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!05}{86\!\cdots\!68}a^{11}-\frac{42\!\cdots\!25}{86\!\cdots\!68}a^{10}-\frac{40\!\cdots\!87}{21\!\cdots\!92}a^{9}+\frac{48\!\cdots\!43}{10\!\cdots\!46}a^{8}+\frac{97\!\cdots\!75}{86\!\cdots\!68}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!41}{86\!\cdots\!68}a^{6}-\frac{72\!\cdots\!05}{28\!\cdots\!56}a^{5}+\frac{33\!\cdots\!95}{86\!\cdots\!68}a^{4}+\frac{75\!\cdots\!17}{14\!\cdots\!28}a^{3}-\frac{32\!\cdots\!77}{10\!\cdots\!46}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!83}{10\!\cdots\!46}a+\frac{19\!\cdots\!91}{54\!\cdots\!73}$, $\frac{10\!\cdots\!95}{28\!\cdots\!56}a^{26}-\frac{61\!\cdots\!99}{18\!\cdots\!91}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!97}{86\!\cdots\!68}a^{24}+\frac{36\!\cdots\!98}{18\!\cdots\!91}a^{23}+\frac{57\!\cdots\!61}{86\!\cdots\!68}a^{22}-\frac{21\!\cdots\!45}{43\!\cdots\!84}a^{21}+\frac{62\!\cdots\!57}{14\!\cdots\!28}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!37}{21\!\cdots\!92}a^{19}-\frac{81\!\cdots\!09}{86\!\cdots\!68}a^{18}-\frac{75\!\cdots\!99}{14\!\cdots\!28}a^{17}+\frac{31\!\cdots\!91}{36\!\cdots\!82}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!93}{54\!\cdots\!73}a^{15}-\frac{65\!\cdots\!89}{14\!\cdots\!28}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!39}{14\!\cdots\!28}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!37}{86\!\cdots\!68}a^{12}+\frac{27\!\cdots\!55}{18\!\cdots\!91}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!37}{86\!\cdots\!68}a^{10}-\frac{40\!\cdots\!03}{21\!\cdots\!92}a^{9}+\frac{56\!\cdots\!29}{28\!\cdots\!56}a^{8}+\frac{28\!\cdots\!75}{21\!\cdots\!92}a^{7}-\frac{39\!\cdots\!71}{54\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{56\!\cdots\!95}{14\!\cdots\!28}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!25}{86\!\cdots\!68}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!43}{72\!\cdots\!64}a^{3}-\frac{49\!\cdots\!53}{72\!\cdots\!64}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!85}{54\!\cdots\!73}a-\frac{75\!\cdots\!82}{18\!\cdots\!91}$, $\frac{13\!\cdots\!57}{89\!\cdots\!66}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!31}{10\!\cdots\!92}a^{25}-\frac{17\!\cdots\!53}{21\!\cdots\!84}a^{24}+\frac{16\!\cdots\!23}{21\!\cdots\!84}a^{23}+\frac{16\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!92}a^{22}-\frac{18\!\cdots\!15}{89\!\cdots\!66}a^{21}-\frac{26\!\cdots\!87}{21\!\cdots\!84}a^{20}+\frac{21\!\cdots\!51}{71\!\cdots\!28}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!53}{21\!\cdots\!84}a^{18}-\frac{58\!\cdots\!55}{21\!\cdots\!84}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!35}{17\!\cdots\!32}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!49}a^{15}-\frac{42\!\cdots\!37}{10\!\cdots\!92}a^{14}-\frac{61\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!92}a^{13}+\frac{38\!\cdots\!23}{35\!\cdots\!64}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!47}{10\!\cdots\!92}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!97}{21\!\cdots\!84}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!57}{71\!\cdots\!28}a^{9}-\frac{26\!\cdots\!47}{10\!\cdots\!92}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!65}{10\!\cdots\!92}a^{7}+\frac{30\!\cdots\!35}{71\!\cdots\!28}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!59}{21\!\cdots\!84}a^{5}-\frac{34\!\cdots\!01}{21\!\cdots\!84}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!57}{21\!\cdots\!84}a^{3}+\frac{32\!\cdots\!43}{17\!\cdots\!32}a^{2}-\frac{43\!\cdots\!73}{17\!\cdots\!32}a-\frac{14\!\cdots\!25}{89\!\cdots\!66}$, $\frac{19\!\cdots\!33}{71\!\cdots\!28}a^{26}-\frac{59\!\cdots\!41}{21\!\cdots\!84}a^{25}-\frac{67\!\cdots\!09}{71\!\cdots\!28}a^{24}+\frac{35\!\cdots\!19}{21\!\cdots\!84}a^{23}-\frac{44\!\cdots\!11}{21\!\cdots\!84}a^{22}-\frac{85\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!84}a^{21}+\frac{18\!\cdots\!35}{35\!\cdots\!64}a^{20}+\frac{90\!\cdots\!17}{17\!\cdots\!32}a^{19}-\frac{70\!\cdots\!05}{71\!\cdots\!28}a^{18}-\frac{80\!\cdots\!81}{21\!\cdots\!84}a^{17}+\frac{95\!\cdots\!85}{10\!\cdots\!92}a^{16}+\frac{90\!\cdots\!15}{53\!\cdots\!96}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!43}{26\!\cdots\!98}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!97}{35\!\cdots\!64}a^{13}+\frac{30\!\cdots\!71}{21\!\cdots\!84}a^{12}+\frac{51\!\cdots\!21}{71\!\cdots\!28}a^{11}-\frac{54\!\cdots\!21}{21\!\cdots\!84}a^{10}-\frac{49\!\cdots\!95}{71\!\cdots\!28}a^{9}+\frac{18\!\cdots\!89}{71\!\cdots\!28}a^{8}+\frac{88\!\cdots\!57}{21\!\cdots\!84}a^{7}-\frac{25\!\cdots\!27}{17\!\cdots\!32}a^{6}-\frac{47\!\cdots\!55}{35\!\cdots\!64}a^{5}+\frac{80\!\cdots\!41}{21\!\cdots\!84}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!63}{71\!\cdots\!28}a^{3}-\frac{21\!\cdots\!49}{53\!\cdots\!96}a^{2}+\frac{30\!\cdots\!33}{53\!\cdots\!96}a+\frac{19\!\cdots\!93}{26\!\cdots\!98}$, $\frac{14\!\cdots\!63}{16\!\cdots\!92}a^{26}-\frac{14\!\cdots\!69}{16\!\cdots\!92}a^{25}-\frac{90\!\cdots\!59}{28\!\cdots\!32}a^{24}+\frac{44\!\cdots\!01}{84\!\cdots\!96}a^{23}+\frac{66\!\cdots\!67}{16\!\cdots\!92}a^{22}-\frac{21\!\cdots\!17}{16\!\cdots\!92}a^{21}+\frac{23\!\cdots\!61}{16\!\cdots\!92}a^{20}+\frac{92\!\cdots\!49}{56\!\cdots\!64}a^{19}-\frac{39\!\cdots\!29}{14\!\cdots\!16}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!19}{10\!\cdots\!87}a^{17}+\frac{71\!\cdots\!37}{28\!\cdots\!32}a^{16}+\frac{48\!\cdots\!31}{84\!\cdots\!96}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!09}{14\!\cdots\!16}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!33}{84\!\cdots\!96}a^{13}+\frac{66\!\cdots\!53}{16\!\cdots\!92}a^{12}+\frac{48\!\cdots\!73}{16\!\cdots\!92}a^{11}-\frac{29\!\cdots\!87}{42\!\cdots\!48}a^{10}-\frac{44\!\cdots\!89}{14\!\cdots\!16}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!03}{16\!\cdots\!92}a^{8}+\frac{36\!\cdots\!17}{16\!\cdots\!92}a^{7}-\frac{17\!\cdots\!17}{56\!\cdots\!64}a^{6}-\frac{40\!\cdots\!29}{56\!\cdots\!64}a^{5}+\frac{68\!\cdots\!43}{10\!\cdots\!87}a^{4}+\frac{25\!\cdots\!83}{28\!\cdots\!32}a^{3}-\frac{53\!\cdots\!66}{10\!\cdots\!87}a^{2}-\frac{53\!\cdots\!91}{35\!\cdots\!29}a+\frac{63\!\cdots\!32}{10\!\cdots\!87}$, $\frac{11\!\cdots\!77}{56\!\cdots\!64}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!91}{84\!\cdots\!96}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!63}{21\!\cdots\!74}a^{24}+\frac{20\!\cdots\!27}{16\!\cdots\!92}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!51}{16\!\cdots\!92}a^{22}-\frac{24\!\cdots\!15}{84\!\cdots\!96}a^{21}+\frac{93\!\cdots\!79}{16\!\cdots\!92}a^{20}+\frac{59\!\cdots\!73}{16\!\cdots\!92}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!85}{28\!\cdots\!32}a^{18}-\frac{41\!\cdots\!21}{16\!\cdots\!92}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!53}{14\!\cdots\!16}a^{16}+\frac{33\!\cdots\!23}{35\!\cdots\!29}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!21}{42\!\cdots\!48}a^{14}-\frac{81\!\cdots\!95}{42\!\cdots\!48}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!09}{16\!\cdots\!92}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!19}{84\!\cdots\!96}a^{11}-\frac{30\!\cdots\!41}{14\!\cdots\!16}a^{10}+\frac{20\!\cdots\!45}{16\!\cdots\!92}a^{9}+\frac{37\!\cdots\!75}{16\!\cdots\!92}a^{8}-\frac{66\!\cdots\!15}{28\!\cdots\!32}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!99}{16\!\cdots\!92}a^{6}+\frac{21\!\cdots\!87}{16\!\cdots\!92}a^{5}+\frac{23\!\cdots\!69}{84\!\cdots\!96}a^{4}-\frac{49\!\cdots\!87}{16\!\cdots\!92}a^{3}-\frac{87\!\cdots\!04}{35\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!09}{42\!\cdots\!48}a+\frac{84\!\cdots\!59}{70\!\cdots\!58}$, $\frac{60\!\cdots\!17}{71\!\cdots\!28}a^{26}-\frac{90\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!92}a^{25}-\frac{66\!\cdots\!37}{21\!\cdots\!84}a^{24}+\frac{53\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!92}a^{23}+\frac{80\!\cdots\!13}{21\!\cdots\!84}a^{22}-\frac{21\!\cdots\!65}{17\!\cdots\!32}a^{21}+\frac{72\!\cdots\!39}{53\!\cdots\!96}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!75}{89\!\cdots\!66}a^{19}-\frac{57\!\cdots\!61}{21\!\cdots\!84}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!71}{10\!\cdots\!92}a^{17}+\frac{43\!\cdots\!03}{17\!\cdots\!32}a^{16}+\frac{59\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!92}a^{15}-\frac{33\!\cdots\!35}{26\!\cdots\!98}a^{14}-\frac{41\!\cdots\!17}{26\!\cdots\!98}a^{13}+\frac{26\!\cdots\!37}{71\!\cdots\!28}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!17}{53\!\cdots\!96}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!37}{21\!\cdots\!84}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!13}{35\!\cdots\!64}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!77}{21\!\cdots\!84}a^{8}+\frac{26\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!49}a^{7}-\frac{46\!\cdots\!17}{17\!\cdots\!32}a^{6}-\frac{58\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!92}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!27}{21\!\cdots\!84}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!59}{26\!\cdots\!98}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!76}{44\!\cdots\!83}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!57}{89\!\cdots\!66}a+\frac{15\!\cdots\!79}{44\!\cdots\!83}$, $\frac{36\!\cdots\!91}{71\!\cdots\!28}a^{26}-\frac{18\!\cdots\!49}{35\!\cdots\!64}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!09}{53\!\cdots\!96}a^{24}+\frac{64\!\cdots\!85}{21\!\cdots\!84}a^{23}+\frac{57\!\cdots\!29}{21\!\cdots\!84}a^{22}-\frac{26\!\cdots\!65}{35\!\cdots\!64}a^{21}+\frac{57\!\cdots\!11}{71\!\cdots\!28}a^{20}+\frac{67\!\cdots\!19}{71\!\cdots\!28}a^{19}-\frac{17\!\cdots\!85}{10\!\cdots\!92}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!21}{21\!\cdots\!84}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!92}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!06}{44\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{79\!\cdots\!97}{10\!\cdots\!92}a^{14}-\frac{24\!\cdots\!91}{26\!\cdots\!98}a^{13}+\frac{46\!\cdots\!27}{21\!\cdots\!84}a^{12}+\frac{27\!\cdots\!09}{17\!\cdots\!32}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!03}{35\!\cdots\!64}a^{10}-\frac{33\!\cdots\!75}{21\!\cdots\!84}a^{9}+\frac{23\!\cdots\!81}{71\!\cdots\!28}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!29}{17\!\cdots\!32}a^{7}-\frac{29\!\cdots\!29}{21\!\cdots\!84}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!27}{71\!\cdots\!28}a^{5}+\frac{46\!\cdots\!35}{17\!\cdots\!32}a^{4}-\frac{76\!\cdots\!31}{71\!\cdots\!28}a^{3}-\frac{24\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!49}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!35}{53\!\cdots\!96}a+\frac{40\!\cdots\!01}{26\!\cdots\!98}$, $\frac{26\!\cdots\!19}{10\!\cdots\!92}a^{26}-\frac{93\!\cdots\!75}{35\!\cdots\!64}a^{25}-\frac{53\!\cdots\!87}{71\!\cdots\!28}a^{24}+\frac{32\!\cdots\!39}{21\!\cdots\!84}a^{23}-\frac{89\!\cdots\!37}{10\!\cdots\!92}a^{22}-\frac{37\!\cdots\!23}{10\!\cdots\!92}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!99}{21\!\cdots\!84}a^{20}+\frac{90\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!84}a^{19}-\frac{23\!\cdots\!21}{21\!\cdots\!84}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!39}{71\!\cdots\!28}a^{17}+\frac{33\!\cdots\!55}{35\!\cdots\!64}a^{16}+\frac{45\!\cdots\!14}{44\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!67}{26\!\cdots\!98}a^{14}-\frac{56\!\cdots\!67}{35\!\cdots\!64}a^{13}+\frac{61\!\cdots\!92}{44\!\cdots\!83}a^{12}-\frac{65\!\cdots\!97}{89\!\cdots\!66}a^{11}-\frac{51\!\cdots\!31}{21\!\cdots\!84}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!07}{21\!\cdots\!84}a^{9}+\frac{87\!\cdots\!03}{35\!\cdots\!64}a^{8}-\frac{67\!\cdots\!89}{10\!\cdots\!92}a^{7}-\frac{28\!\cdots\!77}{21\!\cdots\!84}a^{6}+\frac{45\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!84}a^{5}+\frac{67\!\cdots\!51}{21\!\cdots\!84}a^{4}-\frac{43\!\cdots\!35}{21\!\cdots\!84}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!01}{53\!\cdots\!96}a^{2}+\frac{33\!\cdots\!85}{53\!\cdots\!96}a+\frac{87\!\cdots\!21}{26\!\cdots\!98}$, $\frac{51\!\cdots\!19}{69\!\cdots\!12}a^{26}-\frac{53\!\cdots\!67}{71\!\cdots\!28}a^{25}-\frac{51\!\cdots\!05}{21\!\cdots\!84}a^{24}+\frac{94\!\cdots\!31}{21\!\cdots\!84}a^{23}-\frac{81\!\cdots\!87}{71\!\cdots\!28}a^{22}-\frac{22\!\cdots\!99}{21\!\cdots\!84}a^{21}+\frac{16\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!92}a^{20}+\frac{23\!\cdots\!43}{17\!\cdots\!32}a^{19}-\frac{59\!\cdots\!49}{21\!\cdots\!84}a^{18}-\frac{69\!\cdots\!51}{71\!\cdots\!28}a^{17}+\frac{89\!\cdots\!29}{35\!\cdots\!64}a^{16}+\frac{44\!\cdots\!69}{10\!\cdots\!92}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!21}{10\!\cdots\!92}a^{14}-\frac{93\!\cdots\!75}{89\!\cdots\!66}a^{13}+\frac{82\!\cdots\!93}{21\!\cdots\!84}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!59}{71\!\cdots\!28}a^{11}-\frac{48\!\cdots\!33}{71\!\cdots\!28}a^{10}-\frac{85\!\cdots\!55}{71\!\cdots\!28}a^{9}+\frac{48\!\cdots\!25}{71\!\cdots\!28}a^{8}+\frac{43\!\cdots\!43}{71\!\cdots\!28}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!47}{35\!\cdots\!64}a^{6}-\frac{21\!\cdots\!45}{10\!\cdots\!92}a^{5}+\frac{57\!\cdots\!59}{71\!\cdots\!28}a^{4}+\frac{51\!\cdots\!89}{21\!\cdots\!84}a^{3}-\frac{36\!\cdots\!57}{53\!\cdots\!96}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!13}{17\!\cdots\!32}a+\frac{25\!\cdots\!99}{26\!\cdots\!98}$, $\frac{10\!\cdots\!25}{10\!\cdots\!92}a^{26}-\frac{20\!\cdots\!89}{21\!\cdots\!84}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!45}{44\!\cdots\!83}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!29}{21\!\cdots\!84}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!07}{26\!\cdots\!98}a^{22}-\frac{29\!\cdots\!05}{21\!\cdots\!84}a^{21}+\frac{94\!\cdots\!25}{53\!\cdots\!96}a^{20}+\frac{31\!\cdots\!49}{17\!\cdots\!32}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!47}{35\!\cdots\!64}a^{18}-\frac{27\!\cdots\!55}{21\!\cdots\!84}a^{17}+\frac{53\!\cdots\!27}{17\!\cdots\!32}a^{16}+\frac{77\!\cdots\!56}{13\!\cdots\!49}a^{15}-\frac{68\!\cdots\!25}{44\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{83\!\cdots\!99}{53\!\cdots\!96}a^{13}+\frac{49\!\cdots\!09}{10\!\cdots\!92}a^{12}+\frac{53\!\cdots\!53}{21\!\cdots\!84}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!36}{13\!\cdots\!49}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!39}{71\!\cdots\!28}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!49}a^{8}+\frac{31\!\cdots\!53}{21\!\cdots\!84}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!28}{44\!\cdots\!83}a^{6}-\frac{71\!\cdots\!45}{17\!\cdots\!32}a^{5}+\frac{85\!\cdots\!99}{10\!\cdots\!92}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!61}{71\!\cdots\!28}a^{3}-\frac{87\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!49}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!39}{17\!\cdots\!32}a+\frac{22\!\cdots\!81}{26\!\cdots\!98}$, $\frac{35\!\cdots\!67}{21\!\cdots\!84}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!92}a^{25}-\frac{60\!\cdots\!41}{10\!\cdots\!92}a^{24}+\frac{70\!\cdots\!17}{71\!\cdots\!28}a^{23}-\frac{77\!\cdots\!27}{71\!\cdots\!28}a^{22}-\frac{25\!\cdots\!97}{10\!\cdots\!92}a^{21}+\frac{22\!\cdots\!97}{71\!\cdots\!28}a^{20}+\frac{65\!\cdots\!35}{21\!\cdots\!84}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!96}{44\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{48\!\cdots\!81}{21\!\cdots\!84}a^{17}+\frac{24\!\cdots\!21}{44\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{53\!\cdots\!05}{53\!\cdots\!96}a^{15}-\frac{76\!\cdots\!75}{26\!\cdots\!98}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!75}{53\!\cdots\!96}a^{13}+\frac{64\!\cdots\!59}{71\!\cdots\!28}a^{12}+\frac{42\!\cdots\!47}{10\!\cdots\!92}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!53}{10\!\cdots\!92}a^{10}-\frac{64\!\cdots\!07}{21\!\cdots\!84}a^{9}+\frac{40\!\cdots\!33}{21\!\cdots\!84}a^{8}+\frac{88\!\cdots\!99}{10\!\cdots\!92}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!47}{21\!\cdots\!84}a^{6}+\frac{52\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!84}a^{5}+\frac{59\!\cdots\!11}{17\!\cdots\!32}a^{4}-\frac{38\!\cdots\!51}{21\!\cdots\!84}a^{3}-\frac{49\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!49}a^{2}+\frac{89\!\cdots\!69}{53\!\cdots\!96}a+\frac{15\!\cdots\!21}{26\!\cdots\!98}$, $\frac{10\!\cdots\!55}{21\!\cdots\!84}a^{26}-\frac{43\!\cdots\!21}{89\!\cdots\!66}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!13}{71\!\cdots\!28}a^{24}+\frac{31\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!92}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!55}{21\!\cdots\!84}a^{22}-\frac{18\!\cdots\!11}{26\!\cdots\!98}a^{21}+\frac{45\!\cdots\!05}{53\!\cdots\!96}a^{20}+\frac{32\!\cdots\!77}{35\!\cdots\!64}a^{19}-\frac{34\!\cdots\!71}{21\!\cdots\!84}a^{18}-\frac{73\!\cdots\!47}{10\!\cdots\!92}a^{17}+\frac{79\!\cdots\!57}{53\!\cdots\!96}a^{16}+\frac{41\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!49}a^{15}-\frac{40\!\cdots\!21}{53\!\cdots\!96}a^{14}-\frac{47\!\cdots\!11}{53\!\cdots\!96}a^{13}+\frac{48\!\cdots\!81}{21\!\cdots\!84}a^{12}+\frac{68\!\cdots\!61}{44\!\cdots\!83}a^{11}-\frac{28\!\cdots\!71}{71\!\cdots\!28}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!65}{10\!\cdots\!92}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!65}{71\!\cdots\!28}a^{8}+\frac{20\!\cdots\!29}{17\!\cdots\!32}a^{7}-\frac{91\!\cdots\!21}{53\!\cdots\!96}a^{6}-\frac{41\!\cdots\!53}{10\!\cdots\!92}a^{5}+\frac{24\!\cdots\!73}{71\!\cdots\!28}a^{4}+\frac{49\!\cdots\!49}{10\!\cdots\!92}a^{3}-\frac{27\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!49}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!75}{26\!\cdots\!98}a-\frac{17\!\cdots\!99}{44\!\cdots\!83}$, $\frac{65\!\cdots\!21}{53\!\cdots\!96}a^{26}-\frac{25\!\cdots\!79}{21\!\cdots\!84}a^{25}-\frac{94\!\cdots\!43}{21\!\cdots\!84}a^{24}+\frac{76\!\cdots\!37}{10\!\cdots\!92}a^{23}+\frac{17\!\cdots\!01}{35\!\cdots\!64}a^{22}-\frac{37\!\cdots\!63}{21\!\cdots\!84}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!89}{71\!\cdots\!28}a^{20}+\frac{48\!\cdots\!27}{21\!\cdots\!84}a^{19}-\frac{82\!\cdots\!77}{21\!\cdots\!84}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!03}{10\!\cdots\!92}a^{17}+\frac{37\!\cdots\!45}{10\!\cdots\!92}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!29}{26\!\cdots\!98}a^{15}-\frac{64\!\cdots\!87}{35\!\cdots\!64}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!27}{89\!\cdots\!66}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!87}{26\!\cdots\!98}a^{12}+\frac{79\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!84}a^{11}-\frac{67\!\cdots\!89}{71\!\cdots\!28}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!27}{53\!\cdots\!96}a^{9}+\frac{96\!\cdots\!63}{10\!\cdots\!92}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!35}{71\!\cdots\!28}a^{7}-\frac{92\!\cdots\!59}{21\!\cdots\!84}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!39}{21\!\cdots\!84}a^{5}+\frac{20\!\cdots\!63}{21\!\cdots\!84}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!93}{17\!\cdots\!32}a^{3}-\frac{41\!\cdots\!99}{53\!\cdots\!96}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!14}{44\!\cdots\!83}a+\frac{46\!\cdots\!06}{44\!\cdots\!83}$, $\frac{46\!\cdots\!69}{21\!\cdots\!84}a^{26}-\frac{37\!\cdots\!89}{17\!\cdots\!32}a^{25}-\frac{58\!\cdots\!25}{71\!\cdots\!28}a^{24}+\frac{56\!\cdots\!91}{44\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{60\!\cdots\!21}{21\!\cdots\!84}a^{22}-\frac{33\!\cdots\!39}{10\!\cdots\!92}a^{21}+\frac{32\!\cdots\!11}{10\!\cdots\!92}a^{20}+\frac{72\!\cdots\!51}{17\!\cdots\!32}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!57}{21\!\cdots\!84}a^{18}-\frac{27\!\cdots\!05}{89\!\cdots\!66}a^{17}+\frac{30\!\cdots\!87}{53\!\cdots\!96}a^{16}+\frac{77\!\cdots\!15}{53\!\cdots\!96}a^{15}-\frac{31\!\cdots\!31}{10\!\cdots\!92}a^{14}-\frac{45\!\cdots\!09}{10\!\cdots\!92}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!77}{21\!\cdots\!84}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!61}{26\!\cdots\!98}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!53}{71\!\cdots\!28}a^{10}-\frac{46\!\cdots\!67}{53\!\cdots\!96}a^{9}+\frac{29\!\cdots\!71}{21\!\cdots\!84}a^{8}+\frac{53\!\cdots\!97}{89\!\cdots\!66}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!11}{21\!\cdots\!74}a^{6}-\frac{65\!\cdots\!21}{35\!\cdots\!64}a^{5}+\frac{92\!\cdots\!79}{71\!\cdots\!28}a^{4}+\frac{22\!\cdots\!03}{10\!\cdots\!92}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!49}a^{2}-\frac{61\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!49}a+\frac{94\!\cdots\!82}{44\!\cdots\!83}$, $\frac{15\!\cdots\!35}{35\!\cdots\!64}a^{26}-\frac{24\!\cdots\!71}{71\!\cdots\!28}a^{25}-\frac{47\!\cdots\!55}{21\!\cdots\!84}a^{24}+\frac{23\!\cdots\!75}{10\!\cdots\!92}a^{23}+\frac{45\!\cdots\!03}{10\!\cdots\!92}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!03}{21\!\cdots\!84}a^{21}-\frac{70\!\cdots\!55}{21\!\cdots\!84}a^{20}+\frac{60\!\cdots\!25}{71\!\cdots\!28}a^{19}-\frac{69\!\cdots\!85}{21\!\cdots\!84}a^{18}-\frac{99\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!49}a^{17}+\frac{97\!\cdots\!05}{53\!\cdots\!96}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!75}{35\!\cdots\!64}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!37}{10\!\cdots\!92}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!92}a^{13}+\frac{41\!\cdots\!43}{10\!\cdots\!92}a^{12}+\frac{78\!\cdots\!99}{21\!\cdots\!84}a^{11}-\frac{32\!\cdots\!51}{71\!\cdots\!28}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!41}{35\!\cdots\!64}a^{9}-\frac{46\!\cdots\!95}{26\!\cdots\!98}a^{8}+\frac{31\!\cdots\!67}{71\!\cdots\!28}a^{7}+\frac{55\!\cdots\!95}{71\!\cdots\!28}a^{6}-\frac{36\!\cdots\!23}{21\!\cdots\!84}a^{5}-\frac{29\!\cdots\!39}{71\!\cdots\!28}a^{4}+\frac{72\!\cdots\!27}{26\!\cdots\!98}a^{3}+\frac{58\!\cdots\!95}{89\!\cdots\!66}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!49}a-\frac{20\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!49}$, $\frac{32\!\cdots\!59}{49\!\cdots\!86}a^{26}-\frac{68\!\cdots\!51}{98\!\cdots\!72}a^{25}-\frac{79\!\cdots\!39}{39\!\cdots\!88}a^{24}+\frac{48\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!64}a^{23}-\frac{62\!\cdots\!13}{29\!\cdots\!16}a^{22}-\frac{47\!\cdots\!59}{49\!\cdots\!86}a^{21}+\frac{19\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!64}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!64}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!45}{39\!\cdots\!88}a^{18}-\frac{32\!\cdots\!15}{39\!\cdots\!88}a^{17}+\frac{24\!\cdots\!71}{98\!\cdots\!72}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!41}{98\!\cdots\!72}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!27}{98\!\cdots\!72}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!41}{24\!\cdots\!43}a^{13}+\frac{86\!\cdots\!22}{24\!\cdots\!43}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!85}{29\!\cdots\!16}a^{11}-\frac{69\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!64}a^{10}+\frac{27\!\cdots\!19}{39\!\cdots\!88}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!71}{29\!\cdots\!16}a^{8}-\frac{38\!\cdots\!83}{73\!\cdots\!29}a^{7}-\frac{84\!\cdots\!97}{39\!\cdots\!88}a^{6}+\frac{44\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!64}a^{5}+\frac{38\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!64}a^{4}-\frac{30\!\cdots\!17}{39\!\cdots\!88}a^{3}-\frac{54\!\cdots\!10}{73\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{54\!\cdots\!89}{29\!\cdots\!16}a+\frac{43\!\cdots\!83}{49\!\cdots\!86}$, $\frac{14\!\cdots\!16}{44\!\cdots\!83}a^{26}-\frac{22\!\cdots\!45}{71\!\cdots\!28}a^{25}-\frac{24\!\cdots\!97}{21\!\cdots\!84}a^{24}+\frac{19\!\cdots\!07}{10\!\cdots\!92}a^{23}+\frac{27\!\cdots\!21}{26\!\cdots\!98}a^{22}-\frac{32\!\cdots\!91}{71\!\cdots\!28}a^{21}+\frac{38\!\cdots\!99}{71\!\cdots\!28}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!71}{21\!\cdots\!84}a^{19}-\frac{73\!\cdots\!53}{71\!\cdots\!28}a^{18}-\frac{23\!\cdots\!83}{53\!\cdots\!96}a^{17}+\frac{33\!\cdots\!73}{35\!\cdots\!64}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!85}{53\!\cdots\!96}a^{15}-\frac{51\!\cdots\!83}{10\!\cdots\!92}a^{14}-\frac{48\!\cdots\!85}{89\!\cdots\!66}a^{13}+\frac{38\!\cdots\!99}{26\!\cdots\!98}a^{12}+\frac{65\!\cdots\!11}{71\!\cdots\!28}a^{11}-\frac{53\!\cdots\!25}{21\!\cdots\!84}a^{10}-\frac{49\!\cdots\!81}{53\!\cdots\!96}a^{9}+\frac{21\!\cdots\!57}{89\!\cdots\!66}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!03}{21\!\cdots\!84}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!41}{21\!\cdots\!84}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!73}{71\!\cdots\!28}a^{5}+\frac{50\!\cdots\!93}{21\!\cdots\!84}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!41}{10\!\cdots\!92}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!61}{53\!\cdots\!96}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!93}{26\!\cdots\!98}a+\frac{33\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!49}$, $\frac{22\!\cdots\!33}{21\!\cdots\!84}a^{26}-\frac{15\!\cdots\!63}{21\!\cdots\!84}a^{25}-\frac{35\!\cdots\!59}{53\!\cdots\!96}a^{24}+\frac{25\!\cdots\!55}{53\!\cdots\!96}a^{23}+\frac{38\!\cdots\!87}{21\!\cdots\!84}a^{22}-\frac{29\!\cdots\!03}{21\!\cdots\!84}a^{21}-\frac{58\!\cdots\!23}{21\!\cdots\!84}a^{20}+\frac{46\!\cdots\!37}{21\!\cdots\!84}a^{19}+\frac{93\!\cdots\!79}{35\!\cdots\!64}a^{18}-\frac{55\!\cdots\!71}{26\!\cdots\!98}a^{17}-\frac{22\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{45\!\cdots\!03}{35\!\cdots\!64}a^{15}+\frac{85\!\cdots\!53}{10\!\cdots\!92}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!87}{35\!\cdots\!64}a^{13}-\frac{59\!\cdots\!97}{21\!\cdots\!84}a^{12}+\frac{90\!\cdots\!83}{71\!\cdots\!28}a^{11}+\frac{36\!\cdots\!75}{53\!\cdots\!96}a^{10}-\frac{24\!\cdots\!56}{13\!\cdots\!49}a^{9}-\frac{79\!\cdots\!51}{71\!\cdots\!28}a^{8}+\frac{29\!\cdots\!25}{21\!\cdots\!84}a^{7}+\frac{20\!\cdots\!29}{21\!\cdots\!84}a^{6}-\frac{72\!\cdots\!65}{21\!\cdots\!84}a^{5}-\frac{51\!\cdots\!65}{17\!\cdots\!32}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!73}{53\!\cdots\!96}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!25}{53\!\cdots\!96}a^{2}-\frac{28\!\cdots\!31}{26\!\cdots\!98}a-\frac{14\!\cdots\!62}{44\!\cdots\!83}$, $\frac{13\!\cdots\!25}{71\!\cdots\!28}a^{26}-\frac{52\!\cdots\!71}{26\!\cdots\!98}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!63}{17\!\cdots\!32}a^{24}+\frac{25\!\cdots\!49}{21\!\cdots\!84}a^{23}-\frac{13\!\cdots\!31}{71\!\cdots\!28}a^{22}-\frac{15\!\cdots\!31}{53\!\cdots\!96}a^{21}+\frac{81\!\cdots\!39}{21\!\cdots\!84}a^{20}+\frac{76\!\cdots\!23}{21\!\cdots\!84}a^{19}-\frac{37\!\cdots\!67}{53\!\cdots\!96}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!83}{71\!\cdots\!28}a^{17}+\frac{84\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{30\!\cdots\!19}{26\!\cdots\!98}a^{15}-\frac{28\!\cdots\!11}{89\!\cdots\!66}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!45}{44\!\cdots\!83}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!09}{21\!\cdots\!84}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!57}{26\!\cdots\!98}a^{11}-\frac{29\!\cdots\!23}{17\!\cdots\!32}a^{10}-\frac{84\!\cdots\!77}{21\!\cdots\!84}a^{9}+\frac{34\!\cdots\!25}{21\!\cdots\!84}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!59}{89\!\cdots\!66}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!39}{21\!\cdots\!84}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!59}{21\!\cdots\!84}a^{5}+\frac{22\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!49}a^{4}+\frac{27\!\cdots\!29}{21\!\cdots\!84}a^{3}-\frac{73\!\cdots\!93}{53\!\cdots\!96}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!13}{17\!\cdots\!32}a+\frac{14\!\cdots\!81}{89\!\cdots\!66}$, $\frac{50\!\cdots\!35}{21\!\cdots\!84}a^{26}-\frac{50\!\cdots\!61}{21\!\cdots\!84}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!13}{17\!\cdots\!32}a^{24}+\frac{15\!\cdots\!13}{10\!\cdots\!92}a^{23}-\frac{27\!\cdots\!15}{71\!\cdots\!28}a^{22}-\frac{24\!\cdots\!07}{71\!\cdots\!28}a^{21}+\frac{29\!\cdots\!99}{71\!\cdots\!28}a^{20}+\frac{93\!\cdots\!33}{21\!\cdots\!84}a^{19}-\frac{42\!\cdots\!13}{53\!\cdots\!96}a^{18}-\frac{43\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!49}a^{17}+\frac{25\!\cdots\!59}{35\!\cdots\!64}a^{16}+\frac{77\!\cdots\!89}{53\!\cdots\!96}a^{15}-\frac{65\!\cdots\!07}{17\!\cdots\!32}a^{14}-\frac{42\!\cdots\!45}{10\!\cdots\!92}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!71}{21\!\cdots\!84}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!19}{21\!\cdots\!84}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!07}{53\!\cdots\!96}a^{10}-\frac{35\!\cdots\!49}{53\!\cdots\!96}a^{9}+\frac{38\!\cdots\!01}{21\!\cdots\!84}a^{8}+\frac{85\!\cdots\!01}{21\!\cdots\!84}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!93}{16\!\cdots\!92}a^{6}-\frac{23\!\cdots\!67}{21\!\cdots\!84}a^{5}+\frac{64\!\cdots\!73}{35\!\cdots\!64}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!49}a^{3}-\frac{80\!\cdots\!55}{53\!\cdots\!96}a^{2}+\frac{32\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!49}a+\frac{25\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!49}$, $\frac{35\!\cdots\!01}{71\!\cdots\!28}a^{26}-\frac{35\!\cdots\!81}{71\!\cdots\!28}a^{25}-\frac{90\!\cdots\!09}{53\!\cdots\!96}a^{24}+\frac{31\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!92}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!59}{21\!\cdots\!84}a^{22}-\frac{15\!\cdots\!71}{21\!\cdots\!84}a^{21}+\frac{68\!\cdots\!41}{71\!\cdots\!28}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!93}{16\!\cdots\!92}a^{19}-\frac{19\!\cdots\!31}{10\!\cdots\!92}a^{18}-\frac{71\!\cdots\!31}{10\!\cdots\!92}a^{17}+\frac{85\!\cdots\!29}{53\!\cdots\!96}a^{16}+\frac{31\!\cdots\!27}{10\!\cdots\!92}a^{15}-\frac{87\!\cdots\!29}{10\!\cdots\!92}a^{14}-\frac{83\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!92}a^{13}+\frac{17\!\cdots\!39}{71\!\cdots\!28}a^{12}+\frac{86\!\cdots\!91}{71\!\cdots\!28}a^{11}-\frac{22\!\cdots\!13}{53\!\cdots\!96}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!92}a^{9}+\frac{29\!\cdots\!11}{71\!\cdots\!28}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!17}{21\!\cdots\!84}a^{7}-\frac{42\!\cdots\!53}{21\!\cdots\!84}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!77}{71\!\cdots\!28}a^{5}+\frac{23\!\cdots\!73}{53\!\cdots\!96}a^{4}+\frac{63\!\cdots\!51}{35\!\cdots\!64}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!29}{53\!\cdots\!96}a^{2}+\frac{84\!\cdots\!35}{89\!\cdots\!66}a+\frac{54\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!49}$, $\frac{19\!\cdots\!67}{21\!\cdots\!84}a^{26}-\frac{22\!\cdots\!05}{26\!\cdots\!98}a^{25}-\frac{36\!\cdots\!19}{10\!\cdots\!92}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!03}{21\!\cdots\!84}a^{23}+\frac{34\!\cdots\!41}{21\!\cdots\!84}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!07}{10\!\cdots\!92}a^{21}+\frac{23\!\cdots\!33}{21\!\cdots\!84}a^{20}+\frac{36\!\cdots\!79}{21\!\cdots\!84}a^{19}-\frac{86\!\cdots\!79}{35\!\cdots\!64}a^{18}-\frac{28\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!84}a^{17}+\frac{24\!\cdots\!43}{10\!\cdots\!92}a^{16}+\frac{22\!\cdots\!07}{35\!\cdots\!64}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!91}{89\!\cdots\!66}a^{14}-\frac{20\!\cdots\!47}{10\!\cdots\!92}a^{13}+\frac{77\!\cdots\!53}{21\!\cdots\!84}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!45}{26\!\cdots\!98}a^{11}-\frac{28\!\cdots\!05}{44\!\cdots\!83}a^{10}-\frac{99\!\cdots\!41}{21\!\cdots\!84}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!53}{21\!\cdots\!84}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!63}{35\!\cdots\!64}a^{7}-\frac{56\!\cdots\!03}{21\!\cdots\!84}a^{6}-\frac{75\!\cdots\!49}{71\!\cdots\!28}a^{5}+\frac{64\!\cdots\!65}{10\!\cdots\!92}a^{4}+\frac{24\!\cdots\!47}{21\!\cdots\!84}a^{3}-\frac{79\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!49}a^{2}-\frac{89\!\cdots\!95}{53\!\cdots\!96}a+\frac{80\!\cdots\!77}{89\!\cdots\!66}$, $\frac{17\!\cdots\!15}{10\!\cdots\!92}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!05}{71\!\cdots\!28}a^{25}-\frac{25\!\cdots\!37}{35\!\cdots\!64}a^{24}+\frac{19\!\cdots\!85}{21\!\cdots\!84}a^{23}+\frac{25\!\cdots\!45}{35\!\cdots\!64}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!19}{71\!\cdots\!28}a^{21}+\frac{59\!\cdots\!79}{53\!\cdots\!96}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!43}{35\!\cdots\!64}a^{19}-\frac{35\!\cdots\!99}{10\!\cdots\!92}a^{18}-\frac{56\!\cdots\!99}{21\!\cdots\!84}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!28}{44\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!49}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!49}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!57}{44\!\cdots\!83}a^{13}+\frac{64\!\cdots\!13}{10\!\cdots\!92}a^{12}+\frac{65\!\cdots\!37}{71\!\cdots\!28}a^{11}-\frac{40\!\cdots\!79}{35\!\cdots\!64}a^{10}-\frac{25\!\cdots\!41}{21\!\cdots\!84}a^{9}+\frac{42\!\cdots\!55}{35\!\cdots\!64}a^{8}+\frac{66\!\cdots\!99}{71\!\cdots\!28}a^{7}-\frac{35\!\cdots\!77}{53\!\cdots\!96}a^{6}-\frac{36\!\cdots\!23}{10\!\cdots\!92}a^{5}+\frac{67\!\cdots\!45}{35\!\cdots\!64}a^{4}+\frac{95\!\cdots\!71}{21\!\cdots\!84}a^{3}-\frac{30\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!49}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!13}{17\!\cdots\!32}a+\frac{82\!\cdots\!61}{26\!\cdots\!98}$ Copy content Toggle raw display (assuming GRH)
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
 
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
 
Regulator:  \( 1149187264584812300 \) (assuming GRH)
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 
oscar: regulator(K)
 

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{27}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 1149187264584812300 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{27485917061841905258715957728464424188465393850574441}}\cr\approx \mathstrut & 0.465174153363904 \end{aligned}\] (assuming GRH)

# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
 
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 9*x^26 - 45*x^25 + 558*x^24 + 564*x^23 - 14325*x^22 + 3278*x^21 + 200187*x^20 - 152250*x^19 - 1689790*x^18 + 1662003*x^17 + 9058716*x^16 - 9244050*x^15 - 31587348*x^14 + 28970679*x^13 + 71864499*x^12 - 50585529*x^11 - 103930188*x^10 + 44676536*x^9 + 88142967*x^8 - 15697422*x^7 - 37059379*x^6 + 2104236*x^5 + 7157724*x^4 - 134797*x^3 - 528300*x^2 + 16716*x + 7064)
 
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
 
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
 
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
 
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
 
K = bnfinit(x^27 - 9*x^26 - 45*x^25 + 558*x^24 + 564*x^23 - 14325*x^22 + 3278*x^21 + 200187*x^20 - 152250*x^19 - 1689790*x^18 + 1662003*x^17 + 9058716*x^16 - 9244050*x^15 - 31587348*x^14 + 28970679*x^13 + 71864499*x^12 - 50585529*x^11 - 103930188*x^10 + 44676536*x^9 + 88142967*x^8 - 15697422*x^7 - 37059379*x^6 + 2104236*x^5 + 7157724*x^4 - 134797*x^3 - 528300*x^2 + 16716*x + 7064, 1);
 
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
 
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
 
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^27 - 9*x^26 - 45*x^25 + 558*x^24 + 564*x^23 - 14325*x^22 + 3278*x^21 + 200187*x^20 - 152250*x^19 - 1689790*x^18 + 1662003*x^17 + 9058716*x^16 - 9244050*x^15 - 31587348*x^14 + 28970679*x^13 + 71864499*x^12 - 50585529*x^11 - 103930188*x^10 + 44676536*x^9 + 88142967*x^8 - 15697422*x^7 - 37059379*x^6 + 2104236*x^5 + 7157724*x^4 - 134797*x^3 - 528300*x^2 + 16716*x + 7064);
 
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
 
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
 
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
 
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
 
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
 
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
 
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^27 - 9*x^26 - 45*x^25 + 558*x^24 + 564*x^23 - 14325*x^22 + 3278*x^21 + 200187*x^20 - 152250*x^19 - 1689790*x^18 + 1662003*x^17 + 9058716*x^16 - 9244050*x^15 - 31587348*x^14 + 28970679*x^13 + 71864499*x^12 - 50585529*x^11 - 103930188*x^10 + 44676536*x^9 + 88142967*x^8 - 15697422*x^7 - 37059379*x^6 + 2104236*x^5 + 7157724*x^4 - 134797*x^3 - 528300*x^2 + 16716*x + 7064);
 
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
 
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
 
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
 
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
 
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
 

Galois group

$C_3^3$ (as 27T4):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: G = GaloisGroup(K);
 
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
 
An abelian group of order 27
The 27 conjugacy class representatives for $C_3^3$
Character table for $C_3^3$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\zeta_{9})^+\), 3.3.13689.2, 3.3.13689.1, 3.3.169.1, 3.3.670761.2, 3.3.670761.4, 3.3.8281.2, \(\Q(\zeta_{7})^+\), 3.3.3969.2, 3.3.3969.1, 3.3.670761.1, 3.3.8281.1, 3.3.670761.3, 9.9.2565164201769.1, 9.9.301789003173921081.10, 9.9.62523502209.1, 9.9.301789003173921081.12, 9.9.301789003173921081.1, 9.9.301789003173921081.5, 9.9.301789003173921081.6, 9.9.301789003173921081.3, 9.9.301789003173921081.9, 9.9.301789003173921081.4, 9.9.301789003173921081.7, 9.9.301789003173921081.8, 9.9.567869252041.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

sage: K.subfields()[1:-1]
 
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
 
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
 
oscar: subfields(K)[2:end-1]
 

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type ${\href{/padicField/2.3.0.1}{3} }^{9}$ R ${\href{/padicField/5.3.0.1}{3} }^{9}$ R ${\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }^{9}$ R ${\href{/padicField/17.3.0.1}{3} }^{9}$ ${\href{/padicField/19.3.0.1}{3} }^{9}$ ${\href{/padicField/23.3.0.1}{3} }^{9}$ ${\href{/padicField/29.3.0.1}{3} }^{9}$ ${\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }^{9}$ ${\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }^{9}$ ${\href{/padicField/41.3.0.1}{3} }^{9}$ ${\href{/padicField/43.3.0.1}{3} }^{9}$ ${\href{/padicField/47.3.0.1}{3} }^{9}$ ${\href{/padicField/53.3.0.1}{3} }^{9}$ ${\href{/padicField/59.3.0.1}{3} }^{9}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
 
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
 
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
 
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
 
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
 
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
 
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
\(3\) Copy content Toggle raw display 3.9.12.1$x^{9} + 18 x^{8} + 108 x^{7} + 225 x^{6} + 108 x^{5} + 324 x^{4} + 675 x^{3} + 4050 x^{2} - 3861$$3$$3$$12$$C_3^2$$[2]^{3}$
3.9.12.1$x^{9} + 18 x^{8} + 108 x^{7} + 225 x^{6} + 108 x^{5} + 324 x^{4} + 675 x^{3} + 4050 x^{2} - 3861$$3$$3$$12$$C_3^2$$[2]^{3}$
3.9.12.1$x^{9} + 18 x^{8} + 108 x^{7} + 225 x^{6} + 108 x^{5} + 324 x^{4} + 675 x^{3} + 4050 x^{2} - 3861$$3$$3$$12$$C_3^2$$[2]^{3}$
\(7\) Copy content Toggle raw display 7.9.6.1$x^{9} + 18 x^{8} + 108 x^{7} + 249 x^{6} + 396 x^{5} + 1944 x^{4} + 2631 x^{3} - 2358 x^{2} - 756 x + 11915$$3$$3$$6$$C_3^2$$[\ ]_{3}^{3}$
7.9.6.1$x^{9} + 18 x^{8} + 108 x^{7} + 249 x^{6} + 396 x^{5} + 1944 x^{4} + 2631 x^{3} - 2358 x^{2} - 756 x + 11915$$3$$3$$6$$C_3^2$$[\ ]_{3}^{3}$
7.9.6.1$x^{9} + 18 x^{8} + 108 x^{7} + 249 x^{6} + 396 x^{5} + 1944 x^{4} + 2631 x^{3} - 2358 x^{2} - 756 x + 11915$$3$$3$$6$$C_3^2$$[\ ]_{3}^{3}$
\(13\) Copy content Toggle raw display 13.9.6.1$x^{9} + 6 x^{7} + 72 x^{6} + 12 x^{5} + 54 x^{4} - 2125 x^{3} + 288 x^{2} - 2160 x + 13928$$3$$3$$6$$C_3^2$$[\ ]_{3}^{3}$
13.9.6.1$x^{9} + 6 x^{7} + 72 x^{6} + 12 x^{5} + 54 x^{4} - 2125 x^{3} + 288 x^{2} - 2160 x + 13928$$3$$3$$6$$C_3^2$$[\ ]_{3}^{3}$
13.9.6.1$x^{9} + 6 x^{7} + 72 x^{6} + 12 x^{5} + 54 x^{4} - 2125 x^{3} + 288 x^{2} - 2160 x + 13928$$3$$3$$6$$C_3^2$$[\ ]_{3}^{3}$