Normalized defining polynomial
\( x^{22} - 3 x^{20} - 4 x^{19} - 13 x^{18} + x^{17} + 41 x^{16} + 85 x^{15} - 10 x^{14} - 177 x^{13} + \cdots - 1 \)
Invariants
Degree: | $22$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
Signature: | $[6, 8]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
Discriminant: | \(33458177485426043697705078125\) \(\medspace = 5^{11}\cdot 14851^{2}\cdot 1762627^{2}\) | sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
Root discriminant: | \(19.80\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
Galois root discriminant: | $5^{1/2}14851^{1/2}1762627^{1/2}\approx 361778.7554362473$ | ||
Ramified primes: | \(5\), \(14851\), \(1762627\) | sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
Discriminant root field: | \(\Q(\sqrt{5}) \) | ||
$\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $2$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
This field is not Galois over $\Q$. | |||
This is not a CM field. |
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $\frac{1}{19\!\cdots\!07}a^{21}+\frac{91\!\cdots\!66}{19\!\cdots\!07}a^{20}-\frac{86\!\cdots\!78}{19\!\cdots\!07}a^{19}-\frac{50\!\cdots\!16}{19\!\cdots\!07}a^{18}+\frac{42\!\cdots\!28}{19\!\cdots\!07}a^{17}-\frac{75\!\cdots\!78}{19\!\cdots\!07}a^{16}-\frac{51\!\cdots\!84}{19\!\cdots\!07}a^{15}-\frac{65\!\cdots\!21}{19\!\cdots\!07}a^{14}+\frac{32\!\cdots\!51}{19\!\cdots\!07}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!50}{19\!\cdots\!07}a^{12}-\frac{59\!\cdots\!20}{19\!\cdots\!07}a^{11}-\frac{64\!\cdots\!80}{19\!\cdots\!07}a^{10}+\frac{96\!\cdots\!11}{27\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{58\!\cdots\!80}{19\!\cdots\!07}a^{8}+\frac{37\!\cdots\!85}{19\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{93\!\cdots\!10}{19\!\cdots\!07}a^{6}-\frac{65\!\cdots\!42}{19\!\cdots\!07}a^{5}-\frac{95\!\cdots\!57}{19\!\cdots\!07}a^{4}+\frac{51\!\cdots\!18}{19\!\cdots\!07}a^{3}+\frac{26\!\cdots\!53}{19\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{66\!\cdots\!78}{19\!\cdots\!07}a-\frac{11\!\cdots\!82}{19\!\cdots\!07}$
Monogenic: | Not computed | |
Index: | $1$ | |
Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
Unit group
Rank: | $13$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
Torsion generator: | \( -1 \) (order $2$) | sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
Fundamental units: | $\frac{11\!\cdots\!37}{19\!\cdots\!07}a^{21}+\frac{45\!\cdots\!15}{19\!\cdots\!07}a^{20}-\frac{35\!\cdots\!85}{19\!\cdots\!07}a^{19}-\frac{47\!\cdots\!24}{19\!\cdots\!07}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!14}{19\!\cdots\!07}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!51}{19\!\cdots\!07}a^{16}+\frac{48\!\cdots\!74}{19\!\cdots\!07}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!23}{19\!\cdots\!07}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!83}{19\!\cdots\!07}a^{13}-\frac{21\!\cdots\!40}{19\!\cdots\!07}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!71}{19\!\cdots\!07}a^{11}+\frac{27\!\cdots\!22}{19\!\cdots\!07}a^{10}-\frac{54\!\cdots\!46}{27\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{30\!\cdots\!52}{19\!\cdots\!07}a^{8}+\frac{45\!\cdots\!75}{19\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{87\!\cdots\!18}{19\!\cdots\!07}a^{6}+\frac{21\!\cdots\!63}{19\!\cdots\!07}a^{5}+\frac{26\!\cdots\!15}{19\!\cdots\!07}a^{4}-\frac{29\!\cdots\!40}{19\!\cdots\!07}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!88}{19\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{71\!\cdots\!10}{19\!\cdots\!07}a+\frac{26\!\cdots\!42}{19\!\cdots\!07}$, $\frac{35\!\cdots\!19}{19\!\cdots\!07}a^{21}-\frac{21\!\cdots\!76}{19\!\cdots\!07}a^{20}-\frac{86\!\cdots\!99}{19\!\cdots\!07}a^{19}-\frac{88\!\cdots\!00}{19\!\cdots\!07}a^{18}-\frac{42\!\cdots\!65}{19\!\cdots\!07}a^{17}+\frac{27\!\cdots\!78}{19\!\cdots\!07}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!47}{19\!\cdots\!07}a^{15}+\frac{22\!\cdots\!81}{19\!\cdots\!07}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!81}{19\!\cdots\!07}a^{13}-\frac{48\!\cdots\!54}{19\!\cdots\!07}a^{12}+\frac{32\!\cdots\!58}{19\!\cdots\!07}a^{11}+\frac{53\!\cdots\!61}{19\!\cdots\!07}a^{10}-\frac{62\!\cdots\!76}{27\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{28\!\cdots\!05}{19\!\cdots\!07}a^{8}-\frac{56\!\cdots\!28}{19\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!67}{19\!\cdots\!07}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!54}{19\!\cdots\!07}a^{5}-\frac{69\!\cdots\!40}{19\!\cdots\!07}a^{4}-\frac{36\!\cdots\!11}{19\!\cdots\!07}a^{3}+\frac{17\!\cdots\!72}{19\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{51\!\cdots\!69}{19\!\cdots\!07}a-\frac{31\!\cdots\!20}{19\!\cdots\!07}$, $\frac{15\!\cdots\!08}{19\!\cdots\!07}a^{21}-\frac{24\!\cdots\!31}{19\!\cdots\!07}a^{20}-\frac{41\!\cdots\!27}{19\!\cdots\!07}a^{19}-\frac{60\!\cdots\!95}{19\!\cdots\!07}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!06}{19\!\cdots\!07}a^{17}+\frac{33\!\cdots\!67}{19\!\cdots\!07}a^{16}+\frac{57\!\cdots\!31}{19\!\cdots\!07}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!61}{19\!\cdots\!07}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!03}{19\!\cdots\!07}a^{13}-\frac{23\!\cdots\!73}{19\!\cdots\!07}a^{12}+\frac{21\!\cdots\!47}{19\!\cdots\!07}a^{11}+\frac{27\!\cdots\!54}{19\!\cdots\!07}a^{10}-\frac{61\!\cdots\!86}{27\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{68\!\cdots\!28}{19\!\cdots\!07}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!15}{19\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{89\!\cdots\!62}{19\!\cdots\!07}a^{6}+\frac{24\!\cdots\!61}{19\!\cdots\!07}a^{5}-\frac{80\!\cdots\!61}{19\!\cdots\!07}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!91}{19\!\cdots\!07}a^{3}-\frac{48\!\cdots\!94}{19\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{41\!\cdots\!12}{19\!\cdots\!07}a-\frac{24\!\cdots\!00}{19\!\cdots\!07}$, $\frac{39\!\cdots\!28}{19\!\cdots\!07}a^{21}-\frac{43\!\cdots\!92}{19\!\cdots\!07}a^{20}-\frac{90\!\cdots\!38}{19\!\cdots\!07}a^{19}-\frac{52\!\cdots\!80}{19\!\cdots\!07}a^{18}-\frac{40\!\cdots\!96}{19\!\cdots\!07}a^{17}+\frac{55\!\cdots\!60}{19\!\cdots\!07}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!55}{19\!\cdots\!07}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!80}{19\!\cdots\!07}a^{14}-\frac{31\!\cdots\!48}{19\!\cdots\!07}a^{13}-\frac{49\!\cdots\!44}{19\!\cdots\!07}a^{12}+\frac{63\!\cdots\!62}{19\!\cdots\!07}a^{11}+\frac{51\!\cdots\!46}{19\!\cdots\!07}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!62}{27\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{43\!\cdots\!38}{19\!\cdots\!07}a^{8}-\frac{20\!\cdots\!20}{19\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!58}{19\!\cdots\!07}a^{6}+\frac{29\!\cdots\!44}{19\!\cdots\!07}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!80}{19\!\cdots\!07}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!18}{19\!\cdots\!07}a^{3}+\frac{29\!\cdots\!58}{19\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{52\!\cdots\!10}{19\!\cdots\!07}a-\frac{82\!\cdots\!54}{19\!\cdots\!07}$, $\frac{45\!\cdots\!15}{19\!\cdots\!07}a^{21}+\frac{37\!\cdots\!26}{19\!\cdots\!07}a^{20}-\frac{58\!\cdots\!76}{19\!\cdots\!07}a^{19}-\frac{65\!\cdots\!33}{19\!\cdots\!07}a^{18}-\frac{39\!\cdots\!86}{19\!\cdots\!07}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!57}{19\!\cdots\!07}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!78}{19\!\cdots\!07}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!87}{19\!\cdots\!07}a^{14}-\frac{43\!\cdots\!91}{19\!\cdots\!07}a^{13}-\frac{56\!\cdots\!62}{19\!\cdots\!07}a^{12}-\frac{61\!\cdots\!99}{19\!\cdots\!07}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!62}{19\!\cdots\!07}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!30}{27\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!69}{19\!\cdots\!07}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!20}{19\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{55\!\cdots\!03}{19\!\cdots\!07}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!99}{19\!\cdots\!07}a^{5}+\frac{63\!\cdots\!85}{19\!\cdots\!07}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!88}{19\!\cdots\!07}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!12}{19\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{26\!\cdots\!42}{19\!\cdots\!07}a+\frac{11\!\cdots\!37}{19\!\cdots\!07}$, $\frac{28\!\cdots\!73}{27\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{27\!\cdots\!35}{27\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{64\!\cdots\!96}{27\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{40\!\cdots\!15}{27\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{30\!\cdots\!37}{27\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{34\!\cdots\!73}{27\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{89\!\cdots\!88}{27\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!60}{27\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!54}{27\!\cdots\!01}a^{13}-\frac{34\!\cdots\!83}{27\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{43\!\cdots\!73}{27\!\cdots\!01}a^{11}+\frac{36\!\cdots\!01}{27\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{56\!\cdots\!90}{27\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{30\!\cdots\!11}{27\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{58\!\cdots\!59}{27\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!15}{27\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{22\!\cdots\!99}{27\!\cdots\!01}a^{5}-\frac{97\!\cdots\!97}{27\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{31\!\cdots\!60}{27\!\cdots\!01}a^{3}+\frac{31\!\cdots\!38}{27\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!51}{27\!\cdots\!01}a-\frac{45\!\cdots\!60}{27\!\cdots\!01}$, $\frac{43\!\cdots\!85}{19\!\cdots\!07}a^{21}-\frac{19\!\cdots\!85}{19\!\cdots\!07}a^{20}+\frac{27\!\cdots\!32}{19\!\cdots\!07}a^{19}+\frac{48\!\cdots\!15}{19\!\cdots\!07}a^{18}+\frac{69\!\cdots\!08}{19\!\cdots\!07}a^{17}+\frac{26\!\cdots\!92}{19\!\cdots\!07}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!36}{19\!\cdots\!07}a^{15}-\frac{65\!\cdots\!54}{19\!\cdots\!07}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!19}{19\!\cdots\!07}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!38}{19\!\cdots\!07}a^{12}+\frac{28\!\cdots\!52}{19\!\cdots\!07}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!84}{19\!\cdots\!07}a^{10}-\frac{48\!\cdots\!22}{27\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{54\!\cdots\!10}{19\!\cdots\!07}a^{8}-\frac{80\!\cdots\!21}{19\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!01}{19\!\cdots\!07}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!55}{19\!\cdots\!07}a^{5}-\frac{41\!\cdots\!48}{19\!\cdots\!07}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!79}{19\!\cdots\!07}a^{3}+\frac{22\!\cdots\!53}{19\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{31\!\cdots\!42}{19\!\cdots\!07}a-\frac{31\!\cdots\!65}{19\!\cdots\!07}$, $\frac{16\!\cdots\!40}{19\!\cdots\!07}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!34}{19\!\cdots\!07}a^{20}-\frac{40\!\cdots\!73}{19\!\cdots\!07}a^{19}-\frac{36\!\cdots\!59}{19\!\cdots\!07}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!18}{19\!\cdots\!07}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!80}{19\!\cdots\!07}a^{16}+\frac{56\!\cdots\!97}{19\!\cdots\!07}a^{15}+\frac{98\!\cdots\!32}{19\!\cdots\!07}a^{14}-\frac{93\!\cdots\!79}{19\!\cdots\!07}a^{13}-\frac{23\!\cdots\!71}{19\!\cdots\!07}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!26}{19\!\cdots\!07}a^{11}+\frac{26\!\cdots\!70}{19\!\cdots\!07}a^{10}-\frac{30\!\cdots\!93}{27\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{95\!\cdots\!23}{19\!\cdots\!07}a^{8}-\frac{56\!\cdots\!40}{19\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{81\!\cdots\!35}{19\!\cdots\!07}a^{6}+\frac{80\!\cdots\!13}{19\!\cdots\!07}a^{5}-\frac{28\!\cdots\!38}{19\!\cdots\!07}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!80}{19\!\cdots\!07}a^{3}+\frac{37\!\cdots\!95}{19\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{72\!\cdots\!82}{19\!\cdots\!07}a-\frac{37\!\cdots\!52}{19\!\cdots\!07}$, $\frac{20\!\cdots\!78}{19\!\cdots\!07}a^{21}-\frac{37\!\cdots\!92}{19\!\cdots\!07}a^{20}-\frac{44\!\cdots\!59}{19\!\cdots\!07}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!00}{19\!\cdots\!07}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!89}{19\!\cdots\!07}a^{17}+\frac{49\!\cdots\!18}{19\!\cdots\!07}a^{16}+\frac{62\!\cdots\!07}{19\!\cdots\!07}a^{15}+\frac{40\!\cdots\!99}{19\!\cdots\!07}a^{14}-\frac{29\!\cdots\!51}{19\!\cdots\!07}a^{13}-\frac{24\!\cdots\!88}{19\!\cdots\!07}a^{12}+\frac{54\!\cdots\!81}{19\!\cdots\!07}a^{11}+\frac{24\!\cdots\!79}{19\!\cdots\!07}a^{10}-\frac{95\!\cdots\!86}{27\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!50}{19\!\cdots\!07}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!26}{19\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{97\!\cdots\!20}{19\!\cdots\!07}a^{6}+\frac{22\!\cdots\!70}{19\!\cdots\!07}a^{5}-\frac{92\!\cdots\!75}{19\!\cdots\!07}a^{4}-\frac{61\!\cdots\!64}{19\!\cdots\!07}a^{3}+\frac{31\!\cdots\!05}{19\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{92\!\cdots\!36}{19\!\cdots\!07}a-\frac{91\!\cdots\!56}{19\!\cdots\!07}$, $\frac{31\!\cdots\!13}{19\!\cdots\!07}a^{21}-\frac{21\!\cdots\!63}{19\!\cdots\!07}a^{20}-\frac{81\!\cdots\!79}{19\!\cdots\!07}a^{19}-\frac{72\!\cdots\!05}{19\!\cdots\!07}a^{18}-\frac{35\!\cdots\!88}{19\!\cdots\!07}a^{17}+\frac{29\!\cdots\!11}{19\!\cdots\!07}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!65}{19\!\cdots\!07}a^{15}+\frac{19\!\cdots\!27}{19\!\cdots\!07}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!53}{19\!\cdots\!07}a^{13}-\frac{46\!\cdots\!19}{19\!\cdots\!07}a^{12}+\frac{32\!\cdots\!09}{19\!\cdots\!07}a^{11}+\frac{53\!\cdots\!64}{19\!\cdots\!07}a^{10}-\frac{61\!\cdots\!84}{27\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{18\!\cdots\!80}{19\!\cdots\!07}a^{8}-\frac{54\!\cdots\!25}{19\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!62}{19\!\cdots\!07}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!17}{19\!\cdots\!07}a^{5}-\frac{43\!\cdots\!43}{19\!\cdots\!07}a^{4}-\frac{35\!\cdots\!21}{19\!\cdots\!07}a^{3}+\frac{22\!\cdots\!14}{19\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!55}{19\!\cdots\!07}a-\frac{31\!\cdots\!84}{19\!\cdots\!07}$, $\frac{40\!\cdots\!52}{19\!\cdots\!07}a^{21}-\frac{39\!\cdots\!67}{19\!\cdots\!07}a^{20}-\frac{96\!\cdots\!90}{19\!\cdots\!07}a^{19}-\frac{69\!\cdots\!03}{19\!\cdots\!07}a^{18}-\frac{43\!\cdots\!22}{19\!\cdots\!07}a^{17}+\frac{50\!\cdots\!15}{19\!\cdots\!07}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!57}{19\!\cdots\!07}a^{15}+\frac{21\!\cdots\!19}{19\!\cdots\!07}a^{14}-\frac{28\!\cdots\!45}{19\!\cdots\!07}a^{13}-\frac{54\!\cdots\!93}{19\!\cdots\!07}a^{12}+\frac{55\!\cdots\!16}{19\!\cdots\!07}a^{11}+\frac{58\!\cdots\!93}{19\!\cdots\!07}a^{10}-\frac{99\!\cdots\!26}{27\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{36\!\cdots\!87}{19\!\cdots\!07}a^{8}-\frac{18\!\cdots\!27}{19\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!68}{19\!\cdots\!07}a^{6}+\frac{26\!\cdots\!21}{19\!\cdots\!07}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!99}{19\!\cdots\!07}a^{4}-\frac{21\!\cdots\!25}{19\!\cdots\!07}a^{3}+\frac{22\!\cdots\!45}{19\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{73\!\cdots\!05}{19\!\cdots\!07}a-\frac{57\!\cdots\!29}{19\!\cdots\!07}$, $\frac{15\!\cdots\!25}{19\!\cdots\!07}a^{21}-\frac{95\!\cdots\!78}{19\!\cdots\!07}a^{20}-\frac{39\!\cdots\!02}{19\!\cdots\!07}a^{19}-\frac{39\!\cdots\!89}{19\!\cdots\!07}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!22}{19\!\cdots\!07}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!60}{19\!\cdots\!07}a^{16}+\frac{53\!\cdots\!63}{19\!\cdots\!07}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!86}{19\!\cdots\!07}a^{14}-\frac{70\!\cdots\!75}{19\!\cdots\!07}a^{13}-\frac{21\!\cdots\!18}{19\!\cdots\!07}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!67}{19\!\cdots\!07}a^{11}+\frac{26\!\cdots\!25}{19\!\cdots\!07}a^{10}-\frac{31\!\cdots\!45}{27\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{90\!\cdots\!74}{19\!\cdots\!07}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!02}{19\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{60\!\cdots\!04}{19\!\cdots\!07}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!94}{19\!\cdots\!07}a^{5}-\frac{28\!\cdots\!64}{19\!\cdots\!07}a^{4}-\frac{29\!\cdots\!62}{19\!\cdots\!07}a^{3}-\frac{24\!\cdots\!93}{19\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{28\!\cdots\!57}{19\!\cdots\!07}a-\frac{66\!\cdots\!29}{19\!\cdots\!07}$, $\frac{77\!\cdots\!26}{19\!\cdots\!07}a^{21}-\frac{67\!\cdots\!13}{19\!\cdots\!07}a^{20}-\frac{18\!\cdots\!31}{19\!\cdots\!07}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!54}{19\!\cdots\!07}a^{18}-\frac{85\!\cdots\!14}{19\!\cdots\!07}a^{17}+\frac{84\!\cdots\!47}{19\!\cdots\!07}a^{16}+\frac{25\!\cdots\!15}{19\!\cdots\!07}a^{15}+\frac{43\!\cdots\!08}{19\!\cdots\!07}a^{14}-\frac{48\!\cdots\!31}{19\!\cdots\!07}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!56}{19\!\cdots\!07}a^{12}+\frac{99\!\cdots\!35}{19\!\cdots\!07}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!71}{19\!\cdots\!07}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!59}{27\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{69\!\cdots\!32}{19\!\cdots\!07}a^{8}-\frac{23\!\cdots\!99}{19\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{37\!\cdots\!57}{19\!\cdots\!07}a^{6}+\frac{48\!\cdots\!23}{19\!\cdots\!07}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!65}{19\!\cdots\!07}a^{4}-\frac{64\!\cdots\!79}{19\!\cdots\!07}a^{3}+\frac{46\!\cdots\!13}{19\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!86}{19\!\cdots\!07}a-\frac{10\!\cdots\!62}{19\!\cdots\!07}$ (assuming GRH) | sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
Regulator: | \( 408757.310974 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{6}\cdot(2\pi)^{8}\cdot 408757.310974 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{33458177485426043697705078125}}\cr\approx \mathstrut & 0.173701399817 \end{aligned}\] (assuming GRH)
Galois group
$C_2\times S_{11}$ (as 22T47):
A non-solvable group of order 79833600 |
The 112 conjugacy class representatives for $C_2\times S_{11}$ are not computed |
Character table for $C_2\times S_{11}$ is not computed |
Intermediate fields
\(\Q(\sqrt{5}) \), 11.3.26176773577.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
Sibling fields
Degree 22 sibling: | data not computed |
Degree 44 sibling: | data not computed |
Minimal sibling: | This field is its own minimal sibling |
Frobenius cycle types
$p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Cycle type | $22$ | $22$ | R | $18{,}\,{\href{/padicField/7.2.0.1}{2} }^{2}$ | ${\href{/padicField/11.5.0.1}{5} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/11.4.0.1}{4} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/11.2.0.1}{2} }^{2}$ | $18{,}\,{\href{/padicField/13.2.0.1}{2} }^{2}$ | $18{,}\,{\href{/padicField/17.2.0.1}{2} }^{2}$ | ${\href{/padicField/19.8.0.1}{8} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/19.3.0.1}{3} }^{2}$ | ${\href{/padicField/23.10.0.1}{10} }{,}\,{\href{/padicField/23.6.0.1}{6} }^{2}$ | ${\href{/padicField/29.10.0.1}{10} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/29.1.0.1}{1} }^{2}$ | ${\href{/padicField/31.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/31.1.0.1}{1} }^{4}$ | ${\href{/padicField/37.14.0.1}{14} }{,}\,{\href{/padicField/37.2.0.1}{2} }^{4}$ | ${\href{/padicField/41.11.0.1}{11} }^{2}$ | ${\href{/padicField/43.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/43.2.0.1}{2} }^{5}$ | $22$ | ${\href{/padicField/53.14.0.1}{14} }{,}\,{\href{/padicField/53.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/padicField/53.2.0.1}{2} }$ | ${\href{/padicField/59.8.0.1}{8} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/59.2.0.1}{2} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/59.1.0.1}{1} }^{2}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
$p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\(5\) | 5.6.3.1 | $x^{6} + 60 x^{5} + 1221 x^{4} + 8846 x^{3} + 9864 x^{2} + 29208 x + 29309$ | $2$ | $3$ | $3$ | $C_6$ | $[\ ]_{2}^{3}$ |
5.16.8.1 | $x^{16} + 160 x^{15} + 11240 x^{14} + 453600 x^{13} + 11536702 x^{12} + 190484240 x^{11} + 2020220586 x^{10} + 13041178608 x^{9} + 45239382035 x^{8} + 65384309200 x^{7} + 52374358166 x^{6} + 35488260768 x^{5} + 46408266743 x^{4} + 66345171264 x^{3} + 136057926318 x^{2} + 159173865296 x + 74196697609$ | $2$ | $8$ | $8$ | $C_8\times C_2$ | $[\ ]_{2}^{8}$ | |
\(14851\) | $\Q_{14851}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ |
$\Q_{14851}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
Deg $2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | ||
Deg $2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $6$ | $1$ | $6$ | $0$ | $C_6$ | $[\ ]^{6}$ | ||
Deg $6$ | $1$ | $6$ | $0$ | $C_6$ | $[\ ]^{6}$ | ||
\(1762627\) | Deg $2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
Deg $4$ | $1$ | $4$ | $0$ | $C_4$ | $[\ ]^{4}$ | ||
Deg $4$ | $1$ | $4$ | $0$ | $C_4$ | $[\ ]^{4}$ | ||
Deg $4$ | $1$ | $4$ | $0$ | $C_4$ | $[\ ]^{4}$ | ||
Deg $4$ | $1$ | $4$ | $0$ | $C_4$ | $[\ ]^{4}$ | ||
Deg $4$ | $2$ | $2$ | $2$ |