Normalized defining polynomial
\( x^{25} - x^{24} - 48 x^{23} + 43 x^{22} + 946 x^{21} - 752 x^{20} - 9993 x^{19} + 6962 x^{18} + 62052 x^{17} + \cdots - 1 \)
Invariants
Degree: | $25$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
Signature: | $[25, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
Discriminant: | \(1269734648531914468903714880493455422104626762401\) \(\medspace = 101^{24}\) | sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
Root discriminant: | \(83.97\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
Galois root discriminant: | $101^{24/25}\approx 83.97471118269716$ | ||
Ramified primes: | \(101\) | sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
$\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $25$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
Conductor: | \(101\) | ||
Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{101}(1,·)$, $\chi_{101}(68,·)$, $\chi_{101}(5,·)$, $\chi_{101}(71,·)$, $\chi_{101}(78,·)$, $\chi_{101}(79,·)$, $\chi_{101}(16,·)$, $\chi_{101}(81,·)$, $\chi_{101}(19,·)$, $\chi_{101}(84,·)$, $\chi_{101}(87,·)$, $\chi_{101}(24,·)$, $\chi_{101}(25,·)$, $\chi_{101}(92,·)$, $\chi_{101}(31,·)$, $\chi_{101}(80,·)$, $\chi_{101}(36,·)$, $\chi_{101}(37,·)$, $\chi_{101}(97,·)$, $\chi_{101}(52,·)$, $\chi_{101}(54,·)$, $\chi_{101}(56,·)$, $\chi_{101}(88,·)$, $\chi_{101}(58,·)$, $\chi_{101}(95,·)$$\rbrace$ | ||
This is not a CM field. |
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $\frac{1}{809}a^{23}-\frac{315}{809}a^{22}+\frac{237}{809}a^{21}-\frac{290}{809}a^{20}+\frac{92}{809}a^{19}+\frac{157}{809}a^{18}+\frac{10}{809}a^{17}-\frac{88}{809}a^{16}-\frac{194}{809}a^{15}+\frac{162}{809}a^{14}+\frac{105}{809}a^{13}+\frac{333}{809}a^{12}-\frac{221}{809}a^{11}-\frac{126}{809}a^{10}-\frac{41}{809}a^{9}+\frac{366}{809}a^{8}+\frac{27}{809}a^{7}-\frac{136}{809}a^{6}-\frac{183}{809}a^{5}-\frac{129}{809}a^{4}+\frac{348}{809}a^{3}+\frac{100}{809}a^{2}-\frac{348}{809}a+\frac{133}{809}$, $\frac{1}{39\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{31\!\cdots\!19}{39\!\cdots\!59}a^{23}+\frac{15\!\cdots\!35}{39\!\cdots\!59}a^{22}-\frac{19\!\cdots\!46}{39\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{63\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!63}a^{20}+\frac{32\!\cdots\!67}{39\!\cdots\!59}a^{19}+\frac{45\!\cdots\!87}{39\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{92\!\cdots\!58}{39\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{19\!\cdots\!60}{39\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!51}{39\!\cdots\!59}a^{15}+\frac{43\!\cdots\!50}{39\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!87}{39\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!40}{39\!\cdots\!59}a^{12}+\frac{51\!\cdots\!40}{39\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!50}{39\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{68\!\cdots\!98}{39\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{38\!\cdots\!94}{39\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!36}{39\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!15}{39\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!97}{39\!\cdots\!59}a^{5}-\frac{31\!\cdots\!56}{39\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{60\!\cdots\!86}{39\!\cdots\!59}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!40}{39\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!63}{39\!\cdots\!59}a+\frac{33\!\cdots\!36}{39\!\cdots\!59}$
Monogenic: | Not computed | |
Index: | $1$ | |
Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
Unit group
Rank: | $24$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
Torsion generator: | \( -1 \) (order $2$) | sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
Fundamental units: | $\frac{55\!\cdots\!89}{39\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{80\!\cdots\!41}{39\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{26\!\cdots\!80}{39\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{36\!\cdots\!37}{39\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{17\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{65\!\cdots\!16}{39\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{53\!\cdots\!85}{39\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{63\!\cdots\!43}{39\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{33\!\cdots\!40}{39\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{36\!\cdots\!15}{39\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!84}{39\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!93}{39\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{28\!\cdots\!01}{39\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{26\!\cdots\!24}{39\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{39\!\cdots\!67}{39\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{32\!\cdots\!50}{39\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{32\!\cdots\!75}{39\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!84}{39\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!28}{39\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{81\!\cdots\!68}{39\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{31\!\cdots\!56}{39\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!34}{39\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{37\!\cdots\!19}{39\!\cdots\!59}a^{2}+\frac{27\!\cdots\!10}{39\!\cdots\!59}a+\frac{14\!\cdots\!97}{39\!\cdots\!59}$, $\frac{10\!\cdots\!81}{39\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{71\!\cdots\!71}{39\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{50\!\cdots\!31}{39\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{29\!\cdots\!85}{39\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{34\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{47\!\cdots\!21}{39\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!08}{39\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{40\!\cdots\!06}{39\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{67\!\cdots\!15}{39\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{18\!\cdots\!77}{39\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!26}{39\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{49\!\cdots\!06}{39\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{60\!\cdots\!31}{39\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{63\!\cdots\!86}{39\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{84\!\cdots\!55}{39\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{26\!\cdots\!38}{39\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{67\!\cdots\!38}{39\!\cdots\!59}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!14}{39\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{28\!\cdots\!37}{39\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{24\!\cdots\!45}{39\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{49\!\cdots\!43}{39\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{74\!\cdots\!64}{39\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{22\!\cdots\!94}{39\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{27\!\cdots\!74}{39\!\cdots\!59}a+\frac{24\!\cdots\!52}{39\!\cdots\!59}$, $\frac{34\!\cdots\!44}{39\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{33\!\cdots\!96}{39\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{16\!\cdots\!10}{39\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{14\!\cdots\!76}{39\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{25\!\cdots\!57}{39\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{34\!\cdots\!80}{39\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{23\!\cdots\!60}{39\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!02}{39\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!03}{39\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{80\!\cdots\!17}{39\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{38\!\cdots\!75}{39\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!98}{39\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{72\!\cdots\!99}{39\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{25\!\cdots\!54}{39\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{78\!\cdots\!14}{39\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{19\!\cdots\!72}{39\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{45\!\cdots\!14}{39\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{75\!\cdots\!80}{39\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!63}{39\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!94}{39\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{36\!\cdots\!05}{39\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{45\!\cdots\!34}{39\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{82\!\cdots\!27}{39\!\cdots\!59}a+\frac{33\!\cdots\!62}{39\!\cdots\!59}$, $\frac{11\!\cdots\!88}{39\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{11\!\cdots\!48}{39\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{55\!\cdots\!56}{39\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{49\!\cdots\!82}{39\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{37\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{86\!\cdots\!36}{39\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!26}{39\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{80\!\cdots\!08}{39\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{71\!\cdots\!90}{39\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{42\!\cdots\!78}{39\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{27\!\cdots\!22}{39\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!08}{39\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{62\!\cdots\!62}{39\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{25\!\cdots\!10}{39\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{84\!\cdots\!84}{39\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{28\!\cdots\!02}{39\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{65\!\cdots\!97}{39\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!98}{39\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{25\!\cdots\!28}{39\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{46\!\cdots\!18}{39\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{37\!\cdots\!50}{39\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{25\!\cdots\!00}{39\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!64}{39\!\cdots\!59}a^{2}+\frac{68\!\cdots\!54}{39\!\cdots\!59}a+\frac{58\!\cdots\!78}{39\!\cdots\!59}$, $\frac{18\!\cdots\!77}{39\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{20\!\cdots\!47}{39\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{87\!\cdots\!34}{39\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{88\!\cdots\!66}{39\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{58\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!06}{39\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!05}{39\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!73}{48\!\cdots\!51}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!27}{39\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{80\!\cdots\!60}{39\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{41\!\cdots\!33}{39\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{26\!\cdots\!09}{39\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{95\!\cdots\!36}{39\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{51\!\cdots\!27}{39\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!73}{39\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{59\!\cdots\!09}{39\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{96\!\cdots\!32}{39\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{37\!\cdots\!55}{39\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{35\!\cdots\!62}{39\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!49}{39\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{48\!\cdots\!02}{39\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{86\!\cdots\!78}{39\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!57}{39\!\cdots\!59}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!97}{39\!\cdots\!59}a+\frac{53\!\cdots\!70}{39\!\cdots\!59}$, $\frac{73\!\cdots\!95}{39\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{63\!\cdots\!60}{39\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{35\!\cdots\!80}{39\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{26\!\cdots\!10}{39\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{23\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{45\!\cdots\!65}{39\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{74\!\cdots\!85}{39\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{40\!\cdots\!10}{39\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{46\!\cdots\!50}{39\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!95}{39\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!85}{39\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{62\!\cdots\!80}{39\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{40\!\cdots\!05}{39\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!25}{39\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{56\!\cdots\!87}{39\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!30}{39\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{44\!\cdots\!15}{39\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{49\!\cdots\!70}{39\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{17\!\cdots\!10}{39\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{68\!\cdots\!30}{39\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{29\!\cdots\!15}{39\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!00}{39\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!30}{39\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!22}{39\!\cdots\!59}a+\frac{18\!\cdots\!63}{39\!\cdots\!59}$, $\frac{10\!\cdots\!16}{39\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{76\!\cdots\!77}{39\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{50\!\cdots\!88}{39\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{31\!\cdots\!36}{39\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{33\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{52\!\cdots\!07}{39\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!82}{39\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{44\!\cdots\!68}{39\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{66\!\cdots\!30}{39\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{21\!\cdots\!18}{39\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!61}{39\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{59\!\cdots\!75}{39\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{59\!\cdots\!24}{39\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{88\!\cdots\!92}{39\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{83\!\cdots\!02}{39\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{58\!\cdots\!77}{39\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{66\!\cdots\!72}{39\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{24\!\cdots\!86}{39\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{27\!\cdots\!72}{39\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!46}{39\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{48\!\cdots\!61}{39\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{61\!\cdots\!24}{39\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{22\!\cdots\!12}{39\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{23\!\cdots\!26}{39\!\cdots\!59}a+\frac{21\!\cdots\!81}{39\!\cdots\!59}$, $\frac{24\!\cdots\!95}{39\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{26\!\cdots\!25}{39\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!30}{39\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{11\!\cdots\!65}{39\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{78\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{20\!\cdots\!80}{39\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!05}{39\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{19\!\cdots\!85}{39\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!10}{39\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!18}{39\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{56\!\cdots\!10}{39\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{34\!\cdots\!65}{39\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!95}{39\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{66\!\cdots\!35}{39\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!35}{39\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{75\!\cdots\!45}{39\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!75}{39\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{47\!\cdots\!10}{39\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{47\!\cdots\!24}{39\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!88}{39\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{63\!\cdots\!45}{39\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{95\!\cdots\!45}{39\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!70}{39\!\cdots\!59}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!80}{39\!\cdots\!59}a-\frac{41\!\cdots\!45}{39\!\cdots\!59}$, $\frac{79\!\cdots\!86}{39\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{71\!\cdots\!50}{39\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{38\!\cdots\!66}{39\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{30\!\cdots\!39}{39\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{25\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{52\!\cdots\!00}{39\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{79\!\cdots\!45}{39\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{47\!\cdots\!64}{39\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{49\!\cdots\!55}{39\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{24\!\cdots\!91}{39\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!81}{39\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{77\!\cdots\!78}{39\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{43\!\cdots\!29}{39\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!41}{39\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{59\!\cdots\!64}{39\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!01}{39\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{46\!\cdots\!07}{39\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{75\!\cdots\!67}{39\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!02}{39\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!55}{39\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{29\!\cdots\!63}{39\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{74\!\cdots\!16}{39\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!54}{39\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{32\!\cdots\!45}{39\!\cdots\!59}a+\frac{16\!\cdots\!87}{39\!\cdots\!59}$, $\frac{11\!\cdots\!45}{39\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{82\!\cdots\!50}{39\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{53\!\cdots\!70}{39\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{34\!\cdots\!45}{39\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{36\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{57\!\cdots\!65}{39\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!15}{39\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{49\!\cdots\!25}{39\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{70\!\cdots\!00}{39\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{24\!\cdots\!95}{39\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{26\!\cdots\!45}{39\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{67\!\cdots\!10}{39\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{62\!\cdots\!55}{39\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!28}{39\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{88\!\cdots\!83}{39\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{77\!\cdots\!40}{39\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{70\!\cdots\!25}{39\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!70}{39\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{29\!\cdots\!50}{39\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!00}{39\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{52\!\cdots\!85}{39\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{55\!\cdots\!30}{39\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{26\!\cdots\!34}{39\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!10}{39\!\cdots\!59}a+\frac{21\!\cdots\!30}{39\!\cdots\!59}$, $\frac{21\!\cdots\!69}{39\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{28\!\cdots\!74}{39\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!04}{39\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!02}{39\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{69\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{22\!\cdots\!07}{39\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{21\!\cdots\!65}{39\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{21\!\cdots\!30}{39\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!78}{39\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!46}{39\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{47\!\cdots\!32}{39\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{41\!\cdots\!08}{39\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!57}{39\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{84\!\cdots\!09}{39\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!26}{39\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!92}{39\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!43}{39\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{67\!\cdots\!56}{39\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{33\!\cdots\!06}{39\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{21\!\cdots\!94}{39\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{31\!\cdots\!67}{39\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!30}{39\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!29}{39\!\cdots\!59}a^{2}+\frac{37\!\cdots\!17}{39\!\cdots\!59}a-\frac{18\!\cdots\!43}{39\!\cdots\!59}$, $\frac{70\!\cdots\!19}{39\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{27\!\cdots\!89}{39\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{31\!\cdots\!08}{39\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!41}{39\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{18\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{24\!\cdots\!02}{39\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{50\!\cdots\!24}{39\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{25\!\cdots\!60}{39\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{24\!\cdots\!24}{39\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!15}{39\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{58\!\cdots\!23}{39\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{54\!\cdots\!92}{39\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{27\!\cdots\!32}{39\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!75}{39\!\cdots\!59}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!99}{39\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!09}{39\!\cdots\!59}a^{9}-\frac{40\!\cdots\!66}{39\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!04}{39\!\cdots\!59}a^{7}+\frac{36\!\cdots\!88}{39\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{38\!\cdots\!22}{39\!\cdots\!59}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!88}{39\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{44\!\cdots\!05}{39\!\cdots\!59}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!75}{39\!\cdots\!59}a^{2}+\frac{87\!\cdots\!13}{39\!\cdots\!59}a-\frac{17\!\cdots\!52}{39\!\cdots\!59}$, $\frac{82\!\cdots\!85}{39\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{85\!\cdots\!30}{39\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{39\!\cdots\!70}{39\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{36\!\cdots\!38}{39\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{26\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{64\!\cdots\!90}{39\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{81\!\cdots\!95}{39\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{60\!\cdots\!80}{39\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{50\!\cdots\!50}{39\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{32\!\cdots\!10}{39\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!80}{39\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!15}{39\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{43\!\cdots\!91}{39\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{20\!\cdots\!84}{39\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{59\!\cdots\!25}{39\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{22\!\cdots\!20}{39\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{45\!\cdots\!10}{39\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!90}{39\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{17\!\cdots\!60}{39\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{39\!\cdots\!65}{39\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!25}{39\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{24\!\cdots\!06}{39\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{86\!\cdots\!25}{39\!\cdots\!59}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!02}{39\!\cdots\!59}a+\frac{33\!\cdots\!35}{39\!\cdots\!59}$, $\frac{38\!\cdots\!11}{39\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{47\!\cdots\!24}{39\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{18\!\cdots\!66}{39\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{20\!\cdots\!48}{39\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{12\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{37\!\cdots\!65}{39\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{37\!\cdots\!89}{39\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{35\!\cdots\!83}{39\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{23\!\cdots\!63}{39\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!64}{39\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{86\!\cdots\!78}{39\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{66\!\cdots\!30}{39\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!75}{39\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!37}{39\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{26\!\cdots\!51}{39\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!48}{39\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{20\!\cdots\!36}{39\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!15}{39\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{82\!\cdots\!84}{39\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{31\!\cdots\!41}{39\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!22}{39\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{27\!\cdots\!54}{39\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{78\!\cdots\!98}{39\!\cdots\!59}a^{2}+\frac{86\!\cdots\!23}{39\!\cdots\!59}a+\frac{45\!\cdots\!50}{39\!\cdots\!59}$, $\frac{21\!\cdots\!01}{39\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{22\!\cdots\!68}{39\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!14}{39\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{99\!\cdots\!95}{39\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{67\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{17\!\cdots\!68}{39\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!33}{39\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{16\!\cdots\!64}{39\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!43}{39\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{89\!\cdots\!27}{39\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{48\!\cdots\!29}{39\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{29\!\cdots\!53}{39\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!22}{39\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{56\!\cdots\!66}{39\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!63}{39\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{64\!\cdots\!50}{39\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!69}{39\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{40\!\cdots\!95}{39\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{42\!\cdots\!49}{39\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!81}{39\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{59\!\cdots\!68}{39\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{86\!\cdots\!32}{39\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!93}{39\!\cdots\!59}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!09}{39\!\cdots\!59}a-\frac{34\!\cdots\!98}{39\!\cdots\!59}$, $\frac{22\!\cdots\!90}{39\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{16\!\cdots\!00}{39\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!40}{39\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{68\!\cdots\!90}{39\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{72\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!30}{39\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{22\!\cdots\!30}{39\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{98\!\cdots\!50}{39\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!00}{39\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{48\!\cdots\!90}{39\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{53\!\cdots\!90}{39\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!20}{39\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!10}{39\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{20\!\cdots\!56}{39\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!66}{39\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!80}{39\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!50}{39\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{29\!\cdots\!40}{39\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{58\!\cdots\!00}{39\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{22\!\cdots\!00}{39\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!70}{39\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!60}{39\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{52\!\cdots\!27}{39\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{45\!\cdots\!20}{39\!\cdots\!59}a+\frac{58\!\cdots\!96}{39\!\cdots\!59}$, 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$\frac{56\!\cdots\!61}{39\!\cdots\!59}a^{24}+\frac{19\!\cdots\!21}{39\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{29\!\cdots\!40}{39\!\cdots\!59}a^{22}-\frac{95\!\cdots\!16}{39\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{22\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!63}a^{20}+\frac{19\!\cdots\!40}{39\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{78\!\cdots\!64}{39\!\cdots\!59}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!21}{39\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{56\!\cdots\!06}{39\!\cdots\!59}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!40}{39\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{24\!\cdots\!69}{39\!\cdots\!59}a^{14}-\frac{49\!\cdots\!46}{39\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{69\!\cdots\!83}{39\!\cdots\!59}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!79}{39\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!58}{39\!\cdots\!59}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!91}{39\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!49}{39\!\cdots\!59}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!25}{39\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{69\!\cdots\!27}{39\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{42\!\cdots\!83}{39\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{19\!\cdots\!97}{39\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{54\!\cdots\!78}{39\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!35}{39\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!79}{39\!\cdots\!59}a+\frac{20\!\cdots\!09}{39\!\cdots\!59}$, $\frac{14\!\cdots\!83}{39\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{14\!\cdots\!58}{39\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{68\!\cdots\!46}{39\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{61\!\cdots\!28}{39\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{46\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!66}{39\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!91}{39\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!68}{39\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{88\!\cdots\!40}{39\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{53\!\cdots\!48}{39\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{33\!\cdots\!82}{39\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!13}{39\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{76\!\cdots\!59}{39\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{32\!\cdots\!38}{39\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!59}{39\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{35\!\cdots\!42}{39\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{80\!\cdots\!67}{39\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{21\!\cdots\!28}{39\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{30\!\cdots\!48}{39\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{59\!\cdots\!73}{39\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{45\!\cdots\!25}{39\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{33\!\cdots\!49}{39\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!39}{39\!\cdots\!59}a^{2}+\frac{60\!\cdots\!11}{39\!\cdots\!59}a+\frac{69\!\cdots\!23}{39\!\cdots\!59}$, $\frac{15\!\cdots\!10}{39\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{15\!\cdots\!05}{39\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{72\!\cdots\!50}{39\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{65\!\cdots\!80}{39\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{48\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!35}{39\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!50}{39\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!65}{39\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{93\!\cdots\!30}{39\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{56\!\cdots\!55}{39\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{35\!\cdots\!10}{39\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{18\!\cdots\!55}{39\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{80\!\cdots\!55}{39\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{34\!\cdots\!10}{39\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!10}{39\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{46\!\cdots\!15}{48\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{84\!\cdots\!30}{39\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!55}{39\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{32\!\cdots\!95}{39\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{61\!\cdots\!46}{39\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{47\!\cdots\!25}{39\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{27\!\cdots\!05}{39\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!85}{39\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{20\!\cdots\!70}{39\!\cdots\!59}a+\frac{51\!\cdots\!05}{39\!\cdots\!59}$, $a$ (assuming GRH) | sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
Regulator: | \( 7091595602831931.0 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{25}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 7091595602831931.0 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{1269734648531914468903714880493455422104626762401}}\cr\approx \mathstrut & 0.105586251664491 \end{aligned}\] (assuming GRH)
Galois group
A cyclic group of order 25 |
The 25 conjugacy class representatives for $C_{25}$ |
Character table for $C_{25}$ |
Intermediate fields
5.5.104060401.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
Frobenius cycle types
$p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Cycle type | $25$ | $25$ | $25$ | $25$ | $25$ | $25$ | ${\href{/padicField/17.5.0.1}{5} }^{5}$ | $25$ | $25$ | $25$ | $25$ | $25$ | ${\href{/padicField/41.5.0.1}{5} }^{5}$ | $25$ | $25$ | $25$ | $25$ |
Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
$p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\(101\) | Deg $25$ | $25$ | $1$ | $24$ |