LMFDB - Number field 23.1.865004941741938633917747707002884268046728983.1

Show commands: Magma / Oscar / PariGP / SageMath

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^23 - 23*x^20 + 184*x^19 - 1334*x^18 + 3680*x^17 - 7567*x^16 + 3381*x^15 + 48346*x^14 - 105455*x^13 + 165048*x^12 - 1033942*x^11 + 3237457*x^10 - 6694426*x^9 + 24074675*x^8 - 57748676*x^7 + 58090042*x^6 - 24771506*x^5 + 67771087*x^4 - 75769360*x^3 + 19385596*x^2 - 386078*x + 1437601)

gp: K = bnfinit(y^23 - 23*y^20 + 184*y^19 - 1334*y^18 + 3680*y^17 - 7567*y^16 + 3381*y^15 + 48346*y^14 - 105455*y^13 + 165048*y^12 - 1033942*y^11 + 3237457*y^10 - 6694426*y^9 + 24074675*y^8 - 57748676*y^7 + 58090042*y^6 - 24771506*y^5 + 67771087*y^4 - 75769360*y^3 + 19385596*y^2 - 386078*y + 1437601, 1)

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^23 - 23*x^20 + 184*x^19 - 1334*x^18 + 3680*x^17 - 7567*x^16 + 3381*x^15 + 48346*x^14 - 105455*x^13 + 165048*x^12 - 1033942*x^11 + 3237457*x^10 - 6694426*x^9 + 24074675*x^8 - 57748676*x^7 + 58090042*x^6 - 24771506*x^5 + 67771087*x^4 - 75769360*x^3 + 19385596*x^2 - 386078*x + 1437601);

oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^23 - 23*x^20 + 184*x^19 - 1334*x^18 + 3680*x^17 - 7567*x^16 + 3381*x^15 + 48346*x^14 - 105455*x^13 + 165048*x^12 - 1033942*x^11 + 3237457*x^10 - 6694426*x^9 + 24074675*x^8 - 57748676*x^7 + 58090042*x^6 - 24771506*x^5 + 67771087*x^4 - 75769360*x^3 + 19385596*x^2 - 386078*x + 1437601)

$ x^{23} - 23 x^{20} + 184 x^{19} - 1334 x^{18} + 3680 x^{17} - 7567 x^{16} + 3381 x^{15} + 48346 x^{14} + \cdots + 1437601 $ x^23 - 23*x^20 + 184*x^19 - 1334*x^18 + 3680*x^17 - 7567*x^16 + 3381*x^15 + 48346*x^14 - 105455*x^13 + 165048*x^12 - 1033942*x^11 + 3237457*x^10 - 6694426*x^9 + 24074675*x^8 - 57748676*x^7 + 58090042*x^6 - 24771506*x^5 + 67771087*x^4 - 75769360*x^3 + 19385596*x^2 - 386078*x + 1437601

sage: K.defining_polynomial()

gp: K.pol

magma: DefiningPolynomial(K);

oscar: defining_polynomial(K)

Invariants

Degree:	$23$	sage: K.degree() gp: poldegree(K.pol) magma: Degree(K); oscar: degree(K)
Signature:	$[1, 11]$	sage: K.signature() gp: K.sign magma: Signature(K); oscar: signature(K)
Discriminant:	$-865004941741938633917747707002884268046728983$ -865004941741938633917747707002884268046728983 $\medspace = -\,23^{33}$	sage: K.disc() gp: K.disc magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK); oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
Root discriminant:	$89.90$	sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree()) gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol)) magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K)); oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
Galois root discriminant:	$23^{67/46}\approx 96.24677714683362$
Ramified primes:	$23$ 23	sage: K.disc().support() gp: factor(abs(K.disc))[,1]~ magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK)); oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
Discriminant root field:	$\Q(\sqrt{-23}) $
$\card{ \Aut(K/\Q) }$:	$1$	sage: K.automorphisms() magma: Automorphisms(K); oscar: automorphisms(K)
This field is not Galois over $\Q$.
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator $a$)

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $\frac{1}{5}a^{12}+\frac{2}{5}a^{10}+\frac{1}{5}a^{9}+\frac{2}{5}a^{8}+\frac{2}{5}a^{6}-\frac{2}{5}a^{5}+\frac{1}{5}a^{3}+\frac{1}{5}a^{2}-\frac{1}{5}a+\frac{1}{5}$, $\frac{1}{5}a^{13}+\frac{2}{5}a^{11}+\frac{1}{5}a^{10}+\frac{2}{5}a^{9}+\frac{2}{5}a^{7}-\frac{2}{5}a^{6}+\frac{1}{5}a^{4}+\frac{1}{5}a^{3}-\frac{1}{5}a^{2}+\frac{1}{5}a$, $\frac{1}{5}a^{14}+\frac{1}{5}a^{11}-\frac{2}{5}a^{10}-\frac{2}{5}a^{9}-\frac{2}{5}a^{8}-\frac{2}{5}a^{7}+\frac{1}{5}a^{6}+\frac{1}{5}a^{4}+\frac{2}{5}a^{3}-\frac{1}{5}a^{2}+\frac{2}{5}a-\frac{2}{5}$, $\frac{1}{5}a^{15}-\frac{2}{5}a^{11}+\frac{1}{5}a^{10}+\frac{2}{5}a^{9}+\frac{1}{5}a^{8}+\frac{1}{5}a^{7}-\frac{2}{5}a^{6}-\frac{2}{5}a^{5}+\frac{2}{5}a^{4}-\frac{2}{5}a^{3}+\frac{1}{5}a^{2}-\frac{1}{5}a-\frac{1}{5}$, $\frac{1}{5}a^{16}+\frac{1}{5}a^{11}+\frac{1}{5}a^{10}-\frac{2}{5}a^{9}-\frac{2}{5}a^{7}+\frac{2}{5}a^{6}-\frac{2}{5}a^{5}-\frac{2}{5}a^{4}-\frac{2}{5}a^{3}+\frac{1}{5}a^{2}+\frac{2}{5}a+\frac{2}{5}$, $\frac{1}{35}a^{17}-\frac{2}{35}a^{16}-\frac{3}{35}a^{15}+\frac{2}{35}a^{14}+\frac{1}{35}a^{12}+\frac{2}{35}a^{11}-\frac{16}{35}a^{10}-\frac{11}{35}a^{9}+\frac{1}{35}a^{8}+\frac{2}{5}a^{7}+\frac{12}{35}a^{6}+\frac{8}{35}a^{5}+\frac{13}{35}a^{4}+\frac{1}{7}a^{2}+\frac{3}{7}a+\frac{2}{7}$, $\frac{1}{12425}a^{18}+\frac{46}{12425}a^{17}+\frac{874}{12425}a^{16}+\frac{187}{12425}a^{15}-\frac{1143}{12425}a^{14}+\frac{1121}{12425}a^{13}-\frac{874}{12425}a^{12}-\frac{2979}{12425}a^{11}+\frac{313}{12425}a^{10}-\frac{3761}{12425}a^{9}-\frac{2654}{12425}a^{8}-\frac{158}{497}a^{7}-\frac{726}{2485}a^{6}+\frac{3596}{12425}a^{5}-\frac{713}{12425}a^{4}-\frac{2221}{12425}a^{3}-\frac{4078}{12425}a^{2}+\frac{6043}{12425}a-\frac{5414}{12425}$, $\frac{1}{12425}a^{19}-\frac{177}{12425}a^{17}+\frac{14}{1775}a^{16}-\frac{103}{2485}a^{15}+\frac{1159}{12425}a^{14}-\frac{51}{2485}a^{13}+\frac{29}{355}a^{12}-\frac{4653}{12425}a^{11}-\frac{5379}{12425}a^{10}+\frac{2082}{12425}a^{9}+\frac{4889}{12425}a^{8}-\frac{34}{497}a^{7}-\frac{3019}{12425}a^{6}-\frac{6024}{12425}a^{5}-\frac{754}{1775}a^{4}+\frac{6143}{12425}a^{3}-\frac{4814}{12425}a^{2}-\frac{4007}{12425}a-\frac{6201}{12425}$, $\frac{1}{12425}a^{20}+\frac{3}{497}a^{17}-\frac{136}{1775}a^{16}-\frac{887}{12425}a^{15}-\frac{216}{12425}a^{14}+\frac{632}{12425}a^{13}-\frac{1021}{12425}a^{12}+\frac{2678}{12425}a^{11}+\frac{1748}{12425}a^{10}+\frac{3042}{12425}a^{9}+\frac{3317}{12425}a^{8}-\frac{1399}{12425}a^{7}+\frac{3956}{12425}a^{6}-\frac{98}{1775}a^{5}+\frac{4902}{12425}a^{4}-\frac{2816}{12425}a^{3}+\frac{6197}{12425}a^{2}-\frac{673}{2485}a-\frac{3683}{12425}$, $\frac{1}{11617375}a^{21}-\frac{347}{11617375}a^{20}+\frac{333}{11617375}a^{19}+\frac{333}{11617375}a^{18}-\frac{18218}{2323475}a^{17}-\frac{80526}{1659625}a^{16}-\frac{20648}{683375}a^{15}-\frac{9193}{163625}a^{14}+\frac{46103}{11617375}a^{13}-\frac{73632}{1056125}a^{12}+\frac{3874686}{11617375}a^{11}-\frac{5251947}{11617375}a^{10}+\frac{2327211}{11617375}a^{9}+\frac{5104192}{11617375}a^{8}+\frac{3434124}{11617375}a^{7}-\frac{812796}{2323475}a^{6}+\frac{90952}{331925}a^{5}+\frac{1652327}{11617375}a^{4}-\frac{27029}{331925}a^{3}+\frac{343198}{2323475}a^{2}-\frac{656542}{2323475}a-\frac{196844}{1056125}$, $\frac{1}{24\!\cdots\!25}a^{22}+\frac{71\!\cdots\!36}{22\!\cdots\!25}a^{21}+\frac{85\!\cdots\!14}{22\!\cdots\!25}a^{20}-\frac{21\!\cdots\!49}{24\!\cdots\!25}a^{19}-\frac{31\!\cdots\!42}{24\!\cdots\!25}a^{18}+\frac{19\!\cdots\!58}{24\!\cdots\!25}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!53}{50\!\cdots\!25}a^{16}-\frac{78\!\cdots\!61}{50\!\cdots\!25}a^{15}-\frac{82\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!75}a^{14}+\frac{50\!\cdots\!41}{22\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!06}{24\!\cdots\!25}a^{12}+\frac{48\!\cdots\!04}{24\!\cdots\!25}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!71}{24\!\cdots\!25}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!72}{24\!\cdots\!25}a^{9}-\frac{72\!\cdots\!62}{14\!\cdots\!25}a^{8}-\frac{19\!\cdots\!96}{24\!\cdots\!25}a^{7}+\frac{42\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!75}a^{6}+\frac{57\!\cdots\!97}{24\!\cdots\!25}a^{5}+\frac{39\!\cdots\!72}{24\!\cdots\!25}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!28}{49\!\cdots\!25}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!51}{98\!\cdots\!25}a^{2}+\frac{90\!\cdots\!11}{22\!\cdots\!75}a+\frac{33\!\cdots\!74}{20\!\cdots\!75}$ 1, a, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, a^8, a^9, a^10, a^11, 1/5*a^12 + 2/5*a^10 + 1/5*a^9 + 2/5*a^8 + 2/5*a^6 - 2/5*a^5 + 1/5*a^3 + 1/5*a^2 - 1/5*a + 1/5, 1/5*a^13 + 2/5*a^11 + 1/5*a^10 + 2/5*a^9 + 2/5*a^7 - 2/5*a^6 + 1/5*a^4 + 1/5*a^3 - 1/5*a^2 + 1/5*a, 1/5*a^14 + 1/5*a^11 - 2/5*a^10 - 2/5*a^9 - 2/5*a^8 - 2/5*a^7 + 1/5*a^6 + 1/5*a^4 + 2/5*a^3 - 1/5*a^2 + 2/5*a - 2/5, 1/5*a^15 - 2/5*a^11 + 1/5*a^10 + 2/5*a^9 + 1/5*a^8 + 1/5*a^7 - 2/5*a^6 - 2/5*a^5 + 2/5*a^4 - 2/5*a^3 + 1/5*a^2 - 1/5*a - 1/5, 1/5*a^16 + 1/5*a^11 + 1/5*a^10 - 2/5*a^9 - 2/5*a^7 + 2/5*a^6 - 2/5*a^5 - 2/5*a^4 - 2/5*a^3 + 1/5*a^2 + 2/5*a + 2/5, 1/35*a^17 - 2/35*a^16 - 3/35*a^15 + 2/35*a^14 + 1/35*a^12 + 2/35*a^11 - 16/35*a^10 - 11/35*a^9 + 1/35*a^8 + 2/5*a^7 + 12/35*a^6 + 8/35*a^5 + 13/35*a^4 + 1/7*a^2 + 3/7*a + 2/7, 1/12425*a^18 + 46/12425*a^17 + 874/12425*a^16 + 187/12425*a^15 - 1143/12425*a^14 + 1121/12425*a^13 - 874/12425*a^12 - 2979/12425*a^11 + 313/12425*a^10 - 3761/12425*a^9 - 2654/12425*a^8 - 158/497*a^7 - 726/2485*a^6 + 3596/12425*a^5 - 713/12425*a^4 - 2221/12425*a^3 - 4078/12425*a^2 + 6043/12425*a - 5414/12425, 1/12425*a^19 - 177/12425*a^17 + 14/1775*a^16 - 103/2485*a^15 + 1159/12425*a^14 - 51/2485*a^13 + 29/355*a^12 - 4653/12425*a^11 - 5379/12425*a^10 + 2082/12425*a^9 + 4889/12425*a^8 - 34/497*a^7 - 3019/12425*a^6 - 6024/12425*a^5 - 754/1775*a^4 + 6143/12425*a^3 - 4814/12425*a^2 - 4007/12425*a - 6201/12425, 1/12425*a^20 + 3/497*a^17 - 136/1775*a^16 - 887/12425*a^15 - 216/12425*a^14 + 632/12425*a^13 - 1021/12425*a^12 + 2678/12425*a^11 + 1748/12425*a^10 + 3042/12425*a^9 + 3317/12425*a^8 - 1399/12425*a^7 + 3956/12425*a^6 - 98/1775*a^5 + 4902/12425*a^4 - 2816/12425*a^3 + 6197/12425*a^2 - 673/2485*a - 3683/12425, 1/11617375*a^21 - 347/11617375*a^20 + 333/11617375*a^19 + 333/11617375*a^18 - 18218/2323475*a^17 - 80526/1659625*a^16 - 20648/683375*a^15 - 9193/163625*a^14 + 46103/11617375*a^13 - 73632/1056125*a^12 + 3874686/11617375*a^11 - 5251947/11617375*a^10 + 2327211/11617375*a^9 + 5104192/11617375*a^8 + 3434124/11617375*a^7 - 812796/2323475*a^6 + 90952/331925*a^5 + 1652327/11617375*a^4 - 27029/331925*a^3 + 343198/2323475*a^2 - 656542/2323475*a - 196844/1056125, 1/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625*a^22 + 717919717207772954988950749474727730815186122890201966118887836/22583933912033114791153069968048065989944415436631998823568312066943125*a^21 + 853554757478822634488790126039858661514328991478402954761188980014/22583933912033114791153069968048065989944415436631998823568312066943125*a^20 - 21659351521636686841759737754774999308426623841454111258533688654149/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625*a^19 - 31025228949168194547353229797284243677282143941091080400558162971342/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625*a^18 + 19458250793229746064590924326802502140028037448958744828489063677306658/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625*a^17 + 1350854969754432918183499194819003464957251626625234196635266794359553/50237730539012439025218053602392636589876352705977303505488694189730625*a^16 - 789990115237838555727067932769994205366463309804787944912363039631361/50237730539012439025218053602392636589876352705977303505488694189730625*a^15 - 82550543627437307150626988424691399185722778238081827024721646447533/1152997094337990403857463525300814610259457275219151227994822489600375*a^14 + 5020162742340958947724243044696471770875370521387616329696965392239641/223786254219237228385062238774294472082176480235717079251722365026981875*a^13 - 221496429840752319624995560486727397486860271648460945143263071652577706/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625*a^12 + 481043938227295801090895268234547747222471197986910505412459145780623204/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625*a^11 - 1057395824741148196312791109670645778340477993007085208774772054739610071/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625*a^10 - 1142865039647050597542513852252333691515585386091541211346826137124211072/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625*a^9 - 7234959067927394525729048047615218940948939728333564463261454283819662/144802870377153500719746154501014070170820075446640463045232118546870625*a^8 - 197453557348580125146182799218501290114066859468316150927248062482102796/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625*a^7 + 4256993490973321206507137368828069634717221985543559247857166710382963/11449529285635393080165975007056926478622982709734362194274167513008375*a^6 + 572081992844176198450487433756948805110721718279504469529501346073320197/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625*a^5 + 391343694795237921818551024156960265011120317338820468188236910714538172/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625*a^4 + 187373614973337101652003910089878544580474374929414398042355687068156928/492329759282321902447136925303447838580788256518577574353789203059360125*a^3 - 2071862662224077993015623006335801231035233272448245512269815240129951/98465951856464380489427385060689567716157651303715514870757840611872025*a^2 + 90862712593420715254229004591919598190798217284881282931708493870905311/223786254219237228385062238774294472082176480235717079251722365026981875*a + 335266723755056727675337719404681206405112223745556740184290258893074/2053084901093919526468460906186187817267674130602908983960755642449375

sage: K.integral_basis()

gp: K.zk

magma: IntegralBasis(K);

oscar: basis(OK)

Monogenic:		No
Index:		Not computed
Inessential primes:		$5$

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()

gp: K.clgp

magma: ClassGroup(K);

oscar: class_group(K)

Unit group

sage: UK = K.unit_group()

magma: UK, fUK := UnitGroup(K);

oscar: UK, fUK = unit_group(OK)

Rank:	$11$	sage: UK.rank() gp: K.fu magma: UnitRank(K); oscar: rank(UK)
Torsion generator:	$ -1 $ -1 (order $2$)	sage: UK.torsion_generator() gp: K.tu[2] magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K); oscar: torsion_units_generator(OK)
Fundamental units:	$\frac{47\!\cdots\!87}{24\!\cdots\!25}a^{22}+\frac{28\!\cdots\!32}{22\!\cdots\!25}a^{21}+\frac{19\!\cdots\!93}{22\!\cdots\!25}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!63}{24\!\cdots\!25}a^{19}+\frac{80\!\cdots\!21}{24\!\cdots\!25}a^{18}-\frac{53\!\cdots\!89}{22\!\cdots\!75}a^{17}+\frac{19\!\cdots\!52}{35\!\cdots\!75}a^{16}-\frac{38\!\cdots\!99}{35\!\cdots\!75}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!03}{16\!\cdots\!25}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!36}{14\!\cdots\!25}a^{13}-\frac{35\!\cdots\!22}{24\!\cdots\!25}a^{12}+\frac{55\!\cdots\!23}{24\!\cdots\!25}a^{11}-\frac{26\!\cdots\!31}{14\!\cdots\!25}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!11}{24\!\cdots\!25}a^{9}-\frac{23\!\cdots\!48}{24\!\cdots\!25}a^{8}+\frac{99\!\cdots\!48}{24\!\cdots\!25}a^{7}-\frac{97\!\cdots\!64}{11\!\cdots\!75}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!39}{24\!\cdots\!25}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!86}{24\!\cdots\!25}a^{4}+\frac{61\!\cdots\!61}{49\!\cdots\!25}a^{3}-\frac{64\!\cdots\!04}{98\!\cdots\!25}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!73}{24\!\cdots\!25}a-\frac{86\!\cdots\!87}{20\!\cdots\!75}$, $\frac{31\!\cdots\!57}{40\!\cdots\!25}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!52}{37\!\cdots\!25}a^{21}-\frac{34\!\cdots\!77}{37\!\cdots\!25}a^{20}-\frac{71\!\cdots\!18}{40\!\cdots\!25}a^{19}+\frac{56\!\cdots\!56}{40\!\cdots\!25}a^{18}-\frac{41\!\cdots\!19}{40\!\cdots\!25}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!47}{57\!\cdots\!75}a^{16}-\frac{32\!\cdots\!89}{57\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{20\!\cdots\!86}{88\!\cdots\!75}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!82}{40\!\cdots\!25}a^{13}-\frac{32\!\cdots\!92}{40\!\cdots\!25}a^{12}+\frac{29\!\cdots\!84}{23\!\cdots\!25}a^{11}-\frac{28\!\cdots\!02}{36\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{99\!\cdots\!21}{40\!\cdots\!25}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!28}{40\!\cdots\!25}a^{8}+\frac{73\!\cdots\!53}{40\!\cdots\!25}a^{7}-\frac{81\!\cdots\!69}{18\!\cdots\!75}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!79}{40\!\cdots\!25}a^{5}-\frac{64\!\cdots\!71}{40\!\cdots\!25}a^{4}+\frac{40\!\cdots\!26}{80\!\cdots\!25}a^{3}-\frac{88\!\cdots\!09}{16\!\cdots\!25}a^{2}+\frac{45\!\cdots\!47}{40\!\cdots\!25}a+\frac{90\!\cdots\!43}{33\!\cdots\!75}$, $\frac{33\!\cdots\!06}{70\!\cdots\!75}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!62}{64\!\cdots\!75}a^{21}+\frac{24\!\cdots\!36}{92\!\cdots\!25}a^{20}-\frac{51\!\cdots\!77}{70\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{71\!\cdots\!43}{14\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{27\!\cdots\!92}{70\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{46\!\cdots\!61}{63\!\cdots\!25}a^{16}-\frac{41\!\cdots\!13}{70\!\cdots\!75}a^{15}-\frac{59\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!75}a^{14}+\frac{71\!\cdots\!04}{41\!\cdots\!75}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!46}{70\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{25\!\cdots\!28}{70\!\cdots\!75}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!87}{41\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{75\!\cdots\!92}{70\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{26\!\cdots\!96}{70\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{75\!\cdots\!41}{14\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!89}{65\!\cdots\!05}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!23}{70\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{38\!\cdots\!31}{14\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!47}{18\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!93}{14\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{48\!\cdots\!59}{70\!\cdots\!75}a-\frac{31\!\cdots\!27}{16\!\cdots\!75}$, $\frac{74\!\cdots\!77}{35\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{44\!\cdots\!88}{32\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{16\!\cdots\!27}{32\!\cdots\!75}a^{20}-\frac{17\!\cdots\!43}{35\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!71}{35\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{99\!\cdots\!34}{35\!\cdots\!75}a^{17}+\frac{27\!\cdots\!24}{35\!\cdots\!75}a^{16}-\frac{57\!\cdots\!63}{35\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{95\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!75}a^{14}+\frac{32\!\cdots\!62}{31\!\cdots\!25}a^{13}-\frac{79\!\cdots\!82}{35\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!93}{35\!\cdots\!75}a^{11}-\frac{77\!\cdots\!87}{35\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{34\!\cdots\!13}{50\!\cdots\!25}a^{9}-\frac{50\!\cdots\!13}{35\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!44}{20\!\cdots\!75}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!04}{16\!\cdots\!25}a^{6}+\frac{45\!\cdots\!19}{35\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{21\!\cdots\!61}{35\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!41}{70\!\cdots\!75}a^{3}-\frac{47\!\cdots\!42}{28\!\cdots\!15}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!47}{31\!\cdots\!25}a+\frac{17\!\cdots\!38}{29\!\cdots\!25}$, $\frac{13\!\cdots\!21}{24\!\cdots\!25}a^{22}+\frac{79\!\cdots\!26}{22\!\cdots\!25}a^{21}+\frac{52\!\cdots\!29}{22\!\cdots\!25}a^{20}-\frac{30\!\cdots\!64}{24\!\cdots\!25}a^{19}+\frac{22\!\cdots\!08}{24\!\cdots\!25}a^{18}-\frac{16\!\cdots\!57}{24\!\cdots\!25}a^{17}+\frac{55\!\cdots\!36}{35\!\cdots\!75}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!26}{50\!\cdots\!25}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!75}a^{14}+\frac{38\!\cdots\!08}{14\!\cdots\!25}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!11}{24\!\cdots\!25}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!99}{22\!\cdots\!75}a^{11}-\frac{75\!\cdots\!53}{14\!\cdots\!25}a^{10}+\frac{32\!\cdots\!38}{22\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{67\!\cdots\!24}{24\!\cdots\!25}a^{8}+\frac{28\!\cdots\!79}{24\!\cdots\!25}a^{7}-\frac{27\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!75}a^{6}+\frac{39\!\cdots\!12}{24\!\cdots\!25}a^{5}-\frac{78\!\cdots\!03}{24\!\cdots\!25}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!13}{49\!\cdots\!25}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!34}{98\!\cdots\!25}a^{2}-\frac{32\!\cdots\!84}{24\!\cdots\!25}a-\frac{24\!\cdots\!51}{20\!\cdots\!75}$, $\frac{14\!\cdots\!54}{35\!\cdots\!75}a^{22}+\frac{64\!\cdots\!84}{29\!\cdots\!25}a^{21}-\frac{62\!\cdots\!14}{29\!\cdots\!25}a^{20}-\frac{32\!\cdots\!86}{35\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{25\!\cdots\!67}{35\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!93}{35\!\cdots\!75}a^{17}+\frac{51\!\cdots\!23}{35\!\cdots\!75}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!01}{35\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!75}a^{14}+\frac{69\!\cdots\!14}{35\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!39}{35\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!36}{35\!\cdots\!75}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!24}{35\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{45\!\cdots\!32}{35\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{91\!\cdots\!76}{35\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{33\!\cdots\!21}{35\!\cdots\!75}a^{7}-\frac{36\!\cdots\!38}{16\!\cdots\!25}a^{6}+\frac{75\!\cdots\!13}{35\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{24\!\cdots\!97}{35\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!27}{70\!\cdots\!75}a^{3}-\frac{56\!\cdots\!43}{20\!\cdots\!25}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!34}{35\!\cdots\!75}a+\frac{66\!\cdots\!76}{29\!\cdots\!25}$, $\frac{69\!\cdots\!92}{35\!\cdots\!75}a^{22}+\frac{42\!\cdots\!42}{32\!\cdots\!75}a^{21}+\frac{28\!\cdots\!78}{32\!\cdots\!75}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!43}{31\!\cdots\!25}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!96}{35\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{85\!\cdots\!64}{35\!\cdots\!75}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!59}{35\!\cdots\!75}a^{16}-\frac{39\!\cdots\!08}{35\!\cdots\!75}a^{15}-\frac{85\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!75}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!81}{20\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{73\!\cdots\!06}{50\!\cdots\!25}a^{12}+\frac{81\!\cdots\!38}{35\!\cdots\!75}a^{11}-\frac{39\!\cdots\!41}{20\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!96}{35\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{34\!\cdots\!28}{35\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!48}{35\!\cdots\!75}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!69}{16\!\cdots\!25}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!74}{35\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{39\!\cdots\!61}{35\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{89\!\cdots\!81}{70\!\cdots\!75}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!07}{20\!\cdots\!25}a^{2}-\frac{18\!\cdots\!93}{35\!\cdots\!75}a-\frac{12\!\cdots\!12}{29\!\cdots\!25}$, $\frac{83\!\cdots\!39}{24\!\cdots\!25}a^{22}+\frac{40\!\cdots\!52}{13\!\cdots\!25}a^{21}-\frac{77\!\cdots\!14}{22\!\cdots\!25}a^{20}-\frac{23\!\cdots\!51}{24\!\cdots\!25}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!28}{24\!\cdots\!25}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!67}{22\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!51}{35\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{55\!\cdots\!41}{50\!\cdots\!25}a^{15}-\frac{26\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!75}a^{14}+\frac{29\!\cdots\!49}{24\!\cdots\!25}a^{13}+\frac{35\!\cdots\!51}{24\!\cdots\!25}a^{12}-\frac{78\!\cdots\!24}{24\!\cdots\!25}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!16}{24\!\cdots\!25}a^{10}-\frac{75\!\cdots\!13}{24\!\cdots\!25}a^{9}+\frac{23\!\cdots\!59}{24\!\cdots\!25}a^{8}-\frac{48\!\cdots\!39}{24\!\cdots\!25}a^{7}+\frac{82\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{43\!\cdots\!67}{24\!\cdots\!25}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!69}{14\!\cdots\!25}a^{4}-\frac{21\!\cdots\!49}{28\!\cdots\!25}a^{3}+\frac{20\!\cdots\!93}{98\!\cdots\!25}a^{2}-\frac{55\!\cdots\!56}{24\!\cdots\!25}a+\frac{13\!\cdots\!66}{20\!\cdots\!75}$, $\frac{11\!\cdots\!43}{24\!\cdots\!25}a^{22}-\frac{56\!\cdots\!67}{22\!\cdots\!25}a^{21}-\frac{24\!\cdots\!43}{22\!\cdots\!25}a^{20}-\frac{26\!\cdots\!62}{24\!\cdots\!25}a^{19}+\frac{20\!\cdots\!99}{22\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{16\!\cdots\!56}{24\!\cdots\!25}a^{17}+\frac{71\!\cdots\!13}{35\!\cdots\!75}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!31}{35\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{35\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!75}a^{14}+\frac{54\!\cdots\!88}{24\!\cdots\!25}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!13}{24\!\cdots\!25}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!12}{24\!\cdots\!25}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!83}{24\!\cdots\!25}a^{10}+\frac{25\!\cdots\!07}{14\!\cdots\!25}a^{9}-\frac{93\!\cdots\!67}{24\!\cdots\!25}a^{8}+\frac{30\!\cdots\!07}{24\!\cdots\!25}a^{7}-\frac{21\!\cdots\!63}{67\!\cdots\!75}a^{6}+\frac{56\!\cdots\!13}{14\!\cdots\!25}a^{5}-\frac{51\!\cdots\!99}{24\!\cdots\!25}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!54}{49\!\cdots\!25}a^{3}-\frac{49\!\cdots\!29}{98\!\cdots\!25}a^{2}+\frac{51\!\cdots\!78}{24\!\cdots\!25}a-\frac{32\!\cdots\!33}{20\!\cdots\!75}$, $\frac{60\!\cdots\!57}{35\!\cdots\!75}a^{22}+\frac{52\!\cdots\!86}{46\!\cdots\!25}a^{21}+\frac{24\!\cdots\!23}{32\!\cdots\!75}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!18}{35\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!08}{50\!\cdots\!25}a^{18}-\frac{73\!\cdots\!44}{35\!\cdots\!75}a^{17}+\frac{24\!\cdots\!72}{50\!\cdots\!25}a^{16}-\frac{34\!\cdots\!98}{35\!\cdots\!75}a^{15}-\frac{46\!\cdots\!36}{67\!\cdots\!75}a^{14}+\frac{28\!\cdots\!32}{35\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{44\!\cdots\!92}{35\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{53\!\cdots\!92}{26\!\cdots\!75}a^{11}-\frac{57\!\cdots\!47}{35\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!86}{31\!\cdots\!25}a^{9}-\frac{29\!\cdots\!28}{35\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!03}{35\!\cdots\!75}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!89}{16\!\cdots\!25}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!29}{35\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{33\!\cdots\!21}{35\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{77\!\cdots\!11}{70\!\cdots\!75}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!44}{28\!\cdots\!15}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!28}{35\!\cdots\!75}a-\frac{10\!\cdots\!82}{29\!\cdots\!25}$, $\frac{42\!\cdots\!21}{24\!\cdots\!25}a^{22}+\frac{14\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!25}a^{21}+\frac{16\!\cdots\!74}{22\!\cdots\!25}a^{20}-\frac{95\!\cdots\!09}{24\!\cdots\!25}a^{19}+\frac{71\!\cdots\!88}{24\!\cdots\!25}a^{18}-\frac{51\!\cdots\!07}{24\!\cdots\!25}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!01}{35\!\cdots\!75}a^{16}-\frac{34\!\cdots\!87}{35\!\cdots\!75}a^{15}-\frac{20\!\cdots\!21}{32\!\cdots\!25}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!16}{24\!\cdots\!25}a^{13}-\frac{31\!\cdots\!06}{24\!\cdots\!25}a^{12}+\frac{44\!\cdots\!59}{22\!\cdots\!75}a^{11}-\frac{40\!\cdots\!71}{24\!\cdots\!25}a^{10}+\frac{99\!\cdots\!98}{22\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!54}{24\!\cdots\!25}a^{8}+\frac{87\!\cdots\!19}{24\!\cdots\!25}a^{7}-\frac{86\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!75}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!87}{24\!\cdots\!25}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!99}{14\!\cdots\!25}a^{4}+\frac{31\!\cdots\!14}{28\!\cdots\!25}a^{3}-\frac{56\!\cdots\!47}{98\!\cdots\!25}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!59}{24\!\cdots\!25}a-\frac{76\!\cdots\!11}{20\!\cdots\!75}$ 47702347434891701177203308448287779621142986450868042874967631880487/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^22 + 288498099713569817422823732728821427549341193617766703428762833232/22583933912033114791153069968048065989944415436631998823568312066943125a^21 + 190848728650722656284822596602296511963927126825345857260036116893/22583933912033114791153069968048065989944415436631998823568312066943125a^20 - 1083453222157355909533660642545701986153670298575631125102802117855763/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^19 + 8062984060563870665827760622124454432012716943062444496997673538855721/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^18 - 5301872995384570111284249795072091048981789358666443507895880877469789/223786254219237228385062238774294472082176480235717079251722365026981875a^17 + 19587380175061372157140297307589230509039481791613329404977285573479352/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^16 - 38668906244430410860740155998901587289789204150911425281368363887127499/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^15 - 1130505030221171739886754123833688287109272216260269814304026872903/164713870619712914836780503614402087179922467888450175427831784228625a^14 + 134979756509121688610415363167557619846793732293613423708608987384366636/144802870377153500719746154501014070170820075446640463045232118546870625a^13 - 3518473400491136948247828467595253265136450681548748094775089784181756022/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^12 + 5559473031033438345810405532262995802403913203430334687281331351581659323/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^11 - 2686113259216976142686015069600749247487180442315213182037077050107976331/144802870377153500719746154501014070170820075446640463045232118546870625a^10 + 124332512053235311984673195426434181398230301830586369188344636358645826411/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^9 - 237399052662438150969706773314241061169936619160407138008247177014989970348/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^8 + 992145249544879629155770271002639006183534022433361058279931518942805813548/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^7 - 9774284933646182553799397712391081159636340530655167504321197215350255964/11449529285635393080165975007056926478622982709734362194274167513008375a^6 + 1387006619654919964000580002241485484116506726363265161039561936544495860139/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^5 - 268170583776318404581403990144804165926022195785219561543364098646444108886/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^4 + 611343875004579992615123058908451129204271029249491415093430330377298227661/492329759282321902447136925303447838580788256518577574353789203059360125a^3 - 64048722043279754362527184545755807182612859920268187934168827878606469804/98465951856464380489427385060689567716157651303715514870757840611872025a^2 - 129651029154755103829445483344171927518563732996656177848356869194479167073/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a - 86851924499570995319375405207071117394329692270743911584172196409271787/2053084901093919526468460906186187817267674130602908983960755642449375, 311227668753735033616538422597992653694721474613205341277624422057/40354898301829664135011223385528511359081004632670292979818787136013125a^22 + 135205183157054929806180224606388689084752487228517650849345652/370228424787428111330378196197509278523678941584131128255218230605625a^21 - 34236942818445820824453848503410899738135742915668877824000177/370228424787428111330378196197509278523678941584131128255218230605625a^20 - 7150641451208331853057155355347181299658739271228711476537025236118/40354898301829664135011223385528511359081004632670292979818787136013125a^19 + 56927001604568811954648791901367768708647507072852293514894338024256/40354898301829664135011223385528511359081004632670292979818787136013125a^18 - 412376879071452239807298890664668583810799679045680557281232878123119/40354898301829664135011223385528511359081004632670292979818787136013125a^17 + 160683644833918295651955489298042933668134908124434714084849985026047/5764985471689952019287317626504073051297286376095756139974112448001875a^16 - 327784782394636919479377831718646263741637786088822593147138346817889/5764985471689952019287317626504073051297286376095756139974112448001875a^15 + 20014036319843895645969464249718646405797929672722346133088403686/880822837538571737095082907028888166737553304216311098544554995875a^14 + 15153801277332951027871552898035493875773181661673461388937694830663482/40354898301829664135011223385528511359081004632670292979818787136013125a^13 - 32183588445540978516326043262038161101731295715291213136396928133518592/40354898301829664135011223385528511359081004632670292979818787136013125a^12 + 2922060833080454204075310113723132642614770614295886743954394941024584/2373817547166450831471248434442853609357706154862958410577575713883125a^11 - 28962814888836915625443767357489094657915085162529493100748229212528102/3668627118348151285001020307775319214461909512060935725438071557819375a^10 + 990778979086211068388665239191559076476666633900859739824705587993832221/40354898301829664135011223385528511359081004632670292979818787136013125a^9 - 2030371209768746970320073952160359277279790610564383781265515538757863028/40354898301829664135011223385528511359081004632670292979818787136013125a^8 + 7373736544349883245273032319701650800951085301164680150050591005542829353/40354898301829664135011223385528511359081004632670292979818787136013125a^7 - 81726660873931159937637742427950303221985350059944594681246316870800269/187697201403858902953540573886179122600376765733350199906133893655875a^6 + 17089991766737399723330885311602785078514330441224940165761816803472261879/40354898301829664135011223385528511359081004632670292979818787136013125a^5 - 6421379256942115638642871902809345559558086594013628647399146301539442371/40354898301829664135011223385528511359081004632670292979818787136013125a^4 + 4006710606851828428766272202361676585136036756025726712695264981008374026/8070979660365932827002244677105702271816200926534058595963757427202625a^3 - 885501800461145232732761100016522100359558693779236134402012476000477809/1614195932073186565400448935421140454363240185306811719192751485440525a^2 + 4537120062765470467420746319625490696168784696563280260483184725134339247/40354898301829664135011223385528511359081004632670292979818787136013125a + 900980208955968579399182072705163340465753202916817001586493778873643/33657129526129828302761654199773570774879903780375557114110748236875, 3304262558180422924902330058963438054026903038968604304756820106/70332822754617414635305275043349691225826893788368224907684171865622875a^22 + 105613017306508882797072240118813499067457562538726462883550562/645255254629517565461516284801373313998411869618057109244808916198375a^21 + 24656979834077958679732001724481371786533892857306863746808036/92179322089931080780216612114481901999773124231151015606401273742625a^20 - 51516382563821534341466646189281704418407295435372601758276087677/70332822754617414635305275043349691225826893788368224907684171865622875a^19 + 71800117717053483005647157890940661461498011433377929653826694543/14066564550923482927061055008669938245165378757673644981536834373124575a^18 - 2767432976199976814113051587711506561665166359813726454038954900492/70332822754617414635305275043349691225826893788368224907684171865622875a^17 - 46032952238806144175264272033755802409946477510913843393926484261/6393892977692492239573206822122699202347899435306202264334924715056625a^16 - 4121466385751661609502334510804611186624310705523697568427354609813/70332822754617414635305275043349691225826893788368224907684171865622875a^15 - 596152183486465966048005144869441241285768449114551179886514021442/1152997094337990403857463525300814610259457275219151227994822489600375a^14 + 7115967899335947234563519474589448844749335117183868003130609637604/4137224867918671449135604414314687719166287869904013229863774815624875a^13 + 180569325624666036370967718747713931121408021405900273648480056882146/70332822754617414635305275043349691225826893788368224907684171865622875a^12 + 256331085923068133734594401136255853935657376187618483582169302990828/70332822754617414635305275043349691225826893788368224907684171865622875a^11 - 122666602769098987270400269631890204579525597486286030029956931280587/4137224867918671449135604414314687719166287869904013229863774815624875a^10 + 757897337662157047901039022445765416475189358963169478852870523266692/70332822754617414635305275043349691225826893788368224907684171865622875a^9 - 2699216688438317194754259405919297830358464022347211634757950021976296/70332822754617414635305275043349691225826893788368224907684171865622875a^8 + 7524527383177230574524591590823514971511425535316418138106093843151641/14066564550923482927061055008669938245165378757673644981536834373124575a^7 + 11583351079292783140601555034780588398823318744230017613310856167389/65425881632202246172377000040325294163559901198482069681566671502905a^6 - 119652702190898615675446048765059054388096459538921178910385012264370423/70332822754617414635305275043349691225826893788368224907684171865622875a^5 - 3881980170896946076103940112810109285307474943340647518700499485987331/14066564550923482927061055008669938245165378757673644981536834373124575a^4 + 120208687625333949106826132509558155162759023929338526485250485463147/182682656505499778273520194917791405781368555294462921838140706144475a^3 + 16364298730309475721781587512432310880408800274062828991386482256433693/14066564550923482927061055008669938245165378757673644981536834373124575a^2 - 48391408883769010187007498751026200774049072470940008936171329398644559/70332822754617414635305275043349691225826893788368224907684171865622875a - 31246293552487559163518645525392296107621308949674559833257584327/1675987674362383286913029311172398218177693167839109374661841340775, 74110017723610891428763726632365132570027507731478121830252755877/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^22 - 44827599294848856092320720338894194427579145922461172079409988/3226276273147587827307581424006866569992059348090285546224044580991875a^21 - 16840166219587148919954201049652184965648370933115867482098527/3226276273147587827307581424006866569992059348090285546224044580991875a^20 - 1711176608231440493242484749022487369525201190021290562461501160543/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^19 + 13754656771733577614021360568278789879423139910549118917302399111971/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^18 - 99712691933487467416660495981782670795324014703911572234966974593334/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^17 + 279094369785519609151726084617726475739697924472398886179924286658024/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^16 - 577695918083421421624746223783067024705461090765684088058993918145763/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^15 + 954028472849491782898008173753642502804490159087852402644156775612/1152997094337990403857463525300814610259457275219151227994822489600375a^14 + 322462717756680182936743819012702554581967143888955197554401727676862/31969464888462461197866034110613496011739497176531011321674623575283125a^13 - 7989496303327811270057757254891706527026916956307125633155217662055682/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^12 + 12546130116158340941466241728019305042054112547349005064268716996264893/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^11 - 77322745392556624812350252758663363749307361841539928470218335668126687/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^10 + 34948147981162753809292193254357138103453828477452214442892611783216113/50237730539012439025218053602392636589876352705977303505488694189730625a^9 - 508574848164598713308887149037006152558277291716399868652323725520978813/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^8 + 106620872845383887315014371225448440114735407967861663373220068135580444/20686124339593357245678022071573438595831439349520066149318874078124375a^7 - 20419939867733375843033794266825731850219222054593160891262489393949804/1635647040805056154309425001008132354088997529962051742039166787572625a^6 + 4551039099912336583408512531133597866510283919534445971884132028958723719/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^5 - 2105453120086472880306064186454835140334566238610079994089927887036087861/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^4 + 1049748515843442169621193660684538007336431999258906914132024591303642441/70332822754617414635305275043349691225826893788368224907684171865622875a^3 - 47589925463513413352485569634673632326637397410823853795470859407930742/2813312910184696585412211001733987649033075751534728996307366874624915a^2 + 134775434698267099932705586041862876600815797851956468726447966735589747/31969464888462461197866034110613496011739497176531011321674623575283125a + 176040491393366841044807209372821364626750549746812731054437923914138/293297843013417075209780129455169688181096304371844140565822234635625, 134354816547455586998240603106205749238517240315077969044451998386821/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^22 + 795474712975261838146045275238293458146539657042835511433186341526/22583933912033114791153069968048065989944415436631998823568312066943125a^21 + 525713314721511092902065261601080025283742638600863084407375475029/22583933912033114791153069968048065989944415436631998823568312066943125a^20 - 3049913315764661810785833911372961871874681156047002670864121544866964/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^19 + 22760724207581528563312682655688938370347308173388920271090501263757908/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^18 - 164557366492571430316542432816618311898927963642466094882632631995250657/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^17 + 55488344779012833117088251591910896037543770787950843903329602234355236/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^16 - 15660509226028865676996181021430817776405518657126256934335664786433726/50237730539012439025218053602392636589876352705977303505488694189730625a^15 - 18433941024995611298715196797684582083222524357232090835194464743397/1152997094337990403857463525300814610259457275219151227994822489600375a^14 + 380209430445014738681201075240881874693709577462393069875306007979348308/144802870377153500719746154501014070170820075446640463045232118546870625a^13 - 10005011456764012167051444647870700579597708209001702973332575416205388711/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^12 + 1433144984878304737688199459533969185336762915725950849364574619376263699/223786254219237228385062238774294472082176480235717079251722365026981875a^11 - 7573487490690878897905355100565234186762854508634407893255827672981271253/144802870377153500719746154501014070170820075446640463045232118546870625a^10 + 32010252694665171601934960428670857497736053827288340817884295685297282338/223786254219237228385062238774294472082176480235717079251722365026981875a^9 - 673120908850113641640543550464978838800522058869114224706898088779992137124/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^8 + 2802060880628863538994901409115803819049275813596306878457620758428016344179/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^7 - 27701109335466901381604061206237862870704822731919444490583590985638662147/11449529285635393080165975007056926478622982709734362194274167513008375a^6 + 3982368682102896533811110310063002278612633180895891875927687251144936489812/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^5 - 785773313570499143303682530319713059148914877709516346933214966100236416003/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^4 + 1724406384943812263235376788807123430486362348187893650281760845171720820213/492329759282321902447136925303447838580788256518577574353789203059360125a^3 - 185435839705036025321328513746059232684289961693836633246963463495566798034/98465951856464380489427385060689567716157651303715514870757840611872025a^2 - 327848838168791778878385220965282404214181009257589322393393226817002662184/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a - 245169517660408057360830928641039769917634644889557293102590625065995251/2053084901093919526468460906186187817267674130602908983960755642449375, 1421411558494645987656587251127599295571902494562719411428362935754/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^22 + 64650384481955739591983051835544760596280680650740682407818584/293297843013417075209780129455169688181096304371844140565822234635625a^21 - 62960213889227710276068302970957259058627073708762953926013114/293297843013417075209780129455169688181096304371844140565822234635625a^20 - 32594030407697930518241495682724103337651519049295086389473839659386/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^19 + 259921374133072202347634933901674812978263902871450810585387346133067/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^18 - 1879836389495241451056606629673809140461251943502698209748846796736893/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^17 + 5111726973194794946306886651185221685219021520519403112502963650959923/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^16 - 10355113922192269151101696053543825572054644027871489023025433654901901/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^15 + 12565842708101247943850046824212705250219950071676980135901531207309/1152997094337990403857463525300814610259457275219151227994822489600375a^14 + 69741117228376769904252569755803062415616684619533604726457744749090014/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^13 - 146909386307093931121214950311236755134884669564017077974134802364606639/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^12 + 222464460393669801439614438497493162424122377048434437369424330831459336/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^11 - 1444845219383336511422009450116720360107035141389122706713470697996285624/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^10 + 4505603474117528003919621573246506797883539774453671077158328333983156832/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^9 - 9170897744215684086311888213396710570020369500381322538761942502312525576/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^8 + 33372935040046798967650341943874265026773551016925632230998197300532019521/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^7 - 369901366258802726949907183360836181810832678994310890527119751391874338/1635647040805056154309425001008132354088997529962051742039166787572625a^6 + 75872079816671308635645169861880761656136607764836376829541155290337557513/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^5 - 24548545625012326958350766835017621435515918376154833534235170942795722897/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^4 + 17410856475835576264823712892076236456985615339190841151401364740540627027/70332822754617414635305275043349691225826893788368224907684171865622875a^3 - 561934107501439220859738289892299441331494199094637947272147430704849143/2009509221560497561008722144095705463595054108239092140219547767589225a^2 + 15167977573528503604036769745333933204312716828557579594300528349313030734/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a + 6632435866862617833269726586828124036408740581242534288608348076219576/293297843013417075209780129455169688181096304371844140565822234635625, 69923512871052148797152893875128229171191590548644805265546492094392/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^22 + 424912506692586139517029451611851922516206134449172936694853257042/3226276273147587827307581424006866569992059348090285546224044580991875a^21 + 281623066814731308563940167567337658229939637292629631675161154378/3226276273147587827307581424006866569992059348090285546224044580991875a^20 - 144359139281356552397038640463825352386709138905410493740123812842443/31969464888462461197866034110613496011739497176531011321674623575283125a^19 + 11813759524812370520695498723131186311506801061768991765160574103740596/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^18 - 85454427636673440069439620760866193601286999060368535559124207114670764/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^17 + 200717486460719446178861864543838644510786130619894948911091717907465959/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^16 - 396191153662095363750774111067666566280912680995021777162191025773325008/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^15 - 85026268356466710608862189366887171910029418356672974066605857854204/1152997094337990403857463525300814610259457275219151227994822489600375a^14 + 197845173609933101718199802153097718593318063896029940269779907337055581/20686124339593357245678022071573438595831439349520066149318874078124375a^13 - 735102267958703972706720157296518967153381840389240487901829925170356806/50237730539012439025218053602392636589876352705977303505488694189730625a^12 + 8134533165825176032276218732357282606171706024290833815503581248705678138/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^11 - 3935859080630478053778432706827415006799664382582244656693579409120082141/20686124339593357245678022071573438595831439349520066149318874078124375a^10 + 182052171111995742268710225361162432816097306124340146050814570234179489296/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^9 - 347547082461085283438009535383542546664865442016940259041589512973593925128/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^8 + 1453219508168318945111662257069060482013969440309209684199970700380524422348/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^7 - 14304582994364661360636931239157901197421593396894223326783647344105839369/1635647040805056154309425001008132354088997529962051742039166787572625a^6 + 2025198566589277932284012016992663840773621173889712380482534915753597024574/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^5 - 391748945722489396001816179837580681130464990556838350404460450999182124961/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^4 + 895654344758750126490298294724235300676747658829227608149038489471885390981/70332822754617414635305275043349691225826893788368224907684171865622875a^3 - 13326354306175979613975998405315021006332253819098485167260954829722252307/2009509221560497561008722144095705463595054108239092140219547767589225a^2 - 187950626919082067315128779566587887971418863963113832332666484672013079393/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a - 125746359306630537011129828456183831201347851513742952382470268351964712/293297843013417075209780129455169688181096304371844140565822234635625, 83425484280532998683569639913670988914864822616928779991418378339/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^22 + 4080899870915682441254079865746622532364484826119753977340970252/1328466700707830281832533527532239175879083260978352871974606592173125a^21 - 772129731639550299785539060398995939468096695482576976760003414/22583933912033114791153069968048065989944415436631998823568312066943125a^20 - 2397203570699473193940384896028676251052888727219321119922689629351/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^19 - 159962198392128719194261164354114246024097757470775005011338290614528/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^18 + 116351070218578923080276492056883084170876125773491630032936074690167/223786254219237228385062238774294472082176480235717079251722365026981875a^17 - 1397882612080578019094322806448728108040139559333421091976058042346651/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^16 + 556386466726099383245661651999983464614323720177985104955687920734341/50237730539012439025218053602392636589876352705977303505488694189730625a^15 - 26595181661774417673373801138924997494021500605614884327335027982738/1152997094337990403857463525300814610259457275219151227994822489600375a^14 + 29997755766420993296521685977781426086839370732450348227039545511244449/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^13 + 357735648619875301413007495548986732727636548165657396205555239163062451/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^12 - 785689757764603434188546701102320842533359485778015894435413235880771424/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^11 + 1149603064173382113789347004268561447800513824294205732836325146106899416/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^10 - 7585961337860206657180262018490477489591294102901674344833566504686822013/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^9 + 23947430636510855326970911614928039096104957535808084496069840365551731259/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^8 - 48481823271850463175614068817768440366027123106353405342829791258171549339/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^7 + 826688348674128332109200583693302006587371077939485759885072939663608707/11449529285635393080165975007056926478622982709734362194274167513008375a^6 - 432269125409672552110529081497501677387881582214555797982211885085964090267/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^5 + 25551753673546702910526692522264540758943184356459563880149854249887382769/144802870377153500719746154501014070170820075446640463045232118546870625a^4 - 2173689031039787375000234477141156730728273886381989921004523201823873149/28960574075430700143949230900202814034164015089328092609046423709374125a^3 + 20319234797679846184731745830154176998427865470616581886089469020074880093/98465951856464380489427385060689567716157651303715514870757840611872025a^2 - 554384635252105305241290992876725351567745411339797786613940337307166378056/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a + 130495175812870833653996630592162031631466071021798939149985089628987266/2053084901093919526468460906186187817267674130602908983960755642449375, 114237638748229618439225592912092930237960542207091082989065536945843/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^22 - 560062644735398761604934564740465524740809652981836472655905774867/22583933912033114791153069968048065989944415436631998823568312066943125a^21 - 240386300530353087445995924797748284368039318499828704883402461443/22583933912033114791153069968048065989944415436631998823568312066943125a^20 - 2640204392688697006173447007788291249456286600462868463897445527039662/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^19 + 2037582532703586553872326240298422716842316096246899035211888810159099/223786254219237228385062238774294472082176480235717079251722365026981875a^18 - 163030199998333530413298574920601152100137731938148996430482418013150056/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^17 + 71042715491432770249777915900303836342733885825239672510858844795136513/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^16 - 150891023541766814656189531351537978792478020210427374276681758864438031/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^15 + 359258784506002947540621887211278177897743697403141204312745358406539/1152997094337990403857463525300814610259457275219151227994822489600375a^14 + 5480592611072690041910319062743316887132503572636293389649824427304167488/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^13 - 15019786140315450302746216110460950822660926683184169977209093513230916313/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^12 + 24039909553746637790305117419097750404844985369092471130482242919510535912/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^11 - 126039299300679933445875695507934285868558018145719299507049395863263194883/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^10 + 25263124246437789668427256794322404632973817786644884398043872797355809507/144802870377153500719746154501014070170820075446640463045232118546870625a^9 - 936675663076654924773691653485770087003121258052396989833224707142609538467/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^8 + 3086064469613208586942119432195297893388632816675445612536459094135521035407/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^7 - 2167609538036582794215504377001772009624567690624311471539225966564881663/673501722684434887068586765120995675213116629984374246722009853706375a^6 + 564079201182635283824510944622420315077610223886203989055578814337412514213/144802870377153500719746154501014070170820075446640463045232118546870625a^5 - 5118851630756775470232603535516362703065418551666083695991310129726306513099/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^4 + 1650602499095224930541768201919732408682108904110740214878931221335751614754/492329759282321902447136925303447838580788256518577574353789203059360125a^3 - 497416561423507417483340805968022820468781352387958161552616999029769306729/98465951856464380489427385060689567716157651303715514870757840611872025a^2 + 5103159454965030064148286028157608094333862509167522355814691174265071450078/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a - 32499084748338358703243010670286804784325737257569867224922562734968933/2053084901093919526468460906186187817267674130602908983960755642449375, 6017642520218440740729429288382667622329861587452702156032897961157/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^22 + 5273815577566936442482591459323259557775708745497817747488566686/460896610449655403901083060572409509998865621155755078032006368713125a^21 + 24640738249343305081962723936879937491386157067808239155208826523/3226276273147587827307581424006866569992059348090285546224044580991875a^20 - 136618688311587102809883099860187981167370842468964570902433717583318/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^19 + 145129386130288854819897343048268254972115731001094400739028741029008/50237730539012439025218053602392636589876352705977303505488694189730625a^18 - 7348088021103474760576736011873241192672608351944137089344863943157244/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^17 + 2461518774716146158625063477881715714546526459619763210266110755054672/50237730539012439025218053602392636589876352705977303505488694189730625a^16 - 34008752790770888966369331282460504618652419001074775451452889303790598/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^15 - 462850907900986898737559438651335427143478063915812905699133979036/67823358490470023756321383841224388838791604424655954587930734682375a^14 + 289304686544331996785619106271155222827588464964930914375174518708942532/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^13 - 441058205455298913990488162934632040223542251023105223471758389711651292/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^12 + 533304590047676805713756589116706645759321970557313791065456352033592/268650965449264379814000286643810890854953757785974885056089273741875a^11 - 5755276930228339125489740411016152551691238408632887012272255750758686647/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^10 + 1421334305134484371178365819715900582598381256201760823193690700551525486/31969464888462461197866034110613496011739497176531011321674623575283125a^9 - 29826690910503490387799485880922653040842286818148406458218814571306566528/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^8 + 124910230928617774327837400903648149791524881298050016439438782000767698403/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^7 - 1227816177073785138724855248523942343440101850661021270257323130466645089/1635647040805056154309425001008132354088997529962051742039166787572625a^6 + 173085442839559099269190289026228919501833924085664396152123197546724343229/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^5 - 33351542033090312172907027836527419621577446229360488905838173934673223321/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^4 + 77102176892193500588294275520962992779694071178645612800902524066714144311/70332822754617414635305275043349691225826893788368224907684171865622875a^3 - 1586406438564463343879801850565162536025505235521792504339587945222039944/2813312910184696585412211001733987649033075751534728996307366874624915a^2 - 15887484468393889810625416236352756749654835645499511157853304187918790028/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a - 10801644241175439390793443929764172158827730203618237509337625908940282/293297843013417075209780129455169688181096304371844140565822234635625, 4206901539945835739495365538476175804325159897324779381078512198845021/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^22 + 1498242602206661583417850481225372560527510789028911651369973225398/1328466700707830281832533527532239175879083260978352871974606592173125a^21 + 16811520555513549712398026799792888413026144226878740814875092216574/22583933912033114791153069968048065989944415436631998823568312066943125a^20 - 95549181316645474525653988483183636479000714091289923345359385695711909/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^19 + 711014879473905817497306853012385193836942227543297725710248302296718288/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^18 - 5142796727480006649983265438208644659378855144711173304395587344768762507/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^17 + 1726798573429096458822752589313562419302114852690185817309117579791733901/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^16 - 3408160291768462923385859153488552487635864612641802225378506390813029387/351664113773087073176526375216748456129134468941841124538420859328114375a^15 - 20333892929982404650673499284146570827185950225984014473185026645221/32942774123942582967356100722880417435984493577690035085566356845725a^14 + 202382121670806451732313112003148588148483795484146283381555451192009499416/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^13 - 310081708093167556448039612448244564742117774118427384942437649633076987106/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^12 + 44520478760896152921182689696476453854093261476581534632296124839027239959/223786254219237228385062238774294472082176480235717079251722365026981875a^11 - 4026533930939619773301865220096422522080995081259349209775181233758811644871/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^10 + 996590412501692438865224389927476685104725799808262812884837893669769393098/223786254219237228385062238774294472082176480235717079251722365026981875a^9 - 20928681125330443189874499030888961011470058429321254242151551900239573932754/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^8 + 87469290377717044609819389808320191963670624054032680571496365579264391622119/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^7 - 861495326748378749262777049459668786727036341917640613812051732595410590777/11449529285635393080165975007056926478622982709734362194274167513008375a^6 + 122153757882654144281102103585985420038005333256827807027969372676802884063787/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a^5 - 1389045001864821938211946180877570704494744174102667537637034653986690424199/144802870377153500719746154501014070170820075446640463045232118546870625a^4 + 3170998476210540909190562730360956456147105288266040869395737274800844126314/28960574075430700143949230900202814034164015089328092609046423709374125a^3 - 5635425795709990618048712912517571258268319640869259022722329886059007571447/98465951856464380489427385060689567716157651303715514870757840611872025a^2 - 11398142812117105970869101307983331677108754443872832747711417631132994088959/2461648796411609512235684626517239192903941282592887871768946015296800625a - 7642620080675887619621045790038990714598480989797985208084332558880343011/2053084901093919526468460906186187817267674130602908983960755642449375 (assuming GRH)	sage: UK.fundamental_units() gp: K.fu magma: [K\|fUK(g): g in Generators(UK)]; oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
Regulator:	$ 35038470243900 $ (assuming GRH)	sage: K.regulator() gp: K.reg magma: Regulator(K); oscar: regulator(K)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{1}\cdot(2\pi)^{11}\cdot 35038470243900 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{865004941741938633917747707002884268046728983}}\cr\approx \mathstrut & 0.717818082730424 \end{aligned}\] (assuming GRH)

# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula

x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^23 - 23*x^20 + 184*x^19 - 1334*x^18 + 3680*x^17 - 7567*x^16 + 3381*x^15 + 48346*x^14 - 105455*x^13 + 165048*x^12 - 1033942*x^11 + 3237457*x^10 - 6694426*x^9 + 24074675*x^8 - 57748676*x^7 + 58090042*x^6 - 24771506*x^5 + 67771087*x^4 - 75769360*x^3 + 19385596*x^2 - 386078*x + 1437601)

DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()

hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();

2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))

# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula

K = bnfinit(x^23 - 23*x^20 + 184*x^19 - 1334*x^18 + 3680*x^17 - 7567*x^16 + 3381*x^15 + 48346*x^14 - 105455*x^13 + 165048*x^12 - 1033942*x^11 + 3237457*x^10 - 6694426*x^9 + 24074675*x^8 - 57748676*x^7 + 58090042*x^6 - 24771506*x^5 + 67771087*x^4 - 75769360*x^3 + 19385596*x^2 - 386078*x + 1437601, 1);

[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]

/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */

Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^23 - 23*x^20 + 184*x^19 - 1334*x^18 + 3680*x^17 - 7567*x^16 + 3381*x^15 + 48346*x^14 - 105455*x^13 + 165048*x^12 - 1033942*x^11 + 3237457*x^10 - 6694426*x^9 + 24074675*x^8 - 57748676*x^7 + 58090042*x^6 - 24771506*x^5 + 67771087*x^4 - 75769360*x^3 + 19385596*x^2 - 386078*x + 1437601);

OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);

UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);

r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);

hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);

2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));

# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula

Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^23 - 23*x^20 + 184*x^19 - 1334*x^18 + 3680*x^17 - 7567*x^16 + 3381*x^15 + 48346*x^14 - 105455*x^13 + 165048*x^12 - 1033942*x^11 + 3237457*x^10 - 6694426*x^9 + 24074675*x^8 - 57748676*x^7 + 58090042*x^6 - 24771506*x^5 + 67771087*x^4 - 75769360*x^3 + 19385596*x^2 - 386078*x + 1437601);

OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);

UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);

r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);

hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);

2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))

Galois group

$D_{23}$ (as 23T2):

sage: K.galois_group(type='pari')

gp: polgalois(K.pol)

magma: G = GaloisGroup(K);

oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)

A solvable group of order 46

The 13 conjugacy class representatives for $D_{23}$

Character table for $D_{23}$

Intermediate fields

The extension is primitive: there are no intermediate fields between this field and $\Q$.

sage: K.subfields()[1:-1]

gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]

magma: L := Subfields(K); L[2..#L];

oscar: subfields(K)[2:end-1]

Sibling fields

Galois closure:	data not computed
Minimal sibling:	This field is its own minimal sibling

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	$23$	$23$	${\href{/padicField/5.2.0.1}{2} }^{11}{,}\,{\href{/padicField/5.1.0.1}{1} }$	${\href{/padicField/7.2.0.1}{2} }^{11}{,}\,{\href{/padicField/7.1.0.1}{1} }$	${\href{/padicField/11.2.0.1}{2} }^{11}{,}\,{\href{/padicField/11.1.0.1}{1} }$	$23$	${\href{/padicField/17.2.0.1}{2} }^{11}{,}\,{\href{/padicField/17.1.0.1}{1} }$	${\href{/padicField/19.2.0.1}{2} }^{11}{,}\,{\href{/padicField/19.1.0.1}{1} }$	R	$23$	$23$	${\href{/padicField/37.2.0.1}{2} }^{11}{,}\,{\href{/padicField/37.1.0.1}{1} }$	$23$	${\href{/padicField/43.2.0.1}{2} }^{11}{,}\,{\href{/padicField/43.1.0.1}{1} }$	$23$	${\href{/padicField/53.2.0.1}{2} }^{11}{,}\,{\href{/padicField/53.1.0.1}{1} }$	$23$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:

p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]

\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:

p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])

// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:

p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:

p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
$23$ 23	23.23.33.12	$x^{23} + 483 x^{11} + 23$	$23$	$1$	$33$	$D_{23}$	$[3/2]_{2}$

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more